10.4. Ներդաշնակ ցուցահանդեսում էներգիայի պահպանման օրենքը

10.4.1. Էներգիայի պահպանում Մեխանիկական ներդաշնակ տատանումներ

Էներգիայի պահպանում մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների վրա

Հարմոնիկ տատանումներով պահպանվում է համակարգի ամբողջական մեխանիկական էներգիան (մնում է կայուն):

Մաթեմատիկական ճոճանակի ամբողջական մեխանիկական էներգիա

E \u003d w k + w p,

որտեղ w k- ն կինետիկ էներգիա է, W k \u003d \u003d mv 2/2; W P - Հնարավոր էներգիա, w p \u003d mgh; մ - բեռի քաշը; G- ն անկման արագացման անվճար մոդուլ է. V- ն բեռի արագության մոդուլն է. H- ը հավասարակշռության դիրքի բարձրացման բարձրացում է (Նկար 10.15):

Ներդաշնակ տատանումներում մաթեմատիկական ճոճանակը մի շարք անընդմեջ պետությունների շարք է, ուստի խորհուրդ է տրվում երեք դիրքում մտածել մաթեմատիկական ճոճանակի էներգիան (տես Նկար 10.15):

ՆկՂ 10.15

1) Բ. Հավասարակշռության դիրքը

Հնարավոր էներգիան զրո է. Ամբողջ էներգիան համընկնում է առավելագույն կինետիկ էներգիայի հետ.

E \u003d w k max;

2) Բ. Ծայրահեղ դիրք (2) Մարմինը բարձրացվում է նախնական մակարդակից բարձր մակարդակից H Max- ի առավելագույն բարձրության վրա, ուստի հնարավոր էներգիան նույնպես առավելագույն է.

W p max \u003d m g h max;

Կինետիկ էներգիան զրոյական է. Ամբողջ էներգիան համընկնում է առավելագույն հավանական էներգիայի հետ.

E \u003d w p max;

3) Բ. միջանկյալ (3) Մարմինը ունի ակնթարթային արագություն V եւ բարձրացված է նախնական մակարդակից բարձր մակարդակի վրա, ուստի ընդհանուր էներգիան գումարն է

E \u003d M V 2 2 + M G H,

որտեղ MV 2/2-ը կինետիկ էներգիա է. Mgh - հավանական էներգիա; մ - բեռի քաշը; G- ն անկման արագացման անվճար մոդուլ է. V- ն բեռի արագության մոդուլն է. Հը հավասարակշռության դիրքի բարձրացման բարձրությունն է հավասարակշռության դիրքի վրա:

Մաթեմատիկական ճոճանակի ներդաշնակ տատանումներով պահպանվում է ամբողջական մեխանիկական էներգիան.

E \u003d Const.

Երեք դիրքում մաթեմատիկական ճոճանակի ընդհանուր էներգիայի արժեքները արտացոլվում են աղյուսակում: 10.1.

№	Դիրք	W p.	Վ.	E \u003d w p + w k
1	Հավասարակշռություն	0	M v v max 2/2	M v v max 2/2
2	Չափազանց	mGH Max	0	mGH Max
3	Միջանկյալ (ակնթարթ)	Մայրենի երգ	mV 2/2	mV 2/2 + MGH

Աղյուսակի վերջին սյունակում ներկայացված ամբողջական մեխանիկական էներգիայի արժեքները: 10.1, հավասար արժեքներ ունեն ճոճանակի ցանկացած դիրքի համար, ինչը մաթեմատիկական արտահայտություն է.

m v v max 2 \u003d m g h Max;

m MAX 2 2 \u003d M V 2 2 + M G H;

m G H Max \u003d M V 2 2 + M G H,

որտեղ M- ն բեռների զանգվածն է. G- ն անկման արագացման անվճար մոդուլ է. V- ն 3-րդ դիրքում բեռների ակնթարթային արագության մոդուլն է. Հ - Բեռի բարձրացման բարձրությունը հավասարակշռության դիրքի վրա դիրքում 3; v Max - առավելագույն բեռների արագության մոդուլ 1 դիրքում 1; H Max- ը հավասարեցման առավելագույն բարձրությունն է հավասարակշռության դիրքի 2-րդ դիրքում:

Թելի շեղման անկյունը Մաթեմատիկական ճոճանակ ուղղահայացից (Նկար 10.15) որոշվում է արտահայտությամբ

cOS α \u003d L - H L \u003d 1 - H L,

որտեղ եմ վերնաշապիկի երկարությունը. Հը հավասարակշռության դիրքի բարձրացման բարձրությունն է հավասարակշռության դիրքի վրա:

Առավելագույն անկյուն Deviations α Max- ը որոշվում է հավասարակշռության դիրքի առավելագույն բարձրացման առավելագույն բարձրությամբ, առավելագույնը.

cOS α Max \u003d 1 - H Max L.

Օրինակ 11. Մաթեմատիկական ճոճանակի փոքր տատանումների ժամանակահատվածը 0,9 վրկ է: Ուղղահայացից որն է առավելագույն անկյունը շեղելու թելերը, եթե փոխանցում է հավասարակշռության դիրքը, գնդակը շարժվում է 1,5 մ / վ արագությամբ: Համակարգում շփումը բացակայում է:

Որոշում Նկարը ցույց է տալիս մաթեմատիկական ճոճանակի երկու դիրք.

• Հավասարակշռության դիրքը 1 (բնութագրվում է V Max Ball- ի առավելագույն արագությամբ).
• Չափազանց 2 (բնութագրվում է գնդակի բարձրացման առավելագույն բարձրությամբ, առավելագույնը հավասարակշռության դիրքի վրա):

Ցանկալի անկյունը որոշվում է հավասարության կողմից

cos α max \u003d L - H Max L \u003d 1 - H Max L,

Որտեղ l- ն ճոճանակի թելի երկարությունն է:

Հավասարակշռության դիրքի վերելակի առավելագույն բարձրությունը հավասարակշռության դիրքի վրա կգտնվի ամբողջական մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքից:

Հավասարակշռության դիրքում եւ ծայրահեղ դիրքում ճոճանակի ընդհանուր էներգիան որոշվում է հետեւյալ բանաձեւերով.

• Հավասարակշռության դիրքում -

E 1 \u003d M MAX 2 2,

որտեղ M- ն ճոճանակի գնդակի զանգվածն է. V Max - գնդակի արագության մոդուլը հավասարակշռության դիրքում (առավելագույն արագություն), v Max \u003d 1.5 մ / վ;

• Ծայրահեղ դիրքում -

E 2 \u003d mgh max,

որտեղ G- ն անվճար անկման արագացման մոդուլ է. H Max- ը հավասարակշռության դիրքի վրա գնդակի վերելակի առավելագույն բարձրությունն է:

Ամբողջ մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենք.

m Max 2 2 \u003d M G H Max.

Էքսպրես այստեղից գնդակի առավելագույն բարձրությունը հավասարակշռության դիրքի վրա բարձրացնելով.

h Max \u003d v MAX 2 2 G.

Թելի երկարությունը որոշվում է մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների շրջանի բանաձեւից

T \u003d 2 π l g,

Նրանք: Գիշերային երկարություն

l \u003d T 2 G 4 π 2.

Փոխարինեք H Max- ը եւ L- ը `արհեստական \u200b\u200bանկյունի կոսինի արտահայտության մեջ.

cOS α Max \u003d 1 - 2 π 2 MAX 2 G 2 T 2

Եվ մենք կհաշվարկենք մոտավոր հավասարության հետ π 2 \u003d 10:

cOS α Max \u003d 1 - 2 ⋅ 10 ⋅ (1.5) 2 10 2 ⋅ (0.9) 2 \u003d 0.5.

Հետեւում է, որ առավելագույն թեքման անկյունը 60 ° է:

Խստորեն ասելով, գնդակի 60 ° հատվածի անկյան տակ փոքր չէ, եւ օգտագործեք մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանի ստանդարտ բանաձեւը:

Էներգախնայողություն գարնանային ճոճանակների տատանումներով

Ամբողջ մեխանիկական էներգիայի գարուն ճոճանակ Այն բաղկացած է կինետիկ էներգիայից եւ հավանական էներգիայից.

E \u003d w k + w p,

որտեղ w k- ը կինետիկ էներգիա է, W K \u003d MV 2/2; W P - Հնարավոր էներգիա, W P \u003d k (δx) 2/2; մ - բեռի քաշը; V- ն բեռի արագության մոդուլն է. k Գարնանության կոշտության (առաձգականության) գործակիցը. ΔX - Գարնան դեֆորմացիա (ձգում կամ սեղմում) (Նկար 10.16):

Միջազգային միավորների միջազգային համակարգում մեխանիկական տատանման համակարգի էներգիան չափվում է Joules (1 ժ):

Հարմոնիկ տատանումներում գարնանային ճոճանակը անցնում է մի շարք անընդմեջ պետություններ, ուստի խորհուրդ է տրվում մտածել գարնանային ճոճանակի էներգիան երեք դիրքում (տես Նկար 10.16).

1) Բ. Հավասարակշռության դիրքը (1) Մարմնի արագությունն ունի առավելագույն արժեքը v առավելագույնը, ուստի կինետիկ էներգիան նույնպես առավելագույնը է.

W k Max \u003d m v max 2 2;

Գարունի հնարավոր էներգիան զրո է, քանի որ գարունը չի դեֆորմացվում. Ամբողջ էներգիան համընկնում է առավելագույն կինետիկ էներգիայի հետ.

E \u003d w k max;

2) Բ. Ծայրահեղ դիրք (2) Գարունը ունի առավելագույն դեֆորմացիա (Max Max), այնպես որ հնարավոր էներգիան ունի նաեւ առավելագույն արժեք.

W P Max \u003d k (δ x Max) 2 2;

Մարմնի կինետիկ էներգիան զրո է. Ամբողջ էներգիան համընկնում է առավելագույն հավանական էներգիայի հետ.

E \u003d w p max;

3) Բ. միջանկյալ (3) Մարմինը ունի ակնթարթային արագություն v, գարունը այդ պահին ունի որոշակի դեֆորմացիա (δx), այնպես որ ընդհանուր էներգիան գումարն է

E \u003d M v 2 2 + K (δ x) 2 2,

որտեղ MV 2/2-ը կինետիկ էներգիա է. k (δx) 2/2 - հավանական էներգիա; մ - բեռի քաշը; V- ն բեռի արագության մոդուլն է. k Գարնանության կոշտության (առաձգականության) գործակիցը. Δx - դեֆորմացիա (ձգում կամ սեղմում) աղբյուրներ:

Գարնանային ճոճանակի բեռը փոխելիս հավասարակշռության դիրքից դրա վրա Վերադարձող ուժ, որի կանխատեսումը ճոճանակի շարժման ուղղությամբ որոշվում է բանաձեւով

F x \u003d -kx,

որտեղ X- ը գարնանային ճոճանակի բեռի տեղաշարժ է հավասարակշռության դիրքից, x \u003d δx, δx - գարնան դեֆորմացիան. K- ն ճոճանակի աղբյուրների կարծրության գործակիցը (առաձգականությունն է):

Գարնանային ճոճանակում ներդաշնակ տատանումներով, ամբողջական մեխանիկական էներգիան շարունակում է մնալ.

E \u003d Const.

Գարնանային ճոճանակի ընդհանուր էներգիայի արժեքները երեք դիրքերում արտացոլվում են աղյուսակում: 10.2.

№	Դիրք	W p.	Վ.	E \u003d w p + w k
1	Հավասարակշռություն	0	M v v max 2/2	M v v max 2/2
2	Չափազանց	k (δx Max) 2/2	0	k (δx Max) 2/2
3	Միջանկյալ (ակնթարթ)	k (δx) 2/2	mV 2/2	mV 2/2 + k (δx) 2/2

Աղյուսակի վերջին սյունակում ներկայացված ամբողջական մեխանիկական էներգիայի արժեքները հավասար արժեքներ ունեն ճոճանակի ցանկացած դիրքի համար, ինչը մաթեմատիկական արտահայտություն է: Ամբողջ մեխանիկական էներգիա:

m v max 2 2 \u003d k (δ x MAX) 2 2;

m v v max 2 \u003d m v 2 2 + k (δ x) 2 2;

k (δ x MAX) 2 2 \u003d M V 2 2 + K (δ x) 2 2,

որտեղ M- ն բեռների զանգվածն է. V- ն 3-րդ դիրքում բեռների ակնթարթային արագության մոդուլն է. Δx - դեֆորմացիա (ձգում կամ սեղմում) աղբյուրներ 3-րդ դիրքում. v Max - առավելագույն բեռների արագության մոդուլ 1 դիրքում 1; Δx Max- ը գարնան առավելագույն դեֆորմացիան (ձգում կամ սեղմում է) դիրքում 2-ում:

Օրինակ 12. Գարնանային ճոճանակը ներդաշնակ տատանում է դարձնում: Նրա կինետիկ էներգիայի քանի անգամ ավելի մեծ ներուժ է այն պահին, երբ հավասարակշռության դիրքից փոխհատուցվող մարմինները ամպլիտուդության քառորդ են:

Որոշում Համեմատեք երկու հոգոց զբաղեցրած դիրքերը.

• Ծայրահեղ դիրքը 1 (բնութագրվում է Pendulum բեռի առավելագույն տեղաշարժով X առավելագույն հավասարակշռության դիրքից);
• Միջանկյալ 2 (բնութագրվում է միջանկյալ տեղահանման արժեքներով հավասարակշռության դիրքից X եւ VEAROCITY V →):

Ծայրահեղ եւ միջանկյալ դիրքերում ճոճանակի ընդհանուր էներգիան որոշվում է հետեւյալ բանաձեւերով.

• Ծայրահեղ դիրքում -

E 1 \u003d k (δ x MAX) 2 2,

որտեղ k- ը գարնան կոշտության (առաձգականության) գործակիցը. Δx Max - տատանումների ամպլիտուդություն (հավասարակշռության դիրքից առավելագույն օֆսեթ), δx max \u003d a;

• միջանկյալ պաշտոնում -

E 2 \u003d k (δ x) 2 2 + մ V 2 2,

որտեղ M- ն ճոճանակի բեռի զանգվածն է. Δx - Բեռնափոխադրումներ հավասարակշռության դիրքից, δx \u003d A / 4:

Գարնանային ճոճանակի համար ամբողջական մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը ունի հետեւյալ ձեւը.

k (δ x MAX) 2 2 \u003d K (δ x) 2 2 + մ V 2 2.

Մենք բաժանեցինք արձանագրված հավասարության երկու մասերը K (δx) 2/2:

(X x MAX δ X) 2 \u003d 1 + M 2 2 ⋅ 2 K δ x 2 \u003d 1 + w k w p,

Որտեղ w k- ը ճոճանակի կինետիկ էներգիան է միջանկյալ դիրքում, w k \u003d mv 2/2; W P- ն ճոճանակի պոտենցիալ էներգիան է միջանկյալ դիրքում, w p \u003d k (δx) 2/2:

Արտահայտեք ցանկալի էներգիայի հարաբերակցությունը հավասարման.

W K W P \u003d (δ x Max δ x) 2 - 1

Եվ մենք հաշվարկում ենք դրա արժեքը.

W K W P \u003d (A A / 4) 2 - 1 \u003d 16 - 1 \u003d 15:

Ժամանակի նշված կետում ճոճանակի կինետիկ եւ հավանական էներգիաների հարաբերակցությունը 15 է:

Մեխանիկական համակարգը, որը բաղկացած է նյութական կետից (մարմնից), որը կախված է անթերի անիմաստ թելից (դրա զանգվածը, որը համեմատվում է մարմնի քաշի համեմատությամբ) ծանրության համասեռական դաշտում, որը կոչվում է մաթեմատիկական ճոճանակ): Այս սարքի այլ տեսակներ կան: Թելի փոխարեն, կարող է օգտագործվել քաշի գավազան: Մաթեմատիկական ճոճանակը կարող է հստակ բացահայտել շատ հետաքրքիր երեւույթների էությունը: Զգացմունքների ցածր ամպլիտով, նրա շարժումը կոչվում է ներդաշնակ:

Ընդհանուր տեղեկություններ մեխանիկական համակարգի մասին

Այս ճոճանակի տատանումների տեւողության բանաձեւը բխում էր հոլանդացի գիտնականի «Գիգենսը» (1629-1695): Այս ժամանակակից I. Նյուտոնը շատ էր սիրում այս մեխանիկական համակարգը: 1656-ին նա առաջին ժամերը ստեղծեց ճոճանակի մեխանիզմով: Նրանք ժամանակն են չափել բացառիկ այդ ժամանակների ճշգրտության համար: Այս գյուտը դարձել է ֆիզիկական փորձերի եւ գործնական գործունեության զարգացման էական փուլ:

Եթե \u200b\u200bճոճանակը հավասարակշռության դիրքում է (կախված քայլեր), այն հավասարվելու է թելերի լարվածության ուժով: Ոչ հետադարձելի թեմայի վրա հարթ ճոճանակը հաղորդակցման հետ երկու աստիճան ազատություն ունեցող համակարգ է: Միայն մեկ բաղադրիչ փոխելիս փոխվում են նրա բոլոր մասերի բնութագրերը: Այսպիսով, եթե չփակեք գավազանին, ապա այս մեխանիկական համակարգը կունենա ընդամենը 1 աստիճան ազատության: Ինչ հատկություններ են մաթեմատիկական ճոճանակը: Այս ամենապարզ համակարգում քաոսը տեղի է ունենում պարբերական անհանգստության ազդեցության տակ: Այն դեպքում, երբ կասեցման կետը չի շարժվում, բայց կատարում է տատանումներ, հավասարակշռության նոր դիրք է հայտնվում ճոճանակում: Արագ պտտվելով վեր բարձրանալով, այս մեխանիկական համակարգը ձեռք է բերում կայուն դիրք «գլխիվայր»: Նա ունի իր անունը: Նրան անվանում են ճոճանակ Կապիցա:

Ճոճանակի հատկությունները

Մաթեմատիկական ճոճանակը շատ հետաքրքիր հատկություններ ունի: Բոլորը հաստատվում են հայտնի ֆիզիկական օրենքներով: Other անկացած այլ ճոճանակի տատանումների ժամանակահատվածը կախված է տարբեր հանգամանքներից, ինչպիսիք են մարմնի չափը եւ ձեւը, կասեցման կետի եւ ծանրության կենտրոնի միջեւ հեռավորությունը `զանգվածային բաշխումը: Այդ իսկ պատճառով կախովի մարմնի շրջանի որոշումը բավականին մարտահրավեր է: Շատ ավելի հեշտ է հաշվարկել մաթեմատիկական ճոճանակի ժամանակահատվածը, որի բանաձեւը կցուցադրվի ստորեւ: Նման մեխանիկական համակարգերի վերաբերյալ դիտարկումների արդյունքում այս օրինաչափությունները կարող են սահմանվել.

Եթե \u200b\u200bերկարաձգեք ճոճանակի նույն երկարությունը, կախեք տարբեր ապրանքներ, ապա նրանց տատանումների ժամանակահատվածները նույնը կլինեն, չնայած նրանց զանգվածները շատ տարբեր կլինեն: Հետեւաբար, նման ճոճանակի ժամանակահատվածը կախված չէ բեռների զանգվածից:

Եթե \u200b\u200bհամակարգը սկսելիս մերժեք ճոճանակը ոչ շատ մեծ, բայց տարբեր անկյուններով, ապա այն կտուժի նույն ժամանակահատվածի հետ, բայց տարբեր ամպլիտներում: Չնայած հավասարակշռության կենտրոնից շեղումները չափազանց մեծ չեն, դրանց ձեւի տատանումները բավականին մոտ կլինեն ներդաշնակությանը: Նման ճոճանակի ժամանակահատվածը կախված չէ թրթռացող ամպլիտուց: Այս մեխանիկական համակարգի այս գույքը կոչվում է Isochronism (հունարեն «Chronos» - ից, «Izos» - ին, հավասար):

Մաթեմատիկական ճոճանակի ժամանակահատվածը

Այս ցուցանիշը, չնայած բարդ ձեւակերպմանը, գործընթացն ինքնին շատ պարզ է: Եթե \u200b\u200bմաթեմատիկական ճոճանակի թելի երկարությունը եւ ազատ անկման արագացումը, ապա այս արժեքը հետեւյալն է.

Փոքր բնագավթի տատանումների ժամանակահատվածը կախված չէ ճոճանակի զանգվածից եւ տատանումների ամպլիտուդից: Այս դեպքում ճոճանակը մաթեմատիկական է տեղափոխվում կրճատված երկարությամբ:

Մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումներ

Մաթեմատիկական ճոճանակը տալիս է տատանումներ, որոնք կարելի է նկարագրել պարզ դիֆերենցիալ հավասարման միջոցով.

x + ω2 SIN X \u003d 0,

որտեղ x (t) անհայտ գործառույթ է (սա ցածր հավասարակշռության դիրքից շեղման անկյուն է, ռադիներում արտահայտված ժամանակ). ω Արդյոք դրական կայուն է, որը որոշվում է ճոճանակի պարամետրերից (ω \u003d √g / l, որտեղ G- ն անվճար անկման արագացումն է, եւ L- ն մաթեմատիկական ճոճանակի (կասեցման) երկարությունն է:

Հավասարակշռության մոտ փոքր տատանումների հավասարումը դրված է (ներդաշնակ հավասարումը) այսպիսին է.

x + ω2 SIN X \u003d 0

Ճոճանակի տատանվող շարժումները

Մաթեմատիկական ճոճանակ, որը փոքր տատանումներ է առաջացնում, շարժվում է սինուսադի երկայնքով: Երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը բավարարում է նման շարժման բոլոր պահանջներին եւ պարամետրերին: Հետագիծը որոշելու համար անհրաժեշտ է սահմանել արագությունն ու կոորդինատը, որից որոշվում են անկախ հաստատուններ.

x \u003d մեղք (θ 0 + ωt),

Որտեղ է θ 0-ը նախնական փուլն է, Ա-ն տատանումների ամպլիտուդն է, ω ցիկլային հաճախականություն է որոշվում շարժման հավասարման համար:

Մաթեմատիկական ճոճանակ (մեծ ամպլիտուդների բանաձեւեր)

Այս մեխանիկական համակարգը, որն իր տատանում է զգալի ամպլիտուդիտալով, ենթակա է շարժման ավելի բարդ օրենքների: Նման ճոճանակի համար դրանք հաշվարկվում են բանաձեւով.

sin x / 2 \u003d u * sn (ωt / u),

որտեղ sn- ը sinus jacobi է, որը ձեզ համար է< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u \u003d (ε + ω2) / 2ω2,

որտեղ ε \u003d e / ml2 (ML2 - ճոճանակի էներգիա):

Ոչ գծային ճոճանակի տրոհման ժամանակաշրջանի որոշումը իրականացվում է բանաձեւով.

Որտեղ ω \u003d π / 2 * ω / 2k (u), k - էլիպսաձեւ ինտեգրալ, π - 3,14.

Դեպրիպրիի ճոճանակի շարժում

Առանձնահատուկը կոչվում է դինամիկ համակարգի հետագիծ, որն ունի երկչափ փուլ տարածք: Մաթեմատիկական ճոճանակը շարժվում է դրա վրա ինդեքսավորմամբ: Անխոնիկ երկար մոմենտի մեջ այն ծայրահեղ վերին դիրքից ընկնում է դեպի զրոյական արագությամբ, այնուհետեւ աստիճանաբար վերցնում է այն: Ի վերջո, այն դադարում է, վերադառնալով իր սկզբնական դիրքի:

Եթե \u200b\u200bմոտենում է ճոճանակի տատանումների ամպլիտուդը π Սա հուշում է, որ փուլային ինքնաթիռի վրա շարժումը մոտենում է առանձնատուն: Այս դեպքում, փոքրիկ հարկային պարբերական ուժի գործողության ներքո մեխանիկական համակարգը դրսեւորում է քաոսային վարք:

Մաթեմատիկական ճոճանակի շեղումով հավասարակշռության դիրքից որոշ անկյունով, ծանրության շոշափելի ուժը F Է \u003d -MG Sin φ: «Մինուս» նշանը նշանակում է, որ այս շոշափելի բաղադրիչը հակառակ ուղղությամբ է ուղարկվում ճոճանակի շեղումից: X- ի միջոցով խորհրդանշելիս ճոճանակի տեղահանումը ճառագայթների շրջագծով շրջագծով դրա անկյունային տեղաշարժը φ \u003d x / լ է: Երկրորդ օրենքը նախատեսված է կանխատեսումների եւ ուժի համար, ցանկալի արժեք կտա.

mg τ \u003d f τ \u003d -MG SIN X / L

Հիմնվելով այս հարաբերակցության վրա, կարելի է տեսնել, որ այս ճոճանակը ոչ գծային համակարգ է, քանի որ այն ուժը, որը ձգտում է այն վերադարձնել հավասարակշռության դիրքում, միշտ էլ համաչափ է ոչ տեղահանման X / L:

Միայն այն դեպքում, երբ մաթեմատիկական ճոճանակը փոքր տատանումներ է իրականացնում, այն ներդաշնակ տուժող է: Այլ կերպ ասած, այն դառնում է մեխանիկական համակարգ, որն ունակ է կատարել ներդաշնակ տատանումներ: Նման մոտարկումը գրեթե արդար է անկյունների համար, 15-20 °: Մեծ ամպլիտուդներով ճոճանակի տատանումները ներդաշնակ չեն:

Նյուտոնի օրենսդրություն փոքր ճոճանակների տատանումների համար

Եթե \u200b\u200bայս մեխանիկական համակարգը կատարում է փոքր տատանումներ, Newton 2-րդ օրենքը այսպիսին կլինի.

Մգ τ \u003d F Է \u003d -M * գ / լ * x:

Ելնելով դրանից, կարելի է եզրակացնել, որ մաթեմատիկական ճոճանակը համամասն է «մինուս» նշանով իր տեղահանման համար: Սա պայման է, որի պատճառով համակարգը դառնում է ներդաշնակ տուժող: Տեղահանման եւ արագացման միջեւ համամասնության գործակիցը հավասար է շրջանաձեւ հաճախության հրապարակին.

ω02 \u003d գ / լ; ω0 \u003d √ g / l:

Այս բանաձեւը արտացոլում է այս տեսակի ճոճանակի փոքր տատանումների սեփական հաճախությունը: Այս հիման վրա

T \u003d 2π / ω0 \u003d 2π√ գ / Լ.

Հաշվարկները `էներգիայի պահպանման օրենքի հիման վրա

Pendulum- ի հատկությունները կարելի է նկարագրել եւ էներգետիկ պահպանության օրենքի օգնությամբ: Պետք է հիշել, որ ծանրության ոլորտում ճոճանակն է.

E \u003d mgδh \u003d MGL (1 - CO) \u003d MGL2SIN2 α / 2

Ամբողջական հավասար է կինետիկ կամ առավելագույն ներուժ, Epmax \u003d Ekmsx \u003d E

Էներգետիկ պահպանության օրենքը ձայնագրվելուց հետո վերցրեք հավասարման իրավունքի եւ ձախ մասերի ածանցյալը.

Քանի որ մշտական \u200b\u200bարժեքների ածանցյալը 0 է, ապա (ep + ek) »\u003d 0. Գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների քանակին.

EP "\u003d (MG / L * X2 / 2)" \u003d MG / 2L * 2x * x "\u003d MG / L * V + EK" \u003d (MV2 / 2) \u003d M / 2) \u003d M / 2 * 2V * V "\u003d MV * α,

Հետեւաբար

MG / L * XV + MVA \u003d v (MG / L * X + M α) \u003d 0:

Հիմնվելով վերջին բանաձեւի վրա, մենք գտնում ենք. Α \u003d - g / l * x:

Մաթեմատիկական ճոճանակի գործնական կիրառում

Արագացումը տատանվում է աշխարհագրական լայնության հետ, քանի որ Երկրի կեղեւի խտությունը մոլորակի մեջ նույնը չէ: Այն դեպքում, երբ ժայռերը տեղակայված են ավելի մեծ խտությամբ, այն փոքր-ինչ ավելի բարձր կլինի: Մաթեմատիկական ճոճանակի արագացումը հաճախ օգտագործվում է երկրաբանական ուսումնասիրության համար: Այն փնտրում է տարբեր օգտակար հանածոներ: Պարզապես հաշվելով ճոճանակի տատանումների քանակը, կարելի է աղիքներում հայտնաբերել քարե ածուխ կամ հանքաքար: Դա պայմանավորված է նրանով, որ նման բրածոները ունեն խտություն եւ շատ ավելին, քան հիմքում ընկած չամրացված ժայռերը:

Մաթեմատիկական ճոճանակը նման ականավոր գիտնականներ օգտագործեց որպես Սոկրատես, Արիստոտելը, Պլատոն, Պլուտարք, վարդապետ: Նրանցից շատերը հավատում էին, որ այս մեխանիկական համակարգը կարող է ազդել ճակատագրի եւ մարդու կյանքի վրա: Արխիվները դրա հաշվարկներում օգտագործում էին մաթեմատիկական ճոճանակ: Այժմ շատ օկուլտահարներ եւ հոգեբաններն օգտագործում են այս մեխանիկական համակարգը `իրենց մարգարեությունները կյանքի կոչելու կամ անհայտ կորածների որոնման համար:

Ֆրանսիացի հայտնի աստղագետը եւ գիտնական Կ. Ֆլամարանն իր հետազոտության համար օգտագործեց նաեւ մաթեմատիկական ճոճանակ: Նա պնդում է, որ իր օգնությամբ նրան հաջողվել է կանխատեսել նոր մոլորակի բացումը, վիշխիական երկնաքարը եւ այլ կարեւոր իրադարձությունների առաջացումը: Երկրորդ համաշխարհային պատերազմի ժամանակ Գերմանիայում (Բեռլին) աշխատել է Pending իշուլյացիայի մասնագիտացված ինստիտուտ: Այժմ Մյունխենի պարապսիկոլոգիայի ինստիտուտը զբաղեցնում է նման ուսումնասիրությունները: Նրա գործը ճոճանակի հետ, այս հաստատության աշխատակազմը կոչվում է «Ռադիոպիա»:

Սահմանում

Մաթեմատիկական ճոճանակ - Սա տատանվող համակարգ է, որը ֆիզիկական ճոճանակի որոշակի դեպք է, որի ամբողջ զանգվածը կենտրոնացած է մի պահի, ճոճանակի զանգվածի կենտրոնում:

Սովորաբար, մաթեմատիկական ճոճանակը ներկայացված է որպես երկար ծանր եւ անթերի թելերով կասեցված գնդակ: Սա իդեալականացված համակարգ է, որն իրականացնում է ներդաշնակ տատանումներ ծանրության գործողությունների համաձայն: Մաթեմատիկական ճոճանակի համար լավ մոտեցում է զանգվածային փոքր գնդակը, տատանումներ իրականացնելով բարակ երկար թելերի վրա:

Գալիլեին նախ ուսումնասիրել է մաթեմատիկական ճոճանակի հատկությունները, երկար շղթայի վրա հաշվի առնելով խուճապի ճոճանակը: Նա ստացավ, որ մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակահատվածը կախված չէ ամպլիտուց: Եթե \u200b\u200bխաղ է սկսելիս մերժեք այն տարբեր փոքր անկյունների, ապա դրա տատանումները տեղի կունենան մեկ ժամանակահատվածով, բայց տարբեր ամպլիտովներով: Այս գույքը կոչվում էր Իսաբրոնիզմ:

Մաթեմատիկական ճոճանակ շարժման հավասարումը

Մաթեմատիկական ճոճանակը ներդաշնակ օսիլատորի դասական օրինակ է: Այն դարձնում է ներդաշնակ տատանումներ, որոնք նկարագրված են դիֆերենցիալ հավասարման միջոցով.

\\ [\\ ddot (\\ varphi) + (\\ Omega) ^ 2_0 \\ varphi \u003d 0 \\ \\ ձախ (1 \\ աջ), \\]

Որտեղ $ \\ varphi $ -ը թելերի (կասեցման) շեղման անկյուն է հավասարակշռության դիրքից:

Հավասարման լուծումը (1) Գործառույթը $ \\ varphi (t). $

\\ [\\ varphi (t) \u003d (\\ varphi) _0 (\\ cos \\ ձախ ((\\ \\ \\) _0t + \\ Alpha \\ աջ) \\ (2 \\ ճիշտ), \\) \\]

Որտեղ $ \\ Alpha $ է տատանումների նախնական փուլը. $ (\\ varphi) _0 $ - տատանումների ամպլիտուդ. $ (\\ Omega) _0 $ - ցիկլային հաճախականություն:

Հարմոնիկ տատանման տատանումները պարբերական շարժման կարեւոր օրինակ են: Oscillator- ը դասական եւ քվանտային մեխանիկայի բազմաթիվ մարտահրավերների մեջ է որպես մոդել:

Մաթեմատիկական ճոճանակի ցիկլային հաճախականությունը եւ տատանումների շրջանը

Մաթեմատիկական ճոճանակի ցիկլային հաճախականությունը կախված է միայն դրա կասեցման երկարությունից.

\\ [\\ amega) _0 \u003d \\ sqrt (\\ frac (g) (L)) \\ ձախ (3 \\ աջ): \\]

Այս դեպքում մաթեմատիկական ճոճանակի ($ t $) տատանումների ժամանակահատվածը հետեւյալն է.

Արտահայտությունը (4) ցույց է տալիս, որ մաթեմատիկական ճոճանակի ժամանակահատվածը կախված է միայն դրա կասեցման երկարությունից (ապրանքի ծանրության կենտրոնի կենտրոնից դադարեցման կետից հեռավորության վրա հեռավորության վրա) եւ արագացնել ազատ անկումը:

Էներգետիկ հավասարումը մաթեմատիկական ճոճանակի համար

Մեխանիկական համակարգերի տատանումները մեկ աստիճանով հաշվի առնելով, դրանք հաճախ ընդունվում են որպես Նյուտոնի շարժման նախնական հավասարություն, բայց էներգիայի հավասարումը: Քանի որ ավելի հեշտ է կազմել, եւ դա ժամանակի առաջին կարգի հավասարությունն է: Ենթադրենք, համակարգում շփումը բացակայում է: Մաթեմատիկական ճոճանակի (փոքր տատանումների) անվճար տատանումների (փոքր տատանումների) անվճար տատանումների (փոքր տատանումների) անվճար տատանումների իրականացման օրենքը,

Որտեղ $ e_k $ - ճոճանակի կինետիկ էներգիան. $ E_P $ - ճոճանակի հավանական էներգիան. $ V $ - ճոճանակի շարժման արագությունը. $ X $ - Pendulum բեռների գծային շարժում հավասարակշռության դիրքից $ L $ 6-ի շրջանագծի կամարների վրա, իսկ անկյունը `օֆսեթը, որը կապված է $ x $ -ի, ինչպես.

\\ [\\ Varphi \u003d \\ frac (x) (L) \\ ձախ (6 \\ աջ): \\]

Մաթեմատիկական ճոճանակի հավանական էներգիայի առավելագույն արժեքը հետեւյալն է.

Առավելագույն քվինետիկ էներգիա.

որտեղ $ H_M $ է ճոճանակի բարձրացման առավելագույն բարձրությունը. $ x_m $ - ճոճանակի առավելագույն շեղումը հավասարակշռության դիրքից. $ v_m \u003d (\\ \\ omega) _0x_m $ - Առավելագույն արագություն:

Լուծմամբ առաջադրանքների օրինակներ

Օրինակ 1.

Առաջադրանքը: Որն է մաթեմատիկական ճոճանակի գնդակի բարձրացման առավելագույն բարձրությունը, եթե հավասարակշռության դիրքի ընդունման ընթացքում շարժման արագությունը $ v $ էր:

Որոշում Կազմեք նկար:

Թող գնդակի հնարավոր էներգիան իր հավասարակշռության դիրքում (կետ 0): Այս պահին գնդակի արագությունը առավելագույնն է եւ հավասար է $ v հիմնահարցի պայմանին: Գնդակի առավելագույն վերելակի վրա հավասարակշռության դիրքի վրա (կետ ա), գնդակի արագությունը զրոյական է, առավելագույն էներգիան առավելագույնն է: Մենք գրում ենք էներգիայի պահպանման օրենքը Գնդակի երկու կետերի համար, որոնք վերանայվել են.

\\ [\\ Frac (mv ^ 2) (2) \u003d mgh \\ \\ ձախ (1.1 \\ աջ): \\]

Հավասարումից (1.1) մենք կգտնենք ցանկալի բարձրությունը.

Պատասխան $ H \u003d \\ frac (v ^ 2) (2G) $

Օրինակ 2.

Առաջադրանքը: Որն է ծանրության արագացումը, եթե մաթեմատիկական ճոճանակը ունի $ l \u003d 1 \\ մ $ երկարություն, կատարում է տատանումներ, հավասար ժամանակահատվածով `$ t \u003d 2 \\ c $: Դիտարկենք մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումները փոքր: \\ Textit ()

Որոշում Որպես հիմք խնդրի լուծման համար, մենք կվերցնենք բանաձեւ `փոքր տատանումների ժամանակահատվածը հաշվարկելու համար.

Էքսպրես արագացում դրանից.

Կտրեք ծանրության արագացման հաշվարկները.

Պատասխան $ G \u003d 9.87 \\ \\ FAC (M) (C ^ 2) $

Մաթեմատիկական ճոճանակ - Սա նյութական կետ է, որը կասեցված է անիմաստ եւ անթերի թելերի վրա, որը գտնվում է երկրի ծանրության մեջ: Մաթեմատիկական ճոճանակը իդեալականացված մոդել է, որը ճիշտ նկարագրում է իրական ճոճանակը միայն որոշակի պայմաններում: Իրական ճոճանակը կարող է համարվել մաթեմատիկական, եթե թելերի երկարությունը շատ ավելին է, քան դրա վրա կասեցված մարմնի չափերը, թելերի զանգվածը աննշան է մարմնի զանգվածի հետ, եւ թվի լարերը այդպես են փոքր, որ դրանք կարող են ընդհանրապես անտեսվել:

Այս դեպքում տատանվող համակարգը կազմում է իր մարմնին եւ Երկրին կցված մի թել, առանց որի այս համակարգը չկարողացավ ծառայել որպես ճոճանակ:

Որտեղ բայց Հ. – արագացում, Գամասեղ - ծանրության արագացում, Հ.- Օֆսեթ Լ. - ճոճանակի դեմքի երկարությունը:

Այս հավասարումը կոչվում է Մաթեմատիկական ճոճանակի անվճար տատանումների հավասարումը:Այն ճիշտ է նկարագրում քննարկման ենթակա թրթռանքները միայն այն դեպքում, երբ կատարվում են հետեւյալ ենթադրությունները.

2) Քննարկվում են միայն փոքր ճոճանակի տատանումներ շրջանակի փոքր անկյունով:

Բոլոր դեպքերում ցանկացած համակարգի անվճար տատանումներ նկարագրված են նմանատիպ հավասարումների կողմից:

Մաթեմատիկական ճոճանակի անվճար տատանումների պատճառները հետեւյալն են.

1. Գործողություն լարվածության ուժի եւ ինքնահոս ուժի ճոճանակի վրա, ինչը կանխում է իր տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից եւ կրկին ստիպելու այն իջնել:

2. Պենդուլի անարդյունավետությունը, որի շնորհիվ դա, իր արագությունը պահպանելիս, չի դադարում հավասարակշռության դիրքում, բայց հետագայում անցնում է դրա միջով:

Մաթեմատիկական ճոճանակի անվճար տատանումների ժամանակաշրջանը

Մաթեմատիկական ճոճանակի անվճար տատանումների ժամանակահատվածը կախված չէ նրա զանգվածից, բայց որոշվում է միայն թելերի երկարությամբ եւ ազատ անկման արագացմանը, որտեղ գտնվում է ճոճանակը:

Էներգետիկ վերափոխում ներդաշնակ տատանումներում

Գարնանային ճոճանակի ներդաշնակ տատանումներում առաձգական դեֆորմացված մարմնի հնարավոր էներգիան առաջանում է իր կինետիկ էներգիայով: Կ. – Էլաստիկ գործակից x -Ճոճանակի մոդուլի տեղահանումը հավասարակշռության դիրքից, Տղամարդ- զանգվածային ճոճանակ, Վ.- Նրա արագությունը: Համաձայն ներդաշնակ տատանումների հավասարման.

, .

Գարնանային ճոճանակի ամբողջական էներգիա.

.

Ամբողջ էներգիան մաթեմատիկական ճոճանակի համար.

Մաթեմատիկական ճոճանակի դեպքում

Գարնանային ճոճանակի տատանումների ընթացքում էներգիայի վերափոխումը տեղի է ունենում մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքին համապատասխան ( ): Երբ ճոճանակը շարժվում է հավասարակշռության դիրքից ներքեւ կամ վերեւ, դրա հնարավոր էներգիան մեծանում է, իսկ կինետիկ, նվազում է: Երբ ճոճանակը հավասարակշռության դիրքն է ( Հ.\u003d 0), դրա հավանական էներգիան զրո է, եւ ճոճանակի կինետիկ էներգիան ամենամեծ արժեքն ունի իր ընդհանուր էներգիայի համար:

Այսպիսով, ճոճանակի անվճար տատանումների գործընթացում, դրա հավանական էներգիան վերածվում է կինետիկ, կինետիկ ներուժի, ներուժի, ապա կրկին կացորեն է մնում անփոփոխ:

Հարկադիր տատանումներ: Ռեզոնանս:

Արտաքին պարբերական ուժի գործողությունների տակ տեղի ունեցող տատանումները կոչվում են Հարկադիր տատանումներ, Արտաքին պարբերական ուժը, որը կոչվում է պարտադրված, տեղեկացնում է տատանման համակարգը լրացուցիչ էներգիայով, որն անցնում է շփման պատճառով, որոնք տեղի են ունենում էներգիայի կորուստների համալրումը: Եթե \u200b\u200bուժային ուժը ժամանակին տատանվում է Սինուսի կամ կոսինի օրենքի համաձայն, ապա հարկադիր տատանումները կլինեն ներդաշնակ եւ անհաջող:

Ի տարբերություն անվճար տատանումների, երբ համակարգը էներգիա է ստանում միայն մեկ անգամ (երբ համակարգը հանվում է հավասարակշռության վիճակից), հարկադիր տատանումների դեպքում համակարգը ներծծում է այս էներգիան արտաքին պարբերական էներգիայի աղբյուրից: Այս էներգիան համալրում է շփման հաղթահարման վրա ծախսված կորուստները, եւ, հետեւաբար, տատանվող համակարգի ընդհանուր էներգիան դեռեւս մնում է անփոփոխ:

Հարկադիր տատանումների հաճախականությունը հավասար է ուժի տեմպին, Այն դեպքում, երբ ուժի մեջ մտնելու հաճախականությունը υ համընկնում է տատանվող համակարգի ձեր սեփական հաճախության հետ υ 0 , Հարկադիր տատանումների ամպլիտուդության կտրուկ աճ կա - ռեզոնանս. Ռեզոնանսը ծագում է դրա պատճառով υ = υ 0 Արտաքին ուժը, գործելով ծեծի մեջ անվճար տատանումներով, ամբողջ ժամանակ ղեկավարվում է տատանվող մարմնի արագությամբ եւ կատարում է դրական գործողություն. Մեծանում է մեծ քանակությամբ մարմնի էներգիան: Հարկադիր տատանումների ամպլիտուդության կախվածության գրաֆիկը Բայց Շոշափել Ուժի հաճախականությունից υ Տեղադրվել է ցուցանիշում, այս գրաֆիկը կոչվում է ռեզոնանսային կոր.

Ռեզոնանսավորման երեւույթը մեծ դեր է խաղում մի շարք բնական, գիտական \u200b\u200bեւ արտադրական գործընթացներում: Օրինակ, անհրաժեշտ է հաշվի առնել ռեզոնանսի երեւույթը կամուրջներ, շենքեր եւ այլ կառույցներ, որոնք ծանրաբեռնվածություն են ապրում ծանրաբեռնվածության տակ, այլապես, որոշակի պայմաններում, այս կառույցները կարող են ոչնչացվել:

Եթե \u200b\u200bգարնանը կցված մարմինը (4-րդ նկար 4) ընկալվում է հավասարակշռության դիրքից դեպի A հեռավորության վրա գտնվող հեռավորությունը, օրինակ, ձախ, այնուհետեւ, հավասարակշռության դիրքով անցնելու միջոցով, մերժվելու է աջից: Սա հետեւում է էներգիայի պահպանման օրենքից:

Հնարավոր էներգիայի սեղմված կամ ձգված աղբյուրը հավասար է

Որտեղ k- ն գարնան եւ X- ի կոշտությունն է `դրա երկարացումը: Ծայրահեղ ձախ դիրքում, գարնան X \u003d - ա, -, հետեւաբար, հնարավոր էներգիան հավասար է

Այս պահին կինետիկ էներգիան զրո է, քանի որ զրոյը հավասար է արագությանը: Դա նշանակում է, որ հավանական էներգիան այս պահին համակարգի ամբողջական մեխանիկական էներգիան է: Եթե \u200b\u200bհամաձայնեցված է, որ շփման ուժը զրո է, եւ այլ ուժեր հավասարակշռված են, ապա մեր համակարգը կարող է համարվել փակ եւ լիարժեք էներգիա: Երբ մարմինը, իր շարժմամբ, պարզվում է, որ ծայրահեղ ճիշտ դիրքում է (X \u003d ա), դրա կինետիկ էներգիան կրկին զրո կլինի, եւ ընդհանուր էներգիան կրկին հավասար է ներուժին: Եվ ընդհանուր էներգիան չի կարող փոխվել: Դա նշանակում է, որ նա կրկին հավասար է

Սա նշանակում է, որ մարմինը մերժվելու է A.- ին հավասար հեռավորության վրա:

Ընդհակառակը, հակառակը, հնարավոր էներգիան զրո է, քանի որ գարունը չի դեֆորմացված, x \u003d 0: Այս դիրքում մարմնի ընդհանուր էներգիան հավասար է իր կինետիկ էներգիային

որտեղ M- ն մարմնի քաշն է եւ `դրա արագությունը (այն առավելագույնն է այդ պահին): Բայց այս կինետիկ էներգիան նույնպես պետք է հավասար լինի հավասար: Հետեւաբար, տատանվող շարժումով, կինետիկ էներգիայի վերածումը ներուժի եւ հետեւի: Հավասարակշռության դիրքերի եւ առավելագույն շեղման ցանկացած կետում մարմինը ունի ինչպես կինետիկ էներգիա, այնպես էլ ներուժ, բայց դրանց գումարը: Մարմնի ցանկացած դիրքում ամբողջական էներգիան հավասար է: Ամբողջ մեխանիկական էներգիան W տատանվող մարմինը համաչափ է ամպլիտուդության հրապարակին եւ դրա տատանումներին

Ճոճանակ Մաթեմատիկական ճոճանակ

Ձգումը յուրաքանչյուր մարմին է, կասեցված է, որ իր ծանրության կենտրոնը գտնվում է կասեցման կետից ցածր: Այսպիսով, բեռը կասեցվել է պարանով, սա տատանվող համակարգ է, որը նման է պատի ժամացույցների ճոճանակին: Any անկացած համակարգում, որն ունակ է անվճար տատանումներ կատարել, հավասարակշռության կայուն դիրք կա: Ձգումը այն իրավիճակն է, որում ծանրության կենտրոնը ուղղահայաց է կասեցման կետում: Եթե \u200b\u200bմենք բխում ենք սույն դիրքից կամ մղում ենք ճոճանակը կամ մղենք այն, այն կսկսի տատանվել, շեղելով այն մեկ, այնուհետեւ, մյուս ուղղությամբ, հավասարակշռության դիրքից: Մենք գիտենք, որ հավասարակշռության դիրքորոշումից ամենամեծ շեղումը, որին հասնում է ճոճանակը, կոչվում է տատանումների ամպլիտուդ: Լողությունը որոշվում է նախնական շեղումով կամ խթանով, որով տեղափոխվել է ճոճանակը: Այս գույքը շարժման սկզբի պայմաններից լիարժեքության կախվածությունն է `բնորոշ է ոչ միայն ճոճանակի անվճար տատանումների, այլեւ շատ տատանվող համակարգերի անվճար տատանումների համար:

Ֆիզիկական ճոճանակի տատանումները կախված են բազմաթիվ հանգամանքներից. Մարմնի չափից եւ ձեւից, ծանրության կենտրոնի եւ կասեցման կետի եւ մարմնի զանգվածային բաշխման միջեւ հեռավորության վրա. Հետեւաբար կասեցման ժամանակահատվածի հաշվարկը բավականին բարդ խնդիր է: Գործը ավելի հեշտ է մաթեմատիկական ճոճանակի համար: Մաթեմատիկական ճոճանակը նուրբ թելի մեջ կախվող բեռ է, որի չափերը շատ ավելի քիչ են, քան թելի երկարությունը, եւ մանանա նրա զանգվածը ավելի մեծ է, քան թելի զանգվածը: Սա նշանակում է, որ մարմինը (բեռ) եւ թել պետք է լինի այնպիսին, որ բեռը կարող է համարվել նյութական կետ, եւ շարանը անթիվ է: Նման ճոճանակների վերաբերյալ դիտարկումներից կարող եք սահմանել հետեւյալ սովորական օրենքները:

1. Եթե, միեւնույն երկարությամբ պահելով ճոճանակի նույն երկարությունը (բեռի ծանրության կենտրոնից կասեցման կետից հեռավորությունը) կախեք տարբեր բեռներ, ապա տատանումների ժամանակահատվածը կլինի նույնը, չնայած ապրանքների զանգվածը մեծապես տարբերվում է: Մաթեմատիկական ճոճանակի ժամանակահատվածը կախված չէ բեռների զանգվածից:

2. Կողքը, մարմնի ցանկացած կետի վրա գործելը, ուղղված է հավասարակշռության դիրքին, իսկ հավասարակշռության կետում `զրոյական:

3. Ուժը համաչափ է մարմնի շեղմանը հավասարակշռության դիրքից:

ՆկՂ Հինգ.

4. Եթե ճոճանակը սկսելիս մերժեք այն տարբեր (բայց ոչ շատ մեծ) անկյուններով, այն կտատանվի նույն ժամանակահատվածի հետ, չնայած տարբեր ամպլիտովներով: Չնայած ամպլիտուդը չափազանց մեծ չէ, տատանումները բավականաչափ մոտ են իրենց ձեւով ներդաշնակությանը, եւ մաթեմատիկական ճոճանակի ժամկետը կախված չէ տատանումների ամպլիտուդից: Այս գույքը կոչվում է isochronism (հունարեն բառերից «Izos» - հավասար, «Chronos» - ժամանակ):

Առաջին անգամ այս փաստը հիմնադրվել է 1655-ին: Գալիլեեման ենթադրվում է հետեւյալ հանգամանքներում: Գալիլեան նկատեց Փանադիլի ռիթմ տաճարի Պիսանսկի տաճարում (Ուղղափառ եկեղեցում, կենտրոնական ջահ, մոմերի կամ լամպադայի մեծ քանակությամբ լամպ), որը երկար շղթայի վրա էր: Ծառայության ընթացքում ռիթմերի ճոճանակներն աստիճանաբար մարվել են (Գլուխ 8), այսինքն, տատանումների ամպլիտուդը նվազել է, բայց ժամանակաշրջանը մնացել է նույնը: Որպես ժամանակ, Գալիլեան օգտագործեց իր զարկերակը:

Պենդուլի այս ունեցվածքը ոչ միայն զարմանալի էր, այլեւ օգտակար: Գալիլեան առաջարկել է ժամացույցը օգտագործել ճոճանակը որպես կարգավորիչ: Գալիլեայի ժամանակ ժամացույցը գործարկվել է ծանրաբեռնվածությամբ, եւ հարվածը կարգավորելու համար օգտագործվել է քամու ջրաղացների տիպի կոպիտ հարմարեցում: Ժամանակի հավասար ժամանակահատվածներին դիմելու համար կարող է օգտագործվել ճոճանակ, քանի որ փոքր տատանումները կատարվում են միեւնույն ժամանակ, որքան մեծ քանակությամբ պատահական քամու գեղձերի պատճառով: Գալիլեայից հետո հարյուրամյակ, ցրտահարության կարգավորիչով ժամացույցը օգտագործվում էր, բայց նավարկողներին դեռ ճշգրիտ ժամեր էին հարկավոր ծովում երկայնությունը չափելու համար: Հայտարարվեց մրցանակ այնպիսի եղանակներ ստեղծելու համար, որոնք թույլ կտան չափել ժամանակը բավարար ճշգրտությամբ: Մրցանակը ստացել է Գառնիսոնը `քրոնոմետր, որում սայլակը (հավասարակշռությունը) եւ հատուկ գարուն օգտագործվել են` ինսուլտը կարգավորելու համար:

Այժմ մենք կհանենք մաթեմատիկական ճոճանակի տատանման ժամանակահատվածի բանաձեւը:

Երբ Pendulum- ը պտտվում է, բեռները շարժվում են VA- ի կամարի երկայնքով (Նկար 5, ա) action p 1-ի ակցիայով, որը փոխվում է մեքենա վարելիս:

Ոչ մշտական \u200b\u200bուժի գործողությամբ մարմնի շարժման հաշվարկը բավականին բարդ է: Հետեւաբար, պարզեցնելու համար կուղարկվի հետեւյալ կերպ:

Եկեք ճոճանակը չկատարենք նույն ինքնաթիռում, բայց նկարագրելու կոնքը, որպեսզի բեռը շարժվի շրջապատի շուրջը (Նկար 5, բ): Այս շարժումը կարելի է ձեռք բերել երկու անկախ տատանումների ավելացման արդյունքում. Մեկը դեռ գտնվում է օրինաչափության հարթության մեջ, իսկ մյուսը `ուղղահայաց ինքնաթիռում: Ակնհայտ է, որ այս երկու տատանումների երկու ժամանակահատվածները նույնն են, քանի որ ոչ մի ռիթմի ցանկացած ինքնաթիռ տարբերվում է որեւէ այլ: Հետեւաբար, բարդ շարժման ժամանակահատվածը `կոնքի վրա ճոճանակի բողոքարկումը, նույնը կլինի նույն հարթության ռիթմը: Այս եզրակացությունը կարելի է հեշտությամբ պատկերել ուղղակի փորձով, վերցնելով երկու նույնական ճոճանակ եւ նրանցից մեկին տեղեկացնելով ինքնաթիռում, իսկ մյուսը `կոնով:

Բայց «Կոնոնիկական» ճոճանակի փոխակերպման ժամանակահատվածը հավասար է շրջապատի նկարագրված բեռի երկարությանը, որը բաժանված է արագությամբ.

Եթե \u200b\u200bուղղահայաց շեղման անկյունը փոքր է (փոքր ամպլիտուդներ), կարելի է ենթադրել, որ վերադարձող ուժը P 1-ն ուղղված է ինքնաթիռի շրջագծի շառավղով, այսինքն, հավասար է կենտրոնամետ ուժին.

Մյուս կողմից, OVS- ի եւ DBE եռանկյունների նմանությունից հետեւում է, որ ԵԽ-ն. BD \u003d ԿԲ. Քանի որ ob \u003d l, cb \u003d r, b \u003d p 1, ապա, հետեւաբար

Երկու արտահայտություններն էլ հավասարեցնելով միմյանց, մենք ստանում ենք շրջանառության արագության համար

Վերջապես, սա փոխարինելով T- ի ժամանակաշրջանի արտահայտության մեջ, մենք գտնում ենք

Այսպիսով, մաթեմատիկական ճոճանակի ժամանակահատվածը կախված է միայն ազատ անկման G- ի արագացումից եւ ճոճանակի երկարության երկարությամբ, I.E: Հեռավորությունը կասեցման կետից `ապրանքների ծանրության կենտրոնից: Արդյունքում առաջացած բանաձեւից հետեւում է, որ ճոճանակի ժամանակահատվածը կախված չէ նրա զանգվածից եւ ամպլիտուդից (պայմանով, որ այն փոքր է): Այլ կերպ ասած, պարզվեց, հաշվարկելով այն հիմնական օրենքները, որոնք ստեղծվել են ավելի վաղ դիտարկումներից:

Բայց այս տեսական եզրակացությունը մեզ ավելի է տալիս. Այն թույլ է տալիս քանակական կախվածություն հաստատել ճոճանակի ժամանակահատվածի միջեւ, դրա երկարությունը եւ ազատ անկման արագացումը: Մաթեմատիկական ճոճանակի ժամանակահատվածը համամասն է արմատային հրապարակին `ճոճանակի երկարության հարաբերակցությունից` ազատ անկումը արագացնելու համար: Համամասնականության գործակիցը 2-ն է:

Պարտուուլի շրջանի կախվածության վրա ազատ դեպքերը արագացնելուց, այս արագացումը որոշելու շատ ճշգրիտ միջոց է հիմնված: Պարտու լի երկարությունը չափելը եւ մեծ թվով տատանումների ժամկետի ժամկետը որոշելը, մենք կարող ենք հաշվարկել արդյունքում ստացված Formula G. Այս մեթոդը լայնորեն կիրառվում է ոչ պրակտիկային:

pendulum տատանումների ռեզոնանսավորման համակարգում