Matematičko klatno je materijalna tačka okačena na bestežinsku i nerastezljivu nit koja se nalazi u gravitacionom polju Zemlje. Matematičko klatno je idealizirani model koji ispravno opisuje stvarno klatno samo pod određenim uvjetima. Pravo klatno se može smatrati matematičkim ako je dužina niti mnogo veća od dimenzija tijela okačenog na njega, težina niti je zanemariva u odnosu na masu tijela, a deformacije niti su tako male da se mogu potpuno zanemariti.

U ovom slučaju oscilatorni sistem čine nit, tijelo koje je pričvršćeno za nju i Zemlja, bez koje ovaj sistem ne bi mogao služiti kao klatno.

gdje a X – ubrzanje, g - ubrzanje gravitacije, X- ofset, l Je dužina niti klatna.

Ova jednačina se zove jednadžba slobodnih oscilacija matematičkog klatna. Ona ispravno opisuje razmatrane fluktuacije samo kada su ispunjene sljedeće pretpostavke:

2) razmatraju se samo male oscilacije klatna sa malim uglom zamaha.

Slobodne vibracije bilo kojeg sistema u svim slučajevima se opisuju sličnim jednačinama.

Razlozi slobodnih oscilacija matematičkog klatna su:

1. Djelovanje na klatno sile napetosti i sile gravitacije, koje sprječava njegovo pomjeranje iz ravnotežnog položaja i tjera ga da se ponovo spusti.

2. Inercija klatna, zbog koje se ono, zadržavajući svoju brzinu, ne zaustavlja u ravnotežnom položaju, već prolazi kroz njega dalje.

Period slobodnih oscilacija matematičkog klatna

Period slobodnih oscilacija matematičkog klatna ne zavisi od njegove mase, već je određen samo dužinom niti i ubrzanjem sile teže na mestu gde se klatno nalazi.

Konverzija energije harmonijskim vibracijama

Prilikom harmonijskih oscilacija opružnog klatna, potencijalna energija elastično deformisanog tijela pretvara se u njegovu kinetičku energiju, pri čemu k – koeficijent elastičnosti, X - modul pomaka klatna iz ravnotežnog položaja, m je masa klatna, v je njegova brzina. Prema jednadžbi harmonijskih vibracija:

, .

Ukupna energija opružnog klatna:

.

Ukupna energija za matematičko klatno:

U slučaju matematičkog klatna

Transformacije energije pri oscilacijama opružnog klatna odvijaju se u skladu sa zakonom održanja mehaničke energije ( ). Kada se klatno kreće dole ili gore iz ravnotežnog položaja, njegova potencijalna energija raste, a kinetička energija opada. Kada klatno prođe ravnotežni položaj ( X= 0), njegova potencijalna energija je nula, a kinetička energija klatna ima najveću vrijednost, jednaku njegovoj ukupnoj energiji.

Dakle, u procesu slobodnih oscilacija klatna, njegova potencijalna energija se pretvara u kinetičku, kinetička u potencijalnu, potencijalna pa opet u kinetičku, itd. Ali ukupna mehanička energija ostaje nepromijenjena.

Prisilne vibracije. Rezonancija.

Oscilacije koje nastaju pod dejstvom vanjske periodične sile nazivaju se prinudno oklevanje... Vanjska periodična sila, nazvana prisiljavanje, daje dodatnu energiju oscilatornom sistemu, koja se koristi za nadoknađivanje gubitaka energije uslijed trenja. Ako se pokretačka sila mijenja u vremenu prema sinusnom ili kosinusnom zakonu, tada će prisilne oscilacije biti harmonijske i neprigušene.

Za razliku od slobodnih oscilacija, kada sistem primi energiju samo jednom (kada je sistem uklonjen iz ravnotežnog stanja), u slučaju prinudnih oscilacija, sistem kontinuirano apsorbuje ovu energiju iz izvora spoljne periodične sile. Ova energija nadoknađuje gubitke utrošene na savladavanje trenja, pa stoga ukupna energija oscilatornog sistema ne ostaje nepromenjena.

Frekvencija prisilnih vibracija jednaka je frekvenciji pogonske sile... U slučaju kada je frekvencija pokretačke sile υ poklapa se sa prirodnom frekvencijom oscilirajućeg sistema υ 0 , dolazi do naglog povećanja amplitude prisilnih oscilacija - rezonancija. Rezonancija nastaje zbog činjenice da kada υ = υ 0 vanjska sila, koja djeluje u vremenu sa slobodnim oscilacijama, uvijek je kousmjerena sa brzinom oscilirajućeg tijela i obavlja pozitivan rad: energija oscilirajućeg tijela se povećava, a amplituda njegovih oscilacija postaje velika. Grafikon zavisnosti amplitude prisilnih vibracija A T na frekvenciju pokretačke sile υ prikazan na slici, ovaj grafikon se zove rezonantna kriva:

Fenomen rezonancije igra važnu ulogu u nizu prirodnih, naučnih i industrijskih procesa. Na primjer, potrebno je uzeti u obzir pojavu rezonancije prilikom projektovanja mostova, zgrada i drugih konstrukcija koje doživljavaju vibracije pod opterećenjem, u suprotnom, pod određenim uvjetima, ove konstrukcije mogu biti uništene.

Matematičko klatno naziva se tijelo male veličine, okačeno na tanku nerastegljivu nit, čija je masa zanemarljiva u odnosu na masu tijela. U ravnotežnom položaju, kada klatno visi duž viska, sila gravitacije je uravnotežena silom zatezanja niti. Kada se klatno odmakne od ravnotežnog položaja za određeni ugao φ, tangentna komponenta sile gravitacije pojavljuje se F τ = - mg sin φ (slika 2.3.1). Znak minus u ovoj formuli znači da je tangentna komponenta usmjerena u smjeru suprotnom od otklona klatna.

Ako označimo sa x linearni pomak klatna iz ravnotežnog položaja duž luka kružnice polumjera l, tada će njegov kutni pomak biti jednak φ = x / l... Drugi Newtonov zakon, napisan za projekcije vektora ubrzanja i sile na smjer tangente, daje:

Ovaj odnos pokazuje da je matematičko klatno kompleks nelinearni sistema, jer sila koja teži da vrati klatno u ravnotežni položaj nije proporcionalna pomaku x, a

Samo u slučajumale fluktuacije kada otprilikemože se zamijeniti samatematičko klatno je harmonijski oscilator, odnosno sistem sposoban da izvodi harmonijske oscilacije. U praksi, ova aproksimacija vrijedi za uglove reda veličine 15-20°; u ovom slučaju, vrijednost se razlikuje od najviše 2%. Oscilacije klatna pri velikim amplitudama nisu harmonijske.

Za male oscilacije matematičkog klatna, Newtonov drugi zakon je napisan u obliku

Dakle, tangencijalno ubrzanje aτ klatna je proporcionalno njegovom pomaku x uzeti sa suprotnim predznakom. To je upravo uslov pod kojim je sistem harmonijski oscilator. Kao opšte pravilo za sve sisteme koji mogu da izvode slobodne harmonijske oscilacije, modul koeficijenta proporcionalnosti između ubrzanja i pomaka iz ravnotežnog položaja jednak je kvadratu ugaone frekvencije:

Ova formula izražava prirodna frekvencija malih oscilacija matematičkog klatna .

dakle,

Svako tijelo postavljeno na horizontalnu os rotacije sposobno je da vrši slobodne oscilacije u gravitacionom polju i stoga je i klatno. Takvo klatno se obično naziva fizički (sl. 2.3.2). Od matematičkog se razlikuje samo po raspodjeli masa. U položaju stabilne ravnoteže, centar mase C fizičko klatno se nalazi ispod ose rotacije O na vertikali koja prolazi kroz os. Kada se klatno skrene za ugao φ, javlja se moment gravitacije koji teži da vrati klatno u ravnotežni položaj:

M = -(mg sin φ) d.

Evo d- udaljenost između ose rotacije i centra mase C.

Slika 2.3.2. Fizičko klatno

Znak minus u ovoj formuli, kao i obično, znači da moment sila teži da klatno okrene u smjeru suprotnom od njegovog odstupanja od ravnotežnog položaja. Kao u slučaju matematičkog klatna, vraćanje trenutka M proporcionalan. To znači da je samo pod malim uglovima, kada je fizičko klatno sposobno da izvodi slobodne harmonijske oscilacije. U slučaju malih fluktuacija

a drugi Newtonov zakon za fizičko klatno poprima oblik

gdje je ε ugaono ubrzanje klatna, I- moment inercije klatna u odnosu na osu rotacije O... Modul faktora proporcionalnosti između ubrzanja i pomaka jednak je kvadratu ugaone frekvencije:

Ovdje ω 0 - prirodna frekvencija malih oscilacija fizičkog klatna .

dakle,

Rigoroznije izvođenje formula za ω 0 i T može se učiniti ako uzmemo u obzir matematički odnos između kutnog ubrzanja i kutnog pomaka: kutno ubrzanje ε je drugi izvod kutnog pomaka φ u odnosu na vrijeme:

Stoga se jednadžba koja izražava drugi Newtonov zakon za fizičko klatno može napisati u obliku

Ovo je jednadžba slobodnih harmonijskih vibracija.

Koeficijent u ovoj jednačini ima značenje kvadrata kružne frekvencije slobodnih harmonijskih oscilacija fizičkog klatna.

Po teoremi o paralelnom prijenosu ose rotacije (Steinerova teorema), moment inercije I može se izraziti u momentu inercije IC oko ose koja prolazi kroz centar mase C klatno i paralelno sa osom rotacije:

Konačno, za kružnu frekvenciju ω 0 slobodnih oscilacija fizičkog klatna dobija se sljedeći izraz:

WITHcrinshotpotragao definicijiidiplanete

10.4. Zakon o očuvanju energije za harmonijske vibracije

10.4.1. Očuvanje energije na mehaničke harmonijske vibracije

Očuvanje energije pri oscilacijama matematičkog klatna

Sa harmonijskim vibracijama, ukupna mehanička energija sistema je očuvana (ostaje konstantna).

Ukupna mehanička energija matematičkog klatna

E = W k + W p,

gdje je W k - kinetička energija, W k = = mv 2/2; W p - potencijalna energija, W p = mgh; m je masa tereta; g - modul za ubrzanje slobodnog pada; v - modul brzine tereta; h - visina podizanja tereta iznad ravnotežnog položaja (slika 10.15).

Kod harmonijskih oscilacija, matematičko klatno prolazi kroz niz uzastopnih stanja, stoga je preporučljivo razmotriti energiju matematičkog klatna u tri položaja (vidi sliku 10.15):

Rice. 10.15

1) u ravnotežni položaj

potencijalna energija je nula; ukupna energija se poklapa sa maksimalnom kinetičkom energijom:

E = W k max;

2) u ekstremni položaj(2) tijelo je podignuto iznad početnog nivoa na maksimalnu visinu h max, pa je i potencijalna energija maksimalna:

W p max = m g h max;

kinetička energija je nula; ukupna energija se poklapa sa maksimalnom potencijalnom energijom:

E = W p max;

3) u srednja pozicija(3) tijelo ima trenutnu brzinu v i podignuto je iznad početnog nivoa na određenu visinu h, stoga je ukupna energija zbir

E = m v 2 2 + m g h,

gdje je mv 2/2 - kinetička energija; mgh - potencijalna energija; m je masa tereta; g - modul za ubrzanje slobodnog pada; v - modul brzine tereta; h je visina podizanja tereta iznad ravnotežnog položaja.

Sa harmonijskim oscilacijama matematičkog klatna, ukupna mehanička energija se čuva:

E = konst.

Vrijednosti ukupne energije matematičkog klatna u njegova tri položaja prikazane su u tabeli. 10.1.

№	Pozicija	W p	W k	E = W p + W k
1	Equilibrium	0	m v max 2/2	m v max 2/2
2	Ekstremno	mgh max	0	mgh max
3	srednji (trenutni)	mgh	mv 2/2	mv 2/2 + mgh

Vrijednosti ukupne mehaničke energije prikazane su u posljednjoj koloni tabele. 10.1, imaju jednake vrijednosti za bilo koji položaj klatna, što je matematički izraz:

m v max 2 2 = m g h max;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h;

m g h max = m v 2 2 + m g h,

gdje je m masa tereta; g - modul za ubrzanje slobodnog pada; v je modul trenutne brzine tereta u položaju 3; h - visina podizanja tereta iznad ravnotežnog položaja u položaju 3; v max - modul maksimalne brzine tereta u poziciji 1; h max je maksimalna visina dizanja tereta iznad ravnotežnog položaja u položaju 2.

Ugao skretanja navoja matematičko klatno iz vertikale (Sl.10.15) određeno je izrazom

cos α = l - h l = 1 - h l,

gdje je l dužina konca; h je visina podizanja tereta iznad ravnotežnog položaja.

Maksimalni ugao odstupanje α max je određeno maksimalnom visinom dizanja tereta iznad ravnotežnog položaja h max:

cos α max = 1 - h max l.

Primjer 11. Period malih oscilacija matematičkog klatna je 0,9 s. Pod kojim najvećim uglom od vertikale će nit odstupiti ako se, prolazeći kroz ravnotežni položaj, lopta kreće brzinom od 1,5 m/s? Nema trenja u sistemu.

Rješenje . Na slici su prikazana dva položaja matematičkog klatna:

• ravnotežni položaj 1 (obilježen maksimalnom brzinom lopte v max);
• ekstremni položaj 2 (obilježen maksimalnom visinom uspona lopte h max iznad ravnotežnog položaja).

Željeni ugao je određen jednakošću

cos α max = l - h max l = 1 - h max l,

gdje je l dužina niti klatna.

Iz zakona održanja ukupne mehaničke energije nalazimo maksimalnu visinu uspona kugle klatna iznad ravnotežnog položaja.

Ukupna energija klatna u ravnotežnom položaju i u ekstremnom položaju određena je sljedećim formulama:

• u ravnotežnom položaju -

E 1 = m v max 2 2,

gdje je m masa kugle klatna; v max je modul brzine lopte u ravnotežnom položaju (maksimalna brzina), v max = 1,5 m/s;

• u ekstremnom položaju -

E 2 = mgh max,

gdje je g modul gravitacionog ubrzanja; h max je maksimalna visina uspona lopte iznad ravnotežnog položaja.

Zakon održanja ukupne mehaničke energije:

m v max 2 2 = m g h max.

Izrazimo iz ovoga maksimalnu visinu uspona lopte iznad ravnotežnog položaja:

h max = v max 2 2 g.

Dužina niti se određuje iz formule za period oscilovanja matematičkog klatna

T = 2 π l g,

one. dužina navoja

l = T 2 g 4 π 2.

Zamijenite h max i l u izraz za kosinus željenog ugla:

cos α max = 1 - 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

a mi ćemo proračun napraviti uzimajući u obzir približnu jednakost π 2 = 10:

cos α max = 1 - 2 ⋅ 10 ⋅ (1,5) 2 10 2 ⋅ (0,9) 2 = 0,5.

Iz toga slijedi da je maksimalni ugao otklona 60 °.

Strogo govoreći, pod uglom od 60°, oscilacije lopte nisu male i neprikladno je koristiti standardnu ​​formulu za period oscilovanja matematičkog klatna.

Očuvanje energije pri oscilacijama opružnog klatna

Ukupna mehanička energija opružnog klatna sastoji se od kinetičke i potencijalne energije:

E = W k + W p,

gdje je W k - kinetička energija, W k = mv 2/2; W p - potencijalna energija, W p = k (Δx) 2/2; m je masa tereta; v - modul brzine tereta; k - koeficijent krutosti (elastičnosti) opruge; Δx - deformacija (napon ili kompresija) opruge (slika 10.16).

U Međunarodnom sistemu jedinica, energija mehaničkog oscilatornog sistema mjeri se u džulima (1 J).

Sa harmonijskim vibracijama, opružno klatno prolazi kroz niz uzastopnih stanja, pa je preporučljivo razmotriti energiju opružnog klatna u tri položaja (vidi sliku 10.16):

1) u ravnotežni položaj(1) brzina tijela ima maksimalnu vrijednost v max, pa je i kinetička energija maksimalna:

W k max = m v max 2 2;

potencijalna energija opruge je nula, jer opruga nije deformisana; ukupna energija se poklapa sa maksimalnom kinetičkom energijom:

E = W k max;

2) u ekstremni položaj(2) opruga ima maksimalnu deformaciju (Δx max), pa i potencijalna energija ima maksimalnu vrijednost:

W p max = k (Δ x max) 2 2;

kinetička energija tijela je nula; ukupna energija se poklapa sa maksimalnom potencijalnom energijom:

E = W p max;

3) u srednja pozicija(3) tijelo ima trenutnu brzinu v, opruga u ovom trenutku ima neku deformaciju (Δx), stoga je ukupna energija zbir

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

gdje je mv 2/2 - kinetička energija; k (Δx) 2/2 - potencijalna energija; m je masa tereta; v - modul brzine tereta; k - koeficijent krutosti (elastičnosti) opruge; Δx - deformacija (napetost ili kompresija) opruge.

Kada se opterećenje opružnog klatna pomakne iz ravnotežnog položaja, na njega djeluje obnavljajuća sila, čija je projekcija na smjer kretanja klatna određena formulom

F x = −kx,

gdje je x pomak težine opružnog klatna iz ravnotežnog položaja, x = ∆x, ∆x je deformacija opruge; k - koeficijent krutosti (elastičnosti) opruge klatna.

Sa harmonijskim oscilacijama opružnog klatna, ukupna mehanička energija se čuva:

E = konst.

Vrijednosti ukupne energije opružnog klatna u njegova tri položaja prikazane su u tabeli. 10.2.

№	Pozicija	W p	W k	E = W p + W k
1	Equilibrium	0	m v max 2/2	m v max 2/2
2	Ekstremno	k (Δx max) 2/2	0	k (Δx max) 2/2
3	srednji (trenutni)	k (Δx) 2/2	mv 2/2	mv 2/2 + k (Δx) 2/2

Vrijednosti ukupne mehaničke energije prikazane u zadnjoj koloni tabele imaju jednake vrijednosti za bilo koji položaj klatna, što je matematički izraz zakon očuvanja ukupne mehaničke energije:

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

gdje je m masa tereta; v je modul trenutne brzine tereta u položaju 3; Δx - deformacija (zatezanje ili kompresija) opruge u položaju 3; v max - modul maksimalne brzine tereta u poziciji 1; Δx max - maksimalna deformacija (zatezanje ili kompresija) opruge u položaju 2.

Primjer 12. Opružno klatno vrši harmonijske oscilacije. Koliko je puta njegova kinetička energija veća od potencijalne u trenutku kada je pomak tijela iz ravnotežnog položaja četvrtina amplitude?

Rješenje . Uporedimo dva položaja opružnog klatna:

• ekstremni položaj 1 (karakteriziran maksimalnim pomakom tereta klatna iz ravnotežnog položaja x max);
• međupoložaj 2 (obilježen srednjim vrijednostima pomaka iz ravnotežnog položaja x i brzine v →).

Ukupna energija klatna u ekstremnom i srednjem položaju određena je sljedećim formulama:

• u ekstremnom položaju -

E 1 = k (Δ x max) 2 2,

gdje je k koeficijent krutosti (elastičnosti) opruge; ∆x max - amplituda vibracije (maksimalni pomak od ravnotežnog položaja), ∆x max = A;

• u srednjem položaju -

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

gdje je m masa tereta klatna; ∆x - pomak tereta iz ravnotežnog položaja, ∆x = A / 4.

Ukupni zakon očuvanja mehaničke energije za opružno klatno je sljedeći:

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2.

Obje strane zapisane jednakosti dijelimo sa k (∆x) 2/2:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p,

gdje je W k kinetička energija klatna u međupoziciji, W k = mv 2/2; W p je potencijalna energija klatna u srednjem položaju, W p = k (∆x) 2/2.

Izrazimo traženi omjer energije iz jednačine:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 - 1

i izračunaj njegovu vrijednost:

W k W p = (A A / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15.

U navedenom vremenu, odnos kinetičke i potencijalne energije klatna je 15.

Ako se tijelo, pričvršćeno na oprugu (slika 4), odmakne od ravnotežnog položaja za udaljenost A, na primjer, ulijevo, tada će se, prošavši kroz ravnotežni položaj, skrenuti udesno. Ovo proizilazi iz zakona održanja energije.

Potencijalna energija sabijene ili rastegnute opruge je

gdje je k krutost opruge, a x njeno izduženje. U krajnjem lijevom položaju, izduženje opruge x = - A, dakle, potencijalna energija je

Kinetička energija u ovom trenutku jednaka je nuli, jer je brzina jednaka nuli. To znači da je potencijalna energija ukupna mehanička energija sistema u ovom trenutku. Ako se složimo da je sila trenja nula, a ostale sile uravnotežene, onda se naš sistem može smatrati zatvorenim i njegova ukupna energija se ne može mijenjati tokom kretanja. Kada je tijelo u svom kretanju u krajnjem desnom položaju (x = A), njegova kinetička energija će opet biti jednaka nuli, a ukupna energija opet jednaka potencijalnoj. A ukupna energija se ne može promijeniti. Dakle, opet je jednako

To znači da će tijelo odstupiti udesno za udaljenost jednaku A.

U ravnotežnom položaju, naprotiv, potencijalna energija je nula, jer opruga nije deformisana, x = 0. U ovom položaju ukupna energija tijela jednaka je njegovoj kinetičkoj energiji

gdje je m masa tijela i njegova brzina (u ovom trenutku je maksimalna). Ali i ova kinetička energija mora imati jednaku vrijednost. Posljedično, tijekom oscilatornog kretanja dolazi do transformacije kinetičke energije u potencijalnu i obrnuto. U bilo kojoj tački između položaja ravnoteže i maksimalnog otklona, ​​tijelo ima i kinetičku energiju i potencijal, ali njihov zbir, tj. ukupna energija u bilo kojem položaju tijela je jednaka. Ukupna mehanička energija W oscilirajućeg tijela proporcionalna je kvadratu amplitude i njegovih oscilacija

Klatna. Matematičko klatno

Klatno je svako tijelo ovješeno tako da mu je težište ispod tačke ovjesa. To znači da je teret okačen na užetu oscilatorni sistem sličan klatnu zidnog sata. Svaki sistem sposoban za slobodne vibracije ima stabilan položaj ravnoteže. Za klatno, ovo je pozicija u kojoj je centar gravitacije na vertikali ispod tačke ovjesa. Ako klatno izvadimo iz ovog položaja ili ga gurnemo, ono će početi da oscilira, odstupajući u jednom ili drugom smjeru od ravnotežnog položaja. Znamo da se najveće odstupanje od ravnotežnog položaja, do koje doseže klatno, naziva amplituda oscilacija. Amplituda je određena početnim otklonom ili guranjem kojim se klatno pokrenulo. Ovo svojstvo - zavisnost amplitude od uslova na početku kretanja - karakteristično je ne samo za slobodne oscilacije klatna, već uopšte za slobodne oscilacije velikog broja oscilatornih sistema.

Period oscilovanja fizičkog klatna zavisi od mnogih okolnosti: od veličine i oblika tela, od udaljenosti između težišta i tačke vešanja i od raspodele telesne težine u odnosu na ovu tačku; stoga je izračunavanje perioda suspendovanog tijela prilično težak zadatak. Situacija je jednostavnija za matematičko klatno. Matematičko klatno je uteg okačen na tanku nit, čije su dimenzije mnogo manje od dužine niti, a njegova masa mane je veća od mase niti. To znači da tijelo (opterećenje) i konac moraju biti takvi da se opterećenje može smatrati materijalnom točkom, a konac je bestežinski. Iz posmatranja takvih klatna mogu se ustanoviti sljedeći jednostavni zakoni.

1. Ako, zadržavajući istu dužinu klatna (udaljenost od tačke ovjesa do centra gravitacije tereta), objesite različite utege, tada će period oscilacije biti isti, iako se mase utega jako razlikuju . Period matematičkog klatna ne zavisi od mase tereta.

2. Sida, koja djeluje na tijelo u bilo kojoj tački putanje, usmjerena je prema ravnotežnom položaju, a u samoj tački ravnoteže jednaka je nuli.

3. Sila je proporcionalna odstupanju tijela od ravnotežnog položaja.

Rice. 5.

4. Ako ga pri pokretanju klatna skrenemo pod različitim (ali ne prevelikim) uglovima, onda će ono oscilirati sa istim periodom, ali sa različitim amplitudama. Sve dok amplitude nisu prevelike, oscilacije su po svom obliku dovoljno bliske harmonijskim, a period matematičkog klatna ne zavisi od amplitude oscilacija. Ovo svojstvo se naziva izohronizam (od grčkih riječi "isos" - jednak, "chronos" - vrijeme).

Ovu činjenicu je prvi put utvrdio Galileo 1655. godine, navodno pod sljedećim okolnostima. Galileo je u katedrali u Pizi posmatrao ljuljanje lustera (u pravoslavnoj crkvi, centralnog lustera, kandila sa mnogo svijeća ili kandila) na dugačkom lancu, koji se gurao pri paljenju. Tokom bogosluženja, zamah je postepeno iščezavao (poglavlje 8), odnosno amplituda zamaha se smanjivala, ali je period ostao isti. Galileo je koristio vlastiti puls kao pokazatelj vremena.

Ovo svojstvo klatna pokazalo se ne samo iznenađujućim, već i korisnim. Galileo je predložio korištenje klatna kao regulatora u satu. U Galilejevo vrijeme, satovi su bili pokretani utegom, a sirovi uređaj poput lopatica vjetrenjače korišten je za podešavanje hoda, koji je koristio otpor zraka. Za brojanje jednakih vremenskih intervala moglo bi se koristiti klatno, jer se male oscilacije javljaju u isto vrijeme kada i velike uzrokovane nasumičnim udarima vjetra. Stoljeće nakon Galilea, satovi s klatnom su ušli u upotrebu, ali su pomorcima i dalje bili potrebni precizni satovi za mjerenje geografske dužine na moru. Raspisana je nagrada za izradu takvog pomorskog sata koji bi omogućio da se vrijeme mjeri s dovoljnom preciznošću. Nagrada je pripala Garisonu za hronometar, koji je koristio zamajac (balans) i specijalnu oprugu za regulaciju hoda.

Hajde da sada izvedemo formulu za period oscilovanja matematičkog klatna.

Kada se klatno zanjiha, teret se kreće ubrzano po luku VA (slika 5, a) pod dejstvom povratne sile P 1, koja se menja tokom kretanja.

Proračun kretanja tijela pod utjecajem nepostojane sile je prilično složen. Stoga, radi jednostavnosti, postupit ćemo na sljedeći način.

Natjerajmo klatno da ne oscilira u jednoj ravni, već da opiše konus tako da se teret kreće kružno (slika 5, b). Ovo kretanje se može dobiti kao rezultat sabiranja dvije nezavisne vibracije: jedne - još uvijek u ravnini crteža, a druge - u okomitoj ravni. Očigledno, periodi obe ove ravninske oscilacije su isti, budući da se ni jedna ravan oscilovanja ne razlikuje od bilo koje druge. Prema tome, period složenog kretanja - okretanje klatna duž konusa - biće isti kao period ljuljanja u jednoj ravni. Ovaj zaključak se može lako ilustrirati direktnim eksperimentom, uzimajući dva identična klatna i govoreći jednom od njih da se njiše u ravni, a drugom da rotira duž konusa.

Ali period okretanja "konusnog" klatna jednak je dužini kruga opisanog teretom, podijeljenom sa brzinom:

Ako je ugao odstupanja od vertikale mali (male amplitude!), onda možemo pretpostaviti da je povratna sila P 1 usmjerena duž polumjera BC kružnice, odnosno jednaka je centripetalnoj sili:

S druge strane, iz sličnosti trouglova OBC i DBE proizilazi da je BE: BD = CB: OB. Kako je OB = l, CB = r, BE = P 1, dakle

Izjednačavajući oba izraza R 1 jedan sa drugim, dobijamo brzinu cirkulacije

Konačno, zamjenom ovoga u izraz za period T, nalazimo

Dakle, period matematičkog klatna zavisi samo od ubrzanja gravitacije g i od dužine klatna l, odnosno udaljenosti od tačke vešanja do centra gravitacije tereta. Iz dobijene formule proizilazi da period klatna ne zavisi od njegove mase i amplitude (pod uslovom da je dovoljno mali). Drugim riječima, oni osnovni zakoni koji su ranije ustanovljeni iz zapažanja dobijeni su računanjem.

Ali ovaj teorijski zaključak nam daje više: omogućava nam da uspostavimo kvantitativni odnos između perioda klatna, njegove dužine i ubrzanja gravitacije. Period matematičkog klatna je proporcionalan kvadratnom korijenu omjera dužine klatna i ubrzanja gravitacije. Omjer stranica je 2?

Zavisnost perioda klatna o ubrzanju gravitacije je vrlo precizan način određivanja ovog ubrzanja. Nakon što smo izmjerili dužinu klatna l i odredili period T iz velikog broja oscilacija, možemo izračunati koristeći rezultirajuću formulu g. Ova metoda se široko koristi u praksi.

koordinata rezonancije oscilacije klatna

Mala loptica okačena na lagani nerastegljivi konac je sposobna za izvođenje besplatno oscilatorno kretanje (sl. 598).

pirinač. 598
Da bismo opisali kretanje klatna, lopticu ćemo smatrati materijalnom tačkom, zanemariti masu niti i otpor zraka. Ovaj model se zove matematičko klatno.
Kao koordinatu koja opisuje položaj lopte biramo ugao otklona niti od vertikale φ ... Za opisivanje promjene ove koordinate zgodno je koristiti jednadžbu dinamike rotacijskog kretanja

gdje J = ml 2- moment inercije sistema, ε = Δω / Δt- ugaono ubrzanje tijela (drugi izvod ugla rotacije), M- ukupan moment spoljnih sila koje deluju na sistem 1. Na kuglicu djeluju gravitacija mg i napetost niti. Moment zatezanja navoja N u odnosu na tačku suspenzije jednaka je nuli, stoga jednačina (1) za viseću loptu ima oblik

ili

Ova jednadžba opisuje oscilacije klatna, ali nije jednadžba harmonijskih oscilacija, jer je moment sila proporcionalan sinusu ugla otklona, ​​a ne samom kutu. Međutim, ako smatramo da su uglovi devijacije mali (koliko ćemo kasnije saznati), možemo koristiti približnu formulu sinφ ≈ φ u ovoj aproksimaciji, jednačina (3) se pretvara u poznatu jednadžbu harmonijskih oscilacija

gdje Ω = √ (g / l)- kružna frekvencija malih oscilacija klatna 2. Već smo zapisali rješenje ove jednačine

ovdje φ o- maksimalno otklon niti, odnosno amplituda vibracije. Radi jednostavnosti, pretpostavićemo da je početna brzina lopte nula.
Period malih oscilacija klatna izražava se kroz ugaonu frekvenciju

Pošto su male oscilacije matematičkog klatna harmonijske, njihov period ne zavisi od amplitude. Ovu činjenicu je eksperimentalno uočio G. Galileo. Pri velikim uglovima otklona, ​​period oscilovanja matematičkog klatna se neznatno povećava.
Imajte na umu da period oscilacije matematičkog klatna također ne ovisi o masi lopte - zapamtite, ubrzanje gravitacije, kao i druge karakteristike kretanja tijela u Zemljinom gravitacijskom polju, također ne zavise od mase tijela (osim ako, naravno, zanemarimo otpor zraka).
Formula (6) se može koristiti i koristi se za eksperimentalno određivanje ubrzanja gravitacije. Dužina filamenta i period oscilacije mogu se lako eksperimentalno izmjeriti, a zatim se pomoću formule (6) može izračunati ubrzanje gravitacije.
Pokušajmo opisati kretanje matematičkog klatna koristeći zakon održanja mehaničke energije. Kinetička energija lopte izražava se formulom

Nulti nivo referentne potencijalne energije je kompatibilan sa tačkom ovjesa niti, tada je potencijalna energija lopte

Jednačine zakona održanja mehaničke energije (uzimajući u obzir početne uslove) imaju oblik

Ova jednačina također nije jednačina harmonijskih vibracija. Ali, ako opet pretpostavimo da su uglovi otklona klatna mali i koristimo približnu formulu

tada jednačina (7) prelazi u jednačinu harmonijskih vibracija

ili

gdje je naznačeno Ω = √ (g / l)- frekvencija kružnih vibracija, koja se poklapa sa onom dobijenom iz dinamičke jednadžbe (2).
Naravno, ova podudarnost nije slučajna – zapravo, u oba pristupa koristili smo istu aproksimaciju malih uglova otklona.

1 U principu se mogu koristiti i jednadžbe dinamike translacijskog kretanja, ali pristup koji se ovdje koristi je poželjniji, budući da je putanja točke luk kružnice.
2 Odabrali smo oznaku Ω (ovo je također “omega”, samo velikim slovima) za prirodnu frekvenciju malih oscilacija, tako da je tradicionalna oznaka ω ostavljena iza ugaone brzine lopte, što će se dalje pojaviti u našim razmišljanjima .