العلاقات الثنائية وأمثلة حل الخصائص الخاصة بها. العلاقة الثنائية. أمثلة على العلاقات الثنائية. العلاقات الثنائية وخصائصها

لعلاقة النظام غير أنيق:

حاءعاشر - صحيح (رد الفعل)؛

هو واو x \u003d- (مضادات التكسية)؛

x y و z x x z- (عبورية).

الكثير من عاشردعا أمرا إذا أي عنصرين حاءو دهذه المجموعة قابلة للمقارنة، أي، إذا تم تنفيذ أحد الشروط لهم: حاء< أوه.= يو، دبليو< س.

تم استدعاء المجموعة المطلوبة tuple. في الحالة العامة، فإن Tuple هو سلسلة من العناصر، أي مجموعة العناصر التي تحتل كل عنصر مكان محدد تماما. تسمى عناصر المجموعة المطلوبة مكونات Tuple. يمكن أن تكون أمثلة القشرة تسلسل أمرا أمرا من التقدم الحسابي أو الهندسي، سلسلة من العمليات التكنولوجية في تصنيع منتج إلكتروني راديو، وهو تسلسل أمر من مراكز تثبيت لوحة الدوائر المطبوعة لإصلاح العناصر الهيكلية.

في كل هذه المجموعات، يتم تعريف مكان كل عنصر بالكامل ولا يمكن تغييرها بشكل تعسفي.

عند معالجة معلومات التصميم على أجهزة الكمبيوتر، غالبا ما تستخدم نسب الهيمنة. ويقولون ان xX.يهيمن على ux.بمعنى آخر. x \u003e\u003e ذ،إذا البند حاءفي شيء متفوق (له أولوية) عنصر دمن نفس المجموعة. على سبيل المثال، تحت حاءيمكنك فهم إحدى قوائم البيانات، والتي يجب استلامها للمعالجة أولا. عند تحليل العديد من هياكل الجرمية، ينبغي إعطاء بعضها الأولوية، لأن هذا التصميم لديه الأفضل، من وجهة نظرنا، خصائص من غيرها، I.E. حاءيهيمن على التصميم y.

خاصية الابتدائية لا تملك مساحة. في الواقع، إذا، على سبيل المثال، التصميم حاءلأي معلمات واحدة تفضل التصاميم ذ،والتصميم دوفقا لأي معلمات أخرى، تفضل تصاميم Z، ثم لا يتبع ذلك بعد أن التصاميم حاءيجب أن تعطى الأفضلية مقارنة بالتصميم g.

عرض مجموعات. أحد المفاهيم الأساسية لنظرية المجموعة هو مفهوم العرض. إذا تم تحديد مجموعتين غير فارغة عاشرو ذ،ثم القانون وفقا لكل عنصر X عاشروضعت وفقا للعنصر , دعا رسم الخرائط غير المباني عاشرفي Y.أو وظيفة محددة على X والقيمة المستقبلة على Y.

في الممارسة العملية، من الضروري التعامل مع التعيينات متعددة القيمة للمجموعات عاشرعلى المجموعة ذ،التي تحدد القانون وفقا لكل عنصر xX.وضعت في خط مع بعض مجموعة فرعية , تسمى عناصر الطريق. الحالات ممكنة عندما gh \u003d 0.

دع بعض المجموعة الفرعية فأس.لأي احد هكتارطريق حاءهي مجموعة فرعية . مزيج من جميع العناصر ذ،هي صور للجميع س فيالمطالبة وسيلة من المجموعة لكنوسنقوم بالدلالة هكتار.في هذه الحالة

العلاقة الثنائية.

دع B و B أن تكون مجموعات تعسفية. خذ عنصر واحد من كل مجموعة، ومن أ، ب من ب واكتبها مثل هذا: (أولا، عنصر المجموعة الأولى، ثم عنصر المجموعة الثانية - وهذا هو، نحن مهمون للنظام الذي يتم فيه اتخاذ العناصر). سيتم استدعاء مثل هذا الكائن زوج مرتب. متساوي سننظر في تلك الأزواج فقط التي تحتوي على عناصر بنفس الأرقام متساوية. = إذا a \u003d c و b \u003d d. من الواضح، إذا كان ب، ثم ≠ .

العمل الديكارتي مجموعات تعسفية A و B (تم تشديدها: AB) تسمى مجموعة تتكون من جميع البخار الممكنة الممكنة، والعنصر الأول الذي ينتمي إليه، والثاني ينتمي إلى B. بحكم التعريف: AB \u003d ( | AA و BB). من الواضح، إذا كان A ≠ B، ثم AB ≠ BA. Cartesovo أعمال مجموعة نفسها تسمى مرات شهادات الديكارتية أ (يدل على: N).

مثال 5. دع \u003d (x، y) و b \u003d (1، 2، 3).

أب \u003d ( , , , , , }.

با \u003d (<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

AA \u003d 2 \u003d ( , , , }.

BB \u003d B 2 \u003d (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

موقف ثنائي على مجموعة M، مجموعة متنوعة من بعض أزواج من عناصر مجموعة M. إذا كان R هو موقف ثنائي والبخار ينتمي إلى هذه العلاقة، ثم اكتب: ص أو س ص. من الواضح، ص م 2.

مثال 6. مجموعة (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) هو موقف ثنائي في المجموعة (1، 2، 3، 4، 5).

مثال 7. النسبة على تعدد الأعداد الصحيحة هو موقف ثنائي. هذه هي مجموعة لا حصر لها للأزواج حيث x ³ y، x و y أعداد صحيحة. هذه العلاقة تنتمي، على سبيل المثال، أزواج<5, 3>, <2, 2>, <324, -23> ولا تنتمي إلى أزواج<5, 7>, <-3, 2>.

مثال 8. نسبة المساواة في المجموعة A هي نسبة ثنائية: أنا \u003d | س î î). أنا دعا قطري مجموعات A.

نظرا لأن العلاقات الثنائية مجموعات، فهي تنطبق على عمليات الرابطة والتقاطع والإضافات والاختلافات.

تعريف المنطقة تسمى النسبة الثنائية R مجموعة D (R) \u003d (x | يوجد مثل هذا x ذلك xry). مجال القيم تسمى النسبة الثنائية R مجموعة R (R) \u003d (y | يوجد مثل هذا x ذلك xry).

علاقة معكوس إلى النسبة الثنائية R M 2، تسمى نسبة ثنائية R -1 \u003d ( | î ص). من الواضح، D (r -1) \u003d r (r)، r (r -1) \u003d d (r)، r - 1 m 2.

تكوين العلاقات الثنائية R 1 و R 2 المحددة على مجموعة M تسمى النسبة الثنائية R 2 O R 1 \u003d ( | هناك ص مثل هذا î ص 1 و ص 2). من الواضح أن R 2 o r 1 ay m 2.

مثال 9. دع النسبة الثنائية من R مجموعة على مجموعة M \u003d (A، B، C، D)، R \u003d ( , , , ). ثم D (r) \u003d (a، c)، r (r) \u003d (b، c، d)، r -1 \u003d ( , , , )، ص يا ص \u003d ( , , , )، r -1 o r \u003d ( , , , )، ص يا R -1 \u003d ( , , , , , , }.

دعنا يكون موقف ثنائي على مجموعة M. نسبة عاكسإذا كانت x r x لأي X î m. تسمى النسبة R متماثلإذا كان مع كل زوج أنه يحتوي على زوجين وبعد نسبة ص متعدإذا كان من حقيقة أن x r y و y r ap يتبع أن x r z. نسبة ص مضاداإذا لم يكن يحتوي على زوج في نفس الوقت و عناصر مختلفة X ¹ y ضبط م.

نشير إلى معايير أداء هذه الخصائص.

نسبة ثنائية ص على مجموعة M بسبب الانعكاس إذن وفقط إذا كنت أنا ص.

النسبة الثنائية ص متماثلة بعد ذلك وفقط إذا ص \u003d r -1.

النسبة الثنائية ص على مجموعة M هي مضادا إذا وفقط إذا ص ç r -1 \u003d i m.

النسبة الثنائية ص هي بعقل الحدود إذا وفقط إذا R O R R.

مثال 10. نسبة المثال 6 هو مضاد مضاد، لكنه ليس متناظرة، انعكاسية وتقدية. نسبة المثال 7 هي انعكاسية، مضاد للتكرار والتعادي، لكنها ليست متماثلة. النسبة الأولى لديها جميع العقارات الأربعة المعنية. النسب r -1 o r and r o r -1 هي متماثلة متعدية، ولكنها ليست مضادا وعدم الانعكاسية.

علاقة التكافؤ على مجموعة M ويسمى متعدية ومتناظرة وعرة على الموقف الثنائي م.

علاقة طلب جزئى على مجموعة M تسمى متعدية ومكاد مضاد وانعكس انعكاسية على نسبة م ثنائية

مثال 11. نسبة المثال 7 هي نسبة أمر جزئي. النسبة الأولى هي نسبة التكافؤ والنظام الجزئي. نسبة التوازي في مجموعة نسبة التكافؤ المباشر.

خصائص العلاقات:

1) الانعكاس.

2) التماثل؛

3) الابتدائية.

4) ربط.

موقف سلوك رديئة على المجموعة حاء اتصل الانعكاسية إذا كان عن كل عنصر من مجموعة حاء يمكننا أن نقول أنه فيما يتعلق رديئة مع نفسي: حاءRX. إذا كانت النسبة انعكاسية، فعندئذ في كل قمة هناك حلقة. والظهر، الرسم البياني، كل قمة يحتوي على حلقة، هو رسم بياني لعلاقة انعكاسية.

أمثلة على العلاقات المنفصلة هي ونسبة "متعددة" على مجموعة الأرقام الطبيعية (كل عدد من المتعدد نفسه)، وموقف شبه المثلثات (كل مثلث يشبه نفسه نفسه)، وموقف "المساواة "(كل عدد متساو) وغيرها.

هناك علاقات لا تملك ممتلكات الانعكاسية، على سبيل المثال، نسبة العمليات العموضية للقطاعات: أب، بكالوريوس. (ليس هناك شريحة واحدة يمكن قول أنه عمودي لنفسه) . لذلك، لا توجد حلقة في عمود هذه العلاقة.

ليس لديه خاصية الانعكاسية والنسبة "أطول" للقطاعات، "أكثر من 2" للأرقام الطبيعية، إلخ.

موقف سلوك رديئة على المجموعة حاءاتصل antireflemissive.إذا لأي عنصر من المجموعة حاءكاذبة دائما حاءRX: .

هناك تقييمات ليست انعكاسية أو antireflems. مثال على هذه العلاقة هو نقطة "نقطة" حاء نقطة متناظرة دمتعلق ب ل."، المحدد في مجموعة نقاط الطائرة. في الواقع، كل النقاط مباشرة ل. متماثلون أنفسنا ونقاط لا تكمن على مستقيم ل، أنفسنا ليسوا متماثلين.

موقف سلوك رديئةعلى المجموعة حاء اتصل متماثل, إذا كانت الحالة راضية: من أي عنصر حاء فيما يتعلق بالعنصر y.، يتبع ذلك العنصر y. تقع في اليمين رديئة مع العنصر x:xryyrx.

الرسم البياني لعلاقة متماثلة لديه الميزة التالية: جنبا إلى جنب مع كل سهم قادرا من حاء ل y.، يحتوي الرسم البياني على سهم قادما من y. ل حاء (الشكل 35).

أمثلة على العلاقات المتماثلة يمكن أن تكون ما يلي: نسبة "موازية" القطاعات، نسبة "العمليات العصرية" للقطاعات، نسبة "المساواة" للقطاعات، نسبة تشابه مثلثات المثلثات، نسبة "المساواة" الكسور، إلخ.

هناك علاقات ليس لديها خاصية التماثل.

في الواقع، إذا كان الجزء حاء قطع طويلة د، ثم قطع د لا يمكن أن يكون مقطع أطول حاءوبعد يحتوي الرسم البياني لهذه العلاقة على ميزة: يتم توجيه السهم الذي يربط القمم فقط في اتجاه واحد.

موقف سلوك رديئة يتصل مضاداإذا لأي عناصر حاء و y.من الحقيقة xry.اتبع خطأ yRX :: Xryyrx.

بالإضافة إلى العلاقة "لفترة أطول" في مجموعة القطاعات، هناك علاقات أخرى مضادة للاتصالات. على سبيل المثال، النسبة "أكثر" للأرقام (إذا حاء أكثر دT. د لا يمكن أن يكون أكثر حاء)، نسبة "المزيد حول" وغيرها.

هناك علاقات ليس لديها خاصية التماثل ولا ممتلكات مضادات التكسية.

نسبة ص على المجموعة حاءيتصل متعد إذا من حقيقة أن العنصر حاء تقع في اليمين رديئة مع العنصر ذ، والعنصر y. تقع في اليمين رديئة مع العنصر z.، يتبع ذلك العنصر حاء تقع في اليمين رديئة مع العنصر z.: xry. و yRZ.xRZ.

عدد العلاقات المتعدية مع كل زوج من الأسهم القادمة من حاء ل y. و من y. ل z.، يحتوي على سهم قادما من حاءل z.

علاقة الابتدائية لديها نسبة "أطول" في مجموعة القطاعات: إذا كان الجزء لكن قطع طويلة ب.، القطاع الثامن ب.قطع طويلة من عند، ثم قطع لكنقطع طويلة من عند. كما أن نسبة "المساواة" في مجموعة القطاعات لديها أيضا ممتلكات الابتدائية: (أ \u003d.ب، ب \u003d ج) (أ \u003d ج).

هناك علاقات لا تملك ملكية الابتدائية. مثل هذا الموقف هو، على سبيل المثال، موقف العمود العمودي: إذا كان الجزء لكن عمودي على القطاع ب.، وقطع ب. عمودي على القطاع من عند، ثم شرائح لكن و من عند غير عمودي!

هناك خاصية أخرى من العلاقة، والتي تسمى خاصية الترابط، والموقف الذي يمتلكها يسمى متصل.

موقف سلوك رديئة على المجموعة حاء اتصل مرتبطة إذا لأي عناصر حاء و y. حالة راضية عن هذه المجموعة: إذا حاء و y. مختلفة، ثم إما حاء تقع في اليمين رديئة مع العنصر y.أو عنصر y. تقع في اليمين رديئة مع العنصر حاءوبعد بمساعدة الأحرف التي يمكن كتابتها على النحو التالي: xY. Xry. أو yRX.

على سبيل المثال، تحتوي خاصية العلاقة على نسبة "المزيد" للأرقام الطبيعية: لأي أرقام مختلفة X و Y، يمكن القول x\u003e Y.إما ص\u003e س.

في عمود العلاقة المرتبطة، يتم توصيل أي رأيتين بواسطة سهم. بيان عادل وعكس.

هناك علاقات لا تملك ملكية الترابط. مثل هذا الموقف، على سبيل المثال، علاقة القسمة على مجموعة من الأرقام الطبيعية: يمكنك استدعاء هذه الأرقام X و y.لا شيء حاءليس عدد مقسم y.ولا رقم y. ليس عدد مقسم حاء(أعداد 17 و 11 , 3 و 10 إلخ.) .

النظر في عدة أمثلة. على المجموعة X \u003d (1، 2، 4، 8، 12) نسبة "عدد حاءرقم الطلاء y." نحن نبني الرسم البياني لهذه العلاقة وصياغة خصائصها.

نسبة المساواة بين الكسور تتحدث، إنها نسبة التكافؤ.

موقف سلوك رديئة على المجموعة حاء اتصل علاقة التكافؤ إذا كان لديه في وقت واحد خاصية الانعكاس والتماثل والعيادية.

تشمل أمثلة علاقات التكافؤ ما يلي: علاقة الأرقام الهندسية، نسبة التوازي المباشر (شريطة أن تعتبر الخطوط المستقيمة المتزامنة متوازية).

في نسبة "المساواة في الكسور"، كثير حاءاقتحم ثلاثة فرعية: ( ; ; }, {; } , (). هذه المجموعات الفرعية لا تتقاطع، ويتزامن جمعيتها مع الكثيرين حاءوبعد لدينا تقسيم العديد من الفصول الدراسية.

وبالتالي، إذا تم تحديد نسبة التكافؤ في مجموعة X، فإنها تنشئ تقسيم هذه المحدد على نشر مقايض بين مجموعات فرعية - معادلة.

لذلك، وجدنا أن علاقة المساواة في المجموعة
حاء\u003d (؛؛؛؛؛) يتوافق مع قسم هذه المجموعة على فئات التكافؤ، كل منها يتكون من الكسور المساواة.

يعد مبدأ تقسيم المجموعة على الفصول مع بعض علاقة التكافؤ مبدأ مهم للرياضيات. لماذا ا؟

أولا، ما يعادل ما يعادلها، قابلة للتبديل. لذلك، فإن عناصر فئة واحدة من التكافؤ قابلة للتبديل. لذلك، الكسر، الذي كان في صف واحد المعادلة (؛)، لا يمكن تمييزها من حيث علاقات المساواة والكسر قد يتم استبداله بآخر، على سبيل المثال . وهذا الاستبدال لن يغير نتيجة الحسابات.

ثانيا، نظرا لأن فئة التكافؤ هي العناصر التي لا يمكن تمييزها عن وجهة نظر بعض العلاقات، فإنها تعتقد أن فئة التكافؤ يحددها أي ممثل، أي عنصر تعسفى من الفصل. لذلك، يمكن تعيين أي فئة من الكسور المتساوية، مما يدل على أي جزء ينتمي إلى هذه الفئة. يسمح فئة التكافؤ لممثل واحد بدلا من جميع عناصر المجموعة لاستكشاف مجموعة من الممثلين من فصول التكافؤ. على سبيل المثال، فإن نسبة التكافؤ من "لها نفس العدد من القمم" المحددة على مجموعة المضلعات، تنشئ قسم هذه المجموعة على فئات المثلثات، رباعي الزوايا، الخماسي، إلخ. تعتبر الخصائص المتأصلة في بعض الصفات على أحد ممثلها.

ثالثا، يتم استخدام تقسيم المجموعة إلى الفصول باستخدام نسبة التكافؤ لإدخال مفاهيم جديدة. على سبيل المثال، يمكن تحديد مفهوم "شعاع المباشر" شائعا، والذي يحتوي على نبذ مباشر.

نوع آخر مهم من العلاقة هو علاقة النظام. النظر في المهمة. على المجموعة حاء={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) تم تعيين النسبة إلى "لها نفس البقايا عند تقسيمها 3 " هذا الموقف يخلق تقسيم المجموعة حاء إلى الفصول الدراسية: سوف يسقط المرء بأعداد واحدة، عند تقسيم أي 3 اتضح في البقية 0 (هذه هي أرقام 3, 6, 9 ). في الثانية - الرقم، عند تقسيم أي يوم 3 في بقايا اتضح 1 (هذه هي أرقام 4, 7, 10 ). في الثالث، ستقع جميع الأرقام، عند تقسيم أي 3 في بقايا اتضح 2 (هذه هي أرقام 5, 8 ). في الواقع، فإن المجموعات الناتجة لا تتقاطع ويتزامن جمعيتها مع المجموعة حاءوبعد لذلك، موقف "أن يكون لها نفس البقايا في تقسيم 3 "تعيين على مجموعة حاءهي علاقة التكافؤ.

خذ مثالا آخر: يمكن ترتيب مجموعة متنوعة من الطلاب الفئة حسب النمو أو العمر. لاحظ أن هذه النسبة لديها خصائص المضادات التقليدية والعيادية. أو الجميع يعرف ترتيب الحروف في الأبجدية. إنه يوفر العلاقة "متابعة".

موقف سلوك رديئةعلى المجموعة حاء اتصل علاقة أمر صارمإذا كان له في وقت واحد له خصائص مضادات التكسية والتعجيلات. على سبيل المثال، العلاقة " حاء< y.».

إذا كانت العلاقة لديها خصائص الانعكاس والمدرجين والتعجيلات، فسيكون ذلك موقف النظام غير الصارموبعد على سبيل المثال، العلاقة " حاءy.».

يمكن أن تكون أمثلة لعلاقة النظام: النسبة "أقل" في مجموعة الأرقام الطبيعية، النسبة "أقصر" في مجموعة القطاعات. إذا كانت نسبة الطلب لديها أيضا خاصية للارتباك، فإنها يقولون أنها كذلك ترتيب النظام الخطيوبعد على سبيل المثال، نسبة "أقل" في مجموعة الأرقام الطبيعية.

الكثير من حاء اتصل أمر إذا تم تحديد نسبة الطلب.

على سبيل المثال، المجموعة س \u003d{2, 8, 12, 32 ) يمكنك تبسيط مساعدة نسبة "أقل" (الشكل 41)، ويمكنك القيام بذلك بمساعدة علاقة "متعددة" (الشكل 42). ولكن، كونه موقفا من النظام، والعلاقة "أقل" و "المزيد من الطلاء" ترتيب العديد من الأرقام الطبيعية بطرق مختلفة. تسمح لك نسبة "أقل" بمقارنة رقمين من المجموعة حاءونسبة "متعددة" لا تملك مثل هذه الممتلكات. لذلك، بضعة أرقام 8 و 12 النسبة هي "متعددة" غير مرتبطة: من المستحيل أن أقول ذلك 8 حافة 12 أو 12 حافة 8.

لا ينبغي أن يعتقد أن جميع العلاقات مقسمة إلى علاقة التكافؤ وعلاقة العلاقة. هناك عدد كبير من العلاقات غير المستقلة أو علاقات النظام.

أساسيات الرياضيات المنفصلة.

مفهوم المجموعة. العلاقة بين مجموعات.

المجموعة هي مجموعة من الكائنات ذات الممتلكات المحددة مجتمعة في كامل واحد.

وتسمى مكونات الكائن عناصر مجموعات. لكي يسمى بعض مجموعات الكائنات مجموعة، يجب إجراء الشروط التالية:

يجب أن تكون هناك قاعدة تحددها أحادية لعما إذا كان العنصر ينتمي إلى هذه المجموعة.

يجب أن يكون هناك قاعدة يمكن تمييزها عن العناصر من بعضها البعض.

يشار إلى مجموعات بأحرف كبيرة، وعناصرها صغيرة. طرق إعداد مجموعات:

قائمة عناصر المجموعة. - للحصول على مجموعات محدودة.

· إشارة إلى الممتلكات المميزة .

مجموعة فارغة - دعا مجموعة لا تحتوي على أي عنصر (Ø).

يتم استدعاء مجموعتين متساوين، إذا كانت تتألف من نفس العناصر. وبعد a \u003d b.

الكثير من ب. دعا مجموعة فرعية من المجموعة لكن (، ثم وفقط عندما تكون جميع عناصر المجموعة ب. تنتمي إلى الإعداد أ..

على سبيل المثال: ، ب. =>

ملكية:

ملاحظة: عادة ما تنظر مجموعة فرعية من واحد وأن مجموعة E، والتي يتم استدعاؤها عالمي (ش). مجموعة عالمية تحتوي على جميع العناصر.

العمليات في مجموعات.

2.تداخل يتم استدعاء مجموعات 2 مجموعة جديدة تتكون من عناصر، تنتمي في وقت واحد إلى المجموعة الأولى والثانية.

NR: ،،

الممتلكات: الجمع بين العمليات والتقاطع.

· الاتصال الجنسي.

· الارتباط. ؛

· توزيع. ؛

العلاقات الثنائية وخصائصها.

اسمحوا ان لكن و في هذه مجموعة متنوعة من المشتقات الطبيعة، والنظر في زوج من العناصر المطلوبة. (أ، ب) a ε a، في ε فييمكنك مراعاة طلب "ENKI".

(1، و 2، و 3، ... و n)أين لكن 1 ε 1؛ لكن 2 ε و 2؛ ...؛ لكن ن. ε و n؛

كارتيزيا (مستقيم) 1، و 2، ...، ونيطلق عليه MN في، والتي تتكون من N ك K من الأنواع.

NR: م.= {1,2,3}

م × م \u003d م 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

مجموعات فرعية من أعمال ديكارتي دعا نسبة الدرجة ن. أو علاقة Enar. اذا كان ن.\u003d 2، ثم تنظر الثنائية علاقات. ماذا يقولون ذلك 1، و 2 هي في المصطلحات الثنائية رديئةمتي 1 ص 2.

موقف ثنائي على المجموعة م. دعا مجموعة فرعية من المنتج المباشر للمجموعة ن. بنفسها.

م × م \u003d م 2= {(أ، ب.)| أ، ب ε م) في المثال السابق، نسبة أقل في المجموعة م. إنه يؤدي إلى المجموعة التالية: ((1،2)؛ (1،3)؛ (2.3))

العلاقات الثنائية لها خصائص مختلفة بما في ذلك:

· الانعكاس: .

· antireflexivity (irreflexusion) :.

· تناظر:.

مضادات التنسيق :.

· عبورية :.

· عدم التماثل :.

أنواع العلاقات.

· نسبة التكافؤ؛

نسبة النظام.

تم استدعاء العلاقات التنكسية الفعلية النسبة من الأسلحة شبه.

الخامس تسمى العلاقات التناسلية الانعكاسية المتماثلة نسبة التكافؤ.

الخامس تسمى العلاقات التنفيذية المضادة للانعكست نسبة الطلب (الجزئي).

الخامس هي العلاقة المتعادة المضادة للتآخذ المضاد للإولادات تسمى نسبة ترتيب صارم.

من الواضح أن العلاقات الثنائية التعسفية للدراسة بعبارات عامة ليست مثيرة للاهتمام بشكل خاص، يمكننا القول القليل جدا عنهم. ومع ذلك، إذا تلبية العلاقات بعض الظروف الإضافية، يمكن إجراء المزيد من البيانات الفنية بالنسبة لهم. في هذا القسم، سننظر إلى بعض الخصائص الأساسية للعلاقات الثنائية.

• 1. يسمى الموقف الثنائي على مجموعة X الانعكاسية، إذا تم استيفاء الشرط A عن أي عنصر فأس:
  • (الفأس) * أ.

إذا تم تقديم النسبة باستخدام رسم بياني، فإن الانعكاس لهذه العلاقة يعني أنه لا توجد حلقة في كل قمة.

بالنسبة للعلاقة التي قدمتها مساعدة مصفوفة متشددة، تعادل انعكاسها حقيقة أنه على قطريات هذه المصفوفة الرئيسية (القادمة من الزاوية اليسرى العليا إلى اليمين الأدنى) فقط من الأحرف 1.

2. يطلق على الموقف الثنائي لدى X antireflems، إذا لم يكن أي من الفأس راضيا عن الحالة A * A:

تشير عن طريق I X النسبة الموجودة على مجموعة X تتكون من أزواج من النموذج (أ، أ)، حيث x:

أنا X \u003d ((A، A) | A X).

عادة ما تسمى نسبة التاسع عادة قطري من مجموعة X أو نسبة الهوية على X.

من الواضح أن الموقف الموجود على مجموعة X انعكاس إذا كان القطر الأول X هو مجموعة فرعية من المجموعة:

نسبة الاكتطفين، إذا لم يكن لدى قطري I X والنسبة B أي عنصر عام:

• 3. يطلق على الموقف الثنائي على مجموعة X متماثلة إذا كان من A * B يتبع B * A:
  • (أ، BX) (A * B B * A).

أمثلة العلاقات المتماثلة هي:

موقف العميدية على مجموعة الخطوط المستقيمة؛

نسبة اللمس على تعدد الدوائر؛

نسبة "أن تكون مماثلة" على مجموعة الأشخاص؛

النسبة "أن يكون لها نفس الجنس" على مجموعة الحيوانات.

النسبة "x brother y" على مجموعة جميع الناس ليست متماثلة. في الوقت نفسه، فإن النسبة "x brother y" على مجموعة الرجال متماثلون.

في رسم بياني لنسبة متناظرة لكل قوس من أعلى x إلى أعلى اليمن y هناك قوس من ذ إلى x. لذلك، يمكن تمثيل العلاقات المتماثلة من قبل الرسوم البيانية مع الأضلاع غير الموجهة. في هذه الحالة، يتم استبدال كل زوج من الحواف الموجهة XY و YX بحافة واحدة غير موجهة.

الشكل 8 يوضح الموقف

ب \u003d ((أ، ب)، (ب، أ)، (ب، ج)، (ج، ب)، (د، ج))

باستخدام الرسوم البيانية الموجهة وغير الموجهة نحو المنحى.

تين. ثمانية.

مصفوفة علاقة متناظرة متماثلة بالنسبة للقطر الرئيسي.

نظرية: جمعية وتقاطع أي عائلة من العلاقات المتماثلة هي العلاقات المتماثلة مرة أخرى.

تعريف. يطلق على الموقف الثنائي على مجموعة X مضادا، إذا لم يتم تنفيذ أي من عناصر مختلفة A و B A * B و B * A في وقت واحد:

(A، BX) (A * B & B * A \u003d B).

على سبيل المثال، فإن النسبة "الأسهم" الموجودة على مجموعة الأرقام الطبيعية هي مضاد للتأمر، لأنه يتبع من B و B A، أن \u003d ب. ومع ذلك، على تعددية الأعداد الصحيحة، فإن النسبة "الأسهم" ليست مضادا، منذ (-2) 2 و 2 (-2)، ولكن -22.

العلاقة "أعلاه"، "أثقل"، "كبار السن" المضادة للتكرار على مجموعة متنوعة من الناس. النسبة "أن تكون أخت" على مجموعة جميع الناس ليست مضاد للتدمير.

في الرسم البياني للعلاقة المضادة للأكسدة، يمكن توصيل اثنين من القمم المختلفة بأكثر من قوس واحد.

تعريف 3.5. تسمى النسبة الثنائية A على مجموعة X متعدية، إذا لأي عناصر ثلاثية A، B، C X من A * B و B * C، تتبع A * C:

(A، B، C X) (A * B & B * C A * C).

أمثلة على العلاقات متعدية تخدم:

النسبة "الأسهم" في مجموعة أرقام صالحة؛

النسبة "أكثر" في مجموعة الأرقام الصحيحة؛

نسبة "كبار السن" على مجموعة ألعاب الناس؛

النسبة "أن يكون لها نفس اللون" على مجموعة ألعاب الأطفال؛

ه) الموقف "أن تكون سليلا" على مجموعة متنوعة من الناس.

موقف إقطاعي "أن تكون فاسال" ليست متعدية. ويتم التأكيد على وجه الخصوص في بعض الكتب المدرسية: "بلدي vassal vassal ليس بلدي vasal."

لا تملك نسبة "تبدو متشابهة" في مجموعة الأشخاص إلى ملكية الابتدائية.

للحصول على علاقة تعسفية، يمكنك العثور على الحد الأدنى من العلاقات المتعدية مثل أن أب. مثل هذا الموقف هو الإغلاق المتعتقدين للعلاقة.

مثال 3.1. الإغلاق المتعتقدين للعلاقة الثنائية على مجموعة الأشخاص "أن يكونوا طفلا" هو نسبة "أن تكون سليلا".

نظرية عادلة.

نظرية 3.2. بالنسبة لأي علاقة، فإن الإغلاق المتعدود يساوي تقاطع كل العلاقات المتعدية، بما في ذلك مجموعة فرعية.

تعريف 3.6. يطلق على الموقف الثنائي الموجود على مجموعة X المتصلة إذا لم يتم إجراء أي عنصرين مختلفين A و B A * B أو B * A:

(A، B، C X) (AB A * B B * A).

مثال على علاقة متماسكة هو نسبة "المزيد" في مجموعة الأرقام الصحيحة. النسبة هي "مشاركة" في عدد من الأعداد الصحيحة غير متصلة.

4. ثابت العلاقات

في هذه الفقرة، سنرسم بعض الحالات عندما يتم حفظ بعض خصائص العلاقات عند أداء العمليات عليها.

نظرية 4.4. من أجل نتاج العلاقات المتماثلة، فإنه متناظرة، فمن الضروري واتخاذ كافية للعلاقة والتنقل.

نسبة التكافؤ

نوع مهم من العلاقة الثنائية هي نسبة التكافؤ.

التعريف 1. يسمى الموقف الثنائي على مجموعة X نسبة التكافؤ إلى X، إذا انعكاس، متماثل وعقل الحدود.

غالبا ما يتم الإشارة إلى نسبة التكافؤ بالرموز ~.

أمثلة نسبة التكافؤ تقدم:

نسبة الهوية I X \u003d ((A، A) | AX) على مجموعة غير فارغة X؛

نسبة التوازي في مجموعة الطائرة المباشرة؛

نسبة التشابه على مجموعة أشكال الطائرة؛

نسبة الإنفاق في مجموعة المعادلات؛

الموقف "للحصول على نفس المخلفات في التقسيم إلى رقم طبيعي ثابت م" على عدد من الأعداد الصحيحة. تسمى هذه النسبة في الرياضيات نسبة المقارنة عن طريق الوحدة M وتشير إلى AB (وزارة الدفاع M)؛

النسبة "تنتمي إلى نوع واحد" على مجموعة الحيوانات؛

نسبة "أن تكون الأقارب" في مجموعة الأشخاص؛

نسبة "أن تكون نمو واحد" في مجموعة متنوعة من الناس؛

الموقف "للعيش في نفس المنزل" على مجموعة متنوعة من الناس.

إن العلاقة "للعيش في شارع واحد"، "لتكون متشابهة" على مجموعة الناس ليست علاقات التكافؤ، لأنها لا تملك ملكية الابتدائية.

من الخصائص المذكورة أعلاه للعلاقات الثنائية، يتبع أن تقاطع علاقة التكافؤ هي نسبة التكافؤ.

فصول التكافؤ

مع موقف التكافؤ، فإن تقسيم المجموعة لكل فصول مرتبط ارتباطا وثيقا.

التعريف 1. نظام مجموعات فرعية غير فارغة

(م 1، م 2، ...)

يسمى M متعددة مشوهة تقسيم هذه المجموعة إذا

تسمى مجموعات M 1، M 2، ... فئات هذا القسم.

أمثلة للأطراف تخدم:

التحلل لجميع المضلعات إلى مجموعات في عدد القمم - مثلثات، رباعيانزلز، Pentagons، إلخ؛

تقسيم جميع المثلثات وفقا لخصائص الزوايا (الزاوية الحادة، مستطيلة، غبية)؛

قسم جميع المثلثات وفقا لخصائص الأطراف (تنوعا متساويا، متفاوض عليه)؛

قسم جميع المثلثات على فصول مثلثات مماثلة؛

بيع مجموعة متنوعة من جميع الطلاب في هذه الطبقة المدرسية.

يرجع الاستخدام الواسع للعلاقات التكافؤ في العلوم الحديثة إلى حقيقة أن أي علاقة معادلة تنفذ إعداد المجموعة التي يتم تحديدها، والفئات التي تم أخذها عادة لأشياء جديدة. وبعبارة أخرى، بمساعدة علاقات التكافؤ، يتم إنشاء كائنات جديدة ومفاهيم.

وبالتالي، على سبيل المثال، تنفجر نسبة برودة الإشعاع مجموعة جميع أشعة الطائرة أو المساحة على فئات الأشعة المغلفة. كل من هذه الفئات من الأشعة تسمى الاتجاه. وبالتالي، فإن المفهوم البديهي للإشراف يتلقى وصفا رياضيا دقيق ككل فئة تقسيم مجموعة من الأشعة من خلال نسبة التكافؤ.

حول هذه الأرقام تشير عادة إلى أن لديهم نفس الشكل. ولكن ما هو شكل شكل هندسي؟ بديهية أن هذا أمر عام يوحد هذه الأرقام. باستخدام نسبة التكافؤ، تمكن هذا المفهوم البديهي في دقيقة رياضية دقيقة. إن نسبة التشابه، كونها نسبة التكافؤ، تكسر الأرقام العديدة في فصول هذه الأرقام. يمكن استدعاء كل فئة من هذا القبيل النموذج. ثم التعبير "شخصين متطابقين له نفس النموذج" له معنى دقيق "شخصان مماثلان تنتمي إلى شكل واحد."

تم العثور على علاقات التكافؤ في كل مكان حيث مجموعات من مجموعات على الفصول الدراسية. كثيرا ما نستخدمها دون أن يلاحظها.

نعطي مثال ابتدائي. عندما يلعب الأطفال مع العديد من الألعاب متعددة الألوان (على سبيل المثال، مع كتل Dielesh) ويقرر تحلل الألعاب بالألوان، فإنها تتمتع بالعلاقة "للحصول على لون واحد." تلقى الأطفال نتيجة لفئات الأرقام أحادية اللون من قبل الأطفال كمفاهيم جديدة: الأحمر والأصفر والأزرق، إلخ.

وبالمثل، نتيجة لحل مشكلة تحلل الكتل في الشكل، يتلقى الأطفال الطبقات، كل منها ينظر إليه على أنه نموذج: مستطيل، جولة، مثلث، إلخ.

يتم وصف العلاقة بين علاقات التكافؤ المعرفة على مجموعة M، وتقسيمات مجموعة M إلى الفئات في نظرية اثنين التالية.

يحدد Theorem 1 أي تقسيم مجموعة مائية غير فارغة في الفصول الدراسية (يدفع) في نسبة المعادلات المحددة هذه بحيث:

جميع عناصرين من نفس الفصل فيما يتعلق؛

جميع عناصرين من الطبقات المختلفة ليست فيما يتعلق. شهادة. دع هناك بعض التقسيم من مجموعة غير فارغة M. تحديد النسبة الثنائية كما يلي: Xay (K) (XK & YK).

وهذا هو، فإن العنصرين x و y for set m مرتبطا بالنسبة التالية في ذلك وفقط إذا كان هناك مثل هذا الفئة ك، والتي تنتمي في وقت واحد العناصر x و y.

لذلك من الواضح أن وجود علاقة انعكاسية متماثلة بشكل متماثل. نحن نثبت تعزيز العلاقة. دع X * Y و X * Z يكون. ثم، بحكم التعريف، هناك فصول K 1 و K 2 مثل X و YK 1 و Y، ZK 2. نظرا لأن الطبقات المختلفة في الأقسام لا تملك عناصر مشتركة، ثم K 1 \u003d K 2، أي X، Z K 1. لذلك، X * Z، والتي كانت مطلوبة لإثبات.

نظرية 2. أي نسبة التكافؤ في مجموعة غير فارغة تولد قسم هذه المحدد على فئات التكافؤ بحيث تكون جميع أنواع عنصرين من نفس الفصل فيما يتعلق؛

جميع عناصرين من الطبقات المختلفة ليست فيما يتعلق.

شهادة. دع B أن تكون بعض نسبة التكافؤ في مجموعة M. كل عنصر X من وضعت في خط مجموعة فرعية [X] من مجموعة M التي تتكون من جميع العناصر Y، والتي تعتمد في عنصر X:

النظام الفرعي [X]، يشكل تقسيم مجموعة M. في الواقع، أولا، كل مجموعة فرعية [X] O، نظرا لعدم انعكاس النسبة X [X].

ثانيا، اثنين من مجموعات فرعية مختلفة [X] و [Y] ليس لديها عناصر مشتركة. بالجد من الآخر، دعنا نقول وجود عنصر Z هو مثل هذا z [x] و z [y]. ثم zax و zay. لذلك، لأي عنصر A [X] من A * X و Z * X و Z * Y، بسبب التماثل والعيادية، يتبع A * Y، أي [Y]. وبالتالي، [X] [Y]. وبالمثل، نحصل على ذلك [ذ] [X]. الادراجين الذين حصلوا على الترفيه عن المساواة [X] \u003d [Y]، الذي يتناقض مع تولي عدم تطابق الخدمات الفرعية [X] و [Y]. وهكذا، [X] Y] \u003d O.

ثالثا، يتزامن دمج جميع المجموعات الفرعية [x] مع مجموعة M، لأي عنصر XM، يتم تنفيذ الشرط x [x].

لذلك، يشكل نظام المجموعات الفرعية [X]، انقسام المجموعة M. من السهل أن يظهر أن التقسيم المبني يرضي شروط النظرية. إن تقسيم مجموعة M، التي تحتوي على الخصائص المحددة في Theorem، تسمى مجموعة من مجموعة M مع الاحترام ومخصص M / B.