Δυαδικές σχέσεις και τα παραδείγματα λύσεων ιδιοτήτων τους. Δυαδική σχέση. Παραδείγματα δυαδικών σχέσεων. Δυαδικές σχέσεις και οι ιδιότητές τους

Για τη σχέση της μη κερδοσκοπικής τάξης:

Η.Χ. - αληθές (αντανακλησία) ·

hu και wow x \u003d- (αντισυμμετρία);

x y και z x x x z- (μεταβατικότητα).

Πολλά Χ.που ονομάζεται διέταξε αν τυχόν δύο στοιχεία Η.και w.Αυτό το σετ είναι συγκρίσιμο, δηλ. Εάν μία από τις συνθήκες εκτελείται γι 'αυτούς: Η.< u, H.= u, W.< Χ.

Που παραγγέλθηκαν σετ ονομάζονται πλειάδα. Στη γενική περίπτωση, η πλειάδα είναι μια αλληλουχία στοιχείων, δηλ. Το σύνολο των στοιχείων στα οποία κάθε στοιχείο καταλαμβάνει ένα εντελώς καθορισμένο μέρος. Τα στοιχεία του παραγγελθέντος σετ ονομάζονται συστατικά της πλειάδας. Παραδείγματα του φλοιού μπορεί να είναι μια παραγγέλλουσα αλληλουχία αριθμητικών ή γεωμετρικών στοιχείων, μιας αλληλουχίας τεχνολογικών δραστηριοτήτων στην παρασκευή ενός ραδιοελεγχόμενου προϊόντος, μιας διαταγμένης ακολουθίας των θέσεων εγκατάστασης της πλακέτας τυπωμένου κυκλώματος για τη στερέωση δομικών στοιχείων.

Σε όλα αυτά τα σύνολα, ο τόπος κάθε στοιχείου ορίζεται πλήρως και δεν μπορεί να αλλάξει αυθαίρετα.

Κατά την επεξεργασία των πληροφοριών σχεδιασμού σε υπολογιστές, οι δείκτες κυριαρχίας χρησιμοποιούν συχνά. Λένε ότι xxκυριαρχεί uxδηλ. x \u003e\u003e y,Εάν το στοιχείο Η.Σε κάτι ανώτερο (έχει προτεραιότητα) στοιχείο w.του ίδιου σετ. Για παράδειγμα, κάτω Η.Μπορείτε να καταλάβετε έναν από τους καταλόγους δεδομένων, οι οποίες πρέπει να ληφθούν πρώτα για την επεξεργασία. Κατά την ανάλυση αρκετών δομών REA, ορισμένα από αυτά πρέπει να δοθούν προτεραιότητα, δεδομένου ότι ο σχεδιασμός αυτός έχει το καλύτερο, από την άποψή μας, τις ιδιότητες από άλλες, δηλ. Σχεδιασμός Η.κυριαρχεί το σχεδιασμό y

Η ιδιότητα της μεταβατικότητας δεν έχει χώρο. Πράγματι, αν, για παράδειγμα, ο σχεδιασμός Η.Για οποιεσδήποτε παραμέτρους προτιμώμενα σχέδια y,Και το σχεδιασμό w.Σύμφωνα με οποιεσδήποτε άλλες παραμέτρους, τα σχέδια Ζ, τότε δεν ακολουθεί ακόμη ότι τα σχέδια Η.Πρέπει να προτιμάται σε σύγκριση με το σχεδιασμό ΣΟΛ.

Οθόνες. Μία από τις βασικές έννοιες της θεωρίας που ορίζει είναι η έννοια της οθόνης. Εάν έχουν οριστεί δύο μη κενά σύνολα Χ.και Y,τότε ο νόμος σύμφωνα με τον οποίο κάθε στοιχείο x Χ.σύμφωνα με τη συμμόρφωση του στοιχείου , που ονομάζεται αδιαμφισβήτητη χαρτογράφηση Χ.σε Y.ή μια λειτουργία που ορίζεται στο Χ και η τιμή λήψης Y.

Στην πράξη, είναι απαραίτητο να αντιμετωπιστούν πολλαπλές αποτιμημένες αντιστοιχίες σετ Χ.Στο σύνολο Y,που καθορίζουν το νόμο σύμφωνα με τον οποίο κάθε στοιχείο xxΒάλτε τη γραμμή με κάποιο υποσύνολο , Ονομάζεται τα στοιχεία του τρόπου. Περιπτώσεις είναι δυνατές όταν GH \u003d 0.

Αφήστε κάποιο υποσύνολο ΤΣΕΚΟΥΡΙ.Για οποιονδηποτε Εκτάριοτρόπος Η.είναι ένα υποσύνολο . Ένας συνδυασμός όλων των στοιχείων Y,είναι εικόνες για όλους x σε έναΙσχυρίστε έναν τρόπο ρύθμισης ΑΛΛΑΚαι θα δηλώσουμε Ha.Σε αυτήν την περίπτωση

Δυαδική σχέση.

Αφήστε τα Α και Β να είναι αυθαίρετα σύνολα. Πάρτε ένα στοιχείο από κάθε σετ και από Α, Β από Β και γράψτε τους έτσι: (Πρώτον, το στοιχείο του πρώτου σετ, τότε το στοιχείο του δεύτερου σετ - δηλαδή, είμαστε σημαντικοί για τη σειρά με την οποία λαμβάνονται τα στοιχεία). Ένα τέτοιο αντικείμενο θα καλείται διατεταγμένο ζευγάρι. Ισος Θα εξετάσουμε μόνο τα ζεύγη που έχουν στοιχεία με τους ίδιους αριθμούς είναι ίσοι. = Εάν a \u003d c και b \u003d d. Προφανώς, αν ένα ≠ b, τότε ≠ .

Καρτεσιανή εργασία Αυθητικά σύνολα A και B (δηλώνεται: AB) που ονομάζεται ένα σύνολο που αποτελείται από όλα τα πιθανά παραγγελθέντα ατμό, το πρώτο στοιχείο της οποίας ανήκει σε Α και το δεύτερο ανήκει στο Β. Από ορισμό: ab \u003d ( | AA και BB). Προφανώς, αν ένα ≠ b, τότε ab ≠ ba. Cartesovo έργα του ίδιου που ονομάζεται n φορές Καρτεσιανό πτυχίο Α (δηλώνει: ένα n).

Παράδειγμα 5. Αφήστε A \u003d (x, y) και b \u003d (1, 2, 3).

Ab \u003d , , , , , }.

Ba \u003d (<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

Aa \u003d a 2 \u003d ( , , , }.

Bb \u003d b 2 \u003d (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

Δυαδική στάση Στο σύνολο M, μια ποικιλία από μερικά παραγγελθέντα ζεύγη στοιχείων του Set M. Αν r είναι δυαδική στάση και ατμός Ανήκει σε αυτή τη σχέση, στη συνέχεια γράψτε: R ή x r y. Προφανώς, r 2.

Παράδειγμα 6. Ρυθμίστε (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) είναι μια δυαδική στάση στο σύνολο (1, 2, 3, 4, 5).

Παράδειγμα 7. Ο λόγος ³ σε ένα πλήθος ακεραίων είναι μια δυαδική στάση. Αυτό είναι ένα άπειρο σύνολο παραγγελιών όπου x ³ y, x και y είναι ακέραιοι αριθμοί. Αυτή η σχέση ανήκει, για παράδειγμα, ζεύγη<5, 3>, <2, 2>, <324, -23> και δεν ανήκουν σε ζεύγη<5, 7>, <-3, 2>.

Παράδειγμα 8. Ο λόγος της ισότητας στο σύνολο Α είναι ένας δυαδικός λόγος: i a \u003d ( | x Î a). Εγώ που ονομάζεται Διαγώνιος Ορίζει Α.

Δεδομένου ότι οι δυαδικές σχέσεις είναι σύνθετα, εφαρμόζονται στις λειτουργίες της ένωσης, της διασταύρωσης, των προσθηκών και των διαφορών.

Ορισμός περιοχής Ο δυαδικός λόγος R ονομάζεται το σύνολο D (r) \u003d (x | υπάρχει ένα τέτοιο Y αυτό το xry). Περιοχή αξιών Ο δυαδικός λόγος R ονομάζεται το σύνολο R (R) \u003d (y | υπάρχει ένα τέτοιο x το xry).

Σχέση αντίστροφος προς τη δυαδική αναλογία R í m 2, ονομάζεται δυαδική αναλογία R -1 \u003d ( | Î). Προφανώς, το D (R -1) \u003d R (R), R (R -1) \u003d D (R), R - 1 ° Ο 2.

Σύνθεση Οι δυαδικές σχέσεις R1 και R 2 που καθορίζονται στο σύνολο Μ θα ονομάζονται δυαδική αναλογία R 2 o R 1 \u003d ( | Υπάρχει y έτσι ώστε Î 1 και Í 2). Προφανώς, r 2 o r 1 í m 2.

Παράδειγμα 9. Αφήστε τη δυαδική αναλογία του r που έχει οριστεί στο σύνολο m \u003d (a, b, c, d), r \u003d ( , , , ). Στη συνέχεια D (R) \u003d (Α, C), R (R) \u003d (Β, C, D), R -1 \u003d ( , , , ), R o r \u003d ( , , , ), R -1 O R \u003d ( , , , ), R o R -1 \u003d ( , , , , , , }.

Ας είναι μια δυαδική στάση στο σύνολο Μ. Ο λόγος R καλείται ΑνακλαστικόςΕάν το x R x για οποιοδήποτε x Î M. Ο λόγος R καλείται ΣυμμετρικόςΑν με κάθε ζευγάρι Περιέχει ένα ζευγάρι . Ο λόγος R καλείται μεταβατικόςΕάν από το γεγονός ότι το X R Y και Y R Z ακολουθεί το X R Z. Ο λόγος R καλείται ΑντισυμμετρικόςΕάν δεν περιέχει ένα ζευγάρι ταυτόχρονα και Διαφορετικά στοιχεία x ¹ y Σετ Μ.

Αναφέρουμε τα κριτήρια για την εκτέλεση αυτών των ιδιοτήτων.

Δυαδική αναλογία r στο σύνολο m αντανακλαστικά και μόνο αν i m í r.

Ο δυαδικός λόγος R είναι συμμετρικά τότε και μόνο αν r \u003d R -1.

Ο δυαδικός λόγος R στο σύνολο Μ είναι αντισυμμετρικός αν και μόνο αν r ç r -1 \u003d i m.

Ο δυαδικός λόγος R είναι μετακομιστικά αν και μόνο αν το r o r.

Παράδειγμα 10. Η αναλογία του Παραδείγματος 6 είναι αντισυμμετρία, αλλά δεν είναι συμμετρική, αντανακλαστική και μεταβατική. Η αναλογία του Παραδείγματος 7 είναι αντανακλαστική, αντισυμμετρία και μεταβατική, αλλά δεν είναι συμμετρική. Ο λόγος που έχω όλες τις εν λόγω τέσσερις ιδιότητες. Οι αναλογίες R -1 O R και ROR -1 είναι συμμετρικοί, μεταβατικοί, αλλά δεν είναι αντισυμμετρικοί και αντανακλαστικοί.

Σχέση Ισοδυναμίας Στο σύνολο M ονομάζεται μεταβατικό, συμμετρικό και αντανακλαστικό στη δυαδική στάση M.

Σχέση Μερική τάξη Στο σύνολο M ονομάζεται μεταβατικός, αντισυμμετρικός και αντανακλαστικός σε M δυαδικό λόγο R.

Παράδειγμα 11. Η αναλογία του Παραδείγματος 7 είναι ένας δείκτης μερικής τάξης. Η αναλογία Ι είναι η αναλογία ισοδυναμίας και μερικής τάξης. Ο λόγος παραλληλισμού στο σύνολο άμεσων δραστηριοτήτων είναι ο λόγος ισοδυναμίας.

Ακίνητα σχέσεων:

1) αντανακλαστικότητα;

2) συμμετρία.

3) Μεταβατικότητα.

4) Σύνδεση.

Στάση R. Στο σύνολο Η. που ονομάζεται αυτοπαθής Αν για κάθε στοιχείο του σετ Η. Μπορούμε να πούμε ότι είναι σε σχέση με R. Με τον εαυτο μου: Η.Rx. Εάν ο λόγος είναι αντανακλαστικός, τότε σε κάθε κορυφή υπάρχει ένας βρόχος. Και πίσω, το γράφημα, κάθε κορυφή του οποίου περιέχει ένα βρόχο, είναι ένα γράφημα μιας αντανακλαστικής σχέσης.

Παραδείγματα αντανακλαστικών σχέσεων είναι και ο λόγος "πολλαπλών" στο σύνολο των φυσικών αριθμών (κάθε αριθμός πολλαπλών ο ίδιος) και η στάση της ομοιότητας των τριγώνων (κάθε τρίγωνο είναι παρόμοιος με τον εαυτό της), και η στάση της ισότητας "(κάθε αριθμός εξίσου) και άλλοι.

Υπάρχουν σχέσεις που δεν έχουν την ιδιότητα της αντανακλαστικότητας, για παράδειγμα, ο λόγος της κάθετης κατανάλωσης των τμημάτων: ab, ba. (Δεν υπάρχει ένα μόνο τμήμα που μπορεί να ειπωθεί ότι είναι κάθετος στον εαυτό του) . Επομένως, δεν υπάρχει βρόχος στη στήλη αυτής της σχέσης.

Δεν έχει την ιδιότητα της αντανακλαστικότητας και της αναλογίας "μακρύτερα" για τμήματα, "περισσότερο κατά 2" για φυσικούς αριθμούς κ.λπ.

Στάση R. Στο σύνολο Η.που ονομάζεται ΑντισταθμιστικόΑν για οποιοδήποτε στοιχείο από το σετ Η.Πάντα ψευδής Η.Rx: .

Υπάρχουν αξιολογήσεις που δεν είναι ούτε αντανακλαστικά ούτε τα αντιστάθμιστα. Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας σχέσης είναι η στάση " Η. Συμμετρικό σημείο w.Σχετιζομαι με ΜΕΓΑΛΟ.", Που καθορίζεται στο σύνολο των σημείων του αεροπλάνου. Πράγματι, όλα τα σημεία είναι άμεσα ΜΕΓΑΛΟ. συμμετρικά τους εαυτούς μας, και τα σημεία που δεν βρίσκονται σε ένα ευθεία ΜΕΓΑΛΟ, Οι ίδιοι δεν είναι συμμετρικοί.

Στάση R.Στο σύνολο Η. που ονομάζεται Συμμετρικός, Εάν είναι ικανοποιημένη κατάσταση: από το τι είναι το στοιχείο Η. είναι σε σχέση με το στοιχείο y., ακολουθεί ότι το στοιχείο y. Βρίσκεται δεξιά R. με στοιχείο Χ:xryyrx.

Το γράφημα μιας συμμετρικής σχέσης έχει την ακόλουθη λειτουργία: μαζί με κάθε βέλος που προέρχεται από Η. προς την y., το γράφημα περιέχει ένα βέλος που προέρχεται από y. προς την Η. (Εικ. 35).

Παραδείγματα συμμετρικών σχέσεων μπορεί να είναι οι ακόλουθες: ο λόγος "παραλληλισμού" των τμημάτων, ο λόγος "κάθετα" των τμημάτων, ο λόγος "ισότητας" των τμημάτων, ο λόγος της ομοιότητας των τριγώνων, ο λόγος της "ισότητας" κλάσματα κ.λπ.

Υπάρχουν σχέσεις που δεν έχουν ιδιότητα συμμετρίας.

Πράγματι, αν το τμήμα Η. Μακρύς κομμένος w., στη συνέχεια κόψτε w. δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο τμήμα Η.. Το γράφημα αυτής της σχέσης έχει ένα χαρακτηριστικό: Το βέλος που συνδέει τις κορυφές κατευθύνεται μόνο προς μία κατεύθυνση.

Στάση R. Κλήση ΑντισυμμετρικόςΑν για οποιαδήποτε στοιχεία Η. και y.Από την αλήθεια xryΤο ψευδές ακολουθεί yRX :: XRYYRX.

Εκτός από τη σχέση "μακρύτερη" στο σύνολο των τμημάτων υπάρχουν άλλες αντισυμμετρικές σχέσεις. Για παράδειγμα, ο λόγος "περισσότερο" για τους αριθμούς (εάν Η. περισσότερο w.Τ. w. δεν μπορεί να είναι περισσότερο Η.), ο λόγος "περισσότερο" και άλλοι.

Υπάρχουν σχέσεις που δεν έχουν ιδιότητα συμμετρίας ούτε η ιδιότητα του αντιυμμετρίας.

Αναλογία r στο σετ Η.Κλήση μεταβατικός Αν από το γεγονός ότι το στοιχείο Η. Βρίσκεται δεξιά R. με στοιχείο y, Και στοιχείο y. Βρίσκεται δεξιά R. με στοιχείο z., Ακολουθεί ότι το στοιχείο Η. Βρίσκεται δεξιά R. με στοιχείο z.: xry και yrz.xrz.

Μετρήστε τη μεταβατική σχέση με κάθε ζεύγος βέλη που προέρχονται από Η. προς την y. και από y. προς την z., Περιέχει ένα βέλος που προέρχεται από Η.προς την z.

Η σχέση της μεταβαιμότητας έχει τον λόγο "μακρύτερο" στο σύνολο των τμημάτων: αν το τμήμα αλλά Μακρύς κομμένος ΣΙ., Ενότητα ΣΙ.Μακρύς κομμένος από, στη συνέχεια κόψτε αλλάΜακρύς κομμένος από. Η αναλογία της "ισότητας" στο σύνολο των τμημάτων έχει επίσης την ιδιότητα της μεταβαιμότητας: (A \u003d.Β, Β \u003d C) (Α \u003d C).

Υπάρχουν σχέσεις που δεν έχουν την ιδιότητα της μεταβατικότητας. Μια τέτοια στάση είναι, για παράδειγμα, τη στάση της κάθετα: αν το τμήμα αλλά Κάθετη προς το τμήμα ΣΙ., και κόψτε ΣΙ. Κάθετη προς το τμήμα από, τότε τμήματα αλλά και από Δεν είναι κάθετη!

Υπάρχει μια άλλη ιδιότητα της σχέσης, η οποία ονομάζεται ιδιοκτησία της ουσιαστικής σημασίας και η στάση που τους κατέχει ονομάζεται.

Στάση R. Στο σύνολο Η. που ονομάζεται συνδεδεμένος Αν για οποιαδήποτε στοιχεία Η. και y. Μια κατάσταση ικανοποιείται από αυτό το σύνολο: αν Η. και y. διαφορετικά, τότε είτε Η. Βρίσκεται δεξιά R. με στοιχείο y.ή στοιχείο y. Βρίσκεται δεξιά R. με στοιχείο Η.. Με τη βοήθεια χαρακτήρων μπορεί να γραφτεί ως: xy. Xry ή yrx.

Για παράδειγμα, η ιδιότητα της σχέσης έχει την αναλογία "Περισσότερα" για φυσικούς αριθμούς: Για οποιονδήποτε διαφορετικό αριθμό x και y, μπορεί να υποστηριχθεί ή x\u003e y.είτε y\u003e x.

Στη στήλη της σχετικής σχέσης, οι δύο κορυφές συνδέονται με ένα βέλος. Δίκαιη και αντίστροφη δήλωση.

Υπάρχουν σχέσεις που δεν έχουν την ιδιότητα της συναρμολόγησης. Μια τέτοια στάση, για παράδειγμα, είναι η σχέση διαίρεσης σε ένα σύνολο φυσικών αριθμών: μπορείτε να καλέσετε τέτοιους αριθμούς x και y.κανένας αριθμός Η.δεν είναι ένας αριθμός διαιρέτη y.ούτε ένας αριθμός y. δεν είναι ένας αριθμός διαιρέτη Η.(Αριθμοί 17 και 11 , 3 και 10 και τα λοιπά.) .

Εξετάστε διάφορα παραδείγματα. Στο σύνολο X \u003d (1, 2, 4, 8, 12) Ο αριθμός του λόγου " Η.Αριθμός βαφής y." Κατασκευάζουμε το γράφημα αυτής της σχέσης και διατυπώνουμε τις ιδιότητές του.

Η αναλογία της ισότητας των κλάσεων μιλούν, είναι λόγος ισοδυναμίας.

Στάση R. Στο σύνολο Η. που ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας Εάν ταυτόχρονα έχει την ιδιότητα της αντανακλαστικότητας, της συμμετρίας και της μεταβατικότητας.

Παραδείγματα σχέσεων ισοδυναμίας περιλαμβάνουν: τη σχέση των γεωμετρικών μορφών, του λόγου άμεσης παραλληλισμού (υπό την προϋπόθεση ότι οι συμπτωματικές ευθείες γραμμές θεωρούνται παράλληλες).

Στην αναλογία της "ισότητας κλάσεων", πολλοί Η.έσπασε σε τρία υποσύνολα: ( ; ; }, {; } , (). Αυτά τα υποσύνολα δεν τέμνονται, και η ένωση τους συμπίπτει με πολλούς Η.. Έχουμε μια διάσπαση πολλών τάξεων.

Ετσι, Εάν ο λόγος ισοδυναμίας ορίζεται στο σύνολο X, δημιουργεί τη διάσπαση αυτού του σετ σε ζεύγη διάδοσης υποσύνησης - τάξεις ισοδυναμίας.

Έτσι, διαπιστώσαμε ότι η σχέση της ισότητας στο σύνολο
Η.\u003d (;;;;;) αντιστοιχεί στο διαμέρισμα αυτού του καθορισμένου σε τάξεις ισοδυναμίας, καθένα από τα οποία αποτελείται από ίσα κλάσματα.

Η αρχή της διάσπασης του καθορισμένου σε τάξεις με κάποια σχέση ισοδυναμίας είναι μια σημαντική αρχή των μαθηματικών. Γιατί;

Πρώτον, ισοδύναμο είναι ισοδύναμο, εναλλάξιμο. Επομένως, τα στοιχεία μιας μονής τάξης ισοδυναμίας είναι εναλλάξιμα. Έτσι, το κλάσμα, το οποίο ήταν σε μια τάξη ισοδυναμίας (;;), αδιαίρετα όσον αφορά τις σχέσεις ισότητας και κλάσματος μπορεί να αντικατασταθεί από ένα άλλο, για παράδειγμα . Και αυτή η αντικατάσταση δεν θα αλλάξει το αποτέλεσμα των υπολογισμών.

Δεύτερον, δεδομένου ότι στην κατηγορία ισοδυναμίας είναι στοιχεία που δεν είναι διακριτά από την άποψη μιας σχέσης, πιστεύουν ότι η τάξη ισοδυναμίας καθορίζεται από οποιονδήποτε εκπρόσωπο, δηλ. Ένα αυθαίρετο στοιχείο της τάξης. Έτσι, μπορεί να ρυθμιστεί οποιαδήποτε κατηγορία ίσων κλάσματα, υποδεικνύοντας οποιοδήποτε κλάσμα που ανήκει σε αυτή την κατηγορία. Μια τάξη ισοδυναμίας για έναν εκπρόσωπο επιτρέπει αντί για όλα τα στοιχεία του σετ για να διερευνήσει το σύνολο των εκπροσώπων από τις τάξεις ισοδυναμίας. Για παράδειγμα, ο λόγος ισοδυναμίας του "έχει τον ίδιο αριθμό κορυφών" που καθορίζεται στο σύνολο των πολύγωνων, δημιουργεί το διαμέρισμα αυτού του σετ στις τάξεις των τριγώνων, των τετραγών, των πεντάγων κλπ. Οι ιδιότητες που είναι εγγενείς σε κάποια τάξη θεωρούνται σε έναν από τους αντιπροσώπους του.

Τρίτον, η διάσπαση της σειράς σε τάξεις που χρησιμοποιεί λόγο ισοδυναμίας χρησιμοποιείται για την εισαγωγή νέων εννοιών. Για παράδειγμα, η έννοια της "δέσμη άμεσης" μπορεί να προσδιοριστεί ως κοινή, η οποία έχει παράλληλα αρπακτικά.

Ένας άλλος σημαντικός τύπος σχέσης είναι η σχέση της τάξης. Εξετάστε το έργο. Στο σύνολο Η.={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) Ο λόγος έχει ρυθμιστεί να "έχει το ίδιο κατάλοιπο κατά τη διαίρεση 3 " Αυτή η στάση δημιουργεί τη διάσπαση του σετ Η. Στα μαθήματα: Κάποιος θα πέσει σε έναν αριθμό, όταν διαιρεί το οποίο 3 Αποδεικνύεται στα υπόλοιπα 0 (Αυτοί είναι αριθμοί 3, 6, 9 ). Στο δεύτερο - ο αριθμός, κατά τη διαίρεση που επάνω 3 Στο υπόλειμμα αποδεικνύεται 1 (Αυτοί είναι αριθμοί 4, 7, 10 ). Την τρίτη, όλοι οι αριθμοί θα πέσουν, κατά τη διαίρεση της οποίας 3 Στο υπόλειμμα αποδεικνύεται 2 (Αυτοί είναι αριθμοί 5, 8 ). Πράγματι, τα προκύπτοντα σύνολα δεν τέμνονται και η ένωση τους συμπίπτει με το σετ Η.. Ως εκ τούτου, η στάση "να έχει το ίδιο κατάλοιπο στη διαίρεση 3 "Ορίστε σε ένα σύνολο Η.είναι σχέση ισοδυναμίας.

Πάρτε ένα άλλο παράδειγμα: Μια ποικιλία μαθητών της τάξης μπορεί να οργανωθεί από την ανάπτυξη ή την ηλικία. Σημειώστε ότι αυτός ο λόγος έχει τις ιδιότητες του αντισυμμετρία και της μεταβαιμότητας. Ή όλοι γνωρίζουν τη σειρά των γραμμάτων στο αλφάβητο. Παρέχει τη σχέση "Ακολουθήστε".

Στάση R.Στο σύνολο Η. που ονομάζεται σχέση αυστηρής τάξηςΕάν έχει ταυτόχρονα αντιισυμετρία και ιδιότητες μεταβατικότητας. Για παράδειγμα, η σχέση " Η.< y.».

Εάν η σχέση έχει τις ιδιότητες της αντανακλησίας, της αντισυμμετρίας και της μεταβατικότητας, τότε θα είναι Η στάση της μη αυστηρής τάξης. Για παράδειγμα, η σχέση " Η.y.».

Παραδείγματα της σχέσης της εντολής μπορεί να είναι: ο λόγος "λιγότερο" στο σύνολο των φυσικών αριθμών, ο λόγος "μικρότερος" στο σύνολο των τμημάτων. Εάν ο λόγος εντολής έχει επίσης μια ιδιότητα της συναρμολόγησης, λένε ότι είναι Γραμμική σειρά σχεδίων. Για παράδειγμα, ο λόγος "λιγότερο" στο σύνολο των φυσικών αριθμών.

Πολλά Η. που ονομάζεται διέταξε Εάν ο λόγος παραγγελίας έχει καθοριστεί.

Για παράδειγμα, το σετ X \u003d{2, 8, 12, 32 ) Μπορείτε να βελτιώσετε τη βοήθεια της αναλογίας "Λιγότερο" (Εικ. 41) και μπορείτε να το κάνετε με τη βοήθεια μιας "πολλαπλής" σχέσης (Εικ. 42). Αλλά, είναι μια στάση εντολής, η σχέση "λιγότερο" και "περισσότερη βαφή" οργανώνουν πολλούς φυσικούς αριθμούς με διαφορετικούς τρόπους. Ο λόγος "λιγότερο" σας επιτρέπει να συγκρίνετε δύο αριθμούς από το σετ Η.Και ο λόγος "πολλαπλών" δεν έχει τέτοιο ακίνητο. Έτσι, μερικοί αριθμοί 8 και 12 Ο λόγος είναι "πολλαπλές" δεν σχετίζεται: είναι αδύνατο να το πούμε 8 άκρη 12 ή 12 άκρη 8.

Δεν πρέπει να θεωρηθεί ότι όλες οι σχέσεις χωρίζονται σε σχέση ισοδυναμίας και σχέση σχέσεων. Υπάρχει ένας τεράστιος αριθμός σχέσεων μη ισοδυναμίας ή σχέσεις εντολής.

Βασικά στοιχεία των διακριτών μαθηματικών.

Την έννοια του σετ. Τη σχέση μεταξύ των συνόλων.

Το σετ είναι ένα σύνολο αντικειμένων με μια συγκεκριμένη ιδιότητα σε συνδυασμό σε ένα σύνολο.

Τα εξαρτήματα αντικειμένων καλούνται Στοιχεία σκηνικά. Για να ονομαστούν ορισμένα σύνολα αντικειμένων, πρέπει να πραγματοποιηθούν οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

· Πρέπει να υπάρχει ένας κανόνας για τον οποίο ο Mono καθορίζει αν το στοιχείο ανήκει σε αυτό το σετ.

· Πρέπει να υπάρχει κανόνα με το οποίο τα στοιχεία μπορούν να διακριθούν μεταξύ τους.

Τα σύνολα υποδεικνύονται με κεφαλαία γράμματα και τα στοιχεία του είναι μικρά. Μέθοδοι ρύθμισης:

· Καταγράψτε τα στοιχεία του σετ. - για τα πεπερασμένα σύνολα.

· Ένδειξη της χαρακτηριστικής ιδιοκτησίας .

Αδειο σετ - που ονομάζεται ένα σετ που δεν περιέχει κανένα στοιχείο (Ø).

Δύο σύνολα ονομάζονται ίση, αν αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία. . Α \u003d Β.

Πολλά ΣΙ. που ονομάζεται υποσύνολο του σετ ΑΛΛΑ (, τότε και μόνο όταν όλα τα στοιχεία του σετ ΣΙ. ανήκουν στο σύνολο ΕΝΑ..

Για παράδειγμα: , ΣΙ. =>

Ιδιοκτησία:

Σημείωση: Συνήθως θεωρείτε ένα υποσύνολο ενός και ότι το σύνολο e, το οποίο ονομάζεται Παγκόσμιος (U). Το καθολικό σετ περιέχει όλα τα στοιχεία.

Λειτουργίες σε σύνολα.

2.Σημείο τομής 2 Σετ ονομάζονται ένα νέο σύνολο που αποτελείται από στοιχεία, ταυτόχρονα ανήκει στο πρώτο και το δεύτερο σετ.

NR: ,,,

Ακίνητα: Συνδυάζοντας και λειτουργίες διασταύρωσης.

· Επικοινωνία.

· Συνεργασία. ;

· Κατανομή. ;

Δυαδικές σχέσεις και οι ιδιότητές τους.

Ας είναι ΑΛΛΑ και ΣΕ Αυτά είναι μια ποικιλία παραγώγων της φύσης, θεωρούν ένα διατεταγμένο ζευγάρι στοιχείων. (Α, Β) Ε Α, στην ΕΜπορείτε να λάβετε υπόψη "Enki".

(Α 1, και 2, και 3, ... και Ν)όπου αλλά 1 Ε α 1. αλλά 2 Ε Α 2. ... αλλά Ν. Ε και n;

Καρτεσιανή (Ευθεία) Ένα 1, και 2, ..., και nΟνομάζεται MN, το οποίο αποτελείται από μια παραγγελία n k του είδους.

Nr: Μ.= {1,2,3}

M × m \u003d m 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Υποσύνολα των έργων Decartian που ονομάζεται λόγος βαθμού Ν. ή μια σχέση ENAR. Αν ένα Ν.\u003d 2, τότε εξετάστε δυάδικος συγγένειες. Τι λένε αυτό Ένα 1, και 2 είναι σε δυαδικές όρους R.πότε Ένα 1 r Α 2.

Δυαδική στάση στο σύνολο Μ. που ονομάζεται υποσύνολο του άμεσου προϊόντος του σετ Ν. από μόνο του.

M × m \u003d m 2= {(Α, Β.)| α, β) Στο προηγούμενο παράδειγμα, ο λόγος είναι μικρότερος στο σετ Μ. Δημιουργεί το ακόλουθο σύνολο: ((1,2). (1,3). (2.3))

Οι δυαδικές σχέσεις έχουν διάφορες ιδιότητες, όπως:

· Αντανάκλαση: .

· Αντιστάθμιση αντιστάθμισης :.

· Συμμετρία:.

· Αντισυμετρία :.

· Μεταβατικότητα :.

· Ασυμμετρία :.

Τύποι σχέσεων.

· Αναλογία ισοδυναμίας.

· Ο λόγος της τάξης.

v αντανακλαστική μεταβατική σχέση ονομάζεται λόγος των οιονεί.

v αντανακλαστική συμμετρική μεταβατική σχέση ονομάζεται λόγος ισοδυναμίας.

v Η αντανακλαστική αντισυμμετρική μεταβατική σχέση ονομάζεται λόγος (μερικής) παραγγελίας.

v Μια αντισυμβατρική αντισηπτική σχέση μεταβατικής σχέσης ονομάζεται λόγος αυστηρής τάξης.

Προφανώς, οι αυθαίρετες δυαδικές σχέσεις για σπουδές σε γενικές γραμμές δεν ενδιαφέρουν ιδιαίτερα, μπορούμε να πούμε ελάχιστα γι 'αυτούς. Ωστόσο, εάν οι σχέσεις ικανοποιούν κάποιες πρόσθετες προϋποθέσεις, μπορούν να γίνουν περισσότερες ουσιαστικές δηλώσεις σε σχέση με αυτές. Σε αυτή την ενότητα, θα εξετάσουμε μερικές από τις βασικές ιδιότητες των δυαδικών σχέσεων.

• 1. Η δυαδική στάση στο σύνολο x ονομάζεται αντανακλαστικό, αν μια κατάσταση Α είναι ικανοποιημένη για οποιοδήποτε στοιχείο τσεκούρι:
  • (Τσεκούρι) Α * α.

Εάν ο λόγος παρουσιάζεται χρησιμοποιώντας ένα γράφημα, τότε η αντανακλαστικότητα αυτής της σχέσης σημαίνει ότι δεν υπάρχει βρόχος σε κάθε κορυφή.

Για τη σχέση που δόθηκε από τη βοήθεια μιας μαχητικής μήτρας, η αντανακλαστικότητά του ισοδυναμεί με το γεγονός ότι στην κύρια διαγώνια αυτής της μήτρας (που προέρχεται από την επάνω αριστερή γωνία του στο κάτω δεξιά) μόνο χαρακτήρες 1 κόστος 1.

2. Η δυαδική στάση απέναντι στο x ονομάζεται Antireflems, αν κανένα από τα τσεκούρι δεν είναι ικανοποιημένο με την κατάσταση Α * Α:

Δηλώστε από το i x τον λόγο στο σετ x που αποτελείται από ζεύγη της φόρμας (Α, Α), όπου ένα Χ:

I x \u003d ((a, a) | a x).

Η αναλογία IX συνήθως ονομάζεται διαγώνιος του δείκτη οτιδιού x ή της ταυτότητας στο X.

Προφανώς, η στάση στο σύνολο x είναι αντανακλαστική εάν το διαγώνιο i x είναι ένα υποσύνολο του σετ:

Η αναλογία αντιστάθμισης, εάν το διαγώνιο Ι Χ και ο λόγος Β δεν έχουν κανένα γενικό στοιχείο:

• 3. Η δυαδική στάση στο σύνολο X ονομάζεται συμμετρική αν από το Α * Β ακολουθεί το B * A:
  • (Α, BX) (Α * B B * A).

Παραδείγματα συμμετρικών σχέσεων είναι:

Τη στάση της κάθετα για το σύνολο των ευθειών γραμμών ·

Αγγίξτε τη αναλογία σε ένα πλήθος κύκλων.

ο λόγος "να είναι παρόμοιος" στο σύνολο των ανθρώπων ·

Η αναλογία "να έχει το ίδιο φύλο" στο σύνολο των ζώων.

Η αναλογία "X Brother y" στο σύνολο όλων των ανθρώπων δεν είναι συμμετρική. Ταυτόχρονα, ο λόγος "X Brother y" στο σύνολο των ανδρών είναι συμμετρικός.

Σε ένα γράφημα μιας συμμετρικής αναλογίας για κάθε τόξο από την κορυφή Χ στην κορυφή του y υπάρχει ένα τόξο από το y στο x. Ως εκ τούτου, οι συμμετρικές σχέσεις μπορούν να εκπροσωπούνται από γραφήματα με μη προσανατολισμένες πλευρές. Σε αυτή την περίπτωση, κάθε ζεύγος προσανατολισμένων ακμών XY και YX αντικαθίσταται με μία μη προσανατολισμένη άκρη.

Το σχήμα 8 δείχνει τη στάση

Β \u003d ((Α, Β), (Β, Α), (Β, Γ), (C, Β), (D, C))

Χρησιμοποιώντας προσανατολισμένα και μη προσανατολισμένα γραφήματα.

Σύκο. οκτώ.

Η μήτρα μιας συμμετρικής σχέσης είναι συμμετρική σε σχέση με την κύρια διαγώνια.

Θεώρημα: η ένωση και η διασταύρωση οποιασδήποτε οικογένειας συμμετρικών σχέσεων είναι και πάλι συμμετρικές σχέσεις.

Ορισμός. Η δυαδική στάση στο σύνολο Χ ονομάζεται αντισυμμετρία, αν για οποιαδήποτε διαφορετική στοιχεία Α και Β συνθήκες Α * Β και Β * Α δεν εκτελούνται ταυτόχρονα:

(Α, BX) (Α * B & B * A A \u003d B).

Για παράδειγμα, ο λόγος "μετοχές" στο σύνολο των φυσικών αριθμών είναι αντισυμμετρικός, αφού προκύπτει από το Β και Β, ότι Α \u003d β. Ωστόσο, σε ένα πλήθος ακέραιων, ο λόγος "μετοχές" δεν είναι αντιομετρικός, αφού (-2) 2 και 2 (-2), αλλά -22.

Σχέση "παραπάνω", "βαρύτερο", "παλαιότερο" αντιυμμετρικό σε μια ποικιλία ανθρώπων. Ο λόγος "να είναι αδελφή" στο σύνολο όλων των ανθρώπων δεν είναι αντιυμμετρικό.

Στο γράφημα της αντισυμμετρικής σχέσης, δύο διαφορετικές κορυφές μπορούν να συνδεθούν με όχι περισσότερα από ένα τόξους.

Ορισμός 3.5. Ο δυαδικός λόγος Α στο σύνολο Χ ονομάζεται μεταβατικός, εάν για τυχόν τρία στοιχεία Α, Β, C Χ από Α * Β και Β Ακολουθεί το Α * C:

(Α, Β, Γ Χ) (Α * B & B * C Α * C).

Παραδείγματα μεταβατικών σχέσεων σερβίρουν:

Ο λόγος "μοιράζεται" στο σύνολο των έγκυρων αριθμών.

Ο λόγος "περισσότερο" στο σύνολο των έγκυρων αριθμών.

Ο λόγος "παλαιότερης" στο σύνολο των παιδιών ανθρώπων.

ο λόγος "να έχει το ίδιο χρώμα" στο σύνολο των παιδικών παιχνιδιών.

ε) Η στάση "να είναι ένας απόγονος" σε μια ποικιλία ανθρώπων.

Η φεουδαρχική στάση "για να είναι υποτελής" δεν είναι μεταβατική. Αυτό ειδικότερα υπογραμμίζεται σε ορισμένα εγχειρίδια ιστορίας: "Η υποτελής μου υποτελής δεν είναι η υποτελής μου".

Ο λόγος "εμφάνισης παρόμοιων" στο σύνολο των ανθρώπων δεν έχει την ιδιότητα της μεταβατικότητας.

Για μια αυθαίρετη σχέση, μπορείτε να βρείτε την ελάχιστη μεταβατική σχέση έτσι ώστε το ab. Μια τέτοια στάση είναι το μεταβατικό κλείσιμο της σχέσης.

Παράδειγμα 3.1. Το μεταβατικό κλείσιμο της δυαδικής σχέσης για το σύνολο των ανθρώπων "να είναι ένα παιδί" είναι ο λόγος "να είναι ένας απόγονος".

Δίκαιο θεώρημα.

Θεώρημα 3.2. Για οποιαδήποτε σχέση, το μεταβατικό κλείσιμο είναι ίσο με τη διασταύρωση όλων των μεταβατικών σχέσεων, συμπεριλαμβανομένου ενός υποσύνολο.

Ορισμός 3.6. Η δυαδική στάση στο σύνολο x ονομάζεται συνδεδεμένη εάν για τυχόν δύο διαφορετικά στοιχεία Α και Β λαμβάνουν χώρα Α * Β, ή Β * Α:

(Α, Β, Γ Χ) (ΑΒ Α * Β * Α).

Ένα παράδειγμα μιας συνεκτικής σχέσης είναι η αναλογία του "More" στο σύνολο των έγκυρων αριθμών. Ο λόγος "μοιράζεται" σε μια πληθώρα ακέραιων ακέραιων δεν είναι συνδεδεμένη.

4. Εισαγωγή των σχέσεων

Στην παράγραφο αυτή, θα απαριθμήσουμε ορισμένες περιπτώσεις όταν οι συγκεκριμένες ιδιότητες των σχέσεων αποθηκεύονται κατά την εκτέλεση επιχειρήσεων πάνω τους.

Θεώρημα 4.4. Για το προϊόν των συμμετρικών σχέσεων, είναι συμμετρικά, είναι απαραίτητο και αρκετό για τη σχέση και τη μετακίνηση.

Αναλογία ισοδυναμίας

Ένας σημαντικός τύπος δυαδικής σχέσης είναι ο λόγος ισοδυναμίας.

Ορισμός 1. Η δυαδική στάση στο σύνολο x ονομάζεται λόγος ισοδυναμίας σε x, εάν αντανακλαστικό, συμμετρικά και μεταβατικά.

Ο λόγος ισοδυναμίας συχνά δηλώνεται με σύμβολα ~,.

Παραδείγματα λόγου ισοδυναμίας εξυπηρετούν:

Ο λόγος ταυτότητας I x \u003d ((a, a) | ax) σε ένα μη κενό σετ x.

Την αναλογία παραλληλισμού στο σύνολο άμεσων επιπέδων ·

Την αναλογία ομοιότητας σχετικά με το σύνολο των πλακών.

Ο λόγος της ισορροπίας στο σύνολο των εξισώσεων ·

Στάση "για να έχουν τα ίδια υπολείμματα στη διαίρεση ενός σταθερού φυσικού αριθμού m" σε μια πληθώρα ακέραιων αριθμών. Αυτός ο λόγος στα μαθηματικά ονομάζεται λόγος συγκρισιμότητας με τη μονάδα M και υποδηλώνει AB (mod m).

Ο λόγος "ανήκει σε έναν τύπο" στο σύνολο των ζώων.

ο λόγος των «συγγενών» για το σύνολο των ανθρώπων ·

ο λόγος "να είναι μια ανάπτυξη" σε μια ποικιλία ανθρώπων.

Στάση "για να ζήσουν στο ίδιο σπίτι" σε μια ποικιλία ανθρώπων.

Η σχέση "να ζει σε έναν δρόμο", "να είναι παρόμοιο" στο σύνολο των ανθρώπων δεν είναι σχέσεις ισοδυναμίας, δεδομένου ότι δεν έχουν την ιδιότητα της μεταβατικότητας.

Από τις παραπάνω ιδιότητες των δυαδικών σχέσεων, προκύπτει ότι η διασταύρωση της σχέσης ισοδυναμίας είναι ο λόγος ισοδυναμίας.

Μαθήματα ισοδυναμίας

Με τη στάση της ισοδυναμίας, η διάσπαση του σετ ανά τάξεις είναι στενά συνδεδεμένη.

Ορισμός 1. Το σύστημα μη κενών υποσυνόλων

(M 1, m 2, ...)

Ο πολλαπλός M ονομάζεται διάσπαση αυτού του συνόλου εάν

Τα σύνολα M 1, M 2, ... ονομάζονται κατηγορίες αυτού του διαμερίσματος.

Παραδείγματα συμβαλλομένων σερβίρουν:

Αποσύνθεση όλων των πολυγώνων σε ομάδες στον αριθμό των κορυφών - τρίγωνα, τετράπλευρα, πεντάγια κ.λπ.

χωρίζοντας όλα τα τρίγωνα σύμφωνα με τις ιδιότητες των γωνιών (οξεία γωνιακή, ορθογώνια, ανόητη).

το διαμέρισμα όλων των τριγώνων σύμφωνα με τις ιδιότητες των μερών (ευέλικτο, ίσο, ισόπλευρο) ·

το διαμέρισμα όλων των τριγώνων στις τάξεις παρόμοιων τριγώνων.

Πώληση ποικίλης όλων των φοιτητών σε αυτή τη σχολική τάξη.

Η ευρεία χρήση των σχέσεων ισοδυναμίας στη σύγχρονη επιστήμη οφείλεται στο γεγονός ότι οποιαδήποτε σχέση ισοδυναμίας ασκεί τη ρύθμιση του ορίου στο οποίο ορίζεται, οι τάξεις που συνήθως λαμβάνονται για νέα αντικείμενα. Με άλλα λόγια, με τη βοήθεια σχέσεων ισοδυναμίας, δημιουργούνται νέα αντικείμενα, έννοιες.

Έτσι, για παράδειγμα, η αναλογία του ψυγείου ακτινοβολίας σπάει το σύνολο όλων των ακτίνων του επιπέδου ή του χώρου στις κατηγορίες των επικαλυμμένων ακτίνων. Κάθε μία από αυτές τις κατηγορίες ακτίνων ονομάζεται κατεύθυνση. Έτσι, η διαισθητική έννοια της κατεύθυνσης λαμβάνει μια ακριβή μαθηματική περιγραφή ως τάξη διαχωρισμού ενός συνόλου ακτίνων με λόγο ισοδυναμίας.

Σχετικά με αυτά τα στοιχεία υποδεικνύονται συνήθως ότι έχουν το ίδιο σχήμα. Αλλά τι είναι μια μορφή γεωμετρικού σχήματος; Είναι διαισθητικό ότι αυτό είναι γενικό που ενώνει τέτοια στοιχεία. Χρησιμοποιώντας λόγο ισοδυναμίας, αυτή η διαισθητική ιδέα γίνεται με την ακριβή μαθηματική. Ο λόγος ομοιότητας, που αποτελεί λόγο ισοδυναμίας, σπάει τους πολλούς αριθμούς στις κατηγορίες τέτοιων μορφών. Κάθε τέτοια κατηγορία μπορεί να ονομαστεί μορφή. Στη συνέχεια, η έκφραση "δύο ταυτόσημα στοιχεία έχουν την ίδια μορφή" έχει την ακόλουθη ακριβή έννοια "δύο παρόμοια στοιχεία ανήκουν σε μια φόρμα".

Οι σχέσεις ισοδυναμίας βρίσκονται παντού όπου σετ σετ σε τάξεις. Συχνά τα χρησιμοποιούμε χωρίς να το παρατηρήσετε.

Δίνουμε ένα στοιχειώδες παράδειγμα. Όταν τα παιδιά παίζουν με πολλά πολύχρωμα παιχνίδια (για παράδειγμα, με μπλοκ διείρευτα) και αποφασίζουν να αποσυνθέσουν τα παιχνίδια σε χρώματα, τότε απολαμβάνουν τη σχέση "να έχουν ένα χρώμα". Που ελήφθησαν ως αποτέλεσμα των κλάσεων μονόχρωμες μορφές θεωρείται ότι τα παιδιά ως νέες έννοιες: κόκκινο, κίτρινο, μπλε, κλπ.

Ομοίως, ως αποτέλεσμα της επίλυσης του προβλήματος της αποσύνθεσης των μπλοκ σε σχήμα, τα παιδιά λαμβάνουν μαθήματα, καθένα από τα οποία θεωρείται ως μορφή: ορθογώνιο, στρογγυλό, τριγωνικό κ.λπ.

Η σχέση μεταξύ των σχέσεων ισοδυναμίας που ορίζεται στο σύνολο Μ, και τα χωρίσματα του συνόλου Μ σε τάξεις περιγράφονται στα ακόλουθα δύο θεωρήματα.

Θεώρημα 1 Οποιαδήποτε καταμέτρηση ενός μη κενού ορίου M σε κατηγορίες καθορίζει (προκαλεί) σε αυτόν τον καθορισμένο λόγο ισοδυναμίας έτσι ώστε:

Και τα δύο στοιχεία της ίδιας τάξης είναι σε σχέση με.

Και τα δύο στοιχεία διαφορετικών τάξεων δεν είναι σε σχέση με. Απόδειξη. Αφήστε να υπάρξει κάποια κατανομή ενός μη κενού ορίου M. Προσδιορίστε τη δυαδική αναλογία ως εξής: Xay (K) (XK & YK).

Δηλαδή, τα δύο στοιχεία X και Y α για το σύνολο M συνδέονται με την αναλογία σε αυτό και μόνο αν υπάρχει μια τέτοια κατηγορία K, η οποία ταυτόχρονα ανήκει τα στοιχεία x και y.

Έτσι, μια συγκεκριμένη σχέση είναι προφανώς αντανακλαστική και συμμετρικά. Αποδεικνύουμε την μεταβατικότητα της σχέσης. Αφήστε το x * y και x * z να είναι. Στη συνέχεια, εξ ορισμού, υπάρχουν τάξεις k1 και k 2 όπως x, yk 1 και y, zk 2. Δεδομένου ότι διάφορες κατηγορίες σε χωρίσματα δεν έχουν κοινά στοιχεία, κατόπιν k1 \u003d k 2, δηλαδή, x, z k1. Ως εκ τούτου, το x * z, το οποίο ήταν απαραίτητο να αποδείξει.

Θεώρημα 2. Ο αναλογία ισοδυναμίας σε ένα μη άδειο σύνολο M δημιουργεί το διαμέρισμα αυτού του καθορισμένου που έχει οριστεί στις τάξεις ισοδυναμίας έτσι ώστε όλα τα είδη δύο στοιχείων της ίδιας τάξης να βρίσκονται σε σχέση με.

Και τα δύο στοιχεία διαφορετικών τάξεων δεν είναι σε σχέση με.

Απόδειξη. Ας βλ

Το σύστημα υποσύνησης [x], σχηματίζει τη διάσπαση του σετ Μ. Πράγματι, πρώτα, κάθε υποσύνολο [x] o, δεδομένου ότι λόγω της αντανακλαστικότητας του λόγου X [X].

Δεύτερον, δύο διαφορετικά υποσύνολα [x] και [y] δεν έχουν κοινά στοιχεία. Διαφωνώντας από το άλλο, ας πούμε ότι η ύπαρξη ενός στοιχείου Z είναι τέτοια ώστε το Ζ [x] και z [y]. Στη συνέχεια Zax και Zay. Επομένως, για οποιοδήποτε στοιχείο Α [Χ] από Α * Χ, Ζ * Χ και Ζ * Υ, λόγω συμμετρίας και μεταβαιμότητας, Ακολουθούν τα * y, δηλαδή, ένα [y]. Κατά συνέπεια, [x] [y]. Ομοίως, λαμβάνουμε ότι [y] [x]. Οι δύο εγκλείσεις που αποκτήθηκαν διασκεδάζουν την ισότητα [x] \u003d [y], η οποία έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση της αναντιστοιχίας των υποστρωσών [x] και [y]. Έτσι, [x] y] \u003d O.

Τρίτον, η συγχώνευση όλων των υποσυνόλων [x] συμπίπτει με το σύνολο m, για οποιοδήποτε στοιχείο XM, πραγματοποιείται η κατάσταση Χ [Χ].

Έτσι, το σύστημα των υποσυνόλων [x], σχηματίζει τη διάσπαση του σετ Μ. Είναι εύκολο να δείξει ότι το κατασκευασμένο διαμέρισμα ικανοποιεί τις συνθήκες του θεωρήματος. Ο διάσπαση του σετ Μ, ο οποίος έχει τις ιδιότητες που καθορίζονται στο θεώρημα, ονομάζεται σύνολο οτιδήποτε με σεβασμό και ορισμένο m / b.