კვება და დიეტა 

ორობითი მიმართება x სიმრავლეზე ეწოდება. ორობითი კავშირი. დისკრეტული მათემატიკის საფუძვლები

დაე რარის რაღაც ორობითი კავშირი X სიმრავლეზე და x, y, z არის მისი რომელიმე ელემენტი. თუ ელემენტი x არის R კავშირში y ელემენტთან, მაშინ ჩაწერეთ xRy.

1. X სიმრავლეზე R მიმართებას რეფლექსური ეწოდება, თუ სიმრავლის თითოეული ელემენტი ამ მიმართებაშია საკუთარ თავთან.

R - რეფლექსური X-ზე<=>xRx ნებისმიერი x€ X-ისთვის

თუ კავშირი R რეფლექსურია, მაშინ გრაფის თითოეულ წვეროზე არის მარყუჟი. მაგალითად, თანასწორობისა და პარალელურობის მიმართებები სეგმენტებისთვის რეფლექსურია, მაგრამ პერპენდიკულარობის და „გრძელის“ მიმართებები არ არის რეფლექსური. ეს აისახება 42-ე სურათზე მოცემულ გრაფიკებზე.

2. X სიმრავლეზე R მიმართებას სიმეტრიული ეწოდება, თუ იქიდან გამომდინარე, რომ x ელემენტი მოცემულ კავშირშია y ელემენტთან, გამოდის, რომ y ელემენტი არის იმავე მიმართებაში x ელემენტთან.

R - სიმეტრიულად ჩართული (xYay =>y Rx)

სიმეტრიული მიმართებების გრაფიკი შეიცავს დაწყვილებულ ისრებს, რომლებიც მიდიან საპირისპირო მიმართულებით. სეგმენტების პარალელურობის, პერპენდიკულარობისა და ტოლობის მიმართებები სიმეტრიულია, მაგრამ „გრძელი“ მიმართება არ არის სიმეტრიული (სურ. 42).

3. X სიმრავლეზე R მიმართებას ეწოდება ანტისიმეტრიული, თუ X და y სიმრავლის სხვადასხვა ელემენტებისთვის, იქიდან, რომ x ელემენტი მოცემულ მიმართებაშია y ელემენტთან, გამოდის, რომ y ელემენტი არ არის. x ელემენტთან ამ მიმართებაში.

R - ანტისიმეტრიული X-ზე (xRy და xy ≠ yRx)

შენიშვნა: ზედა ზოლი მიუთითებს განცხადების უარყოფაზე.

ანტისიმეტრიული მიმართების გრაფიკში ორი წერტილის დაკავშირება შესაძლებელია მხოლოდ ერთი ისრით. ასეთი მიმართების მაგალითია სეგმენტების „გრძელი“ მიმართება (ნახ. 42). პარალელურობის, პერპენდიკულარობის და თანასწორობის მიმართებები არ არის ანტისიმეტრიული. არის მიმართებები, რომლებიც არც სიმეტრიულია და არც ანტისიმეტრიული, მაგალითად, მიმართება „ძმად ყოფნა“ (სურ. 40).

4. X სიმრავლეზე R მიმართებას ეწოდება გარდამავალი, თუ იქიდან, რომ x ელემენტი მოცემულ მიმართებაშია y ელემენტთან და y ელემენტი ამ მიმართებაშია ელემენტთან z, გამოდის, რომ x ელემენტი არის მოცემული მიმართება Z ელემენტთან

R - გარდამავალი A≠ (xRy და yRz=> xRz)

42-ზე მოცემული "გრძელი", პარალელურობისა და თანასწორობის მიმართებების გრაფიკებში შეგიძლიათ შეამჩნიოთ, რომ თუ ისარი გადადის პირველი ელემენტიდან მეორეზე და მეორედან მესამეზე, მაშინ აუცილებლად არის ისარი, რომელიც მიდის პირველიდან. ელემენტი მესამემდე. ეს ურთიერთობები გარდამავალია. სეგმენტების პერპენდიკულურობას არ გააჩნია გარდამავალობის თვისება.

არსებობს იგივე სიმრავლის ელემენტებს შორის ურთიერთობის სხვა თვისებები, რომლებსაც ჩვენ არ განვიხილავთ.

ერთსა და იმავე კავშირს შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე თვისება. ასე, მაგალითად, სეგმენტების ერთობლიობაზე მიმართება „თანაბარი“ არის რეფლექსური, სიმეტრიული, გარდამავალი; მიმართება „მეტი“ არის ანტისიმეტრიული და გარდამავალი.


თუ X სიმრავლის მიმართება არის რეფლექსური, სიმეტრიული და გარდამავალი, მაშინ ეს არის ეკვივალენტური მიმართება ამ სიმრავლეზე. ასეთი მიმართებები ყოფს X სიმრავლეს კლასებად.

ეს ურთიერთობები ვლინდება, მაგალითად, დავალებების შესრულებისას: „აიღეთ თანაბარი სიგრძის ზოლები და დაალაგეთ ისინი ჯგუფებად“, „დააწყვეთ ბურთები ისე, რომ თითოეული ყუთი შეიცავდეს იმავე ფერის ბურთებს“. ეკვივალენტური ურთიერთობები („იყოს სიგრძით თანაბარი“, „იგივე ფერის იყოს“) ამ შემთხვევაში განსაზღვრავს ზოლებისა და ბურთების ნაკრების კლასებად დაყოფას.

თუ 1 სიმრავლის მიმართება გარდამავალი და ანტისიმეტრიულია, მაშინ მას ამ სიმრავლის წესრიგის მიმართება ეწოდება.

სიმრავლეს, რომელსაც აქვს მოცემული წესრიგის მიმართება, ეწოდება მოწესრიგებული სიმრავლე.

მაგალითად, დავალებების შესრულებისას: „შეადარეთ ზოლები სიგანეში და დაალაგეთ ისინი ყველაზე ვიწროდან განიერისკენ“, „შეადარეთ რიცხვები და დაალაგეთ რიცხვების ბარათები თანმიმდევრობით“, ბავშვები აწესრიგებენ ზოლებისა და რიცხვების ბარათების კომპლექტების ელემენტებს. წესრიგის ურთიერთობების გამოყენება; "უფრო ფართო", "მიყოლა".

ზოგადად, ეკვივალენტობისა და რიგის ურთიერთობები დიდ როლს თამაშობს ბავშვებში სწორი იდეების ჩამოყალიბებაში კომპლექტების კლასიფიკაციისა და მოწესრიგების შესახებ. გარდა ამისა, არსებობს მრავალი სხვა მიმართება, რომლებიც არც ეკვივალენტურ და არც წესრიგის მიმართებაა.


6. რა არის სიმრავლის დამახასიათებელი თვისება?

7. რა ურთიერთობებში შეიძლება არსებობდეს სიმრავლეები? მიეცით ახსნა თითოეული შემთხვევისთვის და გამოსახეთ ისინი ეილერის წრეების გამოყენებით.

8. განსაზღვრეთ ქვესიმრავლე. მიეცით კომპლექტების მაგალითი, რომელთაგან ერთი მეორის ქვესიმრავლეა. დაწერეთ მათი ურთიერთობა სიმბოლოების გამოყენებით.

9. განსაზღვრეთ თანაბარი სიმრავლეები. მიეცით ორი თანაბარი ნაკრების მაგალითები. დაწერეთ მათი ურთიერთობა სიმბოლოების გამოყენებით.

10. განსაზღვრეთ ორი სიმრავლის კვეთა და გამოსახეთ იგი ეილერის წრეების გამოყენებით თითოეული კონკრეტული შემთხვევისთვის.

11. განსაზღვრეთ ორი სიმრავლის კავშირი და გამოსახეთ იგი ეილერის წრეების გამოყენებით თითოეული კონკრეტული შემთხვევისთვის.

12. განსაზღვრეთ განსხვავება ორ კომპლექტს შორის და გამოსახეთ იგი ეილერის წრეების გამოყენებით თითოეული კონკრეტული შემთხვევისთვის.

13. კომპლემენტის განსაზღვრა და გამოსახვა ეილერის წრეების გამოყენებით.

14. რას ჰქვია სიმრავლის კლასებად დაყოფა? დაასახელეთ სწორი კლასიფიკაციის პირობები.

15. რას ეწოდება კორესპონდენცია ორ სიმრავლეს შორის? დაასახელეთ კორესპონდენციების დაზუსტების მეთოდები.

16. რა სახის კორესპონდენციას უწოდებენ ერთი-ერთს?

17. რა სიმრავლეებს უწოდებენ ტოლს?

18. რა სიმრავლეებს უწოდებენ ეკვივალენტს?

19. დაასახელეთ სიმრავლეზე მიმართებების განსაზღვრის გზები.

20. რა მიმართებას სიმრავლეზე ეწოდება რეფლექსური?

21. სიმრავლეზე რომელ მიმართებას ეწოდება სიმეტრიული?

22. სიმრავლეზე რომელ მიმართებას ეწოდება ანტისიმეტრიული?

23. სიმრავლეზე რომელ მიმართებას ეწოდება გარდამავალი?

24. განსაზღვრეთ ეკვივალენტურობის მიმართება.

25. განსაზღვრეთ წესრიგის მიმართება.

26. რომელ კომპლექტს ეწოდება მოწესრიგებული?

ლექცია 3.

პუნქტი 3. ურთიერთობები კომპლექტებზე. ორობითი ურთიერთობების თვისებები.

3.1. ორობითი ურთიერთობები.

როდესაც ისინი საუბრობენ ორი ადამიანის ურთიერთობაზე, მაგალითად, სერგეის და ანას, ისინი გულისხმობენ, რომ არის გარკვეული ოჯახი, რომელსაც ისინი მიეკუთვნებიან. შეკვეთილი წყვილი (სერგეი, ანა) განსხვავდება სხვა შეკვეთილი წყვილებისგან იმით, რომ არსებობს რაიმე სახის ურთიერთობა სერგეის და ანას (ბიძაშვილი, მამა და ა.შ.) შორის.

მათემატიკაში, ორი სიმრავლის პირდაპირი ნამრავლის ყველა შეკვეთილ წყვილს შორის ადა ბ (ა´ ბ) "განსაკუთრებული" წყვილები ასევე გამოირჩევიან იმის გამო, რომ მათ კომპონენტებს შორის არის "ნათესაური" ურთიერთობა, რომელიც სხვებს არ აქვთ. მაგალითად, განიხილეთ ნაკრები სზოგიერთი უნივერსიტეტის სტუდენტები და ბევრი კიქ ისწავლება კურსები. პირდაპირ პროდუქტში ს´ კშეგიძლიათ აირჩიოთ შეკვეთილი წყვილების დიდი ქვეჯგუფი ( ს, კ) ქონებრივი ქონებრივი: სტუდენტი სკურსს გადის კ. აგებული ქვესიმრავლე ასახავს ურთიერთობას „...ისმენს...“, რომელიც ბუნებრივად წარმოიქმნება სტუდენტებისა და კურსებს შორის.

ორი სიმრავლის ელემენტებს შორის ნებისმიერი კავშირის მკაცრი მათემატიკური აღწერისთვის, ჩვენ შემოგთავაზებთ ბინარული ურთიერთობის კონცეფციას.

განმარტება 3.1. ორობითი (ან ორმაგი )დამოკიდებულება რკომპლექტებს შორის ადა ბთვითნებური ქვესიმრავლე ეწოდება ა´ ბ, ე.ი.

კერძოდ, თუ A=ბ(ანუ რა ა 2), შემდეგ ამბობენ, რომ r არის მიმართება ნაკრებზე ა.

ელემენტები ადა ბუწოდებენ კომპონენტები (ან კოორდინატები ) ურთიერთობა რ.

კომენტარი. შევთანხმდეთ, რომ კომპლექტების ელემენტებს შორის მიმართებების აღსანიშნავად გამოიყენეთ ბერძნული ანბანი: r, t, j, s, w და ​​ა.შ.


განმარტება 3.2. განმარტების დომენი დ r=( ა| $ ბ, Რა არ ბ) (მარცხენა მხარე). ღირებულებების დიაპაზონი ბინარული მიმართების r სიმრავლეს უწოდებენ რ r=( ბ| $ ა, Რა არ ბ) (მარჯვენა ნაწილი).

მაგალითი 3. 1. მიეცით ორი კომპლექტი ა=(1; 3; 5; 7) და ბ=(2; 4; 6). დავაყენოთ მიმართება შემდეგნაირად t=(( x; წ)Î ა´ ბ | x+წ=9). ეს კავშირი შედგება შემდეგი წყვილებისგან (3; 6), (5; 4) და (7; 2), რომლებიც შეიძლება დაიწეროს როგორც t=((3; 6), (5; 4), (7;2). ) ). ამ მაგალითში დ t=(3; 5; 7) და რ t= ბ={2; 4; 6}.

მაგალითი 3. 2. ტოლობის მიმართება რეალურ რიცხვთა სიმრავლეზე არის სიმრავლე r=(( x; წ) | xდა წ- რეალური რიცხვები და xუდრის წ). ამ ურთიერთობისთვის არის სპეციალური აღნიშვნა: "=". განსაზღვრების დომენი ემთხვევა მნიშვნელობების დომენს და არის რეალური რიცხვების ნაკრები, დ r= რრ.

მაგალითი 3. 3. დაე ა– მაღაზიაში ბევრი საქონელი და ბ- რეალური რიცხვების ნაკრები. მაშინ j=(( x; წ)Î ა´ ბ | წ- ფასი x) – სიმრავლეთა მიმართება ადა ბ.

თუ ყურადღებას მიაქცევთ მაგალითს 3.1., შეამჩნევთ, რომ ეს მიმართება პირველად იყო მითითებული სახით t=(( x; წ)Î ა´ ბ | x+წ=9), და შემდეგ იწერება t=((3; 6), (5;4), (7;2)). ეს მიგვითითებს იმაზე, რომ ნაკრებებზე (ან ერთ კომპლექტზე) ურთიერთობები შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა გზით. მოდით შევხედოთ ორობითი ურთიერთობების განსაზღვრის გზებს.

ურთიერთობების განსაზღვრის მეთოდები:

1) შესაფერისი პრედიკატის გამოყენება;

2) შეკვეთილი წყვილების ნაკრები;

3) გრაფიკული ფორმით: ნება ადა ბ– ორი სასრული სიმრავლე და r – ორობითი მიმართება მათ შორის. ამ ნაკრების ელემენტები წარმოდგენილია სიბრტყეზე წერტილებით. ურთიერთობის ყოველი დალაგებული წყვილისთვის r ხაზავს ისარს, რომელიც აკავშირებს წყვილის კომპონენტების გამომსახველ წერტილებს. ასეთ ობიექტს ე.წ მიმართული გრაფიკიან დიგრაფი, სიმრავლეთა ელემენტების გამომსახველ წერტილებს ჩვეულებრივ უწოდებენ გრაფიკის წვეროები.

4) მატრიცის სახით: ნება ა={ა 1, ა 2, …, ან) და ბ={ბ 1, ბ 2, …, ბმ), r – თანაფარდობა ჩართულია ა´ ბ. მატრიცული წარმოდგენა r ეწოდება მატრიცას მ=[მიჯ] ზომა ნ´ მურთიერთობებით განსაზღვრული

.

სხვათა შორის, მატრიცული წარმოდგენა არის კომპიუტერში მიმართების წარმოდგენა.

მაგალითი 3. 4. მიეცით ორი კომპლექტი ა=(1; 3; 5; 7) და ბ=(2; 4; 6). მიმართება მოცემულია შემდეგნაირად t=(( x; წ) | x+წ=9). განსაზღვრეთ ეს მიმართება, როგორც მოწესრიგებული წყვილების ერთობლიობა, დიგრაფი, მატრიცის სახით.

გამოსავალი. 1) t=((3; 6), (5; 4), (7; 2)) - არის მიმართების განმარტება, როგორც მოწესრიგებული წყვილების სიმრავლე;

2) შესაბამისი მიმართული გრაფიკი ნაჩვენებია სურათზე.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">.,

მაგალითი 3. 5 . მაგალითად, შეგვიძლია განვიხილოთ შემოთავაზებული J. von Neumann(1903 - 1957) თანმიმდევრული კომპიუტერის ბლოკ-სქემა, რომელიც შედგება მრავალი მოწყობილობისგან. მ:

,

სად ა- შეყვანის მოწყობილობა, ბ- არითმეტიკული მოწყობილობა (პროცესორი), გ- საკონტროლო მოწყობილობა, დ- მეხსიერების მოწყობილობა, ე- გამომავალი მოწყობილობა.

განვიხილოთ ინფორმაციის გაცვლა მოწყობილობებს შორის მიდა მჯ, რომლებიც დაკავშირებულია r თუ მოწყობილობიდან მიინფორმაცია შედის მოწყობილობაში მჯ.

ეს ორობითი ურთიერთობა შეიძლება განისაზღვროს მისი 14 მოწესრიგებული წყვილი ელემენტების ჩამოთვლით:

ამ ორობითი ურთიერთობის განმსაზღვრელი შესაბამისი დიგრაფი წარმოდგენილია სურათზე:


ამ ორობითი ურთიერთობის მატრიცული წარმოდგენა არის:

. ,

ორობითი ურთიერთობებისთვის სიმრავლე-თეორიული ოპერაციები განისაზღვრება ჩვეულებრივი გზით: კავშირი, გადაკვეთა და ა.შ.


შემოვიღოთ ურთიერთობის განზოგადებული კონცეფცია.

განმარტება 3.3. n-ადგილი (ნ-არი ) მიმართება r არის პირდაპირი პროდუქტის ქვესიმრავლე ნკომპლექტი, ანუ მოწესრიგებული კომპლექტების ნაკრები ( ტუპლები )

რა ა 1 ან={(ა 1, …, ან)| ა 1О ა 1Ù…Ù ანÎ ან}

მოსახერხებელია მრავალადგილიანი ურთიერთობების განსაზღვრა გამოყენებით ურთიერთობითი ცხრილები . ეს ამოცანა შეესაბამება კომპლექტის ჩამოთვლას ნ- მიმართებასთან რ. ურთიერთობითი ცხრილები ფართოდ გამოიყენება კომპიუტერულ პრაქტიკაში რელაციურ მონაცემთა ბაზებში. გაითვალისწინეთ, რომ მიმართებითი ცხრილები გამოიყენება ყოველდღიურ პრაქტიკაში. ყველა სახის საწარმოო, ფინანსური, სამეცნიერო და სხვა ანგარიშები ხშირად იღებენ ურთიერთდამოკიდებულ ცხრილებს.

სიტყვა " ურთიერთობით"მომდინარეობს ლათინური სიტყვიდან ურთიერთობა, რაც რუსულად ითარგმნება ნიშნავს "დამოკიდებულებას". ამიტომ, ლიტერატურაში ასო გამოიყენება ურთიერთობის აღსანიშნავად რ(ლათინური) ან r (ბერძნული).

განმარტება 3.4.მოდით ა´ ბარის დამოკიდებულება ა´ ბ.მაშინ თანაფარდობა r-1 ეწოდება შებრუნებული მიმართება მოცემულ თანაფარდობასთან r-ით ა´ ბ, რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად:

r-1=(( ბ, ა) | (ა, ბ)Îr).

განმარტება 3.5.მოდით r Н ა´ ბარის დამოკიდებულება ა´ B, a s Н ბ´ C -დამოკიდებულება ბ´ C. კომპოზიციაურთიერთობები s და r-ს ეწოდება მიმართება t Н ა´ C, რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად:

t=s◦r= (( ა, გ)| $ბÎ ბ, რა (ა, ბ)ირ და (ბ, გ) ის).

მაგალითი 3. 6 . დაე და C=(, !, დ, ა). და თანაფარდობა r იყოს ა´ ბდა თანაფარდობა ჩართულია ბ´ Cმოცემულია სახით:

r=((1, x), (1, წ), (3, x)};

s=(( x,), (x, !), (წ, დ), ( წ, à)}.

იპოვეთ r-1 და s◦r, r◦s.

გამოსავალი. 1) განმარტებით r-1=(( x, 1), (წ, 1), (x, 3)};

2) ორი მიმართების შემადგენლობის განმარტების გამოყენებით ვიღებთ

s◦r=((1,), (1, !), (1, d), (1, а), (3,), (3, !)),

მას შემდეგ, რაც (1, x)ირი და ( x,)Îs შემდეგნაირად (1,)Îs◦r;

დან (1, x)ირი და ( x, !)Îs შემდეგნაირად (1, !)Îs◦r;

დან (1, წ)ირი და ( წ, d)Îs შემდეგნაირად (1, d)Îs◦r;

დან (3, x)ირი და ( x, !)Îs შემდეგნაირად (3, !)Îs◦r.

თეორემა 3.1.ნებისმიერი ორობითი ურთიერთობებისთვის მოქმედებს შემდეგი თვისებები:

2) ;

3) - კომპოზიციის ასოციაციურობა.

მტკიცებულება.თვისება 1 აშკარაა.

დავამტკიცოთ თვისება 2. მეორე თვისების დასამტკიცებლად ვაჩვენებთ, რომ ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს დაწერილი სიმრავლეები ერთი და იგივე ელემენტებისაგან შედგება. დაე ( ა; ბ) О (s◦r)-1 Û ( ბ; ა) О s◦r Û $ გისეთივე როგორც ( ბ; გ) О r და ( გ; ა) О s Û $ გისეთივე როგორც ( გ; ბ) О r-1 და ( ა; გ) О s-1 Ш ( ა; ბ) О r -1◦s -1.

თავად დაამტკიცეთ საკუთრება 3.

3.2. ორობითი ურთიერთობების თვისებები.

მოდით განვიხილოთ კომპლექტში ორობითი ურთიერთობების განსაკუთრებული თვისებები ა.

ორობითი ურთიერთობების თვისებები.

1. თანაფარდობა r ჩართულია ა´ ადაურეკა ამრეკლავი , თუ ( ა,ა) ეკუთვნის r ყველასთვის ასაწყისი ა.

2. მიმართება r ეწოდება ანტირეფლექსური , თუ ( ა,ბ)ირ მიჰყვება ა¹ ბ.

3. თანაფარდობა რ სიმეტრიულად , თუ ამისთვის ადა ბეკუთვნის ა, საწყისი ( ა,ბ) აქედან გამომდინარეობს, რომ ( ბ,ა)ირ.

4. მიმართება r ეწოდება ანტისიმეტრიული , თუ ამისთვის ადა ბსაწყისი აკუთვნილებისგან ( ა,ბ) და ( ბ,ა) r მიმართება გულისხმობს იმას ა=ბ.

5. თანაფარდობა რ გარდამავალად , თუ ამისთვის ა, ბდა გსაწყისი აიქიდან, რომ ( ა,ბ)ირი და ( ბ,გ)ო, აქედან გამომდინარეობს, რომ ( ა,გ)ირ.

მაგალითი 3. 7. დაე ა=(1; 2; 3; 4; 5; 6). ამ ნაკრებზე მოცემულია rÍ მიმართება ა 2, რომელსაც აქვს ფორმა: r=((1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2). ) , (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)). რა თვისებები აქვს ამ ურთიერთობას?

გამოსავალი. 1) ეს ურთიერთობა რეფლექსურია, რადგან თითოეულისთვის აÎ ა, (ა; ა)ირ.

2) მიმართება არ არის ანტირეფლექსური, ვინაიდან ამ თვისების პირობა არ არის დაკმაყოფილებული. მაგალითად, (2, 2)Îr, მაგრამ ეს არ ნიშნავს, რომ 2¹2.

3) განვიხილოთ ყველა შესაძლო შემთხვევა და გვიჩვენებს, რომ კავშირი r სიმეტრიულია:

(ა, ბ)ირ

(ბ, ა)

(ბ, ა)ი?

4) ეს მიმართება არ არის ანტისიმეტრიული, ვინაიდან (1, 2)Îr და (2,1)Îr, მაგრამ აქედან არ გამომდინარეობს, რომ 1=2.

5) პირდაპირი ჩამოთვლის მეთოდით შესაძლებელია იმის ჩვენება, რომ r მიმართება გარდამავალია.

(ა, ბ)ირ

(ბ, გ)ირ

(ა, გ)

(ა, გ)ი?

როგორ გამოვიყენოთ მატრიცული წარმოდგენა

დაადგინეთ ბინარული მიმართების თვისებები

1. რეფლექსურობა:ყველა განლაგებულია მთავარ დიაგონალზე; ნულები ან ერთი მითითებულია ვარსკვლავით.

.

2. ანტირეფლექსურობა:ყველა ნული მთავარ დიაგონალზე.

3. სიმეტრია:თუ .

4. ანტისიმეტრია:ყველა ელემენტი მთავარი დიაგონალის გარეთ არის ნული; შეიძლება ასევე იყოს ნულები მთავარ დიაგონალზე.

.

ოპერაცია "*" ხორციელდება შემდეგი წესით: , სად , .

5. ტრანზიტულობა:თუ . ოპერაცია „◦“ შესრულებულია ჩვეულებრივი გამრავლების წესით და აუცილებელია გავითვალისწინოთ: .

3.3 ეკვივალენტურობის მიმართება. ნაწილობრივი შეკვეთის კავშირი.

ეკვივალენტურობის მიმართება არის სიტუაციის ფორმალიზაცია, როდესაც ვსაუბრობთ სიმრავლის ორი ელემენტის მსგავსებაზე (ერთგვაროვნებაზე).

განმარტება 3.6.თანაფარდობა r ჩართულია აᲘქ არის ეკვივალენტურობის მიმართება, თუ ის რეფლექსური, სიმეტრიული და გარდამავალი.ეკვივალენტურობის მიმართება არ ბხშირად აღნიშნავენ: ა~ ბ.

მაგალითი 3. 8 . თანასწორობის მიმართება მთელ რიცხვთა სიმრავლეზე არის ეკვივალენტური მიმართება.

მაგალითი 3. 9 . „იგივე სიმაღლის“ მიმართება არის ეკვივალენტური მიმართება ადამიანთა სიმრავლეზე X.

მაგალითი 3. 1 0 . მოდით ¢ იყოს მთელი რიცხვების სიმრავლე. დავასახელოთ ორი ნომერი xდა წ¢-დან შედარებადი მოდულითმ(მО¥) და ჩაწერეთ, თუ ამ რიცხვების ნაშთები გაყოფის შემდეგ მ, ანუ განსხვავება ( x-წ) გაყოფილი მ.

მიმართება „შედარებადი მოდულში მმთელი რიცხვები" არის ეკვივალენტური კავშირი ¢ მთელი რიცხვების სიმრავლეზე. Ნამდვილად:

ეს ურთიერთობა რეფლექსურია, რადგან " xჩვენ გვაქვს x-x=0 და ამიტომ იყოფა მ;

ეს კავშირი სიმეტრიულია, რადგან თუ ( x-წ) გაყოფილი მ, მაშინ ( წ-x) ასევე იყოფა მ;

ეს კავშირი გარდამავალია, რადგან თუ ( x-წ) გაყოფილი მ, შემდეგ გარკვეული მთელი რიცხვისთვის ტ 1 გვაქვს https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, აქედან , ანუ ( x-ზ) გაყოფილი მ.

განმარტება 3.7.თანაფარდობა r ჩართულია აᲘქ არის ნაწილობრივი შეკვეთის კავშირი, თუ ის რეფლექსური, ანტისიმეტრიული და გარდამავალიდა მითითებულია სიმბოლოთი °.

ნაწილობრივი წესრიგი მნიშვნელოვანია იმ სიტუაციებში, როდესაც ჩვენ გვინდა როგორმე დავახასიათოთ უპირატესობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გადაწყვიტეთ, რა პირობებში მივიჩნევთ, რომ ნაკრების ერთი ელემენტი აღემატება მეორეს.

მაგალითი 3. 11 . დამოკიდებულება x£ წრეალური რიცხვების სიმრავლეზე არის ნაწილობრივი წესრიგის მიმართება. ,

მაგალითი 3. 1 2 . ზოგიერთი უნივერსალური სიმრავლის ქვეჯგუფების სიმრავლეში უდამოკიდებულება აÍ ბარის ნაწილობრივი შეკვეთის კავშირი.

მაგალითი 3. 1 3 . დაწესებულებაში დაქვემდებარების ორგანიზების სქემა არის ნაწილობრივი წესრიგის ურთიერთობა თანამდებობების ერთობლიობაში.

ნაწილობრივი წესრიგის მიმართების პროტოტიპი არის უპირატესობის (პრეცედენციის) ურთიერთობის ინტუიციური კონცეფცია. პრეფერენციული კავშირი განსაზღვრავს პრობლემების კლასს, რომელიც შეიძლება გაერთიანდეს როგორც არჩევანის პრობლემის პრობლემა საუკეთესო ობიექტი .

Პრობლემის ფორმულირება:დაე, იყოს ობიექტების კოლექცია ადა საჭიროა მათი შედარება უპირატესობის მიხედვით, ანუ უპირატესობის მიმართების დაყენება ნაკრებზე ადა დაადგინეთ საუკეთესო ობიექტები.

უპირატესობის ურთიერთობა პ, რომელიც შეიძლება განისაზღვროს როგორც " aPb, ა, ბÎ აÛ ობიექტი აარანაკლებ სასურველია ვიდრე ობიექტი ბ"არის რეფლექსური და ანტისიმეტრიული მნიშვნელობით (თითოეული ობიექტი არ არის თავის თავზე უარესი და თუ ობიექტი აარა უარესი ბდა ბარა უარესი ა, მაშინ ისინი იგივეა უპირატესობაში). ბუნებრივია ვივარაუდოთ, რომ ურთიერთობა პგარდამავალად (თუმცა იმ შემთხვევაში, როდესაც, მაგალითად, პრეფერენციებზე განიხილება საპირისპირო ინტერესების მქონე ადამიანების ჯგუფი, ეს ქონება შეიძლება დაირღვეს), ე.ი. პ- ნაწილობრივი შეკვეთის კავშირი.

ობიექტების უპირატესობის მიხედვით შედარების პრობლემის გადაჭრის ერთ-ერთი შესაძლო გზაა დიაპაზონი , ანუ ობიექტების შეკვეთა შემცირებული უპირატესობის ან ეკვივალენტობის შესაბამისად. რანჟირების შედეგად, ჩვენ ვადგენთ „საუკეთესო“ ან „ყველაზე ცუდი“ ობიექტებს უპირატესობის ურთიერთობის თვალსაზრისით.

გამოყენების სფეროები პრობლემები საუკეთესო ობიექტის არჩევის პრობლემის შესახებ: გადაწყვეტილების თეორია, გამოყენებითი მათემატიკა, ტექნოლოგია, ეკონომიკა, სოციოლოგია, ფსიქოლოგია.

განმარტება. ორობითი მიმართება რეწოდება წყვილთა ქვესიმრავლე (a,b)∈Rდეკარტისეული პროდუქტი A×B, ანუ R⊆A×B. ამავე დროს, ბევრი აეწოდება R მიმართების განსაზღვრის დომენი, B სიმრავლეს სიდიდეების დომენი.

აღნიშვნა: aRb (ანუ a და b არის R-თან მიმართებაში). /

კომენტარი: თუ A = B, მაშინ R არის მიმართება A სიმრავლის მიმართ.

ორობითი ურთიერთობების დაზუსტების მეთოდები

1. სია (წყვილთა ჩამოთვლა), რომლის მიმართაც ეს მიმართებაა.

2. მატრიცა. ბინარული მიმართება R ∈ A × A, სადაც A = (a 1, a 2,..., a n), შეესაბამება n რიგის კვადრატულ მატრიცას, რომელშიც ელემენტი c ij, რომელიც მდებარეობს i-ის გადაკვეთაზე. სტრიქონი და j-ე სვეტი უდრის 1-ს, თუ არსებობს R მიმართება a i-სა და j-ს შორის, ან 0-ს, თუ ის არ არის:

ურთიერთობების თვისებები

ვთქვათ R არის მიმართება A სიმრავლეზე, R ∈ A×A. შემდეგ თანაფარდობა R:

    რეფლექსური, თუ Ɐ a ∈ A: a R a (რეფლექსური მიმართების მატრიცის მთავარი დიაგონალი შეიცავს მხოლოდ ერთს);

    ანტირეფლექსური თუ Ɐ a ∈ A: a R a (რეფლექსური მიმართების მატრიცის მთავარი დიაგონალი შეიცავს მხოლოდ ნულებს);

    სიმეტრიული თუ Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (ასეთი მიმართების მატრიცა სიმეტრიულია მთავარი დიაგონალის მიმართ, ანუ c ij c ji);

    ანტისიმეტრიული თუ Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (ასეთი მიმართების მატრიცაში არ არის სიმეტრიული ერთეულები მთავარი დიაგონალის მიმართ);

    გარდამავალი, თუ Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c (ასეთი მიმართების მატრიცაში უნდა დაკმაყოფილდეს პირობა: თუ არის ერთეული i-ე მწკრივში, მაგალითად. j-ე კოორდინატთა (სვეტის) სტრიქონებში, ანუ c ij = 1, მაშინ j-ე მწკრივის ყველა ერთეული (მოდით ეს ერთეულები შეესაბამებოდეს k e კოორდინატებს ისე, რომ c jk = 1) უნდა შეესაბამებოდეს i-ის ერთეულებს. მე-1 მწკრივი იმავე k კოორდინატებში, ანუ c ik = 1 (და შესაძლოა სხვა კოორდინატებშიც).

ამოცანა 3.1.განსაზღვრეთ ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეზე განსაზღვრული დამოკიდებულების R – „იყოს გამყოფი“ თვისებები.

გამოსავალი.

თანაფარდობა R = ((a,b):a გამყოფი b):

    რეფლექსური და არა ანტირეფლექსური, ვინაიდან ნებისმიერი რიცხვი თავის თავს ყოფს ნარჩენის გარეშე: a/a = 1 ყველა a∈N ;

    არა სიმეტრიული, ანტისიმეტრიული, მაგალითად, 2 არის 4-ის გამყოფი, მაგრამ 4 არ არის 2-ის გამყოფი;

    გარდამავალი, რადგან თუ b/a ∈ N და c/b ∈ N, მაშინ c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, მაგალითად, თუ 6/3 = 2∈N და 18/6 = 3∈N , მაშინ 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

პრობლემა 3.2.განსაზღვრეთ ადამიანთა ერთობლიობაზე განსაზღვრული რ-ის მიმართების თვისებები.
გამოსავალი.

კავშირი R = ((a,b):a - b-ის ძმა):

    არა რეფლექსური, ანტირეფლექსურია aRa-ს აშკარა არარსებობის გამო ყველა a;

    არა სიმეტრიული, რადგან ზოგად შემთხვევაში a-სა და და-ს შორის არის aRb, მაგრამ არა bRa;

    არა ანტისიმეტრიული, ვინაიდან თუ a და b ძმები არიან, მაშინ aRb და bRa, მაგრამ a≠b;

    გარდამავალად, თუ ადამიანებს, რომლებსაც საერთო მშობლები ჰყავთ (მამა და დედა) ძმები უწოდებთ.

პრობლემა 3.3.განსაზღვრეთ სტრუქტურის ელემენტების სიმრავლეზე განსაზღვრული დამოკიდებულების R – „იყოს ბოსი“ თვისებები

გამოსავალი.

კავშირი R = ((a,b) : a არის b-ის ბოსი):

  • არა ამრეკლავი, ანტირეფლექსური, თუ ამას აზრი არ აქვს კონკრეტულ ინტერპრეტაციაში;
  • არა სიმეტრიული, ანტისიმეტრიული, რადგან ყველასთვის a≠b aRb და bRa ერთდროულად არ არის დაკმაყოფილებული;
  • გარდამავალი, რადგან თუ a არის b-ის ბოსი და b არის c-ის ბოსი, მაშინ a არის c-ის ბოსი.

განსაზღვრეთ M i სიმრავლეზე მატრიცით განსაზღვრული R i მიმართების თვისებები, თუ:

  1. R 1 "აქვს იგივე ნაშთი 5-ზე გაყოფისას"; M 1 არის ნატურალური რიცხვების სიმრავლე.
  2. R 2 "იყოს თანაბარი"; M 2 არის ნატურალური რიცხვების სიმრავლე.
  3. R 3 "ცხოვრობს იმავე ქალაქში"; M 3 უამრავი ადამიანი.
  4. R 4 "იყოს ნაცნობი"; M 4 უამრავი ადამიანი.
  5. R 5 ((a,b):(a-b) - ლუწი; M 5 რიცხვების სიმრავლე (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  6. R 6 ((a,b):(a+b) - ლუწი; M 6 რიცხვების სიმრავლე (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  7. R 7 ((a,b):(a+1) - გამყოფი (a+b)); M 7 - კომპლექტი (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  8. R 8 ((a,b):a - გამყოფი (a+b),a≠1); M 8 არის ნატურალური რიცხვების სიმრავლე.
  9. R 9 "დაიყოს"; M 9 - უამრავი ადამიანი.
  10. R 10 "იყოს ქალიშვილი"; M 10 - ბევრი ადამიანი.

ოპერაციები ორობით ურთიერთობებზე

მოდით, R 1, R 1 იყოს A სიმრავლეზე განსაზღვრული მიმართებები.

    კავშირი R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 ან (a,b) ∈ R 2);

    კვეთა R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 და (a,b) ∈ R 2 ) ;

    განსხვავება R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 და (a,b) ∉ R 2 ) ;

    უნივერსალური დამოკიდებულება U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

    დამატება R 1 U \ R 1, სადაც U = A × A;

    იდენტური ურთიერთობა I: = ((a;a) / a ∈ A);

    შებრუნებული მიმართება R -1 1 : R -1 1 = ((a,b) : (b,a) ∈ R 1 );

    შემადგენლობა R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), სადაც R 1 ⊂ A × C და R 2 ⊂C×B;

განმარტება. ურთიერთობის ხარისხი R A სიმრავლეზე არის მისი შემადგენლობა საკუთარ თავთან.

Დანიშნულება:

განმარტება. თუ R ⊂ A × B, მაშინ R º R -1 ეწოდება ურთიერთობის ბირთვი R .

თეორემა 3.1.დაე, R ⊂ A × A იყოს A სიმრავლეზე განსაზღვრული მიმართება.

  1. R არის რეფლექსური, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ (შემდგომში გამოიყენება ნიშანი ⇔), როდესაც I ⊂ R.
  2. R სიმეტრიული ⇔ R = R -1.
  3. R გარდამავალი ⇔ R º R ⊂ R
  4. R არის ანტისიმეტრიული ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I.
  5. R არის ანტირეფლექსური ⇔ R ⌒ I = ∅.

პრობლემა 3.4 . ვთქვათ R არის კავშირი (1,2,3) და (1,2,3,4) სიმრავლეს შორის, მოცემული წყვილების ჩამოთვლით: R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)). გარდა ამისა, S არის კავშირი სიმრავლეებს შორის S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). გამოთვალეთ R -1 , S -1 და S º R. შეამოწმეთ, რომ (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

გამოსავალი.
R -1 = ((1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3));
S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4));
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)) = (S º R ) -1.

პრობლემა 3.5 . მოდით R იყოს მიმართება „...მშობელი...“ და S მიმართება „...ძმა...“ ყველა ადამიანის ნაკრებში. მიეცით ურთიერთობის მოკლე სიტყვიერი აღწერა:

R -1, S -1, Rº S, S -1 º R -1 და Rº R.

გამოსავალი.

R -1 - მიმართება „...ბავშვი...“;

S -1 - ურთიერთობა „...ძმა ან და...“;

R º S - მიმართება „...მშობელი...“;

S -1 º R -1 - კავშირი "...ბავშვი..."

R º R - ურთიერთობა "...ბებია ან ბაბუა..."

დამოუკიდებლად გადასაჭრელი პრობლემები

1) დაე, R იყოს მიმართება „...მამა...“ და S იყოს მიმართება „...და...“ ყველა ადამიანის ნაკრებში. მიეცით ურთიერთობის სიტყვიერი აღწერა:

R -1, S -1, Rº S, S -1 º R -1, Rº R.

2) მოდით R იყოს მიმართება „...ძმა...“ და S იყოს მიმართება „...დედა...“ ყველა ადამიანის ნაკრებში. მიეცით ურთიერთობის სიტყვიერი აღწერა:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) დაე, R იყოს მიმართება „...ბაბუა...“ და S იყოს მიმართება „...შვილი...“ ყველა ადამიანის ნაკრებში. მიეცით ურთიერთობის სიტყვიერი აღწერა:

4) მოდით R იყოს მიმართება „... ქალიშვილი...“ და S იყოს მიმართება „...ბებია...“ ყველა ადამიანის ნაკრებში. მიეცით ურთიერთობის სიტყვიერი აღწერა:

5) დაე, R იყოს მიმართება „...დისშვილი...“ და S იყოს მიმართება „...მამა...“ ყველა ადამიანის ნაკრებში. მიეცით ურთიერთობის სიტყვიერი აღწერა:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) დაე, R იყოს მიმართება „და...“ და S იყოს მიმართება „დედა...“ ყველა ადამიანის ნაკრებში. მიეცით ურთიერთობის სიტყვიერი აღწერა:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

7) მოდით R იყოს მიმართება „...დედა...“ და S იყოს მიმართება „...და...“ ყველა ადამიანის ნაკრებში. მიეცით ურთიერთობის სიტყვიერი აღწერა:

R -1, S1, Rº S, S1 º R1, Sº S.

8) დაე, R იყოს მიმართება „...შვილი...“ და S იყოს მიმართება „...ბაბუა...“ ყველა ადამიანის ნაკრებში. მიეცით ურთიერთობის სიტყვიერი აღწერა:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) დაე, R იყოს მიმართება „...და...“ და S იყოს მიმართება „...მამა...“ ყველა ადამიანის ნაკრებში. მიეცით ურთიერთობის სიტყვიერი აღწერა:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

10) დაე, R იყოს მიმართება „...დედა...“ და S იყოს მიმართება „...ძმა...“ ყველა ადამიანის ნაკრებში. მიეცით ურთიერთობის სიტყვიერი აღწერა:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

ყოველდღიურ ცხოვრებაში ჩვენ მუდმივად გვიწევს საქმე „ურთიერთობის“ კონცეფციასთან. ურთიერთობები არის ერთ-ერთი გზა კომპლექტის ელემენტებს შორის ურთიერთობების დაზუსტების მიზნით.

უნივერსალური (ერთადგილიანი) ურთიერთობები ასახავს რომელიმე ერთი ატრიბუტის R-ს არსებობას M სიმრავლის ელემენტებში (მაგალითად, „წითელი“ ურნაში ბურთების ნაკრებზე).

ორმხრივი (ორ ადგილიანი) ურთიერთობები გამოიყენება ურთიერთგაგების განსაზღვრისათვის

კავშირები, რომლებიც ახასიათებს ელემენტების წყვილს კომპლექტში მ.

მაგალითად, შემდეგი ურთიერთობები შეიძლება განისაზღვროს ადამიანთა ერთობლიობაზე: "იცხოვრე იმავე ქალაქში", " xმუშაობს ხელმძღვანელობით წ", "შვილობა", "უფროსი" და ა.შ. რიცხვების კომპლექტზე: "ნომერი ამეტი ნომერი ბ"," ნომერი აარის რიცხვის გამყოფი ბ"," ნომრები ადა ბმიეცით იგივე ნაშთი 3-ზე გაყოფისას“.

პირდაპირ პროდუქტში, სადაც ა- ნებისმიერი უნივერსიტეტის ბევრი სტუდენტი, ბ- შესწავლილი საგნების მრავალფეროვნება, შესაძლებელია შეკვეთილი წყვილების დიდი ქვეჯგუფის იდენტიფიცირება (ა, ბ), ქონებრივი ქონებით: „სტუდენ ასწავლობს საგანს ბ" აგებული ქვესიმრავლე ასახავს „კვლევის“ ურთიერთობას, რომელიც წარმოიქმნება სტუდენტებისა და ობიექტებს შორის. მაგალითების რაოდენობა შეიძლება გაგრძელდეს

ორ ობიექტს შორის ურთიერთობა შესწავლის საგანია ეკონომიკაში, გეოგრაფიაში, ბიოლოგიაში, ფიზიკაში, ლინგვისტიკაში, მათემატიკაში და სხვა მეცნიერებებში.

ორი სიმრავლის ელემენტებს შორის ნებისმიერი კავშირის მკაცრი მათემატიკური აღწერისთვის შემოღებულია ბინარული ურთიერთობის კონცეფცია.

ორობითი კავშირი A და B სიმრავლებს შორისპირდაპირი პროდუქტის R ქვესიმრავლე ეწოდება. იმ შემთხვევაში, როდესაც თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ ისაუბროთ ურთიერთობაზე რ on ა.

მაგალითი 1. ჩამოწერეთ ორობითი მიმართებების კუთვნილი მოწესრიგებული წყვილები R 1და R 2, განსაზღვრულია კომპლექტებზე ადა : , . ქვეჯგუფი R 1შედგება წყვილებისგან: . ქვეჯგუფი.

დომენი Rარის ყველა ელემენტის ნაკრები აისეთი რომ ზოგიერთი ელემენტისთვის გვაქვს . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განმარტების სფერო რარის მოწესრიგებული წყვილების ყველა პირველი კოორდინატების ერთობლიობა რ.

მრავალი მნიშვნელობაურთიერთობა რმაგრამ ბევრია ყველა ისეთი, რომ ზოგიერთისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ბევრი მნიშვნელობა რარის მოწესრიგებული წყვილების ყველა მეორე კოორდინატების ერთობლიობა რ.

მაგალითად 1-ისთვის R 1განსაზღვრების დომენი: , მნიშვნელობების ნაკრები - . ამისთვის R 2განსაზღვრების დომენი: , მნიშვნელობების ნაკრები: .

ხშირ შემთხვევაში მოსახერხებელია ორობითი ურთიერთობის გრაფიკული გამოსახულების გამოყენება. ეს კეთდება ორი გზით: სიბრტყეზე წერტილების გამოყენებით და ისრების გამოყენებით.

პირველ შემთხვევაში, ჰორიზონტალურ და ვერტიკალურ ღერძად არჩეულია ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ხაზი. ნაკრების ელემენტები დატანილია ჰორიზონტალურ ღერძზე ადა დახაზეთ ვერტიკალური ხაზი თითოეულ წერტილში. ნაკრების ელემენტები დატანილია ვერტიკალურ ღერძზე ბ, დახაზეთ ჰორიზონტალური ხაზი თითოეულ წერტილში. ჰორიზონტალური და ვერტიკალური ხაზების გადაკვეთის წერტილები წარმოადგენს პირდაპირი პროდუქტის ელემენტებს.

მაგალითი 5. დაე , .

დაე R 1განისაზღვრება მოწესრიგებული წყვილების ჩამონათვალით: . ორობითი კავშირი R 2ნაკრებზე მითითებულია წესის გამოყენებით: წყვილი დალაგებულია თუ აიყოფა ბ. მერე R 2შედგება წყვილებისგან: .

ორობითი ურთიერთობები, მაგალითი 2, R 1და R 2გრაფიკულად ნაჩვენებია ნახ. 6 და ნახ.7.

ბრინჯი. 6 ნახ. 7

ორობითი ურთიერთობის გამოსახატავად ისრებით, ნაკრების ელემენტები გამოსახულია მარცხნივ წერტილების სახით ა, მარჯვნივ - კომპლექტი ბ. ყველა წყვილისთვის (ა, ბ)შეიცავს ბინარულ მიმართებაში რ, ისარი ამოღებულია არომ ბ, . ორობითი მიმართების გრაფიკული წარმოდგენა R 1მე-6 მაგალითში მოცემული ნაჩვენებია 8-ში.

სურ.8

ორობითი ურთიერთობები სასრულ სიმრავლეებზე შეიძლება დაზუსტდეს მატრიცებით. დავუშვათ, რომ გვეძლევა ორობითი მიმართება რკომპლექტებს შორის ადა ბ. , .

მატრიცის რიგები დანომრილია კომპლექტის ელემენტებით ადა სვეტები ნაკრების ელემენტებია ბ. მატრიცის უჯრედი კვეთაზე მე- ოჰ ხაზები და ჯ th სვეტი ჩვეულებრივ აღინიშნება C ij-ით და ის ივსება შემდეგნაირად:

მიღებულ მატრიცას ექნება ზომა.

მაგალითი 6.მიეცეს კომპლექტი. ნაკრებზე განსაზღვრეთ მიმართება სიით და მატრიცით რ- "მკაცრად ნაკლები იყოს."

დამოკიდებულება რროგორ შეიცავს კომპლექტი ყველა წყვილ ელემენტს ( ა, ბ)საწყისი მისეთივე როგორც .

ზემოაღნიშნული წესების მიხედვით აგებულ მიმართების მატრიცას აქვს შემდეგი ფორმა:

ორობითი ურთიერთობების თვისებები:

1. ორობითი მიმართება რკომპლექტზე ე.წ ამრეკლავი, თუ რომელიმე ელემენტისთვის ასაწყისი მწყვილი (აა)ეკუთვნის რ, ე.ი. ეხება ვინმეს ასაწყისი მ:

ურთიერთობები "იცხოვრე იმავე ქალაქში", "ისწავლე იმავე უნივერსიტეტში", "აღარ იყავი" არიან ამრეკლავი.

2. ორობითი მიმართება ეწოდება ანტირეფლექსური, თუ მას არ გააჩნია რეფლექსურობის თვისება რომელიმესთვის ა:

მაგალითად, "იყო უფრო დიდი", "იყო ახალგაზრდა" არის ანტირეფლექსური ურთიერთობები.

3. ორობითი მიმართება რდაურეკა სიმეტრიული, თუ რაიმე ელემენტისთვის ადა ბსაწყისი მრა წყვილისგან (ა, ბ)ეკუთვნის რ... აქედან გამომდინარეობს, რომ წყვილი (ბ, ა)ეკუთვნის რ, ე.ი.

Სიმეტრიულიწრფეების პარალელიზმი, რადგან თუ //, მაშინ //. სიმეტრიული ურთიერთობა„იყოს თანაბარი“ ნებისმიერ კომპლექტში ან „იყოს თანაპრიმა N-ზე“.

კავშირი R არის სიმეტრიული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ R=R -1

4. თუ შეუსაბამო ელემენტებისთვის მიმართება არის ჭეშმარიტი, მაგრამ მცდარი, მაშინ მიმართება ანტისიმეტრიული. სხვანაირად შეგიძლია თქვა:

ურთიერთობები ანტისიმეტრიულია"იყო უფრო დიდი", "იყო გამყოფი N-ით", "იყო ახალგაზრდა".

5. ორობითი მიმართება რდაურეკა გარდამავალი, თუ ამ წყვილის რომელიმე სამი ელემენტისთვის (ა, ბ)და (ბ, გ)ეკუთვნის რ, აქედან გამომდინარეობს, რომ წყვილი (a, c) ეკუთვნის რ:

ურთიერთობები გარდამავალია: „იყო უფრო დიდი“, „იყო პარალელურად“, „იყო თანაბარი“ და ა.შ.

6. ორობითი მიმართება რ ანტიტრანზიტული, თუ მას არ გააჩნია ტრანზიტული თვისება.

მაგალითად, „იყოს პერპენდიკულარული“ სიბრტყის სწორი ხაზების სიმრავლეზე (, , მაგრამ ეს ასე არ არის).

იმიტომ რომ ვინაიდან ორობითი მიმართება შეიძლება დაზუსტდეს არა მხოლოდ წყვილების პირდაპირი ჩამონათვალით, არამედ მატრიცითაც, მიზანშეწონილია გაირკვეს, თუ რა მახასიათებლები ახასიათებს მიმართების მატრიცას. რ, თუ არის: 1) რეფლექსური, 2) ანტირეფლექსური, 3) სიმეტრიული, 4) ანტისიმეტრიული, 5) გარდამავალი.

დაე რდაყენებულია, .R ან შესრულებულია ორივე მიმართულებით ან საერთოდ არ არის შესრულებული. ამრიგად, თუ მატრიცა შეიცავს ერთს გადაკვეთაზე მე- ოჰ ხაზები და ჯ- ე სვეტი, ე.ი. C ij=1, მაშინ ის უნდა იყოს გზაჯვარედინზე ჯ- ოჰ ხაზები და მე- ე სვეტი, ე.ი. C ჯი=1 და პირიქით, თუ C ჯი=1, მაშინ C ij=1. ამრიგად, სიმეტრიული მიმართების მატრიცა არის სიმეტრიული მთავარი დიაგონალის მიმართ.

4. რანტისიმეტრიული თუ და შემდეგნაირად: . ეს ნიშნავს, რომ შესაბამის მატრიცაში არა მე, ჯარ არის შესრულებული C ij =C ჯი=1. ამრიგად, ანტისიმეტრიული თანაფარდობის მატრიცაში არ არის ძირითადი დიაგონალის მიმართ სიმეტრიული ერთეულები.

5. ორობითი კავშირი R არაცარიელ A სიმრავლეზე ეწოდება გარდამავალითუ

ზემოაღნიშნული პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს მატრიცის ნებისმიერი ელემენტისთვის. და, პირიქით, თუ მატრიცაში რარის მინიმუმ ერთი ელემენტი C ij=1, რისთვისაც ეს პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ რარა გარდამავალი.

T-SQL ენა SQL Server-ში დაფუძნებულია სტანდარტულ SQL ენაზე, რომელიც დაფუძნებულია რელაციურ მოდელზე, რომელიც თავის მხრივ ეფუძნება მათემატიკურ საფუძვლებს, როგორიცაა კომპლექტების თეორია და პრედიკატების ლოგიკა. ეს სტატია განიხილავს ფუნდამენტურ თემას სიმრავლეების თეორიიდან: სიმრავლეების მიმართების თვისებებს. მკითხველს შეუძლია გამოიყენოს შემოთავაზებული T-SQL კოდები გარკვეული ურთიერთობების გარკვეული თვისებების არსებობის შესამოწმებლად. თუმცა, თქვენ ასევე შეგიძლიათ სცადოთ დაწეროთ სკრიპტების საკუთარი ვერსიები (დაადგენთ, აქვს თუ არა ურთიერთობას კონკრეტული თვისება) ამ სტატიაში აღწერილი გადაწყვეტილებების გამოყენებამდე.

კომპლექტები და ურთიერთობები

გეორგ კანტორი, სიმრავლეების თეორიის შემქმნელი, განსაზღვრავს სიმრავლეს, როგორც „ჩვენი ჭვრეტის ან აზროვნების გარკვეული მკაფიოდ გამორჩეული ობიექტების კრებულის (რომელსაც დაერქმევა M სიმრავლის ელემენტებს) გაერთიანება მთელ M-ში“. ნაკრების ელემენტები შეიძლება იყოს თვითნებური ხასიათის ობიექტები: ადამიანები, რიცხვები და თვით კომპლექტებიც კი. სიმბოლოები ∈ და ∉ აღნიშნავენ, შესაბამისად, ოპერატორებს, რომლებიც ასახავს ელემენტის წევრობას (შემთხვევა, გაწევრიანება) და არ წევრობას სიმრავლეში. ამრიგად, აღნიშვნა x ∈ V ნიშნავს, რომ x არის V სიმრავლის ელემენტი, ხოლო აღნიშვნა x ∉ V ნიშნავს, რომ x არ არის V-ის ელემენტი.

ორობითი კავშირი კომპლექტზე არის ორიგინალური ნაკრების ელემენტების მოწესრიგებული წყვილების ერთობლიობა. ამრიგად, V = (a, b, c) ელემენტების სიმრავლისთვის, ორობითი მიმართება R მოცემულ V სიმრავლეზე იქნება თვითნებური ქვესიმრავლე ყველა მოწესრიგებული წყვილების სიმრავლის V × V = ((a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c) ). კავშირი R = ((a, b), (b, c), (a, c)) არის სწორი ორობითი მიმართება V-ზე. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ a დაკავშირებულია b-თან R-ით. დავუშვათ, რომ R = ((a) , ბ ), (ბ, გ), (გ, დ)). ასეთი R არ არის დასაშვები მიმართება V-ზე, ვინაიდან წყვილი (c, d) არ ეკუთვნის დეკარტისეულ ნამრავლს V × V. გაითვალისწინეთ, რომ თანმიმდევრობა, რომლითაც მითითებულია ელემენტების ნაკრები, არ არის მნიშვნელოვანი. V სიმრავლე შეიძლება განისაზღვროს როგორც (a, b, c) ან როგორც (b, a, c) და ა.შ. თუმცა, თანამიმდევრობა დალაგებულ წყვილებში, როგორიცაა (a, b) ორობითი მიმართება, მნიშვნელოვანია; ამრიგად (a, b) ≠ (b, a).

ორობითი ურთიერთობის უფრო რეალისტურ მაგალითად განვიხილოთ ოჯახის წევრების F სიმრავლე: (იცკი, მიკი, ინა, მილა, გაბი). მიკი იცკის ტყუპი ძმაა, ინა მისი უფროსი და, მილა დედა, გაბი კი მამა. R მიმართების მაგალითი F სიმრავლეზე იქნება: „ძმაა“. ამ ურთიერთობის ელემენტებია ((იცკი, მიკი), (მიკი, იცკი), (იციკ, ინნა), (მიკი, ინნა)). აღვნიშნავთ, რომ შეკვეთილი წყვილი (Itsik, Inna) ჩნდება R-ში, მაგრამ წყვილი (Inna, Itsik) არა. მიუხედავად იმისა, რომ იცკი ინას ძმაა, ის მისი ძმა არ არის.

ურთიერთობების თვისებები სიმრავლეებზე

ახლა, როდესაც ჩვენ განვაახლეთ სიმრავლეების და მიმართებების გაგება, გადავიდეთ სტატიის თემაზე - მიმართებების თვისებებზე სიმრავლეებზე. მაგალითად, მონაცემები, გამოიყენეთ კოდი სიაში 1, რათა შექმნათ ცხრილები V და R. V წარმოადგენს სიმრავლეს, ხოლო R წარმოადგენს ორობით კავშირს მასზე. გამოიყენეთ კოდი სიაში 2, რათა შექმნათ ClearTables პროცედურა, რომელიც გაასუფთავებს ორივე ცხრილს ჩანაწერებიდან, სანამ შეავსებს მათ ახალი ნიმუშის მონაცემებით. და ბოლოს, გამოიყენეთ კოდი სიაში 3, 4 და 5, რათა შევსოთ ცხრილები V და R სხვადასხვა მონაცემთა კომპლექტით ტესტირებისთვის (მათ დავარქმევთ მონაცემებს 1, 2 და 3, შესაბამისად).

რეფლექსურობა. R მიმართება V სიმრავლეზე რეფლექსურია, თუ V, v ∈ V სიმრავლის რომელიმე v ელემენტისთვის, გამოდის, რომ (v, v) ∈ R, ანუ წყვილი (v, v) ყოველთვის ეკუთვნის R. და კავშირი R V-ზე არ არის რეფლექსური, თუ არსებობს v ∈ V ელემენტი ისეთი, რომ წყვილი (v, v) ∉ R. კიდევ ერთხელ განვიხილოთ F სიმრავლის მაგალითი - ჩემი ოჯახის წევრები.

კავშირი „იყო იმავე ასაკისა“, რაც F-ზე აშკარად რეფლექსურია. ურთიერთობის ელემენტები იქნება შემდეგი წყვილი: ((იცკი, იციკი), (იცკი, მიკი), (მიკი, მიკი), (მიკი, იცკი), (ინა, ინა), (მილა, მილა), (გაბი). , გაბი)).

დავიწყოთ T-SQL მოთხოვნის წერა V და R ცხრილების წინააღმდეგ (რაც წარმოადგენს სიმრავლეს და კავშირს ამ სიმრავლეში), რათა შევამოწმოთ არის თუ არა R რეფლექსური:

აირჩიეთ
საქმე
როდესაც არსებობს
(SELECT v, v FROM dbo.V
გარდა
აირჩიეთ r1, r2 FROM dbo.R)
Მაშინ არა"
სხვა "დიახ"
END AS რეფლექსური

პირველი ქვემოთხოვნა ოპერაციაში EXCEPT აბრუნებს ყველა მოწესრიგებული წყვილების სიმრავლეს (v, v) V ცხრილის ყველა სტრიქონისთვის. მეორე ქვემოთხოვნა აბრუნებს მოწესრიგებული წყვილების სიმრავლეს (r1, r2) - ცხრილის R-ის ყველა სტრიქონი. ოპერაცია EXCEPT ამრიგად, დააბრუნებს ყველა შეკვეთილ წყვილს, რომელიც გვხვდება პირველში და აკლია მეორე სეტში. EXISTS პრედიკატი საჭიროა იმისათვის, რომ შევამოწმოთ მინიმუმ ერთი ჩანაწერის არსებობა შედეგებში. თუ არსებობს მინიმუმ ერთი ასეთი ჩანაწერი, მაშინ გამოთქმა CASE დააბრუნებს "არა" (არარეფლექსურობა), მაგრამ ასევე "დიახ" წინააღმდეგ შემთხვევაში (არსებობს რეფლექსურობა).

გადახედეთ 3, 4 და 5 ჩამონათვალში მოცემულ მონაცემთა სამ მაგალითს და შეეცადეთ დაადგინოთ, რომელ მათგანს ექნება ამრეკლავი ურთიერთობა შეკითხვის გარეშე. პასუხები მოცემულია შემდგომ სტატიის ტექსტში.

არარეფლექტორული. R მიმართებას V სიმრავლეზე ეწოდება არარეფლექსური (არ უნდა აგვერიოს არარეფლექსურობაში), თუ ყოველი v ∈ V ელემენტისთვის გამოდის, რომ (v, v) ∉ R. მიმართება არ არის არარეფლექსიური, თუ არსებობს v ∈ ელემენტი. V რომლისთვისაც (v, v) ∈ R. ჩემი ოჯახის წევრების F სიმრავლეზე არარეფლექსიური მიმართების მაგალითია მიმართება „იყო მშობელი“, ვინაიდან არც ერთი ადამიანი არ შეიძლება იყოს მისი მშობელი. F-ზე ამ მიმართების წევრები იქნებიან შემდეგი წყვილები: ((მილა, იცკი), (მილა, მიკი), (მილა, ინნა), (გაბი, იცკი), (გაბი, მიკი), (გაბი, ინნა)) .

შემდეგი შეკითხვა ამოწმებს არის თუ არა კავშირი R V-ზე არარეფლექსიური:

აირჩიეთ
საქმე
როდესაც არსებობს
(არჩევა * FROM dbo.R
WHERE r1 = r2)
Მაშინ არა"
სხვა "დიახ"
END AS irreflexive

R ცხრილის განმარტებაში უცხო კლავიშები შემოღებულ იქნა იმის უზრუნველსაყოფად, რომ მხოლოდ V-ის ელემენტებს შეუძლიათ შეადგინონ R1 და r2 ატრიბუტები R ჩანაწერში. ამრიგად, რჩება მხოლოდ იმის შემოწმება, არის თუ არა R-ში ჩანაწერები შესაბამისი ატრიბუტებით r1 და. r2. თუ ასეთი ჩანაწერი მოიძებნა, კავშირი R არ არის არარეფლექსიური, თუ ჩანაწერი არ არის, ის არარეფლექსიურია.

Სიმეტრია. R მიმართებას V სიმრავლეზე ეწოდება სიმეტრიული, თუ (r1, r2) ∈ R, (r2, r1) ∈ R ყოველთვის დაკმაყოფილებულია. მიმართება არ არის სიმეტრიული, თუ არსებობს წყვილი (r1, r2) ∈ R. რომლისთვისაც (r2, r1) ∉ R. ბენ-განის ოჯახის წევრთა F სიმრავლეზე, მიმართება „ეს არის ძმა და ძმა“ იქნება სიმეტრიული დამოკიდებულების მაგალითი. ამ მიმართების წყვილები იქნება შემდეგი კომპლექტები: ((იცკი, მიკი), (იციკ, ინნა), (მიკი, იცკი), (მიკი, ინნა), (ინა, იცკი), (ინა, მიკი)).

შემდეგი შეკითხვა ამოწმებს არის თუ არა კავშირი R-სა და V-სთან სიმეტრიული:

აირჩიეთ
საქმე
როდესაც არსებობს
(აირჩიეთ r1, r2 FROM dbo.R
გარდა
აირჩიეთ r2, r1 FROM dbo.R)
Მაშინ არა"
სხვა "დიახ"
დასასრული როგორც სიმეტრიული

მოთხოვნის კოდი იყენებს EXCEPT ოპერაციას. EXCEPT ოპერაციის პირველი ქვემოთხოვნა აბრუნებს მოწესრიგებული წყვილების ერთობლიობას (r1, r2) - R ცხრილის ჩანაწერებს, ხოლო მეორე - დალაგებული წყვილების ერთობლიობას (r2, r1) R-ის თითოეული ჩანაწერისთვის. თუ კავშირი R ნაკრები V არ არის სიმეტრიული, მაშინ ოპერაცია EXCEPT დააბრუნებს არაცარიელ შედეგებს და EXISTS პრედიკატს, შესაბამისად, მნიშვნელობას TRUE და ბოლოს, CASE გამოხატულებას უბრუნებს "No".

თუ ურთიერთობა სიმეტრიულია, მაშინ გამოთქმა CASE გამოაქვს "დიახ".

ასიმეტრია. R მიმართება V სიმრავლეზე ასიმეტრიულია (ეს თვისება არ უნდა აგვერიოს ასიმეტრიაში), თუ ყოველი სიმრავლისთვის (r1, r2) ∈ R, რომელშიც r1 ≠ r2, მართალია, რომ (r2, r1) ∉ R. An ასიმეტრიული მიმართების მაგალითი სიმრავლეზე F ავტორის ოჯახის წევრებს ექნებათ "იყო მშობელი" ურთიერთობა, რომელიც ზემოთ იყო აღწერილი. როგორც სავარჯიშო, შეეცადეთ მოიფიქროთ მიმართების მაგალითი არაცარიელ კომპლექტზე, რომელიც არის სიმეტრიული და ასიმეტრიული. გადაჭრისთვის გადახედეთ ამ სტატიაში მოცემულ მაგალითებს.

აირჩიეთ
საქმე
როდესაც არსებობს
(აირჩიეთ r1, r2 FROM dbo.R WHERE r1 r2
გადაკვეთა
აირჩიეთ r2, r1 FROM dbo.R WHERE r1 r2)
Მაშინ არა"
სხვა "დიახ"
დასასრული როგორც ასიმეტრიული

კოდი იყენებს INTERSECT ოპერაციას. ამ ოპერაციის პირველი ქვემოთხოვნა აბრუნებს შეკვეთილ წყვილს (r1, r2) R ცხრილის თითოეული ჩანაწერისთვის, რომელშიც r1 r2.

INTERSECT ოპერაციის მეორე ქვემოთხოვნა აბრუნებს შეკვეთილ წყვილს (r2, r1) R ცხრილის თითოეული ჩანაწერისთვის, რომელშიც r1 r2. თუ შედეგების ნაკრები (ამ სიმრავლეთა გადაკვეთის შედეგი) შეიცავს მინიმუმ ერთ ჩანაწერს, ეს ნიშნავს, რომ R არ არის ასიმეტრიული; წინააღმდეგ შემთხვევაში R ასიმეტრიულია.

ტრანზიტულობა. R მიმართება V სიმრავლეზე გარდამავალია, თუ ჩანართები (a, b) ∈ R და (b, c) ∈ R ყოველთვის გულისხმობს, რომ (a, c) ∈ R. გარდამავალი მიმართების მაგალითი ოჯახის წევრთა სიმრავლეზე. F იქნება ურთიერთობა "ძმა ან და", რომელიც ზემოთ იყო განხილული.

ქვემოთ მოყვანილი კოდი ამოწმებს R მიმართების გარდამავალობას:

აირჩიეთ
საქმე
როდესაც არსებობს
(აირჩიეთ *
dbo.R AS RA-დან
შიდა შეერთება dbo.R AS RB
ON RA.r2 = RB.r1
მარცხენა გარე შეერთება dbo.R AS RC
ON RA.r1 = RC.r1 და RB.r2 = RC.r2
სადაც RC.r1 არის NULL)
Მაშინ არა"
სხვა "დიახ"
END როგორც გარდამავალი

კოდი პირველ რიგში იყენებს R-ის ორ ინსტანციას შორის შიდა შეერთებას მხოლოდ იმ მწკრივების შესარჩევად, სადაც r2 პირველ ინსტანციაში ემთხვევა r1 მეორე ინსტანციას. მეორეც, კოდი იყენებს მარცხენა გარე შეერთებას R ცხრილის მესამე ინსტანციასთან, რომლის მიხედვითაც R-ის პირველი ინსტანციის r1 იგივეა, რაც მესამე ინსტანციის r1, ხოლო მეორე ინსტანციის r2 არის იგივე, რაც r2-ის. მესამე. თუ შიდა ქვემოთხოვნაში არის მინიმუმ ერთი შედეგის მწკრივი (შერჩევის პირობა მესამე ინსტანციისთვის: r1 არის Null), ეს ნიშნავს, რომ კავშირი არ არის გარდამავალი; წინააღმდეგ შემთხვევაში R მიმართება გარდამავალია.

ეკვივალენტურობის მიმართება.ეკვივალენტურობის მიმართება არის მიმართება, რომელსაც ერთდროულად აქვს რეფლექსურობის, სიმეტრიისა და გარდამავალობის თვისებები. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ზემოთ შემოთავაზებული მოთხოვნები თითოეული თვისების არსებობის ცალ-ცალკე შესამოწმებლად: თუ კავშირს სამივე აქვს, მაშინ უნდა დავასკვნათ, რომ ეკვივალენტური კავშირი მოქმედებს. გარდა ამისა, შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოდი მე-6 ჩამონათვალში, რათა გამოსცადოთ R მიმართების ყველა თვისება V სიმრავლეზე, რომლებიც ადრე იყო განხილული სტატიაში, მათ შორის ეკვივალენტურ მიმართებაში ყოფნის თვისების შესამოწმებლად. თუ სია 6-ს აწარმოებთ 1, 2 და 3 ნიმუშების მონაცემებზე (შესაბამისად, 3, 4 და 5 სიებიდან), თქვენ მიიღებთ შედეგებს, რომლებიც ნაჩვენებია ცხრილებში, შესაბამისად, 1, 2 და 3.

დაბრუნება საფუძვლებზე T-SQL

ამრიგად, ჩვენ განვიხილეთ ფუნდამენტური თემა მათემატიკური სიმრავლეების თეორიიდან: მიმართებების თვისებები სიმრავლეებზე. მე შევთავაზე T-SQL სატესტო კოდები, რათა შევამოწმო ზოგიერთი მიმართების თვისებები, რომლებიც წარმოდგენილია ცხრილით R (ელემენტების მოწესრიგებული წყვილი) V ცხრილით წარმოდგენილი ელემენტების სიმრავლეზე.

ძირითადი T-SQL კონსტრუქტების გამოყენება დაგვეხმარა ამ ენის ინსტრუმენტების სწორად კონფიგურაციაში და გამოყენებაში სიმრავლეების მიმართების თვისებების უკეთ გასაგებად.

იციკ ბენ-განი ( [ელფოსტა დაცულია]) - მასწავლებელი და კონსულტანტი, T-SQL წიგნების ავტორი, აქვს SQL Server MVP-ის წოდება.