10.4. Das Energieerhaltungsgesetz bei harmonischen Schwingungen

10.4.1. Energieerhaltung bei mechanische harmonische Schwingungen

Energieerhaltung bei Schwingungen eines mathematischen Pendels

Bei harmonischen Schwingungen bleibt die gesamte mechanische Energie des Systems erhalten (bleibt konstant).

Gesamte mechanische Energie eines mathematischen Pendels

E = W k + W p ,

wobei W k - kinetische Energie, W k = = mv 2 /2; W p - potentielle Energie, W p = mgh ; m ist das Gewicht der Ladung; g - Beschleunigungsmodul des freien Falls; v - Lastgeschwindigkeitsmodul; h ist die Höhe der Last über der Gleichgewichtslage (Abb. 10.15).

Bei harmonischen Schwingungen durchläuft das mathematische Pendel eine Reihe aufeinanderfolgender Zustände, daher empfiehlt es sich, die Energie des mathematischen Pendels in drei Lagen zu betrachten (siehe Abb. 10.15):

Reis. 10.15

1 in Gleichgewichtslage

potentielle Energie ist Null; die Gesamtenergie fällt mit der maximalen kinetischen Energie zusammen:

E = Wkmax;

2) hinein Extremstellung(2) Der Körper wird über das Ausgangsniveau auf die maximale Höhe h max angehoben, sodass auch die potentielle Energie maximal ist:

W p max = m g h max ;

kinetische Energie ist Null; die Gesamtenergie fällt mit der maximalen potentiellen Energie zusammen:

E = W p max ;

3) hinein Zwischenstellung(3) Der Körper hat eine Momentangeschwindigkeit v und wird um eine gewisse Höhe h über das Anfangsniveau angehoben, sodass die Gesamtenergie die Summe ist

E = m v 2 2 + mg h ,

wo mv 2 /2 - kinetische Energie; mgh - potentielle Energie; m ist das Gewicht der Ladung; g - Beschleunigungsmodul des freien Falls; v - Lastgeschwindigkeitsmodul; h ist die Höhe der Last über der Gleichgewichtslage.

Bei harmonischen Schwingungen eines mathematischen Pendels bleibt die gesamte mechanische Energie erhalten:

E = konst.

Die Werte der Gesamtenergie des mathematischen Pendels in seinen drei Positionen sind in der Tabelle aufgeführt. 10.1.

№	Position	Wp	W k	E = Wp + Wk
1	Gleichgewicht	0	m v max 2 / 2	m v max 2 / 2
2	extrem	mgh max	0	mgh max
3	Mittelstufe (sofort)	mgh	mv2/2	mv 2 /2 + mgh

Die Werte der gesamten mechanischen Energie sind in der letzten Spalte der Tabelle dargestellt. 10.1, haben gleiche Werte für jede Position des Pendels, was ein mathematischer Ausdruck ist:

m v max 2 2 = m g h max ;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h ;

m g h max = m v 2 2 + m g h ,

wobei m das Gewicht der Ladung ist; g - Beschleunigungsmodul des freien Falls; v ist der Modul der Momentangeschwindigkeit der Last in Position 3; h die Höhe der Last über der Gleichgewichtslage in Position 3; v max - Höchstlastgeschwindigkeitsmodul in Position 1; h max - die maximale Hubhöhe der Last über der Gleichgewichtsposition in Position 2.

Fadenumlenkwinkel mathematisches Pendel aus der Vertikalen (Abb. 10.15) wird durch den Ausdruck bestimmt

cos α = l − h l = 1 − h l ,

wobei l die Länge des Fadens ist; h ist die Höhe der Last über der Gleichgewichtslage.

Maximaler Winkel Abweichungen α max wird durch die maximale Hubhöhe der Last über der Gleichgewichtslage h max bestimmt:

cos α max = 1 − h max l .

Beispiel 11. Die Periode kleiner Schwingungen eines mathematischen Pendels beträgt 0,9 s. Um welchen maximalen Winkel von der Senkrechten weicht der Faden ab, wenn sich die Kugel beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage mit einer Geschwindigkeit von 1,5 m/s bewegt? Es gibt keine Reibung im System.

Lösung . Die Abbildung zeigt zwei Positionen des mathematischen Pendels:

• Gleichgewichtslage 1 (gekennzeichnet durch die maximale Geschwindigkeit der Kugel v max);
• Extremlage 2 (gekennzeichnet durch die maximale Hubhöhe der Kugel h max über der Gleichgewichtslage).

Der gewünschte Winkel wird durch die Gleichheit bestimmt

cos α max = l − h max l = 1 − h max l ,

wobei l die Länge des Pendelfadens ist.

Die maximale Hubhöhe der Pendelkugel über der Gleichgewichtslage ergibt sich aus dem Erhaltungssatz der gesamten mechanischen Energie.

Die Gesamtenergie des Pendels in der Gleichgewichtslage und in der Extremlage wird durch folgende Formeln bestimmt:

• in einer Gleichgewichtslage

E 1 \u003d m v max 2 2,

wobei m die Masse der Pendelkugel ist; v max - Kugelgeschwindigkeitsmodul in der Gleichgewichtsposition (maximale Geschwindigkeit), v max = 1,5 m/s;

• in Extremstellung

E 2 \u003d mgh max,

wobei g der Beschleunigungsmodul des freien Falls ist; h max - die maximale Höhe des Balls über der Gleichgewichtsposition.

Das Erhaltungsgesetz der gesamten mechanischen Energie:

m v max 2 2 = m g h max .

Daraus drücken wir die maximale Höhe der Kugel über der Gleichgewichtslage aus:

h max = v max 2 2 g .

Die Länge des Fadens bestimmen wir aus der Formel für die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels

T = 2 π l g ,

jene. Fadenlänge

l = T. 2 g 4 π 2 .

Setzen Sie h max und l in den Ausdruck für den Kosinus des gewünschten Winkels ein:

cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

und führen Sie die Berechnung unter Berücksichtigung der ungefähren Gleichheit π 2 = 10 durch:

cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1,5) 2 10 2 ⋅ (0,9) 2 = 0,5 .

Daraus folgt, dass der maximale Ablenkwinkel 60° beträgt.

Genau genommen sind die Schwingungen der Kugel bei einem Winkel von 60° nicht klein, und es ist illegal, die Standardformel für die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels zu verwenden.

Energieerhaltung bei Schwingungen eines Federpendels

Gesamte mechanische Energie eines Federpendels ist die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie:

E = W k + W p ,

wobei W k - kinetische Energie, W k = mv 2 /2; W p - potentielle Energie, W p = k (Δx) 2 /2; m ist das Gewicht der Ladung; v - Lastgeschwindigkeitsmodul; k - Steifigkeitskoeffizient (Elastizität) der Feder; Δx - Verformung (Zug oder Stauchung) der Feder (Abb. 10.16).

Im Internationalen Einheitensystem wird die Energie eines mechanischen Schwingungssystems in Joule (1 J) gemessen.

Bei harmonischen Schwingungen durchläuft ein Federpendel eine Reihe aufeinanderfolgender Zustände, daher empfiehlt es sich, die Energie eines Federpendels in drei Lagen zu betrachten (siehe Abb. 10.16):

1 in Gleichgewichtslage(1 ) die Geschwindigkeit des Körpers hat einen maximalen Wert v max , also ist auch die kinetische Energie maximal:

W k max = m v max 2 2 ;

die potentielle Energie der Feder ist Null, da die Feder nicht verformt wird; die Gesamtenergie fällt mit der maximalen kinetischen Energie zusammen:

E = Wkmax;

2) hinein Extremstellung(2) die Feder hat eine maximale Verformung (Δx max), also hat auch die potentielle Energie einen maximalen Wert:

W p max \u003d k (Δ x max) 2 2;

die kinetische Energie des Körpers ist Null; die Gesamtenergie fällt mit der maximalen potentiellen Energie zusammen:

E = W p max ;

3) hinein Zwischenstellung(3) Der Körper hat eine Momentangeschwindigkeit v, die Feder hat in diesem Moment eine gewisse Verformung (Δx), also ist die Gesamtenergie die Summe

E \u003d m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

wo mv 2 /2 - kinetische Energie; k (Δx) 2 /2 – potentielle Energie; m ist das Gewicht der Ladung; v - Lastgeschwindigkeitsmodul; k - Steifigkeitskoeffizient (Elastizität) der Feder; Δx - Verformung (Spannung oder Kompression) der Feder.

Wenn das Gewicht des Federpendels aus der Gleichgewichtslage verschoben wird, wird es durch beeinflusst Wiederherstellungskräfte, deren Projektion auf die Pendelbewegungsrichtung durch die Formel bestimmt wird

F x = −kx ,

wobei x die Verschiebung der Federpendellast aus der Gleichgewichtslage ist, x = ∆x , ∆x die Verformung der Feder ist; k - Steifigkeitskoeffizient (Elastizität) der Pendelfeder.

Bei harmonischen Schwingungen eines Federpendels bleibt die gesamte mechanische Energie erhalten:

E = konst.

Die Werte der Gesamtenergie des Federpendels in seinen drei Positionen sind in der Tabelle angegeben. 10.2.

№	Position	Wp	W k	E = Wp + Wk
1	Gleichgewicht	0	m v max 2 / 2	m v max 2 / 2
2	extrem	k (Δxmax) 2 /2	0	k (Δxmax) 2 /2
3	Mittelstufe (sofort)	k (&Dgr;x) 2 /2	mv2/2	mv²/2 + k(Δx)²/2

Die in der letzten Spalte der Tabelle angegebenen Werte der gesamten mechanischen Energie haben für jede Position des Pendels gleiche Werte, was ein mathematischer Ausdruck ist Gesetz der Erhaltung der gesamten mechanischen Energie:

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2 ;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (&Dgr; x) 2 2 ;

k (Δ x max) 2 2 \u003d m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

wobei m das Gewicht der Ladung ist; v ist der Modul der Momentangeschwindigkeit der Last in Position 3; Δx - Verformung (Spannung oder Kompression) der Feder in Position 3; v max - Höchstlastgeschwindigkeitsmodul in Position 1; Δx max - maximale Verformung (Ausdehnung oder Stauchung) der Feder in Position 2 .

Beispiel 12. Ein Federpendel führt harmonische Schwingungen aus. Wie oft ist seine kinetische Energie größer als die potentielle Energie in dem Moment, in dem die Auslenkung des Körpers aus der Gleichgewichtslage ein Viertel der Amplitude beträgt?

Lösung . Vergleichen wir die beiden Positionen des Federpendels:

• Extremlage 1 (gekennzeichnet durch die maximale Auslenkung der Pendellast aus der Gleichgewichtslage x max);
• Zwischenposition 2 (gekennzeichnet durch Zwischenwerte der Verschiebung aus der Gleichgewichtsposition x und Geschwindigkeit v →).

Die Gesamtenergie des Pendels in den Extrem- und Zwischenpositionen wird durch die folgenden Formeln bestimmt:

• in Extremstellung

E 1 \u003d k (Δ x max) 2 2,

wobei k der Steifigkeitskoeffizient (Elastizität) der Feder ist; ∆x max - Schwingungsamplitude (maximale Auslenkung aus der Gleichgewichtslage), ∆x max = A ;

• in einer Zwischenposition

E 2 \u003d k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

wobei m die Masse der Pendellast ist; ∆x - Verschiebung der Last aus der Gleichgewichtslage, ∆x = A /4.

Der Erhaltungssatz der gesamten mechanischen Energie für ein Federpendel hat folgende Form:

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 .

Wir dividieren beide Teile der geschriebenen Gleichheit durch k (∆x) 2 /2:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

wobei W k die kinetische Energie des Pendels in einer Zwischenposition ist, W k = mv 2 /2; W p - potentielle Energie des Pendels in einer Zwischenposition, W p = k (∆x ) 2 /2.

Lassen Sie uns das gewünschte Verhältnis der Energien aus der Gleichung ausdrücken:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 − 1

und berechne seinen Wert:

W k W p = (EIN EIN / 4) 2 − 1 = 16 − 1 = 15 .

Zum angegebenen Zeitpunkt beträgt das Verhältnis der kinetischen und potentiellen Energie des Pendels 15.

Ein mechanisches System, das aus einem materiellen Punkt (Körper) besteht, der an einem undehnbaren, schwerelosen Faden (seine Masse ist im Vergleich zum Gewicht des Körpers vernachlässigbar) in einem gleichmäßigen Schwerefeld hängt, wird als mathematisches Pendel bezeichnet (ein anderer Name ist Oszillator). . Es gibt andere Arten dieses Geräts. Anstelle eines Fadens kann auch ein schwereloser Stab verwendet werden. Ein mathematisches Pendel kann die Essenz vieler interessanter Phänomene deutlich machen. Bei einer kleinen Schwingungsamplitude wird seine Bewegung als harmonisch bezeichnet.

Allgemeine Informationen zur Mechanik

Die Formel für die Schwingungsdauer dieses Pendels wurde von dem holländischen Wissenschaftler Huygens (1629-1695) hergeleitet. Dieser Zeitgenosse von I. Newton war von diesem mechanischen System sehr angetan. 1656 schuf er die erste Pendeluhr. Sie maßen die Zeit mit einer für diese Zeiten außergewöhnlichen Genauigkeit. Diese Erfindung wurde zum wichtigsten Schritt in der Entwicklung physikalischer Experimente und praktischer Aktivitäten.

Befindet sich das Pendel in der Gleichgewichtslage (senkrecht hängend), so wird es durch die Kraft der Fadenspannung ausgeglichen. Ein flaches Pendel an einem undehnbaren Faden ist ein System mit zwei Freiheitsgraden mit einer Verbindung. Wenn Sie nur eine Komponente ändern, ändern sich die Eigenschaften aller ihrer Teile. Wenn also das Gewinde durch eine Stange ersetzt wird, hat dieses mechanische System nur 1 Freiheitsgrad. Welche Eigenschaften hat ein mathematisches Pendel? In diesem einfachsten System entsteht Chaos unter dem Einfluss einer periodischen Störung. Für den Fall, dass sich der Aufhängepunkt nicht bewegt, sondern schwingt, hat das Pendel eine neue Gleichgewichtslage. Mit schnellen Auf- und Abschwingungen nimmt dieses mechanische System eine stabile Kopflage ein. Sie hat auch einen eigenen Namen. Es wird das Pendel von Kapitsa genannt.

Pendeleigenschaften

Das mathematische Pendel hat sehr interessante Eigenschaften. Alle von ihnen werden durch bekannte physikalische Gesetze bestätigt. Die Schwingungsdauer jedes anderen Pendels hängt von verschiedenen Umständen ab, wie z. B. der Größe und Form des Körpers, dem Abstand zwischen dem Aufhängepunkt und dem Schwerpunkt, der Massenverteilung relativ zu diesem Punkt. Aus diesem Grund ist die Bestimmung der Periode eines hängenden Körpers eine ziemlich schwierige Aufgabe. Es ist viel einfacher, die Periode eines mathematischen Pendels zu berechnen, dessen Formel unten angegeben wird. Als Ergebnis von Beobachtungen ähnlicher mechanischer Systeme können folgende Gesetzmäßigkeiten festgestellt werden:

Wenn bei gleicher Länge des Pendels verschiedene Gewichte aufgehängt werden, dann wird sich die Periode ihrer Schwingungen als gleich herausstellen, obwohl ihre Massen sehr unterschiedlich sein werden. Daher hängt die Periode eines solchen Pendels nicht von der Masse der Last ab.

Wird das Pendel beim Starten des Systems um nicht zu große, aber unterschiedliche Winkel ausgelenkt, beginnt es mit der gleichen Periode, aber mit unterschiedlichen Amplituden zu schwingen. Solange die Abweichungen vom Gleichgewichtspunkt nicht zu groß sind, werden die Schwingungen in ihrer Form harmonischen recht nahe kommen. Die Periode eines solchen Pendels hängt in keiner Weise von der Schwingungsamplitude ab. Diese Eigenschaft dieses mechanischen Systems nennt man Isochronismus (übersetzt aus dem Griechischen „chronos“ – Zeit, „isos“ – gleich).

Die Periode des mathematischen Pendels

Dieser Indikator stellt den Zeitraum dar. Trotz der komplexen Formulierung ist der Prozess selbst sehr einfach. Wenn die Länge des Fadens eines mathematischen Pendels L ist und die Beschleunigung des freien Falls g ist, dann ist dieser Wert gleich:

Die Periode kleiner Eigenschwingungen hängt in keiner Weise von der Masse des Pendels und der Amplitude der Schwingungen ab. In diesem Fall bewegt sich das Pendel wie ein mathematisches Pendel mit reduzierter Länge.

Schwingungen eines mathematischen Pendels

Ein mathematisches Pendel schwingt, was durch eine einfache Differentialgleichung beschrieben werden kann:

x + ω2 sin x = 0,

wobei x (t) eine unbekannte Funktion ist (dies ist der Winkel der Abweichung von der unteren Gleichgewichtsposition zum Zeitpunkt t, ausgedrückt in Radianten); ω ist eine positive Konstante, die aus den Parametern des Pendels bestimmt wird (ω = √g/L, wobei g die Fallbeschleunigung und L die Länge des mathematischen Pendels (Aufhängung) ist.

Die Gleichung kleiner Schwingungen nahe der Gleichgewichtslage (harmonische Gleichung) sieht so aus:

x + ω2 sin x = 0

Oszillationsbewegungen des Pendels

Ein mathematisches Pendel, das kleine Schwingungen macht, bewegt sich entlang einer Sinuskurve. Die Differentialgleichung zweiter Ordnung erfüllt alle Anforderungen und Parameter einer solchen Bewegung. Zur Bestimmung der Flugbahn müssen Sie Geschwindigkeit und Koordinate angeben, woraus dann unabhängige Konstanten ermittelt werden:

x \u003d Eine Sünde (θ 0 + ωt),

wobei θ 0 die Anfangsphase ist, A die Schwingungsamplitude ist, ω die aus der Bewegungsgleichung bestimmte zyklische Frequenz ist.

Mathematisches Pendel (Formeln für große Amplituden)

Dieses mechanische System, das seine Schwingungen mit erheblicher Amplitude ausführt, unterliegt komplexeren Bewegungsgesetzen. Für ein solches Pendel werden sie nach der Formel berechnet:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

wobei sn der Jacobi-Sinus ist, der für u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

wobei ε = E/mL2 (mL2 ist die Energie des Pendels).

Die Schwingungsdauer eines nichtlinearen Pendels wird durch die Formel bestimmt:

wobei Ω = π/2 * ω/2K(u), K das elliptische Integral π ist - 3,14.

Die Bewegung des Pendels entlang der Separatrix

Eine Separatrix ist eine Trajektorie eines dynamischen Systems, das einen zweidimensionalen Phasenraum hat. Das mathematische Pendel bewegt sich nichtperiodisch entlang. Zu einem unendlich weit entfernten Zeitpunkt fällt es von der äußersten oberen Position auf die Seite mit Nullgeschwindigkeit und hebt es dann allmählich auf. Es stoppt schließlich und kehrt in seine ursprüngliche Position zurück.

Nähert sich die Amplitude der Pendelschwingung der Zahl π , zeigt dies an, dass sich die Bewegung auf der Phasenebene der Separatrix nähert. In diesem Fall zeigt das mechanische System unter der Wirkung einer kleinen antreibenden periodischen Kraft ein chaotisches Verhalten.

Wenn das mathematische Pendel um einen bestimmten Winkel φ von der Gleichgewichtslage abweicht, entsteht eine tangentiale Gewichtskraft Fτ = -mg sin φ. Das Minuszeichen bedeutet, dass diese Tangentialkomponente der Pendelauslenkung entgegengerichtet ist. Wenn die Auslenkung des Pendels entlang eines Kreisbogens mit Radius L mit x bezeichnet wird, ist seine Winkelauslenkung gleich φ = x/L. Das zweite Gesetz, das für Projektionen und Kraft gilt, ergibt den gewünschten Wert:

mg τ = Fτ = -mg sinx/L

Auf der Grundlage dieser Beziehung ist ersichtlich, dass dieses Pendel ein nichtlineares System ist, da die Kraft, die es in seine Gleichgewichtsposition zurückbringt, immer nicht proportional zur Verschiebung x, sondern zu sin x/L ist.

Nur wenn das mathematische Pendel kleine Schwingungen macht, ist es ein harmonischer Oszillator. Mit anderen Worten, es wird zu einem mechanischen System, das harmonische Schwingungen ausführen kann. Diese Näherung gilt praktisch für Winkel von 15-20°. Pendelschwingungen mit großen Amplituden sind nicht harmonisch.

Newtonsches Gesetz für kleine Schwingungen eines Pendels

Wenn ein bestimmtes mechanisches System kleine Schwingungen ausführt, sieht das 2. Gesetz von Newton so aus:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Daraus können wir schließen, dass das mathematische Pendel proportional zu seiner Auslenkung mit einem Minuszeichen ist. Dies ist die Bedingung, aufgrund derer das System zu einem harmonischen Oszillator wird. Der Betrag des Proportionalitätsfaktors zwischen Weg und Beschleunigung ist gleich dem Quadrat der Kreisfrequenz:

ω02 = g/l; ω0 = √g/L.

Diese Formel gibt die Eigenfrequenz kleiner Schwingungen dieses Pendeltyps wieder. Basierend auf,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Berechnungen basierend auf dem Energieerhaltungssatz

Die Eigenschaften eines Pendels lassen sich auch mit dem Energieerhaltungssatz beschreiben. Dabei ist zu berücksichtigen, dass das Pendel im Schwerefeld gleich ist:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Gesamt gleich kinetischem oder maximalem Potential: Epmax = Ekmsx = E

Nachdem das Energieerhaltungsgesetz geschrieben ist, wird die Ableitung der rechten und linken Seite der Gleichung genommen:

Da die Ableitung von Konstanten 0 ist, ist (Ep + Ek)" = 0. Die Ableitung der Summe ist gleich der Summe der Ableitungen:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv*α,

somit:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + mα) = 0.

Basierend auf der letzten Formel finden wir: α = - g/L*x.

Praktische Anwendung des mathematischen Pendels

Die Beschleunigung variiert mit der geografischen Breite, da die Dichte der Erdkruste nicht überall auf dem Planeten gleich ist. Wo Gesteine ​​mit höherer Dichte vorkommen, wird sie etwas höher sein. Die Beschleunigung eines mathematischen Pendels wird häufig für geologische Erkundungen verwendet. Es wird verwendet, um nach verschiedenen Mineralien zu suchen. Indem Sie einfach die Anzahl der Pendelschwingungen zählen, können Sie Kohle oder Erz in den Eingeweiden der Erde finden. Dies liegt an der Tatsache, dass solche Fossilien eine größere Dichte und Masse haben als das lose Gestein, das ihnen zugrunde liegt.

Das mathematische Pendel wurde von so prominenten Wissenschaftlern wie Sokrates, Aristoteles, Plato, Plutarch, Archimedes verwendet. Viele von ihnen glaubten, dass dieses mechanische System das Schicksal und das Leben eines Menschen beeinflussen könnte. Archimedes verwendete in seinen Berechnungen ein mathematisches Pendel. Heutzutage verwenden viele Okkultisten und Hellseher dieses mechanische System, um ihre Prophezeiungen zu erfüllen oder nach vermissten Personen zu suchen.

Auch der berühmte französische Astronom und Naturforscher C. Flammarion verwendete für seine Forschungen ein mathematisches Pendel. Er behauptete, dass er mit seiner Hilfe die Entdeckung eines neuen Planeten, das Erscheinen des Tunguska-Meteoriten und andere wichtige Ereignisse vorhersagen konnte. Während des Zweiten Weltkriegs arbeitete in Deutschland (Berlin) ein spezialisiertes Pendelinstitut. Heute beschäftigt sich das Münchener Institut für Parapsychologie mit ähnlichen Forschungen. „Radästhesie“ nennen die Mitarbeiter dieser Einrichtung ihre Arbeit mit dem Pendel.

Definition

Mathematisches Pendel- dies ist ein schwingungsfähiges System, also ein Sonderfall eines physikalischen Pendels, dessen gesamte Masse auf einen Punkt konzentriert ist, den Massenmittelpunkt des Pendels.

Normalerweise wird ein mathematisches Pendel als eine Kugel dargestellt, die an einem langen, schwerelosen und nicht dehnbaren Faden aufgehängt ist. Dies ist ein idealisiertes System, das unter dem Einfluss der Schwerkraft harmonische Schwingungen ausführt. Eine gute Annäherung an ein mathematisches Pendel ist eine massive kleine Kugel, die auf einem dünnen langen Faden schwingt.

Galileo war der erste, der die Eigenschaften eines mathematischen Pendels untersuchte, indem er das Schwingen eines Kronleuchters an einer langen Kette betrachtete. Er fand heraus, dass die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels nicht von der Amplitude abhängt. Wenn das Pendel beim Abschuss um verschiedene kleine Winkel ausgelenkt wird, treten seine Schwingungen mit der gleichen Periode, aber mit unterschiedlichen Amplituden auf. Diese Eigenschaft wird Isochronismus genannt.

Die Bewegungsgleichung eines mathematischen Pendels

Das mathematische Pendel ist ein klassisches Beispiel für einen harmonischen Oszillator. Es führt harmonische Schwingungen aus, die durch die Differentialgleichung beschrieben werden:

\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]

wobei $\varphi $ der Abweichungswinkel des Fadens (Aufhängung) von der Gleichgewichtslage ist.

Die Lösung von Gleichung (1) ist die Funktion $\varphi (t):$

\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]

wo $\alpha $ - Anfangsphase der Schwingungen; $(\varphi )_0$ - Schwingungsamplitude; $(\omega )_0$ - zyklische Frequenz.

Die Schwingung eines harmonischen Oszillators ist ein wichtiges Beispiel für periodische Bewegung. Der Oszillator dient als Modell in vielen Problemen der klassischen und Quantenmechanik.

Schwingfrequenz und Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels

Die Schwingfrequenz eines mathematischen Pendels hängt nur von der Länge seiner Aufhängung ab:

\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(3\right).\]

Die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels ($T$) ist in diesem Fall gleich:

Ausdruck (4) zeigt, dass die Periode eines mathematischen Pendels nur von der Länge seiner Aufhängung (dem Abstand vom Aufhängungspunkt zum Schwerpunkt der Last) und der Beschleunigung des freien Falls abhängt.

Energiegleichung für ein mathematisches Pendel

Bei der Betrachtung von Schwingungen mechanischer Systeme mit einem Freiheitsgrad wird oft nicht die Newtonsche Bewegungsgleichung, sondern die Energiegleichung als Ausgangswert genommen. Da es einfacher zu komponieren ist, und es eine Gleichung erster Ordnung in der Zeit ist. Nehmen wir an, dass es keine Reibung im System gibt. Das Energieerhaltungsgesetz für ein mathematisches Pendel, das freie Schwingungen (kleine Schwingungen) ausführt, kann geschrieben werden als:

wobei $E_k$ die kinetische Energie des Pendels ist; $E_p$ - potentielle Energie des Pendels; $v$ - die Geschwindigkeit des Pendels; $x$ - lineare Verschiebung des Pendelgewichts von der Gleichgewichtsposition entlang eines Kreisbogens mit Radius $l$, während die Winkelverschiebung zu $x$ wie folgt in Beziehung steht:

\[\varphi =\frac(x)(l)\left(6\right).\]

Der maximale Wert der potentiellen Energie eines mathematischen Pendels ist:

Maximalwert der kinetischen Energie:

wobei $h_m$ die maximale Hubhöhe des Pendels ist; $x_m$ - maximale Abweichung des Pendels von der Gleichgewichtslage; $v_m=(\omega )_0x_m$ - Höchstgeschwindigkeit.

Beispiele für Probleme mit einer Lösung

Beispiel 1

Übung. Wie groß ist die maximale Hubhöhe der Kugel eines mathematischen Pendels, wenn seine Bewegungsgeschwindigkeit beim Durchlaufen der Gleichgewichtslage $v$ beträgt?

Lösung. Machen wir eine Zeichnung.

Die potentielle Energie des Balls sei in seiner Gleichgewichtslage (Punkt 0) null.An diesem Punkt ist die Geschwindigkeit des Balls maximal und gleich $v$ durch die Bedingung des Problems. Am Punkt des maximalen Anhebens des Balls über die Gleichgewichtslage (Punkt A) ist die Geschwindigkeit des Balls Null, die potentielle Energie ist maximal. Schreiben wir den Energieerhaltungssatz für die betrachteten zwei Positionen der Kugel auf:

\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \left(1.1\right).\]

Aus Gleichung (1.1) finden wir die gewünschte Höhe:

Antworten.$h=\frac(v^2)(2g)$

Beispiel 2

Übung. Wie groß ist die Erdbeschleunigung, wenn ein mathematisches Pendel der Länge $l=1\ m$ mit einer Periode gleich $T=2\ s$ schwingt? Betrachten Sie die Schwingungen des mathematischen Pendels als klein.\textit()

Lösung. Als Grundlage zur Lösung des Problems nehmen wir die Formel zur Berechnung der Periode kleiner Schwingungen:

Lassen Sie uns die Beschleunigung daraus ausdrücken:

Berechnen wir die Erdbeschleunigung:

Antworten.$g=9.87\ \frac(m)(s^2)$

Mathematisches Pendel- Dies ist ein materieller Punkt, der an einem schwerelosen und nicht dehnbaren Faden aufgehängt ist, der sich im Schwerefeld der Erde befindet. Ein mathematisches Pendel ist ein idealisiertes Modell, das ein reales Pendel nur unter bestimmten Bedingungen korrekt beschreibt. Ein echtes Pendel kann als mathematisch betrachtet werden, wenn die Länge des Fadens viel größer ist als die Abmessungen des daran aufgehängten Körpers, die Masse des Fadens im Vergleich zur Masse des Körpers vernachlässigbar ist und die Verformungen des Fadens so gering sind dass sie ganz vernachlässigt werden können.

Das schwingende System besteht in diesem Fall aus einem Faden, einem daran befestigten Körper und der Erde, ohne die dieses System nicht als Pendel dienen könnte.

wo ein x – Beschleunigung, g - Erdbeschleunigung, x- Versatz, l ist die Länge der Pendelschnur.

Diese Gleichung heißt die Gleichung der freien Schwingungen eines mathematischen Pendels. Sie beschreibt die betrachteten Schwingungen nur dann korrekt, wenn folgende Annahmen erfüllt sind:

2) Es werden nur kleine Schwingungen eines Pendels mit kleinem Schwenkwinkel betrachtet.

Freie Schwingungen beliebiger Systeme werden in allen Fällen durch ähnliche Gleichungen beschrieben.

Die Gründe für die freien Schwingungen eines mathematischen Pendels sind:

1. Die Wirkung der Zugkraft und der Schwerkraft auf das Pendel, die dessen Verschiebung aus der Gleichgewichtslage verhindern und es zum erneuten Fallen zwingen.

2. Die Trägheit des Pendels, aufgrund derer es unter Beibehaltung seiner Geschwindigkeit nicht in der Gleichgewichtsposition anhält, sondern diese weiter durchläuft.

Die Periode der freien Schwingungen eines mathematischen Pendels

Die Periode der freien Schwingungen eines mathematischen Pendels hängt nicht von seiner Masse ab, sondern wird nur durch die Länge des Fadens und die Beschleunigung des freien Falls an der Stelle bestimmt, an der sich das Pendel befindet.

Energieumwandlung bei harmonischen Schwingungen

Bei harmonischen Schwingungen eines Federpendels wird die potentielle Energie eines elastisch verformten Körpers in seine kinetische Energie umgewandelt, wo k – Elastizitätskoeffizient, X - Pendelwegmodul aus der Gleichgewichtslage, m- die Masse des Pendels, v- seine Geschwindigkeit. Gemäß der Gleichung harmonischer Schwingungen:

, .

Die Gesamtenergie des Federpendels:

.

Gesamtenergie für ein mathematisches Pendel:

Im Falle eines mathematischen Pendels

Energieumwandlungen bei Schwingungen eines Federpendels erfolgen nach dem Erhaltungssatz der mechanischen Energie ( ). Wenn sich das Pendel von der Gleichgewichtsposition nach oben oder unten bewegt, nimmt seine potentielle Energie zu und seine kinetische Energie ab. Wenn das Pendel die Gleichgewichtslage passiert ( x= 0), seine potentielle Energie ist gleich Null und die kinetische Energie des Pendels hat den größten Wert, gleich seiner Gesamtenergie.

Bei freien Schwingungen des Pendels wird also seine potentielle Energie in kinetische, kinetische in potentielle, potentielle dann wieder in kinetische umgewandelt usw. Die mechanische Gesamtenergie bleibt aber unverändert.

Erzwungene Schwingungen. Resonanz.

Schwingungen, die unter Einwirkung einer äußeren periodischen Kraft auftreten, werden als bezeichnet erzwungene Schwingungen. Eine externe periodische Kraft, Antriebskraft genannt, verleiht dem Schwingungssystem zusätzliche Energie, die verwendet wird, um Energieverluste aufgrund von Reibung wieder aufzufüllen. Ändert sich die Antriebskraft zeitlich nach dem Sinus- oder Cosinusgesetz, so sind die erzwungenen Schwingungen harmonisch und ungedämpft.

Im Gegensatz zu freien Schwingungen, bei denen das System nur einmal Energie erhält (wenn das System aus dem Gleichgewicht gebracht wird), absorbiert das System bei erzwungenen Schwingungen diese Energie kontinuierlich von einer Quelle externer periodischer Kraft. Diese Energie kompensiert die zur Überwindung der Reibung aufgewendeten Verluste, so dass die Gesamtenergie des schwingungsfähigen Systems nicht unverändert bleibt.

Die Frequenz der erzwungenen Schwingungen ist gleich der Frequenz der Antriebskraft. Wenn die Frequenz der treibenden Kraft υ mit der Eigenfrequenz des schwingungsfähigen Systems übereinstimmt υ 0 , die Amplitude der erzwungenen Schwingungen nimmt stark zu - Resonanz. Resonanz tritt auf, weil υ = υ 0 Die externe Kraft, die im Takt mit freien Schwingungen wirkt, ist immer gleichgerichtet mit der Geschwindigkeit des schwingenden Körpers und leistet positive Arbeit: Die Energie des schwingenden Körpers nimmt zu und die Amplitude seiner Schwingungen wird groß. Diagramm der Abhängigkeit der Amplitude von erzwungenen Schwingungen EIN T von der Frequenz der Antriebskraft υ Wie in der Abbildung gezeigt, wird dieser Graph als Resonanzkurve bezeichnet:

Das Phänomen der Resonanz spielt eine wichtige Rolle in einer Reihe natürlicher, wissenschaftlicher und industrieller Prozesse. Beispielsweise muss das Resonanzphänomen beim Entwurf von Brücken, Gebäuden und anderen Bauwerken berücksichtigt werden, die unter Belastung Schwingungen ausgesetzt sind, da diese Bauwerke sonst unter bestimmten Bedingungen zerstört werden können.

Wird der an der Feder befestigte Körper (Bild 4) von der Gleichgewichtslage um eine Strecke A beispielsweise nach links abgelenkt, dann weicht er nach Durchlaufen der Gleichgewichtslage nach rechts aus. Dies folgt aus dem Energieerhaltungssatz.

Die potentielle Energie einer komprimierten oder gedehnten Feder ist gleich

wobei k die Steifigkeit der Feder und x ihre Dehnung ist. In der äußersten linken Position ist die Ausdehnung der Feder x \u003d - A, daher ist die potentielle Energie

Die kinetische Energie ist in diesem Moment gleich Null, weil die Geschwindigkeit gleich Null ist. Daher ist die potentielle Energie die gesamte mechanische Energie des Systems in diesem Moment. Wenn wir uns einig sind, dass die Reibungskraft Null ist und die anderen Kräfte ausgeglichen sind, dann kann unser System als geschlossen betrachtet werden und seine Gesamtenergie kann sich während der Bewegung nicht ändern. Wenn sich der Körper während seiner Bewegung in der äußerst rechten Position befindet (x=A), ist seine kinetische Energie wieder gleich Null und die Gesamtenergie ist wieder gleich der potentiellen Energie. Und die Gesamtenergie kann sich nicht ändern. Es ist also wieder gleich

Das bedeutet, dass der Körper um die Strecke A nach rechts abweicht.

In der Gleichgewichtslage hingegen ist die potentielle Energie Null, weil die Feder nicht verformt ist, x=0. In dieser Position ist die Gesamtenergie des Körpers gleich seiner kinetischen Energie

wobei m die Masse des Körpers und seine Geschwindigkeit ist (in diesem Moment maximal). Aber auch diese kinetische Energie muss gleichwertig sein. Daher wird bei oszillierenden Bewegungen kinetische Energie in potentielle Energie umgewandelt und umgekehrt. An jedem Punkt zwischen den Positionen des Gleichgewichts und der maximalen Abweichung hat der Körper sowohl kinetische Energie als auch potentielle Energie, aber ihre Summe, d.h. Die Gesamtenergie ist in jeder Position des Körpers gleich. Die gesamte mechanische Energie W eines schwingenden Körpers ist proportional zum Quadrat der Amplitude und seiner Schwingungen

Pendel. Mathematisches Pendel

Ein Pendel ist jeder Körper, der so aufgehängt ist, dass sein Schwerpunkt unter dem Aufhängepunkt liegt. Das heißt, die an einem Seil aufgehängte Last ist ein schwingungsfähiges System, ähnlich dem Pendel einer Wanduhr. Jedes System, das zu freien Schwingungen fähig ist, hat eine stabile Gleichgewichtslage. Bei einem Pendel ist dies die Position, bei der der Schwerpunkt auf der Senkrechten unterhalb des Aufhängepunktes liegt. Wenn wir das Pendel aus dieser Position herausnehmen oder es schieben, beginnt es zu schwingen und weicht von der Gleichgewichtsposition zuerst nach einer Seite, dann nach der anderen Seite aus. Wir wissen, dass die größte Abweichung von der Gleichgewichtslage, die das Pendel erreicht, als Schwingungsamplitude bezeichnet wird. Die Amplitude wird durch die anfängliche Auslenkung oder den Stoß bestimmt, mit dem das Pendel in Bewegung gesetzt wurde. Diese Eigenschaft - die Abhängigkeit der Amplitude von den Bedingungen zu Beginn der Bewegung - ist nicht nur für die freien Schwingungen des Pendels charakteristisch, sondern allgemein für die freien Schwingungen sehr vieler schwingungsfähiger Systeme.

Die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels hängt von vielen Umständen ab: von der Größe und Form des Körpers, vom Abstand zwischen Schwerpunkt und Aufhängepunkt und von der Verteilung der Körpermasse relativ zu diesem Punkt; Daher ist die Berechnung der Periode eines schwebenden Körpers eine ziemlich schwierige Aufgabe. Beim mathematischen Pendel ist die Situation einfacher. Ein mathematisches Pendel ist eine Last, die an einem dünnen Faden aufgehängt ist, dessen Abmessungen viel kleiner als die Länge des Fadens sind und dessen Masse größer als die Masse des Fadens ist. Das bedeutet, dass der Körper (Gewicht) und der Faden so beschaffen sein müssen, dass das Gewicht als materieller Punkt und der Faden als schwerelos betrachtet werden kann. Aus Beobachtungen solcher Pendel können die folgenden einfachen Gesetze aufgestellt werden.

1. Werden bei gleicher Pendellänge (Abstand vom Aufhängepunkt zum Schwerpunkt der Last) unterschiedliche Lasten angehängt, so ist die Schwingungsdauer trotz der Massen der Lasten gleich unterscheiden sich stark. Die Periode eines mathematischen Pendels hängt nicht von der Masse der Last ab.

2. Sida, die an jedem Punkt der Flugbahn auf den Körper einwirkt, ist auf die Gleichgewichtsposition gerichtet und am Gleichgewichtspunkt selbst gleich Null.

3. Die Kraft ist proportional zur Abweichung des Körpers von der Gleichgewichtslage.

Reis. 5.

4. Wird das Pendel beim Anlaufen um unterschiedliche (aber nicht zu große) Winkel ausgelenkt, so schwingt es mit der gleichen Periode, jedoch mit unterschiedlichen Amplituden. Solange die Amplituden nicht zu groß sind, kommen die Schwingungen in ihrer Form harmonischen recht nahe, und die Periode des mathematischen Pendels hängt nicht von der Amplitude der Schwingungen ab. Diese Eigenschaft wird Isochronismus genannt (von den griechischen Wörtern "isos" - gleich, "chronos" - Zeit).

Diese Tatsache wurde erstmals 1655 von Galileo angeblich unter den folgenden Umständen festgestellt. Galileo beobachtete in der Kathedrale von Pisa das Schwingen eines Kronleuchters (in einer orthodoxen Kirche ein zentraler Kronleuchter, eine Lampe mit vielen Kerzen oder Lampen) an einer langen Kette, die beim Entzünden geschoben wurde. Im Laufe des Dienstes ließ die Amplitude der Schwingungen allmählich nach (Kapitel 8), d. h. die Amplitude der Schwingungen nahm ab, aber die Periode blieb gleich. Galileo benutzte seinen eigenen Puls als Zeitangabe.

Diese Eigenschaft des Pendels erwies sich nicht nur als erstaunlich, sondern auch als nützlich. Galileo schlug vor, das Pendel als Regler in der Uhr zu verwenden. Zu Galileis Zeit waren Uhren gewichtsgetrieben, und eine grobe, windmühlenähnliche Vorrichtung wurde verwendet, um die Geschwindigkeit einzustellen, die den Luftwiderstand nutzte. Ein Pendel könnte verwendet werden, um gleiche Zeitintervalle zu zählen, da kleine Schwingungen zur gleichen Zeit auftreten wie große, die durch zufällige Windböen verursacht werden. Ein Jahrhundert nach Galileo wurden Pendeluhren verwendet, aber die Seefahrer brauchten immer noch genaue Uhren, um den Längengrad auf See zu messen. Für die Schaffung einer solchen Schiffsuhr, mit der die Zeit mit ausreichender Genauigkeit gemessen werden kann, wurde ein Preis ausgeschrieben. Harrison erhielt den Preis für einen Chronometer, bei dem ein Schwungrad (Unruh) und eine spezielle Feder zur Gangregulierung verwendet wurden.

Wir leiten nun eine Formel für die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels her.

Wenn das Pendel schwingt, bewegt sich die Last beschleunigt entlang des Bogens BA (Abb. 5, a) unter der Wirkung der Rückstellkraft P 1 , die sich während der Bewegung ändert.

Die Berechnung der Bewegung eines Körpers unter Einwirkung einer nicht konstanten Kraft ist ziemlich kompliziert. Deshalb gehen wir der Einfachheit halber wie folgt vor.

Lassen Sie das Pendel nicht in einer Ebene schwingen, sondern beschreiben Sie den Kegel so, dass sich die Last kreisförmig bewegt (Abb. 5, b). Diese Bewegung kann erhalten werden, indem zwei unabhängige Schwingungen hinzugefügt werden: eine immer noch in der Ebene der Zeichnung und die andere in der senkrechten Ebene. Offensichtlich sind die Perioden dieser beiden ebenen Schwingungen gleich, da sich keine Schwingungsebene von einer anderen unterscheidet. Folglich ist die Periode einer komplexen Bewegung - die Drehung des Pendels entlang des Kegels - dieselbe wie die Periode der Schwingung in einer Ebene. Diese Schlussfolgerung lässt sich leicht durch direkte Erfahrung veranschaulichen, indem man zwei identische Pendel nimmt und einem von ihnen sagt, dass es in einer Ebene schwingen und das andere sich entlang eines Kegels drehen soll.

Aber die Umdrehungsdauer des "konischen" Pendels ist gleich der Länge des Kreises, der durch die Last beschrieben wird, dividiert durch die Geschwindigkeit:

Wenn der Winkel der Abweichung von der Vertikalen klein ist (kleine Amplituden!), dann können wir annehmen, dass die Rückstellkraft P 1 entlang des Radius des Kreises BC gerichtet ist, also gleich der Zentripetalkraft:

Andererseits folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke OBC und DBE, dass BE: BD=CB: OB. Da OB=l, CB=r, BE=P 1, dann ab hier

Setzt man beide Ausdrücke P 1 miteinander gleich, so erhält man für die Umlaufgeschwindigkeit

Wenn wir dies schließlich in den Ausdruck für die Periode T einsetzen, finden wir

Die Periodendauer eines mathematischen Pendels hängt also nur von der Fallbeschleunigung g und der Länge des Pendels l ab, also dem Abstand vom Aufhängepunkt zum Schwerpunkt der Last. Aus der erhaltenen Formel folgt, dass die Periode des Pendels nicht von seiner Masse und Amplitude abhängt (sofern sie ausreichend klein ist). Mit anderen Worten, jene Grundgesetze, die früher durch Beobachtungen aufgestellt wurden, wurden durch Berechnung erhalten.

Aber diese theoretische Schlussfolgerung gibt uns mehr: Sie erlaubt uns, eine quantitative Beziehung zwischen der Periode des Pendels, seiner Länge und der Beschleunigung des freien Falls herzustellen. Die Periode eines mathematischen Pendels ist proportional zur Quadratwurzel aus dem Verhältnis der Länge des Pendels zur Erdbeschleunigung. Der Proportionalitätskoeffizient ist gleich 2?.

Eine sehr genaue Bestimmung dieser Beschleunigung beruht auf der Abhängigkeit der Pendelperiode von der Beschleunigung des freien Falls. Nachdem wir die Länge des Pendels l gemessen und aus einer großen Anzahl von Schwingungen die Periode T bestimmt haben, können wir g mit der erhaltenen Formel berechnen. Dieses Verfahren ist in der Praxis weit verbreitet.

Resonanzkoordinate der Pendelschwingung