Relations binaires et leurs exemples de solution de propriétés. Relation binaire. Exemples de relations binaires. Relations binaires et leurs propriétés

pour la relation d'ordre non soigné:

h.X. - vrai (réflexité);

hu et wow x \u003d- (antisymétrie);

x y et z x x z- (transitivité).

Beaucoup de X.appelé commandé si deux éléments h.et w.cet ensemble est comparable, c'est-à-dire si l'une des conditions est effectuée pour eux: h.< eUH.= u, W.< x.

Set commandé sont appelés tuple. Dans le cas général, le tuple est une séquence d'éléments, c'est-à-dire que l'ensemble d'éléments dans lesquels chaque élément occupe une place totalement définitive. Les éléments de l'ensemble commandé sont appelés composants du tuple. Des exemples du cortex peuvent être une séquence ordonnée de progressions arithmétiques ou géométriques, une séquence d'opérations technologiques dans la fabrication d'un produit radioélectronique, une séquence ordonnée des positions d'installation de la carte de circuit imprimé pour la fixation d'éléments structurels.

Dans tous ces ensembles, le lieu de chaque élément est entièrement défini et ne peut pas changer arbitrairement.

Lors du traitement des informations de conception sur des ordinateurs, des ratios de dominance utilisent souvent. Ils disent ça xxdomine uxc'est à dire. x \u003e\u003e y,si article h.dans quelque chose de supérieur (a une priorité) élément w.du même ensemble. Par exemple, sous h.vous pouvez comprendre l'une des listes de données, qui doivent être reçues pour le traitement en premier. Lors de l'analyse de plusieurs structures REA, certaines d'entre elles doivent être prioritaires, car cette conception a le meilleur, de notre point de vue, des propriétés que d'autres, c'est-à-dire la conception h.domine la conception toi

La propriété de la transitivité n'a pas de place. En effet, si, par exemple, la conception h.pour tous les paramètres designs préférés y,et conception w.selon tout autre paramètre, Z des conceptions préférées, alors il ne suit pas encore que les conceptions h.doit avoir la préférence par rapport à la conception g.

Ensembles d'affichage. L'un des concepts de base de la théorie définie est le concept d'affichage. Si deux ensembles non vides sont spécifiés X.et Y,puis la loi selon laquelle chaque élément x X.mettre en conformité de l'élément , appelé cartographie sans ambiguïté X.dans Y.ou une fonction définie sur x et la valeur de réception sur Y.

En pratique, il est nécessaire de traiter des mappages multi-évaluations des ensembles X.sur l'ensemble Y,qui définissent la loi selon laquelle chaque élément xxmettre en ligne avec un sous-ensemble , appelé la façon dont les articles. Les cas sont possibles quand Gh \u003d 0.

Laisser un sous-ensemble à donner HACHE.Pour tout le monde hachemin h.est un sous-ensemble . Une combinaison de tous les éléments Y,sont des images pour tous x dans unrevendiquer un moyen de définir MAISet nous allons désigner Ha.Dans ce cas

Relation binaire.

Soit A et B être des ensembles arbitraires. Prenez un élément de chaque ensemble et de A, B de B et écrivez-les comme ceci: (Tout d'abord, l'élément de la première partie, puis l'élément du deuxième ensemble - c'est-à-dire que nous sommes importants pour l'ordre dans lequel les éléments sont pris). Un tel objet sera appelé paire ordonnée. Égal Nous ne considérerons que ces paires que des éléments avec les mêmes numéros sont égaux. = Si A \u003d C et B \u003d D. Évidemment, si un ≠ b, alors ≠ .

Travail cartésien Les ensembles arbitraires A et B (notés: AB) appelés ensemble comprenant toutes les vapeurs commandées possibles, dont le premier élément appartient à A, et la seconde appartient à B. Par définition: AB \u003d ( | Aa et bb). Évidemment, si un ≠ B, alors AB ≠ BA. Cartesovo travaille de set d'elle-même appelée n fois diplôme de cartésien A (dénote: A N).

Exemple 5. Soit A \u003d (x, y) et b \u003d (1, 2, 3).

Ab \u003d ( , , , , , }.

Ba \u003d (<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

Aa \u003d a 2 \u003d ( , , , }.

Bb \u003d b 2 \u003d (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

Attitude binaire Sur l'ensemble M, une variété de quelques paires d'éléments commandés de l'ensemble M. Si r est une attitude binaire et de la vapeur Appartient à cette relation, puis écrivez: R ou x r y. Évidemment, r í m 2.

Exemple 6. Ensemble (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) est une attitude binaire sur l'ensemble (1, 2, 3, 4, 5).

Exemple 7. Le ratio ³ sur une pluralité d'entiers est une attitude binaire. Ceci est un ensemble infini de couples commandés où x ³ y, x et y sont des entiers. Cette relation appartient, par exemple, paires<5, 3>, <2, 2>, <324, -23> et n'appartiennent pas à des paires<5, 7>, <-3, 2>.

Exemple 8. Le ratio d'égalité sur l'ensemble A est un rapport binaire: i a \u003d ( | x Î a). J'ai appelé diagonale Ensemble A.

Étant donné que des relations binaires sont des ensembles, ils sont applicables aux opérations de l'association, de l'intersection, des ajouts et des différences.

Zone de définition Le rapport binaire R s'appelle le jeu D (r) \u003d (x | il y a tellement que XRY). Zone de valeurs Le rapport binaire r est appelé ensemble r (r) \u003d (y | il y a un tel x que xry).

Relation inverse au ratio binaire R Í m 2, s'appelle le rapport binaire R -1 \u003d ( | Î). Évidemment, D (R -1) \u003d R (R), R (R -1) \u003d D (R), R - 1 Í m 2.

Composition Les relations binaires R 1 et R 2 spécifiées sur l'ensemble M sont appelées rapport binaire R 2 O R 1 \u003d ( | Il y a tellement que Î R 1 et Í r 2). Évidemment, R 2 O r 1 í m 2.

Exemple 9. Laissez le rapport binaire de r défini sur l'ensemble M \u003d (A, B, C, D), R \u003d ( , , , ). Puis d (r) \u003d (a, c), r (r) \u003d (b, c, d), r -1 \u003d ( , , , ), R o r \u003d ( , , , ), R -1 O r \u003d ( , , , ), R o r -1 \u003d ( , , , , , , }.

Soit R être une attitude binaire sur l'ensemble M. Le ratio r est appelé réfléchissantSi x r x pour tout x î M. the ratio r est appelé symétriqueSi avec chaque paire Il contient un couple . Le ratio r est appelé transitifsi du fait que x r y et y r z suit que x r z. Le ratio r est appelé antisymétriqueS'il ne contient pas de paire en même temps et Différents éléments x ¹ y ensemble m.

Nous indiquons les critères d'exécution de ces propriétés.

Ratio binaire R sur l'ensemble M réflexivement alors et seulement si je m í r.

Le rapport binaire R est symétriquement alors et seulement si r \u003d r -1.

Le rapport binaire R sur l'ensemble M est antisymétrique si et seulement si r ç r -1 \u003d i m.

Le ratio binaire R est transitivement si et seulement si r o r í r.

Exemple 10. Le rapport de l'exemple 6 est antisymétrique, mais n'est pas symétrique, réflexif et transitif. Le rapport de l'exemple 7 est réflexif, antisymétrique et transitif, mais n'est pas symétrique. Le ratio i a a toutes les quatre propriétés en question. Les ratios r -1 o r et r o r -1 sont symétriques, transitifs, mais ne sont pas antisymétriques et réfléchis.

Relation Équivalence Sur l'ensemble M est appelé transitif, symétrique et réflexive sur une attitude binaire.

Relation ordre partiel Sur l'ensemble M s'appelle transitif, antisymétrique et réflexif sur M ratio binaire R.

Exemple 11. Le ratio de l'exemple 7 est un rapport d'ordre partiel. Le rapport I A est le rapport d'équivalence et d'ordre partiel. Le rapport entre le parallélisme sur l'ensemble de direct est le rapport d'équivalence.

Propriétés des relations:

1) réflexivité;

2) symétrie;

3) transitivité.

4) reliant.

Attitude R Sur l'ensemble H. appelé réfléchi Si sur chaque élément de l'ensemble H. On peut dire que c'est par rapport à R Avec moi-même: h.Rx. Si le rapport est réflexe, alors dans chaque sommet, il y a une boucle. Et retour, le graphique, dont chaque sommet contient une boucle, est un graphique d'une relation réflexive.

Des exemples de relations réflexives sont et le rapport "multiple" sur l'ensemble des nombres naturels (chaque nombre de multiples lui-même) et l'attitude de la ressemblance des triangles (chaque triangle est similaire à elle-même) et l'attitude de "l'égalité" "(chaque nombre égal) et d'autres.

Il existe des relations qui n'ont pas la propriété de la réflexivité, par exemple, le ratio de perpendicularité des segments: aB, BA. (Il n'y a pas un seul segment qui peut être dit qu'il est perpendiculaire à lui-même) . Par conséquent, il n'y a pas de boucle sur la colonne de cette relation.

N'a pas la propriété de la réflexivité et du ratio "plus longtemps" pour les segments "plus de 2" pour les nombres naturels, etc.

Attitude R Sur l'ensemble H.appelé antirefemissiveSi pour un élément de l'ensemble H.toujours faux h.Rx: .

Il y a des évaluations qui ne sont ni réflexives ni antireflemes. Un exemple d'une telle relation est le point d'attitude " h. Point symétrique w.en rapport l.", Spécifié sur l'ensemble des points de l'avion. En effet, tous les points sont directs l. symétrique nous-mêmes, et des points qui ne mentent pas sur un droit l, nous ne sommes pas symétriques.

Attitude Rsur l'ensemble H. appelé symétrique, Si la condition est satisfaite: de l'élément h. est par rapport à l'élément y., il s'ensuit que l'élément y. Situé à droite R avec élément x:xryyrx.

Le graphique d'une relation symétrique a la fonction suivante: avec chaque flèche provenant de h. à y., le graphique contient une flèche provenant de y. à h. (Fig. 35).

Des exemples de relations symétriques peuvent être les suivants: le ratio "parallélisme" des segments, le ratio de "perpendicularité" de segments, le ratio de "égalité" de segments, le ratio de la similitude des triangles, le ratio de "égalité" fractions, etc.

Il y a des relations qui n'ont pas de propriété de symétrie.

En effet, si le segment h. Coupure longue w.puis coupé w. ne peut pas être plus long h.. Le graphique de cette relation a une fonctionnalité: la flèche reliant les sommets n'est dirigée que dans une direction.

Attitude R Appel antisymétriqueSi pour tout élément h. et y.de la vérité xryfaux suit yRX :: XRYYRX.

En plus de la relation "plus longue" sur l'ensemble des segments, il existe d'autres relations antisymétriques. Par exemple, le ratio "plus" pour les chiffres (si h. Suite w.T. w. ne peut pas être plus h.), le ratio "plus sur" et d'autres.

Il existe des relations qui n'ont pas de propriété symétrie ni la propriété de l'antisymétrie.

Ratio r sur l'ensemble H.appel transitif Si du fait que l'élément h. Situé à droite R avec élément y, Et élément y. Situé à droite R avec élément z., Il s'ensuit que l'élément h. Situé à droite R avec élément z.: xry et yrz.xrz.

Nombre de relations transitives avec chaque paire de flèches venant de h. à y. et de y. à z., Il contient une flèche venant de h.à z.

La relation de la transitivité a le rapport "plus long" sur l'ensemble des segments: si le segment mais Coupure longue b., section b.coupure longue depuis coupé maiscoupure longue de. Le rapport "égalité" sur l'ensemble des segments a également la propriété de la transitivité: (A \u003d.b, B \u003d C) (A \u003d C).

Il existe des relations qui n'ont pas la propriété de la transitivité. Une telle attitude est, par exemple, l'attitude de perpendicularité: si le segment mais Perpendiculaire au segment b., et couper b. Perpendiculaire au segment de, puis segments mais et de Pas perpendiculaire!

Il y a une autre propriété de relation, qui s'appelle la propriété de la connectivité et l'attitude qui les possède s'appelle connecté.

Attitude R Sur l'ensemble H. appelé associée Si pour tout élément h. et y. Une condition est satisfaite de cet ensemble: si h. et y. différent, alors soit soit h. Situé à droite R avec élément y.ou élément y. Situé à droite R avec élément h.. Avec l'aide de caractères, il peut être écrit comme suit: xy. Xry ou alors yrx.

Par exemple, la propriété de relation a le rapport "plus" pour les nombres naturels: pour tous les nombres différents x et y, il peut être argumenté ou x\u003e Y.Soit y\u003e x.

Sur la colonne de la relation associée, deux sommets sont reliés par une flèche. Déclaration juste et inverse.

Il y a des relations qui n'ont pas la propriété de la connectivité. Une telle attitude, par exemple, est la relation de divisibilité sur un ensemble de nombres naturels: vous pouvez appeler ces numéros x et y.aucun nombre h.n'est pas un numéro de diviseur y.ni un nombre y. n'est pas un numéro de diviseur h.(Nombres 17 et 11 , 3 et 10 etc.) .

Considérons plusieurs exemples. Sur l'ensemble X \u003d (1, 2, 4, 8, 12) Le ratio "numéro h.nombre de peinture y." Nous construisons le graphique de cette relation et nous formulons ses propriétés.

Le ratio d'égalité des fractions parle, c'est un rapport d'équivalence.

Attitude R Sur l'ensemble H. appelé relation d'équivalence Si elle a simultanément la propriété de la réflexivité, de la symétrie et de la transitivité.

Les exemples de relations d'équivalence comprennent: la relation entre les figures géométriques, le rapport entre le parallélisme direct (à condition que les lignes droites coïncides soient considérées parallèles).

Dans le ratio de "égalité de fractions", beaucoup H.s'est cassé en trois sous-ensembles: ( ; ; }, {; } , (). Ces sous-ensembles ne se croisent pas et leur association coïncide avec beaucoup de H.. Nous avons une division de nombreuses classes.

Donc, si le rapport d'équivalence est spécifié sur le réglage X, il génère le scission de cet ensemble sur des sous-ensembles de diffusion par paires - des classes d'équivalence.

Donc, nous avons constaté que la relation de l'égalité sur l'ensemble
H.\u003d (;;;;;;) correspond à la partition de cet ensemble sur les classes d'équivalence, chacune consiste en des fractions égales.

Le principe de fractionnement de la définition des classes avec une relation d'équivalence est un principe important des mathématiques. Pourquoi?

Premièrement, l'équivalent est équivalent, interchangeable. Par conséquent, des éléments d'une seule classe d'équivalence sont interchangeables. Donc, la fraction, qui était dans une classe d'équivalence (;;), indiscernable en termes de relations d'égalité et de fraction peut être remplacé par un autre, par exemple . Et ce remplacement ne changera pas le résultat des calculs.

Deuxièmement, comme dans la classe d'équivalence, il s'agit d'éléments indiscernables du point de vue de certaines relations, ils estiment que la classe d'équivalence est déterminée par un représentant, c'est-à-dire Un élément arbitraire de la classe. Ainsi, toute classe de fractions égales peut être définie, indiquant une fraction appartenant à cette classe. Une classe d'équivalence pour un représentant permet plutôt de tous les éléments de l'ensemble d'explorer l'ensemble des représentants des classes d'équivalence. Par exemple, le rapport d'équivalence de "avoir le même nombre de sommets" spécifiés sur l'ensemble des polygones génère la partition de cet ensemble sur les classes de triangles, quadrangles, pentaglones, etc. Les propriétés inhérentes à certains cours sont considérées sur l'un de ses représentants.

Troisièmement, la fractionnement de l'ensemble des classes utilisant un ratio d'équivalence est utilisé pour introduire de nouveaux concepts. Par exemple, le concept de "faisceau de direct" peut être déterminé comme commun, qui a des distances parallèles.

Un autre type important de relation est la relation de l'ordre. Considérez la tâche. Sur l'ensemble H.={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) Le ratio est réglé sur "avoir le même résidu lors de la division sur 3 " Cette attitude crée la scission de l'ensemble H. aux classes: on tombera dans un chiffre, lors de la division desquelles 3 il s'avère dans le reste 0 (Ce sont des chiffres 3, 6, 9 ). Dans la seconde - le nombre, lors de la division desquelles 3 Dans le résidu, il s'avère 1 (Ce sont des chiffres 4, 7, 10 ). Dans la troisième, tous les chiffres tomberont, lors de la division desquelles 3 Dans le résidu, il s'avère 2 (Ce sont des chiffres 5, 8 ). En effet, les ensembles résultants ne se croisent pas et leur association coïncide avec l'ensemble H.. Par conséquent, l'attitude "d'avoir le même résidu dans la division sur 3 "Situé sur un ensemble H.est la relation d'équivalence.

Prenez un autre exemple: une variété d'étudiants de classe peuvent être organisées par croissance ou par âge. Notez que ce ratio a les propriétés de l'antisymétrie et de la transitivité. Ou tout le monde connaît l'ordre des lettres de l'alphabet. Il fournit la relation "suivre".

Attitude Rsur l'ensemble H. appelé relation d'ordre strictSi elle a simultanément des propriétés antisymétrie et de transittivité. Par exemple, la relation " h.< y.».

Si la relation a des propriétés de réflexité, d'antisymétrie et de transitivité, alors ce sera l'attitude de l'ordre non strict. Par exemple, la relation " h.y.».

Des exemples de la relation de la commande peuvent être: le ratio "moins" sur l'ensemble des nombres naturels, le rapport "plus court" sur l'ensemble des segments. Si le ratio de commande a également une propriété de la liaison, ils disent que c'est commande linéaire relation. Par exemple, le ratio "moins" sur l'ensemble des nombres naturels.

Beaucoup de H. appelé commandé Si le ratio de commande est spécifié.

Par exemple, l'ensemble X \u003d{2, 8, 12, 32 ) Vous pouvez rationaliser à l'aide du rapport "Moins" (Fig. 41), et vous pouvez le faire à l'aide d'une relation "multiple" (figure 42). Mais, être une attitude d'ordre, la relation "moins" et "plus de peinture" arrangent de nombreux nombres naturels de différentes manières. Le rapport "moins" vous permet de comparer deux numéros de l'ensemble H.Et le ratio de "multiple" ne possède pas une telle propriété. Donc, quelques chiffres 8 et 12 Le ratio est "multiple" n'est pas connexe: il est impossible de dire que 8 bord 12 ou alors 12 bord 8.

On ne devrait pas penser que toutes les relations sont divisées en relation d'équivalence et relation relationnelle. Il y a un grand nombre de relations de non-équivalence ou de relations d'ordre.

Principes de base des mathématiques discrètes.

Le concept d'ensemble. La relation entre les ensembles.

L'ensemble est un ensemble d'objets avec une propriété spécifique combinée en un seul tout.

Les composants d'objet sont appelés Éléments ensembles. Pour que certains ensembles d'objets soient appelés ensemble, les conditions suivantes doivent être effectuées:

· Il doit y avoir une règle pour laquelle Mono déterminer si l'élément appartient à cet ensemble.

· Il devrait y avoir une règle par laquelle les articles peuvent être distingués les uns des autres.

Les ensembles sont indiqués par des lettres majuscules et ses éléments sont petits. Méthodes de réglage des ensembles:

· Énumérer les éléments de l'ensemble. - Pour les ensembles finis.

· Indication de la propriété caractéristique .

Ensemble vide - appelé un ensemble qui ne contient aucun élément (Ø).

Deux ensembles sont appelés égaux, s'ils se composent des mêmes éléments. . A \u003d B.

Beaucoup de B. appelé un sous-ensemble de l'ensemble MAIS (, puis et seulement lorsque tous les éléments de l'ensemble B. appartenir à UNE..

Par example: , B. =>

Propriété:

Remarque: considérez généralement un sous-ensemble d'un et de cet ensemble, appelé universel (U). L'ensemble universel contient tous les éléments.

Opérations sur des ensembles.

2.Intersection 2 Ensembles s'appelle un nouvel ensemble constitué d'éléments, appartenant simultanément aux premier et deuxième ensemble.

Nr: ,,

Propriété: combinaison et opérations d'intersection.

· Communation.

· Associativité. ;

· Distribution. ;

Relations binaires et leurs propriétés.

Laisser être MAIS et DANS Ce sont une variété de dérivés de la nature, envisagez une paire d'éléments commandés. (A, b) un ε a, en ε dansvous pouvez envisager de commander "Enki".

(A 1, et 2, et 3, ... et n)où mais 1 ε a 1; mais 2 ε a 2; ...; mais N. ε et n;

Cartésien (droit) A 1, et 2, ... et nest appelé mn dans, qui consiste en un k ordonnancé de l'espèce.

Nr: M.= {1,2,3}

M × m \u003d m 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Sous-ensembles des œuvres décarties appelé le ratio de degré n. ou une relation d'ENAR. Si un n.\u003d 2, alors considérez binaire rapports. Qu'est-ce qu'ils disent que a 1, et 2 sont en termes binaires Rlorsque un 1 R A 2.

Attitude binaire sur l'ensemble M. appelé un sous-ensemble du produit direct de l'ensemble n. par lui-même.

M × m \u003d m 2= {(uN B.)| a, b ε m) Dans l'exemple précédent, le ratio est inférieur à l'ensemble M. Il donne lieu à l'ensemble suivant: ((1,2); (1,3); (2.3))

Les relations binaires ont diverses propriétés, notamment:

· Réflexivité: .

· Antiperflexivité (Irreflexusion) :.

· Symétrie :.

· Antisymétrie :.

· Transitivity :.

· Asymétrie :.

Types de relations.

· Ratio d'équivalence;

· Le ratio de l'ordre.

v relation transitive réflexive s'appelle le rapport des quasi-armes.

v relation transitive symétrique réflexive est appelée ratio d'équivalence.

v La relation transitive antisymétrique réfléchie s'appelle le rapport de l'ordre (partiel).

v Une relation transitière antireflexive antisymétrique s'appelle un rapport d'un ordre strict.

De toute évidence, les relations binaires arbitraires à étudier en termes généraux ne sont pas particulièrement intéressantes, nous pouvons en dire très peu à leur sujet. Toutefois, si les relations répondent à des conditions supplémentaires, des déclarations plus substantielles peuvent être faites par rapport à elles. Dans cette section, nous examinerons certaines des propriétés de base des relations binaires.

• 1. L'attitude binaire sur le jeu X est appelée réflexive, si une condition A est satisfaite pour n'importe quel élément AX:
  • (Haché) a * a.

Si le rapport est présenté à l'aide d'un graphique, la réflexivité de cette relation signifie qu'il n'y a pas de boucle dans chaque sommet.

Pour la relation donnée à l'aide d'une matrice militante, sa réflexivité est équivalente au fait que sur la diagonale principale de cette matrice (provenant de son coin supérieur gauche au bas à droite), seuls les caractères 1 coût.

2. L'attitude binaire envers X s'appelle Antirflems, si aucune de la hache n'est satisfaite de la condition A * A:

Désigné par le rapport I x sur le plateau X consistant en paires de la forme (a, a), où a x:

I x \u003d (a, a) | A x).

Le rapport IX est généralement appelé la diagonale du réglage X ou le rapport d'identité sur X.

Évidemment, l'attitude sur le Set X est réflexe si la diagonale i x est un sous-ensemble de l'ensemble:

Le rapport d'antirefexical, si la diagonale I x et le rapport B n'a pas d'élément général:

• 3. L'attitude binaire sur le jeu X est appelée symétrique si de A * B suit B * A:
  • (A, BX) (A * B B * A).

Des exemples de relations symétriques sont:

l'attitude de perpendicularité sur l'ensemble des lignes droites;

rapport tactile sur une pluralité de cercles;

le ratio de "être similaire" sur l'ensemble des personnes;

le ratio "avoir le même sexe" sur l'ensemble des animaux.

Le ratio "x frère y" sur l'ensemble de toutes les personnes n'est pas symétrique. Dans le même temps, le ratio "x frère y" sur l'ensemble des hommes est symétrique.

Dans un graphique d'un rapport symétrique pour chaque arc du sommet X au sommet de y, il y a un arc de y à x. Par conséquent, des relations symétriques peuvent être représentées par des graphiques avec des nervures non orientées. Dans ce cas, chaque paire d'arêtes orientées XY et YX est remplacée par un bord non orienté.

La figure 8 montre l'attitude

b \u003d ((A, B), (B, A), (B, C), (C, B), (D, C)))

en utilisant des graphiques orientés et non orientés.

Figure. huit.

La matrice d'une relation symétrique est symétrique par rapport à la diagonale principale.

Théorème: Association et intersection de toute famille de relations symétriques sont à nouveau des relations symétriques.

Définition. L'attitude binaire sur le jeu X s'appelle antisymétrique, si pour tout élément différent des conditions A et B A * B et B * A ne sont pas effectuées simultanément:

(A, BX) (A * B & B * A A \u003d B).

Par exemple, le rapport "Actions" sur l'ensemble des nombres naturels est antisymétrique, car il découle d'un B et B A, d'un \u003d b. Cependant, sur une pluralité d'entiers, le rapport "Actions" n'est pas antisymétrique, depuis (-2) 2 et 2 (-2), mais -22.

Relation "ci-dessus", "plus lourd", "plus âgé" antisymétrique sur une variété de personnes. Le ratio "pour être soeur" sur l'ensemble de toutes les personnes n'est pas antisymétrique.

Dans le graphique de la relation antisymétrique, deux sommets différents peuvent être connectés par plus d'un arc.

Définition 3.5. Le rapport binaire A sur le jeu X est appelé transitif, si pour un trois éléments A, B, C x à partir d'A * B et B * C suit le A * C:

(A, B, C x) (A * B & B * C A * C).

Des exemples de relations transitives servent:

le rapport "Actions" sur l'ensemble des nombres valides;

le ratio "plus" sur l'ensemble des nombres valides;

le ratio de "plus âgé" sur l'ensemble des jouets de personnes;

le ratio "avoir la même couleur" sur l'ensemble des jouets pour enfants;

e) L'attitude «être un descendant» sur une variété de personnes.

L'attitude féodale «d'être vassal» n'est pas transitive. Cela est en particulier souligné dans certains manuels d'histoire: "Mon vassal vassal n'est pas mon vassal."

Le ratio de "regarder similaire" sur l'ensemble des personnes n'a pas la propriété de la transitivité.

Pour une relation arbitraire, vous pouvez trouver la relation transitière minimale telle que AB. Une telle attitude est la fermeture transitive de la relation.

Exemple 3.1. La fermeture transitive de la relation binaire sur l'ensemble des personnes "pour être un enfant" est le ratio "comme un descendant".

Théorien équitable.

Théorème 3.2. Pour toute relation, la fermeture transitière est égale à l'intersection de toutes les relations transitives, y compris un sous-ensemble.

Définition 3.6. L'attitude binaire sur le jeu X est appelée connectée si pour deux éléments différents A et B a lieu A * B, ou B * A:

(A, B, C x) (AB A * B B * A).

Un exemple de relation cohérente est le rapport "plus" sur l'ensemble des nombres valides. Le rapport est "partage" sur une pluralité d'entiers n'est pas connecté.

4. Invariance de relations

Dans ce paragraphe, nous allons énumérer certains cas lorsque certaines propriétés des relations sont enregistrées lors de l'exécution des opérations sur eux.

Théorème 4.4. Pour le produit des relations symétriques, il est symétriquement, il est nécessaire et suffisamment pour la relation et la commute.

Ratio d'équivalence

Un type important de relation binaire est le ratio d'équivalence.

Définition 1. L'attitude binaire sur le jeu X s'appelle le rapport d'équivalence à X, si réflexif, symétrique et transitoire.

Le ratio d'équivalence est souvent désigné par des symboles ~ ,.

Exemples de ratio d'équivalence Servir:

le rapport d'identité i x \u003d ((a, a) | hache) sur un ensemble non vide X;

le rapport entre le parallélisme sur l'ensemble du plan direct;

le ratio de similitude sur l'ensemble des formes d'avion;

le ratio d'équivaudérance sur l'ensemble des équations;

attitude "d'avoir les mêmes résidus dans la division vers un nombre naturel fixe M" sur une pluralité d'entiers. Ce ratio en mathématiques est appelé le rapport de comparabilité par module m et dénote AB (MOD M);

le ratio "appartient à un type" sur l'ensemble des animaux;

le ratio de «être des parents» sur l'ensemble des personnes;

le ratio de «être une croissance» sur une variété de personnes;

attitude "vivre dans la même maison" sur une variété de personnes.

La relation "vivre dans une rue", "être similaire" sur l'ensemble des personnes ne sont pas des relations d'équivalence, car elles n'ont pas la propriété de la transitivité.

Parmi les propriétés ci-dessus des relations binaires, il s'ensuit que l'intersection de la relation d'équivalence est le ratio d'équivalence.

Cours d'équivalence

Avec l'attitude d'équivalence, la scission de l'ensemble par classes est étroitement liée.

Définition 1. Le système de sous-ensembles non vides

(M 1, m 2, ...)

plusieurs m sont appelés le fractionnement de cet ensemble si

Les ensembles M 1, M 2, sont appelés les classes de cette partition.

Des exemples de parties servent:

décomposition de tous les polygones en groupes dans le nombre de sommets - triangles, quadrangles, pentagones, etc.

partitionnement de tous les triangles en fonction des propriétés des angles (creusé aigu, rectangulaire, stupide);

la partition de tous les triangles selon les propriétés des parties (polyvalentes, égales, équilatérales);

la partition de tous les triangles sur les classes de triangles similaires;

vendre une variété de tous les étudiants de cette classe d'école.

L'utilisation généralisée des relations d'équivalence dans la science moderne est due au fait que toute relation d'équivalence effectue le réglage de l'ensemble dans lequel il est défini, les classes généralement prises pour de nouveaux objets. En d'autres termes, avec l'aide de relations d'équivalence, de nouveaux objets sont générés, des concepts.

Ainsi, par exemple, le rapport du refroidisseur de rayonnement brise l'ensemble de toutes les rayons du plan ou de l'espace sur les classes des rayons revêtus. Chacune de ces classes de rayons est appelée la direction. Ainsi, le concept intuitif de la direction reçoit une description mathématique précise en tant que classe de partitionnement d'un ensemble de rayons par rapport à l'équivalence.

À propos de ces chiffres sont généralement indiqués qu'ils ont la même forme. Mais quelle est la forme d'une forme géométrique? Il est intuitif que cela est général qui unit ces chiffres. À l'aide du ratio d'équivalence, ce concept intuitif est géré à des mathématiques précises. Le rapport de similitude, étant un ratio d'équivalence, brise les nombreux chiffres sur les classes de ces chiffres. Chaque classe de ce type peut être appelée la forme. Ensuite, l'expression "Deux figures identiques ont la même forme" a la signification précise suivante "deux figures similaires appartiennent à une forme."

Les relations d'équivalence se trouvent partout où des ensembles de classes. Nous les utilisons souvent sans le remarquer.

Nous donnons un exemple élémentaire. Lorsque des enfants jouent avec de nombreux jouets multicolores (par exemple, avec des blocs de Dielesh) et décident de décomposer les jouets en couleurs, ils apprécient la relation "d'avoir une couleur". Reçu à la suite des classes de chiffres monochromes sont perçus par les enfants comme nouveaux concepts: rouge, jaune, bleu, etc.

De même, à la suite de la résolution du problème de la décomposition des blocs de forme, les enfants reçoivent des cours, chacun d'eux étant perçu comme une forme: rectangulaire, ronde, triangulaire, etc.

La relation entre les relations d'équivalence définies sur l'ensemble M et les partitions de l'ensemble M en classes sont décrites dans les deux théorèmes suivants.

Théorème 1 Tout partitionnement d'un ensemble non vide M en classes détermine (Inductions) sur ce ratio d'équivalence défini telle que:

tous les deux éléments de la même classe concernent;

tous les deux éléments de différentes classes ne concernent pas. Preuve. Soit y avoir une partition d'un ensemble non vide M. déterminer le rapport binaire comme suit: xay (k) (xk & yk).

C'est-à-dire que les deux éléments X et Y A pour l'ensemble M sont associés au rapport en ce que et uniquement s'il existe une telle classe K, qui appartient simultanément aux éléments X et Y.

Donc, une certaine relation est évidemment réflexe et symétriquement. Nous prouvons la transitivité de la relation. Soit x * y et x * z être. Ensuite, par définition, il y a des cours K 1 et K 2 tels que X, YK 1 et Y, ZK 2. Étant donné que diverses classes de partitions n'ont pas d'éléments communs, alors k 1 \u003d k 2, c'est-à-dire x, z k 1. Par conséquent, X * Z, qui devait prouver.

Théorème 2. Tout rapport d'équivalence dans un ensemble non vide M génère la partition de cet ensemble sur les classes d'équivalence telles que toutes sortes de deux éléments de la même classe concernent;

tous les deux éléments de différentes classes ne concernent pas.

Preuve. Soit B un rapport d'équivalence sur l'ensemble M. Chaque élément X de mise en ligne avec un sous-ensemble [x] de l'ensemble M constitué de tous les éléments y, qui sont par rapport à l'élément X:

Le système de sous-ensemble [x] forme le fractionnement de l'ensemble M. En effet, d'abord, chaque sous-ensemble [x] O, car en raison de la réflexivité du rapport x [x].

Deuxièmement, deux sous-ensembles différents [x] et [y] n'ont pas d'éléments communs. En discutant de l'autre, disons que l'existence d'un élément Z est telle que z [x] et z [y]. Puis zax et zay. Par conséquent, pour tout élément A [x] à partir d'A * X, Z * X et Z * Y, en raison de la symétrie et de la transitivité, A * Y suit, c'est-à-dire un [y]. Par conséquent, [x] [Y]. De même, nous obtenons que [y] [x]. Les deux inclusions obtenues divertissent l'égalité [x] \u003d [y], qui contredit l'hypothèse de l'inadéquation des sous-ensembles [x] et [y]. Ainsi, [x] y] \u003d O.

Troisièmement, la fusion de tous les sous-ensembles [x] coïncide avec l'ensemble M, pour n'importe quel élément XM, la condition X [x] est effectuée.

Donc, le système de sous-ensembles [x], forme la scission de l'ensemble M. Il est facile de montrer que la partition construite satisfait aux conditions du théorème. La scission de l'ensemble M, qui a les propriétés spécifiées dans le théorème, est appelée ensemble de mètres m / m / b désigné.