Экспоненциальный закон распределения называемый также основным законом надежности, часто используют для прогнозирования надежности в период нормальной эксплуатации изделий, когда постепенные отказы еще не проявились и надежность характеризуется внезапными отказами. Эти отказы вызываются неблагоприятным стечением многих обстоятельств и поэтому имеют постоянную интенсивность. Экспоненциальное распределение находит довольно широкое применение в теории массового обслуживания, описывает распределение наработки на отказ сложных изделий, время безотказной работы элементов радиоэлектронной аппаратуры.

Приведем примеры неблагоприятного сочетания условий работы деталей машин, вызывающих их внезапный отказ. Для зубчатой передачи это может быть действием максимальной нагрузки на наиболее слабый зуб при его зацеплении; для элементов радиоэлектронной аппаратуры - превышение допустимого тока или температурного режима.

Плотность распределения экспоненциального закона (рис. 1) описывается соотношением

f (x ) = λe −λ x ; (3)

функция распределения этого закона - соотношением

F (x ) = 1− e −λ x ; (4)

функция надежности

P (x ) = 1− F (x ) = e −λ x ; (5)

математическое ожидание случайной величины Х

дисперсия случайной величины Х

(7)

Экспоненциальный закон в теории надежности нашел широкое применение, так как он прост для практического использования. Почти все задачи, решаемые в теории надежности, при использовании экспоненциального закона оказываются намного проще, чем при использовании других законов распределения. Основная причина такого упрощения состоит в том, что при экспоненциальном законе вероятность безотказной работы зависит только от длительности интервала и не зависит от времени предшествующей работы.

Риc. 1. График плотности экспоненциального распределения

Пример 2. По данным эксплуатации генератора установлено, что наработка на отказ подчиняется экспоненциальному закону с параметром λ=2*10 -5 ч -1 . Найти вероятность безотказной работы за время t =100 ч. Определить математическое ожидание наработки на отказ.

Р е ш е н и е. Для определения вероятности безотказной работы воспользуемся формулой (5), в соответствии с которой

Математическое ожидание наработки на отказ равно

Экспоненциальное (показательное) распределение

Рассмотрим семейство распределений, широко используемое при принятии управленческих решений и других прикладных исследованиях - семейство экспоненциальных распределений. Проанализируем вероятностную!! модель, приводящую к таким распределениям. Для этого рассмотрим «поток событий», т.е. последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: время безотказной работы компьютерной системы, интервал между последовательными поступлениями автомобилей к стон-линии перекрестка, поток обращений клиентов в отделение банка; поток покупателей, обращающихся за товарами и услугами; поток вызовов на телефонной станции; поток отказов оборудования в технологической цепочке и т.д.

В теории потоков событий справедлива теорема суммировании потоков событий. Суммарный поток состоит из большого количества независимых частных потоков, ни один из которых не оказывает преобладающего влияния на суммарный поток. Так, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, состоит из большого числа независимых потоков вызовов, исходящих от отдельных абонентов. В случае, когда характеристики потоков не зависят от времени, суммарный поток полностью описывается одним числом X - интенсивностью потока. Для суммарного потока функция распределения случайной величины X - длины промежутка времени между последовательными событиями имеет следующий вид:

Это распределение называется экспоненциальным (показательным) распределением. В данную функцию иногда вводят параметр сдвига с.

Экспоненциальное распределение имеет только один параметр, который и определяет его характеристики. Плотность распределения имеет следующий вид:

где X - постоянная положительная величина.

График функции /(х) представлен на рис. 9.12.

Рис. 9.12.

На рис. 9.13 представлен график плотности экспоненциального распределения при разных параметрах X.

Экспоненциальное распределение характеризует распределение времени между независимыми событиям, появляющимися с постоянной интенсивностью. Экспоненциальный закон характерен для распределения случайных величин, изменение которых обусловлено влиянием какого-то доминирующего фактора. В теории надежности это распределение описывает распределение внезапных отказов, так как последние являются редкими событиями. Экспоненциальное распределение служит также для описания

Рис. 9.13. Плотность экспоненциального распределения при разных параметрах X

наработки сложных систем, прошедших период приработки, и для описания времени безотказной работы системы с большим числом последовательно соединенных элементов, каждый из которых не оказывает большого влияния на отказ системы.

Теоретические частоты для экспоненциального закона распределения определяют по формуле

где N - объем совокупности; 1г к - длина интервала; е - основание натурального логарифма; X - условные отклонения середин классов:

Рассмотрим выравнивание эмпирического распределения (табл. 9.4) по экспоненциальному закону.

Таблица 9.4

Эмпирические частоты для выравнивания распределения по экспоненциальному закону

Имеем N = 160; Ь к = 41; х = 54,59. Расчет величин условных отклонений середин классов, вспомогательных величин е _1 и теоретических частот произведен в табл. 9.5.

Таблица 95

Выравнивание эмпирических частот по экспоненциальному закону

Эмпирические данные, х	Эмпирическая частота, т			Теоретические частоты

Эмпирические и теоретические частоты экспоненциального распределения изобразим графически на рис. 9.14.

Показательное распределение представляет собой частный случай распределения Вейбулла - Гнеденко (соответствующий значению параметра формы b = 1).

Непрерывная случайная величина $X$ подчиняется показательному (экспоненциальному) закону распределения вероятностей, если ее плотность распределения вероятностей $f\left(x\right)$ имеет следующий вид:

$$f(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\
\lambda e^{-\lambda x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right..$$

Тогда функция распределения:

$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\
1-e^{-\lambda x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$$

Графики функций плотности $f\left(x\right)$ и распределения $F\left(x\right)$ представлены на рисунке:

Для показательного закона распределения числовые характеристики могут быть вычислены по известным формулам. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны между собой и равны $1/\lambda $, то есть:

$$M\left(X\right)=\sigma \left(X\right)={{1}\over {\lambda }}.$$

Дисперсия :

$$D\left(X\right)={{1}\over {{\lambda }^2}}.$$

Параметр распределения $\lambda $ в статистическом смысле характеризует среднее число событий, наступающих в единицу времени. Так, если средняя продолжительность безотказной работы прибора равна $1/\lambda $, то параметр $\lambda $ будет характеризовать среднее число отказов в единицу времени. Примерами случайных величин, подчиненных показательному закону распределения, могут быть:

• Продолжительность телефонного разговора;
• Затраты времени на обслуживание покупателя;
• Период времени работы прибора между поломками;
• Промежутки времени между появлениями автомашин на автозаправочной станции.

Пример . Случайная величина $X$ распределена по показательному закону $f\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\
5e^{-5x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$. Тогда математическое ожидание $=$ стандартное отклонение $\sigma (X)=1/\lambda =1/5=0,2$, дисперсия $D(X)=1/{\lambda }^2=1/25=0,04.$

Пример . Время работы прибора - случайная величина $X$, подчиненная показательному распределению. Известно, что среднее время работы данного прибора составляет $500$ часов. Какова вероятность того, что данный прибор проработает не менее $600$ часов?

Математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=500=1/\lambda $, отсюда параметр распределения $\lambda =1/500=0,002.$ Можем записать функцию распределения:

$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\
1-e^{-\lambda x}=1-e^{-0,002x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$$

Тогда вероятность того, что прибор проработает менее $600$ часов, равна:

$$P\left(X\ge 600\right)=1-P\left(X < 600\right)=1-F\left(600\right)=1-\left(1-e^{-0,002\cdot 600}\right)\approx 0,301.$$

Определение 2. Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна

Действительно,

Кривая распределения и график функции распределения приведены ниже:

Для случайной величины, распределенной по показательному закону

Действительно,

Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины Х , распределенной по показательному закону, находится по формуле

Замечание 1. Показательный закон распределения вероятностей встречается во многих задачах, связанных с простейшим потоком событий. Под потоком событий понимают последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты. Например, поток вызовов на телефонной станции, поток заявок в системе массового обслуживания и др.

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого

определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t . Здесь Т – длительность времени безотказной работы элемента, λ − интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).

Функция надежности

определяет вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t .

Пример 2. Установлено, что время ремонта магнитофонов есть случайная величина Х , распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт магнитофона потребуется не менее 15 дней, если среднее время ремонта магнитофонов составляет 12 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х .

Решение. По условию математическое ожидание =12, откуда параметр и тогда плотность вероятности и функция распределения имеют вид: , (). Искомую вероятность можно найти, используя функцию распределения:

Среднее квадратическое отклонение дней.

Пример 3. Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону:

для первого элемента ;

для второго ;

для третьего элемента .

Найти вероятности того, что в интервале времени (0;5) ч. откажут: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.

Решение. Вероятность отказа первого элемента

Вероятность отказа второго элемента

Вероятность отказа третьего элемента

Искомая вероятность

3. Нормальное распределение. В теории вероятностей и математической статистике важнейшую роль играет так называемое нормальное или гауссовское распределение. Оно также широко применяется и при решении прикладных задач. Значимость нормального распределения определяется тем, что оно служит хорошим приближением для большого числа наборов случайных величин, получаемых при наблюдениях и экспериментах. Нормальное распределение почти всегда имеет место, когда наблюдаемые случайные величины формируются под влиянием большого числа случайных факторов, ни один из которых существенно не превосходит остальные.

Определение 3. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и σ, если ее плотность вероятности имеет вид:

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или кривой Гаусса .

График функции плотности нормального закона представляет собой колоколообразную кривую, принимающую наибольшее значение в точке и быстро убывающую при .

Докажем, что . Действительно

Используя несобственные двойные интегралы можно доказать, что

Этот интеграл называется интегралом Пуассона. Подставив этот результат в последнее выражение, получим .

Сложность непосредственного нахождения функции распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, и вероятности ее попадания на некоторый промежуток связана с тем, что интеграл от функции (15) не берется в элементарных функциях. Поэтому ее выражают через функцию Лапласа (интеграл вероятностей), для которой составлены таблицы.

Найдем функцию распределения случайной величины Х , распределенной по нормальному закону:

Так как (подынтегральная функция четная).

Таким образом,

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону,

Выясним как будет меняться нормальная кривая при изменении параметров a иσ. Если и меняется параметр a – центр симметрии распределения, то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя формы.

Если и меняется параметр – разброс значений случайной величины от центра симметрии распределения, то при увеличении уменьшается, но т.к. площадь под любой кривой распределения должна оставаться равной 1, то кривая становится более плоской, растягиваясь вдоль оси Ox. При уменьшении увеличивается и нормальная кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков.

В соответствии со свойством функции распределения, вероятность попадания значений нормальной случайной величины Х в интервал определяется формулой

4. Вероятность заданного отклонения для нормального распределения. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х , распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину (по абсолютной величине), равна

«Правило трех сигм»: Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , т.е. , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале :

Отклонение по абсолютной величине нормально распределенной СВ X больше, чем на , является событием практически невозможным, т.к. его вероятность весьма мала:

Т.к. кривая Гаусса симметрична относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии нормального распределения . Эксцесс нормального распределения Е =0 и крутость других распределений определяется по отношению к нормальному.

Замечание 2. Случайная величина, имеющая нормальное распределения с параметрами и , называется стандартной (нормированной) нормальной случайной величиной, а ее распределение – стандартным (нормированным) нормальным распределением.

Плотность и функция стандартного нормального распределения даются формулами:

Пример 4. Определить закон распределения случайной величины Х , если ее плотность распределения вероятностей задана функцией:

Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины Х .

Решение. Сравнивая данную функцию с функцией плотности вероятности для случайной величины, распределенной по нормальному закону, заключаем, что случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а = 1 и .и, следовательно, .

Пример 7. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание ее равно 175 см, а среднее квадратическое отклонение – 6 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см.

Решение. Найдем вероятность того, что рост мужчины будет принадлежать интервалу (180;170):

Тогда вероятность того, что рост мужчины не будет принадлежать интервалу (170; 180): . Вероятность того, что хотя бы один из 5 мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см равна: .

Закон относится к распределению непрерывной случайной величины X, принимающей лишь неотрицательные значения: Плотность вероятности этого распределения Этому закону следуют распределения периодов времени автоматического (безостановочного) хода многих станков или агрегатов автоматических линий,...
(ТЕОРИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ)

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет экспоненциальный закон распределения с параметром X, если ее плотность вероятности имеет вид Функция распределения вероятностей Вероятность отказа работы некоторого устройства за время х Для случайной величины X, распределенной по экспоненциальному...
(ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение неразрывно связано с биномиальным. Отличие состоит в том, что биномиальная случайная величина определяет вероятность т успехов в п испытаниях, а геометрическая - вероятность п испытаний до первого успеха (включая первый успех). Пусть производятся независимые...
(СТАТИСТИКА С ЭЛЕМЕНТАМИ ЭКОНОМЕТРИКИ)

Геометрическое распределение и его обобщения

Определение. Дискретная случайная величина X = т имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения 1, 2, ...» т... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями где Ряд геометрического распределения ...
(ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)

Эффективность распределения ресурсов в условиях конкурентного рынка

Рыночная экономика, работающая в условиях ограниченных ресурсов, должна так их распределить, чтобы максимизировать удовлетворение общественных потребностей. Этой же цели способствует лучшее использование ресурсов на каждом предприятии и в каждой отрасли. В этом случае общественное производство эффективно....
(Экономическая теория)

Распределение доходов и социальная политика

Рыночный механизм формирования доходов Отличительной чертой современной рыночной экономики является ее социальная направленность. Развитие экономики, с одной стороны, позволяет осуществлять более сложные социальные программы, а с другой - решение социальных проблем служит важным фактором роста...
(Экономическая теория)