Nutrition et régimes 

Une relation binaire sur un ensemble x est appelée. Relation binaire. Fondamentaux des mathématiques discrètes

Laisser R. est une relation binaire sur l'ensemble X, et x, y, z sont l'un de ses éléments. Si un élément x est dans une relation R avec un élément y, alors écrivez xRy.

1. Une relation R sur un ensemble X est dite réflexive si chaque élément de l'ensemble est dans cette relation avec lui-même.

R -réflexif sur X<=>xRx pour tout x€ X

Si la relation R est réflexive, alors il y a une boucle à chaque sommet du graphe. Par exemple, les relations d'égalité et de parallélisme pour les segments sont réflexives, mais les relations de perpendiculaire et de « plus long » ne sont pas réflexives. Cela se reflète dans les graphiques de la figure 42.

2. Une relation R sur un ensemble X est dite symétrique si du fait que l'élément x est dans une relation donnée avec l'élément y, il s'ensuit que l'élément y est dans la même relation avec l'élément x.

R - symétriquement activé (xYay =>y Rx)

Un graphique de relations symétriques contient des flèches appariées allant dans des directions opposées. Les relations de parallélisme, de perpendiculaire et d'égalité des segments sont symétriques, mais la relation « plus longue » n'est pas symétrique (Fig. 42).

3. Une relation R sur un ensemble X est dite antisymétrique si, pour différents éléments x et y de l'ensemble X, du fait que l'élément x est dans une relation donnée avec l'élément y, il s'ensuit que l'élément y n'est pas dans cette relation avec l'élément x.

R - antisymétrique sur X « (xRy et xy ≠ yRx)

Remarque : une barre supérieure indique la négation d'une instruction.

Dans un graphe de relations antisymétriques, deux points ne peuvent être reliés que par une seule flèche. Un exemple d'une telle relation est la relation « plus longue » pour les segments (Fig. 42). Les relations de parallélisme, de perpendiculaire et d'égalité ne sont pas antisymétriques. Il existe des relations qui ne sont ni symétriques ni antisymétriques, par exemple la relation « être frère » (Fig. 40).

4. Une relation R sur un ensemble X est dite transitive si du fait qu'un élément x est dans une relation donnée avec un élément y et qu'un élément y est dans cette relation avec un élément z, il s'ensuit que l'élément x est dans une relation donnée avec un élément Z

R - transitif sur A≠ (xRy et yRz=> xRz)

Dans les graphiques des relations « plus longues », de parallélisme et d'égalité de la figure 42, vous pouvez remarquer que si une flèche va du premier élément au deuxième et du deuxième au troisième, alors il y a bien une flèche allant du premier élément. élément au troisième. Ces relations sont transitives. La perpendiculaire des segments n'a pas la propriété de transitivité.

Il existe d’autres propriétés des relations entre éléments d’un même ensemble que nous ne considérons pas.

Une même relation peut avoir plusieurs propriétés. Ainsi, par exemple, sur un ensemble de segments la relation « égale » est réflexive, symétrique, transitive ; la relation « plus » est antisymétrique et transitive.


Si une relation sur un ensemble X est réflexive, symétrique et transitive, alors c'est une relation d'équivalence sur cet ensemble. De telles relations divisent l'ensemble X en classes.

Ces relations se manifestent, par exemple, lors de l'accomplissement de tâches : « Ramassez des bandes d'égale longueur et disposez-les en groupes », « Disposez les boules de manière à ce que chaque boîte contienne des boules de la même couleur ». Les relations d'équivalence (« être de même longueur », « être de la même couleur ») déterminent dans ce cas la répartition des ensembles de rayures et de boules en classes.

Si une relation sur l’ensemble 1 est transitive et antisymétrique, alors on parle de relation d’ordre sur cet ensemble.

Un ensemble avec une relation d’ordre donnée est appelé un ensemble ordonné.

Par exemple, lors de la réalisation des tâches : « Comparez les bandes en largeur et disposez-les du plus étroit au plus large », « Comparez les nombres et disposez les cartes numériques dans l'ordre », les enfants ordonnent les éléments des jeux de bandes et de cartes numériques. utiliser des relations d'ordre ; « être plus large », « suivre ».

En général, les relations d'équivalence et d'ordre jouent un rôle important dans la formation chez les enfants d'idées correctes sur la classification et l'ordonnancement des ensembles. En outre, il existe de nombreuses autres relations qui ne sont ni des relations d’équivalence ni des relations d’ordre.


6. Qu'est-ce qu'une propriété caractéristique d'un ensemble ?

7. Dans quelles relations les ensembles peuvent-ils exister ? Donnez des explications pour chaque cas et représentez-les à l'aide de cercles d'Euler.

8. Définissez un sous-ensemble. Donnez un exemple d’ensembles dont l’un est un sous-ensemble d’un autre. Écrivez leur relation à l’aide de symboles.

9. Définissez des ensembles égaux. Donnez des exemples de deux ensembles égaux. Écrivez leur relation à l’aide de symboles.

10. Définissez l'intersection de deux ensembles et représentez-la à l'aide de cercles d'Euler pour chaque cas particulier.

11. Définissez l'union de deux ensembles et représentez-la à l'aide de cercles d'Euler pour chaque cas particulier.

12. Définissez la différence entre deux ensembles et représentez-la à l'aide de cercles d'Euler pour chaque cas particulier.

13. Définissez le complément et représentez-le à l’aide des cercles d’Euler.

14. Qu'appelle-t-on partitionner un ensemble en classes ? Nommez les conditions d’une classification correcte.

15. Qu'appelle-t-on correspondance entre deux ensembles ? Nommez les méthodes de spécification des correspondances.

16. Quel type de correspondance est appelé « one-to-one » ?

17. Quels ensembles sont appelés égaux ?

18. Quels ensembles sont appelés équivalents ?

19. Nommer des manières de définir des relations sur un ensemble.

20. Quelle relation sur un ensemble est dite réflexive ?

21. Quelle relation sur un ensemble est dite symétrique ?

22. Quelle relation sur un ensemble est appelée antisymétrique ?

23. Quelle relation sur un ensemble est dite transitive ?

24. Définir une relation d'équivalence.

25. Définir la relation d'ordre.

26. Quel ensemble est appelé ordonné ?

Conférence 3.

article 3. Relations sur les plateaux. Propriétés des relations binaires.

3.1. Relations binaires.

Lorsqu'ils parlent de la relation entre deux personnes, par exemple Sergei et Anna, ils veulent dire qu'ils appartiennent à une certaine famille. Un couple ordonné (Sergei, Anna) diffère des autres couples ordonnés de personnes en ce sens qu'il existe une sorte de relation entre Sergei et Anna (cousin, père, etc.).

En mathématiques, parmi toutes les paires ordonnées du produit direct de deux ensembles UN Et B (UN´ B) Les paires « spéciales » se distinguent également du fait qu'il existe entre leurs composants des relations « de parenté » que d'autres n'ont pas. A titre d'exemple, considérons l'ensemble Sétudiants d'une université et de nombreux K cours qui y sont dispensés. Dans un produit direct S´ K on peut sélectionner un grand sous-ensemble de paires ordonnées ( s, k) ayant la propriété : étudiant s suit un cours k. Le sous-ensemble construit reflète la relation « …écoute… » qui naît naturellement entre des ensembles d’étudiants et de cours.

Pour une description mathématique stricte de toute connexion entre les éléments de deux ensembles, nous introduisons le concept de relation binaire.

Définition 3.1. Binaire (ou double )attitude r entre les séries UN Et B un sous-ensemble arbitraire est appelé UN´ B, c'est à dire.

En particulier, si UNE=B(c'est-à-dire rÍ UN 2), alors ils disent que r est une relation sur l'ensemble UN.

Éléments un Et b sont appelés Composants (ou coordonnées ) relation r.

Commentaire. Admettons que pour désigner les relations entre les éléments d’ensembles, utilisez l’alphabet grec : r, t, j, s, w, etc.


Définition 3.2. Domaine de définition D r=( un| $ b, Quoi un r b) (côté gauche). Plage de valeurs d'une relation binaire r est appelé l'ensemble R. r=( b| $ un, Quoi un r b) (partie droite).

Exemple 3. 1. Soit deux ensembles UN=(1 ; 3 ; 5 ; 7) et B=(2 ; 4 ; 6). Définissons la relation comme suit t=(( X; oui)Î UN´ B | x+oui=9). Cette relation sera constituée des paires suivantes (3; 6), (5; 4) et (7; 2), qui peuvent s'écrire t=((3; 6), (5; 4), (7;2 ) ). Dans cet exemple D t = (3 ; 5 ; 7) et R. t= B={2; 4; 6}.

Exemple 3. 2. La relation d'égalité sur l'ensemble des nombres réels est l'ensemble r=(( X; oui) | X Et oui– des nombres réels et Xéquivaut à oui). Il existe une notation spéciale pour cette relation : « = ». Le domaine de définition coïncide avec le domaine des valeurs et est l'ensemble des nombres réels, D r= R. r.

Exemple 3. 3. Laisser UN– beaucoup de marchandises dans le magasin, et B– ensemble de nombres réels. Alors j=(( X; oui)Î UN´ B | oui- prix X) – relation d'ensembles UN Et B.

Si vous prêtez attention à l'exemple 3.1., vous remarquerez que cette relation a d'abord été spécifiée sous la forme t=(( X; oui)Î UN´ B | x+oui=9), puis écrit sous la forme t=((3; 6), (5;4), (7;2)). Cela suggère que les relations sur les ensembles (ou sur un ensemble) peuvent être spécifiées de différentes manières. Examinons les façons de définir les relations binaires.

Méthodes de définition des relations :

1) en utilisant un prédicat approprié ;

2) un ensemble de paires ordonnées ;

3) sous forme graphique : soit UN Et B– deux ensembles finis et r – une relation binaire entre eux. Les éléments de ces ensembles sont représentés par des points sur le plan. Pour chaque paire ordonnée de relations, r dessine une flèche reliant les points représentant les composantes de la paire. Un tel objet est appelé Graphique dirigé ou digraphe, les points représentant les éléments des ensembles sont généralement appelés sommets du graphique.

4) sous forme de matrice : soit UN={un 1, un 2, …, un) Et B={b 1, b 2, …, bm), r – rapport sur UN´ B. Représentation matricielle r est appelé une matrice M=[mij] taille n´ m, défini par les relations

.

Soit dit en passant, la représentation matricielle est une représentation d’une relation dans un ordinateur.

Exemple 3. 4. Soit deux ensembles UN=(1; 3; 5; 7)et B=(2 ; 4 ; 6). La relation est donnée comme suit t=(( X; oui) | x+oui=9). Définissez cette relation comme un ensemble de couples ordonnés, un digraphe, sous forme de matrice.

Solution. 1) t=((3; 6), (5; 4), (7; 2)) - est une définition d'une relation comme un ensemble de paires ordonnées ;

2) le graphique orienté correspondant est représenté sur la figure.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">. ,

Exemple 3. 5 . A titre d'exemple, nous pouvons considérer la proposition J. von Neumann(1903 – 1957) schéma fonctionnel d’un ordinateur séquentiel composé de nombreux appareils M:

,

Où un- dispositif d'entrée, b– appareil arithmétique (processeur), c- dispositif de contrôle, d- Dispositif de mémoire, e- dispositif de sortie.

Considérons l'échange d'informations entre les appareils mi Et mj, qui sont en relation r si depuis l'appareil mi les informations entrent dans l'appareil mj.

Cette relation binaire peut être définie en listant l'ensemble de ses 14 paires ordonnées d'éléments :

Le digraphe correspondant définissant cette relation binaire est présenté dans la figure :


La représentation matricielle de cette relation binaire est :

. ,

Pour les relations binaires, les opérations de la théorie des ensembles sont définies de la manière habituelle : union, intersection, etc.


Introduisons un concept généralisé de relation.

Définition 3.3. n-lieu (n-ary ) la relation r est un sous-ensemble du produit direct n ensembles, c'est-à-dire un ensemble d'ensembles ordonnés ( tuples )

rÍ UN 1 Un={(un 1, …, un)| un 1О UN 1Ù…Ù unÎ Un}

Il est pratique de définir des relations multi-places en utilisant tables relationnelles . Cette tâche correspond à énumérer l'ensemble n-à la relation r. Les tables relationnelles sont largement utilisées en pratique informatique dans les bases de données relationnelles. Notez que les tables relationnelles sont utilisées dans la pratique quotidienne. Toutes sortes de rapports de production, financiers, scientifiques et autres prennent souvent la forme de tableaux relationnels.

Mot " relationnel" vient du mot latin relation, qui traduit en russe signifie « attitude ». Par conséquent, dans la littérature, la lettre est utilisée pour désigner la relation R.(latin) ou r (grec).

Définition 3.4. Laissez rÍ UN´ B il y a une attitude envers UN´ B. Alors le rapport r-1 est appelé relation inverse à un rapport donné r par UN´ B, qui est défini comme suit :

r-1=(( b, un) | (un, b)Îr).

Définition 3.5. Soit r Н UN´ B il y a une attitude envers UN´ B, un s Н B´ C- attitude envers B´ C. Composition rapports s et r est appelé la relation t Н UN´ C, qui est défini comme suit :

t=s◦r= (( un, c)| $bÎ B, quoi (un, b)Îr Et (b, c)Est).

Exemple 3. 6 . Laissez et C=(, !, ré, une). Et que le rapport r soit UN´ B et le ratio est activé B´ C sont donnés sous la forme :

r=((1, X), (1, oui), (3, X)};

s=(( X,), (X, !), (oui, d), ( oui, à)}.

Trouvez r-1 et s◦r, r◦s.

Solution. 1) Par définition r-1=(( X, 1), (oui, 1), (X, 3)};

2) En utilisant la définition de la composition de deux relations, on obtient

s◦r=((1,), (1, !), (1, d), (1, а), (3,), (3, !)),

puisque à partir de (1, X)Îr et ( X,)Îs suit (1,)Îs◦r;

À partir de 1, X)Îr et ( X, !)Îs suit (1, !)Îs◦r;

À partir de 1, oui)Îr et ( oui, d)Îs suit (1, d)Îs◦r;

de (3, X)Îr et ( X, !)Îs suit (3, !)Îs◦r.

Théorème 3.1. Pour toute relation binaire, les propriétés suivantes sont vérifiées :

2) ;

3) - associativité de la composition.

Preuve. La propriété 1 est évidente.

Démontrons la propriété 2. Pour prouver la deuxième propriété, nous montrerons que les ensembles écrits à gauche et à droite de l'égalité sont constitués des mêmes éléments. Laisser ( un; b) О (s◦r)-1 Û ( b; un) О s◦r Û $ c tel que ( b; c) О r et ( c; un) О s Û $ c tel que ( c; b) О r-1 et ( un; c) О s-1 Ш ( un; b) О r -1◦s -1.

Prouvez vous-même la propriété 3.

3.2. Propriétés des relations binaires.

Considérons les propriétés particulières des relations binaires sur l'ensemble UN.

Propriétés des relations binaires.

1. Rapport sur UN´ UN appelé réfléchissant , Si ( un,un) appartient à r pour tous un depuis UN.

2. La relation r est appelée antireflet , si de ( un,b)Îr suit un¹ b.

3. Rapport r symétriquement , si pour un Et b appartenir à UN, depuis ( un,b)Îr il s'ensuit que ( b,un)Îr.

4. La relation r est appelée antisymétrique , si pour un Et b depuis UN, de l'appartenance ( un,b) Et ( b,un) la relation r implique que un=b.

5. Rapport r transitivement , si pour un, b Et c depuis UN du fait que ( un,b)Îr et ( b,c)Îr, il s'ensuit que ( un,c)Îr.

Exemple 3. 7. Laisser UN=(1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6). Sur cet ensemble la relation rÍ est donnée UN 2, qui a la forme : r=((1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2 ) , (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)). Quelles propriétés possède cette relation ?

Solution. 1) Cette relation est réflexive, puisque pour chaque unÎ UN, (un; un)Îr.

2) La relation n'est pas anti-réflexive, puisque la condition de cette propriété n'est pas satisfaite. Par exemple, (2, 2)Îr, mais cela ne veut pas dire que 2¹2.

3) Considérons tous les cas possibles, montrant que la relation r est symétrique :

(un, b)Îr

(b, un)

(b, un)Oui ?

4) Cette relation n'est pas antisymétrique, puisque (1, 2)Îr et (2,1)Îr, mais il n'en résulte pas que 1=2.

5) Il est possible de montrer que la relation r est transitive en utilisant la méthode d'énumération directe.

(un, b)Îr

(b, c)Îr

(un, c)

(un, c)Oui ?

Comment utiliser la représentation matricielle

déterminer les propriétés d'une relation binaire

1. Réflexivité : Tous les uns sont sur la diagonale principale ; les zéros ou les uns sont indiqués par des astérisques.

.

2. Anti-réflexivité : Tous les zéros sur la diagonale principale.

3. Symétrie : Si .

4. Antisymétrie : tous les éléments en dehors de la diagonale principale sont nuls ; il peut aussi y avoir des zéros sur la diagonale principale.

.

L'opération « * » s'effectue selon la règle suivante : , Où , .

5. Transitivité : Si . L'opération « ◦ » s'effectue selon la règle de multiplication habituelle, et il faut prendre en compte : .

3.3 Relation d'équivalence. Relation d'ordre partiel.

La relation d'équivalence est une formalisation de la situation lorsque l'on parle de similitude (identité) de deux éléments d'un ensemble.

Définition 3.6. Rapport r activé UN Il y a relation d'équivalence, si ça réflexif, symétrique et transitif. Relation d'équivalence un r b souvent noté : un~ b.

Exemple 3. 8 . La relation d'égalité sur l'ensemble des entiers est une relation d'équivalence.

Exemple 3. 9 . La relation « même taille » est une relation d’équivalence sur un ensemble de personnes X.

Exemple 3. 1 0 . Soit ¢ l'ensemble des entiers. Citons deux nombres X Et ouià partir de ¢ comparable en modulem(mО¥) et écrivez , si les restes de ces nombres après les avoir divisés par m, c'est-à-dire la différence ( X-oui) divisé par m.

La relation « comparable en module m entiers" est une relation d'équivalence sur l'ensemble des entiers ¢. En effet:

cette relation est réflexive, car pour " X΢ nous avons X-X=0, et donc divisible par m;

cette relation est symétrique, car si ( X-oui) divisé par m, alors ( oui-X) est également divisible par m;

cette relation est transitive, car si ( X-oui) divisé par m, alors pour un entier t 1 nous avons https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, à partir d'ici , c'est à dire. ( X-z) divisé par m.

Définition 3.7. Rapport r activé UN Il y a relation d'ordre partiel, si ça réflexif, antisymétrique et transitif et est indiqué par le symbole °.

L'ordre partiel est important dans les situations où nous voulons caractériser d'une manière ou d'une autre la préséance. En d’autres termes, décider dans quelles conditions on considère qu’un élément de l’ensemble est supérieur à un autre.

Exemple 3. 11 . Attitude X£ oui il existe une relation d'ordre partiel sur l'ensemble des nombres réels. ,

Exemple 3. 1 2 . Dans l'ensemble des sous-ensembles d'un ensemble universel U attitude UNÍ B il existe une relation d'ordre partiel.

Exemple 3. 1 3 . Le schéma d'organisation de la subordination dans une institution est un rapport d'ordre partiel dans un ensemble de positions.

Le prototype d'une relation d'ordre partiel est le concept intuitif de relation de préférence (préséance). Une relation de préférence identifie une classe de problèmes qui peuvent être combinés comme problème de choix le meilleur objet .

Formulation du problème: qu'il y ait une collection d'objets UN et il est nécessaire de les comparer selon la préférence, c'est-à-dire de définir la relation de préférence sur l'ensemble UN et identifier les meilleurs objets.

Relation de préférence P., qui peut être défini comme " aPb, un, bÎ UNÛ objet un pas moins préférable que l'objet b" a un sens réflexif et antisymétrique (chaque objet n'est pas pire que lui-même, et si l'objet un pas pire b Et b pas pire un, alors ils sont identiques en préférence). Il est naturel de supposer que la relation P. transitivement (bien que dans le cas où, par exemple, les préférences sont discutées par un groupe de personnes ayant des intérêts opposés, cette propriété peut être violée), c'est-à-dire P.– relation d'ordre partiel.

L'un des moyens possibles de résoudre le problème de la comparaison d'objets par préférence est variant , c'est-à-dire classer les objets selon une préférence ou une équivalence décroissante. Grâce au classement, nous identifions les « meilleurs » ou les « pires » objets du point de vue de la relation de préférence.

Domaines d'utilisation problèmes sur le problème du choix du meilleur objet : théorie de la décision, mathématiques appliquées, technologie, économie, sociologie, psychologie.

Définition. Relation binaire R appelé un sous-ensemble de paires (une,b)∈R Produit cartésien A×B, c'est-à-dire R⊆A×B. En même temps, beaucoup UN est appelé domaine de définition de la relation R, l'ensemble B est appelé domaine des valeurs.

Désignation : aRb (c'est-à-dire a et b sont en relation avec R). /

Commentaire: si A = B, alors R est dit être une relation sur l'ensemble A.

Méthodes de spécification des relations binaires

1. Une liste (énumération de paires) pour laquelle cette relation est valable.

2. Matrice. La relation binaire R ∈ A × A, où A = (a 1, a 2,..., a n), correspond à une matrice carrée d'ordre n, dans laquelle l'élément c ij, situé à l'intersection des i- ème ligne et la j-ème colonne, vaut 1 s'il existe une relation R entre a i et a j, ou 0 si elle est absente :

Propriétés des relations

Soit R une relation sur un ensemble A, R ∈ A×A. Alors le rapport R :

    réflexif si Ɐ a ∈ A : a R a (la diagonale principale de la matrice de relations réflexives n'en contient que des un) ;

    anti-réflexif si Ɐ a ∈ A : a R a (la diagonale principale de la matrice des relations réflexives ne contient que des zéros) ;

    symétrique si Ɐ a , b ∈ A : a R b ⇒ b R a (la matrice d'une telle relation est symétrique par rapport à la diagonale principale, c'est-à-dire c ij c ji) ;

    antisymétrique si Ɐ a, b ∈ A : a R b & b R a ⇒ a = b (dans la matrice d'une telle relation il n'y a pas d'unités symétriques par rapport à la diagonale principale) ;

    transitif si Ɐ a, b, c ∈ A : a R b & b R c ⇒ a R c (dans la matrice d'une telle relation la condition doit être satisfaite : s'il y a une unité dans la i-ième rangée, par exemple , dans les j-ème lignes de coordonnées (colonne), c'est-à-dire c ij = 1, alors toutes les unités de la j-ème ligne (que ces unités correspondent à k e coordonnées telles que c jk = 1) doivent correspondre aux unités de la i- ème ligne dans les mêmes k coordonnées, c'est-à-dire c ik = 1 (et peut-être aussi dans d'autres coordonnées).

Tâche 3.1. Déterminer les propriétés de la relation R – « être un diviseur », définie sur l'ensemble des nombres naturels.

Solution.

rapport R = ((a,b) :un diviseur b) :

    réflexif, non anti-réflexif, puisque tout nombre se divise sans reste : a/a = 1 pour tout a∈N ;

    non symétrique, antisymétrique, par exemple, 2 est un diviseur de 4, mais 4 n'est pas un diviseur de 2 ;

    transitif, puisque si b/a ∈ N et c/b ∈ N, alors c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, par exemple, si 6/3 = 2∈N et 18/6 = 3∈N , alors 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Problème 3.2. Déterminer les propriétés de la relation R – « être frère », définie sur un ensemble de personnes.
Solution.

Relation R = ((a,b):a - frère de b) :

    non réflexif, anti-réflexif en raison de l'absence évidente de aRa pour tout a ;

    non symétrique, puisque dans le cas général entre frère a et sœur b il y a aRb, mais pas bRa ;

    pas antisymétrique, puisque si a et b sont frères, alors aRb et bRa, mais a≠b ;

    transitivement, si vous appelez frères des personnes qui ont des parents communs (père et mère).

Problème 3.3. Déterminer les propriétés de la relation R – « être le patron », définie sur un ensemble d'éléments de structure

Solution.

Relation R = ((a,b) : a est le patron de b) :

  • non réfléchi, antiréfléchissant, si cela n'a pas de sens dans une interprétation spécifique ;
  • non symétrique, antisymétrique, puisque pour tout a≠b aRb et bRa ne sont pas satisfaits simultanément ;
  • transitif, puisque si a est le patron de b et b est le patron de c, alors a est le patron de c.

Déterminer les propriétés de la relation R i définie sur l'ensemble M i par la matrice si :

  1. R 1 « ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par 5 » ; M 1 est l'ensemble des nombres naturels.
  2. R 2 « être égal » ; M 2 est l'ensemble des nombres naturels.
  3. R 3 « vivre dans la même ville » ; M 3 beaucoup de monde.
  4. R 4 « être familier » ; M 4 beaucoup de monde.
  5. R 5 ((a,b) :(a-b) - pair ; M 5 ensemble de nombres (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  6. R 6 ((a,b):(a+b) - pair ; M 6 ensemble de nombres (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  7. R 7 ((a,b):(a+1) - diviseur (a+b)) ; M 7 - ensemble (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  8. R 8 ((a,b):a - diviseur (a+b),a≠1); M 8 est l'ensemble des nombres naturels.
  9. R 9 « être une sœur » ; M 9 - beaucoup de monde.
  10. R 10 « être une fille » ; M 10 - beaucoup de monde.

Opérations sur les relations binaires

Soient R 1, R 1 des relations définies sur l'ensemble A.

    syndicat R 1 ∪ R 2 : R 1 ∪ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 ou (a,b) ∈ R 2 ) ;

    intersection R 1 ∩ R 2 : R 1 ∩ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 et (a,b) ∈ R 2 ) ;

    différence R 1 \ R 2 : R 1 \ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 et (a,b) ∉ R 2 ) ;

    attitude universelle U : = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

    ajout R 1 U \ R 1, où U = A × A ;

    relation identique Je : = ((une;une) / une ∈ UNE);

    relation inverse R-1 1 : R-1 1 = ((a,b) : (b,a) ∈ R 1 );

    composition R 1 º R 2 : R 1 º R 2 : = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C : aR 1 c & c R 2 b), où R 1 ⊂ A × C et R 2 ⊂C × B ;

Définition. Degré de relation R sur un ensemble A est sa composition avec lui-même.

Désignation:

Définition. Si R ⊂ A × B, alors R º R -1 est appelé noyau de la relation R .

Théorème 3.1. Soit R ⊂ A × A une relation définie sur l'ensemble A.

  1. R est réflexif si et seulement si (on utilise ci-après le signe ⇔) lorsque I ⊂ R.
  2. R symétrique ⇔ R = R -1.
  3. R transitif ⇔ R º R ⊂ R
  4. R est antisymétrique ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
  5. R est anti-réflexif ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Problème 3.4 . Soit R la relation entre les ensembles (1,2,3) et (1,2,3,4), donnée en listant les couples : R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)). De plus, S est la relation entre les ensembles S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Calculez R -1 , S -1 et S º R. Vérifiez que (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Solution.
R -1 = ((1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3)) ;
S-1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4)) ;
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)) = (S º R ) -1 .

Problème 3.5 . Soit R la relation « …parent… » et S la relation « …frère… » sur l’ensemble de toutes les personnes. Donnez une brève description verbale de la relation :

R -1 , S -1 , R º S , S -1 º R -1 et R º R .

Solution.

R -1 - relation « …enfant… » ;

S -1 - relation « …frère ou sœur… » ;

R º S - relation "...parent..." ;

S -1 º R -1 - relation "...enfant..."

R º R - relation "...grand-mère ou grand-père..."

Problèmes à résoudre de manière autonome

1) Soit R la relation « …père… » et S la relation « …sœur… » sur l’ensemble de tous les individus. Donnez une description verbale de la relation :

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , R º R.

2) Soit R la relation « …frère… » et S la relation « …mère… » sur l’ensemble de tous les individus. Donnez une description verbale de la relation :

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) Soit R la relation « …grand-père… » et S la relation « …fils… » sur l’ensemble de tous les individus. Donnez une description verbale de la relation :

4) Soit R la relation « …fille… » ​​et S la relation « …grand-mère… » sur l’ensemble des personnes. Donnez une description verbale de la relation :

5) Soit R la relation « …nièce… » et S la relation « …père… » sur l’ensemble de tous les individus. Donnez une description verbale de la relation :

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) Soit R la relation « sœur… » et S la relation « mère… » sur l’ensemble des personnes. Donnez une description verbale de la relation :

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

7) Soit R la relation « …mère… » et S la relation « …sœur… » sur l’ensemble de tous les individus. Donnez une description verbale de la relation :

R -1 , S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Soit R la relation « …fils… » et S la relation « …grand-père… » sur l’ensemble de tous les individus. Donnez une description verbale de la relation :

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) Soit R la relation « …sœur… » et S la relation « …père… » sur l’ensemble de tous les individus. Donnez une description verbale de la relation :

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

10) Soit R la relation « …mère… » et S la relation « …frère… » sur l’ensemble des personnes. Donnez une description verbale de la relation :

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

Dans la vie de tous les jours, nous sommes constamment confrontés à la notion de « relation ». Les relations sont l'un des moyens de spécifier les relations entre les éléments d'un ensemble.

Les relations unaires (à un seul lieu) reflètent la présence d'un attribut R dans les éléments de l'ensemble M (par exemple, « être rouge » sur l'ensemble des boules dans une urne).

Les relations binaires (à deux lieux) sont utilisées pour définir des relations mutuelles.

connexions qui caractérisent les paires d'éléments dans un ensemble M.

Par exemple, les relations suivantes peuvent être définies sur un ensemble de personnes : « vivre dans la même ville », « X travaille sous la direction oui», « être un fils », « être plus âgé », etc. sur un ensemble de nombres : "numéro un plus de numéro b", "nombre un est un diviseur d'un nombre b", "Nombres un Et b donne le même reste lorsqu’il est divisé par 3. »

Dans le produit direct, où UN- de nombreux étudiants de n'importe quelle université, B- une variété de sujets étudiés, un large sous-ensemble de paires ordonnées peut être identifié (un B), ayant la propriété : « étudiant unétudie le sujet b" Le sous-ensemble construit reflète la relation « études » qui naît entre des ensembles d’étudiants et d’objets. Le nombre d'exemples peut être continué

La relation entre deux objets fait l'objet d'études en économie, géographie, biologie, physique, linguistique, mathématiques et autres sciences.

Pour une description mathématique stricte de toute connexion entre les éléments de deux ensembles, le concept de relation binaire est introduit.

Relation binaire entre les ensembles A et Best appelé un sous-ensemble R du produit direct. Dans le cas où vous pouvez simplement parler de la relation R. sur UN.

Exemple 1. Écrivez les paires ordonnées appartenant à des relations binaires R1 Et R2, défini sur les ensembles UN Et : , . Sous-ensemble R1 se compose de paires : . Sous-ensemble.

Domaine R il y a un ensemble de tous les éléments de UN de telle sorte que pour certains éléments nous avons . En d’autres termes, le domaine de définition R. est l'ensemble de toutes les premières coordonnées des paires ordonnées de R..

Plusieurs significations relation R. mais il y en a beaucoup pour certains. En d’autres termes, plusieurs significations R. est l'ensemble de toutes les secondes coordonnées des paires ordonnées de R..

Dans l'exemple 1 pour R1 domaine de définition : , ensemble de valeurs - . Pour R2 domaine de définition : , ensemble de valeurs : .

Dans de nombreux cas, il est pratique d’utiliser une représentation graphique d’une relation binaire. Cela se fait de deux manières : en utilisant des points sur le plan et en utilisant des flèches.

Dans le premier cas, deux lignes mutuellement perpendiculaires sont choisies comme axes horizontal et vertical. Les éléments de l'ensemble sont tracés sur l'axe horizontal UN et tracez une ligne verticale passant par chaque point. Les éléments de l'ensemble sont tracés sur l'axe vertical B, tracez une ligne horizontale passant par chaque point. Les points d'intersection des lignes horizontales et verticales représentent les éléments d'un produit direct.

Exemple 5. Laisser , .

Laisser R1 défini en listant les paires ordonnées : . Relation binaire R2 sur un ensemble est spécifié à l'aide de la règle : une paire est ordonnée si un divisé par b. Alors R2 se compose de paires : .

Relations binaires, de l'exemple 2, R1 Et R2 sont représentés graphiquement sur la Fig. 6 et Fig.7.

Riz. 6 Fig. 7

Pour représenter une relation binaire à l'aide de flèches, les éléments de l'ensemble sont représentés à gauche sous forme de points UN, à droite - ensembles B. Pour chaque paire (un B) contenu dans la relation binaire R., la flèche est tirée de unÀ b, . Représentation graphique d'une relation binaire R1 donné dans l'exemple 6 est représenté sur la figure 8.

Figure 8

Les relations binaires sur des ensembles finis peuvent être spécifiées par des matrices. Supposons qu'on nous donne une relation binaire R. entre les séries UN Et B. , .

Les lignes de la matrice sont numérotées par les éléments de l'ensemble UN, et les colonnes sont des éléments de l'ensemble B. Cellule matricielle à l'intersection je- oh lignes et j La ème colonne est généralement désignée par C ij et elle est remplie comme suit :

La matrice résultante aura une taille .

Exemple 6. Laissez un ensemble être donné. Sur un ensemble, définir une relation avec une liste et une matrice R.- « être strictement moins ».

Attitude R. comment un ensemble contient toutes les paires d'éléments ( un, b) depuis M tel que .

La matrice de relations construite selon les règles ci-dessus a la forme suivante :

Propriétés des relations binaires :

1. Relation binaire R. sur un plateau s'appelle réfléchissant, si pour un élément un depuis M paire (un, un) fait parti R., c'est à dire. vaut pour n'importe qui un depuis M:

Les relations « vivent dans la même ville », « étudient dans la même université », « ne sont plus » sont réflexifs.

2. Une relation binaire s'appelle antireflet, s'il n'a pas la propriété de réflexivité pour tout un:

Par exemple, « être plus grand », « être plus jeune » est relations anti-réflexives.

3. Relation binaire R. appelé symétrique, si pour des éléments un Et b depuis M de quel couple (un B) fait parti R.. . il s'ensuit que le couple (b, une) fait parti R., c'est à dire.

Symétrique parallélisme des droites, car si donc // . Relation symétrique« être égal » sur n'importe quel ensemble ou « être premier sur N ».

La relation R est symétrique si et seulement si R=R -1

4. Si pour les éléments non correspondants la relation est vraie mais fausse, alors la relation antisymétrique. Vous pouvez le dire différemment :

Les relations sont antisymétriques« être plus grand », « être un diviseur par N », « être plus jeune ».

5. Relation binaire R. appelé transitif, si pour trois éléments de cette paire (un B) Et (avant JC) appartenir R., il s'ensuit que la paire (a, c) appartient R.:

Les relations sont transitives: « être plus grand », « être parallèle », « être égal », etc.

6. Relation binaire R. antitransitif, s'il n'a pas la propriété de transitivité.

Par exemple, « être perpendiculaire » à un ensemble de droites d'un plan ( , , mais ce n'est pas vrai que ).

Parce que Puisqu'une relation binaire peut être spécifiée non seulement par une liste directe de paires, mais également par une matrice, il est conseillé de découvrir quelles caractéristiques caractérisent la matrice de relation R., s'il est : 1) réflexif, 2) anti-réflexif, 3) symétrique, 4) antisymétrique, 5) transitif.

Laisser R. défini sur , .R est soit exécuté dans les deux sens, soit pas exécuté du tout. Ainsi, si la matrice en contient un à l'intersection je- oh lignes et j- la ème colonne, c'est-à-dire C ij=1, alors il doit être à l'intersection j- oh lignes et je- la ème colonne, c'est-à-dire C ji=1, et vice versa, si C ji=1, alors C ij=1. Ainsi, la matrice de relation symétrique est symétrique par rapport à la diagonale principale.

4. R. antisymétrique si et suit : . Cela signifie que dans la matrice correspondante pour non je, j Non exécuté C ij =C ji=1. Ainsi, dans la matrice du rapport antisymétrique, il n'y a pas d'unités symétriques par rapport à la diagonale principale.

5. Une relation binaire R sur un ensemble non vide A est appelée transitif Si

La condition ci-dessus doit être satisfaite pour tous les éléments de la matrice. Et inversement, si dans la matrice R. il y a au moins un élément C ij=1, pour lequel cette condition n’est pas satisfaite, alors R. pas transitif.

Le langage T-SQL de SQL Server est basé sur le langage SQL standard, lui-même basé sur le modèle relationnel, lui-même basé sur des fondements mathématiques tels que la théorie des ensembles et la logique des prédicats. Cet article examine un sujet fondamental de la théorie des ensembles : les propriétés des relations sur les ensembles. Les lecteurs peuvent utiliser les codes T-SQL proposés pour vérifier la présence de certaines propriétés de certaines relations. Cependant, vous pouvez également essayer d'écrire vos propres versions de scripts (pour déterminer si une relation possède une propriété particulière) avant d'appliquer les solutions décrites dans cet article.

Ensembles et relations

Georg Cantor, le créateur de la théorie des ensembles, définit un ensemble comme « l'union en un certain tout M d'une collection de certains objets m clairement distinguables de notre contemplation ou pensée (qui seront appelés éléments de l'ensemble M) ». Les éléments d’un ensemble peuvent être des objets de nature arbitraire : des personnes, des nombres et même les ensembles eux-mêmes. Les symboles ∈ et ∉ désignent respectivement des opérateurs reflétant l'appartenance (occurrence, appartenance) et la non-appartenance d'un élément à un ensemble. Ainsi, la notation x ∈ V signifie que x est un élément de l'ensemble V, et la notation x ∉ V signifie que x n'est pas un élément de V.

Une relation binaire sur un ensemble est un ensemble de paires ordonnées d'éléments de l'ensemble d'origine. Ainsi, pour un ensemble d'éléments V = (a, b, c), une relation binaire R sur un ensemble donné V sera un sous-ensemble arbitraire de l'ensemble de toutes les paires ordonnées du produit cartésien V × V = ((a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c) ). La relation R = ((a, b), (b, c), (a, c)) est une relation binaire valide sur V. On peut dire que a est lié à b par R. Supposons que R = ((a , b ), (b, c), (c, d)). Un tel R n'est pas une relation admissible sur V, puisque la paire (c, d) n'appartient pas au produit cartésien V × V. Notez que l'ordre dans lequel les éléments inclus dans l'ensemble sont spécifiés n'a pas d'importance. L'ensemble V peut être spécifié comme (a, b, c) ou comme (b, a, c) et ainsi de suite. Cependant, l'ordre en paires ordonnées, telles que (a, b) d'une relation binaire, est important ; donc (une, b) ≠ (b, une).

Comme exemple plus réaliste de relation binaire, considérons l'ensemble F des membres de la famille : (Itsik, Mickey, Inna, Mila, Gabi). Mickey est le frère jumeau d'Itzik, Inna est sa sœur aînée, Mila est sa mère et Gabi est son père. Un exemple de relation R sur un ensemble F serait : « est un frère ». Les éléments de cette relation sont ((Itsik, Mickey), (Mickey, Itzik), (Itsik, Inna), (Mickey, Inna)). On remarque que le couple ordonné (Itsik, Inna) apparaît dans R, mais pas le couple (Inna, Itsik). Bien qu'Itzik soit le frère d'Inna, elle n'est pas son frère.

Propriétés des relations sur les ensembles

Maintenant que nous avons rafraîchi notre compréhension des ensembles et des relations, passons au sujet de l'article : les propriétés des relations sur les ensembles. Par exemple, des données, utilisez le code du listing 1 pour créer les tables V et R. V représentera un ensemble et R représentera une relation binaire sur celui-ci. Utilisez le code du listing 2 pour créer une procédure ClearTables qui effacera ces deux tables d'enregistrements avant de les remplir avec de nouveaux exemples de données. Enfin, utilisez le code des listings 3, 4 et 5 pour remplir les tableaux V et R avec divers ensembles de données à des fins de test (nous les appellerons exemples de données 1, 2 et 3, respectivement).

Réflexivité. Une relation R sur un ensemble V est réflexive si pour tout élément v de l'ensemble V, v ∈ V, il s'ensuit que (v, v) ∈ R, c'est-à-dire que le couple (v, v) appartient toujours à R. Et la relation R sur V n'est pas réflexive , s'il existe un élément v ∈ V tel que le couple (v, v) ∉ R. Reprenons l'exemple de l'ensemble F - membres de ma famille.

La relation « avoir le même âge que » sur F est évidemment réflexive. Les éléments de la relation seront les couples suivants : ((Itsik, Itsik), (Itsik, Mickey), (Mickey, Mickey), (Mickey, Itzik), (Inna, Inna), (Mila, Mila), (Gabi , Gaby)).

Commençons par écrire une requête T-SQL sur les tables V et R (représentant un ensemble et une relation sur cet ensemble), en vérifiant si R est réflexif :

SÉLECTIONNER
CAS
QUAND EXISTE
(SELECT v, v FROM dbo.V
SAUF
SELECT r1, r2 FROM dbo.R)
Alors non"
AUTRE "Oui"
FIN COMME réflexif

La première sous-requête de l'opération EXCEPT renvoie l'ensemble de toutes les paires ordonnées (v, v) pour toutes les lignes du tableau V. La deuxième sous-requête renvoie l'ensemble des paires ordonnées (r1, r2) - toutes les lignes du tableau R. L'opération EXCEPT renverra ainsi toutes les paires ordonnées apparaissant dans le premier et manquantes dans le deuxième ensemble. Le prédicat EXISTS est nécessaire pour vérifier l'existence d'au moins un enregistrement dans le jeu de résultats. S'il existe au moins un de ces enregistrements, alors l'expression CASE renverra « Non » (pas de réflexivité), mais aussi « Oui » sinon (il y a réflexivité).

Jetez un œil aux trois exemples d'ensembles de données dans les listings 3, 4 et 5 et essayez de déterminer lesquels auraient une relation réflexive sans exécuter de requête. Les réponses sont données plus loin dans le texte de l'article.

Irréfléchi. Une relation R sur un ensemble V est dite irréflexive (à ne pas confondre avec la non-réflexivité) si pour chaque élément v ∈ V il s'ensuit que (v, v) ∉ R. Une relation n'est pas irréflexive s'il existe un élément v ∈ V pour lequel (v, v) ∈ R. Un exemple de relation irréflexive sur l'ensemble F des membres de ma famille est la relation « être parent », puisque personne ne peut être son propre parent. Les membres de cette relation sur F seront les couples suivants : ((Mila, Itzik), (Mila, Mickey), (Mila, Inna), (Gabi, Itzik), (Gabi, Mickey), (Gabi, Inna)) .

La requête suivante vérifie si la relation R sur V est irréflexive :

SÉLECTIONNER
CAS
QUAND EXISTE
(SELECT * FROM dbo.R
OÙ r1 = r2)
Alors non"
AUTRE "Oui"
FIN COMME irréfléchi

Les clés étrangères dans la définition du tableau R ont été introduites pour garantir que seuls les éléments de V peuvent constituer les attributs r1 et r2 d'un enregistrement R. Ainsi, il ne reste plus qu'à vérifier s'il existe des enregistrements dans R avec les attributs correspondants r1 et r2. Si une telle entrée est trouvée, la relation R n’est pas irréflexive ; s’il n’y a pas d’entrée, elle est irréflexive.

Symétrie. Une relation R sur un ensemble V est dite symétrique si, avec (r1, r2) ∈ R, (r2, r1) ∈ R est toujours satisfait. La relation n'est pas symétrique s'il existe une paire (r1, r2) ∈ R pour laquelle (r2, r1) ∉ R. Sur l'ensemble F des membres de la famille Ben-Gan, la relation « est frère de » serait un exemple de relation symétrique. Les couples de cette relation seront les ensembles suivants : ((Itsik, Mickey), (Itsik, Inna), (Mickey, Itzik), (Mickey, Inna), (Inna, Itzik), (Inna, Mickey)).

La requête suivante vérifie si la relation R à V est symétrique :

SÉLECTIONNER
CAS
QUAND EXISTE
(SELECT r1, r2 FROM dbo.R
SAUF
SELECT r2, r1 FROM dbo.R)
Alors non"
AUTRE "Oui"
FIN COMME symétrique

Le code de requête utilise l'opération EXCEPT. La première sous-requête de l'opération EXCEPT renvoie un ensemble de paires ordonnées (r1, r2) - enregistrements de la table R, et la seconde - un ensemble de paires ordonnées (r2, r1) pour chaque enregistrement de R. Si la relation R sur le l'ensemble V n'est pas symétrique, alors l'opération EXCEPT renverra un ensemble de résultats non vide et le prédicat EXISTS, respectivement, la valeur TRUE et, enfin, l'expression CASE renverra « Non ».

Si la relation est symétrique, alors l'expression CASE donnera « Oui ».

Asymétrie. Une relation R sur un ensemble V est asymétrique (cette propriété ne doit pas être confondue avec l'asymétrie) si pour tout ensemble (r1, r2) ∈ R, dans lequel r1 ≠ r2, il est vrai que (r2, r1) ∉ R. Par exemple, une relation asymétrique sur un ensemble F. Les membres de la famille de l'auteur auront la relation « être parent » décrite ci-dessus. À titre d'exercice, essayez de trouver un exemple de relation sur un ensemble non vide qui soit à la fois symétrique et asymétrique. Consultez les exemples de données dans cet article pour une solution.

SÉLECTIONNER
CAS
QUAND EXISTE
(SELECT r1, r2 FROM dbo.R OÙ r1 r2
COUPER
SELECT r2, r1 FROM dbo.R OÙ r1 r2)
Alors non"
AUTRE "Oui"
FIN AS asymétrique

Le code utilise l'opération INTERSECT. La première sous-requête de cette opération renvoie la paire ordonnée (r1, r2) pour chaque enregistrement de la table R dans laquelle r1 r2.

La deuxième sous-requête de l'opération INTERSECT renvoie la paire ordonnée (r2, r1) pour chaque enregistrement de la table R dans laquelle r1 r2. Si l'ensemble de résultats (le résultat de l'intersection de ces ensembles) comprend au moins un enregistrement, cela signifiera que R n'est pas asymétrique ; sinon R est asymétrique.

Transitivité. Une relation R sur un ensemble V est transitive si les inclusions (a, b) ∈ R et (b, c) ∈ R impliquent toujours que (a, c) ∈ R. Un exemple de relation transitive sur un ensemble de membres d'une famille F serait la relation « est un frère ou une sœur » dont il a été question ci-dessus.

Le code ci-dessous teste la transitivité de la relation R :

SÉLECTIONNER
CAS
QUAND EXISTE
(SÉLECTIONNER *
DE dbo.R COMME RA
INNER JOIN dbo.R COMME RB
SUR RA.r2 = RB.r1
JOINTURE EXTERNE GAUCHE dbo.R AS RC
ON RA.r1 = RC.r1 ET RB.r2 = RC.r2
OÙ RC.r1 EST NULL)
Alors non"
AUTRE "Oui"
FIN COMME transitif

Le code utilise d'abord une jointure interne entre deux instances de R pour sélectionner uniquement les lignes où r2 dans la première instance correspond à r1 dans la seconde instance. Deuxièmement, le code utilise une jointure externe gauche avec la troisième instance de la table R, selon laquelle r1 de la première instance de R est identique à r1 de la troisième instance, et r2 de la deuxième instance est identique à r2 de la table R. troisième. S'il y a au moins une ligne de résultat dans la sous-requête interne (condition de sélection pour la troisième instance : r1 est Null), cela signifie que la relation n'est pas transitive ; sinon la relation R est transitive.

Relation d'équivalence. Une relation d'équivalence est une relation qui possède simultanément les propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité. Vous pouvez utiliser les requêtes suggérées ci-dessus pour vérifier séparément la présence de chaque propriété : si une relation possède les trois, alors nous devrions conclure qu'une relation d'équivalence est vraie. De plus, vous pouvez utiliser le code du listing 6 pour tester toutes les propriétés d'une relation R sur un ensemble V évoquées plus tôt dans l'article, y compris tester la propriété d'être une relation d'équivalence. Si vous exécutez le listing 6 sur les exemples de données 1, 2 et 3 (dérivés respectivement des listings 3, 4 et 5), vous obtiendrez les résultats présentés dans les tableaux 1, 2 et 3, respectivement.

Revenir aux bases T-SQL

Ainsi, nous avons examiné un sujet fondamental de la théorie mathématique des ensembles : les propriétés des relations sur les ensembles. J'ai proposé des codes de test T-SQL pour tester les propriétés d'une relation représentée par le tableau R (paires ordonnées d'éléments) sur l'ensemble d'éléments représenté par le tableau V.

L'utilisation de constructions de base T-SQL nous a aidé à configurer et appliquer correctement les outils de ce langage pour une meilleure compréhension des propriétés des relations sur les ensembles.

Itzik Ben-Gan ( [email protégé]) - enseignant et consultant, auteur de livres sur T-SQL, porte le titre de SQL Server MVP