Binäre Beziehungen und ihre Eigenschaften-Lösungsbeispiele. Binäre Beziehung. Beispiele für binäre Beziehungen. Binäre Beziehungen und ihre Eigenschaften

für die Beziehung nicht ordentlicher Reihenfolge:

h.X. - wahr (Reflexität);

hu und wow x \u003d- (Antisymmetrie);

x y und z x x z- (Transitivität).

Viele X.wird angeordnet, wenn zwei Elemente h.und w.dieses Set ist vergleichbar, d. H. Wenn einer der Bedingungen für sie ausgeführt wird: h.< ÄH.= u, w.< x.

Bestellter Satz werden als Tupel bezeichnet. Im allgemeinen Fall ist das Tupel eine Folge von Elementen, d. H. Der Satz von Elementen, in denen jedes Element einen vollständig definitiven Ort einnimmt. Elemente des bestellten Satzes werden als Komponenten des Tupel bezeichnet. Beispiele für den Cortex können eine bestellte Reihenfolge von arithmetischen oder geometrischen Fortschreitungen sein, eine Folge von technologischen Operationen bei der Herstellung eines radioelektronischen Produkts, einer bestellten Reihenfolge der Einbaulagen der Leiterplatte zum Fixieren von Strukturelementen.

In all diesen Sätzen ist der Ort jedes Elements vollständig definiert und kann nicht willkürlich ändern.

Bei der Verarbeitung von Designinformationen auf Computern verwenden die Dominanzverhältnisse häufig. Sie sagen, dass xxdominiert vorbei uX.d. H. x \u003e\u003e y,wenn Artikel h.in etwas überlegenem (hat ein Priorität) Element w.des gleichen Satzes. Zum Beispiel unter h.sie können eine der Datenlisten verstehen, die zuerst für die Verarbeitung empfangen werden sollen. Bei der Analyse mehrerer REA-Strukturen sollten einige von ihnen Priorität gegeben, da dieses Design das Beste hat, aus unserer Sicht, Eigenschaften als andere, d. H. Design h.dominiert Design. y.

Die Eigenschaft der Transitivität hat keinen Platz. In der Tat, wenn zum Beispiel das Design h.für alle ein Parameter bevorzugte Designs y,und Design w.gemäß anderen Parametern bevorzugt Z-Designs, dann folgt er noch nicht, dass die Designs h.muss im Vergleich zum Design bevorzugt werden g.

Anzeigesätze. Einer der Grundkonzepte der Settheorie ist das Konzept der Anzeige. Wenn zwei nicht leere Sets angegeben werden X.und Y,dann das Gesetz, nach dem jedes Element x X.konformität des Elements setzen , eindeutiges Mapping genannt X.im Y.oder eine auf X und den Empfangswert definierte Funktion auf Y.

In der Praxis ist es notwendig, mit mehreren geschätzten Zuordnungen von Sätzen umzugehen X.am Set Y,die das Gesetz definieren, nach dem jedes Element xxgeben Sie mit einigen Teilmengen ein , die Art und Weise. Fälle sind möglich, wenn Gh \u003d 0.

Lassen Sie etwas Teilmenge gegeben werden Axt.Für jeden haweg h.ist eine Teilmenge. . Eine Kombination aller Elemente Y,sind Bilder für alle x in A.anspruch auf ein Set ABERund wir werden angeben Ha.In diesem Fall

Binäre Beziehung.

Sei A und B willkürliche Sets. Nehmen Sie ein Element von jedem Set und von A, B von B und schreiben Sie sie so: (Zunächst das Element des ersten Satzes, dann das Element des zweiten Satzes - das heißt, wir sind wichtig für die Reihenfolge, in der die Elemente genommen werden). Ein solches Objekt wird aufgerufen geordnetes Paar. Gleich Wir werden nur diese Paare berücksichtigen, die Elemente mit den gleichen Zahlen gleich sind. = Wenn a \u003d c und b \u003d d. Offensichtlich, wenn ein ≠ b, dann ≠ .

Kartesische Arbeit. Beliebige Sätze A und B (bezeichnet: AB) Bezeichnet als ein Satz, der aus dem möglichen bestellten Dampf besteht, dessen erste Element, das zu einem gehört, und der zweite gehört B. per Definition: ab \u003d ( | Aa und bb). Offensichtlich, wenn ein ≠ b, dann ab ≠ ba. CARTESOVO Werke von Set A selbst namens n-mal kartesischer Abschluss. A (bezeichnet: a n).

Beispiel 5. Sei A \u003d (x, y) und b \u003d (1, 2, 3).

Ab \u003d ( , , , , , }.

Ba \u003d (<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

Aa \u003d a 2 \u003d ( , , , }.

Bb \u003d b 2 \u003d (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

Binäre Haltung Auf dem Satz M, einer Vielzahl von einigen angeordneten Elementen von Elementen des Satzes M. Wenn R binären Haltung und Dampf ist gehört zu dieser Beziehung, dann schreiben Sie: R oder x r y. Offensichtlich r í m 2.

Beispiel 6. SET (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) ist eine binäre Haltung am Set (1, 2, 3, 4, 5).

Beispiel 7. Das Verhältnis ³ auf mehreren Ganzzahlen ist eine binäre Haltung. Dies ist ein unendlicher Satz von bestellten Paaren wobei x ³ y, x und y ganze Zahlen sind. Diese Beziehung gehört zum Beispiel Paare<5, 3>, <2, 2>, <324, -23> und gehören nicht zu paaren<5, 7>, <-3, 2>.

Beispiel 8. Das Verhältnis der Gleichheit auf dem Set A ist ein Binärverhältnis: I A \u003d ( | x î a). Ich rief an diagonale Setzt A.

Da Binäre Beziehungen Sätze sind, gelten sie auf die Operationen der Assoziation, Kreuzung, Ergänzungen und Unterschiede.

Definitionsbereich Das Binärverhältnis R wird als Set d (R) \u003d (x | Es gibt so y, dass xry) genannt wird. Wertebereich. Das Binärverhältnis R wird als Set R (R) \u003d (y | Es gibt so ein X, der XRY) bezeichnet wird.

Beziehung inverse. zum Binärverhältnis R Í M2 heißt Binary-Verhältnis R -1 \u003d ( | Î r). Offensichtlich d (R -1) \u003d R (R), R (R -1) \u003d D (R), R - 1 Í M 2.

Komposition Binäre Beziehungen R 1 und R 2, die auf dem Satz M angegeben sind, werden ein binäres Verhältnis R 2 O R 1 \u003d ( | Es gibt y so Î r 1 und Í R 2). Offensichtlich r 2 o r 1 í m 2.

Beispiel 9. Lassen Sie das Binärverhältnis von R auf dem Satz M \u003d (A, B, C, D), R \u003d ( , , , ). Dann d (r) \u003d (a, c), r (r) \u003d (b, c, d), r -1 \u003d ( , , , ), R o r \u003d ( , , , ), R -1 o r \u003d ( , , , ), R o r -1 \u003d ( , , , , , , }.

Sei r eine binäre Haltung auf dem Satz M. Das Verhältnis R wird aufgerufen reflektierendWenn x R x für jedes x î m. das Verhältnis r wird symmetrischWenn mit jedem Paar Es enthält ein Paar . Das Verhältnis R wird angerufen transitivWenn aus der Tatsache, dass x R y und y r z folgt, dass x r z. Das Verhältnis R wird aufgerufen antisymmetrischWenn es kein Paar gleichzeitig enthält und Verschiedene Elemente x ¹ y Satz M.

Wir geben die Kriterien für die Durchführung dieser Eigenschaften an.

Binärverhältnis R an dem Satz m reflexisch und nur dann und nur, wenn ich bin.

Das Binärverhältnis R ist dann symmetrisch und nur dann, wenn R \u003d R -1 ist.

Das Binärverhältnis R an dem Satz M ist antisymmetrisch, wenn und nur wenn R Ç R -1 \u003d I M.

Das Binärverhältnis R ist bei und nur, wenn r í r ist.

Beispiel 10. Das Verhältnis von Beispiel 6 ist antisymmetrisch, ist jedoch nicht symmetrisch, reflexiv und transitiv. Das Verhältnis von Beispiel 7 ist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv, ist jedoch nicht symmetrisch. Das Verhältnis I A verfügt über alle vier betreffenden Eigenschaften. Die Verhältnisse R -1 O R und R O R -1 sind symmetrisch, transitiv, sind jedoch nicht antisymmetrisch und reflexiv.

Beziehung gleichwertigkeit Auf dem Set M heißt M Binäre Haltung transitiv, symmetrisch und reflexiv.

Beziehung teilauftrag Auf dem Set M heißt M transitiv, antisymmetrisch und reflexiv auf dem Binärneigungsverhältnis R.

Beispiel 11. Das Verhältnis von Beispiel 7 ist ein Teilauftragsverhältnis. Das Verhältnis I A ist das Verhältnis von Äquivalenz und Teilreihenfolge. Das Verhältnis der Parallelität des Direkts ist das Äquivalenzverhältnis.

Eigenschaften der Beziehungen:

1) Reflexivität;

2) Symmetrie;

3) Transitivität.

4) Verknüpfen.

Einstellung R. Am Set H. namens reflexiv Wenn über jedes Element des Sets H. Wir können sagen, dass es in Bezug auf R. Mit mir: h.Rx. Wenn das Verhältnis reflexiv ist, dann gibt es in jedem Scheitelpunkt eine Schleife. Und zurück, die Grafik, deren Scheitelpunkt, dessen eine Schleife enthält, ist ein Diagramm einer reflexiven Beziehung.

Beispiele für reflexive Beziehungen sind und das Verhältnis von "Multiple" auf dem Satz von natürlichen Zahlen (jede Anzahl von mehrfach selbst) und die Haltung der Ähnlichkeit der Dreiecke (jedes Dreieck ähnelt sich selbst) und die Haltung der "Gleichheit "(jede Zahl gleichermaßen) und andere.

Es gibt Beziehungen, die nicht über die Eigenschaft der Reflexivität verfügen, beispielsweise das Verhältnis der Senspendiktheit der Segmente: ab, ba. (Es gibt kein einziges Segment, das gesagt werden kann, dass er senkrecht zu sich ist) . Daher gibt es keine Schleife in der Spalte dieser Beziehung.

Hat nicht das Eigentum der Reflexivität und des Verhältnisses "länger" für Segmente, "mehr von 2" für natürliche Zahlen usw.

Einstellung R. Am Set H.namens antireflemissivWenn für jedes Element aus dem Set H.immer falsch h.Rx: .

Es gibt Bewertungen, die weder reflexiv oder antireflems sind. Ein Beispiel für eine solche Beziehung ist die Haltung "Punkt" h. Symmetrischer Punkt w.verbunden l.", An der Reihe von Punkten der Ebene angegeben. In der Tat sind alle Punkte direkt l. symmetrisch selbst, und Punkte, die nicht auf einer Straße liegen l, selbst sind nicht symmetrisch.

Einstellung R.am Set H. namens symmetrisch, Wenn der Zustand erfüllt ist: von dem, was das Element ist h. ist in Bezug auf das Element y., folgt das Element y. Right gelegen R. mit Element x:xRYYRX.

Die Grafik einer symmetrischen Beziehung hat das folgende Merkmal: zusammen mit jedem Pfeil, der von kommt h. zu y.Die Grafik enthält einen Pfeil, der aus kommt y. zu h. (Abb. 35).

Beispiele für symmetrische Beziehungen können das Folgende sein: Das Verhältnis von "Parallelität" von Segmenten, dem Verhältnis von "Senspendikum" von Segmenten, dem Verhältnis von "Gleichheit" von Segmenten, dem Verhältnis der Ähnlichkeit von Dreiecke, dem Verhältnis von "Gleichheit" Fraktionen usw.

Es gibt Beziehungen, die keine Symmetrieeigenschaft haben.

In der Tat, wenn das Segment h. Langer Schnitt w., dann schneiden w. kann kein längeres Segment sein h.. Der Graph dieser Beziehung hat ein Feature: Der Pfeil, der die Scheitelpunkte verbindet, ist nur in eine Richtung gerichtet.

Einstellung R. Anruf antisymmetrischWenn für alle Elemente h. und y.von der Wahrheit xry.false folgt yrx :: xryyrx.

Neben der Beziehung "länger" auf dem Segmentsatz gibt es andere antisymmetrische Beziehungen. Zum Beispiel das Verhältnis "mehr" für Zahlen (wenn h. Mehr w.T. w. kann nicht mehr sein h.), das Verhältnis "mehr auf" und andere.

Es gibt Beziehungen, die keine Symmetrieeigenschaft noch Eigentum von Antisymmetrie haben.

Ratio r auf dem Set H.anruf transitiv Wenn von der Tatsache, dass das Element h. Right gelegen R. mit Element y, Und Element y. Right gelegen R. mit Element z., Folgt das Element h. Right gelegen R. mit Element z.: xry. und yrz.xRZ.

Zählung der transitiven Beziehung mit jedem Pfeilpaar, das von kommt h. zu y. und von y. zu z.Es enthält einen Pfeil, der von kommt h.zu z.

Das Verhältnis der Transitivität hat das Verhältnis "länger" auf dem Segmentsatz: Wenn das Segment aber Langer Schnitt b., Sektion b.langer Schnitt von, dann schneiden aberlanger Schnitt von. Das Verhältnis von "Gleichheit" auf dem Segmentsatz hat auch die Eigenschaft der Transitivität: (A \u003d.b, b \u003d c) (a \u003d c).

Es gibt Beziehungen, die nicht über das Eigentum der Transitivität verfügen. Eine solche Haltung ist beispielsweise die Haltung der Senspendikaturität: Wenn das Segment aber Senkrecht zum Segment b., und schneiden b. Senkrecht zum Segment von, dann Segmente. aber und von Nicht senkrecht!

Es gibt eine andere Eigenschaft der Beziehung, die als Eigenschaft der Verbundenheit genannt wird, und die Haltung, die sie besitzt, wird als Verbundenheit genannt.

Einstellung R. Am Set H. namens damit verbundenen Wenn für alle Elemente h. und y. Ein Zustand ist von diesem Set zufrieden: wenn h. und y. anders, dann auch h. Right gelegen R. mit Element y.oder Element y. Right gelegen R. mit Element h.. Mit Hilfe von Zeichen kann er geschrieben werden als: xy. Xry. oder yrx.

Zum Beispiel hat die Beziehungspartner das Verhältnis von "mehr" für natürliche Zahlen: Für jede andere Anzahl x und y kann es argumentiert werden oder x\u003e y.entweder y\u003e x.

In der Spalte der zugehörigen Beziehung sind zwei Scheitelpunkte durch einen Pfeil verbunden. Faire und umgekehrte Anweisung.

Es gibt Beziehungen, die nicht die Eigenschaft der Verbundenheit haben. Eine solche Haltung ist zum Beispiel die Beziehung der Teilbarkeit auf einem Satz natürlicher Nummern: Sie können solche Zahlen x und anrufen y.keine Nummer h.ist keine Teilerzahl y.noch eine Zahl y. ist keine Teilerzahl h.(Zahlen 17 und 11 , 3 und 10 usw.) .

Betrachten Sie mehrere Beispiele. Am Set X \u003d (1, 2, 4, 8, 12) Die Verhältnis-Nummer "Nummer" h.lackierzahl y." Wir erstellen die Grafik dieser Beziehung und formulieren ihre Eigenschaften.

Das Verhältnis der Gleichheit der Fraktionen spricht, es ist das Äquivalenzverhältnis.

Einstellung R. Am Set H. namens Äquivalenzverhältnis. Wenn es gleichzeitig das Eigentum von Reflexivität, Symmetrie und Transitivität hat.

Beispiele für Äquivalenz-Beziehungen umfassen: das Zusammenhang mit geometrischen Figuren, das Verhältnis von direkter Parallelität (vorausgesetzt, dass die zusammenfallenden geraden Linien parallel betrachtet werden).

Im Verhältnis von "Gleichheit der Fraktionen", vielen H.in drei Teilmengen gebrochen: ( ; ; }, {; } , (). Diese Teilmengen kreuzen sich nicht, und ihre Vereinigung fällt mit vielen zusammen H.. Wir haben eine Spaltung vieler Klassen.

So, wenn das Äquivalenzverhältnis auf dem Set X angegeben ist, erzeugt er die Spaltung dieses Sets in kairener Verbreitung von Subsets - Äquivalenzklassen.

Also fanden wir, dass die Beziehung der Gleichheit auf dem Set
H.\u003d (;;;;;;;) entspricht der Partition dieses Satzes auf den Äquivalenzklassen, von denen jeder aus gleichen Fraktionen besteht.

Das Prinzip der Aufteilung des Satzes auf Klassen mit etwas Äquivalenz-Beziehung ist ein wichtiges Prinzip der Mathematik. Warum?

Erste Äquivalent ist äquivalent, austauschbar. Daher sind Elemente einer einzelnen Äquivalenzklasse austauschbar. Also der Bruch, der in einer Äquivalenzklasse (;;), nicht unterscheidbar in Bezug auf die Beziehungen von Gleichheit und Fraktion kann beispielsweise durch ein anderes ersetzt werden . Und dieser Ersatz wird das Ergebnis der Berechnungen nicht ändern.

Zweitens, da in der Äquivalenzklasse Elemente sind, die aus der Sichtweise einer Beziehung nicht unterscheidbar sind, glauben sie, dass die Äquivalenzklasse von einem repräsentativen, d. H. Ein willkürliches Element der Klasse. Jede Klasse von gleichen Fraktionen kann also eingestellt werden, was auf einen solchen Fraktion angibt, der zu dieser Klasse gehört. Eine Äquivalenzklasse für einen Vertreter ermöglicht anstelle aller Elemente des Satzes, um den Satz von Vertretern aus Äquivalenzklassen zu erkunden. Beispielsweise erzeugt das Äquivalenzverhältnis von "Die gleiche Anzahl von Scheitelpunkten", die auf dem Satz von Polygonen angegeben sind, erzeugt die Trennwand dieses Satzes auf den Klassen von Dreiecke, Quadrangeln, Pentagonen usw. Eigenschaften, die in einiger Klasse inhärent sind, werden auf einem seiner Vertreter berücksichtigt.

Drittens dient die Spaltung des auf Klassens eingestellten Klassen mit dem Äquivalenzverhältnis, um neue Konzepte einzuführen. Zum Beispiel kann das Konzept des "Strahlstrahls" als üblich bestimmt werden, der parallele Störungen aufweist.

Eine weitere wichtige Art von Beziehung ist die Ordnungbeziehung. Betrachten Sie die Aufgabe. Auf dem Set H.={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) Das Verhältnis ist eingestellt, um "den gleichen Rückstand haben, wenn Sie aufteilen 3 " Diese Haltung erzeugt die Spaltung des Sets H. Zur Unterricht: Man fällt in eine Zahlen, wenn Sie aufgeteilt werden 3 es stellt sich in den Rest heraus 0 (Dies sind Zahlen 3, 6, 9 ). In der zweiten - die Nummer, wenn es aufgeteilt ist 3 Im Rückstand stellt sich heraus 1 (Dies sind Zahlen 4, 7, 10 ). Im dritten werden alle Zahlen fallen, wenn es aufgeteilt ist 3 Im Rückstand stellt sich heraus 2 (Dies sind Zahlen 5, 8 ). In der Tat kreuzen sich die resultierenden Sätze nicht, und ihre Assoziciation fällt mit dem Set zusammen H.. Daher die Haltung ", um den gleichen Rückstand aufzuteilen 3 "Auf einem Set einstellen H.ist Äquivalenz-Beziehung.

Nehmen Sie ein anderes Beispiel: Eine Vielzahl von Klassenstudenten kann nach Wachstum oder Alter arrangiert werden. Beachten Sie, dass dieses Verhältnis die Eigenschaften von Antisymmetrie und Transitivität aufweist. Oder jeder kennt die Reihenfolge der Buchstaben im Alphabet. Es bietet die Beziehung "Follow".

Einstellung R.am Set H. namens beziehung strenger ReihenfolgeWenn es gleichzeitig Antisymmetrie- und Transitivitätseigenschaften aufweist. Zum Beispiel die Beziehung " h.< y.».

Wenn die Beziehung die Eigenschaften von Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität hat, dann wird es sein die Haltung der nicht strengen Bestellung. Zum Beispiel die Beziehung " h.y.».

Beispiele für die Beziehung der Reihenfolge können: das Verhältnis "weniger" auf dem Satz von natürlichen Zahlen, dem Verhältnis "kürzer" auf dem Segmentsatz sein. Wenn das Bestellquoten auch eine Eigenschaft der Verbundenheit hat, sagen sie, dass es ist lineare Reihenfolge der Beziehung. Zum Beispiel das Verhältnis "weniger" auf dem Satz von natürlichen Zahlen.

Viele H. namens bestellt Wenn das Bestellquoten angegeben ist.

Zum Beispiel der Set X \u003d{2, 8, 12, 32 ) Sie können mit Hilfe des "Weniger" -Vergängers (Abb. 41) rationalisieren, und Sie können es mit Hilfe einer "mehrfachen" Beziehung tun (Abb. 42). Aber eine Haltung der Ordnung, der Beziehung "weniger" und "mehr Farbe" arrangieren viele natürliche Nummern auf unterschiedliche Weise. Mit dem Verhältnis "weniger" können Sie zwei beliebige Zahlen aus dem Set vergleichen H.Und das Verhältnis von "Multiple" besitzt keine solche Eigenschaft. Also ein paar Zahlen 8 und 12 Das Verhältnis ist "Multiple" nicht zusammenhängend: Es ist unmöglich, das zu sagen 8 kante 12 oder 12 Kante 8.

Es sollte nicht dauern, dass alle Beziehungen in Äquivalenz-Beziehung und Beziehungsbeziehung unterteilt sind. Es gibt eine große Anzahl von Nicht-äquivalenten Beziehungen oder Reihenfolge.

Grundlagen der diskreten Mathematik.

Das Konzept des Sets. Die Beziehung zwischen den Sätzen.

Das Set ist ein Satz von Objekten mit einer bestimmten Eigenschaft, die zu einem einzigen Ganzen kombiniert ist.

Objektkomponenten werden aufgerufen elemente Sets. Damit einige Sätze von Objekten, die als Set aufgerufen werden sollen, müssen die folgenden Bedingungen durchgeführt werden:

· Es muss eine Regel geben, für die Mono bestimmt, ob das Element zu diesem Set gehört.

· Es sollte eine Regel geben, mit der Elemente voneinander unterschieden werden können.

Sets werden durch Großbuchstaben angezeigt, und seine Elemente sind klein. Methoden zum Einstellen von Sets:

· Listen Sie die Elemente des Sets auf. - für endliche Sets.

· Angabe der charakteristischen Eigenschaft .

Leeres Set - Als ein Satz bezeichnet, der kein Element (Ø) enthält.

Zwei Sätze werden als gleichberufen angerufen, wenn sie aus den gleichen Elementen bestehen. . A \u003d B.

Viele B. Als Teilmenge des Sets genannt ABER (dann und nur wenn alle Elemente des Sets B. gehören zu Set. EIN..

Beispielsweise: , B. =>

Eigentum:

HINWEIS: Betrachten Sie normalerweise eine Teilmenge von einem und dem E-Set, das aufgerufen wird universal (U). Das Universal-Set enthält alle Elemente.

Operationen auf Sets.

2.Überschneidung 2 Sätze werden als neues Set aus Elementen bezeichnet, das gleichzeitig zum ersten und dem zweiten Satz gehört.

Nr: ,,

Eigenschaft: Kombination und Kreuzung Operationen.

· Anmeldungen.

· Assoziativität. ;

· Verteilung. ;

Binäre Beziehungen und ihre Eigenschaften.

Lassen ABER und IM Hierbei handelt es sich um eine Vielzahl von Art der Natur, berücksichtigen ein bestelltes Elementpaar. (A, b) a ε a, in ε insie können in Betracht ziehen, "ENKI" bestellt.

(A 1 und 2 und 3, ... und n)wo aber 1 ε und 1; aber 2 ε und 2; ...; aber N. ε und n;

Kartesisch (gerade) A 1 und 2, ... und nheißt MN in, der aus einem bestellten N K der Art besteht.

Nr: M.= {1,2,3}

M × m \u003d m 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Subsets der decartianischen Werke genannt das Verhältnis des Grades n. oder eine ENAR-Beziehung. Wenn ein n.\u003d 2, dann in Betracht ziehen binär Beziehungen. Was sagen sie das? a 1 und 2 sind in binären Begriffen R.wann a 1 R a 2.

Binäre Haltung auf dem Set M. Als Teilmenge des direkten Produkts des Sets genannt n. von selbst.

M × m \u003d m 2= {(a, B.)| a, b ε m) Im vorherigen Beispiel ist das Verhältnis weniger auf dem Set M. Es ergibt den folgenden Satz: ((1,2); (1,3); (2.3))

Binäre Beziehungen haben verschiedene Eigenschaften, darunter:

· Reflexivität: .

· Antireflexion (Irreflexusion) :.

· Symmetrie:

· Antisymmetrie:

· Transitivität :.

· Asymmetrie:

Arten von Beziehungen.

· Äquivalenzverhältnis;

· Das Verhältnis der Reihenfolge.

die reflexiven transitiven Beziehung wird als Verhältnis von Quasi-Armen bezeichnet.

v Reflexive symmetrische transitive Beziehung heißt Äquivalenzverhältnis.

v Die reflexive antisymmetrische transitive Beziehung wird als Verhältnis von (teilweiser) Reihenfolge bezeichnet.

v Eine antireflexive antisymmetrische transitive Beziehung wird als Verhältnis einer strengen Ordnung bezeichnet.

Natürlich ist willkürliche binäre Beziehungen zur Studie im Allgemeinen nicht besonders interessant, wir können sehr wenig über sie sagen. Wenn sich die Beziehungen jedoch einige zusätzliche Bedingungen erfüllen, können relativ zu ihnen wesentliche Aussagen erfolgen. In diesem Abschnitt werden wir einige der grundlegenden Eigenschaften von binären Beziehungen ansehen.

• 1. Die binäre Haltung auf dem Set X wird reflexiv genannt, wenn eine Bedingung A für alle Elemente erfüllt ist:
  • (AX) A * a.

Wenn das Verhältnis mit einem Diagramm dargestellt wird, bedeutet dann die Reflexivität dieser Beziehung, dass in jedem Scheitelpunkt keine Schleife vorhanden ist.

Für die Beziehung, die von der Hilfe einer militanten Matrix gegeben wird, entspricht der Reflexivität der Tatsache, dass auf der Hauptdiagonale dieser Matrix (kommt von der oberen linken Ecke rechts rechts) nur Charaktere 1 Kosten.

2. Die binäre Haltung zu X wird als Antireflems bezeichnet, wenn keine der Axt mit der Bedingung A * A erfüllt ist:

Begeben Sie sich durch das I X das Verhältnis auf dem Satz X, der aus Paaren des Formulars (a, a) besteht, wobei A x:

I x \u003d ((a, a) | a x).

Das Verhältnis von IX wird in der Regel als Diagonale des Satzes X oder das Identitätsverhältnis auf X bezeichnet.

Natürlich ist die Haltung des Sets x reflexiv, wenn das Diagonal I X eine Teilmenge des Sets ist:

Das Verhältnis von antireflexisch, wenn die Diagonale I X und das Verhältnis B kein allgemeines Element aufweisen:

• 3. Die binäre Haltung auf dem Set X heißt symmetrisch, wenn von A * B folgt B * A:
  • (A, BX) (A * B B * A).

Beispiele für symmetrische Beziehungen sind:

die Haltung der Senspendiktheit auf dem Satz von geraden Linien;

berührungsverhältnis auf mehreren Kreisen;

das Verhältnis von "ähnlich" auf dem Satz von Menschen;

das Verhältnis ", um das gleiche Geschlecht auf den Tieren zu haben.

Das Verhältnis "x Bruder y" auf dem Set aller Menschen ist nicht symmetrisch. Gleichzeitig ist das Verhältnis "x Bruder y" auf dem Satz von Männern symmetrisch.

In einem Diagramm eines symmetrischen Verhältnisses für jeden Bogen von der Oberseite X bis zur Oberseite von y gibt es einen Bogen von y bis x. Daher können symmetrische Beziehungen durch Diagramme mit nichtorientierten Rippen dargestellt werden. In diesem Fall wird jedes Paar orientierter Kanten XY und YX durch eine nicht orientierte Kante ersetzt.

Abbildung 8 zeigt die Haltung

b \u003d ((a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (d, c))

mit orientierten und nichtorientierten Graphen.

Feige. acht.

Die Matrix einer symmetrischen Beziehung ist relativ zur Hauptdiagonale symmetrisch.

Theorem: Assoziation und Kreuzung jeder Familie symmetrischer Beziehungen sind wieder symmetrische Beziehungen.

Definition. Die binäre Haltung auf dem Set X wird als antisymmetrisch bezeichnet, wenn für alle unterschiedlichen Elemente A- und B-Bedingungen A * B und B * A nicht gleichzeitig ausgeführt werden:

(A, BX) (A * B & B * A A \u003d B).

Zum Beispiel ist das Verhältnis "Aktien" auf dem Satz von natürlichen Zahlen antisymmetrisch, da er von einem B und B A folgt, dass a \u003d b. In einer Vielzahl von Ganzzahlen ist jedoch das Verhältnis "Aktien" nicht antisymmetrisch, seit (-2) 2 und 2 (-2), aber -22.

Beziehung "oben", "schwerer", "älter" antisymmetrisch auf einer Vielzahl von Menschen. Das Verhältnis "Schwester" auf dem Set aller Menschen ist nicht antisymmetrisch.

In der Grafik der antisymmetrischen Beziehung können zwei verschiedene Scheitelpunkte über keinen Lichtbogen verbunden werden.

Definition 3.5. Das Binärverhältnis A auf dem Set X heißt transitiv, wenn für alle drei Elemente A, B, C x von A * B und B * C dem A * C folgt:

(A, B, C x) (A * B & B * C A * C).

Beispiele für transitive Beziehungen dienen:

das Verhältnis "Aktien" auf dem Satz gültiger Nummern;

das Verhältnis "mehr" auf dem Satz gültiger Nummern;

das Verhältnis von "älter" auf dem Satz von Menschenspielwaren;

das Verhältnis ", um die gleiche Farbe auf dem Set von Kinderspielzeug zu haben;

e) die Haltung ", um ein Nachkommen zu sein" auf einer Vielzahl von Menschen.

Die feudale Haltung "zu vasal zu sein" ist nicht transitiv. Dies wird insbesondere in einigen Geschichts-Lehrbüchern hervorgehoben: "Mein Vasallen-Vasallen ist nicht mein Vasall."

Das Verhältnis von "aussehen ähnlich" auf den Set von Menschen hat nicht das Eigentum der Transitivität.

Für eine beliebige Beziehung finden Sie die minimale transitive Beziehung, so dass AB. Eine solche Haltung ist der transitive Verschluss der Beziehung.

Beispiel 3.1. Die transitive Schließung der binären Beziehung auf dem Set von Menschen "zu einem Kind" ist das Verhältnis von "als Nachkommen".

Fairer Theorem.

Theorem 3.2. Für jede Beziehung ist der transitive Verschluss gleich der Kreuzung aller transitiven Beziehungen, einschließlich einer Teilmenge.

Definition 3.6. Die binäre Haltung des Sets X wird als angeschlossen angerufen, wenn für zwei verschiedene Elemente A und B A * B oder B * A erfolgen:

(A, B, C x) (AB A * B B * A).

Ein Beispiel für eine kohärente Beziehung ist das Verhältnis von "mehr" auf dem Satz gültiger Zahlen. Das Verhältnis ist "Teilen" auf einer Vielzahl von Ganzzahlen ist nicht verbunden.

4. Invarianz der Beziehungen

In diesem Absatz werden wir einige Fälle auflisten, wenn bestimmte Eigenschaften der Beziehungen beim Überführen von Operationen gespeichert werden.

Theorem 4.4. Um das Produkt von symmetrischen Beziehungen, ist es symmetrisch, es ist notwendig und reicht für die Beziehung und pendelt.

Äquivalenzverhältnis

Eine wichtige Art der binären Beziehung ist das Äquivalenzverhältnis.

Definition 1. Die binäre Haltung auf dem Set X wird das Äquivalenzverhältnis zu X bezeichnet, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Das Äquivalenzverhältnis wird häufig von Symbolen ~, bezeichnet.

Beispiele für das Äquivalenzverhältnis dienen:

das Identitätsverhältnis I x \u003d ((a, a) | AX) auf einem nicht leeren Satz x;

das Verhältnis der Parallelität auf dem Set der direkten Ebene;

das Verhältnis der Ähnlichkeit auf dem Satz von ebenen Formen;

das Verhältnis der Gleichheit an dem Satz von Gleichungen;

haltung ", um die gleichen Rückstände bei einer festen natürlichen Zahl M" auf mehreren Ganzzahlen aufzuteilen. Dieses Verhältnis in der Mathematik wird als Verhältnis der Vergleichbarkeit des Moduls M als Verhältnis von AB (Mod M) bezeichnet.

das Verhältnis "gehört zu einem Typ" an den Tierensatz;

das Verhältnis von "sei Verwandten" auf dem Satz von Menschen;

das Verhältnis von "einem Wachstum" auf einer Vielzahl von Menschen;

haltung ", um im selben Haus zu leben" auf einer Vielzahl von Menschen.

Die Beziehung "auf einer Straße wohnen", "ähnlich sein" auf dem Satz von Menschen sind keine Äquivalenz-Beziehungen, da sie nicht über das Eigentum der Transitivität verfügen.

Von den obigen Eigenschaften von binären Beziehungen folgt er, dass der Schnittpunkt der Äquivalenz-Beziehung das Äquivalenzverhältnis ist.

Äquivalenzklassen

Mit der Äquivalenzhaltung ist die Spaltung des Satzes pro Klassen eng miteinander verbunden.

Definition 1. Das System von nicht leeren Teilmengen

(M 1, m 2, ...)

mehrere M wird als Spaltung dieses Sets angezeigt, wenn

Die Sätze M 1, M 2, ... werden als Klassen dieser Partition bezeichnet.

Beispiele für Parteien dienen:

zersetzung aller Polygone in Gruppen in der Anzahl der Scheitelpunkte - Dreiecke, Quadrangel, Pentagons usw.;

trennung aller Dreiecke nach den Eigenschaften der Winkel (akut abgewinkelt, rechteckig, dumm);

die Partition aller Dreiecke nach den Eigenschaften der Parteien (vielseitig, gleich, gleichseitig);

die Partition aller Dreiecke auf den Klassen ähnlicher Dreiecke;

verkauf einer Vielzahl aller Schüler in dieser Schulklasse.

Der weit verbreitete Einsatz von Äquivalenzbeziehungen in der modernen Wissenschaft ist auf die Tatsache, dass jede Äquivalenzzusammensetzung die Einstellung des Sets durchführt, in dem er definiert ist, wobei die Klassen normalerweise für neue Objekte genommen werden. Mit anderen Worten, mit Hilfe von Äquivalenz-Beziehungen werden neue Objekte generiert, Konzepte.

Somit bricht das Verhältnis des Strahlungskühlers beispielsweise den Satz aller Strahlen der Ebene oder des Raums auf den Klassen der beschichteten Strahlen. Jede dieser Strahlenklassen wird als Richtung bezeichnet. Somit empfängt das intuitive Konzept der Richtung eine genaue mathematische Beschreibung als eine Klasse der Unterteilung eines Satzes von Strahlen durch Äquivalenzverhältnis.

Über solche Zahlen werden normalerweise angezeigt, dass sie die gleiche Form haben. Aber was ist eine Form einer geometrischen Form? Es ist intuitiv, dass dies allgemein ist, der solche Zahlen vereint. Mit dem Äquivalenzverhältnis wird dieses intuitive Konzept zur Genauigkeit mathematischer verwaltet. Das Ähnlichkeitsverhältnis, ein Äquivalenzverhältnis, bricht die vielen Zahlen auf den Klassen solcher Figuren. Jede dieser Klasse kann als Formular bezeichnet werden. Dann hat der Ausdruck "zwei identische Figuren die gleiche Form", die folgende genaue Bedeutung hat "Zwei ähnliche Zahlen gehören zu einer Form."

Äquivalenz-Beziehungen werden überall gefunden, wo Sets von Sets auf Klassen. Wir benutzen sie oft, ohne es zu bemerken.

Wir geben ein elementares Beispiel. Wenn Kinder mit vielen mehrfarbigen Spielzeugen spielen (zum Beispiel mit Dielesh-Blöcken) und entscheiden, Spielzeug in Farben zu zersetzen, dann genießen sie die Beziehung ", um eine Farbe zu haben". Als Ergebnis der Klassen der monochromen Figuren empfangen werden von Kindern als neue Konzepte wahrgenommen: rot, gelb, blau usw.

In ähnlicher Weise erhalten Kinder als Folge der Lösung des Problems der Zersetzung von Blöcken in Form von Kindern Klassen, von denen jedes als Form wahrgenommen wird: rechteckig, rund, dreieckig usw.

Die Beziehung zwischen den Äquivalenzbeziehungen, die auf dem Satz M definiert sind, und die Trennwände des Satzes M in Klassen werden in den folgenden zwei Thermodeln beschrieben.

Theorem 1 Jede Partitionierung eines nicht leeren Satzes M in Klassen bestimmt (induziert) auf diesem eingestellten Äquivalenzverhältnis derart, dass:

alle zwei Elemente derselben Klasse sind in Bezug auf;

alle zwei Elemente verschiedener Klassen sind nicht in Bezug auf. Beweise. Lassen Sie dort eine Partitionierung eines nicht leeren Satzes M. M. ermitteln Sie das Binärverhältnis wie folgt: Xay (K) (XK & YK).

Das heißt, die beiden Elemente x und y A für den Satz M sind dem Verhältnis dabei mit dem Verhältnis verbunden, wenn es eine solche Klasse K gibt, die gleichzeitig die Elemente X und Y gehört.

Eine bestimmte Beziehung ist also offensichtlich reflexiv und symmetrisch. Wir beweisen die Transitivität der Beziehung. Lassen Sie x * y und x * z sein. Dann gibt es definitionsgemäß Klassen K 1 und K 2 wie X, YK 1 und Y, ZK 2. Da verschiedene Klassen in Partitionen keine gemeinsamen Elemente haben, dann ist k 1 \u003d k 2, dh x, z k 1. Daher, X * Z, das zum Beweisen erforderlich war.

Satz 2. Etwas Äquivalenzverhältnis in einem nicht leeren Satz M erzeugt die Partition dieses Satzes auf den Äquivalenzklassen, so dass alle möglichen zwei Elemente derselben Klasse in Bezug auf sein;

alle zwei Elemente verschiedener Klassen sind nicht in Bezug auf.

Beweise. Sei B ein Äquivalenzverhältnis auf dem Satz M sein

Das Subset-System [x] bildet in der Tat das Aufteilen des Satzes M. in der Tat, zunächst jede Teilmenge [X] O, da aufgrund der Reflexivität des Verhältnisses x [x].

Zweitens haben zwei verschiedene Teilmengen [x] und [y] keine gemeinsamen Elemente. Wenn Sie von der anderen streiten, sagen wir, dass das Vorhandensein eines Elements Z so ist, dass Z [X] und Z [y]. Dann Zax und Zay. Daher ist für jedes Element A [x] von a * x, z * x und z * y aufgrund von Symmetrie und Transitivität ein * y folgt, also ein [y]. Folglich [x] [y]. In ähnlicher Weise erhalten wir das [y] [x]. Die beiden erhaltenen Einschlüsse unterhalten die Gleichheit [x] \u003d [y], die der Annahme der Nichtübereinstimmung von Subsets [x] und [y] widerspricht. Somit [x] y] \u003d O.

Drittens fällt die Verschmelzung aller Teilmengen [x] mit dem Satz M zusammen, denn für jedes Element XM wird der X [X] -Zmittel durchgeführt.

Das System von Subsets [X] bildet also die Spaltung des Satzes M. Es ist leicht zu zeigen, dass die konstruierte Trennwand die Bedingungen des Satzes erfüllt. Die Aufteilung des Satzes M, der die im Satz angegebenen Eigenschaften aufweist, wird als Satz von Set M mit Respekt und bezeichnetem M / B bezeichnet.