البندول الرياضيهي نقطة مادية معلقة على خيط عديم الوزن وغير قابل للتمدد يقع في مجال الجاذبية الأرضية. البندول الرياضي هو نموذج مثالي يصف بشكل صحيح البندول الحقيقي فقط في ظل ظروف معينة. يمكن اعتبار البندول الحقيقي رياضيًا إذا كان طول الخيط أكبر بكثير من أبعاد الجسم المعلق منه ، وكان وزن الخيط ضئيلًا مقارنةً بكتلة الجسم ، وكانت تشوهات الخيط صغيرة جدًا أنه يمكن إهمالها تمامًا.

في هذه الحالة ، يتكون النظام التذبذب من خيط ، وهو جسم متصل به والأرض ، والتي بدونها لا يمكن لهذا النظام أن يعمل كبندول.

أين أ X – التسريع، ز - تسارع الجاذبية، X- عوض، لهو طول خيط البندول.

هذه المعادلة تسمى معادلة التذبذبات الحرة للبندول الرياضي.يصف التقلبات المدروسة بشكل صحيح فقط عند استيفاء الافتراضات التالية:

2) تؤخذ في الاعتبار فقط التذبذبات الصغيرة للبندول بزاوية تأرجح صغيرة.

يتم وصف الاهتزازات الحرة لأي أنظمة في جميع الحالات بواسطة معادلات مماثلة.

أسباب التذبذب الحر للبندول الرياضي هي:

1. العمل على البندول لقوة التوتر وقوة الجاذبية ، مما يمنع إزاحته من وضع التوازن ويجبره على النزول مرة أخرى.

2. القصور الذاتي للبندول ، والذي بسببه ، مع الحفاظ على سرعته ، لا يتوقف في وضع التوازن ، بل يمر عبره أكثر.

فترة التذبذبات الحرة للبندول الرياضي

لا تعتمد فترة التذبذبات الحرة للبندول الرياضي على كتلته ، ولكن يتم تحديدها فقط من خلال طول الخيط وتسارع الجاذبية في المكان الذي يوجد فيه البندول.

تحويل الطاقة بالاهتزازات التوافقية

أثناء التذبذبات التوافقية للبندول الزنبركي ، تتحول الطاقة الكامنة للجسم المشوه بشكل مرن إلى طاقته الحركية ، حيث ك – معامل المرونة X -معامل إزاحة البندول من موضع التوازن ، مهي كتلة البندول ، الخامسهي سرعته. وفقًا لمعادلة الاهتزاز التوافقي:

, .

إجمالي طاقة البندول الربيعي:

.

إجمالي الطاقة للبندول الرياضي:

في حالة البندول الرياضي

تحدث تحويلات الطاقة أثناء تذبذبات البندول الربيعي وفقًا لقانون حفظ الطاقة الميكانيكية ( ). عندما يتحرك البندول لأسفل أو لأعلى من وضع التوازن ، تزداد طاقته الكامنة ، بينما تقل طاقته الحركية. عندما يمر البندول من وضع التوازن ( X= 0) ، طاقته الكامنة تساوي صفرًا ، ولطاقة الحركة للبندول أكبر قيمة تساوي طاقته الإجمالية.

وهكذا ، في عملية التذبذب الحر للبندول ، تتحول طاقته الكامنة إلى حركية ، وحركية إلى جهد ، ثم تعود إلى حركية ، إلخ. لكن الطاقة الميكانيكية الكلية تظل دون تغيير.

الاهتزازات القسرية. صدى.

تسمى التذبذبات التي تحدث تحت تأثير قوة دورية خارجية تردد قسري... قوة دورية خارجية ، تسمى القوة ، تضفي طاقة إضافية على النظام التذبذب ، والذي يستخدم لتعويض فقد الطاقة بسبب الاحتكاك. إذا تغيرت القوة الدافعة بمرور الوقت وفقًا لقانون الجيب أو قانون جيب التمام ، فإن التذبذبات القسرية ستكون متناسقة وغير مخمدة.

على عكس التذبذبات الحرة ، عندما يتلقى النظام الطاقة مرة واحدة فقط (عند إزالة النظام من حالة التوازن) ، في حالة التذبذبات القسرية ، يمتص النظام هذه الطاقة باستمرار من مصدر قوة دورية خارجية. تعوض هذه الطاقة الخسائر التي يتم إنفاقها على التغلب على الاحتكاك ، وبالتالي فإن الطاقة الإجمالية للنظام التذبذب لا تتغير.

تردد الاهتزازات القسرية يساوي تواتر القوة الدافعة... في حالة تواتر القوة الدافعة υ يتزامن مع التردد الطبيعي للنظام المتذبذب υ 0 , هناك زيادة حادة في سعة التذبذبات القسرية - صدى. ينشأ الرنين بسبب حقيقة أنه عندما υ = υ 0 قوة خارجية ، تعمل في الوقت المناسب مع التذبذبات الحرة ، يتم توجيهها دائمًا بشكل مشترك مع سرعة الجسم المتذبذب وتقوم بعمل إيجابي: تزداد طاقة الجسم المتأرجح ، ويصبح اتساع اهتزازاته كبيرًا. الرسم البياني لاعتماد سعة الاهتزازات القسرية أ تي على تواتر القوة الدافعة υ الموضح في الشكل يسمى هذا الرسم البياني منحنى الرنين:

تلعب ظاهرة الرنين دورًا مهمًا في عدد من العمليات الطبيعية والعلمية والصناعية. على سبيل المثال ، من الضروري مراعاة ظاهرة الرنين عند تصميم الجسور والمباني وغيرها من الهياكل التي تتعرض للاهتزاز تحت الحمل ، وإلا ، في ظل ظروف معينة ، قد يتم تدمير هذه الهياكل.

بندول رياضي يسمى جسمًا صغير الحجم معلقًا على خيط رفيع غير مرن ، تكون كتلته ضئيلة مقارنةً بكتلة الجسم. في وضع التوازن ، عندما يتدلى البندول على طول خط راسيا ، يتم موازنة قوة الجاذبية بواسطة قوة شد الخيط ، وعندما ينحرف البندول عن موضع التوازن بزاوية معينة φ ، فإن المماس لقوة الجاذبية يبدو F τ = - ملغالخطيئة φ (الشكل 2.3.1). تعني علامة الطرح في هذه الصيغة أن المماس موجه في الاتجاه المعاكس لانحراف البندول.

إذا أشرنا بواسطة xالإزاحة الخطية للبندول من موضع التوازن على طول قوس دائرة نصف قطرها ل، فإن إزاحته الزاوية ستكون مساوية لـ φ = x / ل... يعطي قانون نيوتن الثاني ، المكتوب لإسقاطات متجهات التسارع والقوة على اتجاه المماس ، ما يلي:

تظهر هذه العلاقة أن البندول الرياضي معقد غير خطيالنظام ، لأن القوة التي تميل إلى إعادة البندول إلى وضع التوازن تتناسب مع الإزاحة x، أ

فقط في حالةتقلبات صغيرة عندما تقريبايمكن استبداله بـالبندول الرياضي هو مذبذب توافقي، أي نظام قادر على أداء التذبذبات التوافقية. في الممارسة العملية ، هذا التقريب صالح للزوايا التي تتراوح بين 15 و 20 درجة ؛ في هذه الحالة ، تختلف القيمة عن 2٪ كحد أقصى. لا تكون اهتزازات البندول عند السعات الكبيرة متناسقة.

بالنسبة للتذبذبات الصغيرة للبندول الرياضي ، فإن قانون نيوتن الثاني مكتوب بالشكل

وبالتالي ، فإن التسارع العرضي أτ من البندول يتناسب مع إزاحته xمأخوذة مع الإشارة المعاكسة. هذه هي بالضبط الحالة التي يكون فيها النظام مذبذبًا توافقيًا. كقاعدة عامة لجميع الأنظمة القادرة على أداء التذبذبات التوافقية المجانية ، فإن معامل معامل التناسب بين التسارع والإزاحة من موضع التوازن يساوي مربع التردد الزاوي:

تعبر هذه الصيغة عن التردد الطبيعي للتذبذبات الصغيرة للبندول الرياضي .

لذلك،

أي جسم مزروع على المحور الأفقي للدوران قادر على أداء اهتزازات حرة في مجال الجاذبية ، وبالتالي فهو أيضًا بندول. عادة ما يسمى هذا البندول جسدي - بدني (الشكل 2.3.2). إنه يختلف عن الرياضي فقط في توزيع الجماهير. مركز الكتلة في وضع توازن مستقر جيقع البندول الفيزيائي أسفل محور الدوران O على المحور الرأسي المار بالمحور. عندما ينحرف البندول بزاوية φ ، تظهر لحظة جاذبية تميل إلى إعادة البندول إلى موضع التوازن:

م = -(ملغالخطيئة φ) د.

هنا د- المسافة بين محور الدوران ومركز الكتلة ج.

الشكل 2.3.2. البندول الفيزيائي

تعني علامة الطرح في هذه الصيغة ، كالعادة ، أن لحظة القوى تميل إلى قلب البندول في الاتجاه المعاكس لانحرافه عن موضع التوازن. كما في حالة البندول الرياضي ، لحظة العودة ممتناسب. هذا يعني أنه فقط في الزوايا الصغيرة ، عندما يكون البندول المادي قادرًا على أداء التذبذبات التوافقية الحرة. في حالة التقلبات الصغيرة

وقانون نيوتن الثاني للبندول الفيزيائي يأخذ الشكل

حيث ε هي التسارع الزاوي للبندول ، أنا- لحظة القصور الذاتي للبندول بالنسبة لمحور الدوران ا... معامل معامل التناسب بين التسارع والإزاحة يساوي مربع التردد الزاوي:

هنا ω 0 - التردد الطبيعي للتذبذبات الصغيرة للبندول المادي .

لذلك،

اشتقاق أكثر صرامة لصيغ لـ ω 0 و تييمكن القيام به إذا أخذنا في الاعتبار العلاقة الرياضية بين التسارع الزاوي والإزاحة الزاوية: التسارع الزاوي ε هو المشتق الثاني للإزاحة الزاوية φ فيما يتعلق بالوقت:

لذلك ، يمكن كتابة المعادلة التي تعبر عن قانون نيوتن الثاني للبندول المادي بالصيغة

هذه هي معادلة الاهتزازات التوافقية الحرة.

المعامل في هذه المعادلة له معنى مربع التردد الدائري للتذبذبات التوافقية الحرة للبندول المادي.

من خلال نظرية النقل المتوازي لمحور الدوران (نظرية شتاينر) ، لحظة القصور الذاتي أنايمكن التعبير عنها من حيث لحظة القصور الذاتي أناجحول المحور الذي يمر عبر مركز الكتلة جالبندول و الموازي لمحور الدوران:

أخيرًا ، بالنسبة للتردد الدائري ω 0 للتذبذبات الحرة للبندول المادي ، يتم الحصول على التعبير التالي:

معcrinshotبحثحول التعريفيذهبالكواكب

10.4. قانون الحفاظ على الطاقة للاهتزازات التوافقية

10.4.1. حفظ الطاقة في الاهتزازات التوافقية الميكانيكية

حفظ الطاقة أثناء تذبذبات البندول الرياضي

مع الاهتزازات التوافقية ، يتم الحفاظ على الطاقة الميكانيكية الكلية للنظام (تظل ثابتة).

إجمالي الطاقة الميكانيكية للبندول الرياضي

E = W ك + W ع ،

حيث W k - الطاقة الحركية ، W k = = mv 2/2 ؛ W p - الطاقة الكامنة ، W p = mgh ؛ م هي كتلة الشحنة ؛ ز - وحدة تسريع السقوط الحر ؛ ت - معامل سرعة الشحن ؛ ح - ارتفاع رفع الحمل فوق وضع التوازن (الشكل 10.15).

مع الاهتزازات التوافقية ، يمر البندول الرياضي عبر عدد من الحالات المتتالية ، لذلك يُنصح بالنظر إلى طاقة البندول الرياضي في ثلاثة مواضع (انظر الشكل 10.15):

أرز. 10.15

1 في وضع التوازن

الطاقة الكامنة صفر ؛ تتطابق الطاقة الإجمالية مع الطاقة الحركية القصوى:

E = W ك كحد أقصى ؛

2 بوصة الموقف المتطرف(2) يتم رفع الجسم فوق المستوى الأولي إلى أقصى ارتفاع h كحد أقصى ، وبالتالي فإن الطاقة الكامنة هي أيضًا الحد الأقصى:

W p max = m g h max ؛

الطاقة الحركية هي صفر ؛ إجمالي الطاقة يتطابق مع الطاقة الكامنة القصوى:

E = W p max ؛

3) في وسيط(3) الجسم له سرعة فورية v ويتم رفعه فوق المستوى الأولي إلى ارتفاع معين h ، وبالتالي فإن إجمالي الطاقة هو المجموع

ه = م ع 2 2 + م ز ح ،

حيث mv 2/2 - الطاقة الحركية ؛ mgh - الطاقة الكامنة م هي كتلة الشحنة ؛ ز - وحدة تسريع السقوط الحر ؛ ت - معامل سرعة الشحن ؛ h هو ارتفاع رفع الحمولة فوق موضع التوازن.

مع التذبذبات التوافقية للبندول الرياضي ، يتم الحفاظ على الطاقة الميكانيكية الكلية:

E = const.

تنعكس قيم الطاقة الإجمالية للبندول الرياضي في مواضعه الثلاثة في الجدول. 10.1.

№	موضع	دبليو ص	دبليو ك	E = W p + W k
1	حالة توازن	0	م v ماكس 2/2	م v ماكس 2/2
2	أقصى	mgh ماكس	0	mgh ماكس
3	متوسط ​​(فوري)	mgh	م 2/2	م 2/2 + ملي غ

قيم إجمالي الطاقة الميكانيكية المعروضة في العمود الأخير من الجدول. 10.1 ، لها قيم متساوية لأي موضع في البندول ، وهو تعبير رياضي:

م v ماكس 2 2 = م ز ح كحد أقصى ؛

م v ماكس 2 2 = م v 2 2 + م ز ح ؛

م ز ح ماكس = م ع 2 2 + م ز س ،

حيث م هي كتلة الشحنة ؛ ز - وحدة تسريع السقوط الحر ؛ v هو معامل السرعة اللحظية للحمل في الموضع 3 ؛ ح - ارتفاع رفع الحمل فوق وضع التوازن في الموضع 3 ؛ v max - معامل السرعة القصوى للشحن في الموضع 1 ؛ h max هي أقصى ارتفاع رفع للحمل فوق موضع التوازن في الموضع 2.

زاوية انحراف الخيطالبندول الرياضي من العمودي (الشكل 10.15) يتحدد بالتعبير

كوس α = l - h l = 1 - h l ،

أين l طول الخيط ؛ h هو ارتفاع رفع الحمولة فوق موضع التوازن.

أقصى زاويةيتم تحديد الانحراف α max بواسطة أقصى ارتفاع رفع للحمل فوق موضع التوازن h كحد أقصى:

cos α max = 1 - h max l.

مثال 11. فترة التذبذبات الصغيرة للبندول الرياضي هي 0.9 ثانية. في أي زاوية من الرأسي سينحرف الخيط إذا كانت الكرة تتحرك بسرعة 1.5 m / s عند المرور عبر موضع التوازن؟ لا يوجد احتكاك في النظام.

المحلول . يوضح الشكل موقعين للبندول الرياضي:

• موضع التوازن 1 (يتميز بالسرعة القصوى للكرة v كحد أقصى) ؛
• الموضع المتطرف 2 (يتميز بالارتفاع الأقصى لارتفاع الكرة كحد أقصى فوق موضع التوازن).

يتم تحديد الزاوية المطلوبة من خلال المساواة

cos α max = l - h max l = 1 - h max l ،

أين l طول خيط البندول.

نجد أقصى ارتفاع لارتفاع كرة البندول فوق موضع التوازن من قانون حفظ الطاقة الميكانيكية الكلية.

يتم تحديد الطاقة الإجمالية للبندول في وضع التوازن وفي الوضع المتطرف بواسطة الصيغ التالية:

• في وضع التوازن -

ه 1 = م ع ماكس 2 2 ،

أين م هي كتلة كرة البندول ؛ v max هو معامل سرعة الكرة في وضع التوازن (السرعة القصوى) ، v max = 1.5 m / s ؛

• في موقف متطرف -

E 2 = mgh max ،

حيث g هو معامل تسارع الجاذبية ؛ h max هو أقصى ارتفاع لارتفاع الكرة فوق موضع التوازن.

قانون حفظ الطاقة الميكانيكية الكلية:

م v ماكس 2 2 = م ز س كحد أقصى.

دعونا نعبر عن الارتفاع الأقصى للكرة فوق موضع التوازن:

ح ماكس = ع ماكس 2 2 جم.

يتم تحديد طول الخيط من معادلة فترة التذبذب للبندول الرياضي

T = 2 π لتر ج ،

أولئك. طول الفقرة

ل = تي 2 جم 4 2.

عوّض h max و l في التعبير عن جيب تمام الزاوية المرغوبة:

cos α max = 1 - 2 π 2 v كحد أقصى 2 جم 2 T 2

وسنقوم بالحساب مع مراعاة المساواة التقريبية π 2 = 10:

كوس α ماكس = 1-2 10 (1.5) 2 10 2 ⋅ (0.9) 2 = 0.5.

ويترتب على ذلك أن أقصى زاوية انحراف تبلغ 60 درجة.

بالمعنى الدقيق للكلمة ، بزاوية 60 درجة ، فإن اهتزازات الكرة ليست صغيرة ومن غير المناسب استخدام الصيغة القياسية لفترة التذبذب للبندول الرياضي.

الحفاظ على الطاقة أثناء تذبذبات البندول الربيعي

إجمالي الطاقة الميكانيكية للبندول الربيعييتكون من الطاقة الحركية والطاقة الكامنة:

E = W ك + W ع ،

حيث W k - الطاقة الحركية ، W k = mv 2/2 ؛ W p - الطاقة الكامنة ، W p = k (Δx) 2/2 ؛ م هي كتلة الشحنة ؛ ت - معامل سرعة الشحن ؛ ك - معامل الصلابة (مرونة) الربيع ؛ Δx - تشوه (توتر أو ضغط) الربيع (الشكل 10.16).

في النظام الدولي للوحدات ، تُقاس طاقة نظام التذبذب الميكانيكي بالجول (1 جول).

مع الاهتزازات التوافقية ، يمر البندول الزنبركي عبر عدد من الحالات المتتالية ، لذلك يُنصح بالنظر إلى طاقة البندول الزنبركي في ثلاثة أوضاع (انظر الشكل 10.16):

1 في وضع التوازن(1) سرعة الجسم لها قيمة قصوى v كحد أقصى ، وبالتالي فإن الطاقة الحركية هي أيضًا الحد الأقصى:

W k max = m v max 2 2 ؛

الطاقة الكامنة للربيع صفر ، لأن الربيع غير مشوه ؛ تتطابق الطاقة الكلية مع الطاقة الحركية القصوى:

E = W ك كحد أقصى ؛

2 بوصة الموقف المتطرف(2) الربيع به أقصى تشوه (Δx max) ، وبالتالي فإن الطاقة الكامنة لها أيضًا قيمة قصوى:

W p max = k (Δ x max) 2 2 ؛

الطاقة الحركية للجسم هي صفر ؛ إجمالي الطاقة يتطابق مع الطاقة الكامنة القصوى:

E = W p max ؛

3) في وسيط(3) للجسم سرعة لحظية v ، يكون للربيع في هذه اللحظة بعض التشوه (Δx) ، وبالتالي فإن إجمالي الطاقة هو المجموع

ه = م ع 2 2 + ك (Δ س) 2 2 ،

حيث mv 2/2 - الطاقة الحركية ؛ ك (Δx) 2/2 - الطاقة الكامنة ؛ م هي كتلة الشحنة ؛ ت - معامل سرعة الشحن ؛ ك - معامل الصلابة (مرونة) الربيع ؛ Δx - تشوه (توتر أو ضغط) الربيع.

عندما يتم إزاحة حمل البندول الزنبركي من موضع التوازن ، يتم التصرف بناءً عليه استعادة القوة، يتم تحديد إسقاطها على اتجاه حركة البندول بواسطة الصيغة

و x = −kx ،

حيث x هي إزاحة وزن البندول الزنبركي من موضع التوازن ، x = ∆x ، ∆x هي تشوه الزنبرك ؛ ك - معامل الصلابة (المرونة) لزنبرك البندول.

مع التذبذبات التوافقية للبندول الزنبركي ، يتم الحفاظ على الطاقة الميكانيكية الكلية:

E = const.

يتم عرض قيم الطاقة الإجمالية للبندول الربيعي في مواضعه الثلاثة في الجدول. 10.2.

№	موضع	دبليو ص	دبليو ك	E = W p + W k
1	حالة توازن	0	م v ماكس 2/2	م v ماكس 2/2
2	أقصى	ك (Δx حد أقصى) 2/2	0	ك (Δx حد أقصى) 2/2
3	متوسط ​​(فوري)	ك (Δx) 2/2	م 2/2	م 2/2 + ك (Δx) 2/2

قيم إجمالي الطاقة الميكانيكية المعروضة في العمود الأخير من الجدول لها قيم متساوية لأي موضع من البندول ، وهو تعبير رياضي إجمالي قانون الحفاظ على الطاقة الميكانيكية:

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2 ؛

م ع ماكس 2 2 = م ع 2 2 + ك (Δ س) 2 2 ؛

ك (Δ س ماكس) 2 2 = م ع 2 2 + ك (Δ س) 2 2 ،

حيث م هي كتلة الشحنة ؛ v هو معامل السرعة اللحظية للحمل في الموضع 3 ؛ Δx - تشوه (توتر أو ضغط) الزنبرك في الموضع 3 ؛ v max - معامل السرعة القصوى للشحن في الموضع 1 ؛ Δx max - أقصى تشوه (توتر أو ضغط) للزنبرك في الموضع 2.

مثال 12. البندول الزنبركي يؤدي التذبذبات التوافقية. كم مرة تكون طاقتها الحركية أكبر من الإمكانات في الوقت الذي تكون فيه إزاحة الجسم من موضع التوازن ربع السعة؟

المحلول . لنقارن بين موقعي البندول الزنبركي:

• الموضع المتطرف 1 (يتميز بالإزاحة القصوى لحمل البندول من موضع التوازن x كحد أقصى) ؛
• موضع وسيط 2 (يتميز بقيم وسيطة للإزاحة من موضع التوازن x والسرعة v →).

يتم تحديد الطاقة الإجمالية للبندول في المواضع القصوى والمتوسطة من خلال الصيغ التالية:

• في موقف متطرف -

ه 1 = ك (Δ س ماكس) 2 2 ،

حيث k هي معامل صلابة (مرونة) الزنبرك ؛ ∆x max - سعة الاهتزاز (أقصى إزاحة من موضع التوازن) ، ∆x max = A ؛

• في موقع وسيط -

ه 2 = ك (Δ س) 2 2 + م ع 2 2 ،

حيث م هي كتلة حمولة البندول ؛ ∆x - إزاحة الحمل من وضع التوازن ، ∆x = A / 4.

قانون الحفاظ على الطاقة الميكانيكية الكلي للبندول الربيعي هو كما يلي:

ل (Δ س ماكس) 2 2 = ك (Δ س) 2 2 + م ع 2 2.

نقسم جانبي المساواة المكتوبة بواسطة k (x) 2/2:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p،

حيث W k هي الطاقة الحركية للبندول في موضع وسيط ، W k = mv 2/2 ؛ W p هي الطاقة الكامنة للبندول في موضع وسيط ، W p = k (∆x) 2/2.

دعونا نعبر عن نسبة الطاقة المطلوبة من المعادلة:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2-1

وحساب قيمتها:

W k W p = (A / 4) 2-1 = 16-1 = 15.

في الوقت المحدد ، تبلغ نسبة الطاقات الحركية والإمكانات للبندول 15.

إذا انحرف الجسم ، المرتبط بالزنبرك (الشكل 4) ، عن موضع التوازن بمسافة A ، على سبيل المثال ، إلى اليسار ، فعندئذٍ ، بعد أن مر عبر موضع التوازن ، سينحرف إلى اليمين. هذا يتبع من قانون الحفاظ على الطاقة.

الطاقة الكامنة لنابض مضغوط أو ممتد هي

حيث k هي صلابة الزنبرك و x هي استطالة. في أقصى الموضع الأيسر ، استطالة الزنبرك x = - A ، بالتالي ، الطاقة الكامنة

الطاقة الحركية في هذه اللحظة تساوي صفرًا ، لأن السرعة تساوي صفرًا. هذا يعني أن الطاقة الكامنة هي إجمالي الطاقة الميكانيكية للنظام في هذه اللحظة. إذا اتفقنا على أن قوة الاحتكاك تساوي صفرًا ، وأن القوى الأخرى متوازنة ، فيمكن اعتبار نظامنا مغلقًا ولا يمكن أن تتغير طاقته الكلية أثناء الحركة. عندما يكون الجسم في حركته في أقصى موضع يمين (س = أ) ، فإن طاقته الحركية ستساوي مرة أخرى صفرًا والطاقة الكلية مرة أخرى تساوي الطاقة الكامنة. والطاقة الكلية لا تتغير. ومن ثم ، فإنه يساوي مرة أخرى

هذا يعني أن الجسم سينحرف جهة اليمين بمسافة تساوي أ.

في وضع التوازن ، على العكس من ذلك ، الطاقة الكامنة هي صفر ، لأن الزنبرك غير مشوه ، x = 0. في هذا الوضع ، الطاقة الكلية للجسم تساوي طاقته الحركية

حيث m كتلة الجسم وسرعته (الحد الأقصى في هذه اللحظة). لكن هذه الطاقة الحركية يجب أن يكون لها أيضًا قيمة متساوية. وبالتالي ، أثناء الحركة التذبذبية ، يحدث تحويل الطاقة الحركية إلى طاقة كامنة والعكس صحيح. في أي نقطة بين مواضع التوازن وأقصى انحراف ، يمتلك الجسم طاقة حركية وإمكانات ، ولكن مجموعهما ، أي إجمالي الطاقة في أي وضع من الجسم يساوي. إجمالي الطاقة الميكانيكية W لجسم متأرجح يتناسب مع مربع السعة وتذبذباته

بندول. البندول الرياضي

البندول هو أي جسم معلق بحيث يكون مركز ثقله تحت نقطة التعليق. هذا يعني أن الحمل المعلق على حبل هو نظام تذبذب مشابه لبندول ساعة الحائط. أي نظام قادر على الاهتزازات الحرة له وضع توازن مستقر. بالنسبة إلى البندول ، هذا هو الموضع الذي يكون فيه مركز الجاذبية على الوضع الرأسي أسفل نقطة التعليق. إذا أخرجنا البندول من هذا الموضع أو دفعناه ، فسوف يبدأ في التذبذب ، وينحرف في اتجاه واحد أو آخر عن وضع التوازن. نحن نعلم أن أكبر انحراف عن موضع التوازن ، الذي يصل إليه البندول ، يسمى اتساع التذبذبات. يتم تحديد السعة من خلال الانحراف الأولي أو الدفع الذي تم به تشغيل البندول. هذه الخاصية - اعتماد السعة على الظروف في بداية الحركة - هي خاصية ليس فقط للتذبذبات الحرة للبندول ، ولكن بشكل عام للتذبذبات الحرة للعديد من الأنظمة التذبذبية.

تعتمد فترة اهتزاز البندول الفيزيائي على العديد من الظروف: على حجم وشكل الجسم ، وعلى المسافة بين مركز الجاذبية ونقطة التعليق وعلى توزيع وزن الجسم بالنسبة لهذه النقطة ؛ لذلك ، فإن حساب فترة الجسم المعلق مهمة صعبة إلى حد ما. الوضع أبسط بالنسبة للبندول الرياضي. البندول الرياضي هو وزن معلق من خيط رفيع ، أبعاده أقل بكثير من طول الخيط ، وكتلته من المن أكبر من كتلة الخيط. هذا يعني أن الجسم (الحمل) والخيط يجب أن يكونا بحيث يمكن اعتبار الحمل نقطة مادية ، وأن يكون الخيط عديم الوزن. من الملاحظات على هذه البندولات ، يمكن وضع القوانين البسيطة التالية.

1. إذا تم الإبقاء على نفس طول البندول (المسافة من نقطة التعليق إلى مركز ثقل الحمولة) ، وتعليق أوزان مختلفة ، فستكون فترة التذبذب هي نفسها ، على الرغم من اختلاف كتل الأوزان بشكل كبير . فترة البندول الرياضي لا تعتمد على كتلة الحمل.

2. سيدا ، التي تعمل على الجسم في أي نقطة من المسار ، موجهة نحو وضع التوازن ، وعند نقطة التوازن نفسها تساوي الصفر.

3. تتناسب القوة مع انحراف الجسم عن وضع التوازن.

أرز. 5.

4. إذا قمنا ، عند بدء البندول ، بتحريفه بزوايا مختلفة (ولكن ليست كبيرة جدًا) ، فسوف يتأرجح مع نفس الفترة ، وإن كان ذلك بمدى مختلف. طالما أن السعات ليست كبيرة جدًا ، فإن التذبذبات قريبة بدرجة كافية في شكلها من التوافقية ، ولا تعتمد فترة البندول الرياضي على سعة التذبذبات. هذه الخاصية تسمى isochronism (من الكلمات اليونانية "isos" - يساوي ، "كرونوس" - الوقت).

تم إثبات هذه الحقيقة لأول مرة في عام 1655 بواسطة جاليليو ، ويُزعم في ظل الظروف التالية. لاحظ جاليليو في كاتدرائية بيزا تأرجح ثريا (في الكنيسة الأرثوذكسية ، ثريا مركزية ، مصباح به العديد من الشموع أو المصابيح الأيقونية) على سلسلة طويلة ، تم دفعها عند إشعالها. أثناء الخدمة الإلهية ، تلاشى التأرجح تدريجياً (الفصل 8) ، أي تناقص اتساع التأرجح ، لكن الفترة ظلت كما هي. استخدم جاليليو نبضه كمؤشر على الوقت.

لم تكن خاصية البندول مفاجئة فحسب ، بل كانت مفيدة أيضًا. اقترح جاليليو استخدام البندول كمنظم في الساعة. في زمن جاليليو ، كانت الساعات تعمل بالوزن ، واستخدم جهاز بدائي مثل شفرات طاحونة الهواء لضبط السكتة الدماغية ، والتي تستخدم مقاومة الهواء. يمكن استخدام البندول لحساب فترات زمنية متساوية ، لأن التذبذبات الصغيرة تحدث في نفس الوقت الذي تحدث فيه التذبذبات الكبيرة الناتجة عن هبوب الرياح العشوائية. بعد قرن من استخدام نظام غاليليو ، دخلت ساعات البندول حيز الاستخدام ، لكن البحارة ما زالوا بحاجة إلى ساعات دقيقة لقياس خط الطول في البحر. تم الإعلان عن جائزة لإنشاء مثل هذه الساعة البحرية التي من شأنها أن تتيح قياس الوقت بدقة كافية. وذهبت الجائزة إلى Garisson عن الكرونومتر ، الذي يستخدم دولاب الموازنة (التوازن) ونابض خاص لتنظيم السكتة الدماغية.

دعونا الآن نشتق معادلة لفترة التذبذب للبندول الرياضي.

عندما يتأرجح البندول ، يتحرك الحمل متسارعًا على طول القوس VA (الشكل 5 ، أ) تحت تأثير القوة العائدة P 1 ، والتي تتغير أثناء الحركة.

إن حساب حركة الجسم تحت تأثير قوة غير ثابتة معقد نوعًا ما. لذلك ، من أجل البساطة ، سنمضي على النحو التالي.

دعونا نجبر البندول على عدم أداء التذبذب في مستوى واحد ، ولكن لوصف المخروط بحيث يتحرك الحمل في دائرة (الشكل 5 ، ب). يمكن الحصول على هذه الحركة نتيجة إضافة اهتزازين مستقلين: أحدهما - لا يزال في مستوى الرسم والآخر - في المستوى العمودي. من الواضح أن فترات كل من هذه التذبذبات المستوية هي نفسها ، لأن أي مستوى تذبذب لا يختلف عن أي مستوى آخر. وبالتالي ، فإن فترة الحركة المعقدة - ثورة البندول على طول مخروط - ستكون هي نفسها فترة التأرجح في مستوى واحد. يمكن توضيح هذا الاستنتاج بسهولة من خلال التجربة المباشرة ، بأخذ بندولين متطابقين وإخبار أحدهما بالتأرجح في مستوى والآخر بالدوران على طول مخروط.

لكن فترة ثورة البندول "المخروطي" تساوي طول الدائرة الموصوفة بالحمل مقسومًا على السرعة:

إذا كانت زاوية الانحراف عن العمودي صغيرة (السعات الصغيرة!) ، فيمكننا أن نفترض أن القوة العائدة P 1 موجهة على طول نصف قطر الدائرة BC ، أي أنها تساوي قوة الجاذبية:

من ناحية أخرى ، من التشابه بين المثلثين OBC و DBE ، يتبع ذلك BE: BD = CB: OB. منذ OB = l ، CB = r ، BE = P 1 ، وبالتالي

معادلة كلا التعبيرين Р 1 ببعضهما البعض ، نحصل على سرعة الدوران

وأخيرًا ، بالتعويض عن هذا في المقدار الخاص بالدورة T ، نجد ذلك

لذا ، فإن فترة البندول الرياضي تعتمد فقط على تسارع الجاذبية g وعلى طول البندول l ، أي المسافة من نقطة التعليق إلى مركز ثقل الحمولة. يستنتج من الصيغة التي تم الحصول عليها أن فترة البندول لا تعتمد على كتلته وسعته (بشرط أن يكون صغيرًا بدرجة كافية). بمعنى آخر ، تم الحصول على تلك القوانين الأساسية التي تم وضعها مسبقًا من الملاحظات عن طريق الحساب.

لكن هذا الاستنتاج النظري يعطينا المزيد: فهو يسمح لنا بإنشاء علاقة كمية بين فترة البندول وطوله وتسارع الجاذبية. تتناسب فترة البندول الرياضي مع الجذر التربيعي لنسبة طول البندول إلى تسارع الجاذبية. نسبة العرض إلى الارتفاع 2؟

إن اعتماد فترة البندول على تسارع الجاذبية هو طريقة دقيقة جدًا لتحديد هذا التسارع. بعد قياس طول البندول l وتحديد الفترة الزمنية T من عدد كبير من التذبذبات ، يمكننا الحساب باستخدام الصيغة الناتجة g. هذه الطريقة تستخدم على نطاق واسع في الممارسة.

تنسق صدى التذبذب البندول

كرة صغيرة معلقة على خيط خفيف غير مرن قادرة على الأداء مجاناحركة تذبذبية (شكل 598).

أرز. 598
لوصف حركة البندول ، سننظر إلى الكرة كنقطة مادية ، ونهمل كتلة الخيط ومقاومة الهواء. هذا النموذج يسمى البندول الرياضي.
كإحداثي يصف موضع الكرة ، نختار زاوية انحراف الخيط من العمودي φ ... لوصف التغيير في هذا الإحداثي ، من الملائم استخدام معادلة ديناميكيات الحركة الدورانية

أين J = مل 2- لحظة القصور الذاتي للنظام ، ε = Δω / Δt- التسارع الزاوي للجسم (المشتق الثاني لزاوية الدوران) ، م- اللحظة الكلية للقوى الخارجية المؤثرة على النظام 1. يتم العمل على الكرة بواسطة الجاذبية وتوتر الخيط. عزم شد الخيط نبالنسبة لنقطة التعليق تساوي الصفر ، لذلك تأخذ المعادلة (1) للكرة المعلقة الشكل

أو

تصف هذه المعادلة تذبذبات البندول ، ولكنها ليست معادلة للتذبذبات التوافقية ، لأن لحظة القوى تتناسب مع جيب زاوية الانحراف ، وليس الزاوية نفسها. ومع ذلك ، إذا اعتبرنا أن زوايا الانحراف صغيرة (كم سنكتشف لاحقًا) ، فيمكننا استخدام الصيغة التقريبية sinφ ≈ φفي هذا التقريب ، يتحول المعادلة (3) إلى المعادلة المألوفة للتذبذبات التوافقية

أين Ω = √ (جم / لتر)- التردد الدائري للتذبذبات الصغيرة للبندول 2. لقد كتبنا بالفعل حل هذه المعادلة

هنا φ س- أقصى انحراف للخيط ، أي سعة الاهتزاز. للتبسيط ، سنفترض أن السرعة الابتدائية للكرة تساوي صفرًا.
يتم التعبير عن فترة التذبذبات الصغيرة للبندول من خلال التردد الزاوي

نظرًا لأن التذبذبات الصغيرة للبندول الرياضي متناسقة ، فإن دورها لا يعتمد على السعة. تم ملاحظة هذه الحقيقة تجريبيا من قبل ج. جاليليو. في زوايا الانحراف الكبيرة ، تزداد فترة اهتزاز البندول الرياضي بشكل طفيف.
لاحظ أن فترة تذبذب البندول الرياضي أيضًا لا تعتمد على كتلة الكرة - تذكر أن تسارع الجاذبية ، بالإضافة إلى الخصائص الأخرى لحركة الجسم في مجال جاذبية الأرض ، لا تعتمد أيضًا على الكتلة من الجسم (ما لم نهمل بالطبع مقاومة الهواء).
الصيغة (6) يمكن استخدامها لتحديد تسارع الجاذبية بشكل تجريبي. يمكن قياس طول الشعيرة وفترة التذبذب بسهولة تجريبيًا ؛ ثم باستخدام الصيغة (6) ، يمكن للمرء حساب تسارع الجاذبية.
دعنا نحاول وصف حركة البندول الرياضي باستخدام قانون حفظ الطاقة الميكانيكية. يتم التعبير عن الطاقة الحركية للكرة بواسطة الصيغة

يتوافق المستوى المرجعي الصفري للطاقة الكامنة مع نقطة تعليق الخيط ، ثم الطاقة الكامنة للكرة

معادلات قانون حفظ الطاقة الميكانيكية (مع مراعاة الظروف الأولية) لها الشكل

هذه المعادلة أيضًا ليست معادلة اهتزاز توافقي. ولكن ، إذا افترضنا مرة أخرى أن زوايا انحراف البندول صغيرة ونستخدم الصيغة التقريبية

ثم تنتقل المعادلة (7) إلى معادلة الاهتزازات التوافقية

أو

حيث تمت الإشارة إليه Ω = √ (جم / لتر)- تردد الاهتزاز الدائري الذي يتطابق مع التردد الناتج من المعادلة الديناميكية (2).
بالطبع ، هذه المصادفة ليست مصادفة - في الواقع ، في كلا النهجين استخدمنا نفس التقريب لزوايا الانحراف الصغيرة.

1 من حيث المبدأ ، يمكن أيضًا استخدام معادلات ديناميات الحركة متعدية ، ولكن يفضل الأسلوب المستخدم هنا ، لأن مسار النقطة هو قوس دائرة.
2 لقد اخترنا التعيين Ω (هذا أيضًا "أوميغا" ، مكتوب بحروف كبيرة فقط) للتردد الطبيعي للتذبذبات الصغيرة ، بحيث يُترك التعيين التقليدي ω وراء السرعة الزاوية للكرة ، والتي ستظهر بشكل أكبر في منطقنا .