Бинарные отношения и их свойства примеры решения. Бинарные отношения. Примеры бинарных отношений. Бинарные отношения и их свойства

для отношения нестрогого порядка:

х X -- истинно (рефлексивность);

ху и ух х = у -- (антисимметричность);

х у и у z xу z -- (транзитивность).

Множество X называют упорядоченным, если любые два элемента х и у этого множества сравнимы, т. е. если для них выполняется одно из условий: х < у, х = у, у < х.

Упорядоченное множество называют кортежем. В общем случае кортеж -- это последовательность элементов, т. е. совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает вполне определенное место. Элементы упорядоченного множества называются компонентами кортежа. Примерами кортежа может служить упорядоченная последовательность чисел арифметической или геометрической прогрессий, последовательность технологических операций при изготовлении какого-либо радиоэлектронного изделия, упорядоченная последовательность установочных позиций печатной платы для закрепления конструктивных элементов.

Во всех этих множествах место каждого элемента вполне определено и не может произвольно изменяться.

При обработке конструкторской информации на ЭВМ часто используют отношения доминирования. Говорят, что хX доминирует над уX, т. е. х>>у, если элемент х в чем-либо превосходит (имеет приоритет) элемент у того же множества. Например, под х можно понимать один из списков данных, который должен поступить на обработку первым. При анализе нескольких конструкций РЭА какой-либо из них должен быть отдан приоритет, так как эта конструкция обладает лучшими, с нашей точки зрения, свойствами, чем другие, т. е. конструкция х доминирует над конструкцией у.

Свойство транзитивности при этом не имеет места. Действительно, если, например, конструкцию х по каким-либо одним параметрам предпочли конструкции у, а конструкцию у по каким-либо другим параметрам предпочли конструкции z, то отсюда еще не следует, что конструкции х должно быть отдано предпочтение по сравнению с конструкцией г.

Отображение множеств. Одним из основных понятий теории множеств является понятие отображения. Если заданы два непустых множества X и Y, то закон, согласно которому каждому элементу xX ставится в соответствие элемента, называют однозначным отображением X в Y или функцией, определенной на X и принимающей значение на Y.

На практике приходится иметь дело и с многозначными отображениями множества X на множестве Y, которые определяют закон, согласно которому каждому элементу хX ставится в соответствие некоторое подмножество , называемое образом элементов. Возможны случаи, когда Гх = 0.

Пусть задано некоторое подмножество АX. Для любого хА образом х является подмножество . Совокупность всех элементов Y, являющихся образами для всех х в А, назовем образом множества А и будем обозначать ГА. В этом случае

Бинарные отношения.

Пусть A и B – произвольные множества. Возьмем по одному элементу из каждого множества, a из A, b из B и запишем их так: (сначала элемент первого множества, затем элемент второго множества – т.е. нам важен порядок, в котором берутся элементы). Такой объект будем называть упорядоченной парой . Равными будем считать только те пары, у которых элементы с одинаковыми номерами равны. = , если a = c и b = d. Очевидно, что если a ≠ b, то ≠ .

Декартовым произведением произвольных множеств A и B (обозначается: AB) называется множество, состоящее из всех возможных упорядоченных пар, первый элемент которых принадлежит A, а второй принадлежит B. По определению: AB = { | aA и bB}. Очевидно, что если A≠B, то AB ≠ BA. Декартово произведение множества A само на себя n раз называется декартовой степенью A (обозначается: A n).

Пример 5. Пусть A = {x, y} и B = {1, 2, 3}.

AB = {, , , , , }.

BA = {<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

AA = A 2 = {, , , }.

BB = B 2 = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

Бинарным отношением на множестве M называется множество некоторых упорядоченных пар элементов множества M. Если r – бинарное отношение и пара принадлежит этому отношению, то пишут: r или x r y. Очевидно, r Í M 2 .

Пример 6. Множество {<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>} является бинарным отношением на множестве {1, 2, 3, 4, 5}.

Пример 7. Отношение ³ на множестве целых чисел является бинарным отношением. Это бесконечное множество упорядоченных пар вида , где x ³ y, x и y – целые числа. Этому отношению принадлежат, например, пары <5, 3>, <2, 2>, <324, -23> и не принадлежат пары <5, 7>, <-3, 2>.

Пример 8. Отношение равенства на множестве A является бинарным отношением: I A = { | x Î A}. I A называется диагональю множества A.

Поскольку бинарные отношения являются множествами, то к ним применимы операции объединения, пересечения, дополнения и разности.

Областью определения бинарного отношения r называется множество D(r) = { x | существует такое y, что xry }. Областью значений бинарного отношения r называется множество R(r) = { y | существует такое x, что xry }.

Отношением, обратным к бинарному отношению r Í M 2 , называется бинарное отношение r -1 = { | Î r}. Очевидно, что D(r ‑1) = R(r), R(r ‑1) = D(r), r ‑ 1 Í M 2 .

Композицией бинарных отношений r 1 и r 2 , заданных на множестве M, называется бинарное отношение r 2 o r 1 = { | существует y такое, что Î r 1 и Í r 2 }. Очевидно, что r 2 o r 1 Í M 2 .

Пример 9. Пусть бинарное отношение r задано на множестве M = {a, b, c, d}, r = {, , , }. Тогда D(r) = {a, c}, R(r) = {b, c, d}, r ‑1 = {, , , }, r o r = {, , , }, r ‑1 o r = {, , , }, r o r ‑1 = {, , , , , , }.

Пусть r – бинарное отношение на множестве M. Отношение r называется рефлексивным , если x r x для любого x Î M. Отношение r называется симметричным , если вместе с каждой парой оно содержит и пару . Отношение r называется транзитивным , если из того, что x r y и y r z следует, что x r z. Отношение r называется антисимметричным , если оно не содержит одновременно пары и различных элементов x ¹ y множества M.

Укажем критерии выполнения этих свойств.

Бинарное отношение r на множестве M рефлексивно тогда и только тогда, когда I M Í r.

Бинарное отношение r симметрично тогда и только тогда, когда r = r ‑1 .

Бинарное отношение r на множестве M антисимметрично тогда и только тогда, когда r Ç r ‑1 = I M .

Бинарное отношение r транзитивно тогда и только тогда, когда r o r Í r.

Пример 10. Отношение из примера 6 является антисимметричным, но не является симметричным, рефлексивным и транзитивным. Отношение из примера 7 является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным, но не является симметричным. Отношение I A обладает всеми четырьмя рассматриваемыми свойствами. Отношения r ‑1 o r и r o r ‑1 являются симметричными, транзитивными, но не являются антисимметричными и рефлексивными.

Отношением эквивалентности на множестве M называется транзитивное, симметричное и рефлексивное на М бинарное отношение.

Отношением частичного порядка на множестве М называется транзитивное, антисимметричное и рефлексивное на М бинарное отношение r.

Пример 11. Отношение из примера 7 является отношением частичного порядка. Отношение I A является отношением эквивалентности и частичного порядка. Отношение параллельности на множестве прямых является отношением эквивалентности.

Свойства отношений:

1) рефлексивность;

2)симметричность;

3)транзитивность.

4)связанность.

Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой: х Rх. Если отношение рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. И обратно, граф, каждая вершина которого содержит петлю, представляет собой граф рефлексивного отношения.

Примерами рефлексивных отношений являются и отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое число кратно самому себе), и отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе), и отношение «равенства» (каждое число равно самому себе) и др.

Существуют отношения, не обладающие свойством рефлексивности, например, отношение перпендикулярности отрезков: ab, ba (нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе). Поэтому на графе данного отношения нет ни одной петли.

Не обладает свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков, «больше на 2» для натуральных чисел и др.

Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным , если для любого элемента из множества Х всегда ложно х Rх: .

Существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Примером такого отношения может служить отношение «точка х симметрична точке у относительно прямой l », заданное на множестве точек плоскости. Действительно, все точки прямой l симметричны сами себе, а точки, не лежащие на прямой l, себе не симметричны.

Отношение R на множестве Х называется симметричным , если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении с элементом y , следует, что и элемент y находится в отношении R с элементом х: xRyyRx .

Граф симметричного отношения обладает следующей особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к y , граф содержит стрелку, идущую от y к х (рис. 35).

Примерами симметричных отношений могут быть следующие: отношение «параллельности» отрезков, отношение «перпендикулярности» отрезков, отношение «равенства» отрезков, отношение подобия треугольников, отношение «равенства» дробей и др.

Существуют отношения, которые не обладают свойством симметричности.

Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у , то отрезок у не может быть длиннее отрезка х . Граф этого отношения обладает особенностью: стрелка, соединяющая вершины, направлена только в одну сторону.

Отношение R называют антисимметричным , если для любых элементов х и y из истинности xRy следует ложность yRx: : xRyyRx.

Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков существуют и другие антисимметричные отношения. Например, отношение «больше» для чисел (если х больше у , то у не может быть больше х ), отношение «больше на» и др.

Существуют отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.

Отношение R на множестве Х называют транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом y, а элемент y находится в отношении R с элементом z , следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z : xRy и yRz xRz.

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к y и от y к z , содержит стрелку, идущую от х к z.

Свойством транзитивности обладает и отношение «длиннее» на множестве отрезков: если отрезок а длиннее отрезка b , отрезок b длиннее отрезка с , то отрезок а длиннее отрезка с. Отношение «равенства» на множестве отрезков также обладает свойством транзитивности: (а= b, b=с)(а=с).

Существуют отношения, которые не обладают свойством транзитивности. Таким отношением является, например, отношение перпендикулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку b , а отрезок b перпендикулярен отрезку с , то отрезки а и с не перпендикулярны!

Существует еще одно свойство отношений, которое называется свойством связанности, а отношение, обладающее им, называют связанным.

Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и y из данного множества выполняется условие: если х и y различны, то либо х находится в отношении R с элементом y , либо элемент y находится в отношении R с элементом х . С помощью символов это можно записать так: xy xRy или yRx.

Например, свойством связанности обладает отношение «больше» для натуральных чисел: для любых различных чисел х и y можно утверждать, либо x>y , либо y>x.

На графе связанного отношения любые две вершины соединены стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.

Существуют отношения, которые не обладают свойством связанности. Таким отношением, например, является отношение делимости на множестве натуральных чисел: можно назвать такие числа х и y , что ни число х не является делителем числа y , ни число y не является делителем числа х (числа 17 и 11 , 3 и 10 и т.д.).

Рассмотрим несколько примеров. На множестве Х={1, 2, 4, 8, 12} задано отношение «число х кратно числу y ». Построим граф данного отношения и сформулируем его свойства.

Про отношение равенства дробей говорят, оно является отношением эквивалентности.

Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Примерами отношений эквивалентности могут служить: отношения равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными).

В рассмотренном выше отношении «равенства дробей», множество Х разбилось на три подмножества: {; ; }, {; }, {}. Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х , т.е. имеем разбиение множества на классы.

Итак, если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества - классы эквивалентности.

Так, мы установили, что отношению равенства на множестве
Х ={ ;; ; ; ; } соответствует разбиение этого множества на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных между собой дробей.

Принцип разбиения множества на классы при помощи некоторого отношения эквивалентности является важным принципом математики. Почему?

Во-первых, эквивалентный - это значит равносильный, взаимозаменяемый. Поэтому элементы одного класса эквивалентности взаимозаменяемы. Так, дроби, оказавшиеся в одном классе эквивалентности {; ; }, неразличимы с точки зрения отношения равенства, и дробь может быть заменена другой, например . И эта замена не изменит результата вычислений.

Во-вторых, поскольку в классе эквивалентности оказываются элементы, неразличимые с точки зрения некоторого отношения, то считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом класса. Так, любой класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу. класса эквивалентности по одному представителю позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность представителей из классов эквивалентности. Например, отношение эквивалентности «иметь одинаковое число вершин», заданное на множестве многоугольников, порождает разбиение этого множества на классы треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т.д. свойства, присущие некоторому классу, рассматриваются на одном его представителе.

В-третьих, разбиение множества на классы с помощью отношения эквивалентности используется для введения новых понятий. Например, понятие «пучок прямых» можно определить как то общее, что имеют параллельные прямые между собой.

Другим важным видом отношений являются отношения порядка. Рассмотрим задачу.На множестве Х ={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3 ». Это отношение порождает разбиение множества Х на классы: в один попадут все числа, при делении которых на 3 получается в остатке 0 (это числа 3, 6, 9 ). Во второй - числа, при делении которых на 3 в остатке получается 1 (это числа 4, 7, 10 ). В третий попадут все числа, при делении которых на 3 в остатке получается 2 (это числа 5, 8 ). Действительно, полученные множества не пересекаются и их объединение совпадает с множеством Х . Следовательно, отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3 », заданное на множестве Х , является отношением эквивалентности.

Возьмем еще пример: множество учащихся класса можно упорядочить по росту или возрасту. Заметим, что это отношение обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Или всем известен порядок следования букв в алфавите. Его обеспечивает отношение «следует».

Отношение R на множестве Х называется отношением строгого порядка , если оно одновременно обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Например, отношение «х< y ».

Если же отношение обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, то такое оно будет являться отношением нестрогого порядка . Например, отношение «х y ».

Примерами отношения порядка могут служить: отношение «меньше» на множестве натуральных чисел, отношение «короче» на множестве отрезков. Если отношение порядка обладает еще и свойством связанности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка . Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел.

Множество Х называется упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.

Например, множество Х= {2, 8, 12, 32 } можно упорядочить при помощи отношения «меньше» (рис. 41), а можно это сделать при помощи отношения «кратно» (рис. 42). Но, являясь отношением порядка, отношения «меньше» и «кратно» упорядочивают множество натуральных чисел по-разному. Отношение «меньше» позволяет сравнивать два любых числа из множества Х , а отношение «кратно» таким свойством не обладает. Так, пара чисел 8 и 12 отношением «кратно» не связана: нельзя сказать, что 8 кратно 12 либо 12 кратно 8.

Не следует думать, что все отношения делятся на отношения эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное число отношений, не являющихся ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.

Основы дискретной математики.

Понятие множества. Отношение между множествами.

Множество – совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

Объекты, составляющие множество называются элементами множества. Для того чтобы некоторую совокупность объектов можно было называть множеством должны выполняться следующие условия:

· Должно существовать правило, по которому моно определить принадлежит ли элемент к данной совокупности.

· Должно существовать правило, по которому элементы можно отличить друг от друга.

Множества обозначаются заглавными буквами, а его элементы маленькими. Способы задания множеств:

· Перечисление элементов множества. - для конечных множеств.

· Указание характеристического свойства .

Пустым множеством – называется множество, не содержащее ни одного элемента (Ø).

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. , A=B

Множество B называется подмножеством множества А ( , тогда и только тогда когда все элементы множества B принадлежат множеству A .

Например: , B =>

Свойство:

Примечание: обычно рассматривают подмножество одного и того е множества, которое называется универсальным (u). Универсальное множество содержит все элементы.

Операции над множествами.

2.Пересечением 2-х множеств называется новое множество, состоящее из элементов, одновременно принадлежат и первому и второму множеству.

Н-р: , ,

Свойство: операции объединения и пересечения.

· Коммутативность.

· Ассоциативность. ;

· Дистрибутивный. ;

Бинарные отношения и их свойства.

Пусть А и В это множества производной природы, рассмотрим упорядоченную пару элементов (а, в) а ϵ А, в ϵ В можно рассматривать упорядоченные «энки».

(а 1 , а 2 , а 3 ,…а n) , где а 1 ϵ А 1 ; а 2 ϵ А 2 ; …; а n ϵ А n ;

Декартовым (прямым) произведением множеств А 1 , А 2 , …, А n , называется мн-во, которое состоит из упорядоченных n k вида .

Н-р: М = {1,2,3}

М× М= М 2 = {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Подмножества декартова произведения называется отношением степени n или энарным отношением. Если n =2, то рассматривают бинарные отношения. При чем говорят, что а 1 , а 2 находятся в бинарном отношении R , когда а 1 R а 2.

Бинарным отношением на множестве M называется подмножество прямого произведения множества n самого на себя.

М× М= М 2 = {(a, b )| a, b ϵ M } в предыдущем примере отношение меньше на множестве М порождает следующее множество: {(1,2);(1,3); (2,3)}

Бинарные отношения обладают различными свойствами в том числе:

· Рефлексивность: .

· Антирефлексивность (иррефлексивность): .

· Симметричность: .

· Антисимметричность: .

· Транзитивность: .

· Асимметричность: .

Виды отношений.

· Отношение эквивалентности;

· Отношение порядка.

v Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка.

v Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности.

v Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка.

v Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка.

Очевидно, что произвольные бинарные отношения изучать в общем плане не особенно интересно, о них можно сказать очень мало. Однако, если отношения удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, относительно них можно делать более содержательные утверждения. В этом разделе мы рассмотрим некоторые из основных свойств бинарных отношений.

• 1. Бинарное отношение на множестве X называется рефлексивным, если для любого элемента aX выполняется условие a:
  • (aX) a* a.

Если отношение представлено с помощью графа, то рефлексивность этого отношения означает, что в каждой вершине графа обязательно имеется петля.

Для отношения, заданного с помощью булевой матрицы его рефлексивность равносильна тому, что по главной диагонали этой матрицы (идущей из ее левого верхнего угла в правый нижний) стоят только символы 1.

2. Бинарное отношение на X называется антирефлексивным, если ни для одного aX не выполняется условие a * a:

Обозначим через I x отношение на множестве X, состоящее из пар вида (a, a), где a X:

I x = {(a, a)| a X}.

Отношение Ix обычно называют диагональю множества X или отношением тождества на X.

Очевидно, что отношение на множестве X рефлексивно, если диагональ I x является подмножеством множества:

Отношение антирефлексивно, если диагональ I x и отношение б не имеют ни одного общего элемента:

• 3. Бинарное отношение на множестве X называется симметричным, если из a * b следует b * a:
  • (a, bX)(a* b b*a).

Примерами симметричных отношений являются:

отношение перпендикулярности на множестве прямых;

отношение касания на множестве окружностей;

отношение "быть похожим" на множестве людей;

отношение "иметь одинаковый пол" на множестве животных.

Отношение "x брат y" на множестве всех людей не является симметричным. В то же время отношение "x брат y" на множестве мужчин симметричным является.

В графе симметричного отношения для каждой дуги из вершины x в вершину y имеется дуга из y в x. Поэтому симметричные отношения можно представлять графами с неориентированными ребрами. При этом каждая пара ориентированных ребер xy и yx заменяется одним неориентированным ребром.

На рисунке 8 представлено отношение

б= {(a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (d, c)}

с помощью ориентированного и неориентированного графов.

Рис. 8.

Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.

Теорема: Объединение и пересечение любого семейства симметричных отношений снова являются симметричными отношениями.

Определение. Бинарное отношение на множестве X называется антисимметричным, если для любых различных элементов a и b условия a * b и b * a не выполняются одновременно:

(a, bX) (a * b & b* a a = b).

Например, отношение "делится" на множестве натуральных чисел является антисимметричным, так как из a b и b a следует, что a = b. Однако на множестве целых чисел отношение "делится" антисимметричным не является, так как (-2) 2 и 2 (-2), но -22.

Отношения "выше", "тяжелее", "старше" антисимметричны на множестве людей. Отношение "быть сестрой" на множестве всех людей антисимметричным не является.

В графе антисимметричного отношения две различные вершины могут быть соединены не более чем одной дугой.

Определение 3.5. Бинарное отношение a на множестве X называется транзитивным, если для любых трех элементов a, b, c X из a*b и b*c следует a*c:

(a, b, c X) (a* b & b* c a*c).

Примерами транзитивных отношений служат:

отношение "делится" на множестве действительных чисел;

отношение "больше" на множестве действительных чисел;

отношение "старше" на множестве людей игрушек;

отношение "иметь одинаковый цвет" на множестве детских игрушек;

д) отношение "быть потомком" на множестве людей.

Феодальное отношение "быть вассалом" не является транзитивным. Это в частности подчеркивается в некоторых учебниках истории: "вассал моего вассала не мой вассал".

Отношение "быть похожим" на множестве людей не обладает свойством транзитивности.

Для произвольного отношения можно найти минимальное транзитивное отношение такое, что аb. Таким отношением является транзитивное замыкание отношения.

Пример 3.1. Транзитивным замыканием бинарного отношения на множестве людей "быть ребенком" является отношение "быть потомком".

Справедлива теорема.

Теорема 3.2. Для любого отношения транзитивное замыкание равно пересечению всех транзитивных отношений, включающих в качестве подмножества.

Определение 3.6. Бинарное отношение на множестве X называется связным, если для любых двух различных элементов a и b имеет место a*b, либо b*a:

(a, b, c X)(ab a*b b*a).

Примером связного отношения является отношение "больше" на множестве действительных чисел. Отношение "делится" на множестве целых чисел связным не является.

4. Инвариантность отношений

В этом параграфе мы перечислим некоторые случаи, когда те или иные свойства отношений сохраняются при выполнении над ними операций .

Теорема 4.4. Чтобы произведение симметричных отношений было симметрично, необходимо и достаточно, чтобы отношения и коммутировали.

Отношение эквивалентности

Важным видом бинарного отношения является отношение эквивалентности.

Определение 1. Бинарное отношение на множестве X называется отношением эквивалентности на X, если рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношение эквивалентности часто обозначают символами ~,.

Примерами отношения эквивалентности служат:

отношение тождества I X = {(a, a)|aX} на непустом множестве X;

отношение параллельности на множестве прямых плоскости;

отношение подобия на множестве фигур плоскости;

отношение равносильности на множестве уравнений;

отношение "иметь одинаковые остатки при делении на фиксированное натуральное число m" на множестве целых чисел. Это отношение в математике называют отношением сравнимости по модулю m и обозначают ab (mod m);

отношение "принадлежать одному виду" на множестве животных;

отношение "быть родственниками" на множестве людей;

отношение "быть одного роста" на множестве людей;

отношение "жить в одном доме" на множестве людей.

Отношения "жить на одной улице", "быть похожими" на множестве людей отношениями эквивалентности не являются, так как не обладают свойством транзитивности.

Из перечисленных выше свойств бинарных отношений следует, что пересечение отношений эквивалентности является отношением эквивалентности.

Классы эквивалентности

С отношением эквивалентности тесно связано разбиение множества на классы.

Определение 1. Система непустых подмножеств

{M 1 , M 2 , …}

множества M называется разбиением этого множества, если

Сами множества M 1 , M 2 , … называются при этом классами данного разбиения.

Примерами разбиений служат:

разложение всех многоугольников на группы по числу вершин - треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д.;

разбиение всех треугольников по свойствам углов (остроугольные, прямоугольные, тупоугольные);

разбиение всех треугольников по свойствам сторон (разносторонние, равнобедренные, равносторонние);

разбиение всех треугольников на классы подобных треугольников;

разбиение множества всех учащихся данной школы по классам.

Широкое применение отношений эквивалентности в современной науке связано с тем, что всякое отношение эквивалентности осуществляет разбиение множества, в котором оно определено, на классы, обычно принимаемые за новые объекты. Другими словами с помощью отношений эквивалентности порождаются новые объекты, понятия.

Так, например, отношение сонаправленности лучей разбивает множество всех лучей плоскости или пространства на классы сонаправленных лучей. Каждый из этих классов лучей называется направлением. Таким образом, интуитивное понятие направления получает точное математическое описание как класс разбиения множества лучей с помощью отношения эквивалентности.

О подобных фигурах обычно говорят, что они имеют одинаковую форму. Но что такое форма геометрической фигуры? Интуитивно ясно, что это то общее, что объединяет подобные фигуры. С помощью отношения эквивалентности удается это интуитивное понятие перевести в точное математическое. Отношение подобия, являясь отношением эквивалентности, разбивает множество фигур на классы подобных фигур. Каждый такой класс можно назвать формой. Тогда выражение "две одинаковые фигуры имеют одинаковую форму" имеет следующий точный смысл "две подобные фигуры принадлежат одной форме".

Отношения эквивалентности встречаются всюду, где осуществляются разбиения множеств на классы. Мы часто пользуемся ими, не замечая этого.

Приведем элементарный пример. Когда дети играют со множеством разноцветных игрушек (например, с блоками Дьенеша) и решают задачу разложить игрушки по цветам, то они пользуются отношением "иметь один цвет". Полученные в результате классы одноцветных фигур воспринимаются детьми как новые понятия: красные, желтые, синие и т. д.

Аналогично в результате решения задачи разложения блоков по форме дети получают классы, каждый из которых воспринимается как форма: прямоугольные, круглые, треугольные и т. д.

Связи между отношениями эквивалентности, определенными на множестве M, и разбиениями множества M на классы описываются в следующих двух теоремах.

Теорема 1 Всякое разбиение непустого множества M на классы определяет (индуцирует) на этом множестве отношение эквивалентности такое, что:

всякие два элемента одного класса находятся в отношении;

всякие два элемента различных классов не находятся в отношении. Доказательство. Пусть имеется некоторое разбиение непустого множества M. Определим бинарное отношение следующим образом: xay(K)(xK&yK).

То есть два элемента x и y aиз множества M связаны отношением в том и только в том случае, если в разбиении найдется такой класс K, которому одновременно принадлежат элементы x и y.

Так определенное отношение, очевидно, рефлексивно и симметрично. Докажем транзитивность отношения. Пусть x*y и x*z. Тогда по определению в существуют классы K 1 и K 2 такие, что x, yK 1 и y, zK 2 . Так как различные классы в разбиении не имеют общих элементов, то K 1 = K 2 , то есть x, z K 1 . Поэтому x*z, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Всякое отношение эквивалентности в непустом множестве M порождает разбиение этого множества на классы эквивалентности такое, что всякие два элемента одного класса находятся в отношении;

всякие два элемента различных классов не находятся в отношении.

Доказательство. Пусть б - некоторое отношение эквивалентности на множестве M. Каждому элементу x из поставим в соответствие подмножество [x] множества M, состоящее из всех элементов y, находящихся в отношении с элементом x:

Система подмножеств [x], образует разбиение множества M. Действительно, во-первых, каждое подмножество [x]O, так как в силу рефлексивности отношения x[x].

Во-вторых, два различных подмножества [x] и [y] не имеют общих элементов. Рассуждая от противного, допустим существование элемента z такого, что z[x] и z[y]. Тогда zax и zay. Поэтому для любого элемента a[x] из a* x, z*x и z*y в силу симметричности и транзитивности отношения вытекает a*y, то есть a[y]. Следовательно, [x] [y]. Аналогично получаем, что [y][x]. Полученные два включения влекут равенство [x] = [y], противоречащее предположению о несовпадении подмножеств [x] и [y]. Таким образом, [x]y] = O.

В-третьих, объединение всех подмножеств [x] совпадает со множеством M, ибо для любого элемента xM выполняется условие x[x].

Итак, система подмножеств [x], образует разбиение множества M. Несложно показать, что построенное разбиение удовлетворяет условиям теоремы. Разбиение множества M, обладающее свойствами, указанными в теореме, называется фактор-множеством множества M по отношению и обозначается M/б.