Η διαίρεση είναι μία από τις τέσσερις βασικές μαθηματικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός). Η διαίρεση, όπως και άλλες πράξεις, είναι σημαντική όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά και στην καθημερινή ζωή. Για παράδειγμα, θα παραδώσετε χρήματα σε όλη την τάξη (25 άτομα) και θα αγοράσετε ένα δώρο για τον δάσκαλο, αλλά δεν θα ξοδέψετε τα πάντα, θα υπάρξει αλλαγή. Άρα θα χρειαστεί να μοιράσετε την αλλαγή μεταξύ όλων. Η λειτουργία διαίρεσης έρχεται για να σας βοηθήσει να λύσετε αυτό το πρόβλημα.

Η διαίρεση είναι μια ενδιαφέρουσα επιχείρηση, όπως θα δούμε μαζί σας σε αυτό το άρθρο!

Διαίρεση αριθμών

Λίγη θεωρία λοιπόν και μετά πράξη! Τι είναι διαίρεση; Διαίρεση είναι να χωρίζει κάτι σε ίσα μέρη. Δηλαδή, μπορεί να είναι ένα σακουλάκι με σοκολάτες που πρέπει να χωριστεί σε ίσα μέρη. Για παράδειγμα, υπάρχουν 9 γλυκά σε μια τσάντα και το άτομο που θέλει να τα πάρει - τρία. Στη συνέχεια, πρέπει να μοιράσετε αυτές τις 9 σοκολάτες σε τρία άτομα.

Είναι γραμμένο ως εξής: 9: 3, η απάντηση θα είναι ο αριθμός 3. Δηλαδή, η διαίρεση του αριθμού 9 με τον αριθμό 3 δείχνει τον αριθμό των τριών αριθμών που περιέχονται στον αριθμό 9. Η αντίθετη ενέργεια, μια δοκιμή, θα είναι πολλαπλασιασμός. 3 * 3 = 9. Σωστά? Απολύτως.

Ας δούμε λοιπόν το παράδειγμα 12:6. Αρχικά, ας ονομάσουμε κάθε στοιχείο στο παράδειγμα. 12 - μέρισμα, δηλαδή. ένας αριθμός που μπορεί να χωριστεί σε μέρη. 6 - διαιρέτης, αυτός είναι ο αριθμός των μερών με τα οποία διαιρείται το μέρισμα. Και το αποτέλεσμα θα είναι ένας αριθμός που ονομάζεται "πηλίκο".

Διαιρέστε το 12 με το 6, η απάντηση θα είναι ο αριθμός 2. Μπορείτε να ελέγξετε τη λύση πολλαπλασιάζοντας: 2 * 6 = 12. Αποδεικνύεται ότι ο αριθμός 6 περιέχεται 2 φορές στον αριθμό 12.

Διαίρεση με υπόλοιπο

Τι είναι η διαίρεση με το υπόλοιπο; Αυτή είναι η ίδια διαίρεση, μόνο που το αποτέλεσμα δεν είναι ζυγός αριθμός, όπως φαίνεται παραπάνω.

Για παράδειγμα, διαιρέστε το 17 με το 5. Επειδή ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρείται με το 5 στο 17 είναι 15, η απάντηση είναι 3 και το υπόλοιπο είναι 2, και γράφεται ως εξής: 17: 5 = 3 (2).

Για παράδειγμα, 22: 7. Με τον ίδιο τρόπο, προσδιορίζουμε τον μέγιστο αριθμό που διαιρείται με το 7 στο 22. Αυτός ο αριθμός είναι 21. Η απάντηση τότε θα είναι: 3 και υπόλοιπο 1. Και γράφεται: 22: 7 = 3 (1).

Διαίρεση με το 3 και το 9

Μια ειδική περίπτωση διαίρεσης θα είναι η διαίρεση με τον αριθμό 3 και τον αριθμό 9. Εάν θέλετε να μάθετε εάν ένας αριθμός μπορεί να διαιρεθεί με το 3 ή το 9 χωρίς υπόλοιπο, τότε χρειάζεστε:

Βρείτε το άθροισμα των ψηφίων του μερίσματος.

Διαιρέστε με το 3 ή το 9 (όποιο θέλετε).

Εάν η απάντηση ληφθεί χωρίς υπόλοιπο, τότε ο αριθμός θα διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 18. Το άθροισμα των ψηφίων είναι 1 + 8 = 9. Το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται και με το 3 και με το 9. Ο αριθμός 18: 9 = 2, 18: 3 = 6. Διαιρείται χωρίς υπόλοιπο.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 63. Το άθροισμα των ψηφίων 6 + 3 = 9. Διαιρείται και με το 9 και με το 3. 63: 9 = 7 και 63: 3 = 21. Τέτοιες πράξεις εκτελούνται με οποιονδήποτε αριθμό για να διαπιστωθεί εάν διαιρείται με το υπόλοιπο 3 ή 9 ή όχι.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι αντίθετες πράξεις. Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως δοκιμή για τη διαίρεση και η διαίρεση ως δοκιμή για τον πολλαπλασιασμό. Μπορείτε να μάθετε περισσότερα σχετικά με τον πολλαπλασιασμό και να κυριαρχήσετε τη λειτουργία στο άρθρο μας για τον πολλαπλασιασμό. Το οποίο περιγράφει αναλυτικά τον πολλαπλασιασμό και πώς να το κάνετε σωστά. Εκεί θα βρείτε επίσης τον πίνακα πολλαπλασιασμού και παραδείγματα για εκπαίδευση.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα ελέγχου διαίρεσης και πολλαπλασιασμού. Ας υποθέσουμε ότι το παράδειγμα είναι 6 * 4. Απάντηση: 24. Στη συνέχεια ελέγξτε την απάντηση με διαίρεση: 24: 4 = 6, 24: 6 = 4. Επιλύθηκε σωστά. Στην περίπτωση αυτή, ο έλεγχος πραγματοποιείται διαιρώντας την απάντηση με έναν από τους παράγοντες.

Ή δίνεται ένα παράδειγμα για τη διαίρεση 56: 8. Απάντηση: 7. Τότε ο έλεγχος θα είναι 8 * 7 = 56. Σωστά? Ναί. Στην περίπτωση αυτή, ο έλεγχος γίνεται πολλαπλασιάζοντας την απάντηση με τον διαιρέτη.

Κατηγορία 3 τάξη

Στην τρίτη δημοτικού ο διχασμός μόλις αρχίζει. Επομένως, οι μαθητές της τρίτης τάξης λύνουν τα πιο απλά προβλήματα:

Πρόβλημα 1... Σε έναν εργάτη εργοστασίου δόθηκε το καθήκον να τακτοποιήσει 56 κέικ σε 8 πακέτα. Πόσες τούρτες πρέπει να βάλετε σε κάθε συσκευασία για να έχετε την ίδια ποσότητα σε κάθε συσκευασία;

Πρόβλημα 2... Την παραμονή της Πρωτοχρονιάς στο σχολείο έδιναν στα παιδιά 75 γλυκά για μια τάξη 15 μαθητών. Πόσα γλυκά πρέπει να πάρει κάθε παιδί;

Πρόβλημα 3... Οι Ρόμα, Σάσα και Μίσα μάζεψαν 27 μήλα από τη μηλιά. Πόσα μήλα θα πάρει το καθένα αν μοιράζονται ίσα;

Πρόβλημα 4... Τέσσερις φίλοι αγόρασαν 58 μπισκότα. Στη συνέχεια όμως συνειδητοποίησαν ότι δεν μπορούσαν να τους μοιράσουν ίσα. Πόσοι τύποι πρέπει να αγοράσουν μπισκότα για να πάρουν όλοι 15 κομμάτια;

Τμήμα 4 τάξη

Η διαίρεση στην τέταρτη τάξη είναι πιο σοβαρή από την τρίτη. Όλοι οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται με τη μέθοδο της διαίρεσης σε στήλη και οι αριθμοί που συμμετέχουν στη διαίρεση δεν είναι μικροί. Τι είναι η μακροχρόνια διαίρεση; Μπορείτε να βρείτε την απάντηση παρακάτω:

Μακρά διαίρεση

Τι είναι η μακροχρόνια διαίρεση; Αυτή είναι μια μέθοδος που σας επιτρέπει να βρείτε την απάντηση στη διαίρεση μεγάλων αριθμών. Εάν οι πρώτοι αριθμοί όπως το 16 και το 4 μπορούν να διαιρεθούν, και η απάντηση είναι ξεκάθαρη - 4. Τότε το 512: 8 στο μυαλό δεν είναι εύκολο για ένα παιδί. Και να πούμε για την τεχνική για την επίλυση τέτοιων παραδειγμάτων είναι καθήκον μας.

Εξετάστε ένα παράδειγμα, 512: 8.

Βήμα 1... Ας γράψουμε το μέρισμα και τον διαιρέτη ως εξής:

Το πηλίκο θα γραφεί ως αποτέλεσμα κάτω από τον διαιρέτη και οι υπολογισμοί κάτω από το μέρισμα.

Βήμα 2... Ξεκινάμε τη διαίρεση από αριστερά προς τα δεξιά. Αρχικά, παίρνουμε τον αριθμό 5:

Βήμα 3... Ο αριθμός 5 είναι μικρότερος από τον αριθμό 8, πράγμα που σημαίνει ότι δεν θα είναι δυνατή η διαίρεση. Επομένως, παίρνουμε ένα ακόμη ψηφίο του μερίσματος:

Τώρα το 51 είναι περισσότερο από 8. Αυτό είναι ένα ημιτελές πηλίκο.

Βήμα 4... Βάζουμε μια τελεία κάτω από το διαχωριστικό.

Βήμα 5... Μετά το 51 υπάρχει άλλος αριθμός 2, που σημαίνει ότι θα υπάρχει άλλος αριθμός στην απάντηση, δηλαδή. το πηλίκο είναι διψήφιος αριθμός. Βάζουμε το δεύτερο σημείο:

Βήμα 6... Ξεκινάμε την επιχείρηση διαίρεσης. Ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο με το 8 στο 51 είναι το 48. Διαιρώντας το 48 με το 8, παίρνουμε 6. Γράψτε τον αριθμό 6 αντί για την πρώτη κουκκίδα κάτω από τον διαιρέτη:

Βήμα 7... Στη συνέχεια γράφουμε τον αριθμό ακριβώς κάτω από τον αριθμό 51 και βάζουμε το σύμβολο «-»:

Βήμα 8... Στη συνέχεια, αφαιρέστε το 48 από το 51 και λάβετε την απάντηση 3.

* 9 βήμα*. Καταρρίπτουμε τον αριθμό 2 και γράφουμε δίπλα στον αριθμό 3:

Βήμα 10Διαιρέστε τον αριθμό 32 που προκύπτει με το 8 και λάβετε το δεύτερο ψηφίο της απάντησης - 4.

Άρα η απάντηση είναι 64, δεν υπάρχει υπόλοιπο. Αν διαιρούσαμε τον αριθμό 513, τότε το υπόλοιπο θα ήταν ένα.

Διαίρεση τριψήφιων

Η διαίρεση τριψήφιων αριθμών πραγματοποιείται με διαίρεση μεγάλης διάρκειας, η οποία εξηγήθηκε στο παραπάνω παράδειγμα. Ένα παράδειγμα του ίδιου τριψήφιου αριθμού.

Διαίρεση κλασμάτων

Η διαίρεση των κλασμάτων δεν είναι τόσο δύσκολη όσο φαίνεται με την πρώτη ματιά. Για παράδειγμα, (2/3) :( 1/4). Η μέθοδος για αυτή τη διαίρεση είναι αρκετά απλή. 2/3 είναι το μέρισμα, 1/4 είναι ο διαιρέτης. Μπορείτε να αντικαταστήσετε το σύμβολο διαίρεσης (:) με πολλαπλασιασμό ( ), αλλά για αυτό πρέπει να ανταλλάξετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του διαιρέτη. Δηλαδή παίρνουμε: (2/3)(4/1), (2/3) * 4, αυτό ισούται με - 8/3 ή 2 ακέραιοι και 2/3 Ας δώσουμε ένα άλλο παράδειγμα, με μια απεικόνιση για καλύτερη κατανόηση. Θεωρήστε τα κλάσματα (4/7) :( 2/5):

Όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, αναστρέψτε τον διαιρέτη 2/5 και λάβετε 5/2, αντικαθιστώντας τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό. Παίρνουμε τότε (4/7) * (5/2). Κάνουμε μια αναγωγή και την απάντηση: 10/7, μετά βγάζουμε ολόκληρο το μέρος: 1 ολόκληρο και 3/7.

Διαίρεση ενός αριθμού σε τάξεις

Φανταστείτε τον αριθμό 148951784296 και διαιρέστε τον με τρία ψηφία: 148 951 784 296. Έτσι, από δεξιά προς τα αριστερά: 296 - κατηγορία μονάδων, 784 - κατηγορία χιλιάδων, 951 - κατηγορία εκατομμυρίων, 148 - κατηγορία δισεκατομμυρίων. Με τη σειρά τους, σε κάθε τάξη, 3 ψηφία έχουν τη δική τους κατηγορία. Από δεξιά προς τα αριστερά: το πρώτο ψηφίο είναι ένα, το δεύτερο ψηφίο είναι δεκάδες, το τρίτο είναι εκατοντάδες. Για παράδειγμα, η κατηγορία μονάδων είναι 296, το 6 είναι μονάδες, το 9 είναι δεκάδες, το 2 είναι εκατοντάδες.

Διαίρεση φυσικών αριθμών

Η διαίρεση φυσικών αριθμών είναι η απλούστερη διαίρεση που περιγράφεται σε αυτό το άρθρο. Μπορεί να είναι με ή χωρίς υπόλοιπο. Ο διαιρέτης και ο διαιρετέος μπορεί να είναι οποιοσδήποτε μη κλασματικός, ακέραιος αριθμός.

Παρακολουθήστε το μάθημα "Επιτάχυνση της λεκτικής μέτρησης, ΟΧΙ της νοητικής αριθμητικής" για να μάθετε πώς να προσθέτετε, να αφαιρείτε, να πολλαπλασιάζετε, να διαιρείτε, να τετραγωνίζετε και να ριζώνετε γρήγορα και σωστά. Σε 30 ημέρες, θα μάθετε πώς να χρησιμοποιείτε ελαφρά κόλπα για να απλοποιήσετε τις αριθμητικές πράξεις. Κάθε μάθημα έχει νέες τεχνικές, ξεκάθαρα παραδείγματα και χρήσιμες εργασίες.

Παρουσίαση τμήματος

Η παρουσίαση είναι ένας άλλος τρόπος για να εμφανιστεί οπτικά το θέμα της διαίρεσης. Παρακάτω θα βρούμε έναν σύνδεσμο προς μια εξαιρετική παρουσίαση που εξηγεί καλά πώς γίνεται η διαίρεση, τι είναι η διαίρεση, τι είναι το μέρισμα, ο διαιρέτης και το πηλίκο. Μην σπαταλάτε τον χρόνο σας, αλλά εμπεδώστε τις γνώσεις σας!

Παραδείγματα διαίρεσης

Εύκολο επίπεδο

Μέσο επίπεδο

Δύσκολο επίπεδο

Παιχνίδια για την ανάπτυξη της προφορικής καταμέτρησης

Ειδικά εκπαιδευτικά παιχνίδια που αναπτύχθηκαν με τη συμμετοχή Ρώσων επιστημόνων από το Skolkovo θα βοηθήσουν στη βελτίωση των δεξιοτήτων της προφορικής μέτρησης με ενδιαφέροντα τρόπο.

Μαντέψτε το παιχνίδι λειτουργίας

Το παιχνίδι «Μάντεψε την επέμβαση» αναπτύσσει τη σκέψη και τη μνήμη. Το κύριο σημείο του παιχνιδιού είναι να επιλέξετε ένα μαθηματικό πρόσημο έτσι ώστε η ισότητα να είναι σωστή. Υπάρχουν παραδείγματα στην οθόνη, κοιτάξτε προσεκτικά και βάλτε το επιθυμητό σύμβολο "+" ή "-" έτσι ώστε η ισότητα να είναι σωστή. Τα σημάδια "+" και "-" βρίσκονται στο κάτω μέρος της εικόνας, επιλέξτε το επιθυμητό σύμβολο και κάντε κλικ στο κουμπί που θέλετε. Αν απαντήσατε σωστά, συλλέγετε πόντους και συνεχίζετε να παίζετε.

Παιχνίδι απλοποίησης

Το Simplify αναπτύσσει τη σκέψη και τη μνήμη. Το κύριο σημείο του παιχνιδιού είναι να εκτελέσετε γρήγορα μια μαθηματική πράξη. Ένας μαθητής σχεδιάζεται στην οθόνη στον μαυροπίνακα και δίνεται μια μαθηματική ενέργεια, ο μαθητής πρέπει να υπολογίσει αυτό το παράδειγμα και να γράψει μια απάντηση. Παρακάτω υπάρχουν τρεις απαντήσεις, μετρήστε και κάντε κλικ στον αριθμό που χρειάζεστε με το ποντίκι. Αν απαντήσατε σωστά, συλλέγετε πόντους και συνεχίζετε να παίζετε.

Παιχνίδι γρήγορης προσθήκης

Το παιχνίδι Fast Addition αναπτύσσει τη σκέψη και τη μνήμη. Το κύριο σημείο του παιχνιδιού είναι να επιλέξετε αριθμούς, το άθροισμα των οποίων είναι ίσο με έναν δεδομένο αριθμό. Σε αυτό το παιχνίδι δίνεται μια μήτρα από το ένα έως το δεκαέξι. Ένας δεδομένος αριθμός γράφεται πάνω από τον πίνακα, πρέπει να επιλέξετε τους αριθμούς στον πίνακα έτσι ώστε το άθροισμα αυτών των αριθμών να είναι ίσο με τον καθορισμένο αριθμό. Αν απαντήσατε σωστά, συλλέγετε πόντους και συνεχίζετε να παίζετε.

Παιχνίδι Οπτικής Γεωμετρίας

Η Οπτική Γεωμετρία αναπτύσσει τη σκέψη και τη μνήμη. Το κύριο σημείο του παιχνιδιού είναι να μετρήσετε γρήγορα τον αριθμό των ζωγραφισμένων αντικειμένων και να τον επιλέξετε από τη λίστα των απαντήσεων. Σε αυτό το παιχνίδι, τα μπλε τετράγωνα εμφανίζονται στην οθόνη για λίγα δευτερόλεπτα, πρέπει να μετρηθούν γρήγορα και μετά να κλείσουν. Κάτω από τον πίνακα, γράφονται τέσσερις αριθμοί, πρέπει να επιλέξετε έναν σωστό αριθμό και να κάνετε κλικ σε αυτόν με το ποντίκι. Αν απαντήσατε σωστά, συλλέγετε πόντους και συνεχίζετε να παίζετε.

Το παιχνίδι κουμπαράς

Το παιχνίδι "κουμπαράς" αναπτύσσει τη σκέψη και τη μνήμη. Το κύριο θέμα του παιχνιδιού είναι να επιλέξετε ποιος κουμπαράς έχει περισσότερα χρήματα.Σε αυτό το παιχνίδι σας δίνονται τέσσερις κουμπαράς, πρέπει να μετρήσετε ποιος κουμπαράς έχει περισσότερα χρήματα και να δείξετε αυτόν τον κουμπαρά με το ποντίκι. Εάν απαντήσατε σωστά, τότε συλλέγετε πόντους και συνεχίζετε να παίζετε περαιτέρω.

Γρήγορη προσθήκη Παιχνίδι επαναφόρτωσης

Το παιχνίδι Rapid Addition Reloading αναπτύσσει τη σκέψη, τη μνήμη και την προσοχή. Το κύριο σημείο του παιχνιδιού είναι να επιλέξετε τους σωστούς όρους, το άθροισμα των οποίων θα είναι ίσο με έναν δεδομένο αριθμό. Σε αυτό το παιχνίδι, δίνονται τρεις αριθμοί στην οθόνη και δίνεται μια εργασία, προσθέστε τον αριθμό, η οθόνη δείχνει ποιος αριθμός πρέπει να προστεθεί. Επιλέγετε τους επιθυμητούς αριθμούς από τρία ψηφία και τους πατάτε. Εάν απαντήσατε σωστά, τότε συλλέγετε πόντους και συνεχίζετε να παίζετε περαιτέρω.

Ανάπτυξη φαινομενικής στοματικής καταμέτρησης

Καλύψαμε μόνο την κορυφή του παγόβουνου, για να κατανοήσουμε καλύτερα τα μαθηματικά - εγγραφείτε στο μάθημά μας: Επιτάχυνση της λεκτικής μέτρησης - ΟΧΙ νοητικής αριθμητικής.

Από το μάθημα, όχι μόνο θα μάθετε δεκάδες τεχνικές απλοποιημένου και γρήγορου πολλαπλασιασμού, πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης, υπολογισμού ποσοστού, αλλά και να τις επεξεργαστείτε σε ειδικές εργασίες και εκπαιδευτικά παιχνίδια! Η λεκτική καταμέτρηση απαιτεί επίσης πολλή προσοχή και συγκέντρωση, τα οποία εκπαιδεύονται ενεργά όταν λύνουν ενδιαφέροντα προβλήματα.

Ταχεία ανάγνωση σε 30 ημέρες

Αυξήστε την ταχύτητα ανάγνωσης 2-3 φορές σε 30 ημέρες. Από 150-200 έως 300-600 λέξεις το λεπτό ή από 400 έως 800-1200 λέξεις το λεπτό. Το μάθημα χρησιμοποιεί παραδοσιακές ασκήσεις για την ανάπτυξη της ταχείας ανάγνωσης, συζητούνται τεχνικές που επιταχύνουν την εργασία του εγκεφάλου, η μέθοδος προοδευτικής αύξησης της ταχύτητας ανάγνωσης, η ψυχολογία της ταχείας ανάγνωσης και οι ερωτήσεις των συμμετεχόντων στο μάθημα. Κατάλληλο για παιδιά και ενήλικες που διαβάζουν έως και 5000 λέξεις το λεπτό.

Ανάπτυξη μνήμης και προσοχής σε παιδί 5-10 ετών

Το μάθημα περιλαμβάνει 30 μαθήματα με χρήσιμες συμβουλές και ασκήσεις για την ανάπτυξη των παιδιών. Κάθε μάθημα περιέχει χρήσιμες συμβουλές, πολλές ενδιαφέρουσες ασκήσεις, μια εργασία για το μάθημα και ένα επιπλέον μπόνους στο τέλος: ένα εκπαιδευτικό μίνι παιχνίδι από τον συνεργάτη μας. Διάρκεια μαθήματος: 30 ημέρες. Το μάθημα είναι χρήσιμο όχι μόνο για τα παιδιά, αλλά και για τους γονείς τους.

Σούπερ μνήμη σε 30 ημέρες

Απομνημονεύστε τις απαραίτητες πληροφορίες γρήγορα και για μεγάλο χρονικό διάστημα. Αναρωτιέστε πώς να ανοίξετε μια πόρτα ή να πλύνετε τα μαλλιά σας; Είμαι σίγουρος ότι όχι, γιατί αυτό είναι μέρος της ζωής μας. Οι εύκολες και απλές ασκήσεις για να εκπαιδεύσετε τη μνήμη σας μπορούν να γίνουν μέρος της ζωής και να γίνουν σιγά σιγά κατά τη διάρκεια της ημέρας. Εάν τρώτε την ημερήσια μερίδα του φαγητού κάθε φορά, μπορείτε να τρώτε σε μερίδες όλη την ημέρα.

Μυστικά γυμναστικής εγκεφάλου, μνήμη τρένου, προσοχή, σκέψη, μέτρηση

Ο εγκέφαλος, όπως και το σώμα, χρειάζεται φυσική κατάσταση. Η άσκηση δυναμώνει το σώμα, οι νοητικές ασκήσεις αναπτύσσουν τον εγκέφαλο. 30 ημέρες χρήσιμων ασκήσεων και εκπαιδευτικών παιχνιδιών για την ανάπτυξη της μνήμης, της συγκέντρωσης, της ευφυΐας και της ταχύτητας ανάγνωσης θα ενισχύσουν τον εγκέφαλο, μετατρέποντάς τον σε σκληρό καρύδι.

Χρήματα και νοοτροπία εκατομμυριούχου

Γιατί υπάρχουν προβλήματα με τα χρήματα; Σε αυτό το μάθημα, θα απαντήσουμε λεπτομερώς σε αυτό το ερώτημα, θα εξετάσουμε βαθύτερα το πρόβλημα, θα εξετάσουμε τη σχέση μας με τα χρήματα από ψυχολογική, οικονομική και συναισθηματική άποψη. Από το μάθημα θα μάθετε τι πρέπει να κάνετε για να λύσετε όλα τα οικονομικά σας προβλήματα, να αρχίσετε να συγκεντρώνετε χρήματα και να τα επενδύετε στο μέλλον.

Η γνώση της ψυχολογίας του χρήματος και του τρόπου εργασίας με αυτά κάνει έναν άνθρωπο εκατομμυριούχο. Το 80% των ατόμων με αύξηση εισοδήματος παίρνει περισσότερα δάνεια, γίνονται ακόμη φτωχότεροι. Από την άλλη, οι αυτοδημιούργητοι εκατομμυριούχοι θα ξαναβγάλουν εκατομμύρια σε 3-5 χρόνια αν ξεκινήσουν από το μηδέν. Αυτό το μάθημα διδάσκει την κατάλληλη κατανομή εσόδων και μείωση του κόστους, δίνει κίνητρα για μελέτη και επίτευξη στόχων, διδάσκει την επένδυση και την αναγνώριση μιας απάτης.

Με αυτό το πρόγραμμα μαθηματικών, μπορείτε να διαιρέσετε πολυώνυμα με μια στήλη.
Το πρόγραμμα διαίρεσης πολυωνύμου με πολυώνυμο δεν δίνει απλώς απάντηση στο πρόβλημα, δίνει αναλυτική λύση με επεξηγήσεις, δηλ. εμφανίζει τη διαδικασία επίλυσης προκειμένου να ελέγξει τις γνώσεις των μαθηματικών ή/και της άλγεβρας.

Αυτό το πρόγραμμα μπορεί να είναι χρήσιμο για τους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης στην προετοιμασία για τεστ και εξετάσεις, όταν ελέγχουν τις γνώσεις πριν από τις εξετάσεις, για τους γονείς να ελέγχουν την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά και την άλγεβρα. Ή μήπως είναι πολύ ακριβό για εσάς να προσλάβετε δάσκαλο ή να αγοράσετε νέα σχολικά βιβλία; Ή απλά θέλετε να ολοκληρώσετε την εργασία σας στα μαθηματικά ή την άλγεβρα όσο το δυνατόν γρηγορότερα; Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα προγράμματά μας με μια λεπτομερή λύση.

Με αυτόν τον τρόπο, μπορείτε να διεξάγετε τη δική σας διδασκαλία ή/και τη διδασκαλία των μικρότερων αδερφών σας, ενώ αυξάνεται το επίπεδο εκπαίδευσης στον τομέα των προβλημάτων που επιλύονται.

Εάν χρειάζεστε ή απλοποίηση πολυωνύμουή πολλαπλασιάζω πολυώνυμα, τότε για αυτό έχουμε ξεχωριστό πρόγραμμα Απλοποίηση (πολλαπλασιασμός) του πολυωνύμου

Το πρώτο πολυώνυμο (μέρισμα - τι διαιρούμε):

Το δεύτερο πολυώνυμο (διαιρέτης - με τι διαιρούμε):

Διαίρεση πολυωνύμων

Διαπιστώθηκε ότι ορισμένα σενάρια που απαιτούνται για την επίλυση αυτού του προβλήματος δεν φορτώθηκαν και το πρόγραμμα ενδέχεται να μην λειτουργεί.
Ίσως έχετε ενεργοποιημένο το AdBlock.
Σε αυτήν την περίπτωση, απενεργοποιήστε το και ανανεώστε τη σελίδα.

Η Javascript είναι απενεργοποιημένη στον browser σας.
Για να εμφανιστεί η λύση, πρέπει να ενεργοποιήσετε τη JavaScript.
Ακολουθούν οδηγίες σχετικά με τον τρόπο ενεργοποίησης της JavaScript στο πρόγραμμα περιήγησής σας.

Επειδή Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που θέλουν να λύσουν το πρόβλημα, το αίτημά σας βρίσκεται στην ουρά.
Μετά από λίγα δευτερόλεπτα, η λύση θα εμφανιστεί παρακάτω.
Περίμενε Παρακαλώ δευτερόλεπτο...

Αν εσύ παρατήρησε ένα σφάλμα στη λύση, τότε μπορείτε να γράψετε για αυτό στη Φόρμα σχολίων.
Μην ξεχάσεις υποδεικνύουν ποια εργασίαεσύ αποφασίζεις και τι εισάγετε στα πεδία.

Τα παιχνίδια, τα παζλ, οι εξομοιωτές μας:

Λίγη θεωρία.

Διαίρεση πολυωνύμου με πολυώνυμο (διώνυμο) με στήλη (γωνία)

Στην άλγεβρα διαίρεση πολυωνύμων με στήλη (γωνία)- έναν αλγόριθμο για τη διαίρεση του πολυωνύμου f (x) με το πολυώνυμο (διώνυμο) g (x), ο βαθμός του οποίου είναι μικρότερος ή ίσος με τον βαθμό του πολυωνύμου f (x).

Ο αλγόριθμος για τη διαίρεση ενός πολυωνύμου με ένα πολυώνυμο είναι μια γενικευμένη μορφή διαίρεσης αριθμών με μια στήλη, που υλοποιείται εύκολα με το χέρι.

Για οποιαδήποτε πολυώνυμα \ (f (x) \) και \ (g (x) \), \ (g (x) \ neq 0 \), υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα \ (q (x) \) και \ (r ( x ) \) τέτοιο ώστε
\ (\ frac (f (x)) (g (x)) = q (x) + \ frac (r (x)) (g (x)) \)
και το \ (r (x) \) έχει χαμηλότερο βαθμό από το \ (g (x) \).

Ο στόχος του αλγορίθμου για τη διαίρεση πολυωνύμων σε μια στήλη (γωνία) είναι να βρει το πηλίκο \ (q (x) \) και το υπόλοιπο \ (r (x) \) για ένα δεδομένο μέρισμα \ (f (x) \) και μη μηδενικός διαιρέτης \ (g (x) \)

Παράδειγμα

Διαιρούμε ένα πολυώνυμο με ένα άλλο πολυώνυμο (διώνυμο) με μια στήλη (γωνία):
\ (\ μεγάλο \ φράκ (x ^ 3-12x ^ 2-42) (x-3) \)

Το πηλίκο και το υπόλοιπο των δεδομένων πολυωνύμων μπορούν να βρεθούν εκτελώντας τα ακόλουθα βήματα:
1. Διαιρέστε το πρώτο στοιχείο του μερίσματος με το κύριο στοιχείο του διαιρέτη, τοποθετήστε το αποτέλεσμα κάτω από τη γραμμή \ ((x ^ 3 / x = x ^ 2) \)

\ (Χ \) \(-3 \) \ (x ^ 2 \)

3. Αφαιρέστε το πολυώνυμο που προέκυψε μετά τον πολλαπλασιασμό από το μέρισμα, γράψτε το αποτέλεσμα κάτω από τη γραμμή \ ((x ^ 3-12x ^ 2 + 0x-42- (x ^ 3-3x ^ 2) = - 9x ^ 2 + 0x- 42) \)

\ (x ^ 3 \) \ (- 12x ^ 2 \) \ (+ 0x \) \(-42 \) \ (x ^ 3 \) \ (- 3x ^ 2 \) \ (- 9x ^ 2 \) \ (+ 0x \) \(-42 \)

\ (Χ \) \(-3 \) \ (x ^ 2 \)

4. Επαναλάβετε τα προηγούμενα 3 βήματα, χρησιμοποιώντας το πολυώνυμο κάτω από τη γραμμή ως μέρισμα.

\ (x ^ 3 \) \ (- 12x ^ 2 \) \ (+ 0x \) \(-42 \) \ (x ^ 3 \) \ (- 3x ^ 2 \) \ (- 9x ^ 2 \) \ (+ 0x \) \(-42 \) \ (- 9x ^ 2 \) \ (+ 27x \) \ (- 27x \) \(-42 \)

\ (Χ \) \(-3 \) \ (x ^ 2 \) \ (- 9x \)

5. Επαναλάβετε το βήμα 4.

\ (x ^ 3 \) \ (- 12x ^ 2 \) \ (+ 0x \) \(-42 \) \ (x ^ 3 \) \ (- 3x ^ 2 \) \ (- 9x ^ 2 \) \ (+ 0x \) \(-42 \) \ (- 9x ^ 2 \) \ (+ 27x \) \ (- 27x \) \(-42 \) \ (- 27x \) \(+81 \) \(-123 \)

\ (Χ \) \(-3 \) \ (x ^ 2 \) \ (- 9x \) \(-27 \)

6. Τέλος του αλγορίθμου.
Έτσι, το πολυώνυμο \ (q (x) = x ^ 2-9x-27 \) είναι το πηλίκο της διαίρεσης των πολυωνύμων και \ (r (x) = - 123 \) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης των πολυωνύμων.

Το αποτέλεσμα της διαίρεσης πολυωνύμων μπορεί να γραφτεί ως δύο ισότητες:
\ (x ^ 3-12x ^ 2-42 = (x-3) (x ^ 2-9x-27) -123 \)
ή
\ (\ μεγάλο (\ frac (x ^ 3-12x ^ 2-42) (x-3)) = x ^ 2-9x-27 + \ μεγάλο (\ frac (-123) (x-3)) \)

Οι στήλες αποτελούν αναπόσπαστο μέρος του σχολικού προγράμματος σπουδών και απαραίτητη γνώση για ένα παιδί. Για να αποφύγετε προβλήματα στην τάξη και με την εφαρμογή τους, θα πρέπει να δώσετε στο παιδί σας βασικές γνώσεις από μικρό.

Είναι πολύ πιο εύκολο να εξηγήσετε ορισμένα πράγματα και διαδικασίες σε ένα παιδί με παιχνιδιάρικο τρόπο, και όχι με τη μορφή ενός τυπικού μαθήματος (αν και σήμερα υπάρχει μεγάλη ποικιλία μεθόδων διδασκαλίας σε διαφορετικές μορφές).

Σε αυτό το άρθρο, θα μάθετε

Αρχή διαίρεσης για νήπια

Τα παιδιά έρχονται συνεχώς αντιμέτωπα με διαφορετικούς μαθηματικούς όρους, χωρίς καν να γνωρίζουν από πού είναι. Άλλωστε πολλές μούμιες, με τη μορφή παιχνιδιού, εξηγούν στο παιδί ότι ο μπαμπάς είναι περισσότερο πιάτο, για να πάει πιο πέρα ​​στο νηπιαγωγείο παρά στο μαγαζί και άλλα απλά παραδείγματα. Όλα αυτά παρουσιάζουν στο παιδί μια αρχική εντύπωση για τα μαθηματικά, ακόμη και πριν το παιδί πάει στην πρώτη δημοτικού.

Για να διδάξετε ένα παιδί να διαιρεί χωρίς υπόλοιπο, και αργότερα με υπόλοιπο, είναι απαραίτητο να προσκαλέσετε απευθείας το παιδί να παίξει παιχνίδια με τη διαίρεση. Μοιράστε, για παράδειγμα, καραμέλες μεταξύ τους και, στη συνέχεια, προσθέστε τους ακόλουθους συμμετέχοντες με τη σειρά.

Αρχικά, το παιδί θα μοιράσει τις καραμέλες, δίνοντας σε κάθε συμμετέχοντα ένα. Και στο τέλος, όλοι μαζί, βγάλτε ένα συμπέρασμα. Θα πρέπει να διευκρινιστεί ότι «να διαιρέσεις» σημαίνει ότι όλοι έχουν τον ίδιο αριθμό γλυκών.

Εάν χρειάζεται να εξηγήσετε αυτή τη διαδικασία χρησιμοποιώντας αριθμούς, τότε μπορείτε να δώσετε ένα παράδειγμα με τη μορφή παιχνιδιού. Μπορούμε να πούμε ότι ο αριθμός είναι καραμέλα. Θα πρέπει να εξηγηθεί ότι ο αριθμός των σοκολατών που θα μοιραστούν μεταξύ των συμμετεχόντων είναι μέρισμα. Και ο αριθμός των ανθρώπων που μοιράζονται αυτά τα γλυκά είναι ο διαιρέτης.

Τότε θα πρέπει να τα δείξετε όλα ξεκάθαρα, να δώσετε «ζωντανά» παραδείγματα για να μάθετε γρήγορα το μωρό να χωρίζει. Ενώ παίζει, θα καταλάβει και θα κατακτήσει τα πάντα πολύ πιο γρήγορα. Ενώ ο αλγόριθμος θα είναι δύσκολο να εξηγηθεί, και τώρα δεν είναι απαραίτητο.

Πώς να διδάξετε στο μωρό σας τη μακρά διαίρεση

Η εξήγηση ενός μικρού κομματιού μαθηματικών είναι καλή προετοιμασία για να πάτε στην τάξη, ειδικά στο μάθημα μαθηματικών. Εάν αποφασίσετε να προχωρήσετε στη διδασκαλία της μακράς διαίρεσης στο παιδί σας, τότε έχει ήδη μάθει ενέργειες όπως πρόσθεση, αφαίρεση και τι είναι ο πίνακας πολλαπλασιασμού.

Εάν αυτό εξακολουθεί να προκαλεί κάποιες δυσκολίες γι 'αυτόν, τότε όλη αυτή η γνώση πρέπει να ενισχυθεί. Αξίζει να θυμηθούμε τον αλγόριθμο των ενεργειών των προηγούμενων διαδικασιών, να τους διδάξουμε να χρησιμοποιούν ελεύθερα τις γνώσεις τους. Διαφορετικά, το μωρό απλά θα μπερδευτεί σε όλες τις διαδικασίες και θα πάψει να καταλαβαίνει οτιδήποτε.

Για να γίνει πιο κατανοητό αυτό, υπάρχει τώρα ένας πίνακας διαίρεσης για νήπια. Η αρχή του είναι η ίδια με αυτή των πινάκων πολλαπλασιασμού. Χρειάζεται όμως ήδη ένας τέτοιος πίνακας αν το παιδί γνωρίζει τον πίνακα πολλαπλασιασμού; Εξαρτάται από το σχολείο και τον δάσκαλο.

Κατά τη διαμόρφωση της έννοιας της «διαίρεσης», είναι επιτακτική ανάγκη να κάνουμε τα πάντα με παιχνιδιάρικο τρόπο, να δίνουμε όλα τα παραδείγματα για πράγματα και αντικείμενα οικεία στο παιδί.

Είναι πολύ σημαντικό όλα τα αντικείμενα να είναι ζυγού αριθμού, ώστε να είναι ξεκάθαρο στο μωρό ότι το αποτέλεσμα είναι ίσα μέρη. Αυτό θα είναι σωστό, αφού θα επιτρέψει στο μωρό να συνειδητοποιήσει ότι η διαίρεση είναι η αντίστροφη διαδικασία πολλαπλασιασμού. Εάν τα αντικείμενα είναι περιττού αριθμού, τότε το σύνολο θα βγει με το υπόλοιπο και το μωρό θα μπερδευτεί.

Πολλαπλασιάστε και διαιρέστε χρησιμοποιώντας έναν πίνακα

Όταν εξηγείτε στο μωρό τη σχέση μεταξύ πολλαπλασιασμού και διαίρεσης, είναι απαραίτητο να τα δείξετε ξεκάθαρα όλα αυτά με ένα παράδειγμα. Για παράδειγμα: 5 x 3 = 15. Να θυμάστε ότι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι το γινόμενο δύο αριθμών.

Και μόνο μετά από αυτό, εξηγήστε ότι αυτή είναι η αντίστροφη διαδικασία του πολλαπλασιασμού και δείξτε αυτό οπτικά χρησιμοποιώντας έναν πίνακα.

Πείτε ότι πρέπει να διαιρέσετε το αποτέλεσμα "15" - με μερικούς από τους παράγοντες ("5" / "3") και το αποτέλεσμα θα είναι ένας συνεχώς διαφορετικός παράγοντας που δεν συμμετείχε στη διαίρεση.

Είναι επίσης απαραίτητο να εξηγήσετε στο μωρό πώς ονομάζονται σωστά οι κατηγορίες που εκτελούν τη διαίρεση: μέρισμα, διαιρέτης, πηλίκο. Και πάλι, χρησιμοποιήστε ένα παράδειγμα για να δείξετε ποια είναι μια συγκεκριμένη κατηγορία.

Η μεγάλη διαίρεση δεν είναι πολύ δύσκολο πράγμα, έχει τον δικό της εύκολο αλγόριθμο που πρέπει να διδαχθεί το μωρό. Αφού ενοποιήσετε όλες αυτές τις έννοιες και γνώσεις, μπορείτε να προχωρήσετε σε περαιτέρω εκπαίδευση.

Κατ 'αρχήν, οι γονείς θα πρέπει να μάθουν τον πίνακα πολλαπλασιασμού με το αγαπημένο τους παιδί με αντίστροφη σειρά και να τον απομνημονεύσουν από την καρδιά, καθώς αυτό θα είναι απαραίτητο όταν μαθαίνουν τη μακροχρόνια διαίρεση.

Αυτό πρέπει να γίνει πριν πάει στην πρώτη τάξη, ώστε το παιδί στο σχολείο να είναι πολύ πιο εύκολο να συνηθίσει και να συμβαδίσει με το σχολικό πρόγραμμα και για να μην αρχίσει η τάξη να πειράζει το παιδί λόγω μικροαποτυχιών. . Υπάρχει ένας πίνακας πολλαπλασιασμού τόσο στο σχολείο όσο και στα τετράδια, επομένως δεν χρειάζεται να μεταφέρετε ξεχωριστό πίνακα στο σχολείο.

Διαιρέστε με μια στήλη

Πριν ξεκινήσετε το μάθημα, πρέπει να θυμάστε τα ονόματα των αριθμών κατά τη διαίρεση. Τι είναι διαιρέτης, μέρισμα και πηλίκο. Το παιδί πρέπει να χωρίσει αυτούς τους αριθμούς στις σωστές κατηγορίες χωρίς λάθη.

Το πιο σημαντικό πράγμα όταν διδάσκετε μεγάλη διαίρεση είναι να μάθετε τον αλγόριθμο, ο οποίος είναι, γενικά, αρκετά απλός. Αλλά πρώτα, εξηγήστε στο παιδί σας τη σημασία της λέξης «αλγόριθμος» εάν την έχει ξεχάσει ή δεν την έχει μελετήσει πριν.

Σε περίπτωση που το μωρό γνωρίζει καλά τους πίνακες πολλαπλασιασμού και αντίστροφης διαίρεσης, δεν θα έχει δυσκολίες.

Ωστόσο, είναι αδύνατο να παραμείνετε στο αποτέλεσμα που ελήφθη για μεγάλο χρονικό διάστημα· είναι απαραίτητο να εκπαιδεύετε τακτικά τις αποκτηθείσες δεξιότητες και ικανότητες. Προχωρήστε αμέσως μόλις γίνει σαφές ότι το μωρό έχει κατανοήσει την αρχή της μεθόδου.

Είναι απαραίτητο να μάθουμε το μωρό να χωρίζει με στήλη χωρίς υπόλοιπο και με υπόλοιπο, ώστε το παιδί να μην φοβάται ότι δεν έχει καταφέρει να χωρίσει κάτι σωστά.

Για να είναι πιο εύκολο να διδάξετε στο μωρό τη διαδικασία διαίρεσης, είναι απαραίτητο:

• σε 2-3 χρόνια κατανόηση της σχέσης ολόκληρου του μέρους.
• σε ηλικία 6-7 ετών, το μωρό θα πρέπει να μπορεί ελεύθερα να κάνει πρόσθεση, αφαίρεση και να γνωρίζει την ουσία του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης.

Είναι απαραίτητο να τονωθεί το ενδιαφέρον του παιδιού για τις μαθηματικές διαδικασίες, ώστε αυτό το μάθημα στο σχολείο να του φέρει ευχαρίστηση και επιθυμία για μάθηση και όχι να το παρακινήσει σε κάποια μαθήματα, αλλά στη ζωή.

Το παιδί πρέπει να κουβαλάει διαφορετικά εργαλεία για τα μαθήματα μαθηματικών, να μάθει να τα χρησιμοποιεί. Ωστόσο, αν είναι δύσκολο για ένα παιδί να μεταφέρει τα πάντα, τότε μην το υπερφορτώνετε.

Math-Calculator-Online v.1.0

Η αριθμομηχανή εκτελεί τις ακόλουθες πράξεις: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, εργασία με δεκαδικό, εξαγωγή ρίζας, εκθετικός ρυθμός, υπολογισμός ποσοστού και άλλες πράξεις.

Λύση:

Πώς να εργαστείτε με μια μαθηματική αριθμομηχανή

Κλειδί	Ονομασία	Εξήγηση
5	αριθμοί 0-9	Αραβικοί αριθμοί. Εισαγωγή φυσικών ακεραίων, μηδέν. Για να λάβετε έναν αρνητικό ακέραιο, πατήστε το πλήκτρο +/-
.	άνω τελεία)	Διαχωριστικό για δεκαδικό κλάσμα. Εάν δεν υπάρχει ψηφίο μπροστά από το σημείο (κόμμα), η αριθμομηχανή θα αντικαταστήσει αυτόματα το μηδέν μπροστά από το σημείο. Για παράδειγμα: θα γραφτεί 0,5 - 0,5
+	σύμβολο συν	Πρόσθεση αριθμών (ακέραια, δεκαδικά κλάσματα)
-	σύμβολο μείον	Αφαίρεση αριθμών (ακέραια, δεκαδικά κλάσματα)
÷	σημάδι διαίρεσης	Διαίρεση αριθμών (ακέραια, δεκαδικά κλάσματα)
NS	σημάδι πολλαπλασιασμού	Πολλαπλασιασμός αριθμών (ακέραια, δεκαδικά κλάσματα)
√	ρίζα	Εξαγωγή της ρίζας ενός αριθμού. Όταν πατήσετε ξανά το κουμπί "root", η ρίζα υπολογίζεται από το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα: root of 16 = 4; ρίζα 4 = 2
x 2	τετραγωνισμός	Τετράγωνο ενός αριθμού. Όταν πατήσετε ξανά το κουμπί "τετράγωνο", το αποτέλεσμα τετραγωνίζεται. Για παράδειγμα: τετράγωνο 2 = 4; τετράγωνο 4 = 16
1 / x	κλάσμα	Έξοδος σε δεκαδικά κλάσματα. Στον αριθμητή 1, στον παρονομαστή τον εισαγόμενο αριθμό
%	τοις εκατό	Λήψη ποσοστού ενός αριθμού. Για να εργαστείτε, πρέπει να εισαγάγετε: τον αριθμό από τον οποίο θα υπολογιστεί το ποσοστό, το σύμβολο (συν, πλην, διαίρεση, πολλαπλασιασμός), πόσα τοις εκατό σε αριθμητική μορφή, το κουμπί "%"
(	ανοιχτή παρένθεση	Μια ανοιχτή παρένθεση για να ορίσετε την προτεραιότητα του υπολογισμού. Απαιτείται κλειστή παρένθεση. Παράδειγμα: (2 + 3) * 2 = 10
)	κλειστή παρένθεση	Μια κλειστή παρένθεση για να ορίσετε την προτεραιότητα του υπολογισμού. Απαιτείται ανοιχτή παρένθεση
±	συν πλην	Αντίστροφη πινακίδα
=	ισοδυναμεί	Εμφανίζει το αποτέλεσμα της λύσης. Επίσης, πάνω από την αριθμομηχανή, στο πεδίο «Λύση» εμφανίζονται οι ενδιάμεσοι υπολογισμοί και το αποτέλεσμα.
←	διαγραφή χαρακτήρα	Αφαιρεί τον τελευταίο χαρακτήρα
ΜΕ	απαλλάσσω	Κουμπί επαναφοράς. Επαναφέρει πλήρως την αριθμομηχανή στη θέση "0".

Αλγόριθμος της ηλεκτρονικής αριθμομηχανής με παραδείγματα

Πρόσθεση.

Προσθήκη ακέραιων φυσικών αριθμών (5 + 7 = 12)

Προσθήκη θετικών ακεραίων και αρνητικών ακεραίων (5 + (-2) = 3)

Προσθήκη δεκαδικών κλασματικών αριθμών (0,3 + 5,2 = 5,5)

Αφαίρεση.

Αφαίρεση ακέραιων φυσικών αριθμών (7 - 5 = 2)

Αφαίρεση θετικών ακεραίων και αρνητικών ακεραίων (5 - (-2) = 7)

Αφαίρεση δεκαδικών κλασμάτων (6,5 - 1,2 = 4,3)

Πολλαπλασιασμός.

Το γινόμενο ακέραιων φυσικών αριθμών (3 * 7 = 21)

Το γινόμενο θετικών ακεραίων και αρνητικών ακεραίων (5 * (-3) = -15)

Το γινόμενο δεκαδικών κλασματικών αριθμών (0,5 * 0,6 = 0,3)

Διαίρεση.

Διαίρεση ακέραιων φυσικών αριθμών (27/3 = 9)

Διαίρεση ακεραίων και αρνητικών αριθμών (15 / (-3) = -5)

Διαίρεση δεκαδικών κλασματικών αριθμών (6,2 / 2 = 3,1)

Εξαγωγή της ρίζας ενός αριθμού.

Εξαγωγή της ρίζας ενός ακέραιου αριθμού (ρίζα (9) = 3)

Εξαγωγή της ρίζας των δεκαδικών κλασμάτων (ρίζα (2,5) = 1,58)

Εξαγωγή της ρίζας από το άθροισμα των αριθμών (ρίζα (56 + 25) = 9)

Εξαγωγή της ρίζας από τη διαφορά των αριθμών (ρίζα (32 - 7) = 5)

Τετράγωνο ενός αριθμού.

Τετράγωνο ακέραιο ((3) 2 = 9)

Τετράγωνο δεκαδικών ((2,2) 2 = 4,84)

Μετατροπή σε δεκαδικά κλάσματα.

Υπολογισμός ποσοστού ενός αριθμού

Αυξήστε τον αριθμό 230 κατά 15% (230 + 230 * 0,15 = 264,5)

Μειώστε τον αριθμό 510 κατά 35% (510 - 510 * 0,35 = 331,5)

Το 18% των 140 είναι (140 * 0,18 = 25,2)

Η διαίρεση των φυσικών αριθμών, ειδικά των πολλών τιμών, πραγματοποιείται εύκολα χρησιμοποιώντας μια ειδική μέθοδο, η οποία ονομάζεται διαίρεση με στήλη (σε στήλη)... Μπορείτε επίσης να βρείτε το όνομα διαίρεση ανά γωνία... Αμέσως, σημειώνουμε ότι μια στήλη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη διαίρεση φυσικών αριθμών χωρίς υπόλοιπο ή για τη διαίρεση φυσικών αριθμών με ένα υπόλοιπο.

Σε αυτό το άρθρο, θα δούμε πόσο καιρό εκτελείται η διαίρεση. Εδώ θα μιλήσουμε τόσο για τους κανόνες καταγραφής όσο και για όλους τους ενδιάμεσους υπολογισμούς. Αρχικά, ας επικεντρωθούμε στη διαίρεση ενός πολυψήφιου φυσικού αριθμού με έναν μονοψήφιο αριθμό με μια στήλη. Μετά από αυτό, θα σταθούμε στις περιπτώσεις που τόσο το μέρισμα όσο και ο διαιρέτης είναι φυσικοί αριθμοί πολλών τιμών. Ολόκληρη η θεωρία αυτού του άρθρου παρέχεται με χαρακτηριστικά παραδείγματα διαίρεσης με στήλη φυσικών αριθμών με λεπτομερείς εξηγήσεις για την πορεία της λύσης και απεικονίσεις.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Κανόνες σημειογραφίας μακράς διαίρεσης

Ας ξεκινήσουμε μελετώντας τους κανόνες για τη σύνταξη του μερίσματος, του διαιρέτη, όλων των ενδιάμεσων υπολογισμών και των αποτελεσμάτων κατά τη διαίρεση των φυσικών αριθμών με μια στήλη. Ας πούμε αμέσως ότι είναι πιο βολικό να εκτελέσετε τη διαίρεση στηλών γραπτώς σε χαρτί με καρό επένδυση - με αυτόν τον τρόπο υπάρχει λιγότερη πιθανότητα να απομακρυνθείτε από την επιθυμητή γραμμή και στήλη.

Αρχικά, το μέρισμα και ο διαιρέτης γράφονται σε μία γραμμή από αριστερά προς τα δεξιά, μετά την οποία εμφανίζεται ένα σύμβολο της φόρμας μεταξύ των γραμμένων αριθμών. Για παράδειγμα, εάν ο διαιρετέος είναι ο αριθμός 6 105 και ο διαιρέτης είναι 5 5, τότε η σωστή εγγραφή τους κατά τη διαίρεση σε μια στήλη θα είναι η εξής:

Ρίξτε μια ματιά στο παρακάτω διάγραμμα, το οποίο απεικονίζει τις θέσεις για να γράψετε το μέρισμα, τον διαιρέτη, το πηλίκο, το υπόλοιπο και τους ενδιάμεσους υπολογισμούς για διαίρεση μεγάλης διάρκειας.

Από το παραπάνω διάγραμμα, φαίνεται ότι το επιθυμητό πηλίκο (ή ημιτελές πηλίκο κατά τη διαίρεση με υπόλοιπο) θα γραφεί κάτω από τον διαιρέτη κάτω από την οριζόντια γραμμή. Και οι ενδιάμεσοι υπολογισμοί θα πραγματοποιηθούν κάτω από το μέρισμα και πρέπει να φροντίσετε εκ των προτέρων για τη διαθεσιμότητα χώρου στη σελίδα. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να καθοδηγείται από τον κανόνα: όσο μεγαλύτερη είναι η διαφορά στον αριθμό των χαρακτήρων στις εγγραφές του μερίσματος και του διαιρέτη, τόσο περισσότερος χώρος θα απαιτείται. Για παράδειγμα, όταν διαιρούμε με μια στήλη έναν φυσικό αριθμό 614 808 με 51 234 (614 808 είναι εξαψήφιος αριθμός, 51 234 είναι πενταψήφιος αριθμός, η διαφορά στον αριθμό των χαρακτήρων στις εγγραφές είναι 6-5 = 1), οι ενδιάμεσοι υπολογισμοί θα απαιτήσουν λιγότερο χώρο από ό,τι κατά τη διαίρεση των αριθμών 8 058 και 4 (εδώ η διαφορά στον αριθμό των χαρακτήρων είναι 4−1 = 3). Για να επιβεβαιώσουμε τα λόγια μας, παρουσιάζουμε τις ολοκληρωμένες εγγραφές της διαίρεσης με μια στήλη από αυτούς τους φυσικούς αριθμούς:

Τώρα μπορείτε να μεταβείτε απευθείας στη διαδικασία διαίρεσης φυσικών αριθμών με μια στήλη.

Διαίρεση στήλης φυσικού αριθμού με μονοψήφιο φυσικό αριθμό, αλγόριθμος διαίρεσης στήλης

Είναι σαφές ότι η διαίρεση ενός μονοψήφιου φυσικού αριθμού με έναν άλλο είναι αρκετά απλή και δεν υπάρχει λόγος να διαιρέσουμε αυτούς τους αριθμούς σε μια στήλη. Ωστόσο, θα είναι χρήσιμο να εξασκήσετε τις βασικές σας δεξιότητες μακράς διαίρεσης με αυτά τα απλά παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε με μια στήλη 8 με 2.

Λύση.

Φυσικά, μπορούμε να κάνουμε διαίρεση χρησιμοποιώντας τον πίνακα πολλαπλασιασμού και να γράψουμε αμέσως την απάντηση 8: 2 = 4.

Αλλά μας ενδιαφέρει πώς να εκτελέσουμε τη διαίρεση αυτών των αριθμών με μια στήλη.

Αρχικά, γράφουμε το μέρισμα 8 και το διαιρέτη 2 όπως απαιτεί η μέθοδος:

Τώρα αρχίζουμε να υπολογίζουμε πόσες φορές ο διαιρέτης περιέχεται στο μέρισμα. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά τον διαιρέτη με τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, ... έως ότου το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός ίσος με το μέρισμα (ή ένας αριθμός μεγαλύτερος από το μέρισμα, αν γίνει διαίρεση με υπόλοιπο). Αν πάρουμε έναν αριθμό ίσο με το μέρισμα, τότε τον γράφουμε αμέσως κάτω από το μέρισμα και στη θέση του πηλίκου γράφουμε τον αριθμό με τον οποίο πολλαπλασιάσαμε τον διαιρέτη. Αν πάρουμε έναν αριθμό μεγαλύτερο από το μέρισμα, τότε κάτω από τον διαιρέτη γράφουμε τον αριθμό που υπολογίστηκε στο προτελευταίο βήμα και αντί για το ημιτελές πηλίκο γράφουμε τον αριθμό με τον οποίο πολλαπλασιάστηκε ο διαιρέτης στο προτελευταίο βήμα.

Πάμε: 2 0 = 0; 2 1 = 2; 2 2 = 4; 2 3 = 6; 2 4 = 8. Πήραμε έναν αριθμό ίσο με το μέρισμα, οπότε τον γράφουμε κάτω από το μέρισμα και αντί για το πηλίκο, γράφουμε τον αριθμό 4. Σε αυτήν την περίπτωση, η εγγραφή θα έχει την ακόλουθη μορφή:

Απομένει το τελικό στάδιο της διαίρεσης μονοψήφιων φυσικών αριθμών με μια στήλη. Κάτω από τον αριθμό που είναι γραμμένος κάτω από το μέρισμα, πρέπει να σχεδιάσετε μια οριζόντια γραμμή και να αφαιρέσετε αριθμούς πάνω από αυτήν τη γραμμή, όπως γίνεται κατά την αφαίρεση φυσικών αριθμών σε μια στήλη. Ο αριθμός που προκύπτει από την αφαίρεση θα είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης. Αν είναι ίσο με μηδέν, τότε οι αρχικοί αριθμοί διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο.

Στο παράδειγμά μας, παίρνουμε

Τώρα έχουμε ένα πλήρες αρχείο διαίρεσης του αριθμού 8 με το 2 με μια στήλη. Βλέπουμε ότι το πηλίκο 8:2 είναι 4 (και το υπόλοιπο είναι 0).

Απάντηση:

8:2=4 .

Ας εξετάσουμε τώρα πώς πραγματοποιείται η διαίρεση με μια στήλη μονοψήφιων φυσικών αριθμών με υπόλοιπο.

Παράδειγμα.

Διαιρούμε με μια στήλη 7 με 3.

Λύση.

Στο αρχικό στάδιο, το ρεκόρ μοιάζει με αυτό:

Αρχίζουμε να καταλαβαίνουμε πόσες φορές ο διαιρέτης περιέχει τον διαιρέτη. Θα πολλαπλασιάσουμε το 3 με το 0, 1, 2, 3 κ.λπ. μέχρι να πάρουμε έναν αριθμό ίσο ή μεγαλύτερο από το μέρισμα του 7. Παίρνουμε 3 0 = 0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (αν χρειάζεται, ανατρέξτε στο άρθρο σύγκρισης φυσικών αριθμών). Κάτω από το μέρισμα, γράφουμε τον αριθμό 6 (λήφθηκε στο προτελευταίο βήμα) και αντί για το ημιτελές πηλίκο, γράφουμε τον αριθμό 2 (ο πολλαπλασιασμός πραγματοποιήθηκε από αυτό στο προτελευταίο βήμα).

Απομένει να γίνει η αφαίρεση και θα ολοκληρωθεί η διαίρεση στηλών των μονοψήφιων φυσικών αριθμών 7 και 3.

Άρα το μερικό πηλίκο είναι 2 και το υπόλοιπο είναι 1.

Απάντηση:

7: 3 = 2 (υπόλοιπο 1).

Τώρα μπορείτε να προχωρήσετε στη διαίρεση με μια στήλη πολυψήφιων φυσικών αριθμών με μονοψήφιους φυσικούς αριθμούς.

Τώρα θα αναλύσουμε αλγόριθμος μακράς διαίρεσης... Σε κάθε ένα από τα στάδιά του, θα παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν διαιρώντας τον πολύτιμο φυσικό αριθμό 140 288 με τον μονοψήφιο φυσικό αριθμό 4. Αυτό το παράδειγμα δεν επιλέχθηκε τυχαία, καθώς κατά την επίλυσή του, θα συναντήσουμε όλες τις πιθανές αποχρώσεις, θα μπορέσουμε να τις αποσυναρμολογήσουμε λεπτομερώς.

Αρχικά, εξετάζουμε το πρώτο ψηφίο στα αριστερά στο αρχείο μερισμάτων. Εάν ο αριθμός που προσδιορίζεται από αυτό το σχήμα είναι μεγαλύτερος από τον διαιρέτη, τότε στην επόμενη παράγραφο πρέπει να εργαστούμε με αυτόν τον αριθμό. Εάν αυτός ο αριθμός είναι μικρότερος από τον διαιρέτη, τότε πρέπει να προσθέσουμε στην αντιπαροχή το επόμενο ψηφίο στα αριστερά στην εγγραφή του μερίσματος και να εργαστούμε περαιτέρω με τον αριθμό που καθορίζεται από τα εν λόγω δύο ψηφία. Για ευκολία, ας επιλέξουμε στο αρχείο μας τον αριθμό με τον οποίο θα συνεργαστούμε.

Το πρώτο ψηφίο στα αριστερά στην εγγραφή του μερίσματος 140 288 είναι ο αριθμός 1. Ο αριθμός 1 είναι μικρότερος από τον διαιρέτη 4, επομένως κοιτάμε επίσης το επόμενο ψηφίο στα αριστερά στην εγγραφή μερίσματος. Ταυτόχρονα, βλέπουμε τον αριθμό 14, με τον οποίο θα πρέπει να δουλέψουμε περαιτέρω. Τονίζουμε αυτόν τον αριθμό στο αρχείο μερίσματος.

Οι επόμενες παράγραφοι από τη δεύτερη έως την τέταρτη επαναλαμβάνονται κυκλικά μέχρι να ολοκληρωθεί η διαίρεση των φυσικών αριθμών με μια στήλη.

Τώρα πρέπει να προσδιορίσουμε πόσες φορές περιέχεται ο διαιρέτης στον αριθμό με τον οποίο εργαζόμαστε (για λόγους ευκολίας, θα συμβολίσουμε αυτόν τον αριθμό ως x). Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά τον διαιρέτη με το 0, 1, 2, 3, ... μέχρι να πάρουμε τον αριθμό x ή έναν αριθμό μεγαλύτερο από το x. Όταν ληφθεί ο αριθμός x, τότε τον γράφουμε κάτω από τον επιλεγμένο αριθμό σύμφωνα με τους κανόνες σημειογραφίας που χρησιμοποιούνται κατά την αφαίρεση φυσικών αριθμών με μια στήλη. Ο αριθμός με τον οποίο πραγματοποιήθηκε ο πολλαπλασιασμός γράφεται στη θέση του πηλίκου κατά το πρώτο πέρασμα του αλγορίθμου (σε επόμενα περάσματα 2-4 σημεία του αλγορίθμου, αυτός ο αριθμός γράφεται στα δεξιά των αριθμών που υπάρχουν ήδη). Όταν λαμβάνεται ένας αριθμός που είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό x, τότε κάτω από τον επιλεγμένο αριθμό γράφουμε τον αριθμό που προκύπτει στο προτελευταίο βήμα και στη θέση του πηλίκου (ή στα δεξιά των αριθμών που υπάρχουν ήδη) γράφουμε τον αριθμό με που ο πολλαπλασιασμός πραγματοποιήθηκε στο προτελευταίο βήμα. (Πραγματοποιήσαμε παρόμοιες ενέργειες στα δύο παραδείγματα που συζητήθηκαν παραπάνω).

Πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη 4 με τους αριθμούς 0, 1, 2, ... μέχρι να πάρουμε έναν αριθμό που είναι 14 ή μεγαλύτερος του 14. Έχουμε 4 0 = 0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>δεκατέσσερα. Δεδομένου ότι στο τελευταίο βήμα πήραμε τον αριθμό 16, που είναι περισσότερο από 14, τότε κάτω από τον επισημασμένο αριθμό γράφουμε τον αριθμό 12, που βγήκε στο προτελευταίο βήμα, και στη θέση του πηλίκου σημειώνουμε τον αριθμό 3, αφού στην προτελευταία παράγραφο ο πολλαπλασιασμός έγινε από αυτήν.


Σε αυτό το στάδιο, αφαιρέστε τον αριθμό κάτω από αυτόν από τον επιλεγμένο αριθμό σε μια στήλη. Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης γράφεται κάτω από την οριζόντια γραμμή. Ωστόσο, εάν το αποτέλεσμα της αφαίρεσης είναι μηδέν, τότε δεν χρειάζεται να γραφτεί (εκτός εάν η αφαίρεση σε αυτήν την παράγραφο είναι η τελευταία ενέργεια που ολοκληρώνει πλήρως τη μεγάλη διαδικασία διαίρεσης). Εδώ, για τον έλεγχό σας, δεν θα είναι περιττό να συγκρίνετε το αποτέλεσμα της αφαίρεσης με τον διαιρέτη και να βεβαιωθείτε ότι είναι μικρότερο από το διαιρέτη. Διαφορετικά, κάπου έγινε λάθος.

Πρέπει να αφαιρέσουμε τον αριθμό 12 από τον αριθμό 14 σε μια στήλη (για σωστή γραφή, πρέπει να θυμηθούμε να βάλουμε το σύμβολο μείον στα αριστερά των αριθμών που πρόκειται να αφαιρεθούν). Μετά την ολοκλήρωση αυτής της ενέργειας, ο αριθμός 2 εμφανίστηκε κάτω από την οριζόντια γραμμή. Τώρα ελέγχουμε τους υπολογισμούς μας συγκρίνοντας τον αριθμό που προκύπτει με τον διαιρέτη. Δεδομένου ότι ο αριθμός 2 είναι μικρότερος από τον διαιρέτη του 4, μπορείτε να προχωρήσετε με ασφάλεια στο επόμενο στοιχείο.


Τώρα, κάτω από την οριζόντια γραμμή στα δεξιά των αριθμών που βρίσκονται εκεί (ή στα δεξιά του σημείου που δεν γράψαμε μηδέν), γράψτε τον αριθμό που βρίσκεται στην ίδια στήλη στην εγγραφή μερίσματος. Εάν δεν υπάρχουν αριθμοί στην εγγραφή του μερίσματος σε αυτήν τη στήλη, τότε η διαίρεση με μια στήλη τελειώνει εκεί. Μετά από αυτό, επιλέγουμε τον αριθμό που σχηματίζεται κάτω από την οριζόντια γραμμή, τον παίρνουμε ως αριθμό εργασίας και επαναλαμβάνουμε μαζί του από 2 έως 4 σημεία του αλγορίθμου.

Κάτω από την οριζόντια γραμμή στα δεξιά του αριθμού 2 που υπάρχει ήδη, γράφουμε τον αριθμό 0, αφού είναι ο αριθμός 0 που βρίσκεται στην εγγραφή του μερίσματος 140 288 σε αυτήν τη στήλη. Έτσι, ο αριθμός 20 σχηματίζεται κάτω από την οριζόντια γραμμή.


Επιλέγουμε αυτόν τον αριθμό 20, τον αποδεχόμαστε ως αριθμό εργασίας και επαναλαμβάνουμε μαζί του τις ενέργειες του δεύτερου, του τρίτου και του τέταρτου σημείου του αλγορίθμου.

Πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη 4 με το 0, 1, 2, ... μέχρι να πάρουμε τον αριθμό 20 ή έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος του 20. Έχουμε 4 0 = 0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Κάνουμε αφαίρεση σε στήλη. Εφόσον αφαιρούμε ίσους φυσικούς αριθμούς, λόγω της ιδιότητας της αφαίρεσης ίσων φυσικών αριθμών, το αποτέλεσμα είναι μηδέν. Δεν σημειώνουμε το μηδέν (καθώς αυτό δεν είναι το τελικό στάδιο της μακράς διαίρεσης), αλλά θυμόμαστε το μέρος όπου μπορούσαμε να το γράψουμε (για ευκολία, θα σημειώσουμε αυτό το μέρος με ένα μαύρο ορθογώνιο).


Κάτω από την οριζόντια γραμμή στα δεξιά της θέσης που απομνημονεύσατε, σημειώστε τον αριθμό 2, καθώς είναι αυτή που βρίσκεται στο αρχείο του μερίσματος 140 288 σε αυτήν τη στήλη. Έτσι, κάτω από την οριζόντια γραμμή έχουμε τον αριθμό 2.


Παίρνουμε τον αριθμό 2 ως αριθμό εργασίας, τον σημειώνουμε και για άλλη μια φορά θα πρέπει να εκτελέσουμε ενέργειες από 2-4 σημεία του αλγορίθμου.

Πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη με το 0, 1, 2 και ούτω καθεξής και συγκρίνουμε τους αριθμούς που προκύπτουν με τον σημειωμένο αριθμό 2. Έχουμε 4 0 = 0<2 , 4·1=4>2. Επομένως, κάτω από τον σημειωμένο αριθμό σημειώνουμε τον αριθμό 0 (λήφθηκε στο προτελευταίο βήμα) και αντί για το πηλίκο στα δεξιά του αριθμού που υπάρχει ήδη, γράφουμε τον αριθμό 0 (με το 0 πραγματοποιήσαμε πολλαπλασιασμό στο το προτελευταίο βήμα).


Εκτελούμε αφαίρεση σε μια στήλη, παίρνουμε τον αριθμό 2 κάτω από την οριζόντια γραμμή. Ελέγχουμε τον εαυτό μας συγκρίνοντας τον αριθμό που προκύπτει με έναν διαιρέτη του 4. Από 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Κάτω από την οριζόντια γραμμή στα δεξιά του αριθμού 2, προσθέστε τον αριθμό 8 (καθώς βρίσκεται σε αυτή τη στήλη στο αρχείο του μερίσματος 140 288). Έτσι, ο αριθμός 28 εμφανίζεται κάτω από την οριζόντια γραμμή.


Παίρνουμε αυτόν τον αριθμό ως αριθμό εργασίας, τον σημειώνουμε και επαναλαμβάνουμε τα βήματα 2-4 σημεία.

Δεν θα πρέπει να υπάρχουν προβλήματα εδώ, αν ήσασταν προσεκτικοί μέχρι τώρα. Έχοντας κάνει όλα τα απαραίτητα βήματα, προκύπτει το ακόλουθο αποτέλεσμα.

Απομένει για τελευταία φορά να εκτελέσετε τις ενέργειες από τα σημεία 2, 3, 4 (το αφήνουμε σε εσάς), μετά από την οποία έχετε μια πλήρη εικόνα της διαίρεσης των φυσικών αριθμών 140 288 και 4 σε μια στήλη:

Λάβετε υπόψη ότι η κατώτατη γραμμή περιέχει τον αριθμό 0. Αν αυτό δεν ήταν το τελευταίο βήμα της μακράς διαίρεσης (δηλαδή, αν υπήρχαν αριθμοί στο μέρισμα στις στήλες στα δεξιά), τότε δεν θα γράφαμε αυτό το μηδέν.

Έτσι, κοιτάζοντας την πλήρη εγγραφή της διαίρεσης του πολυψήφιου φυσικού αριθμού 140 288 με τον μονοψήφιο φυσικό αριθμό 4, βλέπουμε ότι το πηλίκο είναι ο αριθμός 35 072 (και το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι μηδέν, είναι στο συμπέρασμα).

Φυσικά, όταν διαιρείτε φυσικούς αριθμούς με μια στήλη, δεν θα περιγράψετε όλες τις ενέργειές σας με τόση λεπτομέρεια. Οι λύσεις σας θα μοιάζουν με τα ακόλουθα παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Εκτελέστε μεγάλη διαίρεση εάν το μέρισμα είναι 7 136 και ο διαιρέτης είναι ένας μονοψήφιος φυσικός αριθμός 9.

Λύση.

Στο πρώτο βήμα του αλγορίθμου για τη διαίρεση φυσικών αριθμών με μια στήλη, παίρνουμε μια εγγραφή της φόρμας

Αφού εκτελέσετε τις ενέργειες από το δεύτερο, τρίτο και τέταρτο σημείο του αλγορίθμου, η εγγραφή διαίρεσης στηλών θα λάβει τη μορφή

Επαναλαμβάνοντας τον κύκλο, θα έχουμε

Ένα άλλο πέρασμα θα μας δώσει μια πλήρη εικόνα της διαίρεσης με μια στήλη φυσικών αριθμών 7 136 και 9

Έτσι, το ημιτελές πηλίκο είναι 792 και το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 8.

Απάντηση:

7 136: 9 = 792 (υπόλοιπο 8).

Αυτό το παράδειγμα δείχνει πόσο καιρό πρέπει να μοιάζει η διαίρεση.

Παράδειγμα.

Διαιρέστε τον φυσικό αριθμό 7.042.035 με τον μονοψήφιο φυσικό αριθμό 7.

Λύση.

Είναι πιο βολικό να κάνετε διαίρεση με στήλη.

Απάντηση:

7 042 035:7=1 006 005 .

Διαίρεση στήλης πολυψήφιων φυσικών αριθμών

Σπεύδουμε να σας ευχαριστήσουμε: εάν έχετε κατακτήσει καλά τον αλγόριθμο διαίρεσης στηλών από την προηγούμενη παράγραφο αυτού του άρθρου, τότε σχεδόν ξέρετε πώς να εκτελέσετε διαίρεση στήλης πολυψήφιων φυσικών αριθμών... Αυτό ισχύει πράγματι, καθώς τα στάδια 2 έως 4 του αλγορίθμου παραμένουν αμετάβλητα και μόνο μικρές αλλαγές εμφανίζονται στην πρώτη παράγραφο.

Στο πρώτο στάδιο της διαίρεσης πολυψήφιων φυσικών αριθμών σε μια στήλη, δεν πρέπει να κοιτάξετε το πρώτο ψηφίο στα αριστερά στην εγγραφή του μερίσματος, αλλά σε όσα από αυτά υπάρχουν σημάδια στην εγγραφή του διαιρέτη . Εάν ο αριθμός που καθορίζεται από αυτούς τους αριθμούς είναι μεγαλύτερος από τον διαιρέτη, τότε στην επόμενη παράγραφο πρέπει να δουλέψουμε με αυτόν τον αριθμό. Εάν αυτός ο αριθμός είναι μικρότερος από τον διαιρέτη, τότε πρέπει να προσθέσουμε στην αντιπαροχή το επόμενο ψηφίο στα αριστερά της εγγραφής μερίσματος. Μετά από αυτό, εκτελούνται οι ενέργειες που καθορίζονται στις παραγράφους 2, 3 και 4 του αλγορίθμου μέχρι να ληφθεί το τελικό αποτέλεσμα.

Απομένει μόνο να δούμε την εφαρμογή του αλγορίθμου διαίρεσης στηλών για φυσικούς αριθμούς πολλαπλών τιμών στην πράξη κατά την επίλυση παραδειγμάτων.

Παράδειγμα.

Ας εκτελέσουμε διαίρεση με μια στήλη φυσικών αριθμών πολλών τιμών 5 562 και 206.

Λύση.

Δεδομένου ότι 3 ψηφία εμπλέκονται στην εγγραφή του διαιρέτη 206, εξετάζουμε τα πρώτα 3 ψηφία στα αριστερά στην εγγραφή του μερίσματος 5 562. Αυτοί οι αριθμοί αντιστοιχούν σε 556. Επειδή το 556 είναι μεγαλύτερο από τον διαιρέτη 206, δεχόμαστε τον αριθμό 556 ως αριθμό εργασίας, τον επιλέγουμε και προχωράμε στο επόμενο στάδιο του αλγορίθμου.

Τώρα πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη 206 με τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, ... μέχρι να πάρουμε έναν αριθμό που είναι είτε 556 είτε μεγαλύτερος από 556. Έχουμε (αν ο πολλαπλασιασμός είναι δύσκολος, τότε είναι καλύτερο να πολλαπλασιάσουμε τους φυσικούς αριθμούς με μια στήλη): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Δεδομένου ότι έχουμε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από 556, τότε κάτω από τον επισημασμένο αριθμό σημειώνουμε τον αριθμό 412 (λήφθηκε στο προτελευταίο βήμα) και στη θέση του πηλίκου γράφουμε τον αριθμό 2 (καθώς ο πολλαπλασιασμός πραγματοποιήθηκε την είναι στο προτελευταίο βήμα). Ο συμβολισμός μακράς διαίρεσης έχει την ακόλουθη μορφή:

Εκτελούμε αφαίρεση στήλης. Λαμβάνουμε τη διαφορά 144, αυτός ο αριθμός είναι μικρότερος από τον διαιρέτη, ώστε να μπορείτε να συνεχίσετε με ασφάλεια τις απαιτούμενες ενέργειες.

Κάτω από την οριζόντια γραμμή στα δεξιά του αριθμού που είναι διαθέσιμος εκεί, γράφουμε τον αριθμό 2, καθώς βρίσκεται στην εγγραφή του μερίσματος 5 562 σε αυτήν τη στήλη:

Τώρα δουλεύουμε με τον αριθμό 1 442, τον επιλέγουμε και περνάμε από τα σημεία από το δεύτερο στο τέταρτο άλλη μια φορά.

Πολλαπλασιάστε τον διαιρέτη 206 με το 0, 1, 2, 3, ... μέχρι να πάρετε τον αριθμό 1 442 ή έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από 1 442. Πάμε: 206 0 = 0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Πραγματοποιούμε αφαίρεση σε μια στήλη, παίρνουμε μηδέν, αλλά δεν το γράφουμε αμέσως, αλλά θυμόμαστε μόνο τη θέση του, γιατί δεν ξέρουμε αν η διαίρεση τελειώνει εκεί ή θα πρέπει να επαναλάβουμε τα βήματα του αλγορίθμου πάλι:

Τώρα βλέπουμε ότι δεν μπορούμε να γράψουμε κανέναν αριθμό κάτω από την οριζόντια γραμμή στα δεξιά της απομνημονευμένης θέσης, αφού δεν υπάρχουν αριθμοί στην εγγραφή του μερίσματος σε αυτήν τη στήλη. Επομένως, εδώ τελείωσε η μακρά διαίρεση και ολοκληρώνουμε την ηχογράφηση:

• Μαθηματικά. Τυχόν εγχειρίδια για τις τάξεις 1, 2, 3, 4 των εκπαιδευτικών ιδρυμάτων.
• Μαθηματικά. Τυχόν εγχειρίδια για 5 τάξεις εκπαιδευτικών ιδρυμάτων.