Pendule mathématique est un point matériel suspendu à un fil en apesanteur et inextensible situé dans le champ de gravité de la Terre. Un pendule mathématique est un modèle idéalisé qui décrit correctement un pendule réel uniquement sous certaines conditions. Un vrai pendule peut être considéré comme mathématique si la longueur du fil est bien supérieure aux dimensions du corps qui y est suspendu, le poids du fil est négligeable par rapport à la masse du corps, et les déformations du fil sont si petites qu'ils peuvent être complètement négligés.

Dans ce cas, le système oscillatoire est formé d'un fil, d'un corps qui lui est attaché et de la Terre, sans laquelle ce système ne pourrait pas servir de pendule.

où une N.-É. – accélération, g - Accélération de la gravité, N.-É.- décalage, je C'est la longueur du fil du pendule.

Cette équation s'appelle l'équation des oscillations libres d'un pendule mathématique. Il ne décrit correctement les fluctuations considérées que lorsque les hypothèses suivantes sont remplies :

2) seules les petites oscillations d'un pendule avec un petit angle d'oscillation sont considérées.

Les vibrations libres de tous les systèmes dans tous les cas sont décrites par des équations similaires.

Les raisons des oscillations libres d'un pendule mathématique sont :

1. L'action sur le pendule de la force de tension et de la force de gravité, qui empêche son déplacement de la position d'équilibre et l'oblige à redescendre.

2. L'inertie du pendule, grâce à laquelle il, tout en maintenant sa vitesse, ne s'arrête pas dans la position d'équilibre, mais le traverse plus loin.

La période d'oscillations libres d'un pendule mathématique

La période d'oscillations libres d'un pendule mathématique ne dépend pas de sa masse, mais est déterminée uniquement par la longueur du fil et l'accélération de la gravité à l'endroit où se trouve le pendule.

Conversion d'énergie avec des vibrations harmoniques

Au cours des oscillations harmoniques du pendule à ressort, l'énergie potentielle du corps déformé élastiquement se transforme en son énergie cinétique, où k – coefficient d'élasticité, N.-É. - le module de déplacement du pendule à partir de la position d'équilibre, m est la masse du pendule, v est sa vitesse. Selon l'équation de vibration harmonique :

, .

Energie totale du pendule à ressort :

.

Énergie totale pour un pendule mathématique :

Dans le cas d'un pendule mathématique

Les transformations d'énergie lors des oscillations d'un pendule à ressort se produisent conformément à la loi de conservation de l'énergie mécanique ( ). Lorsque le pendule descend ou monte depuis la position d'équilibre, son énergie potentielle augmente, tandis que son énergie cinétique diminue. Lorsque le pendule dépasse la position d'équilibre ( N.-É.= 0), son énergie potentielle est nulle et l'énergie cinétique du pendule a la plus grande valeur, égale à son énergie totale.

Ainsi, dans le processus d'oscillations libres du pendule, son énergie potentielle se transforme en cinétique, cinétique en potentiel, potentiel puis redevient cinétique, etc. Mais l'énergie mécanique totale reste inchangée.

Vibrations forcées. Résonance.

Les oscillations se produisant sous l'action d'une force périodique externe sont appelées hésitation forcée... Une force périodique externe, appelée forçage, confère une énergie supplémentaire au système oscillatoire, qui est utilisée pour reconstituer les pertes d'énergie dues au frottement. Si la force motrice change dans le temps selon la loi des sinus ou des cosinus, alors les oscillations forcées seront harmoniques et non amorties.

Contrairement aux oscillations libres, lorsque le système ne reçoit de l'énergie qu'une seule fois (lorsque le système est retiré de l'état d'équilibre), dans le cas des oscillations forcées, le système absorbe en permanence cette énergie d'une source de force périodique externe. Cette énergie compense les pertes dépensées pour surmonter le frottement, et donc l'énergie totale du système oscillatoire non reste inchangée.

La fréquence des vibrations forcées est égale à la fréquence de la force motrice... Dans le cas où la fréquence de la force motrice υ coïncide avec la fréquence propre du système oscillant υ 0 , il y a une forte augmentation de l'amplitude des oscillations forcées - résonance. La résonance est due au fait que lorsque υ = υ 0 une force extérieure, agissant dans le temps avec des oscillations libres, est toujours co-dirigée avec la vitesse du corps oscillant et effectue un travail positif : l'énergie du corps oscillant augmente, et l'amplitude de ses oscillations devient grande. Le graphique de la dépendance de l'amplitude des vibrations forcées UNE T sur la fréquence de la force motrice υ représenté sur la figure, ce graphique est appelé la courbe de résonance :

Le phénomène de résonance joue un rôle important dans un certain nombre de processus naturels, scientifiques et industriels. Par exemple, il est nécessaire de prendre en compte le phénomène de résonance lors de la conception de ponts, bâtiments et autres structures qui subissent des vibrations sous charge, sinon, dans certaines conditions, ces structures peuvent être détruites.

Un pendule mathématique s'appelle un corps de petite taille, suspendu à un fil mince inextensible, dont la masse est négligeable par rapport à la masse du corps. Dans la position d'équilibre, lorsque le pendule est suspendu le long d'un fil à plomb, la force de gravité est équilibrée par la force de tension du fil. Lorsque le pendule est dévié de la position d'équilibre d'un certain angle , la composante tangente de la force de gravité apparaît F τ = - mg sin (Fig. 2.3.1). Le signe moins dans cette formule signifie que la composante tangente est dirigée dans la direction opposée à la déviation du pendule.

Si on note par X déplacement linéaire du pendule à partir de la position d'équilibre le long d'un arc de cercle de rayon je, alors son déplacement angulaire sera égal à φ = X / je... La deuxième loi de Newton, écrite pour les projections des vecteurs d'accélération et de force sur la direction de la tangente, donne :

Cette relation montre que le pendule mathématique est un complexe non linéaire système, puisque la force tendant à ramener le pendule à la position d'équilibre n'est pas proportionnelle au déplacement X, une

Seulement au cas oùpetites fluctuations quand environpeut être remplacé parle pendule mathématique est un oscillateur harmonique, c'est-à-dire un système capable d'effectuer des oscillations harmoniques. En pratique, cette approximation est valable pour des angles de l'ordre de 15-20° ; dans ce cas, la valeur ne diffère pas de plus de 2%. Les oscillations du pendule à de grandes amplitudes ne sont pas harmoniques.

Pour les petites oscillations d'un pendule mathématique, la deuxième loi de Newton s'écrit sous la forme

Ainsi, l'accélération tangentielle une du pendule est proportionnel à son déplacement X pris avec le signe opposé. C'est exactement la condition dans laquelle le système est un oscillateur harmonique. En règle générale pour tous les systèmes capables d'effectuer des oscillations harmoniques libres, le module du coefficient de proportionnalité entre l'accélération et le déplacement à partir de la position d'équilibre est égal au carré de la fréquence angulaire :

Cette formule exprime fréquence naturelle des petites oscillations d'un pendule mathématique .

D'où,

Tout corps planté sur l'axe horizontal de rotation est capable d'effectuer des oscillations libres dans le champ gravitationnel et, par conséquent, est également un pendule. Un tel pendule est généralement appelé physique (fig. 2.3.2). Elle ne diffère de la mathématique que par la distribution des masses. Dans une position d'équilibre stable, le centre de masse C le pendule physique est situé en dessous de l'axe de rotation O sur la verticale passant par l'axe. Lorsque le pendule est dévié d'un angle , un moment de gravité apparaît, tendant à ramener le pendule à la position d'équilibre :

M = -(mg péché ) ré.

Ici ré- la distance entre l'axe de rotation et le centre de masse C.

Graphique 2.3.2. Pendule physique

Le signe moins dans cette formule, comme d'habitude, signifie que le moment des forces tend à faire tourner le pendule dans le sens opposé à son écart par rapport à la position d'équilibre. Comme dans le cas d'un pendule mathématique, renvoyant le moment M proportionnel. Cela signifie que seulement à de petits angles, lorsque le pendule physique est capable d'effectuer des oscillations harmoniques libres. En cas de petites fluctuations

et la deuxième loi de Newton pour un pendule physique prend la forme

où est l'accélération angulaire du pendule, je- moment d'inertie du pendule par rapport à l'axe de rotation ô... Le module du facteur de proportionnalité entre l'accélération et le déplacement est égal au carré de la fréquence angulaire :

Ici 0 - fréquence naturelle des petites oscillations d'un pendule physique .

D'où,

Une dérivation plus rigoureuse des formules pour ω 0 et T peut être fait si l'on prend en compte la relation mathématique entre l'accélération angulaire et le déplacement angulaire : l'accélération angulaire ε est la dérivée seconde du déplacement angulaire par rapport au temps :

Par conséquent, l'équation exprimant la deuxième loi de Newton pour un pendule physique peut être écrite sous la forme

C'est l'équation des vibrations harmoniques libres.

Le coefficient dans cette équation a la signification du carré de la fréquence circulaire des oscillations harmoniques libres d'un pendule physique.

Par le théorème sur le transfert parallèle de l'axe de rotation (théorème de Steiner), le moment d'inertie je peut être exprimé en termes de moment d'inertie jeC autour de l'axe passant par le centre de masse C pendule et parallèle à l'axe de rotation :

Enfin, pour la fréquence circulaire ω 0 des oscillations libres d'un pendule physique, on obtient l'expression suivante :

AVECcraquelinquêteà propos de la définitionallerplanètes

10.4. Loi de conservation de l'énergie pour les vibrations harmoniques

10.4.1. Conservation de l'énergie à vibrations harmoniques mécaniques

Conservation de l'énergie lors des oscillations d'un pendule mathématique

Avec les vibrations harmoniques, l'énergie mécanique totale du système est conservée (reste constante).

Énergie mécanique totale d'un pendule mathématique

E = Wk + Wp,

où W k - énergie cinétique, W k = = mv 2/2; W p - énergie potentielle, W p = mgh; m est la masse de la cargaison ; g - module d'accélération en chute libre ; v - module de vitesse de la cargaison ; h - la hauteur de levage de la charge au-dessus de la position d'équilibre (Fig. 10.15).

Avec les vibrations harmoniques, le pendule mathématique passe par un certain nombre d'états successifs, il est donc conseillé de considérer l'énergie du pendule mathématique dans trois positions (voir Fig.10.15):

Riz. 10h15

1) dans Position d'équilibre

l'énergie potentielle est nulle; l'énergie totale coïncide avec l'énergie cinétique maximale :

E = Wkmax ;

2) dans position extrême(2) le corps est élevé au-dessus du niveau initial jusqu'à la hauteur maximale h max, donc l'énergie potentielle est également maximale :

W p max = m g h max;

l'énergie cinétique est nulle; l'énergie totale coïncide avec l'énergie potentielle maximale :

E = W p max ;

3) dans position intermédiaire(3) le corps a une vitesse instantanée v et est élevé au-dessus du niveau initial à une certaine hauteur h, donc l'énergie totale est la somme

E = m v 2 2 + m g h,

où mv ​​2/2 - énergie cinétique; mgh - énergie potentielle; m est la masse de la cargaison ; g - module d'accélération en chute libre ; v - module de vitesse de la cargaison ; h est la hauteur de la charge levée au-dessus de la position d'équilibre.

Avec les oscillations harmoniques d'un pendule mathématique, l'énergie mécanique totale est conservée :

E = const.

Les valeurs de l'énergie totale du pendule mathématique dans ses trois positions sont reflétées dans le tableau. 10.1.

№	Position	Wp	Wk	E = Wp + Wk
1	Équilibre	0	mv max 2/2	mv max 2/2
2	Extrême	mgh max	0	mgh max
3	Intermédiaire (instantané)	mgh	mv 2/2	mv 2/2 + mgh

Les valeurs de l'énergie mécanique totale présentées dans la dernière colonne du tableau. 10.1, ont des valeurs égales pour n'importe quelle position du pendule, ce qui est une expression mathématique :

m v max 2 2 = m g h max;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h;

m g h max = m v 2 2 + m g h,

où m est la masse de la cargaison ; g - module d'accélération en chute libre ; v est le module de la vitesse instantanée de la charge en position 3 ; h - la hauteur de levage de la charge au-dessus de la position d'équilibre en position 3; v max - module de la vitesse maximale de la cargaison en position 1 ; h max est la hauteur maximale de levage de la charge au-dessus de la position d'équilibre en position 2.

Angle de déviation du fil pendule mathématique par rapport à la verticale (Fig.10.15) est déterminé par l'expression

cos = l - h l = 1 - h l,

où l est la longueur du fil ; h est la hauteur de la charge levée au-dessus de la position d'équilibre.

Angle maximal l'écart α max est déterminé par la hauteur de levage maximale de la charge au-dessus de la position d'équilibre h max :

cos max = 1 - h max l.

Exemple 11. La période des petites oscillations d'un pendule mathématique est de 0,9 s. De quel angle maximum par rapport à la verticale le fil déviera-t-il si, passant par la position d'équilibre, la bille se déplace à une vitesse de 1,5 m/s ? Il n'y a pas de friction dans le système.

Solution . La figure montre deux positions du pendule mathématique :

• position d'équilibre 1 (caractérisée par la vitesse maximale de la balle v max) ;
• position extrême 2 (caractérisée par la hauteur maximale de la boule s'élève h max au-dessus de la position d'équilibre).

L'angle désiré est déterminé par l'égalité

cos α max = l - h max l = 1 - h max l,

où l est la longueur du fil du pendule.

On retrouve la hauteur maximale de la boule du pendule s'élever au-dessus de la position d'équilibre à partir de la loi de conservation de l'énergie mécanique totale.

L'énergie totale du pendule en position d'équilibre et en position extrême est déterminée par les formules suivantes :

• en position d'équilibre -

E 1 = mvmax 2 2,

où m est la masse de la boule du pendule ; v max est le module de la vitesse de la balle en position d'équilibre (vitesse maximale), v max = 1,5 m/s ;

• en position extrême -

E 2 = mgh max,

où g est le module d'accélération gravitationnelle ; h max est la hauteur maximale de l'élévation de la balle au-dessus de la position d'équilibre.

La loi de conservation de l'énergie mécanique totale :

m v max 2 2 = m g h max.

Exprimons à partir de là la hauteur maximale de la boule s'élève au-dessus de la position d'équilibre :

hmax = vmax 2 2 g.

La longueur du fil est déterminée à partir de la formule de la période d'oscillation d'un pendule mathématique

T = 2 l g,

celles. longueur du filetage

l = T 2 g 4 2.

Remplacez h max et l dans l'expression du cosinus de l'angle désiré :

cos α max = 1 - 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

et on fera le calcul en tenant compte de l'égalité approximative π 2 = 10 :

cos α max = 1 - 2 10 (1,5) 2 10 2 (0,9) 2 = 0,5.

Il s'ensuit que l'angle de déviation maximal est de 60°.

A strictement parler, à un angle de 60°, les oscillations de la boule ne sont pas petites et il est inapproprié d'utiliser la formule standard pour la période d'oscillation d'un pendule mathématique.

Conservation de l'énergie lors des oscillations d'un pendule à ressort

Energie mécanique totale d'un pendule à ressort se compose de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle :

E = Wk + Wp,

où W k - énergie cinétique, W k = mv 2/2; W p - énergie potentielle, W p = k (Δx) 2/2; m est la masse de la cargaison ; v - module de vitesse de la cargaison ; k - coefficient de rigidité (élasticité) du ressort; Δx - déformation (tension ou compression) du ressort (Fig. 10.16).

Dans le Système international d'unités, l'énergie d'un système oscillatoire mécanique est mesurée en joules (1 J).

Avec les vibrations harmoniques, un pendule à ressort passe par un certain nombre d'états successifs, il est donc conseillé de considérer l'énergie d'un pendule à ressort dans trois positions (voir Fig.10.16):

1) dans Position d'équilibre(1) la vitesse du corps a une valeur maximale v max, donc l'énergie cinétique est également maximale :

W k max = m v max 2 2 ;

l'énergie potentielle du ressort est nulle, puisque le ressort n'est pas déformé ; l'énergie totale coïncide avec l'énergie cinétique maximale :

E = Wkmax ;

2) dans position extrême(2) le ressort a une déformation maximale (Δx max), donc l'énergie potentielle a aussi une valeur maximale :

W p max = k (Δ x max) 2 2 ;

l'énergie cinétique du corps est nulle ; l'énergie totale coïncide avec l'énergie potentielle maximale :

E = W p max ;

3) dans position intermédiaire(3) le corps a une vitesse instantanée v, le ressort a à ce moment une certaine déformation (Δx), donc l'énergie totale est la somme

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

où mv ​​2/2 - énergie cinétique; k (Δx) 2/2 - énergie potentielle; m est la masse de la cargaison ; v - module de vitesse de la cargaison ; k - coefficient de rigidité (élasticité) du ressort; Δx - déformation (tension ou compression) du ressort.

Lorsque la charge du pendule à ressort est déplacée de la position d'équilibre, elle est sollicitée par force de rappel, dont la projection sur la direction de déplacement du pendule est déterminée par la formule

Fx = −kx,

où x est le déplacement du poids du pendule à ressort depuis la position d'équilibre, x = ∆x, ∆x est la déformation du ressort ; k - coefficient de rigidité (élasticité) du ressort pendulaire.

Avec les oscillations harmoniques d'un pendule à ressort, l'énergie mécanique totale est conservée :

E = const.

Les valeurs de l'énergie totale du pendule à ressort dans ses trois positions sont indiquées dans le tableau. 10.2.

№	Position	Wp	Wk	E = Wp + Wk
1	Équilibre	0	mv max 2/2	mv max 2/2
2	Extrême	k (Δx max) 2/2	0	k (Δx max) 2/2
3	Intermédiaire (instantané)	k (Δx) 2/2	mv 2/2	mv 2/2 + k (Δx) 2/2

Les valeurs de l'énergie mécanique totale présentées dans la dernière colonne du tableau ont des valeurs égales pour toute position du pendule, ce qui est une expression mathématique loi de conservation de l'énergie mécanique totale:

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

où m est la masse de la cargaison ; v est le module de la vitesse instantanée de la charge en position 3 ; Δx - déformation (tension ou compression) du ressort en position 3 ; v max - module de la vitesse maximale de la cargaison en position 1 ; Δx max - déformation maximale (tension ou compression) du ressort en position 2.

Exemple 12. Un pendule à ressort effectue des oscillations harmoniques. Combien de fois son énergie cinétique est-elle supérieure au potentiel au moment où le déplacement du corps depuis la position d'équilibre est du quart de l'amplitude ?

Solution . Comparons les deux positions du pendule à ressort :

• position extrême 1 (caractérisée par le déplacement maximum de la charge pendulaire à partir de la position d'équilibre x max) ;
• position intermédiaire 2 (caractérisée par des valeurs intermédiaires de déplacement à partir de la position d'équilibre x et de la vitesse v →).

L'énergie totale du pendule dans les positions extrêmes et intermédiaires est déterminée par les formules suivantes :

• en position extrême -

E 1 = k (Δ x max) 2 2,

où k est le coefficient de rigidité (élasticité) du ressort ; ∆x max - amplitude de vibration (déplacement maximum par rapport à la position d'équilibre), ∆x max = A ;

• en position intermédiaire -

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

où m est la masse de la charge du pendule ; ∆x - déplacement de la charge depuis la position d'équilibre, ∆x = A / 4.

La loi de conservation de l'énergie mécanique totale pour un pendule à ressort est la suivante :

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2.

On divise les deux côtés de l'égalité écrite par k (∆x) 2/2 :

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p,

où W k est l'énergie cinétique du pendule en position intermédiaire, W k = mv 2/2 ; W p est l'énergie potentielle du pendule dans une position intermédiaire, W p = k (∆x) 2/2.

Exprimons le rapport d'énergie requis à partir de l'équation :

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 - 1

et calcule sa valeur :

W k W p = (A A / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15.

A l'instant spécifié, le rapport des énergies cinétique et potentielle du pendule est de 15.

Si le corps, attaché au ressort (figure 4), est dévié de la position d'équilibre d'une distance A, par exemple, vers la gauche, alors il, ayant traversé la position d'équilibre, déviera vers la droite. Cela découle de la loi de conservation de l'énergie.

L'énergie potentielle d'un ressort comprimé ou étiré est

où k est la raideur du ressort et x est son allongement. Dans la position extrême gauche, l'allongement du ressort x = - A, donc, l'énergie potentielle est

L'énergie cinétique à ce moment est égale à zéro, car la vitesse est égale à zéro. Cela signifie que l'énergie potentielle est l'énergie mécanique totale du système à ce moment. Si nous convenons que la force de friction est nulle et que les autres forces sont équilibrées, alors notre système peut être considéré comme fermé et son énergie totale ne peut pas changer pendant le mouvement. Lorsque le corps dans son mouvement est dans la position extrême droite (x = A), son énergie cinétique sera à nouveau égale à zéro et l'énergie totale est à nouveau égale au potentiel un. Et l'énergie totale ne peut pas changer. Par conséquent, il est à nouveau égal à

Cela signifie que le corps déviera vers la droite d'une distance égale à A.

En position d'équilibre, au contraire, l'énergie potentielle est nulle, car le ressort n'est pas déformé, x = 0. Dans cette position, l'énergie totale du corps est égale à son énergie cinétique

où m est la masse du corps et sa vitesse (elle est maximale à cet instant). Mais cette énergie cinétique doit aussi avoir une valeur égale. Par conséquent, lors du mouvement oscillatoire, la transformation de l'énergie cinétique en énergie potentielle et vice versa se produit. En tout point entre les positions d'équilibre et de déviation maximale, le corps a à la fois de l'énergie cinétique et du potentiel, mais leur somme, c'est-à-dire l'énergie totale dans n'importe quelle position du corps est égale à. L'énergie mécanique totale W d'un corps oscillant est proportionnelle au carré de l'amplitude et de ses oscillations

Pendules. Pendule mathématique

Un pendule est un corps suspendu de manière à ce que son centre de gravité soit en dessous du point de suspension. Cela signifie que la charge suspendue à une corde est un système oscillatoire semblable au pendule d'une horloge murale. Tout système capable de vibrations libres a une position d'équilibre stable. Pour un pendule, c'est la position dans laquelle le centre de gravité est à la verticale en dessous du point de suspension. Si nous sortons le pendule de cette position ou le poussons, alors il commencera à osciller, s'écartant dans un sens ou dans l'autre de la position d'équilibre. Nous savons que la plus grande déviation de la position d'équilibre, à laquelle le pendule atteint, s'appelle l'amplitude des oscillations. L'amplitude est déterminée par la déviation ou la poussée initiale avec laquelle le pendule a été mis en mouvement. Cette propriété - la dépendance de l'amplitude aux conditions au début du mouvement - est caractéristique non seulement des oscillations libres d'un pendule, mais en général des oscillations libres de très nombreux systèmes oscillatoires.

La période d'oscillation d'un pendule physique dépend de nombreuses circonstances : de la taille et de la forme du corps, de la distance entre le centre de gravité et le point de suspension et de la répartition du poids corporel par rapport à ce point ; par conséquent, le calcul de la période d'un corps suspendu est une tâche assez difficile. La situation est plus simple pour un pendule mathématique. Un pendule mathématique est un poids suspendu à un fil mince, dont les dimensions sont bien inférieures à la longueur du fil, et sa masse de manne est supérieure à la masse du fil. Cela signifie que le corps (charge) et le fil doivent être tels que la charge puisse être considérée comme un point matériel et que le fil soit en apesanteur. A partir des observations de tels pendules, les lois simples suivantes peuvent être établies.

1. Si, en gardant la même longueur du pendule (la distance du point de suspension au centre de gravité de la charge), suspendez des poids différents, alors la période d'oscillation sera la même, bien que les masses des poids diffèrent considérablement . La période du pendule mathématique ne dépend pas de la masse de la charge.

2. Sida, agissant sur le corps en tout point de la trajectoire, est dirigé vers la position d'équilibre, et au point d'équilibre lui-même est égal à zéro.

3. La force est proportionnelle à la déviation du corps par rapport à la position d'équilibre.

Riz. 5.

4. Si, lors du démarrage du pendule, nous le dévions à des angles différents (mais pas trop grands), alors il oscillera avec la même période, mais avec des amplitudes différentes. Tant que les amplitudes ne sont pas trop grandes, les oscillations sont assez proches dans leur forme d'harmoniques, et la période du pendule mathématique ne dépend pas de l'amplitude des oscillations. Cette propriété est appelée isochronisme (des mots grecs "isos" - égal, "chronos" - temps).

Ce fait a été établi pour la première fois en 1655 par Galilée, prétendument dans les circonstances suivantes. Galilée a observé dans la cathédrale de Pise le balancement d'un lustre (dans une église orthodoxe, un lustre central, une lampe avec de nombreuses bougies ou lampes d'icônes) sur une longue chaîne, qui était poussée lorsqu'elle était allumée. Pendant le service divin, le swing s'est progressivement estompé (chapitre 8), c'est-à-dire que l'amplitude du swing a diminué, mais la période est restée la même. Galilée a utilisé son propre pouls comme indicateur du temps.

Cette propriété du pendule s'est avérée non seulement surprenante, mais aussi utile. Galilée a proposé d'utiliser un pendule comme régulateur dans une horloge. À l'époque de Galilée, les horloges étaient alimentées par un poids et un dispositif grossier tel que des pales de moulin à vent était utilisé pour ajuster la course, qui utilisait la résistance de l'air. Un pendule pourrait être utilisé pour compter des intervalles de temps égaux, car de petites oscillations se produisent en même temps que de grandes causées par des rafales de vent aléatoires. Un siècle après Galilée, les horloges à pendule ont été utilisées, mais les marins avaient encore besoin d'horloges précises pour mesurer la longitude en mer. Un prix a été annoncé pour la création d'une telle horloge marine qui permettrait de mesurer le temps avec une précision suffisante. Le prix est allé à Garisson pour le chronomètre, qui utilisait un volant (balancier) et un ressort spécial pour réguler la course.

Dérivons maintenant une formule pour la période d'oscillation d'un pendule mathématique.

Lorsque le pendule oscille, la charge se déplace accélérée le long de l'arc VA (Fig. 5, a) sous l'action de la force de rappel P 1, qui change au cours du mouvement.

Le calcul du mouvement du corps sous l'influence d'une force non constante est assez compliqué. Par conséquent, par souci de simplicité, nous allons procéder comme suit.

Forçons le pendule à effectuer non pas une oscillation dans un plan, mais à décrire le cône de telle sorte que la charge se déplace en cercle (Fig. 5, b). Ce mouvement peut être obtenu grâce à l'addition de deux vibrations indépendantes : l'une - toujours dans le plan du dessin et l'autre - dans le plan perpendiculaire. De toute évidence, les périodes de ces deux oscillations planes sont les mêmes, puisque tout plan d'oscillation n'est pas différent d'un autre. Par conséquent, la période de mouvement complexe - la révolution du pendule le long d'un cône - sera la même que la période d'oscillation dans un plan. Cette conclusion peut être facilement illustrée par une expérience directe, en prenant deux pendules identiques et en disant à l'un d'eux de se balancer dans un plan et à l'autre de tourner le long d'un cône.

Mais la période de révolution du pendule "conique" est égale à la longueur du cercle décrit par la charge, divisée par la vitesse :

Si l'angle de déviation par rapport à la verticale est faible (petites amplitudes !), alors on peut supposer que la force de retour P 1 est dirigée le long du rayon du cercle BC, c'est-à-dire qu'elle est égale à la force centripète :

Par contre, de la similitude des triangles OBC et DBE, il résulte que BE : BD = CB : OB. Puisque OB = l, CB = r, BE = P 1, donc

En égalant les deux expressions Р 1 l'une à l'autre, on obtient pour la vitesse de circulation

Enfin, en substituant cela dans l'expression pour la période T, nous trouvons

Ainsi, la période d'un pendule mathématique ne dépend que de l'accélération de la pesanteur g et de la longueur du pendule l, c'est-à-dire de la distance du point de suspension au centre de gravité de la charge. Il résulte de la formule obtenue que la période du pendule ne dépend pas de sa masse et de son amplitude (à condition qu'elle soit suffisamment petite). En d'autres termes, ces lois fondamentales qui ont été établies plus tôt à partir d'observations ont été obtenues par calcul.

Mais cette conclusion théorique nous donne plus : elle nous permet d'établir une relation quantitative entre la période du pendule, sa longueur et l'accélération de la pesanteur. La période d'un pendule mathématique est proportionnelle à la racine carrée du rapport de la longueur du pendule à l'accélération de la pesanteur. Le rapport hauteur/largeur est de 2 ?

La dépendance de la période du pendule à l'accélération de la pesanteur est un moyen très précis de déterminer cette accélération. Après avoir mesuré la longueur du pendule l et déterminé la période T à partir d'un grand nombre d'oscillations, nous pouvons calculer en utilisant la formule résultante g. Cette méthode est largement utilisée dans la pratique.

coordonnée de résonance d'oscillation du pendule

Une petite boule suspendue à un fil léger inextensible est capable d'effectuer libre mouvement oscillatoire (fig. 598).

riz. 598
Pour décrire le mouvement du pendule, on va considérer la boule comme un point matériel, négliger la masse du fil et la résistance de l'air. Ce modèle s'appelle pendule mathématique.
Comme coordonnée décrivant la position de la balle, nous choisissons l'angle de déviation du fil par rapport à la verticale φ ... Pour décrire le changement de cette coordonnée, il est commode d'utiliser l'équation de la dynamique du mouvement de rotation

où J = ml 2- moment d'inertie du système, = / t- l'accélération angulaire du corps (la dérivée seconde de l'angle de rotation), M- le moment total des forces extérieures agissant sur le système 1. La balle est sollicitée par la gravité mg et la tension du fil. Couple de tension du fil N par rapport au point de suspension est égal à zéro, par conséquent, l'équation (1) pour la balle suspendue prend la forme

ou

Cette équation décrit les oscillations d'un pendule, mais ce n'est pas une équation d'oscillations harmoniques, puisque le moment des forces est proportionnel au sinus de l'angle de déviation, et non à l'angle lui-même. Cependant, si nous considérons que les angles de déviation sont petits (combien nous le saurons plus tard), nous pouvons utiliser la formule approximative péchéφ ≈ φ dans cette approximation, l'équation (3) se transforme en l'équation familière des oscillations harmoniques

où = (g / l)- la fréquence circulaire des petites oscillations du pendule 2. Nous avons déjà écrit la solution de cette équation

ici o- la déviation maximale du fil, c'est-à-dire l'amplitude de vibration. Pour simplifier, nous supposerons que la vitesse initiale de la balle est nulle.
La période des petites oscillations du pendule est exprimée par la fréquence angulaire

Étant donné que les petites oscillations d'un pendule mathématique sont harmoniques, leur période ne dépend pas de l'amplitude. Ce fait a été noté expérimentalement par G. Galileo. Aux grands angles de déviation, la période d'oscillation du pendule mathématique augmente légèrement.
Notez que la période d'oscillation d'un pendule mathématique ne dépend pas non plus de la masse de la balle - rappelez-vous, l'accélération de la gravité, ainsi que d'autres caractéristiques du mouvement du corps dans le champ de gravité terrestre, ne dépendent pas non plus de la masse du corps (à moins, bien sûr, de négliger la résistance de l'air).
La formule (6) peut être utilisée et est utilisée pour déterminer expérimentalement l'accélération de la gravité. La longueur du filament et la période d'oscillation peuvent être facilement mesurées expérimentalement, puis, en utilisant la formule (6), on peut calculer l'accélération de la pesanteur.
Essayons de décrire le mouvement d'un pendule mathématique en utilisant la loi de conservation de l'énergie mécanique. L'énergie cinétique de la balle est exprimée par la formule

Le niveau de référence zéro de l'énergie potentielle est compatible avec le point de suspension du fil, alors l'énergie potentielle de la bille est

Les équations de la loi de conservation de l'énergie mécanique (compte tenu des conditions initiales) ont la forme

Cette équation n'est pas non plus une équation de vibration harmonique. Mais, si nous supposons à nouveau que les angles de déviation du pendule sont petits et utilisons la formule approximative

alors l'équation (7) passe dans l'équation des vibrations harmoniques

ou

où indiqué = (g / l)- la fréquence de vibration circulaire, qui coïncide avec celle obtenue à partir de l'équation dynamique (2).
Bien sûr, cette coïncidence n'est pas accidentelle - en fait, dans les deux approches, nous avons utilisé la même approximation des petits angles de déviation.

1 En principe, les équations de la dynamique du mouvement de translation peuvent également être utilisées, mais l'approche utilisée ici est préférable, puisque la trajectoire du point est un arc de cercle.
2 Nous avons choisi la désignation Ω (c'est aussi un « oméga », uniquement en majuscule) pour la fréquence naturelle des petites oscillations, de sorte que la désignation traditionnelle ω est laissée derrière la vitesse angulaire de la balle, qui apparaîtra plus loin dans notre raisonnement .