Δωρεάν δονήσεις. Μαθηματικό εκκρεμές. Ενέργεια ταλαντωτικής κίνησης. Μετασχηματισμός ενέργειας
10.4. Νόμος εξοικονόμησης ενέργειας για αρμονικές δονήσεις
10.4.1. Εξοικονόμηση ενέργειας σε μηχανικές αρμονικές δονήσεις
Διατήρηση ενέργειας κατά τις ταλαντώσεις ενός μαθηματικού εκκρεμούς
Με αρμονικές δονήσεις διατηρείται η συνολική μηχανική ενέργεια του συστήματος (παραμένει σταθερή).
Ολική μηχανική ενέργεια ενός μαθηματικού εκκρεμούς
E = W k + W p,
όπου W k - κινητική ενέργεια, W k = = mv 2/2; W p - δυναμική ενέργεια, W p = mgh; m είναι η μάζα του φορτίου. g - μονάδα επιτάχυνσης ελεύθερης πτώσης. v - συντελεστής ταχύτητας φορτίου. h - το ύψος της ανύψωσης του φορτίου πάνω από τη θέση ισορροπίας (Εικ. 10.15).
Με αρμονικές δονήσεις, το μαθηματικό εκκρεμές διέρχεται από έναν αριθμό διαδοχικών καταστάσεων, επομένως, είναι σκόπιμο να εξεταστεί η ενέργεια του μαθηματικού εκκρεμούς σε τρεις θέσεις (βλ. Εικ.10.15):
Ρύζι. 10.15
1) σε θέση ισορροπίας
Η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν. η συνολική ενέργεια συμπίπτει με τη μέγιστη κινητική ενέργεια:
E = W k max;
2) σε ακραία θέση(2) το σώμα είναι ανυψωμένο πάνω από το αρχικό επίπεδο στο μέγιστο ύψος h max, επομένως η δυναμική ενέργεια είναι επίσης μέγιστη:
W p max = m g h max;
η κινητική ενέργεια είναι μηδέν. η συνολική ενέργεια συμπίπτει με τη μέγιστη δυναμική ενέργεια:
E = W p max;
3) σε ενδιάμεση θέση(3) το σώμα έχει στιγμιαία ταχύτητα v και υψώνεται πάνω από το αρχικό επίπεδο σε ένα ορισμένο ύψος h, επομένως η συνολική ενέργεια είναι το άθροισμα
E = m v 2 2 + m g h,
όπου mv 2/2 - κινητική ενέργεια. mgh - δυναμική ενέργεια. m είναι η μάζα του φορτίου. g - μονάδα επιτάχυνσης ελεύθερης πτώσης. v - συντελεστής ταχύτητας φορτίου. h είναι το ύψος του φορτίου που ανυψώνεται πάνω από τη θέση ισορροπίας.
Με τις αρμονικές ταλαντώσεις ενός μαθηματικού εκκρεμούς διατηρείται η συνολική μηχανική ενέργεια:
Ε = συνθ.
Οι τιμές της συνολικής ενέργειας του μαθηματικού εκκρεμούς στις τρεις θέσεις του αντικατοπτρίζονται στον πίνακα. 10.1.
| № | Θέση | W σελ | W k | E = W p + W k |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Ισορροπία | 0 | m v max 2/2 | m v max 2/2 |
| 2 | Ακρο | mgh μέγ | 0 | mgh μέγ |
| 3 | Ενδιάμεσο (στιγμιαίο) | mgh | mv 2/2 | mv 2/2 + mgh |
Οι τιμές της συνολικής μηχανικής ενέργειας που παρουσιάζονται στην τελευταία στήλη του πίνακα. 10.1, έχουν ίσες τιμές για οποιαδήποτε θέση του εκκρεμούς, η οποία είναι μια μαθηματική έκφραση:
m v max 2 2 = m g h max;
m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h;
m g h max = m v 2 2 + m g h,
όπου m είναι η μάζα του φορτίου. g - μονάδα επιτάχυνσης ελεύθερης πτώσης. v είναι ο συντελεστής της στιγμιαίας ταχύτητας του φορτίου στη θέση 3. h - το ύψος της ανύψωσης του φορτίου πάνω από τη θέση ισορροπίας στη θέση 3. v max - συντελεστής μέγιστης ταχύτητας φορτίου στη θέση 1. Το h max είναι το μέγιστο ύψος ανύψωσης του φορτίου πάνω από τη θέση ισορροπίας στη θέση 2.
Γωνία εκτροπής νήματοςμαθηματικό εκκρεμές από την κατακόρυφο (Εικ.10.15) καθορίζεται από την έκφραση
cos α = l - h l = 1 - h l,
όπου l είναι το μήκος του νήματος. h είναι το ύψος του φορτίου που ανυψώνεται πάνω από τη θέση ισορροπίας.
Μέγιστη γωνίαΗ απόκλιση α max προσδιορίζεται από το μέγιστο ύψος ανύψωσης του φορτίου πάνω από τη θέση ισορροπίας h max:
cos α max = 1 - h max l.
Παράδειγμα 11. Η περίοδος μικρών ταλαντώσεων ενός μαθηματικού εκκρεμούς είναι 0,9 s. Σε ποια μέγιστη γωνία από την κατακόρυφο θα αποκλίνει το νήμα εάν, περνώντας από τη θέση ισορροπίας, η μπάλα κινείται με ταχύτητα 1,5 m / s; Δεν υπάρχει τριβή στο σύστημα.
Λύση . Το σχήμα δείχνει δύο θέσεις του μαθηματικού εκκρεμούς:
- θέση ισορροπίας 1 (χαρακτηρίζεται από τη μέγιστη ταχύτητα της μπάλας v max).
- ακραία θέση 2 (χαρακτηρίζεται από το μέγιστο ύψος της άνοδος της μπάλας h max πάνω από τη θέση ισορροπίας).
Η επιθυμητή γωνία καθορίζεται από την ισότητα
cos α max = l - h max l = 1 - h max l,
όπου l είναι το μήκος του νήματος του εκκρεμούς.
Βρίσκουμε το μέγιστο ύψος της μπάλας του εκκρεμούς να υψώνεται πάνω από τη θέση ισορροπίας από τον νόμο της διατήρησης της συνολικής μηχανικής ενέργειας.
Η συνολική ενέργεια του εκκρεμούς στη θέση ισορροπίας και στην ακραία θέση προσδιορίζεται από τους ακόλουθους τύπους:
- σε θέση ισορροπίας -
E 1 = m v max 2 2,
όπου m είναι η μάζα της σφαίρας του εκκρεμούς. v max είναι το μέτρο της ταχύτητας της μπάλας στη θέση ισορροπίας (μέγιστη ταχύτητα), v max = 1,5 m / s;
- σε ακραία θέση -
E 2 = mgh μέγ.
όπου g είναι το μέτρο της βαρυτικής επιτάχυνσης. Το h max είναι το μέγιστο ύψος της άνοδος της μπάλας πάνω από τη θέση ισορροπίας.
Ο νόμος της διατήρησης της ολικής μηχανικής ενέργειας:
m v max 2 2 = m g h μέγ.
Ας εκφράσουμε από αυτό το μέγιστο ύψος της μπάλας που ανέρχεται πάνω από τη θέση ισορροπίας:
h max = v max 2 2 g.
Το μήκος του νήματος καθορίζεται από τον τύπο για την περίοδο ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς
T = 2 π l g,
εκείνοι. μήκος νήματος
l = T 2 g 4 π 2.
Αντικαταστήστε τα h max και l στην παράσταση για το συνημίτονο της επιθυμητής γωνίας:
cos α max = 1 - 2 π 2 v max 2 g 2 T 2
και θα κάνουμε τον υπολογισμό λαμβάνοντας υπόψη την κατά προσέγγιση ισότητα π 2 = 10:
cos α max = 1 - 2 ⋅ 10 ⋅ (1,5) 2 10 2 ⋅ (0,9) 2 = 0,5.
Από αυτό προκύπτει ότι η μέγιστη γωνία παραμόρφωσης είναι 60 °.
Αυστηρά μιλώντας, σε γωνία 60 °, οι ταλαντώσεις της μπάλας δεν είναι μικρές και είναι ακατάλληλο να χρησιμοποιηθεί ο τυπικός τύπος για την περίοδο ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς.
Διατήρηση ενέργειας κατά τις ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς ελατηρίου
Ολική μηχανική ενέργεια εκκρεμούς ελατηρίουαποτελείται από κινητική ενέργεια και δυναμική ενέργεια:
E = W k + W p,
όπου W k - κινητική ενέργεια, W k = mv 2/2; W p - δυναμική ενέργεια, W p = k (Δx) 2/2; m είναι η μάζα του φορτίου. v - συντελεστής ταχύτητας φορτίου. k - συντελεστής ακαμψίας (ελαστικότητα) του ελατηρίου. Δx - παραμόρφωση (τάση ή συμπίεση) του ελατηρίου (Εικ. 10.16).
Στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων, η ενέργεια ενός μηχανικού συστήματος ταλάντωσης μετριέται σε joules (1 J).
Με αρμονικές δονήσεις, ένα εκκρεμές ελατηρίου διέρχεται από έναν αριθμό διαδοχικών καταστάσεων, επομένως είναι σκόπιμο να εξεταστεί η ενέργεια ενός εκκρεμούς ελατηρίου σε τρεις θέσεις (βλ. Εικ.10.16):
1) σε θέση ισορροπίας(1) η ταχύτητα του σώματος έχει μέγιστη τιμή v max, επομένως η κινητική ενέργεια είναι επίσης μέγιστη:
W k max = m v max 2 2;
η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι μηδέν, αφού το ελατήριο δεν παραμορφώνεται. η συνολική ενέργεια συμπίπτει με τη μέγιστη κινητική ενέργεια:
E = W k max;
2) σε ακραία θέση(2) το ελατήριο έχει μέγιστη παραμόρφωση (Δx max), επομένως η δυναμική ενέργεια έχει επίσης μια μέγιστη τιμή:
W p max = k (Δ x max) 2 2;
η κινητική ενέργεια του σώματος είναι μηδέν. η συνολική ενέργεια συμπίπτει με τη μέγιστη δυναμική ενέργεια:
E = W p max;
3) σε ενδιάμεση θέση(3) το σώμα έχει στιγμιαία ταχύτητα v, το ελατήριο έχει αυτή τη στιγμή κάποια παραμόρφωση (Δx), επομένως η συνολική ενέργεια είναι το άθροισμα
E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,
όπου mv 2/2 - κινητική ενέργεια. k (Δx) 2/2 - δυναμική ενέργεια; m είναι η μάζα του φορτίου. v - συντελεστής ταχύτητας φορτίου. k - συντελεστής ακαμψίας (ελαστικότητα) του ελατηρίου. Δx - παραμόρφωση (τάση ή συμπίεση) του ελατηρίου.
Όταν το φορτίο του εκκρεμούς ελατηρίου μετατοπιστεί από τη θέση ισορροπίας, ενεργείται από επαναφέρουσα δύναμη, η προβολή του οποίου στην κατεύθυνση κίνησης του εκκρεμούς καθορίζεται από τον τύπο
F x = −kx,
όπου x είναι η μετατόπιση του βάρους του εκκρεμούς του ελατηρίου από τη θέση ισορροπίας, x = ∆x, ∆x είναι η παραμόρφωση του ελατηρίου. k - συντελεστής ακαμψίας (ελαστικότητα) του ελατηρίου εκκρεμούς.
Με τις αρμονικές ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς ελατηρίου διατηρείται η συνολική μηχανική ενέργεια:
Ε = συνθ.
Οι τιμές της συνολικής ενέργειας του εκκρεμούς ελατηρίου στις τρεις θέσεις του φαίνονται στον Πίνακα. 10.2.
| № | Θέση | W σελ | W k | E = W p + W k |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Ισορροπία | 0 | m v max 2/2 | m v max 2/2 |
| 2 | Ακρο | k (Δx max) 2/2 | 0 | k (Δx max) 2/2 |
| 3 | Ενδιάμεσο (στιγμιαίο) | k (Δx) 2/2 | mv 2/2 | mv 2/2 + k (Δx) 2/2 |
Οι τιμές της συνολικής μηχανικής ενέργειας που παρουσιάζονται στην τελευταία στήλη του πίνακα έχουν ίσες τιμές για οποιαδήποτε θέση του εκκρεμούς, η οποία είναι μια μαθηματική έκφραση νόμος διατήρησης της συνολικής μηχανικής ενέργειας:
m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2;
m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2;
k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,
όπου m είναι η μάζα του φορτίου. v είναι ο συντελεστής της στιγμιαίας ταχύτητας του φορτίου στη θέση 3. Δx - παραμόρφωση (τάση ή συμπίεση) του ελατηρίου στη θέση 3. v max - συντελεστής μέγιστης ταχύτητας φορτίου στη θέση 1. Δx max - μέγιστη παραμόρφωση (τάση ή συμπίεση) του ελατηρίου στη θέση 2.
Παράδειγμα 12. Ένα εκκρεμές ελατηρίου εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις. Πόσες φορές είναι μεγαλύτερη η κινητική του ενέργεια από το δυναμικό τη στιγμή που η μετατόπιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας είναι το ένα τέταρτο του πλάτους;
Λύση . Ας συγκρίνουμε τις δύο θέσεις του εκκρεμούς ελατηρίου:
- ακραία θέση 1 (χαρακτηρίζεται από τη μέγιστη μετατόπιση του φορτίου του εκκρεμούς από τη θέση ισορροπίας x max).
- ενδιάμεση θέση 2 (χαρακτηρίζεται από ενδιάμεσες τιμές μετατόπισης από τη θέση ισορροπίας x και ταχύτητα v →).
Η συνολική ενέργεια του εκκρεμούς στις ακραίες και ενδιάμεσες θέσεις προσδιορίζεται από τους ακόλουθους τύπους:
- σε ακραία θέση -
E 1 = k (Δ x max) 2 2,
όπου k είναι ο συντελεστής ακαμψίας (ελαστικότητας) του ελατηρίου. ∆x max - πλάτος δόνησης (μέγιστη μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας), ∆x max = A;
- σε ενδιάμεση θέση -
E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,
όπου m είναι η μάζα του φορτίου του εκκρεμούς. ∆x - μετατόπιση του φορτίου από τη θέση ισορροπίας, ∆x = A / 4.
Ο νόμος διατήρησης της συνολικής μηχανικής ενέργειας για ένα εκκρεμές ελατηρίου έχει ως εξής:
k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2.
Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της γραπτής ισότητας με k (∆x) 2/2:
(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p,
όπου W k είναι η κινητική ενέργεια του εκκρεμούς σε μια ενδιάμεση θέση, W k = mv 2/2; W p είναι η δυναμική ενέργεια του εκκρεμούς σε μια ενδιάμεση θέση, W p = k (∆x) 2/2.
Ας εκφράσουμε την απαιτούμενη αναλογία ενέργειας από την εξίσωση:
W k W p = (Δ x max Δ x) 2 - 1
και υπολογίστε την τιμή του:
W k W p = (A A / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15.
Στον καθορισμένο χρόνο, ο λόγος της κινητικής και της δυνητικής ενέργειας του εκκρεμούς είναι 15.
Ένα μηχανικό σύστημα που αποτελείται από ένα υλικό σημείο (σώμα) που κρέμεται σε ένα μη εκτατό αβαρές νήμα (η μάζα του είναι αμελητέα σε σύγκριση με το βάρος ενός σώματος) σε ένα ομοιόμορφο πεδίο βαρύτητας ονομάζεται μαθηματικό εκκρεμές (άλλο όνομα είναι ταλαντωτής). Υπάρχουν και άλλοι τύποι αυτής της συσκευής. Αντί για κλωστή μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια ράβδος χωρίς βάρος. Ένα μαθηματικό εκκρεμές μπορεί ξεκάθαρα να αποκαλύψει την ουσία πολλών ενδιαφέροντων φαινομένων. Με μικρό πλάτος ταλάντωσης, η κίνησή του ονομάζεται αρμονική.
Γενικές πληροφορίες για το μηχανολογικό σύστημα
Ο τύπος για την περίοδο ταλάντωσης αυτού του εκκρεμούς προήλθε από τον Ολλανδό επιστήμονα Huygens (1629-1695). Αυτός ο σύγχρονος του Ι. Νεύτωνα αγαπούσε πολύ αυτό το μηχανικό σύστημα. Το 1656 δημιούργησε το πρώτο ρολόι με εκκρεμές. Μετρούσαν τον χρόνο με εξαιρετική ακρίβεια για εκείνες τις εποχές. Αυτή η εφεύρεση έγινε το πιο σημαντικό στάδιο στην ανάπτυξη φυσικών πειραμάτων και πρακτικών δραστηριοτήτων.
Εάν το εκκρεμές βρίσκεται σε ισορροπημένη θέση (κρέμεται κάθετα), θα εξισορροπηθεί από τη δύναμη τάνυσης του νήματος. Ένα επίπεδο εκκρεμές σε ένα μη εκτατό νήμα είναι ένα σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας με περιορισμό. Όταν αλλάζετε μόνο ένα εξάρτημα, αλλάζουν τα χαρακτηριστικά όλων των εξαρτημάτων του. Έτσι, εάν το νήμα αντικατασταθεί με μια ράβδο, τότε αυτό το μηχανικό σύστημα θα έχει μόνο 1 βαθμό ελευθερίας. Ποιες ιδιότητες έχει ένα μαθηματικό εκκρεμές; Σε αυτό το απλούστερο σύστημα, το χάος προκύπτει υπό την επίδραση περιοδικών διαταραχών. Στην περίπτωση που το σημείο ανάρτησης δεν κινείται, αλλά ταλαντώνεται, εμφανίζεται μια νέα θέση ισορροπίας στο εκκρεμές. Με γρήγορες δονήσεις πάνω και κάτω, αυτό το μηχανικό σύστημα παίρνει μια σταθερή ανάποδη θέση. Έχει και το δικό του όνομα. Ονομάζεται εκκρεμές της Καπίτσας.
Ιδιότητες εκκρεμούς
Το μαθηματικό εκκρεμές έχει πολύ ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Όλα αυτά επιβεβαιώνονται από γνωστούς φυσικούς νόμους. Η περίοδος ταλάντωσης οποιουδήποτε άλλου εκκρεμούς εξαρτάται από διάφορες περιστάσεις, όπως το μέγεθος και το σχήμα του σώματος, η απόσταση μεταξύ του σημείου ανάρτησης και του κέντρου βάρους και η κατανομή της μάζας σε σχέση με ένα δεδομένο σημείο. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ο καθορισμός της περιόδου ενός κρεμασμένου σώματος είναι ένα αρκετά δύσκολο έργο. Είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογιστεί η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς, ο τύπος του οποίου θα δοθεί παρακάτω. Ως αποτέλεσμα των παρατηρήσεων τέτοιων μηχανικών συστημάτων, είναι δυνατό να καθοριστούν τα ακόλουθα μοτίβα:
Εάν, διατηρώντας το ίδιο μήκος του εκκρεμούς, αναρτήσουμε διαφορετικά βάρη, τότε η περίοδος των ταλαντώσεων τους θα είναι η ίδια, αν και οι μάζες τους θα είναι πολύ διαφορετικές. Κατά συνέπεια, η περίοδος ενός τέτοιου εκκρεμούς δεν εξαρτάται από τη μάζα του φορτίου.
Εάν, κατά την εκκίνηση του συστήματος, το εκκρεμές εκτρέπεται από όχι πολύ μεγάλες, αλλά διαφορετικές γωνίες, τότε θα αρχίσει να ταλαντώνεται με την ίδια περίοδο, αλλά σε διαφορετικά πλάτη. Όσο οι αποκλίσεις από το κέντρο ισορροπίας δεν είναι πολύ μεγάλες, οι ταλαντώσεις στη μορφή τους θα είναι αρκετά κοντά στις αρμονικές. Η περίοδος ενός τέτοιου εκκρεμούς δεν εξαρτάται σε καμία περίπτωση από το πλάτος της ταλάντωσης. Αυτή η ιδιότητα αυτού του μηχανικού συστήματος ονομάζεται ισοχρονισμός (μετάφραση από το ελληνικό "χρόνος" - χρόνος, "ίσος" - ίσος).
Περίοδος του μαθηματικού εκκρεμούς
Αυτός ο δείκτης αντιπροσωπεύει μια περίοδο Παρά τη σύνθετη διατύπωση, η ίδια η διαδικασία είναι πολύ απλή. Εάν το μήκος του νήματος του μαθηματικού εκκρεμούς είναι L και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g, τότε αυτή η τιμή είναι ίση με:
Η περίοδος των μικρών φυσικών ταλαντώσεων δεν εξαρτάται σε καμία περίπτωση από τη μάζα του εκκρεμούς και το πλάτος των ταλαντώσεων. Σε αυτή την περίπτωση, το εκκρεμές κινείται σαν μαθηματικό με μειωμένο μήκος.
Ταλαντώσεις μαθηματικού εκκρεμούς
Ένα μαθηματικό εκκρεμές ταλαντώνεται, το οποίο μπορεί να περιγραφεί με μια απλή διαφορική εξίσωση:
x + ω2 sin x = 0,
όπου x (t) είναι μια άγνωστη συνάρτηση (αυτή είναι η γωνία απόκλισης από την κατώτερη θέση ισορροπίας τη στιγμή t, εκφρασμένη σε ακτίνια). Το ω είναι μια θετική σταθερά, η οποία προσδιορίζεται από τις παραμέτρους του εκκρεμούς (ω = √g / L, όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας και L το μήκος του μαθηματικού εκκρεμούς (αιώρηση).
Η εξίσωση των μικρών δονήσεων κοντά στη θέση ισορροπίας (αρμονική εξίσωση) μοιάζει με αυτό:
x + ω2 sin x = 0
Ταλαντωτικές κινήσεις του εκκρεμούς
Ένα μαθηματικό εκκρεμές που κάνει μικρές ταλαντώσεις κινείται κατά μήκος ενός ημιτονοειδούς. Η διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης πληροί όλες τις απαιτήσεις και τις παραμέτρους μιας τέτοιας κίνησης. Για τον προσδιορισμό της τροχιάς, είναι απαραίτητο να ρυθμίσετε την ταχύτητα και τις συντεταγμένες, από τις οποίες στη συνέχεια προσδιορίζονται ανεξάρτητες σταθερές:
x = A αμαρτία (θ 0 + ωt),
όπου θ 0 είναι η αρχική φάση, A είναι το πλάτος δόνησης, ω είναι η κυκλική συχνότητα που προσδιορίζεται από την εξίσωση της κίνησης.
Μαθηματικό εκκρεμές (τύποι για μεγάλα πλάτη)
Αυτό το μηχανικό σύστημα, που ταλαντώνεται με σημαντικό πλάτος, υπακούει σε πιο περίπλοκους νόμους κίνησης. Για ένα τέτοιο εκκρεμές, υπολογίζονται με τον τύπο:
sin x / 2 = u * sn (ωt / u),
όπου sn είναι το ημίτονο Jacobi, το οποίο για το u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:
u = (ε + ω2) / 2ω2,
όπου ε = E / mL2 (mL2 είναι η ενέργεια του εκκρεμούς).
Ο προσδιορισμός της περιόδου ταλάντωσης ενός μη γραμμικού εκκρεμούς πραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο:
όπου Ω = π / 2 * ω / 2K (u), το K είναι ένα ελλειπτικό ολοκλήρωμα, π - 3,14.
Κίνηση εκκρεμούς κατά μήκος του διαχωριστικού
Το separatrix είναι η τροχιά ενός δυναμικού συστήματος με δισδιάστατο χώρο φάσης. Το μαθηματικό εκκρεμές κινείται κατά μήκος του μη περιοδικά. Σε μια απείρως μακρινή χρονική στιγμή, πέφτει από την ακραία πάνω θέση στο πλάι με μηδενική ταχύτητα και στη συνέχεια το σηκώνει σταδιακά. Τελικά, σταματά, επιστρέφοντας στην αρχική του θέση.
Αν το πλάτος των ταλαντώσεων του εκκρεμούς πλησιάζει τον αριθμό π , αυτό δείχνει ότι η κίνηση στο επίπεδο φάσης πλησιάζει το separatrix. Σε αυτή την περίπτωση, υπό την επίδραση μιας μικρής περιοδικής δύναμης εξαναγκασμού, το μηχανικό σύστημα παρουσιάζει χαοτική συμπεριφορά.
Όταν το μαθηματικό εκκρεμές αποκλίνει από τη θέση ισορροπίας με μια ορισμένη γωνία φ, προκύπτει η εφαπτομενική δύναμη της βαρύτητας Fτ = -mg sin φ. Το σύμβολο μείον σημαίνει ότι αυτή η εφαπτομένη συνιστώσα κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από την απόκλιση του εκκρεμούς. Όταν το x υποδηλώνει τη μετατόπιση ενός εκκρεμούς κατά μήκος ενός τόξου κύκλου με ακτίνα L, η γωνιακή του μετατόπιση είναι φ = x / L. Ο δεύτερος νόμος για τις προβολές και τις δυνάμεις θα δώσει την επιθυμητή τιμή:
mg τ = Fτ = -mg sin x / L
Με βάση αυτόν τον λόγο, μπορεί να φανεί ότι αυτό το εκκρεμές είναι ένα μη γραμμικό σύστημα, καθώς η δύναμη που τείνει να το επαναφέρει στη θέση ισορροπίας είναι πάντα ανάλογη όχι με τη μετατόπιση x, αλλά με το sin x / L.
Μόνο όταν το μαθηματικό εκκρεμές εκτελεί μικρές ταλαντώσεις είναι αρμονικός ταλαντωτής. Με άλλα λόγια, γίνεται ένα μηχανικό σύστημα ικανό να εκτελεί αρμονικές δονήσεις. Αυτή η προσέγγιση ισχύει πρακτικά για γωνίες 15-20 °. Οι ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς με μεγάλα πλάτη δεν είναι αρμονικές.
Νόμος του Νεύτωνα για τις μικρές ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς
Εάν ένα δεδομένο μηχανικό σύστημα εκτελεί μικρές δονήσεις, ο 2ος νόμος του Νεύτωνα θα μοιάζει με αυτό:
mg τ = Fτ = -m * g / L * x.
Με βάση αυτό, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το μαθηματικό εκκρεμές είναι ανάλογο της μετατόπισής του με πρόσημο μείον. Αυτή είναι η συνθήκη λόγω της οποίας το σύστημα γίνεται αρμονικός ταλαντωτής. Ο συντελεστής του λόγου διαστάσεων μεταξύ μετατόπισης και επιτάχυνσης είναι ίσος με το τετράγωνο της γωνιακής συχνότητας:
ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.
Αυτός ο τύπος αντανακλά τη φυσική συχνότητα των μικρών ταλαντώσεων αυτού του τύπου εκκρεμούς. Βασισμένο σε αυτό,
T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.
Υπολογισμοί με βάση τον νόμο διατήρησης της ενέργειας
Οι ιδιότητες ενός εκκρεμούς μπορούν επίσης να περιγραφούν χρησιμοποιώντας το νόμο της διατήρησης της ενέργειας. Πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι το εκκρεμές στο πεδίο βαρύτητας είναι ίσο με:
E = mg∆h = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2
Το πλήρες ισούται με το κινητικό ή μέγιστο δυναμικό: Epmax = Ekmsx = E
Αφού γραφτεί ο νόμος της διατήρησης της ενέργειας, πάρτε την παράγωγο της δεξιάς και της αριστερής πλευράς της εξίσωσης:
Εφόσον η παράγωγος των σταθερών είναι 0, τότε (Ep + Ek) "= 0. Η παράγωγος του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων:
Ep "= (mg / L * x2 / 2)" = mg / 2L * 2x * x "= mg / L * v + Ek" = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) "= m / 2 * 2v * v "= mv * α,
ως εκ τούτου:
Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m α) = 0.
Με βάση τον τελευταίο τύπο, βρίσκουμε: α = - g / L * x.
Πρακτική εφαρμογή του μαθηματικού εκκρεμούς
Η επιτάχυνση ποικίλλει ανάλογα με το γεωγραφικό πλάτος επειδή η πυκνότητα του φλοιού της γης δεν είναι η ίδια σε ολόκληρο τον πλανήτη. Όπου εμφανίζονται πετρώματα με μεγαλύτερη πυκνότητα, θα είναι ελαφρώς υψηλότερη. Η επιτάχυνση ενός μαθηματικού εκκρεμούς χρησιμοποιείται συχνά για γεωλογική εξερεύνηση. Σε αυτό αναζητούνται διάφορα ορυκτά. Απλώς μετρώντας τον αριθμό των ταλαντώσεων του εκκρεμούς, μπορείτε να βρείτε άνθρακα ή μετάλλευμα στα έγκατα της Γης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τέτοια απολιθώματα έχουν πυκνότητα και μάζα μεγαλύτερη από τα χαλαρά πετρώματα που βρίσκονται κάτω από αυτά.
Το μαθηματικό εκκρεμές χρησιμοποιήθηκε από εξαιρετικούς επιστήμονες όπως ο Σωκράτης, ο Αριστοτέλης, ο Πλάτωνας, ο Πλούταρχος, ο Αρχιμήδης. Πολλοί από αυτούς πίστευαν ότι αυτό το μηχανικό σύστημα θα μπορούσε να επηρεάσει τη μοίρα και τη ζωή ενός ατόμου. Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε ένα μαθηματικό εκκρεμές στους υπολογισμούς του. Σήμερα, πολλοί αποκρυφιστές και μέντιουμ χρησιμοποιούν αυτό το μηχανικό σύστημα για να εκπληρώσουν τις προφητείες τους ή να αναζητήσουν αγνοούμενους.
Ο διάσημος Γάλλος αστρονόμος και φυσιοδίφης K. Flammarion χρησιμοποίησε επίσης ένα μαθηματικό εκκρεμές για την έρευνά του. Ισχυρίστηκε ότι με τη βοήθειά του ήταν σε θέση να προβλέψει την ανακάλυψη ενός νέου πλανήτη, την εμφάνιση του μετεωρίτη Tunguska και άλλα σημαντικά γεγονότα. Κατά τη διάρκεια του Β' Παγκοσμίου Πολέμου, ένα εξειδικευμένο Ινστιτούτο Εκκρεμούς εργάστηκε στη Γερμανία (Βερολίνο). Στις μέρες μας, το Ινστιτούτο Παραψυχολογίας του Μονάχου ασχολείται με παρόμοια έρευνα. Οι εργαζόμενοι σε αυτό το ίδρυμα αποκαλούν τη δουλειά τους με το εκκρεμές «ραδιοαισθητοποίηση».
Ορισμός
Μαθηματικό εκκρεμέςείναι ένα ταλαντευόμενο σύστημα, το οποίο είναι μια ειδική περίπτωση ενός φυσικού εκκρεμούς, ολόκληρη η μάζα του οποίου συγκεντρώνεται σε ένα σημείο, το κέντρο μάζας του εκκρεμούς.
Συνήθως ένα μαθηματικό εκκρεμές αναπαρίσταται ως μια σφαίρα που κρέμεται σε ένα μακρύ, αβαρές και μη εκτάσιμο νήμα. Είναι ένα εξιδανικευμένο σύστημα που δονείται αρμονικά υπό την επίδραση της βαρύτητας. Μια καλή προσέγγιση ενός μαθηματικού εκκρεμούς είναι μια τεράστια μικρή μπάλα που ταλαντώνεται σε μια λεπτή μακριά χορδή.
Ο Γαλιλαίος ήταν ο πρώτος που μελέτησε τις ιδιότητες ενός μαθηματικού εκκρεμούς, λαμβάνοντας υπόψη την αιώρηση ενός πολυελαίου σε μια μακριά αλυσίδα. Βρήκε ότι η περίοδος ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς δεν εξαρτάται από το πλάτος. Εάν, κατά την εκκίνηση του νομισματοκοπείου, το εκτρέψετε σε διαφορετικές μικρές γωνίες, τότε οι ταλαντώσεις του θα συμβούν με την ίδια περίοδο, αλλά με διαφορετικά πλάτη. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται ισοχρονισμός.
Εξίσωση κίνησης μαθηματικού εκκρεμούς
Το μαθηματικό εκκρεμές είναι ένα κλασικό παράδειγμα αρμονικού ταλαντωτή. Εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις, οι οποίες περιγράφονται από τη διαφορική εξίσωση:
\ [\ ddot (\ varphi) + (\ ωμέγα) ^ 2_0 \ varphi = 0 \ \ αριστερά (1 \ δεξιά), \]
όπου $ \ varphi $ είναι η γωνία εκτροπής του νήματος (αιώρησης) από τη θέση ισορροπίας.
Η λύση της εξίσωσης (1) είναι η συνάρτηση $ \ varphi (t): $
\ [\ varphi (t) = (\ varphi) _0 (\ cos \ αριστερά ((\ ωμέγα) _0t + \ άλφα \ δεξιά) \ αριστερά (2 \ δεξιά), \) \]
όπου $ \ άλφα $ είναι η αρχική φάση των ταλαντώσεων. $ (\ varphi) _0 $ - πλάτος δόνησης. $ (\ ωμέγα) _0 $ - κυκλική συχνότητα.
Η ταλάντωση ενός αρμονικού ταλαντωτή είναι ένα σημαντικό παράδειγμα περιοδικής κίνησης. Ο ταλαντωτής χρησιμεύει ως μοντέλο σε πολλά προβλήματα της κλασικής και κβαντικής μηχανικής.
Κυκλική συχνότητα και περίοδος ταλάντωσης μαθηματικού εκκρεμούς
Η κυκλική συχνότητα ενός μαθηματικού εκκρεμούς εξαρτάται μόνο από το μήκος της ανάρτησής του:
\ [\ (\ ωμέγα) _0 = \ sqrt (\ frac (g) (l)) \ αριστερά (3 \ δεξιά). \]
Η περίοδος ταλάντωσης του μαθηματικού εκκρεμούς ($ T $) σε αυτή την περίπτωση είναι:
Η έκφραση (4) δείχνει ότι η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς εξαρτάται μόνο από το μήκος της ανάρτησής του (η απόσταση από το σημείο ανάρτησης έως το κέντρο βάρους του φορτίου) και την επιτάχυνση του βάρους.
Εξίσωση ενέργειας για ένα μαθηματικό εκκρεμές
Όταν εξετάζουμε τις δονήσεις των μηχανικών συστημάτων με έναν βαθμό ελευθερίας, συχνά δεν λαμβάνεται ως αρχική η εξίσωση κίνησης του Νεύτωνα, αλλά η εξίσωση ενέργειας. Δεδομένου ότι είναι πιο εύκολο να συνθέσει, και είναι μια εξίσωση πρώτης τάξης στο χρόνο. Ας υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει τριβή στο σύστημα. Ο νόμος της διατήρησης της ενέργειας για ένα μαθηματικό εκκρεμές που εκτελεί ελεύθερες ταλαντώσεις (μικρές ταλαντώσεις) μπορεί να γραφτεί ως:
όπου $ E_k $ είναι η κινητική ενέργεια του εκκρεμούς. $ E_p $ - δυναμική ενέργεια του εκκρεμούς. $ v $ είναι η ταχύτητα του εκκρεμούς. $ x $ - γραμμική μετατόπιση του βάρους του εκκρεμούς από τη θέση ισορροπίας κατά μήκος ενός τόξου κύκλου ακτίνας $ l $, ενώ η γωνία - μετατόπιση σχετίζεται με $ x $ ως:
\ [\ varphi = \ frac (x) (l) \ αριστερά (6 \ δεξιά). \]
Η μέγιστη τιμή της δυναμικής ενέργειας ενός μαθηματικού εκκρεμούς είναι:
Μέγιστη κινητική ενέργεια:
όπου $ h_m $ είναι το μέγιστο ύψος ανύψωσης του εκκρεμούς. $ x_m $ - μέγιστη απόκλιση του εκκρεμούς από τη θέση ισορροπίας. $ v_m = (\ ωμέγα) _0x_m $ - μέγιστη ταχύτητα.
Παραδείγματα εργασιών με λύση
Παράδειγμα 1
Ασκηση.Ποιο είναι το μέγιστο ύψος ανύψωσης της σφαίρας ενός μαθηματικού εκκρεμούς εάν η ταχύτητα κίνησής της κατά το πέρασμα της θέσης ισορροπίας ήταν $ v $;
Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο.
Έστω η δυναμική ενέργεια της μπάλας μηδέν στη θέση ισορροπίας της (σημείο 0) Σε αυτό το σημείο, η ταχύτητα της μπάλας είναι μέγιστη και ισούται με $ v $ από την συνθήκη του προβλήματος. Στο σημείο της μέγιστης ανάβασης της μπάλας πάνω από τη θέση ισορροπίας (σημείο Α), η ταχύτητα της μπάλας είναι μηδέν, η δυναμική ενέργεια είναι μέγιστη. Ας γράψουμε τον νόμο της διατήρησης της ενέργειας για τις δύο θεωρούμενες θέσεις της μπάλας:
\ [\ frac (mv ^ 2) (2) = mgh \\ αριστερά (1,1 \ δεξιά). \]
Από την εξίσωση (1.1) βρίσκουμε το επιθυμητό ύψος:
Απάντηση.$ h = \ frac (v ^ 2) (2g) $
Παράδειγμα 2
Ασκηση.Ποια είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας εάν ένα μαθηματικό εκκρεμές με μήκος $ l = 1 \ m $ ταλαντώνεται με περίοδο ίση με $ T = 2 \ s $; Θεωρήστε τις ταλαντώσεις ενός μαθηματικού εκκρεμούς μικρές. \ Textit ()
Λύση.Ως βάση για την επίλυση του προβλήματος, παίρνουμε τον τύπο για τον υπολογισμό της περιόδου των μικρών ταλαντώσεων:
Ας εκφράσουμε την επιτάχυνση από αυτό:
Ας υπολογίσουμε την επιτάχυνση της βαρύτητας:
Απάντηση.$ g = 9,87 \ \ frac (m) (s ^ 2) $
Μαθηματικό εκκρεμέςείναι ένα υλικό σημείο που αιωρείται σε ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα που βρίσκεται στο πεδίο βαρύτητας της Γης. Ένα μαθηματικό εκκρεμές είναι ένα εξιδανικευμένο μοντέλο που περιγράφει σωστά ένα πραγματικό εκκρεμές μόνο υπό ορισμένες συνθήκες. Ένα πραγματικό εκκρεμές μπορεί να θεωρηθεί μαθηματικό εάν το μήκος του νήματος είναι πολύ μεγαλύτερο από τις διαστάσεις του σώματος που αιωρείται από αυτό, το βάρος του νήματος είναι αμελητέο σε σύγκριση με τη μάζα του σώματος και οι παραμορφώσεις του νήματος είναι τόσο μικρές ότι μπορούν να παραμεληθούν τελείως.
Σε αυτή την περίπτωση, το ταλαντευόμενο σύστημα σχηματίζεται από ένα νήμα, ένα σώμα που συνδέεται με αυτό και τη Γη, χωρίς το οποίο αυτό το σύστημα δεν θα μπορούσε να χρησιμεύσει ως εκκρεμές.
που ένα Χ – επιτάχυνση, σολ - επιτάχυνση της βαρύτητας, Χ- αντισταθμίζεται, μεγάλοΕίναι το μήκος του νήματος του εκκρεμούς.
Αυτή η εξίσωση ονομάζεται η εξίσωση των ελεύθερων ταλαντώσεων ενός μαθηματικού εκκρεμούς.Περιγράφει σωστά τις εξεταζόμενες διακυμάνσεις μόνο όταν πληρούνται οι ακόλουθες παραδοχές:
2) λαμβάνονται υπόψη μόνο μικρές ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς με μικρή γωνία αιώρησης.
Οι ελεύθερες δονήσεις οποιωνδήποτε συστημάτων σε όλες τις περιπτώσεις περιγράφονται με παρόμοιες εξισώσεις.
Οι λόγοι για τις ελεύθερες ταλαντώσεις ενός μαθηματικού εκκρεμούς είναι:
1. Η δράση στο εκκρεμές της δύναμης της τάσης και της δύναμης της βαρύτητας, που εμποδίζει τη μετατόπισή του από τη θέση ισορροπίας και το αναγκάζει να κατέβει ξανά.
2. Η αδράνεια του εκκρεμούς, λόγω της οποίας, ενώ διατηρεί την ταχύτητά του, δεν σταματά στη θέση ισορροπίας, αλλά διέρχεται από αυτό περαιτέρω.
Η περίοδος των ελεύθερων ταλαντώσεων ενός μαθηματικού εκκρεμούς
Η περίοδος των ελεύθερων ταλαντώσεων ενός μαθηματικού εκκρεμούς δεν εξαρτάται από τη μάζα του, αλλά καθορίζεται μόνο από το μήκος του νήματος και την επιτάχυνση της βαρύτητας στο σημείο όπου βρίσκεται το εκκρεμές.
Μετατροπή ενέργειας με αρμονικές δονήσεις
Κατά τις αρμονικές ταλαντώσεις του εκκρεμούς ελατηρίου, η δυναμική ενέργεια του ελαστικά παραμορφωμένου σώματος μετατρέπεται στην κινητική του ενέργεια, όπου κ – συντελεστής ελαστικότητας, Χ -το μέτρο μετατόπισης του εκκρεμούς από τη θέση ισορροπίας, Μείναι η μάζα του εκκρεμούς, vείναι η ταχύτητά του. Σύμφωνα με την αρμονική εξίσωση δόνησης:
,
.
Συνολική ενέργεια του εκκρεμούς ελατηρίου:
.
Συνολική ενέργεια για ένα μαθηματικό εκκρεμές:
Στην περίπτωση μαθηματικού εκκρεμούς
Οι μετασχηματισμοί ενέργειας κατά τις ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς ελατηρίου συμβαίνουν σύμφωνα με το νόμο της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ( 
). Όταν το εκκρεμές κινείται προς τα κάτω ή προς τα πάνω από τη θέση ισορροπίας, η δυναμική του ενέργεια αυξάνεται, ενώ η κινητική του ενέργεια μειώνεται. Όταν το εκκρεμές περάσει τη θέση ισορροπίας ( Χ= 0), η δυναμική του ενέργεια είναι μηδέν και η κινητική ενέργεια του εκκρεμούς έχει τη μεγαλύτερη τιμή, ίση με τη συνολική του ενέργεια.
Έτσι, στη διαδικασία των ελεύθερων ταλαντώσεων του εκκρεμούς, η δυναμική του ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική, η κινητική σε δυναμικό, το δυναμικό μετά πάλι σε κινητική κ.λπ. Όμως η συνολική μηχανική ενέργεια παραμένει αμετάβλητη.
Αναγκαστικοί κραδασμοί. Απήχηση.
Οι ταλαντώσεις που συμβαίνουν υπό τη δράση μιας εξωτερικής περιοδικής δύναμης ονομάζονται αναγκαστικός δισταγμός... Μια εξωτερική περιοδική δύναμη, που ονομάζεται εξαναγκασμός, προσδίδει πρόσθετη ενέργεια στο ταλαντευόμενο σύστημα, η οποία χρησιμοποιείται για την αναπλήρωση των απωλειών ενέργειας λόγω της τριβής. Εάν η κινητήρια δύναμη αλλάξει στο χρόνο σύμφωνα με τον νόμο ημιτόνου ή συνημιτονοειδούς, τότε οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις θα είναι αρμονικές και χωρίς απόσβεση.
Σε αντίθεση με τις ελεύθερες ταλαντώσεις, όταν το σύστημα λαμβάνει ενέργεια μόνο μία φορά (όταν το σύστημα απομακρύνεται από την κατάσταση ισορροπίας), στην περίπτωση εξαναγκασμένων ταλαντώσεων, το σύστημα απορροφά συνεχώς αυτήν την ενέργεια από μια πηγή εξωτερικής περιοδικής δύναμης. Αυτή η ενέργεια αναπληρώνει τις απώλειες που δαπανώνται για την υπέρβαση της τριβής, και επομένως η συνολική ενέργεια του ταλαντωτικού συστήματος δεν παραμένει αμετάβλητη.
Η συχνότητα των εξαναγκασμένων κραδασμών είναι ίση με τη συχνότητα της κινητήριας δύναμης... Στην περίπτωση που η συχνότητα της κινητήριας δύναμης υ συμπίπτει με τη φυσική συχνότητα του ταλαντούμενου συστήματος υ 0 , υπάρχει μια απότομη αύξηση στο πλάτος των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων - απήχηση. Ο συντονισμός προκύπτει λόγω του γεγονότος ότι όταν υ = υ 0 η εξωτερική δύναμη, που ενεργεί στο χρόνο με ελεύθερες ταλαντώσεις, συν-κατευθύνεται πάντα με την ταχύτητα του ταλαντούμενου σώματος και εκτελεί θετικό έργο: η ενέργεια του ταλαντούμενου σώματος αυξάνεται και το πλάτος των ταλαντώσεων του γίνεται μεγάλο. Το γράφημα της εξάρτησης του πλάτους των εξαναγκασμένων δονήσεων ΕΝΑ Τ στη συχνότητα της κινητήριας δύναμης υ φαίνεται στο σχήμα, αυτό το γράφημα ονομάζεται καμπύλη συντονισμού:
Το φαινόμενο του συντονισμού παίζει σημαντικό ρόλο σε μια σειρά από φυσικές, επιστημονικές και βιομηχανικές διαδικασίες. Για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να λαμβάνεται υπόψη το φαινόμενο του συντονισμού κατά το σχεδιασμό γεφυρών, κτιρίων και άλλων κατασκευών που δονούνται υπό φορτίο, διαφορετικά, υπό ορισμένες συνθήκες, αυτές οι κατασκευές μπορεί να καταστραφούν.
Εάν το σώμα, που είναι προσαρτημένο στο ελατήριο (Εικόνα 4), εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας κατά μια απόσταση Α, για παράδειγμα, προς τα αριστερά, τότε, έχοντας περάσει από τη θέση ισορροπίας, θα εκτραπεί προς τα δεξιά. Αυτό προκύπτει από το νόμο της διατήρησης της ενέργειας.
Η δυναμική ενέργεια ενός συμπιεσμένου ή τεντωμένου ελατηρίου είναι
όπου k είναι η ακαμψία του ελατηρίου και x η επιμήκυνσή του. Στην άκρα αριστερή θέση, η επιμήκυνση του ελατηρίου x = - A, επομένως, η δυναμική ενέργεια είναι
Η κινητική ενέργεια αυτή τη στιγμή είναι ίση με μηδέν, γιατί η ταχύτητα είναι ίση με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η δυναμική ενέργεια είναι η συνολική μηχανική ενέργεια του συστήματος αυτή τη στιγμή. Αν συμφωνήσουμε ότι η δύναμη τριβής είναι μηδέν, και οι άλλες δυνάμεις είναι ισορροπημένες, τότε το σύστημά μας μπορεί να θεωρηθεί κλειστό και η συνολική του ενέργεια δεν μπορεί να αλλάξει κατά την κίνηση. Όταν το σώμα στην κίνησή του βρίσκεται στην άκρα δεξιά θέση (x = A), η κινητική του ενέργεια θα είναι πάλι ίση με μηδέν και η συνολική ενέργεια είναι πάλι ίση με τη δυναμική. Και η συνολική ενέργεια δεν μπορεί να αλλάξει. Ως εκ τούτου, είναι και πάλι ίσο με
Αυτό σημαίνει ότι το σώμα θα αποκλίνει προς τα δεξιά κατά απόσταση ίση με το Α.
Στη θέση ισορροπίας, αντίθετα, η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν, επειδή το ελατήριο δεν παραμορφώνεται, x = 0. Σε αυτή τη θέση, η συνολική ενέργεια του σώματος είναι ίση με την κινητική του ενέργεια
όπου m είναι η μάζα του σώματος και η ταχύτητά του (είναι μέγιστη αυτή τη στιγμή). Αλλά και αυτή η κινητική ενέργεια πρέπει να έχει ίση αξία. Κατά συνέπεια, κατά την ταλαντωτική κίνηση, συμβαίνει η μετατροπή της κινητικής ενέργειας σε δυναμική ενέργεια και αντίστροφα. Σε οποιοδήποτε σημείο μεταξύ των θέσεων ισορροπίας και μέγιστης απόκλισης, το σώμα έχει και κινητική ενέργεια και δυναμικό, αλλά το άθροισμά τους, δηλ. η συνολική ενέργεια σε οποιαδήποτε θέση του σώματος είναι ίση με. Η συνολική μηχανική ενέργεια W ενός ταλαντούμενου σώματος είναι ανάλογη με το τετράγωνο του πλάτους και τις ταλαντώσεις του
Εκκρεμές. Μαθηματικό εκκρεμές
Εκκρεμές είναι κάθε σώμα που αιωρείται έτσι ώστε το κέντρο βάρους του να βρίσκεται κάτω από το σημείο ανάρτησης. Αυτό σημαίνει ότι το φορτίο που αιωρείται σε ένα σχοινί είναι ένα ταλαντευόμενο σύστημα παρόμοιο με το εκκρεμές ενός ρολογιού τοίχου. Οποιοδήποτε σύστημα είναι ικανό για ελεύθερες δονήσεις έχει μια σταθερή θέση ισορροπίας. Για ένα εκκρεμές, αυτή είναι η θέση στην οποία το κέντρο βάρους βρίσκεται στην κατακόρυφο κάτω από το σημείο ανάρτησης. Αν βγάλουμε το εκκρεμές από αυτή τη θέση ή το σπρώξουμε, τότε θα αρχίσει να ταλαντώνεται, αποκλίνοντας προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση από τη θέση ισορροπίας. Γνωρίζουμε ότι η μεγαλύτερη απόκλιση από τη θέση ισορροπίας, στην οποία φτάνει το εκκρεμές, ονομάζεται πλάτος των ταλαντώσεων. Το πλάτος καθορίζεται από την αρχική εκτροπή ή ώθηση με την οποία το εκκρεμές τέθηκε σε κίνηση. Αυτή η ιδιότητα - η εξάρτηση του πλάτους από τις συνθήκες στην αρχή της κίνησης - είναι χαρακτηριστική όχι μόνο για τις ελεύθερες ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς, αλλά γενικά για τις ελεύθερες ταλαντώσεις πολλών ταλαντωτικών συστημάτων.
Η περίοδος ταλάντωσης ενός φυσικού εκκρεμούς εξαρτάται από πολλές περιστάσεις: από το μέγεθος και το σχήμα του σώματος, από την απόσταση μεταξύ του κέντρου βάρους και του σημείου ανάρτησης και από την κατανομή του σωματικού βάρους σε σχέση με αυτό το σημείο. Ως εκ τούτου, ο υπολογισμός της περιόδου ενός ανασταλμένου σώματος είναι ένα αρκετά δύσκολο έργο. Η κατάσταση είναι απλούστερη για ένα μαθηματικό εκκρεμές. Ένα μαθηματικό εκκρεμές είναι ένα βάρος που αιωρείται από ένα λεπτό νήμα, οι διαστάσεις του οποίου είναι πολύ μικρότερες από το μήκος του νήματος και η μάζα του μάννα του είναι μεγαλύτερη από τη μάζα του νήματος. Αυτό σημαίνει ότι το σώμα (φορτίο) και το νήμα πρέπει να είναι τέτοια ώστε το φορτίο να μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο και το νήμα να είναι αβαρές. Από τις παρατηρήσεις τέτοιων εκκρεμών, μπορούν να καθοριστούν οι ακόλουθοι απλοί νόμοι.
1. Εάν, διατηρώντας το ίδιο μήκος του εκκρεμούς (την απόσταση από το σημείο ανάρτησης έως το κέντρο βάρους του φορτίου), αναρτηθούν διαφορετικά βάρη, τότε η περίοδος ταλάντωσης θα είναι η ίδια, αν και οι μάζες των βαρών διαφέρουν πολύ . Η περίοδος του μαθηματικού εκκρεμούς δεν εξαρτάται από τη μάζα του φορτίου.
2. Το Sida, ενεργώντας στο σώμα σε οποιοδήποτε σημείο της τροχιάς, κατευθύνεται προς τη θέση ισορροπίας και στο ίδιο το σημείο ισορροπίας είναι ίσο με μηδέν.
3. Η δύναμη είναι ανάλογη με την απόκλιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας.
Ρύζι. 5.
4. Αν κατά την εκκίνηση του εκκρεμούς το εκτρέψουμε σε διαφορετικές (αλλά όχι πολύ μεγάλες) γωνίες, τότε θα ταλαντωθεί με την ίδια περίοδο, αν και με διαφορετικά πλάτη. Εφόσον τα πλάτη δεν είναι πολύ μεγάλα, οι ταλαντώσεις είναι αρκετά κοντά στη μορφή τους ώστε να είναι αρμονικές και η περίοδος του μαθηματικού εκκρεμούς δεν εξαρτάται από το πλάτος των ταλαντώσεων. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται ισοχρονισμός (από τις ελληνικές λέξεις "ίσος" - ίσος, "χρόνος" - χρόνος).
Αυτό το γεγονός διαπιστώθηκε για πρώτη φορά το 1655 από τον Γαλιλαίο, υποτίθεται ότι υπό τις ακόλουθες συνθήκες. Ο Γαλιλαίος παρατήρησε στον καθεδρικό ναό της Πίζας την αιώρηση ενός πολυελαίου (σε μια ορθόδοξη εκκλησία, ένας κεντρικός πολυέλαιος, ένας λύχνος με πολλά κεριά ή λυχνάρια με εικονίδια) σε μια μακριά αλυσίδα, ο οποίος σπρώχνονταν όταν άναβε. Κατά τη διάρκεια της θείας λειτουργίας, η αιώρηση σταδιακά έσβησε (Κεφάλαιο 8), δηλαδή το πλάτος της αιώρησης μειώθηκε, αλλά η περίοδος παρέμεινε η ίδια. Ο Γαλιλαίος χρησιμοποίησε τον δικό του παλμό ως δείκτη του χρόνου.
Αυτή η ιδιότητα του εκκρεμούς αποδείχθηκε όχι μόνο εκπληκτική, αλλά και χρήσιμη. Ο Galileo πρότεινε τη χρήση ενός εκκρεμούς ως ρυθμιστή σε ένα ρολόι. Την εποχή του Γαλιλαίου, τα ρολόγια τροφοδοτούνταν από ένα βάρος και μια ακατέργαστη συσκευή όπως οι λεπίδες του ανεμόμυλου χρησιμοποιήθηκε για τη ρύθμιση της διαδρομής, η οποία χρησιμοποιούσε αντίσταση αέρα. Ένα εκκρεμές θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση ίσων χρονικών διαστημάτων, επειδή οι μικρές ταλαντώσεις συμβαίνουν ταυτόχρονα με τις μεγάλες που προκαλούνται από τυχαίες ριπές ανέμου. Έναν αιώνα μετά το Galileo, άρχισαν να χρησιμοποιούνται τα ρολόγια εκκρεμούς, αλλά οι ναυτικοί εξακολουθούσαν να χρειάζονταν ακριβή ρολόγια για τη μέτρηση του γεωγραφικού μήκους στη θάλασσα. Ανακοινώθηκε ένα έπαθλο για τη δημιουργία ενός τέτοιου θαλάσσιου ρολογιού που θα επέτρεπε τη μέτρηση του χρόνου με επαρκή ακρίβεια. Το βραβείο πήγε στον Garisson για το χρονοόμετρο, το οποίο χρησιμοποιούσε σφόνδυλο (ζυγό) και ειδικό ελατήριο για τη ρύθμιση του εγκεφαλικού.
Ας εξαγάγουμε τώρα έναν τύπο για την περίοδο ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς.
Όταν το εκκρεμές ταλαντεύεται, το φορτίο κινείται επιταχυνόμενο κατά μήκος του τόξου VA (Εικ. 5, α) υπό τη δράση της δύναμης επιστροφής P 1, η οποία αλλάζει κατά την κίνηση.
Ο υπολογισμός της κίνησης του σώματος υπό την επίδραση μιας μη σταθερής δύναμης είναι μάλλον περίπλοκος. Επομένως, για λόγους απλότητας, θα προχωρήσουμε ως εξής.
Ας αναγκάσουμε το εκκρεμές να εκτελεί όχι ταλάντωση σε ένα επίπεδο, αλλά να περιγράψει τον κώνο έτσι ώστε το φορτίο να κινείται σε κύκλο (Εικ. 5, β). Αυτή η κίνηση μπορεί να επιτευχθεί ως αποτέλεσμα της προσθήκης δύο ανεξάρτητων δονήσεων: η μία - ακίνητη στο επίπεδο του σχεδίου και η άλλη - στο κάθετο επίπεδο. Προφανώς, οι περίοδοι και των δύο αυτών επίπεδων ταλαντώσεων είναι ίδιες, αφού οποιοδήποτε επίπεδο ταλάντωσης δεν διαφέρει από κανένα άλλο. Κατά συνέπεια, η περίοδος σύνθετης κίνησης - η περιστροφή του εκκρεμούς κατά μήκος ενός κώνου - θα είναι ίδια με την περίοδο αιώρησης σε ένα επίπεδο. Αυτό το συμπέρασμα μπορεί εύκολα να απεικονιστεί με άμεσο πείραμα, παίρνοντας δύο πανομοιότυπα εκκρεμή και λέγοντας στο ένα από αυτά να αιωρείται σε ένα επίπεδο και στο άλλο να περιστρέφεται κατά μήκος ενός κώνου.
Αλλά η περίοδος περιστροφής του "κωνικού" εκκρεμούς είναι ίση με το μήκος του κύκλου που περιγράφεται από το φορτίο, διαιρούμενο με την ταχύτητα:
Εάν η γωνία απόκλισης από την κατακόρυφο είναι μικρή (μικρά πλάτη!), Τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι η δύναμη επιστροφής P 1 κατευθύνεται κατά μήκος της ακτίνας του κύκλου BC, δηλαδή είναι ίση με την κεντρομόλο δύναμη:
Από την άλλη, από την ομοιότητα των τριγώνων OBC και DBE, προκύπτει ότι BE: BD = CB: OB. Εφόσον OB = l, CB = r, BE = P 1, επομένως
Εξισώνοντας και τις δύο εκφράσεις Р 1 μεταξύ τους, παίρνουμε την ταχύτητα κυκλοφορίας
Τέλος, αντικαθιστώντας αυτό στην έκφραση για την περίοδο T, βρίσκουμε
Άρα, η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς εξαρτάται μόνο από την επιτάχυνση του βάρους g και από το μήκος του εκκρεμούς l, δηλαδή από την απόσταση από το σημείο ανάρτησης έως το κέντρο βάρους του φορτίου. Από τον ληφθέν τύπο προκύπτει ότι η περίοδος του εκκρεμούς δεν εξαρτάται από τη μάζα και το πλάτος του (υπό την προϋπόθεση ότι είναι αρκετά μικρό). Με άλλα λόγια, αυτοί οι βασικοί νόμοι που θεσπίστηκαν νωρίτερα από παρατηρήσεις προέκυψαν με υπολογισμό.
Αλλά αυτό το θεωρητικό συμπέρασμα μας δίνει περισσότερα: μας επιτρέπει να δημιουργήσουμε μια ποσοτική σχέση μεταξύ της περιόδου του εκκρεμούς, του μήκους του και της επιτάχυνσης της βαρύτητας. Η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς είναι ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα του λόγου του μήκους του εκκρεμούς προς την επιτάχυνση της βαρύτητας. Η αναλογία διαστάσεων είναι 2;
Η εξάρτηση της περιόδου του εκκρεμούς από την επιτάχυνση της βαρύτητας είναι ένας πολύ ακριβής τρόπος προσδιορισμού αυτής της επιτάχυνσης. Έχοντας μετρήσει το μήκος του εκκρεμούς l και έχοντας προσδιορίσει την περίοδο T από μεγάλο αριθμό ταλαντώσεων, μπορούμε να υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τον προκύπτον τύπο g. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη.
συντεταγμένη συντονισμού ταλάντωσης εκκρεμούς