10.4. हार्मोनिक दोलनों के दौरान ऊर्जा के संरक्षण का नियम

10.4.1. ऊर्जा का संरक्षण यांत्रिक हार्मोनिक कंपन

गणितीय लोलक के दोलनों के दौरान ऊर्जा का संरक्षण

हार्मोनिक कंपन के साथ, सिस्टम की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित होती है (स्थिर रहती है)।

गणितीय लोलक की कुल यांत्रिक ऊर्जा

ई = डब्ल्यू के + डब्ल्यू पी ,

जहाँ W k - गतिज ऊर्जा, W k = = mv 2 /2; डब्ल्यू पी - संभावित ऊर्जा, डब्ल्यू पी = एमजीएच; मी कार्गो का वजन है; जी - मुक्त गिरावट त्वरण मापांक; वी - लोड गति मापांक; h संतुलन स्थिति से ऊपर भार की ऊंचाई है (चित्र 10.15)।

हार्मोनिक दोलनों के साथ, गणितीय पेंडुलम क्रमिक अवस्थाओं की एक श्रृंखला से गुजरता है, इसलिए गणितीय पेंडुलम की ऊर्जा को तीन स्थितियों में विचार करना उचित है (चित्र 10.15 देखें):

चावल। 10.15

में 1 संतुलन स्थिति

संभावित ऊर्जा शून्य है; कुल ऊर्जा अधिकतम गतिज ऊर्जा के साथ मेल खाती है:

ई = डब्ल्यू के अधिकतम;

2) में चरम स्थिति(2) शरीर को प्रारंभिक स्तर से अधिकतम ऊँचाई h अधिकतम तक ऊपर उठाया जाता है, इसलिए स्थितिज ऊर्जा भी अधिकतम होती है:

डब्ल्यू पी मैक्स = एम जी एच मैक्स;

गतिज ऊर्जा शून्य है; कुल ऊर्जा अधिकतम संभावित ऊर्जा के साथ मेल खाती है:

ई = डब्ल्यू पी मैक्स;

3) में मध्यवर्ती स्थिति(3) शरीर की तात्कालिक गति v है और यह प्रारंभिक स्तर से कुछ ऊँचाई h से ऊपर उठा हुआ है, इसलिए कुल ऊर्जा का योग है

ई = एम वी 2 2 + एम जी एच ,

जहाँ mv 2 /2 - गतिज ऊर्जा; एमजीएच - संभावित ऊर्जा; मी कार्गो का वजन है; जी - मुक्त गिरावट त्वरण मापांक; वी - लोड गति मापांक; h संतुलन की स्थिति से ऊपर भार की ऊंचाई है।

गणितीय पेंडुलम के हार्मोनिक दोलनों के साथ, कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित होती है:

ई = स्थिरांक।

गणितीय पेंडुलम की कुल ऊर्जा के मूल्यों को इसके तीन पदों में तालिका में दिखाया गया है। 10.1.

№	स्थान	डब्ल्यूपी	डब्ल्यू को	ई = डब्ल्यू पी + डब्ल्यू के
1	संतुलन	0	एम वी अधिकतम 2/2	एम वी अधिकतम 2/2
2	चरम	एमजीएच मैक्स	0	एमजीएच मैक्स
3	इंटरमीडिएट (तत्काल)	एमजीएच	एमवी 2 / 2	एमवी 2/2 + मिलीग्राम

तालिका के अंतिम कॉलम में प्रस्तुत कुल यांत्रिक ऊर्जा के मान। 10.1, लोलक की किसी भी स्थिति के लिए समान मान हैं, जो एक गणितीय व्यंजक है:

एम वी अधिकतम 2 2 = एम जी एच अधिकतम;

एम वी अधिकतम 2 2 = एम वी 2 2 + एम जी एच;

एम जी एच अधिकतम = एम वी 2 2 + एम जी एच,

जहां एम कार्गो का वजन है; जी - मुक्त गिरावट त्वरण मापांक; v स्थिति 3 में लोड की तात्कालिक गति का मॉड्यूल है; h स्थिति 3 में संतुलन स्थिति से ऊपर भार की ऊंचाई है; v अधिकतम - स्थिति 1 में अधिकतम लोड गति मॉड्यूल; एच अधिकतम - स्थिति 2 में संतुलन स्थिति से ऊपर भार की अधिकतम उठाने की ऊंचाई।

धागा विक्षेपण कोणऊर्ध्वाधर से गणितीय लोलक (चित्र 10.15) व्यंजक द्वारा निर्धारित होता है

cos α = एल - एच एल = 1 - एच एल,

जहाँ l धागे की लंबाई है; h संतुलन की स्थिति से ऊपर भार की ऊंचाई है।

अधिकतम कोणविचलन α अधिकतम संतुलन स्थिति एच अधिकतम से ऊपर भार की अधिकतम उठाने की ऊंचाई से निर्धारित होता है:

cos α मैक्स = 1 - एच मैक्स एल।

उदाहरण 11. एक गणितीय लोलक के छोटे दोलनों का आवर्तकाल 0.9 s है। यदि संतुलन की स्थिति से गुजरते हुए, गेंद 1.5 मीटर/सेकेंड के बराबर गति से चलती है, तो ऊर्ध्वाधर से अधिकतम कोण पर धागा विचलित होगा? सिस्टम में कोई घर्षण नहीं है।

समाधान । यह आंकड़ा गणितीय पेंडुलम की दो स्थितियों को दर्शाता है:

• संतुलन स्थिति 1 (गेंद v अधिकतम की अधिकतम गति की विशेषता);
• चरम स्थिति 2 (संतुलन की स्थिति के ऊपर गेंद की अधिकतम उठाने की ऊँचाई की विशेषता)।

वांछित कोण समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है

cos α अधिकतम = एल - एच अधिकतम एल = 1 - एच अधिकतम एल,

जहाँ l लोलक के धागे की लंबाई है।

संतुलन की स्थिति के ऊपर पेंडुलम गेंद की अधिकतम उठाने की ऊंचाई कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के कानून से पाई जा सकती है।

संतुलन की स्थिति और चरम स्थिति में पेंडुलम की कुल ऊर्जा निम्नलिखित सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है:

• संतुलन की स्थिति में

ई 1 \u003d एम वी अधिकतम 2 2,

जहाँ m लोलक की गेंद का द्रव्यमान है; v अधिकतम - संतुलन स्थिति में गेंद गति मापांक (अधिकतम गति), v अधिकतम = 1.5 m/s;

• चरम स्थिति में

ई 2 \u003d मिलीग्राम अधिकतम,

जहां जी मुक्त गिरावट त्वरण मापांक है; एच अधिकतम - संतुलन की स्थिति के ऊपर गेंद की अधिकतम ऊंचाई।

कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम:

एम वी अधिकतम 2 2 = एम जी एच अधिकतम।

इससे हम संतुलन स्थिति से ऊपर गेंद की अधिकतम ऊंचाई व्यक्त करते हैं:

एच अधिकतम = वी अधिकतम 2 2 जी।

हम गणितीय पेंडुलम की दोलन अवधि के सूत्र से धागे की लंबाई निर्धारित करते हैं

टी = 2 एल जी ,

वे। धागे की लंबाई

एल = टी 2 जी 4 π 2।

वांछित कोण की कोज्या के लिए व्यंजक में h max और l को प्रतिस्थापित करें:

cos α अधिकतम = 1 - 2 π 2 v अधिकतम 2 g 2 T 2

और गणना करें, अनुमानित समानता 2 = 10 को ध्यान में रखते हुए:

cos α मैक्स = 1 - 2 ⋅ 10 (1.5) 2 10 2 (0.9) 2 = 0.5 ।

यह इस प्रकार है कि अधिकतम विक्षेपण कोण 60° है।

कड़ाई से बोलते हुए, 60 ° के कोण पर, गेंद के दोलन छोटे नहीं होते हैं, और गणितीय पेंडुलम की दोलन अवधि के लिए मानक सूत्र का उपयोग करना अवैध है।

स्प्रिंग लोलक के दोलनों के दौरान ऊर्जा का संरक्षण

एक स्प्रिंग लोलक की कुल यांत्रिक ऊर्जागतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है:

ई = डब्ल्यू के + डब्ल्यू पी ,

जहाँ W k - गतिज ऊर्जा, W k = mv 2 /2; डब्ल्यू पी - संभावित ऊर्जा, डब्ल्यू पी = के (Δx ) 2 /2; मी कार्गो का वजन है; वी - लोड गति मापांक; के - वसंत की कठोरता (लोच) का गुणांक; x - वसंत की विकृति (तनाव या संपीड़न) (चित्र। 10.16)।

इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ यूनिट्स में, मैकेनिकल ऑसिलेटरी सिस्टम की ऊर्जा को जूल (1 J) में मापा जाता है।

हार्मोनिक दोलनों के साथ, एक स्प्रिंग पेंडुलम क्रमिक अवस्थाओं की एक श्रृंखला से गुजरता है, इसलिए तीन स्थितियों में एक स्प्रिंग पेंडुलम की ऊर्जा पर विचार करना उचित है (चित्र 10.16 देखें):

में 1 संतुलन स्थिति(1) शरीर की गति का अधिकतम मान v अधिकतम होता है, इसलिए गतिज ऊर्जा भी अधिकतम होती है:

डब्ल्यू के अधिकतम = एम वी अधिकतम 2 2;

वसंत की संभावित ऊर्जा शून्य है, क्योंकि वसंत विकृत नहीं है; कुल ऊर्जा अधिकतम गतिज ऊर्जा के साथ मेल खाती है:

ई = डब्ल्यू के अधिकतम;

2) में चरम स्थिति(2) वसंत में अधिकतम विरूपण (Δx अधिकतम) होता है, इसलिए संभावित ऊर्जा का भी अधिकतम मूल्य होता है:

डब्ल्यू पी अधिकतम \u003d के (Δ x अधिकतम) 2 2;

शरीर की गतिज ऊर्जा शून्य है; कुल ऊर्जा अधिकतम संभावित ऊर्जा के साथ मेल खाती है:

ई = डब्ल्यू पी मैक्स;

3) में मध्यवर्ती स्थिति(3) शरीर की तात्कालिक गति v है, इस समय वसंत में कुछ विकृति है (Δx), इसलिए कुल ऊर्जा का योग है

ई \u003d एम वी 2 2 + के (Δ एक्स) 2 2,

जहाँ mv 2 /2 - गतिज ऊर्जा; के (Δx ) 2 /2 - संभावित ऊर्जा; मी कार्गो का वजन है; वी - लोड गति मापांक; के - वसंत की कठोरता (लोच) का गुणांक; x - वसंत का विरूपण (तनाव या संपीड़न)।

जब स्प्रिंग लोलक का भार संतुलन की स्थिति से विस्थापित हो जाता है, तो यह किसके द्वारा प्रभावित होता है? बहाल बल, जिसका पेंडुलम गति दिशा पर प्रक्षेपण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

एफ एक्स = -केएक्स,

जहां x संतुलन की स्थिति से वसंत लोलक भार का विस्थापन है, x = x , ∆x वसंत का विरूपण है; के - पेंडुलम वसंत की कठोरता (लोच) का गुणांक।

एक स्प्रिंग लोलक के हार्मोनिक दोलनों के साथ, कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है:

ई = स्थिरांक।

स्प्रिंग लोलक की तीन स्थितियों में कुल ऊर्जा का मान तालिका में दिखाया गया है। 10.2

№	स्थान	डब्ल्यूपी	डब्ल्यू को	ई = डब्ल्यू पी + डब्ल्यू के
1	संतुलन	0	एम वी अधिकतम 2/2	एम वी अधिकतम 2/2
2	चरम	कश्मीर (Δxmax) 2 / 2	0	कश्मीर (Δxmax) 2 / 2
3	इंटरमीडिएट (तत्काल)	कश्मीर (Δx) 2 / 2	एमवी 2 / 2	एमवी 2 /2 + के (Δx ) 2 /2

तालिका के अंतिम कॉलम में प्रस्तुत कुल यांत्रिक ऊर्जा के मूल्यों में पेंडुलम की किसी भी स्थिति के लिए समान मूल्य होते हैं, जो एक गणितीय अभिव्यक्ति है कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम:

एम वी अधिकतम 2 2 = के (Δ x अधिकतम) 2 2;

एम वी अधिकतम 2 2 = एम वी 2 2 + के (Δ एक्स) 2 2;

के (Δ एक्स अधिकतम) 2 2 \u003d एम वी 2 2 + के (Δ एक्स) 2 2,

जहां एम कार्गो का वजन है; v स्थिति 3 में लोड की तात्कालिक गति का मॉड्यूल है; x - स्थिति 3 में वसंत का विरूपण (तनाव या संपीड़न); v अधिकतम - स्थिति 1 में अधिकतम लोड गति मॉड्यूल; Δx अधिकतम - स्थिति 2 में वसंत का अधिकतम विरूपण (विस्तार या संपीड़न)।

उदाहरण 12. एक स्प्रिंग लोलक हार्मोनिक दोलन करता है। उसकी गतिज ऊर्जा उस समय कितनी बार स्थितिज ऊर्जा से अधिक है जब संतुलन की स्थिति से शरीर का विस्थापन आयाम का एक चौथाई है?

समाधान । आइए स्प्रिंग लोलक की दो स्थितियों की तुलना करें:

• चरम स्थिति 1 (संतुलन स्थिति x अधिकतम से पेंडुलम भार के अधिकतम विस्थापन द्वारा विशेषता);
• मध्यवर्ती स्थिति 2 (संतुलन स्थिति x और गति v → से विस्थापन के मध्यवर्ती मूल्यों की विशेषता)।

चरम और मध्यवर्ती स्थितियों में पेंडुलम की कुल ऊर्जा निम्नलिखित सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है:

• चरम स्थिति में

ई 1 \u003d के (Δ x अधिकतम) 2 2,

जहाँ k वसंत की कठोरता (लोच) का गुणांक है; x अधिकतम - दोलन आयाम (संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापन), x अधिकतम = ए;

• एक मध्यवर्ती स्थिति में

ई 2 \u003d के (Δ एक्स) 2 2 + एम वी 2 2,

जहाँ m लोलक भार का द्रव्यमान है; x - संतुलन की स्थिति से भार का विस्थापन, x = A /4।

एक स्प्रिंग लोलक के लिए कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम के निम्नलिखित रूप हैं:

के (Δ एक्स अधिकतम) 2 2 = के (Δ एक्स) 2 2 + एम वी 2 2।

हम लिखित समानता के दोनों भागों को k (∆x) 2 /2 से विभाजित करते हैं:

(Δ x अधिकतम Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p,

जहां W k एक मध्यवर्ती स्थिति में लोलक की गतिज ऊर्जा है, W k = mv 2 /2; डब्ल्यू पी - एक मध्यवर्ती स्थिति में पेंडुलम की संभावित ऊर्जा, डब्ल्यू पी = के (∆x ) 2/2।

आइए हम समीकरण से ऊर्जाओं के वांछित अनुपात को व्यक्त करें:

डब्ल्यू के डब्ल्यू पी = (Δ एक्स अधिकतम Δ एक्स) 2 - 1

और इसके मूल्य की गणना करें:

डब्ल्यू के डब्ल्यू पी = (ए ए / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15।

संकेतित समय पर, लोलक की गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं का अनुपात 15 है।

एक यांत्रिक प्रणाली, जिसमें एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक अविभाज्य भारहीन धागे पर लटका हुआ एक भौतिक बिंदु (शरीर) होता है (इसका द्रव्यमान शरीर के वजन की तुलना में नगण्य होता है) को गणितीय पेंडुलम कहा जाता है (दूसरा नाम एक थरथरानवाला है) . इस उपकरण के अन्य प्रकार भी हैं। धागे के स्थान पर भारहीन छड़ का प्रयोग किया जा सकता है। एक गणितीय पेंडुलम कई दिलचस्प घटनाओं के सार को स्पष्ट रूप से प्रकट कर सकता है। दोलन के एक छोटे आयाम के साथ, इसकी गति को हार्मोनिक कहा जाता है।

यांत्रिक प्रणाली के बारे में सामान्य जानकारी

इस पेंडुलम के दोलन की अवधि का सूत्र डच वैज्ञानिक ह्यूजेंस (1629-1695) द्वारा प्राप्त किया गया था। आई. न्यूटन के इस समकालीन को इस यांत्रिक प्रणाली का बहुत शौक था। 1656 में उन्होंने पहली पेंडुलम घड़ी बनाई। उन्होंने उस समय के लिए असाधारण सटीकता के साथ समय को मापा। यह आविष्कार भौतिक प्रयोगों और व्यावहारिक गतिविधियों के विकास में सबसे महत्वपूर्ण चरण बन गया।

यदि लोलक संतुलन की स्थिति में है (ऊर्ध्वाधर लटका हुआ है), तो यह धागे के तनाव के बल से संतुलित होगा। एक अविभाज्य धागे पर एक फ्लैट पेंडुलम एक प्रणाली है जिसमें एक कनेक्शन के साथ दो डिग्री स्वतंत्रता होती है। जब आप केवल एक घटक को बदलते हैं, तो उसके सभी भागों की विशेषताएं बदल जाती हैं। इसलिए, यदि धागे को एक छड़ से बदल दिया जाता है, तो इस यांत्रिक प्रणाली में केवल 1 डिग्री की स्वतंत्रता होगी। गणितीय पेंडुलम के गुण क्या हैं? इस सरलतम प्रणाली में, एक आवधिक गड़बड़ी के प्रभाव में अराजकता उत्पन्न होती है। मामले में जब निलंबन बिंदु नहीं चलता है, लेकिन दोलन करता है, तो पेंडुलम में एक नई संतुलन स्थिति होती है। तेजी से ऊपर और नीचे दोलनों के साथ, यह यांत्रिक प्रणाली एक स्थिर उल्टा स्थिति प्राप्त करती है। उसका अपना नाम भी है। इसे कपित्सा का लोलक कहा जाता है।

पेंडुलम गुण

गणितीय पेंडुलम में बहुत ही रोचक गुण हैं। उन सभी की पुष्टि ज्ञात भौतिक नियमों द्वारा की जाती है। किसी अन्य लोलक के दोलन की अवधि विभिन्न परिस्थितियों पर निर्भर करती है, जैसे कि शरीर का आकार और आकार, निलंबन बिंदु और गुरुत्वाकर्षण केंद्र के बीच की दूरी, इस बिंदु के सापेक्ष द्रव्यमान का वितरण। इसीलिए एक लटकते हुए शरीर की अवधि निर्धारित करना एक कठिन कार्य है। गणितीय पेंडुलम की अवधि की गणना करना बहुत आसान है, जिसका सूत्र नीचे दिया जाएगा। समान यांत्रिक प्रणालियों के अवलोकन के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित नियमितताएं स्थापित की जा सकती हैं:

यदि लोलक की समान लंबाई बनाए रखते हुए, विभिन्न भारों को निलंबित कर दिया जाता है, तो उनके दोलनों की अवधि समान हो जाएगी, हालांकि उनके द्रव्यमान बहुत भिन्न होंगे। इसलिए, ऐसे लोलक की अवधि भार के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है।

यदि, सिस्टम शुरू करते समय, पेंडुलम बहुत बड़े नहीं, बल्कि विभिन्न कोणों से विक्षेपित होता है, तो यह उसी अवधि के साथ, लेकिन विभिन्न आयामों के साथ दोलन करना शुरू कर देगा। जब तक संतुलन के केंद्र से विचलन बहुत बड़े नहीं होते, तब तक उनके रूप में दोलन हार्मोनिक के काफी करीब होंगे। ऐसे लोलक की अवधि किसी भी प्रकार से दोलन आयाम पर निर्भर नहीं करती है। इस यांत्रिक प्रणाली की इस संपत्ति को समकालिकता (ग्रीक "क्रोनोस" से अनुवादित - समय, "आइसो" - बराबर) कहा जाता है।

गणितीय पेंडुलम की अवधि

यह सूचक अवधि का प्रतिनिधित्व करता है जटिल शब्दों के बावजूद, प्रक्रिया ही बहुत सरल है। यदि गणितीय लोलक के धागे की लंबाई L है, और मुक्त पतन त्वरण g है, तो यह मान इसके बराबर है:

छोटे प्राकृतिक दोलनों की अवधि किसी भी तरह से पेंडुलम के द्रव्यमान और दोलनों के आयाम पर निर्भर नहीं करती है। इस मामले में, पेंडुलम कम लंबाई के साथ गणितीय पेंडुलम की तरह चलता है।

गणितीय लोलक का दोलन

एक गणितीय पेंडुलम दोलन करता है, जिसे एक साधारण अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

एक्स + 2 पाप एक्स = 0,

जहाँ x (t) एक अज्ञात फलन है (यह समय t पर निम्न संतुलन स्थिति से विचलन का कोण है, जिसे रेडियन में व्यक्त किया जाता है); ω एक सकारात्मक स्थिरांक है जो पेंडुलम के मापदंडों से निर्धारित होता है (ω = g/L, जहां g गुरुत्वाकर्षण त्वरण है और L गणितीय पेंडुलम (निलंबन) की लंबाई है।

संतुलन स्थिति (हार्मोनिक समीकरण) के पास छोटे दोलनों का समीकरण इस तरह दिखता है:

एक्स + 2 पाप एक्स = 0

पेंडुलम के दोलन आंदोलनों

एक गणितीय पेंडुलम जो छोटे दोलन करता है, एक साइनसॉइड के साथ चलता है। दूसरे क्रम का अंतर समीकरण ऐसी गति की सभी आवश्यकताओं और मापदंडों को पूरा करता है। प्रक्षेपवक्र निर्धारित करने के लिए, आपको गति और समन्वय निर्दिष्ट करना होगा, जिससे स्वतंत्र स्थिरांक निर्धारित किए जाते हैं:

एक्स \u003d एक पाप (θ 0 + t),

जहां 0 प्रारंभिक चरण है, ए दोलन आयाम है, ω गति के समीकरण से निर्धारित चक्रीय आवृत्ति है।

गणितीय पेंडुलम (बड़े आयामों के सूत्र)

यह यांत्रिक प्रणाली, जो एक महत्वपूर्ण आयाम के साथ अपने दोलन करती है, गति के अधिक जटिल नियमों के अधीन है। ऐसे पेंडुलम के लिए, उनकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

पाप x/2 = यू * एसएन (ωt/u),

जहां एसएन जैकोबियन साइन है, जो आपके लिए है< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

यू = (ε + ω2) / 2ω2,

जहाँ = E/mL2 (mL2 लोलक की ऊर्जा है)।

एक गैर-रैखिक पेंडुलम की दोलन अवधि सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

जहाँ = π/2 * /2K(u), K अण्डाकार समाकल है, - 3,14.

सेपरेट्रिक्स के साथ पेंडुलम की गति

एक सेपरेट्रिक्स एक गतिशील प्रणाली का एक प्रक्षेपवक्र है जिसमें दो-आयामी चरण स्थान होता है। गणितीय पेंडुलम गैर-आवधिक रूप से इसके साथ चलता है। समय के एक असीम रूप से दूर के क्षण में, यह चरम ऊपरी स्थिति से शून्य वेग के साथ गिरती है, फिर धीरे-धीरे इसे उठा लेती है। यह अंततः रुक जाता है, अपनी मूल स्थिति में लौट आता है।

यदि पेंडुलम के दोलन का आयाम संख्या के करीब पहुंचता है π , यह इंगित करता है कि चरण तल पर गति सेपरेट्रिक्स तक पहुंचती है। इस मामले में, एक छोटे से ड्राइविंग आवधिक बल की कार्रवाई के तहत, यांत्रिक प्रणाली अराजक व्यवहार प्रदर्शित करती है।

जब गणितीय लोलक एक निश्चित कोण के साथ संतुलन की स्थिति से विचलित होता है, तो गुरुत्वाकर्षण का एक स्पर्शरेखा बल Fτ = -mg sin उत्पन्न होता है। माइनस साइन का मतलब है कि यह स्पर्शरेखा घटक पेंडुलम विक्षेपण से विपरीत दिशा में निर्देशित है। जब त्रिज्या L वाले एक वृत्त के चाप के अनुदिश लोलक का विस्थापन x द्वारा निरूपित किया जाता है, तो इसका कोणीय विस्थापन φ = x/L के बराबर होता है। दूसरा नियम, जो अनुमानों और बल के लिए है, वांछित मान देगा:

मिलीग्राम = Fτ = -mg sinx/L

इस संबंध के आधार पर, यह देखा जा सकता है कि यह पेंडुलम एक गैर-रेखीय प्रणाली है, क्योंकि बल जो इसे अपनी संतुलन स्थिति में लौटाता है, हमेशा विस्थापन x के समानुपाती नहीं होता है, बल्कि पाप x/L होता है।

केवल जब गणितीय पेंडुलम छोटे दोलन करता है तो यह एक हार्मोनिक थरथरानवाला होता है। दूसरे शब्दों में, यह एक यांत्रिक प्रणाली बन जाती है जो हार्मोनिक कंपन करने में सक्षम होती है। यह सन्निकटन 15-20° के कोणों के लिए व्यावहारिक रूप से मान्य है। बड़े आयामों के साथ पेंडुलम दोलन हार्मोनिक नहीं होते हैं।

एक लोलक के छोटे दोलनों के लिए न्यूटन का नियम

यदि कोई यांत्रिक प्रणाली छोटे कंपन करती है, तो न्यूटन का दूसरा नियम इस तरह दिखेगा:

मिलीग्राम = एफτ = -एम* जी/एल* एक्स।

इसके आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि गणितीय लोलक ऋणात्मक चिह्न के साथ अपने विस्थापन के समानुपाती होता है। यह वह स्थिति है जिसके कारण सिस्टम एक हार्मोनिक ऑसिलेटर बन जाता है। विस्थापन और त्वरण के बीच आनुपातिकता कारक का मापांक वृत्तीय आवृत्ति के वर्ग के बराबर होता है:

02 = जी/एल; 0 = g/एल।

यह सूत्र इस प्रकार के लोलक के छोटे दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति को दर्शाता है। इस पर आधारित,

टी = 2π/ 0 ​​= 2π√ जी/एल।

ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित गणना

ऊर्जा के संरक्षण के नियम का उपयोग करके एक लोलक के गुणों का भी वर्णन किया जा सकता है। इस मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि गुरुत्वाकर्षण के क्षेत्र में पेंडुलम बराबर है:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

कुल गतिज या अधिकतम क्षमता के बराबर: एपमैक्स = एकम्सएक्स = ई

ऊर्जा संरक्षण का नियम लिखे जाने के बाद, समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों का व्युत्पन्न लिया जाता है:

चूँकि अचरों का अवकलज 0 है, तो (Ep + Ek)" = 0. योग का अवकलज व्युत्पन्नों के योग के बराबर होता है:

एप" = (मिलीग्राम/एल*x2/2)" = मिलीग्राम/2एल*2x*x" ​​= मिलीग्राम/एल*वी + एक" = (एमवी2/2) = एम/2(वी2)" = एम/ 2*2वी*वी" = एमवी*α,

फलस्वरूप:

Mg/L*xv + mva = v (मिलीग्राम/L*x + mα) = 0.

अंतिम सूत्र के आधार पर, हम पाते हैं: α = - g/L*x।

गणितीय पेंडुलम का व्यावहारिक अनुप्रयोग

त्वरण भौगोलिक अक्षांश के साथ बदलता रहता है, क्योंकि पृथ्वी की पपड़ी का घनत्व पूरे ग्रह में समान नहीं है। जहाँ अधिक घनत्व वाली चट्टानें होती हैं, वहाँ कुछ अधिक होगी। गणितीय पेंडुलम का त्वरण अक्सर भूवैज्ञानिक अन्वेषण के लिए उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग विभिन्न खनिजों की खोज के लिए किया जाता है। बस पेंडुलम के झूलों की संख्या गिनकर, आप पृथ्वी की आंतों में कोयला या अयस्क पा सकते हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे जीवाश्मों का घनत्व और द्रव्यमान उनके नीचे की ढीली चट्टानों की तुलना में अधिक होता है।

गणितीय पेंडुलम का उपयोग सुकरात, अरस्तू, प्लेटो, प्लूटार्क, आर्किमिडीज जैसे प्रमुख वैज्ञानिकों द्वारा किया गया था। उनमें से कई का मानना ​​था कि यह यांत्रिक प्रणाली किसी व्यक्ति के भाग्य और जीवन को प्रभावित कर सकती है। आर्किमिडीज ने अपनी गणना में गणितीय लोलक का प्रयोग किया। आजकल, कई तांत्रिक और मनोविज्ञान इस यांत्रिक प्रणाली का उपयोग अपनी भविष्यवाणियों को पूरा करने या लापता लोगों की खोज करने के लिए करते हैं।

प्रसिद्ध फ्रांसीसी खगोलशास्त्री और प्रकृतिवादी सी. फ्लेमरियन ने भी अपने शोध के लिए एक गणितीय पेंडुलम का इस्तेमाल किया। उन्होंने दावा किया कि उनकी मदद से वह एक नए ग्रह की खोज, तुंगुस्का उल्कापिंड की उपस्थिति और अन्य महत्वपूर्ण घटनाओं की भविष्यवाणी करने में सक्षम थे। जर्मनी (बर्लिन) में द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान एक विशेष पेंडुलम संस्थान ने काम किया। आज म्यूनिख इंस्टीट्यूट ऑफ परामनोविज्ञान इसी तरह के शोध में लगा हुआ है। इस संस्था के कर्मचारी पेंडुलम के साथ अपने काम को "रेडिस्थेसिया" कहते हैं।

परिभाषा

गणितीय पेंडुलम- यह एक दोलन प्रणाली है, जो एक भौतिक पेंडुलम का एक विशेष मामला है, जिसका पूरा द्रव्यमान एक बिंदु पर केंद्रित होता है, पेंडुलम के द्रव्यमान का केंद्र।

आमतौर पर एक गणितीय पेंडुलम को एक लंबे भारहीन और अविभाज्य धागे पर निलंबित गेंद के रूप में दर्शाया जाता है। यह एक आदर्श प्रणाली है जो गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में हार्मोनिक दोलन करती है। गणितीय पेंडुलम के लिए एक अच्छा सन्निकटन एक विशाल छोटी गेंद है जो एक पतले लंबे धागे पर दोलन करती है।

गैलीलियो ने सबसे पहले एक गणितीय पेंडुलम के गुणों का अध्ययन किया, एक लंबी श्रृंखला पर एक झूमर के झूले पर विचार किया। उन्होंने प्राप्त किया कि गणितीय लोलक के दोलन की अवधि आयाम पर निर्भर नहीं करती है। यदि, लोलक को प्रारंभ करते समय, यह विभिन्न छोटे कोणों पर विक्षेपित होता है, तो इसका दोलन एक आवर्त के साथ होगा, लेकिन विभिन्न आयामों के साथ। इस संपत्ति को समकालिकता कहा जाता है।

गणितीय लोलक की गति का समीकरण

गणितीय पेंडुलम एक हार्मोनिक थरथरानवाला का एक उत्कृष्ट उदाहरण है। यह हार्मोनिक दोलन करता है, जो अंतर समीकरण द्वारा वर्णित हैं:

\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \बाएं(1\दाएं),\]

जहां $\varphi $ संतुलन की स्थिति से धागे (निलंबन) के विचलन का कोण है।

समीकरण का हल (1) फलन है $\varphi (t):$

\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]

जहां $\alpha $ - दोलनों का प्रारंभिक चरण; $(\varphi )_0$ - दोलन आयाम; $(\omega )_0$ - चक्रीय आवृत्ति।

एक हार्मोनिक थरथरानवाला का दोलन आवधिक गति का एक महत्वपूर्ण उदाहरण है। थरथरानवाला शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी की कई समस्याओं में एक मॉडल के रूप में कार्य करता है।

चक्रीय आवृत्ति और गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि

गणितीय लोलक की चक्रीय आवृत्ति केवल उसके निलंबन की लंबाई पर निर्भर करती है:

\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(3\right).\]

इस मामले में गणितीय पेंडुलम ($T$) की दोलन अवधि बराबर है:

अभिव्यक्ति (4) से पता चलता है कि गणितीय पेंडुलम की अवधि केवल उसके निलंबन की लंबाई (निलंबन बिंदु से भार के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र तक की दूरी) और मुक्त गिरावट त्वरण पर निर्भर करती है।

गणितीय लोलक के लिए ऊर्जा समीकरण

एक डिग्री की स्वतंत्रता के साथ यांत्रिक प्रणालियों के दोलनों पर विचार करते समय, इसे अक्सर न्यूटन के गति के प्रारंभिक समीकरण के रूप में नहीं, बल्कि ऊर्जा समीकरण के रूप में लिया जाता है। चूंकि इसकी रचना करना आसान है, और यह समय के पहले क्रम का समीकरण है। आइए मान लें कि सिस्टम में कोई घर्षण नहीं है। मुक्त दोलन (छोटे दोलन) करने वाले गणितीय पेंडुलम के लिए ऊर्जा के संरक्षण के नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जहाँ $E_k$ लोलक की गतिज ऊर्जा है; $E_p$ - लोलक की स्थितिज ऊर्जा; $v$ - लोलक की गति; $x$ - त्रिज्या $l$ के एक सर्कल के चाप के साथ संतुलन स्थिति से पेंडुलम वजन का रैखिक विस्थापन, जबकि कोण - विस्थापन $x$ से संबंधित है:

\[\varphi =\frac(x)(l)\left(6\right).\]

गणितीय लोलक की स्थितिज ऊर्जा का अधिकतम मान है:

गतिज ऊर्जा का अधिकतम मान:

जहां $h_m$ पेंडुलम की अधिकतम उठाने की ऊंचाई है; $x_m$ - संतुलन की स्थिति से पेंडुलम का अधिकतम विचलन; $v_m=(\omega )_0x_m$ - अधिकतम गति।

समाधान के साथ समस्याओं के उदाहरण

उदाहरण 1

व्यायाम।एक गणितीय लोलक की गेंद की अधिकतम ऊंचाई क्या है यदि संतुलन की स्थिति से गुजरते समय इसकी गति की गति $v$ थी?

समाधान।आइए एक ड्राइंग बनाएं।

गेंद की स्थितिज ऊर्जा को उसकी संतुलन स्थिति (बिंदु 0) में शून्य होने दें। इस बिंदु पर, गेंद की गति समस्या की स्थिति से अधिकतम और $v$ के बराबर होती है। संतुलन स्थिति (बिंदु ए) से ऊपर गेंद के अधिकतम उठाने के बिंदु पर, गेंद की गति शून्य होती है, संभावित ऊर्जा अधिकतम होती है। आइए गेंद की दो मानी गई स्थितियों के लिए ऊर्जा संरक्षण के नियम को लिखें:

\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \बाएं(1.1\दाएं)।\]

समीकरण (1.1) से हम वांछित ऊंचाई पाते हैं:

उत्तर।$h=\frac(v^2)(2g)$

उदाहरण 2

व्यायाम।गुरुत्वाकर्षण का त्वरण क्या है यदि लंबाई का गणितीय पेंडुलम $l=1\ m$ $T=2\ s$ के बराबर अवधि के साथ दोलन करता है? गणितीय लोलक के दोलनों को छोटा मानें।\textit()

समाधान।समस्या को हल करने के आधार के रूप में, हम छोटे दोलनों की अवधि की गणना के लिए सूत्र लेते हैं:

आइए इससे त्वरण व्यक्त करें:

आइए गुरुत्वाकर्षण के त्वरण की गणना करें:

उत्तर।$g=9.87\ \frac(m)(s^2)$

गणितीय पेंडुलम- यह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में स्थित एक भारहीन और अविनाशी धागे पर लटका हुआ एक भौतिक बिंदु है। एक गणितीय पेंडुलम एक आदर्श मॉडल है जो केवल कुछ शर्तों के तहत वास्तविक पेंडुलम का सही वर्णन करता है। एक वास्तविक पेंडुलम को गणितीय माना जा सकता है यदि धागे की लंबाई उस पर निलंबित शरीर के आयामों से बहुत अधिक है, धागे का द्रव्यमान शरीर के द्रव्यमान की तुलना में नगण्य है, और धागे की विकृति इतनी छोटी है ताकि उनकी पूरी तरह से उपेक्षा की जा सके।

इस मामले में दोलन प्रणाली एक धागे से बनी होती है, इससे जुड़ा एक शरीर और पृथ्वी, जिसके बिना यह प्रणाली एक पेंडुलम के रूप में काम नहीं कर सकती है।

कहाँ पे एक एक्स – त्वरण, जी - गुरुत्वाकर्षण का त्वरण, एक्स- ऑफसेट, मैंपेंडुलम स्ट्रिंग की लंबाई है।

इस समीकरण को कहा जाता है एक गणितीय लोलक के मुक्त दोलनों का समीकरण।यह विचाराधीन दोलनों का सही वर्णन तभी करता है जब निम्नलिखित धारणाएँ पूरी होती हैं:

2) एक छोटे से स्विंग कोण के साथ एक पेंडुलम के केवल छोटे दोलनों पर विचार किया जाता है।

सभी मामलों में किसी भी प्रणाली के मुक्त कंपन को समान समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है।

गणितीय लोलक के मुक्त दोलनों के कारण हैं:

1. तनाव और गुरुत्वाकर्षण बल के पेंडुलम पर कार्रवाई, संतुलन की स्थिति से इसके विस्थापन को रोकना और इसे फिर से गिरने के लिए मजबूर करना।

2. लोलक का जड़त्व, जिसके कारण यह अपनी गति को बनाए रखते हुए संतुलन की स्थिति में नहीं रुकता, बल्कि इससे आगे निकल जाता है।

एक गणितीय लोलक के मुक्त दोलनों की अवधि

एक गणितीय पेंडुलम के मुक्त दोलनों की अवधि उसके द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है, लेकिन केवल धागे की लंबाई और उस स्थान पर मुक्त गिरावट त्वरण द्वारा निर्धारित की जाती है जहां पेंडुलम स्थित होता है।

हार्मोनिक कंपन के दौरान ऊर्जा रूपांतरण

एक स्प्रिंग लोलक के हार्मोनिक दोलनों के साथ, एक प्रत्यास्थ रूप से विकृत पिंड की स्थितिज ऊर्जा उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है, जहाँ क – लोच गुणांक, एक्स -संतुलन की स्थिति से पेंडुलम विस्थापन मॉड्यूल, एम- पेंडुलम का द्रव्यमान, वी- उसकी गति। हार्मोनिक दोलनों के समीकरण के अनुसार:

, .

स्प्रिंग लोलक की कुल ऊर्जा:

.

गणितीय लोलक के लिए कुल ऊर्जा:

गणितीय लोलक के मामले में

स्प्रिंग लोलक के दोलनों के दौरान ऊर्जा परिवर्तन यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम के अनुसार होता है ( ) जब लोलक संतुलन की स्थिति से ऊपर या नीचे जाता है, तो उसकी स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाती है और उसकी गतिज ऊर्जा घट जाती है। जब लोलक संतुलन की स्थिति से गुजरता है ( एक्स= 0), इसकी स्थितिज ऊर्जा शून्य के बराबर होती है और लोलक की गतिज ऊर्जा का मान उसकी कुल ऊर्जा के बराबर सबसे बड़ा होता है।

इस प्रकार, लोलक के मुक्त दोलनों की प्रक्रिया में, इसकी स्थितिज ऊर्जा गतिज में, गतिज विभव में, विभव फिर गतिज में बदल जाती है, आदि। लेकिन कुल यांत्रिक ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।

मजबूर कंपन। अनुनाद।

बाहरी आवर्त बल की क्रिया के तहत होने वाले दोलन कहलाते हैं मजबूर कंपन. एक बाहरी आवर्त बल, जिसे प्रेरक बल कहा जाता है, दोलन प्रणाली को अतिरिक्त ऊर्जा प्रदान करता है, जिसका उपयोग घर्षण के कारण होने वाली ऊर्जा हानि की भरपाई के लिए किया जाता है। यदि साइन या कोसाइन कानून के अनुसार ड्राइविंग बल समय में बदल जाता है, तो मजबूर दोलन हार्मोनिक और बिना ढके होंगे।

मुक्त दोलनों के विपरीत, जब सिस्टम केवल एक बार ऊर्जा प्राप्त करता है (जब सिस्टम को संतुलन से बाहर कर दिया जाता है), मजबूर दोलनों के मामले में, सिस्टम इस ऊर्जा को बाहरी आवधिक बल के स्रोत से लगातार अवशोषित करता है। यह ऊर्जा घर्षण पर काबू पाने में हुए नुकसान की भरपाई करती है, और इसलिए ऑसिलेटरी सिस्टम की कुल ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।

मजबूर दोलनों की आवृत्ति ड्राइविंग बल की आवृत्ति के बराबर होती है. जब ड्राइविंग बल की आवृत्ति υ दोलन प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाता है υ 0 , मजबूर दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि होती है - गूंज. अनुनाद होता है क्योंकि υ = υ 0 बाहरी बल, मुक्त कंपन के साथ समय पर कार्य करते हुए, हमेशा दोलन करने वाले शरीर की गति के साथ सह-निर्देशित होता है और सकारात्मक कार्य करता है: दोलन करने वाले शरीर की ऊर्जा बढ़ जाती है, और इसके दोलनों का आयाम बड़ा हो जाता है। मजबूर दोलनों के आयाम की निर्भरता का ग्राफ लेकिन टी ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर υ चित्र में दिखाया गया है, इस ग्राफ को अनुनाद वक्र कहा जाता है:

अनुनाद की घटना कई प्राकृतिक, वैज्ञानिक और औद्योगिक प्रक्रियाओं में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। उदाहरण के लिए, पुलों, इमारतों और अन्य संरचनाओं को डिजाइन करते समय प्रतिध्वनि की घटना को ध्यान में रखना आवश्यक है जो लोड के तहत कंपन का अनुभव करते हैं, अन्यथा, कुछ शर्तों के तहत, इन संरचनाओं को नष्ट किया जा सकता है।

यदि स्प्रिंग से जुड़ा हुआ पिंड संतुलन की स्थिति से दूरी A से विचलित हो जाता है, उदाहरण के लिए, बाईं ओर, तो यह संतुलन की स्थिति से गुजरने के बाद दाईं ओर विचलित हो जाता है। यह ऊर्जा के संरक्षण के नियम का अनुसरण करता है।

एक संकुचित या खिंचे हुए स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा बराबर होती है

जहां k वसंत की कठोरता है और x इसका बढ़ाव है। चरम बाईं स्थिति में, वसंत का विस्तार x \u003d - A, इसलिए, संभावित ऊर्जा है

इस समय गतिज ऊर्जा शून्य के बराबर है, क्योंकि गति शून्य के बराबर है। अतः स्थितिज ऊर्जा उस समय निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा है। यदि हम सहमत हैं कि घर्षण बल शून्य है, और अन्य बल संतुलित हैं, तो हमारे सिस्टम को बंद माना जा सकता है और गति के दौरान इसकी कुल ऊर्जा नहीं बदल सकती है। जब शरीर अपनी गति के दौरान चरम दाहिनी स्थिति (x=A) में होता है, तो उसकी गतिज ऊर्जा फिर से शून्य के बराबर होगी और कुल ऊर्जा फिर से स्थितिज ऊर्जा के बराबर होगी। और कुल ऊर्जा नहीं बदल सकती। तो यह फिर से बराबर है

इसका अर्थ है कि पिंड A के बराबर दूरी से दाईं ओर विचलित होगा।

संतुलन की स्थिति में, इसके विपरीत, संभावित ऊर्जा शून्य है, क्योंकि वसंत विकृत नहीं है, x = 0। इस स्थिति में शरीर की कुल ऊर्जा उसकी गतिज ऊर्जा के बराबर होती है

जहाँ m पिंड का द्रव्यमान है और इसकी गति है (यह इस समय अधिकतम है)। लेकिन इस गतिज ऊर्जा का भी बराबर मान होना चाहिए। इसलिए, दोलन गति के दौरान, गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है और इसके विपरीत। संतुलन और अधिकतम विचलन की स्थिति के बीच किसी भी बिंदु पर, शरीर में गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा दोनों होती हैं, लेकिन उनका योग, यानी। शरीर की किसी भी स्थिति में कुल ऊर्जा बराबर होती है। एक दोलनशील पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा W आयाम और उसके दोलनों के वर्ग के समानुपाती होती है

पेंडुलम। गणितीय पेंडुलम

एक पेंडुलम किसी भी शरीर को निलंबित कर दिया जाता है ताकि उसका गुरुत्वाकर्षण केंद्र निलंबन के बिंदु से नीचे हो। इसका मतलब यह है कि रस्सी पर लटका हुआ भार दीवार घड़ी के लोलक के समान एक दोलन प्रणाली है। मुक्त दोलन करने में सक्षम किसी भी प्रणाली में एक स्थिर संतुलन स्थिति होती है। एक पेंडुलम के लिए, यह वह स्थिति है जिस पर गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निलंबन बिंदु के नीचे लंबवत होता है। यदि हम लोलक को इस स्थिति से बाहर निकालते हैं या उसे धक्का देते हैं, तो यह संतुलन की स्थिति से या तो एक दिशा में या दूसरी दिशा में विचलित होकर दोलन करना शुरू कर देगा। हम जानते हैं कि संतुलन की स्थिति से सबसे बड़ा विचलन, जिस तक लोलक पहुंचता है, दोलन का आयाम कहलाता है। आयाम प्रारंभिक विक्षेपण या धक्का द्वारा निर्धारित किया जाता है जिसके साथ पेंडुलम गति में सेट किया गया था। यह गुण - आंदोलन की शुरुआत में स्थितियों पर आयाम की निर्भरता - न केवल पेंडुलम के मुक्त दोलनों के लिए, बल्कि सामान्य रूप से बहुत सारे दोलन प्रणालियों के मुक्त दोलनों के लिए विशेषता है।

भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि कई परिस्थितियों पर निर्भर करती है: शरीर के आकार और आकार पर, गुरुत्वाकर्षण के केंद्र और निलंबन के बिंदु के बीच की दूरी पर, और इस बिंदु के सापेक्ष शरीर द्रव्यमान के वितरण पर; इसलिए, एक निलंबित निकाय की अवधि की गणना करना एक कठिन कार्य है। गणितीय पेंडुलम के लिए स्थिति सरल है। एक गणितीय पेंडुलम एक पतले धागे से लटका हुआ भार होता है, जिसके आयाम धागे की लंबाई से बहुत कम होते हैं, और इसका द्रव्यमान धागे के द्रव्यमान से अधिक होता है। इसका मतलब है कि शरीर (वजन) और धागा ऐसा होना चाहिए कि वजन को भौतिक बिंदु माना जा सके, और धागा भारहीन हो। ऐसे लोलकों के अवलोकन से निम्नलिखित सरल नियम स्थापित किए जा सकते हैं।

1. यदि, लोलक की समान लंबाई बनाए रखते हुए (निलंबन के बिंदु से भार के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र तक की दूरी), अलग-अलग भार निलंबित हैं, तो दोलन अवधि समान होगी, हालांकि भार का द्रव्यमान काफी भिन्न। गणितीय लोलक की अवधि भार के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है।

2. प्रक्षेपवक्र के किसी भी बिंदु पर शरीर पर अभिनय करने वाला सीडा संतुलन की स्थिति के लिए निर्देशित होता है, और संतुलन बिंदु पर ही शून्य के बराबर होता है।

3. बल संतुलन की स्थिति से शरीर के विचलन के समानुपाती होता है।

चावल। 5.

4. यदि, लोलक को प्रारंभ करते समय, इसे भिन्न (लेकिन बहुत बड़े नहीं) कोणों पर विक्षेपित किया जाता है, तो यह समान अवधि के साथ दोलन करेगा, हालांकि विभिन्न आयामों के साथ। जब तक आयाम बहुत बड़े नहीं होते, दोलन अपने रूप में हार्मोनिक वाले के काफी करीब होते हैं, और गणितीय पेंडुलम की अवधि दोलनों के आयाम पर निर्भर नहीं करती है। इस संपत्ति को समकालिकता कहा जाता है (ग्रीक शब्द "आइसो" से - बराबर, "क्रोनोस" - समय)।

यह तथ्य पहली बार 1655 में गैलीलियो द्वारा कथित रूप से निम्नलिखित परिस्थितियों में स्थापित किया गया था। गैलीलियो ने पीसा कैथेड्रल में एक लंबी श्रृंखला पर एक झूमर (एक रूढ़िवादी चर्च में, एक केंद्रीय झूमर, कई मोमबत्तियों या लैंप के साथ एक दीपक) के झूलते हुए देखा, जिसे प्रज्वलित करने पर धक्का दिया गया था। सेवा के दौरान, झूलों का आयाम धीरे-धीरे फीका (अध्याय 8), यानी दोलनों का आयाम कम हो गया, लेकिन अवधि वही रही। गैलीलियो ने समय के संकेत के रूप में अपनी नाड़ी का इस्तेमाल किया।

पेंडुलम की यह संपत्ति न केवल अद्भुत थी, बल्कि उपयोगी भी थी। गैलीलियो ने घड़ी में एक नियामक के रूप में पेंडुलम का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा। गैलीलियो के समय में, घड़ियाँ भार-चालित थीं, और दर को समायोजित करने के लिए एक कच्चे पवनचक्की जैसी कोंटरापशन का उपयोग किया जाता था, जिसमें वायु प्रतिरोध का उपयोग किया जाता था। एक पेंडुलम का उपयोग समय के समान अंतराल को गिनने के लिए किया जा सकता है, क्योंकि छोटे दोलन उसी समय होते हैं जैसे हवा के यादृच्छिक झोंकों के कारण बड़े होते हैं। गैलीलियो के एक सदी बाद, पेंडुलम घड़ियों का उपयोग किया गया, लेकिन नाविकों को अभी भी समुद्र में देशांतर को मापने के लिए सटीक घड़ियों की आवश्यकता थी। ऐसी समुद्री घड़ी के निर्माण के लिए एक पुरस्कार की घोषणा की गई जो समय को पर्याप्त सटीकता के साथ मापने की अनुमति देगी। हैरिसन को एक क्रोनोमीटर के लिए पुरस्कार मिला जिसमें पाठ्यक्रम को विनियमित करने के लिए एक चक्का (संतुलन) और एक विशेष स्प्रिंग का उपयोग किया गया था।

अब हम गणितीय लोलक के दोलन काल के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं।

जब पेंडुलम झूलता है, तो रिटर्निंग बल पी 1 की कार्रवाई के तहत चाप बीए (छवि 5, ए) के साथ लोड तेज हो जाता है, जो आंदोलन के दौरान बदलता है।

एक गैर-स्थिर बल की कार्रवाई के तहत किसी पिंड की गति की गणना बल्कि जटिल है। इसलिए, सादगी के लिए, हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं।

आइए हम लोलक को एक तल में दोलन न करें, बल्कि शंकु का वर्णन करें ताकि भार एक वृत्त में घूमे (चित्र 5, ख)। यह गति दो स्वतंत्र दोलनों को जोड़कर प्राप्त की जा सकती है: एक अभी भी चित्र के तल में और दूसरा लंबवत तल में। जाहिर है, इन दोनों समतल दोलनों की अवधि समान है, क्योंकि कोई भी दोलन विमान किसी अन्य से अलग नहीं है। नतीजतन, जटिल गति की अवधि - शंकु के साथ पेंडुलम का घूर्णन - एक विमान में स्विंग की अवधि के समान होगा। इस निष्कर्ष को प्रत्यक्ष अनुभव द्वारा आसानी से चित्रित किया जा सकता है, दो समान पेंडुलम लेकर और उनमें से एक को एक विमान में झूलने के लिए, और दूसरे को एक शंकु के साथ घूमने के लिए कहा।

लेकिन "शंक्वाकार" पेंडुलम की क्रांति की अवधि भार द्वारा वर्णित चक्र की लंबाई के बराबर होती है, जो गति से विभाजित होती है:

यदि ऊर्ध्वाधर से विचलन का कोण छोटा है (छोटे आयाम!), तो हम मान सकते हैं कि वापसी बल P 1 वृत्त BC की त्रिज्या के साथ निर्देशित है, अर्थात, अभिकेन्द्र बल के बराबर:

दूसरी ओर, यह त्रिभुज ओबीसी और डीबीई की समानता से अनुसरण करता है कि बीई: बीडी = सीबी: ओबी। चूँकि OB=l, CB=r, BE=P 1, तो यहाँ से

दोनों व्यंजकों P1 को एक दूसरे से समरूप करने पर, हमें परिसंचरण का वेग प्राप्त होता है

अंत में, इसे अवधि T के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं

तो, गणितीय लोलक की अवधि केवल मुक्त पतन त्वरण g और लोलक l की लंबाई पर निर्भर करती है, अर्थात, निलंबन के बिंदु से भार के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र तक की दूरी। प्राप्त सूत्र से यह निम्नानुसार है कि पेंडुलम की अवधि उसके द्रव्यमान और आयाम पर निर्भर नहीं करती है (बशर्ते कि यह पर्याप्त रूप से छोटा हो)। दूसरे शब्दों में, वे मूल नियम जो टिप्पणियों से पहले स्थापित किए गए थे, गणना द्वारा प्राप्त किए गए थे।

लेकिन यह सैद्धांतिक निष्कर्ष हमें और अधिक देता है: यह हमें पेंडुलम की अवधि, इसकी लंबाई और मुक्त गिरावट के त्वरण के बीच एक मात्रात्मक संबंध स्थापित करने की अनुमति देता है। गणितीय पेंडुलम की अवधि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण के लिए पेंडुलम की लंबाई के अनुपात के वर्गमूल के समानुपाती होती है। आनुपातिकता का गुणांक 2 के बराबर है?

इस त्वरण को निर्धारित करने का एक बहुत सटीक तरीका मुक्त गिरावट के त्वरण पर पेंडुलम की अवधि की निर्भरता पर आधारित है। पेंडुलम l की लंबाई को मापने और बड़ी संख्या में दोलनों से अवधि T निर्धारित करने के बाद, हम प्राप्त सूत्र का उपयोग करके g की गणना कर सकते हैं। इस पद्धति का व्यापक रूप से व्यवहार में उपयोग किया जाता है।

पेंडुलम दोलन अनुनाद समन्वय