10.4. Loi de conservation de l'énergie pour les vibrations harmoniques

10.4.1. Conservation de l'énergie à vibrations harmoniques mécaniques

Conservation de l'énergie lors des oscillations d'un pendule mathématique

Avec les vibrations harmoniques, l'énergie mécanique totale du système est conservée (reste constante).

Énergie mécanique totale d'un pendule mathématique

E = Wk + Wp,

où W k - énergie cinétique, W k = = mv 2/2; W p - énergie potentielle, W p = mgh; m est la masse de la cargaison ; g - module d'accélération en chute libre ; v - module de vitesse de la cargaison ; h - la hauteur de levage de la charge au-dessus de la position d'équilibre (Fig. 10.15).

Avec les oscillations harmoniques, le pendule mathématique passe par un certain nombre d'états successifs, il est donc conseillé de considérer l'énergie du pendule mathématique dans trois positions (voir Fig.10.15):

Riz. 10h15

1) dans Position d'équilibre

l'énergie potentielle est nulle; l'énergie totale coïncide avec l'énergie cinétique maximale :

E = Wkmax ;

2) dans position extrême(2) le corps est élevé au-dessus du niveau initial jusqu'à la hauteur maximale h max, donc l'énergie potentielle est également maximale :

W p max = m g h max;

l'énergie cinétique est nulle; l'énergie totale coïncide avec l'énergie potentielle maximale :

E = W p max ;

3) dans position intermédiaire(3) le corps a une vitesse instantanée v et est élevé au-dessus du niveau initial à une certaine hauteur h, donc l'énergie totale est la somme

E = m v 2 2 + m g h,

où mv ​​2/2 - énergie cinétique; mgh - énergie potentielle; m est la masse de la cargaison ; g - module d'accélération en chute libre ; v - module de vitesse de la cargaison ; h est la hauteur de la charge levée au-dessus de la position d'équilibre.

Avec les oscillations harmoniques d'un pendule mathématique, l'énergie mécanique totale est conservée :

E = const.

Les valeurs de l'énergie totale du pendule mathématique dans ses trois positions sont reflétées dans le tableau. 10.1.

№	Position	Wp	Wk	E = Wp + Wk
1	Équilibre	0	mv max 2/2	mv max 2/2
2	Extrême	mgh max	0	mgh max
3	Intermédiaire (instantané)	mgh	mv 2/2	mv 2/2 + mgh

Les valeurs de l'énergie mécanique totale présentées dans la dernière colonne du tableau. 10.1, ont des valeurs égales pour n'importe quelle position du pendule, ce qui est une expression mathématique :

m v max 2 2 = m g h max;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h;

m g h max = m v 2 2 + m g h,

où m est la masse de la cargaison ; g - module d'accélération en chute libre ; v est le module de la vitesse instantanée de la charge en position 3 ; h - la hauteur de levage de la charge au-dessus de la position d'équilibre en position 3; v max - module de la vitesse maximale de la cargaison en position 1 ; h max est la hauteur maximale de levage de la charge au-dessus de la position d'équilibre en position 2.

Angle de déviation du fil pendule mathématique par rapport à la verticale (Fig.10.15) est déterminé par l'expression

cos = l - h l = 1 - h l,

où l est la longueur du fil ; h est la hauteur de la charge levée au-dessus de la position d'équilibre.

Angle maximal l'écart α max est déterminé par la hauteur de levage maximale de la charge au-dessus de la position d'équilibre h max :

cos max = 1 - h max l.

Exemple 11. La période des petites oscillations d'un pendule mathématique est de 0,9 s. De quel angle maximum par rapport à la verticale le fil déviera-t-il si, passant par la position d'équilibre, la bille se déplace à une vitesse de 1,5 m/s ? Il n'y a pas de friction dans le système.

Solution . La figure montre deux positions du pendule mathématique :

• position d'équilibre 1 (caractérisée par la vitesse maximale de la balle v max) ;
• position extrême 2 (caractérisée par la hauteur maximale de la boule s'élève h max au-dessus de la position d'équilibre).

L'angle désiré est déterminé par l'égalité

cos α max = l - h max l = 1 - h max l,

où l est la longueur du fil du pendule.

On retrouve la hauteur maximale de la boule du pendule s'élever au-dessus de la position d'équilibre à partir de la loi de conservation de l'énergie mécanique totale.

L'énergie totale du pendule en position d'équilibre et en position extrême est déterminée par les formules suivantes :

• en position d'équilibre -

E 1 = mvmax 2 2,

où m est la masse de la boule du pendule ; v max est le module de la vitesse de la balle en position d'équilibre (vitesse maximale), v max = 1,5 m/s ;

• en position extrême -

E 2 = mgh max,

où g est le module d'accélération gravitationnelle ; h max est la hauteur maximale de l'élévation de la balle au-dessus de la position d'équilibre.

La loi de conservation de l'énergie mécanique totale :

m v max 2 2 = m g h max.

Exprimons à partir de là la hauteur maximale de la boule s'élève au-dessus de la position d'équilibre :

hmax = vmax 2 2 g.

La longueur du fil est déterminée à partir de la formule de la période d'oscillation d'un pendule mathématique

T = 2 l g,

celles. longueur du filetage

l = T 2 g 4 2.

Remplacez h max et l dans l'expression du cosinus de l'angle désiré :

cos α max = 1 - 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

et on fera le calcul en tenant compte de l'égalité approximative π 2 = 10 :

cos α max = 1 - 2 10 (1,5) 2 10 2 (0,9) 2 = 0,5.

Il s'ensuit que l'angle de déviation maximal est de 60°.

A strictement parler, à un angle de 60°, les oscillations de la boule ne sont pas petites et il est inapproprié d'utiliser la formule standard pour la période d'oscillation d'un pendule mathématique.

Conservation de l'énergie lors des oscillations d'un pendule à ressort

Energie mécanique totale d'un pendule à ressort se compose de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle :

E = Wk + Wp,

où W k - énergie cinétique, W k = mv 2/2; W p - énergie potentielle, W p = k (Δx) 2/2; m est la masse de la cargaison ; v - module de vitesse de la cargaison ; k - coefficient de rigidité (élasticité) du ressort; Δx - déformation (tension ou compression) du ressort (Fig. 10.16).

Dans le Système international d'unités, l'énergie d'un système oscillatoire mécanique est mesurée en joules (1 J).

Avec les vibrations harmoniques, le pendule à ressort passe par un certain nombre d'états successifs, il est donc conseillé de considérer l'énergie du pendule à ressort dans trois positions (voir Fig.10.16):

1) dans Position d'équilibre(1) la vitesse du corps a une valeur maximale v max, donc l'énergie cinétique est également maximale :

W k max = m v max 2 2 ;

l'énergie potentielle du ressort est nulle, puisque le ressort n'est pas déformé ; l'énergie totale coïncide avec l'énergie cinétique maximale :

E = Wkmax ;

2) dans position extrême(2) le ressort a une déformation maximale (Δx max), donc l'énergie potentielle a aussi une valeur maximale :

W p max = k (Δ x max) 2 2 ;

l'énergie cinétique du corps est nulle ; l'énergie totale coïncide avec l'énergie potentielle maximale :

E = W p max ;

3) dans position intermédiaire(3) le corps a une vitesse instantanée v, le ressort a à ce moment une certaine déformation (Δx), donc l'énergie totale est la somme

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

où mv ​​2/2 - énergie cinétique; k (Δx) 2/2 - énergie potentielle; m est la masse de la cargaison ; v - module de vitesse de la cargaison ; k - coefficient de rigidité (élasticité) du ressort; Δx - déformation (tension ou compression) du ressort.

Lorsque la charge du pendule à ressort est déplacée de la position d'équilibre, elle est sollicitée par force de rappel, dont la projection sur la direction de déplacement du pendule est déterminée par la formule

Fx = −kx,

où x est le déplacement du poids du pendule à ressort depuis la position d'équilibre, x = ∆x, ∆x est la déformation du ressort ; k - coefficient de rigidité (élasticité) du ressort pendulaire.

Avec les oscillations harmoniques d'un pendule à ressort, l'énergie mécanique totale est conservée :

E = const.

Les valeurs de l'énergie totale du pendule à ressort dans ses trois positions sont indiquées dans le tableau. 10.2.

№	Position	Wp	Wk	E = Wp + Wk
1	Équilibre	0	mv max 2/2	mv max 2/2
2	Extrême	k (Δx max) 2/2	0	k (Δx max) 2/2
3	Intermédiaire (instantané)	k (Δx) 2/2	mv 2/2	mv 2/2 + k (Δx) 2/2

Les valeurs de l'énergie mécanique totale présentées dans la dernière colonne du tableau ont des valeurs égales pour toute position du pendule, ce qui est une expression mathématique loi de conservation de l'énergie mécanique totale:

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

où m est la masse de la cargaison ; v est le module de la vitesse instantanée de la charge en position 3 ; Δx - déformation (tension ou compression) du ressort en position 3 ; v max - module de la vitesse maximale de la cargaison en position 1 ; Δx max - déformation maximale (tension ou compression) du ressort en position 2.

Exemple 12. Un pendule à ressort effectue des oscillations harmoniques. Combien de fois son énergie cinétique est-elle supérieure au potentiel au moment où le déplacement du corps depuis la position d'équilibre est du quart de l'amplitude ?

Solution . Comparons les deux positions du pendule à ressort :

• position extrême 1 (caractérisée par le déplacement maximum de la charge pendulaire à partir de la position d'équilibre x max) ;
• position intermédiaire 2 (caractérisée par des valeurs intermédiaires de déplacement à partir de la position d'équilibre x et de la vitesse v →).

L'énergie totale du pendule dans les positions extrêmes et intermédiaires est déterminée par les formules suivantes :

• en position extrême -

E 1 = k (Δ x max) 2 2,

où k est le coefficient de rigidité (élasticité) du ressort ; ∆x max - amplitude de vibration (déplacement maximum par rapport à la position d'équilibre), ∆x max = A ;

• en position intermédiaire -

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

où m est la masse de la charge du pendule ; ∆x - déplacement de la charge depuis la position d'équilibre, ∆x = A / 4.

La loi de conservation de l'énergie mécanique totale pour un pendule à ressort est la suivante :

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2.

On divise les deux côtés de l'égalité écrite par k (∆x) 2/2 :

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p,

où W k est l'énergie cinétique du pendule en position intermédiaire, W k = mv 2/2 ; W p est l'énergie potentielle du pendule dans une position intermédiaire, W p = k (∆x) 2/2.

Exprimons le rapport d'énergie requis à partir de l'équation :

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 - 1

et calcule sa valeur :

W k W p = (A A / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15.

A l'instant spécifié, le rapport des énergies cinétique et potentielle du pendule est de 15.

Un système mécanique constitué d'un point matériel (corps) suspendu à un fil inextensible et sans poids (sa masse est négligeable par rapport au poids d'un corps) dans un champ de gravité uniforme est appelé un pendule mathématique (un autre nom est un oscillateur). Il existe d'autres types de cet appareil. Une tige en apesanteur peut être utilisée à la place d'un fil. Un pendule mathématique peut révéler clairement l'essence de nombreux phénomènes intéressants. Avec une faible amplitude d'oscillation, son mouvement est appelé harmonique.

Informations générales sur le système mécanique

La formule de la période d'oscillation de ce pendule a été dérivée par le scientifique hollandais Huygens (1629-1695). Ce contemporain de I. Newton aimait beaucoup ce système mécanique. En 1656, il créa la première horloge à pendule. Ils ont mesuré le temps avec une précision exceptionnelle pour ces temps. Cette invention est devenue l'étape la plus importante dans le développement d'expériences physiques et d'activités pratiques.

Si le pendule est dans une position équilibrée (suspendu verticalement), il sera équilibré par la force de tension du fil. Un pendule plan sur un fil inextensible est un système à deux degrés de liberté avec une contrainte. Lorsque vous modifiez un seul composant, les caractéristiques de toutes ses pièces changent. Ainsi, si le filetage est remplacé par une tige, alors ce système mécanique n'aura qu'un degré de liberté. Quelles propriétés possède un pendule mathématique ? Dans ce système le plus simple, le chaos survient sous l'influence de perturbations périodiques. Dans le cas où le point de suspension ne bouge pas, mais oscille, une nouvelle position d'équilibre apparaît au niveau du pendule. Avec des vibrations rapides de haut en bas, ce système mécanique prend une position stable à l'envers. Il a aussi son propre nom. On l'appelle le pendule Kapitsa.

Propriétés du pendule

Le pendule mathématique a des propriétés très intéressantes. Tous sont confirmés par des lois physiques bien connues. La période d'oscillation de tout autre pendule dépend de diverses circonstances, telles que la taille et la forme du corps, la distance entre le point de suspension et le centre de gravité et la répartition de la masse par rapport à un point donné. C'est pourquoi déterminer la période d'un corps suspendu est une tâche assez difficile. Il est beaucoup plus facile de calculer la période d'un pendule mathématique, dont la formule sera donnée ci-dessous. À la suite d'observations de tels systèmes mécaniques, il est possible d'établir les modèles suivants :

Si, gardant la même longueur du pendule, nous suspendons des poids différents, alors la période de leurs oscillations sera la même, bien que leurs masses soient très différentes. Par conséquent, la période d'un tel pendule ne dépend pas de la masse de la charge.

Si, lors du démarrage du système, le pendule est dévié selon des angles pas trop grands mais différents, il commencera alors à osciller avec la même période, mais à des amplitudes différentes. Tant que les écarts par rapport au centre d'équilibre ne sont pas trop importants, les oscillations dans leur forme seront assez proches des harmoniques. La période d'un tel pendule ne dépend en aucune façon de l'amplitude oscillatoire. Cette propriété de ce système mécanique est appelée isochronisme (traduit du grec "chronos" - temps, "isos" - égal).

Période du pendule mathématique

Cet indicateur représente une période Malgré la formulation complexe, le processus lui-même est très simple. Si la longueur du fil du pendule mathématique est L, et l'accélération de la pesanteur est g, alors cette valeur est égale à :

La période des petites oscillations naturelles ne dépend en aucun cas de la masse du pendule et de l'amplitude des oscillations. Dans ce cas, le pendule se déplace comme un pendule mathématique avec une longueur réduite.

Oscillations d'un pendule mathématique

Un pendule mathématique oscille, ce qui peut être décrit par une simple équation différentielle :

x + ω2 sin x = 0,

où x (t) est une fonction inconnue (c'est l'angle de déviation par rapport à la position d'équilibre inférieure à l'instant t, exprimé en radians) ; ω est une constante positive, qui est déterminée à partir des paramètres du pendule (ω = √g / L, où g est l'accélération de la pesanteur et L est la longueur du pendule mathématique (suspension).

L'équation des petites vibrations près de la position d'équilibre (équation harmonique) ressemble à ceci :

x + ω2 sin x = 0

Mouvements oscillatoires du pendule

Un pendule mathématique qui fait de petites oscillations se déplace le long d'une sinusoïde. L'équation différentielle du second ordre répond à toutes les exigences et paramètres d'un tel mouvement. Pour déterminer la trajectoire, il est nécessaire de définir la vitesse et la coordonnée, à partir desquelles des constantes indépendantes sont ensuite déterminées :

x = Un sin (θ 0 + ωt),

où 0 est la phase initiale, A est l'amplitude de vibration, est la fréquence cyclique déterminée à partir de l'équation du mouvement.

Pendule mathématique (formules pour les grandes amplitudes)

Ce système mécanique, qui oscille avec une amplitude importante, obéit à des lois de mouvement plus complexes. Pour un tel pendule, ils sont calculés par la formule :

sin x / 2 = u * sn (ωt / u),

où sn est le sinus de Jacobi, qui pour u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

où ε = E / mL2 (mL2 est l'énergie du pendule).

La détermination de la période d'oscillation d'un pendule non linéaire s'effectue selon la formule :

où Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K est une intégrale elliptique, π - 3,14.

Mouvement pendulaire le long de la séparatrice

Une séparatrice est la trajectoire d'un système dynamique avec un espace de phase à deux dimensions. Le pendule mathématique se déplace le long de celui-ci de manière non périodique. A un instant infiniment éloigné, il retombe de la position extrême haute sur le côté à vitesse nulle, puis le reprend progressivement. Finalement, il s'arrête, revenant à sa position d'origine.

Si l'amplitude des oscillations du pendule approche le nombre π , cela indique que le mouvement sur le plan de phase se rapproche de la séparatrice. Dans ce cas, sous l'influence d'une petite force périodique de forçage, le système mécanique présente un comportement chaotique.

Lorsque le pendule mathématique s'écarte de la position d'équilibre avec un certain angle φ, la force de gravité tangentielle Fτ = -mg sin φ apparaît. Le signe moins signifie que cette composante tangente est dirigée dans le sens opposé à la déviation du pendule. Lorsque x désigne le déplacement d'un pendule le long d'un arc de cercle de rayon L, son déplacement angulaire est φ = x / L. La deuxième loi pour les projections et les forces donnera la valeur souhaitée :

mg τ = Fτ = -mg sin x / L

Sur la base de ce rapport, on peut voir que ce pendule est un système non linéaire, puisque la force qui tend à le ramener à la position d'équilibre est toujours proportionnelle non pas au déplacement x, mais à sin x / L.

Ce n'est que lorsque le pendule mathématique effectue de petites oscillations qu'il devient un oscillateur harmonique. En d'autres termes, il devient un système mécanique capable d'effectuer des vibrations harmoniques. Cette approximation est pratiquement valable pour des angles de 15-20 °. Les oscillations d'un pendule avec de grandes amplitudes ne sont pas harmoniques.

Loi de Newton pour les petites oscillations d'un pendule

Si un système mécanique donné exécute de petites vibrations, la 2ème loi de Newton ressemblera à ceci :

mg = Fτ = -m * g / L * x.

Sur cette base, nous pouvons conclure que le pendule mathématique est proportionnel à son déplacement avec un signe moins. C'est la condition à cause de laquelle le système devient un oscillateur harmonique. Le module du rapport hauteur/largeur entre le déplacement et l'accélération est égal au carré de la fréquence angulaire :

02 = g/L ; 0 = g / L.

Cette formule reflète la fréquence naturelle des petites oscillations de ce type de pendule. Basé sur ceci,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Calculs basés sur la loi de conservation de l'énergie

Les propriétés d'un pendule peuvent également être décrites en utilisant la loi de conservation de l'énergie. Il faut garder à l'esprit que le pendule dans le champ de gravité est égal à :

E = mg∆h = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Plein est égal au potentiel cinétique ou maximum : Epmax = Ekmsx = E

Après avoir écrit la loi de conservation de l'énergie, prenez la dérivée des côtés droit et gauche de l'équation :

Puisque la dérivée des constantes est 0, alors (Ep + Ek) "= 0. La dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées :

Ep "= (mg / L * x2 / 2)" = mg / 2L * 2x * x "= mg / L * v + Ek" = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) "= m / 2 * 2v * v "= mv * α,

Par conséquent:

Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m ) = 0.

En se basant sur la dernière formule, on trouve : α = - g / L * x.

Application pratique du pendule mathématique

L'accélération varie avec la latitude car la densité de la croûte terrestre n'est pas la même sur toute la planète. Là où se trouvent des roches de densité plus élevée, elle sera légèrement plus élevée. L'accélération d'un pendule mathématique est souvent utilisée pour l'exploration géologique. Divers minéraux y sont recherchés. En comptant simplement le nombre d'oscillations du pendule, vous pouvez trouver du charbon ou du minerai dans les entrailles de la Terre. Cela est dû au fait que ces fossiles ont une densité et une masse supérieures à celles des roches meubles sous-jacentes.

Le pendule mathématique a été utilisé par des scientifiques aussi remarquables que Socrate, Aristote, Platon, Plutarque, Archimède. Beaucoup d'entre eux pensaient que ce système mécanique pouvait influencer le destin et la vie d'une personne. Archimède a utilisé un pendule mathématique dans ses calculs. De nos jours, de nombreux occultistes et médiums utilisent ce système mécanique pour accomplir leurs prophéties ou rechercher des personnes disparues.

Le célèbre astronome et naturaliste français K. Flammarion a également utilisé un pendule mathématique pour ses recherches. Il a affirmé qu'avec son aide, il était capable de prédire la découverte d'une nouvelle planète, l'apparition de la météorite Tunguska et d'autres événements importants. Pendant la Seconde Guerre mondiale, un institut spécialisé du pendule a travaillé en Allemagne (Berlin). De nos jours, l'Institut de parapsychologie de Munich est engagé dans des recherches similaires. Les employés de cette institution appellent leur travail avec le pendule « radioesthésie ».

Définition

Pendule mathématique est un système oscillatoire, qui est un cas particulier d'un pendule physique, dont toute la masse est concentrée en un point, le centre de masse du pendule.

Habituellement, un pendule mathématique est représenté comme une boule suspendue à un fil long, léger et inextensible. C'est un système idéalisé qui vibre harmoniquement sous l'influence de la gravité. Une bonne approximation d'un pendule mathématique est une petite boule massive oscillant sur une longue corde mince.

Galilée fut le premier à étudier les propriétés d'un pendule mathématique, considérant le balancement d'un lustre sur une longue chaîne. Il a constaté que la période d'oscillation d'un pendule mathématique ne dépend pas de l'amplitude. Si, lors du démarrage de la menthe, vous la dévie sous différents petits angles, alors ses oscillations se produiront avec la même période, mais avec des amplitudes différentes. Cette propriété est appelée isochronisme.

Équation du mouvement d'un pendule mathématique

Le pendule mathématique est un exemple classique d'oscillateur harmonique. Il effectue des oscillations harmoniques, qui sont décrites par l'équation différentielle :

\ [\ ddot (\ varphi) + (\ omega) ^ 2_0 \ varphi = 0 \ \ gauche (1 \ droite), \]

où $ \ varphi $ est l'angle de déviation du fil (suspension) à partir de la position d'équilibre.

La solution de l'équation (1) est la fonction $ \ varphi (t) : $

\ [\ varphi (t) = (\ varphi) _0 (\ cos \ gauche ((\ omega) _0t + \ alpha \ droite) \ gauche (2 \ droite), \) \]

où $ \ alpha $ est la phase initiale des oscillations; $ (\ varphi) _0 $ - amplitude de vibration ; $ (\ omega) _0 $ - fréquence cyclique.

L'oscillation d'un oscillateur harmonique est un exemple important de mouvement périodique. L'oscillateur sert de modèle dans de nombreux problèmes de mécanique classique et quantique.

Fréquence cyclique et période d'oscillation d'un pendule mathématique

La fréquence cyclique d'un pendule mathématique ne dépend que de la longueur de sa suspension :

\ [\ (\ omega) _0 = \ sqrt (\ frac (g) (l)) \ gauche (3 \ droite). \]

La période d'oscillation du pendule mathématique ($ T $) dans ce cas est :

L'expression (4) montre que la période d'un pendule mathématique ne dépend que de la longueur de sa suspension (la distance du point de suspension au centre de gravité de la charge) et de l'accélération de la gravité.

Équation d'énergie pour un pendule mathématique

Lorsque l'on considère les vibrations des systèmes mécaniques à un degré de liberté, ce n'est souvent pas l'équation du mouvement de Newton qui est prise comme initiale, mais l'équation de l'énergie. Car c'est plus facile à composer, et c'est une équation de premier ordre dans le temps. Supposons qu'il n'y ait pas de friction dans le système. La loi de conservation de l'énergie pour un pendule mathématique effectuant des oscillations libres (petites oscillations) peut s'écrire :

où $ E_k $ est l'énergie cinétique du pendule ; $ E_p $ - énergie potentielle du pendule ; $ v $ est la vitesse du pendule; $ x $ - déplacement linéaire du poids du pendule à partir de la position d'équilibre le long d'un arc de cercle de rayon $ l $, tandis que l'angle - déplacement est lié à $ x $ comme :

\ [\ varphi = \ frac (x) (l) \ gauche (6 \ droite). \]

La valeur maximale de l'énergie potentielle d'un pendule mathématique est :

Énergie cinétique maximale :

où $ h_m $ est la hauteur maximale de levage du pendule ; $ x_m $ - écart maximal du pendule par rapport à la position d'équilibre ; $ v_m = (\ omega) _0x_m $ - vitesse maximale.

Exemples de tâches avec une solution

Exemple 1

Exercer. Quelle est la hauteur maximale de levage de la boule d'un pendule mathématique si sa vitesse de déplacement lors du passage de la position d'équilibre était $ v $ ?

Solution. Faisons un dessin.

Soit l'énergie potentielle de la balle nulle dans sa position d'équilibre (point 0) À ce point, la vitesse de la balle est maximale et égale à $ v $ par la condition du problème. Au point d'ascension maximale de la balle au-dessus de la position d'équilibre (point A), la vitesse de la balle est nulle, l'énergie potentielle est maximale. Écrivons la loi de conservation de l'énergie pour les deux positions considérées de la boule :

\ [\ frac (mv ^ 2) (2) = mgh \ \ gauche (1.1 \ droite). \]

À partir de l'équation (1.1), nous trouvons la hauteur souhaitée :

Réponse.$ h = \ frac (v ^ 2) (2g) $

Exemple 2

Exercer. Quelle est l'accélération de la gravité si un pendule mathématique de longueur $ l = 1 \ m $ oscille avec une période égale à $ T = 2 \ s $ ? Considérons les oscillations d'un pendule mathématique petites. \ Textit ()

Solution. Comme base pour résoudre le problème, nous prenons la formule de calcul de la période des petites oscillations:

Exprimons l'accélération de celui-ci:

Calculons l'accélération de la pesanteur :

Réponse.$ g = 9,87 \ \ frac (m) (s ^ 2) $

Pendule mathématique est un point matériel suspendu à un fil en apesanteur et inextensible situé dans le champ de gravité de la Terre. Un pendule mathématique est un modèle idéalisé qui décrit correctement un pendule réel uniquement sous certaines conditions. Un vrai pendule peut être considéré comme mathématique si la longueur du fil est bien supérieure aux dimensions du corps qui y est suspendu, le poids du fil est négligeable par rapport à la masse du corps, et les déformations du fil sont si petites qu'ils peuvent être complètement négligés.

Dans ce cas, le système oscillatoire est formé d'un fil, d'un corps qui lui est attaché et de la Terre, sans laquelle ce système ne pourrait pas servir de pendule.

où une N.-É. – accélération, g - Accélération de la gravité, N.-É.- décalage, je C'est la longueur du fil du pendule.

Cette équation s'appelle l'équation des oscillations libres d'un pendule mathématique. Il ne décrit correctement les fluctuations considérées que lorsque les hypothèses suivantes sont remplies :

2) seules les petites oscillations d'un pendule avec un petit angle d'oscillation sont considérées.

Les vibrations libres de tous les systèmes dans tous les cas sont décrites par des équations similaires.

Les raisons des oscillations libres d'un pendule mathématique sont :

1. L'action sur le pendule de la force de tension et de la force de gravité, qui empêche son déplacement de la position d'équilibre et l'oblige à redescendre.

2. L'inertie du pendule, grâce à laquelle il, tout en maintenant sa vitesse, ne s'arrête pas dans la position d'équilibre, mais le traverse plus loin.

La période d'oscillations libres d'un pendule mathématique

La période d'oscillations libres d'un pendule mathématique ne dépend pas de sa masse, mais est déterminée uniquement par la longueur du fil et l'accélération de la gravité à l'endroit où se trouve le pendule.

Conversion d'énergie avec des vibrations harmoniques

Au cours des oscillations harmoniques du pendule à ressort, l'énergie potentielle du corps déformé élastiquement se transforme en son énergie cinétique, où k – coefficient d'élasticité, N.-É. - le module de déplacement du pendule à partir de la position d'équilibre, m est la masse du pendule, v est sa vitesse. Selon l'équation de vibration harmonique :

, .

Energie totale du pendule à ressort :

.

Énergie totale pour un pendule mathématique :

Dans le cas d'un pendule mathématique

Les transformations d'énergie lors des oscillations d'un pendule à ressort se produisent conformément à la loi de conservation de l'énergie mécanique ( ). Lorsque le pendule descend ou monte depuis la position d'équilibre, son énergie potentielle augmente, tandis que son énergie cinétique diminue. Lorsque le pendule dépasse la position d'équilibre ( N.-É.= 0), son énergie potentielle est nulle et l'énergie cinétique du pendule a la plus grande valeur, égale à son énergie totale.

Ainsi, au cours des oscillations libres du pendule, son énergie potentielle se transforme en cinétique, cinétique en potentiel, potentielle puis redevient cinétique, etc. Mais l'énergie mécanique totale reste inchangée.

Vibrations forcées. Résonance.

Les oscillations se produisant sous l'action d'une force périodique externe sont appelées hésitation forcée... Une force périodique externe, appelée forçage, confère une énergie supplémentaire au système oscillatoire, qui est utilisée pour reconstituer les pertes d'énergie dues au frottement. Si la force motrice change dans le temps selon la loi des sinus ou des cosinus, alors les oscillations forcées seront harmoniques et non amorties.

Contrairement aux oscillations libres, lorsque le système ne reçoit de l'énergie qu'une seule fois (lorsque le système est retiré de l'état d'équilibre), dans le cas des oscillations forcées, le système absorbe en permanence cette énergie d'une source de force périodique externe. Cette énergie compense les pertes dépensées pour surmonter le frottement, et donc l'énergie totale du système oscillatoire ne reste pas inchangée.

La fréquence des vibrations forcées est égale à la fréquence de la force motrice... Dans le cas où la fréquence de la force motrice υ coïncide avec la fréquence propre du système oscillant υ 0 , il y a une forte augmentation de l'amplitude des oscillations forcées - résonance. La résonance est due au fait que lorsque υ = υ 0 une force extérieure, agissant dans le temps avec des oscillations libres, est toujours co-dirigée avec la vitesse du corps oscillant et effectue un travail positif : l'énergie du corps oscillant augmente, et l'amplitude de ses oscillations devient grande. Le graphique de la dépendance de l'amplitude des vibrations forcées UNE T sur la fréquence de la force motrice υ représenté sur la figure, ce graphique est appelé la courbe de résonance :

Le phénomène de résonance joue un rôle important dans un certain nombre de processus naturels, scientifiques et industriels. Par exemple, il est nécessaire de prendre en compte le phénomène de résonance lors de la conception de ponts, bâtiments et autres structures qui subissent des vibrations sous charge, sinon, dans certaines conditions, ces structures peuvent être détruites.

Si le corps attaché au ressort (figure 4) est dévié de la position d'équilibre d'une distance A, par exemple, vers la gauche, alors il, ayant traversé la position d'équilibre, déviera vers la droite. Cela découle de la loi de conservation de l'énergie.

L'énergie potentielle d'un ressort comprimé ou étiré est

où k est la raideur du ressort et x est son allongement. Dans la position extrême gauche, l'allongement du ressort x = - A, donc, l'énergie potentielle est

L'énergie cinétique à ce moment est égale à zéro, car la vitesse est égale à zéro. Cela signifie que l'énergie potentielle est l'énergie mécanique totale du système à ce moment. Si nous convenons que la force de friction est nulle et que les autres forces sont équilibrées, alors notre système peut être considéré comme fermé et son énergie totale ne peut pas changer pendant le mouvement. Lorsque le corps dans son mouvement est dans la position extrême droite (x = A), son énergie cinétique sera à nouveau égale à zéro et l'énergie totale est à nouveau égale au potentiel un. Et l'énergie totale ne peut pas changer. Par conséquent, il est à nouveau égal à

Cela signifie que le corps déviera vers la droite d'une distance égale à A.

En position d'équilibre, au contraire, l'énergie potentielle est nulle, car le ressort n'est pas déformé, x = 0. Dans cette position, l'énergie totale du corps est égale à son énergie cinétique

où m est la masse du corps et sa vitesse (elle est maximale à cet instant). Mais cette énergie cinétique doit aussi avoir une valeur égale. Par conséquent, lors du mouvement oscillatoire, la transformation de l'énergie cinétique en énergie potentielle et vice versa se produit. En tout point entre les positions d'équilibre et de déviation maximale, le corps a à la fois de l'énergie cinétique et du potentiel, mais leur somme, c'est-à-dire l'énergie totale dans n'importe quelle position du corps est égale à. L'énergie mécanique totale W d'un corps oscillant est proportionnelle au carré de l'amplitude et de ses oscillations

Pendules. Pendule mathématique

Un pendule est un corps suspendu de manière à ce que son centre de gravité soit en dessous du point de suspension. Cela signifie que la charge suspendue à une corde est un système oscillatoire semblable au pendule d'une horloge murale. Tout système capable de vibrations libres a une position d'équilibre stable. Pour un pendule, c'est la position dans laquelle le centre de gravité est à la verticale en dessous du point de suspension. Si nous sortons le pendule de cette position ou le poussons, alors il commencera à osciller, s'écartant dans un sens ou dans l'autre de la position d'équilibre. Nous savons que la plus grande déviation de la position d'équilibre, à laquelle le pendule atteint, s'appelle l'amplitude des oscillations. L'amplitude est déterminée par la déviation ou la poussée initiale avec laquelle le pendule a été mis en mouvement. Cette propriété - la dépendance de l'amplitude aux conditions au début du mouvement - est caractéristique non seulement des oscillations libres d'un pendule, mais en général des oscillations libres de très nombreux systèmes oscillatoires.

La période d'oscillation d'un pendule physique dépend de nombreuses circonstances : de la taille et de la forme du corps, de la distance entre le centre de gravité et le point de suspension et de la répartition de la masse corporelle par rapport à ce point ; par conséquent, le calcul de la période d'un corps suspendu est une tâche assez difficile. La situation est plus simple pour un pendule mathématique. Un pendule mathématique est un poids suspendu à un fil mince, dont les dimensions sont bien inférieures à la longueur du fil, et sa masse de manne est supérieure à la masse du fil. Cela signifie que le corps (charge) et le fil doivent être tels que la charge puisse être considérée comme un point matériel et que le fil soit en apesanteur. A partir des observations de tels pendules, les lois simples suivantes peuvent être établies.

1. Si, en gardant la même longueur du pendule (la distance du point de suspension au centre de gravité de la charge), suspendez des poids différents, alors la période d'oscillation sera la même, bien que les masses des poids diffèrent considérablement . La période du pendule mathématique ne dépend pas de la masse de la charge.

2. Sida, agissant sur le corps en tout point de la trajectoire, est dirigé vers la position d'équilibre, et au point d'équilibre lui-même est égal à zéro.

3. La force est proportionnelle à la déviation du corps par rapport à la position d'équilibre.

Riz. 5.

4. Si, lors du démarrage du pendule, nous le dévions à des angles différents (mais pas trop grands), alors il oscillera avec la même période, mais avec des amplitudes différentes. Tant que les amplitudes ne sont pas trop grandes, les oscillations sont assez proches dans leur forme d'harmoniques, et la période du pendule mathématique ne dépend pas de l'amplitude des oscillations. Cette propriété est appelée isochronisme (des mots grecs "isos" - égal, "chronos" - temps).

Ce fait a été établi pour la première fois en 1655 par Galilée, prétendument dans les circonstances suivantes. Galilée a observé dans la cathédrale de Pise le balancement d'un lustre (dans une église orthodoxe, un lustre central, une lampe avec de nombreuses bougies ou lampes d'icônes) sur une longue chaîne, qui était poussée lorsqu'elle était allumée. Pendant le service divin, le swing s'est progressivement estompé (chapitre 8), c'est-à-dire que l'amplitude du swing a diminué, mais la période est restée la même. Galilée a utilisé son propre pouls comme indicateur du temps.

Cette propriété du pendule s'est avérée non seulement surprenante, mais aussi utile. Galilée a proposé d'utiliser un pendule comme régulateur dans une horloge. À l'époque de Galilée, les horloges étaient alimentées par un poids et un dispositif grossier tel que des pales de moulin à vent était utilisé pour ajuster la course, qui utilisait la résistance de l'air. Un pendule pourrait être utilisé pour compter des intervalles de temps égaux, car de petites oscillations se produisent en même temps que de grandes causées par des rafales de vent aléatoires. Un siècle après Galilée, les horloges à pendule ont été utilisées, mais les marins avaient encore besoin d'horloges précises pour mesurer la longitude en mer. Un prix a été annoncé pour la création d'une telle horloge marine qui permettrait de mesurer le temps avec une précision suffisante. Le prix est allé à Garisson pour le chronomètre, qui utilisait un volant (balancier) et un ressort spécial pour réguler la course.

Dérivons maintenant une formule pour la période d'oscillation d'un pendule mathématique.

Lorsque le pendule oscille, la charge se déplace accélérée le long de l'arc VA (Fig. 5, a) sous l'action de la force de rappel P 1, qui change au cours du mouvement.

Le calcul du mouvement du corps sous l'influence d'une force non constante est assez compliqué. Par conséquent, par souci de simplicité, nous allons procéder comme suit.

Forçons le pendule à effectuer non pas une oscillation dans un plan, mais à décrire le cône de telle sorte que la charge se déplace en cercle (Fig. 5, b). Ce mouvement peut être obtenu grâce à l'addition de deux vibrations indépendantes : l'une - toujours dans le plan du dessin et l'autre - dans le plan perpendiculaire. De toute évidence, les périodes de ces deux oscillations planes sont les mêmes, puisque tout plan d'oscillation n'est pas différent d'un autre. Par conséquent, la période de mouvement complexe - la révolution du pendule le long d'un cône - sera la même que la période d'oscillation dans un plan. Cette conclusion peut être facilement illustrée par une expérience directe, en prenant deux pendules identiques et en disant à l'un d'eux de se balancer dans un plan et à l'autre de tourner le long d'un cône.

Mais la période de révolution du pendule "conique" est égale à la longueur du cercle décrit par la charge, divisée par la vitesse :

Si l'angle de déviation par rapport à la verticale est faible (petites amplitudes !), alors on peut supposer que la force de retour P 1 est dirigée le long du rayon du cercle BC, c'est-à-dire qu'elle est égale à la force centripète :

Par contre, de la similitude des triangles OBC et DBE, il résulte que BE : BD = CB : OB. Puisque OB = l, CB = r, BE = P 1, donc

En égalant les deux expressions Р 1 l'une à l'autre, on obtient pour la vitesse de circulation

Enfin, en substituant cela dans l'expression pour la période T, nous trouvons

Ainsi, la période d'un pendule mathématique ne dépend que de l'accélération de la pesanteur g et de la longueur du pendule l, c'est-à-dire de la distance du point de suspension au centre de gravité de la charge. Il résulte de la formule obtenue que la période du pendule ne dépend pas de sa masse et de son amplitude (à condition qu'elle soit suffisamment petite). En d'autres termes, ces lois fondamentales qui ont été établies plus tôt à partir d'observations ont été obtenues par calcul.

Mais cette conclusion théorique nous donne plus : elle permet d'établir une relation quantitative entre la période du pendule, sa longueur et l'accélération de la pesanteur. La période d'un pendule mathématique est proportionnelle à la racine carrée du rapport de la longueur du pendule à l'accélération de la pesanteur. Le rapport hauteur/largeur est de 2 ?

La dépendance de la période du pendule à l'accélération de la pesanteur est un moyen très précis de déterminer cette accélération. Après avoir mesuré la longueur du pendule l et déterminé la période T à partir d'un grand nombre d'oscillations, nous pouvons calculer en utilisant la formule résultante g. Cette méthode est largement utilisée dans la pratique.

coordonnée de résonance d'oscillation du pendule