자유로운 진동. 수학 진자. 진동 운동 에너지. 에너지 변환

08.07.2019

10.4. 고조파 진동에 대한 에너지 보존 법칙

10.4.1. 에너지 절약 기계적 조화 진동

수학 진자의 진동 동안 에너지 보존

고조파 진동으로 시스템의 전체 기계적 에너지는 보존됩니다(일정하게 유지됨).

수학 진자의 총 역학적 에너지

E = W k + W p,

여기서 W k - 운동 에너지, W k = = mv 2/2; W p - 위치 에너지, W p = mgh; m은 화물의 질량입니다. g - 자유 낙하 가속 모듈; v - 화물 속도의 계수; h - 평형 위치 위의 하중 리프팅 높이 (그림 10.15).

조화 진동으로 수학 진자는 여러 연속 상태를 통과하므로 세 위치에서 수학 진자의 에너지를 고려하는 것이 좋습니다(그림 10.15 참조).

쌀. 10.15

1) 에서 평형 위치

위치 에너지는 0입니다. 총 에너지는 최대 운동 에너지와 일치합니다.

E = W k 최대;

2) 안에 극단적인 위치(2) 몸체가 초기 높이보다 최대 높이 hmax까지 올라가므로 위치 에너지도 최대입니다.

W p 최대 = m g h 최대;

운동 에너지는 0입니다. 총 에너지는 최대 위치 에너지와 일치합니다.

E = 최대 Wp;

3) 안에 중간 위치(3) 몸체는 순간 속도 v를 가지며 초기 레벨보다 특정 높이 h까지 상승하므로 총 에너지는 다음과 같습니다.

E = m v 2 2 + m g h,

어디서 mv 2/2 - 운동 에너지; mgh - 위치 에너지; m은 화물의 질량입니다. g - 자유 낙하 가속 모듈; v - 화물 속도의 계수; h는 평형 위치 위의 하중 리프팅 높이입니다.

수학적 진자의 조화 진동으로 총 기계적 에너지는 보존됩니다.

E = 상수

세 위치에서 수학 진자의 총 에너지 값은 표에 반영됩니다. 10.1.

№	위치	승	승	E = W p + W k
1	평형	0	m 대 최대 2/2	m 대 최대 2/2
2	극심한	mgh 최대	0	mgh 최대
3	중급(인스턴트)	mgh	뮤직비디오 2/2	mv 2/2 + mgh

표의 마지막 열에 표시된 총 기계적 에너지 값. 10.1, 수학적 표현인 진자의 모든 위치에 대해 동일한 값을 갖습니다.

m v 최대 2 2 = m g h 최대;

m v 최대 2 2 = m v 2 2 + m g h;

m g h 최대 = m v 2 2 + m g h,

여기서 m은 화물의 질량입니다. g - 자유 낙하 가속 모듈; v는 위치 3에서 부하의 순간 속도 계수입니다. h - 위치 3의 평형 위치 위의 하중 리프팅 높이; v max - 위치 1에서 최대 화물 속도의 계수; h max는 위치 2의 평형 위치 위의 하중의 최대 리프팅 높이입니다.

실 편향각수직으로부터의 수학 진자(그림 10.15)는 다음 식에 의해 결정됩니다.

코사인 α = l - h l = 1 - h l,

여기서 l은 스레드의 길이입니다. h는 평형 위치 위의 하중 리프팅 높이입니다.

최대 각도편차 α max는 평형 위치 h max 위의 하중의 최대 리프팅 높이에 의해 결정됩니다.

cos α 최대 = 1 - h 최대 l.

예 11. 수학 진자의 작은 진동 주기는 0.9초입니다. 공이 평형 위치를 지나 1.5m/s의 속도로 움직이면 나사산이 수직선에서 최대 각도로 어느 정도 벗어날까요? 시스템에 마찰이 없습니다.

해결책 . 그림은 수학 진자의 두 위치를 보여줍니다.

평형 위치 1(볼의 최대 속도 v max로 특성화됨);
극단 위치 2(볼의 최대 높이가 평형 위치 위로 h max 상승하는 것을 특징으로 함).

원하는 각도는 평등에 의해 결정됩니다.

cos α 최대 = l - h 최대 l = 1 - h 최대 l,

여기서 l은 진자 실의 길이입니다.

우리는 총 역학적 에너지 보존 법칙에서 평형 위치 위로 올라가는 진자 공의 최대 높이를 찾습니다.

평형 위치와 극단 위치에서 진자의 총 에너지는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

평형 위치에서 -

E 1 = m v 최대 2 2,

여기서 m은 진자 공의 질량입니다. v max는 평형 위치(최대 속도)에서 공 속도의 계수입니다. v max = 1.5m / s;

극단적인 위치에 -

E 2 = mgh 최대,

여기서 g는 중력 가속도의 계수입니다. h max는 평형 위치 위로 올라가는 볼의 최대 높이입니다.

총 역학적 에너지 보존 법칙:

m v max 2 2 = m g h max.

이로부터 평형 위치 위로 올라가는 공의 최대 높이를 표현해보자.

h 최대 = v 최대 2 2 g.

실의 길이는 수학 진자의 진동 주기 공식에서 결정됩니다.

T = 2 π l g,

저것들. 스레드 길이

내가 = T 2 g 4 π 2.

원하는 각도의 코사인을 식에서 h max 및 l로 대체합니다.

cos α 최대 = 1 - 2 π 2 v 최대 2 g 2 T 2

대략적인 평등 π 2 = 10을 고려하여 계산합니다.

cos α 최대 = 1 - 2 ⋅ 10 ⋅ (1.5) 2 10 2 ⋅ (0.9) 2 = 0.5.

최대 편향 각도는 60 °입니다.

엄밀히 말하면 60° 각도에서 공의 진동이 작지 않고 수학 진자의 진동 주기에 대한 표준 공식을 사용하는 것은 부적절합니다.

스프링 진자의 진동 동안 에너지 보존

스프링 진자의 총 기계적 에너지운동 에너지와 위치 에너지로 구성됩니다.

E = W k + W p,

여기서 W k - 운동 에너지, W k = mv 2/2; W p - 위치 에너지, W p = k(Δx) 2/2; m은 화물의 질량입니다. v - 화물 속도의 계수; k - 스프링의 강성 계수(탄성); Δx - 스프링의 변형(장력 또는 압축)(그림 10.16).

국제 단위계에서 기계적 진동 시스템의 에너지는 줄(1 J)로 측정됩니다.

조화 진동으로 스프링 진자는 여러 연속 상태를 통과하므로 세 위치에서 스프링 진자의 에너지를 고려하는 것이 좋습니다(그림 10.16 참조).

1) 에서 평형 위치(1) 물체의 속도는 최대값 v max를 가지므로 운동 에너지도 최대값입니다.

W k 최대 = m v 최대 2 2;

스프링이 변형되지 않기 때문에 스프링의 위치 에너지는 0입니다. 총 에너지는 최대 운동 에너지와 일치합니다.

E = W k 최대;

2) 안에 극단적인 위치(2) 스프링은 최대 변형(Δx max)을 가지므로 위치 에너지도 최대값을 갖습니다.

W p 최대 = k (Δ x 최대) 2 2;

신체의 운동 에너지는 0입니다. 총 에너지는 최대 위치 에너지와 일치합니다.

E = 최대 Wp;

3) 안에 중간 위치(3) 몸체는 순간 속도 v를 가지며, 이 순간 스프링에는 약간의 변형(Δx)이 있으므로 총 에너지는 합입니다.

E = m v 2 2 + k(Δ x) 2 2,

어디서 mv 2/2 - 운동 에너지; k (Δx) 2/2 - 위치 에너지; m은 화물의 질량입니다. v - 화물 속도의 계수; k - 스프링의 강성 계수(탄성); Δx - 스프링의 변형(장력 또는 압축).

스프링 진자의 하중이 평형 위치에서 변위되면 다음과 같이 작용합니다. 회복력, 진자의 이동 방향에 대한 투영은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

Fx = -kx,

여기서 x는 평형 위치에서 스프링 진자의 무게 변위, x = ∆x, ∆x는 스프링의 변형입니다. k - 진자 스프링의 강성 계수(탄성).

스프링 진자의 조화 진동으로 전체 기계적 에너지가 보존됩니다.

E = 상수

세 위치에서 스프링 진자의 총 에너지 값이 표에 나와 있습니다. 10.2.

№	위치	승	승	E = W p + W k
1	평형	0	m 대 최대 2/2	m 대 최대 2/2
2	극심한	k(Δx 최대) 2/2	0	k(Δx 최대) 2/2
3	중급(인스턴트)	k(Δx) 2/2	뮤직비디오 2/2	mv 2/2 + k(Δx) 2/2

표의 마지막 열에 표시된 총 기계적 에너지의 값은 수학적 표현인 진자의 모든 위치에 대해 동일한 값을 갖습니다 총 역학적 에너지 보존 법칙:

m v 최대 2 2 = k(Δ x 최대) 2 2;

m v 최대 2 2 = m v 2 2 + k(Δ x) 2 2;

k(Δ x 최대) 2 2 = m v 2 2 + k(Δ x) 2 2,

여기서 m은 화물의 질량입니다. v는 위치 3에서 부하의 순간 속도 계수입니다. Δx - 위치 3에서 스프링의 변형(장력 또는 압축); v max - 위치 1에서 최대 화물 속도의 계수; Δx max - 위치 2에서 스프링의 최대 변형(장력 또는 압축).

예 12. 스프링 진자는 조화 진동을 수행합니다. 평형 위치에서 몸의 변위가 진폭의 1/4인 순간의 운동 에너지는 전위보다 몇 배나 더 큽니까?

해결책 . 스프링 진자의 두 위치를 비교해 보겠습니다.

극단 위치 1(평형 위치 x max로부터의 진자 하중의 최대 변위를 특징으로 함);
중간 위치 2 (평형 위치 x 및 속도 v →에서 변위의 중간 값으로 특성화됨).

극단 및 중간 위치에서 진자의 총 에너지는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

극단적인 위치에 -

E 1 = k(Δ x 최대) 2 2,

여기서 k는 스프링의 강성(탄성) 계수입니다. ∆x max - 진동 진폭(평형 위치에서 최대 변위), ∆x max = A;

중간 위치에서 -

E 2 = k(Δ x) 2 2 + m v 2 2,

여기서 m은 진자 하중의 질량입니다. ∆x - 평형 위치에서 하중의 변위, ∆x = A / 4.

스프링 진자의 총 역학적 에너지 보존 법칙은 다음과 같습니다.

k(Δ x 최대) 2 2 = k(Δ x) 2 2 + m v 2 2.

서면 평등의 양변을 k(∆x) 2/2로 나눕니다.

(Δ x 최대 Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p,

여기서 W k는 중간 위치에서 진자의 운동 에너지, W k = mv 2/2입니다. W p는 중간 위치에서 진자의 위치 에너지, W p = k(∆x) 2/2입니다.

다음 방정식에서 필요한 에너지 비율을 표현해 보겠습니다.

W k W p = (Δ x 최대 Δ x) 2 - 1

값을 계산합니다.

W k W p = (A A / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15.

지정된 시간에 진자의 운동 에너지와 위치 에너지의 비율은 15입니다.

균일한 중력장에서 늘어나지 않는 무중력 실(그 질량은 몸체의 무게에 비해 무시할 수 있음)에 매달려 있는 물질 점(몸체)으로 구성된 기계 시스템을 수학적 진자(다른 이름은 진동자)라고 합니다. 이 장치에는 다른 유형이 있습니다. 실 대신 무중력 막대를 사용할 수 있습니다. 수학적 진자는 많은 흥미로운 현상의 본질을 명확하게 드러낼 수 있습니다. 작은 진폭의 진동으로 그 움직임을 고조파라고합니다.

기계 시스템에 대한 일반 정보

이 진자의 진동 주기 공식은 네덜란드 과학자 Huygens(1629-1695)에 의해 파생되었습니다. I. Newton의 이 동시대인은 이 기계 시스템을 매우 좋아했습니다. 1656년 그는 최초의 진자 시계를 만들었습니다. 그들은 그 시간에 대해 매우 정밀하게 시간을 측정했습니다. 이 발명은 물리적 실험과 실제 활동의 발전에서 가장 중요한 단계가되었습니다.

진자가 균형 잡힌 위치에 있으면(수직으로 매달림) 실 장력에 의해 균형이 맞춰집니다. 확장할 수 없는 스레드의 평면 진자는 제약 조건이 있는 2개의 자유도를 갖는 시스템입니다. 하나의 구성 요소만 변경하면 모든 구성 요소의 특성이 변경됩니다. 따라서 나사산이 막대로 대체되면 이 기계 시스템은 1자유도만 갖게 됩니다. 수학 진자는 어떤 속성을 가지고 있습니까? 이 가장 단순한 시스템에서는 주기적인 교란의 영향으로 혼돈이 발생합니다. 서스펜션 포인트가 움직이지 않고 진동하는 경우 진자에 새로운 평형 위치가 나타납니다. 빠른 상하 진동으로 이 기계 시스템은 안정적인 거꾸로 위치를 취합니다. 자체 이름도 있습니다. 카피차 진자라고 합니다.

진자 속성

수학적 진자는 매우 흥미로운 속성을 가지고 있습니다. 그들 모두는 잘 알려진 물리 법칙에 의해 확인됩니다. 다른 진자의 진동 주기는 몸체의 크기와 모양, 매달린 지점과 무게 중심 사이의 거리, 주어진 지점에 대한 질량 분포 등 다양한 상황에 따라 달라집니다. 그렇기 때문에 매달린 몸의 기간을 결정하는 것은 다소 어려운 작업입니다. 수학 진자의 기간을 계산하는 것이 훨씬 쉽습니다. 공식은 아래에 나와 있습니다. 이러한 기계 시스템을 관찰한 결과 다음 패턴을 설정할 수 있습니다.

진자의 길이를 동일하게 유지하면서 다른 추를 매달면 질량이 매우 다를지라도 진동 주기는 동일할 것입니다. 결과적으로 이러한 진자의 주기는 하중의 질량에 의존하지 않습니다.

시스템을 시작할 때 진자가 너무 크지는 않지만 다른 각도로 편향되면 같은 주기로 진동하기 시작하지만 진폭은 다릅니다. 평형 중심으로부터의 편차가 너무 크지 않은 한, 형태의 진동은 고조파 진동에 충분히 가깝습니다. 이러한 진자의 주기는 진동 진폭에 어떤 식으로든 의존하지 않습니다. 이 기계 시스템의 이러한 속성을 등시성(isochronism)이라고 합니다(그리스어 "크로노스"-시간, "isos"-등등).

수학 진자의 기간

이 표시기는 기간을 나타냅니다. 복잡한 표현에도 불구하고 프로세스 자체는 매우 간단합니다. 수학 진자의 실 길이가 L이고 중력 가속도가 g이면 이 값은 다음과 같습니다.

작은 자연 진동의 주기는 어떤 식으로든 진자의 질량과 진동의 진폭에 의존하지 않습니다. 이 경우 진자는 길이가 줄어든 수학적 진자처럼 움직입니다.

수학 진자의 진동

간단한 미분 방정식으로 설명할 수 있는 수학 진자는 진동합니다.

x + ω2 sin x = 0,

여기서 x(t)는 알려지지 않은 함수입니다(이는 시간 t에서 더 낮은 평형 위치로부터의 편차 각도이며, 라디안으로 표시됨). ω는 진자의 매개변수에서 결정되는 양의 상수입니다(ω = √g / L, 여기서 g는 중력 가속도이고 L은 수학 진자(현수)의 길이입니다.

평형 위치 근처의 작은 진동 방정식(고조파 방정식)은 다음과 같습니다.

x + ω2 sin x = 0

진자의 진동 운동

작은 진동을 만드는 수학적 진자는 사인 곡선을 따라 움직입니다. 2차 미분 방정식은 그러한 운동의 모든 요구 사항과 매개변수를 충족합니다. 궤적을 결정하려면 속도와 좌표를 설정해야 하며 이로부터 독립 상수가 결정됩니다.

x = 죄(θ 0 + ωt),

여기서 θ 0은 초기 위상, A는 진동 진폭, ω는 운동 방정식에서 결정된 주기 주파수입니다.

수학 진자(큰 진폭에 대한 공식)

상당한 진폭으로 진동하는 이 기계 시스템은 더 복잡한 운동 법칙을 따릅니다. 이러한 진자의 경우 다음 공식으로 계산됩니다.

죄 x / 2 = u * sn (ωt / u),

여기서 sn은 야코비 사인이며,< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

유 = (ε + ω2) / 2ω2,

여기서 ε = E / mL2(mL2는 진자의 에너지).

비선형 진자의 진동 주기 결정은 다음 공식에 따라 수행됩니다.

여기서 Ω = π / 2 * ω / 2K(u), K는 타원 적분, π - 3,14.

분리자에 따른 진자 운동

분리자는 2차원 위상 공간을 가진 역학 시스템의 궤적입니다. 수학적 진자는 비주기적으로 그것을 따라 움직입니다. 무한히 먼 순간에 극한의 위치에서 제로 속도로 옆으로 떨어졌다가 서서히 들어올린다. 결국 멈추고 원래 위치로 돌아갑니다.

진자의 진동 진폭이 숫자에 가까워지면 π , 이것은 위상 평면의 움직임이 분리체에 접근함을 나타냅니다. 이 경우 작은 강제력의 영향으로 기계 시스템은 혼란스러운 거동을 보입니다.

수학 진자가 특정 각도 φ로 평형 위치에서 벗어날 때 중력의 접선력 Fτ = -mg sin φ가 발생합니다. 빼기 기호는 이 접선 성분이 진자의 편차와 반대 방향으로 향함을 의미합니다. x가 반지름이 L인 원호를 따라 진자의 변위를 나타낼 때 각 변위는 φ = x / L입니다. 투영 및 힘에 대한 두 번째 법칙은 원하는 값을 제공합니다.

mg τ = Fτ = -mg sin x / L

이 비율을 바탕으로 평형 위치로 되돌리는 경향이 있는 힘은 항상 변위 x가 아니라 sin x / L에 비례하기 때문에 이 진자가 비선형 시스템임을 알 수 있습니다.

수학적 진자가 작은 진동을 수행할 때만 조화 진동자입니다. 즉, 조화 진동을 수행할 수 있는 기계 시스템이 됩니다. 이 근사치는 15-20 °의 각도에서 실제로 유효합니다. 진폭이 큰 진자의 진동은 조화되지 않습니다.

진자의 작은 진동에 대한 뉴턴의 법칙

주어진 기계 시스템이 작은 진동을 수행하면 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같습니다.

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

이를 기반으로 수학적 진자는 빼기 기호가 있는 변위에 비례한다는 결론을 내릴 수 있습니다. 이것이 시스템이 고조파 발진기가 되는 조건입니다. 변위와 가속도 사이의 종횡비의 계수는 각주파수의 제곱과 같습니다.

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

이 공식은 이러한 유형의 진자의 작은 진동의 고유 진동수를 반영합니다. 이를 바탕으로,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

에너지 보존 법칙에 따른 계산

진자의 속성은 에너지 보존 법칙을 사용하여 설명할 수도 있습니다. 중력장의 진자는 다음과 같다는 점을 염두에 두어야 합니다.

E = mg∆h = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

전체는 운동 또는 최대 전위와 같습니다. Epmax = Ekmsx = E

에너지 보존 법칙을 작성한 후 방정식의 우변과 좌변을 미분하면 다음과 같습니다.

상수의 도함수가 0이므로 (Ep + Ek) "= 0입니다. 합계의 도함수는 도함수의 합과 같습니다.

Ep "= (mg / L * x2 / 2)" = mg / 2L * 2x * x "= mg / L * v + Ek" = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) "= m / 2 * 2v * v "= mv * α,

그 후:

Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m α) = 0.

마지막 공식을 기반으로 α = - g / L * x를 찾습니다.

수학 진자의 실제 적용

지각의 밀도가 행성 전체에서 동일하지 않기 때문에 가속도는 위도에 따라 다릅니다. 밀도가 더 높은 암석이 있는 곳에서는 약간 더 높을 것입니다. 수학 진자의 가속은 지질 탐사에 자주 사용됩니다. 그 안에서 다양한 미네랄이 검색됩니다. 진자의 진동 수를 세는 것만으로도 지구의 창자에서 석탄이나 광석을 찾을 수 있습니다. 이것은 그러한 화석이 그 밑에 있는 느슨한 암석보다 밀도와 질량이 더 크다는 사실 때문입니다.

수학적 진자는 소크라테스, 아리스토텔레스, 플라톤, 플루타르코스, 아르키메데스와 같은 뛰어난 과학자들이 사용했습니다. 그들 중 많은 사람들이 이 기계 시스템이 사람의 운명과 삶에 영향을 미칠 수 있다고 믿었습니다. 아르키메데스는 계산에 수학적 진자를 사용했습니다. 오늘날 많은 오컬티스트와 심령술사들이 이 기계 시스템을 사용하여 예언을 이행하거나 실종자를 수색합니다.

유명한 프랑스 천문학자이자 박물학자인 K. Flammarion도 그의 연구에 수학적 진자를 사용했습니다. 그는 자신의 도움으로 새로운 행성의 발견, Tunguska 운석의 출현 및 기타 중요한 사건을 예측할 수 있었다고 주장했습니다. 제2차 세계 대전 중 독일(베를린)에서 전문 Pendulum Institute가 작업했습니다. 현재 뮌헨 초심리학 연구소(Munich Institute of Parapsychology)도 비슷한 연구를 하고 있습니다. 이 기관의 직원은 진자 작업을 "방사선 감각"이라고 부릅니다.

정의

수학 진자진동 시스템은 물리적 진자의 특별한 경우이며 전체 질량이 진자의 질량 중심인 한 지점에 집중되어 있습니다.

일반적으로 수학적 진자는 길고 무거우며 늘어나지 않는 실에 매달린 공으로 표시됩니다. 중력의 영향으로 조화롭게 진동하는 이상적인 시스템입니다. 수학적 진자의 좋은 근사는 얇고 긴 줄에서 진동하는 거대한 작은 공입니다.

갈릴레오는 긴 사슬에서 샹들리에의 스윙을 고려하여 수학 진자의 특성을 최초로 연구했습니다. 그는 수학 진자의 진동 주기가 진폭에 의존하지 않는다는 것을 발견했습니다. 민트를 시작할 때 다른 작은 각도로 편향시키면 진동은 같은 주기로 발생하지만 진폭은 다릅니다. 이 속성을 등시성이라고 합니다.

수학 진자의 운동 방정식

수학적 진자는 고조파 발진기의 고전적인 예입니다. 미분 방정식으로 설명되는 고조파 진동을 수행합니다.

\ [\ ddot (\ varphi) + (\ 오메가) ^ 2_0 \ varphi = 0 \ 왼쪽 (1 \ 오른쪽), \]

여기서 $ \ varphi $는 평형 위치에서 스레드(서스펜션)의 처짐 각도입니다.

방정식 (1)에 대한 솔루션은 $ \ varphi (t) 함수입니다. $

\ [\ varphi (t) = (\ varphi) _0 (\ cos \ 왼쪽 ((\ 오메가) _0t + \ 알파 \ 오른쪽) \ 왼쪽 (2 \ 오른쪽), \) \]

여기서 $ \ alpha $는 진동의 초기 단계입니다. $ (\ varphi) _0 $ - 진동 진폭; $ (\ Omega) _0 $ - 순환 주파수.

고조파 발진기의 진동은 주기적인 운동의 중요한 예입니다. 발진기는 고전 및 양자 역학의 많은 문제에서 모델 역할을 합니다.

수학 진자의 주기와 진동 주기

수학 진자의 주기적 주파수는 서스펜션의 길이에만 의존합니다.

\ [\ (\ 오메가) _0 = \ sqrt (\ frac (g) (l)) \ 왼쪽 (3 \ 오른쪽). \]

이 경우 수학 진자의 진동 주기($ T $)는 다음과 같습니다.

식 (4)는 수학적 진자의 주기가 매달린 길이(달린 지점에서 하중 중심까지의 거리)와 중력 가속도에만 의존함을 보여줍니다.

수학 진자에 대한 에너지 방정식

자유도가 1인 기계 시스템의 진동을 고려할 때 초기의 것으로 간주되는 것은 종종 뉴턴의 운동 방정식이 아니라 에너지 방정식입니다. 구성하기 쉽고 시간의 1 차 방정식이기 때문입니다. 시스템에 마찰이 없다고 가정합시다. 자유 진동(작은 진동)을 수행하는 수학 진자의 에너지 보존 법칙은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 $ E_k $는 진자의 운동 에너지입니다. $ E_p $ - 진자의 잠재적 에너지; $ v $는 진자의 속도입니다. $ x $ - 반지름 $ l $의 원호를 따라 평형 위치에서 진자 하중의 선형 변위, 각도 변위는 다음과 같이 $ x $와 관련됩니다.

\ [\ varphi = \ frac (x) (l) \ 왼쪽 (6 \ 오른쪽). \]

수학 진자의 위치 에너지의 최대값은 다음과 같습니다.

최대 운동 에너지:

여기서 $ h_m $는 진자의 최대 리프팅 높이입니다. $ x_m $ - 평형 위치에서 진자의 최대 편차; $ v_m = (\ Omega) _0x_m $ - 최대 속도.

솔루션 작업의 예

실시예 1

연습.평형 위치를 지날 때의 운동 속도가 $ v $인 경우 수학 진자의 공의 최대 들어올림 높이는 얼마입니까?

해결책.그림을 그려봅시다.

공의 위치 에너지를 평형 위치(점 0)에서 0이라고 하면 이 지점에서 공의 속도는 최대이고 문제의 조건에 따라 $ v $와 같습니다. 평형 위치(점 A) 위로 공이 최대 상승한 지점에서 공의 속도는 0이고 위치 에너지는 최대입니다. 공의 고려된 두 위치에 대한 에너지 보존 법칙을 작성해 보겠습니다.

\ [\ frac (mv ^ 2) (2) = mgh \ \ 왼쪽(1.1 \ 오른쪽). \]

방정식 (1.1)에서 원하는 높이를 찾습니다.

대답.$ h = \ frac (v ^ 2) (2g) $

실시예 2

연습.길이가 $ l = 1 \ m $인 수학 진자가 $ T = 2 \ s $와 같은 주기로 진동하면 중력 가속도는 얼마입니까? 작은 수학 진자의 진동을 고려하십시오. \ Textit ()

해결책.문제 해결의 기초로 작은 진동 기간을 계산하는 공식을 사용합니다.

가속도를 표현하자면 다음과 같습니다.

중력 가속도를 계산해 봅시다.

대답.$ g = 9.87 \ \ frac (m) (s ^ 2) $

수학 진자지구의 중력장에 위치한 무중력 및 확장할 수 없는 실에 매달린 물질 지점입니다. 수학적 진자는 특정 조건에서만 실제 진자를 올바르게 설명하는 이상적인 모델입니다. 실의 길이가 매달린 본체의 치수보다 훨씬 크고 실의 무게가 본체의 질량에 비해 무시할 수 있고 실의 변형이 매우 작은 경우 실제 진자는 수학적인 것으로 간주될 수 있습니다. 완전히 무시할 수 있다는 것입니다.

이 경우 진동 시스템은 실, 그것에 부착 된 몸체 및 지구에 의해 형성되며이 시스템이 없으면이 시스템이 진자 역할을 할 수 없습니다.

어디 ㅏ 엑스 – 가속, G - 중력 가속도, 엑스- 오프셋, 엘진자 스레드의 길이입니다.

이 방정식은 수학 진자의 자유 진동 방정식.다음 가정이 충족되는 경우에만 고려되는 변동을 올바르게 설명합니다.

2) 스윙 각도가 작은 진자의 작은 진동만 고려됩니다.

모든 경우에 시스템의 자유 진동은 유사한 방정식으로 설명됩니다.

수학 진자의 자유 진동에 대한 이유는 다음과 같습니다.

1. 장력과 중력이 진자에 작용하여 평형 위치에서 변위를 방지하고 다시 하강하도록 합니다.

2. 진자의 관성으로 인해 속도를 유지하면서 평형 위치에서 멈추지 않고 더 멀리 통과합니다.

수학 진자의 자유 진동 주기

수학 진자의 자유 진동주기는 질량에 의존하지 않고 진자가 위치한 곳의 실의 길이와 중력 가속도에 의해서만 결정됩니다.

고조파 진동으로 에너지 변환

스프링 진자의 조화 진동 동안 탄성적으로 변형된 몸체의 위치 에너지는 운동 에너지로 변환됩니다. 케이 – 탄성 계수, 엑스 -평형 위치에서 진자의 변위 계수, 중는 진자의 질량, V속도입니다. 고조파 진동 방정식에 따르면:

, .

스프링 진자의 총 에너지:

수학 진자의 총 에너지:

수학 진자의 경우

스프링 진자의 진동 중 에너지 변환은 기계적 에너지 보존 법칙에 따라 발생합니다 ( ). 진자가 평형 위치에서 아래로 또는 위로 움직일 때 위치 에너지는 증가하고 운동 에너지는 감소합니다. 진자가 평형 위치를 지날 때( 엑스= 0), 위치 에너지는 0이고 진자의 운동 에너지는 총 에너지와 동일한 가장 큰 값을 갖습니다.

따라서 진자의 자유 진동 과정에서 위치 에너지는 운동 에너지로, 운동 에너지는 위치 에너지로, 전위는 다시 운동 에너지로 변환됩니다. 그러나 총 기계적 에너지는 변하지 않습니다.

강제 진동. 공명.

외부의 주기적인 힘의 작용으로 발생하는 진동을 강요된 망설임... 강제력이라고 하는 외부 주기적 힘은 마찰로 인한 에너지 손실을 보충하는 데 사용되는 진동 시스템에 추가 에너지를 전달합니다. 구동력이 사인 또는 코사인 법칙에 따라 시간에 따라 변경되면 강제 진동은 조화되고 감쇠되지 않습니다.

자유 진동과 달리 시스템이 한 번만 에너지를 받으면(시스템이 평형 상태에서 제거될 때) 강제 진동의 경우 시스템은 외부 주기적인 힘의 소스에서 이 에너지를 지속적으로 흡수합니다. 이 에너지는 마찰을 극복하는 데 소비되는 손실을 보상하므로 진동 시스템의 총 에너지는 변하지 않습니다.

강제 진동의 주파수는 구동력의 주파수와 같습니다.... 구동력의 주파수가 υ 진동 시스템의 고유 주파수와 일치 υ 0 , 강제 진동의 진폭이 급격히 증가합니다. 공명. 공명은 다음과 같은 사실 때문에 발생합니다. υ = υ 0 자유 진동과 함께 시간에 작용하는 외력은 항상 진동체의 속도와 함께 지시되고 긍정적인 작업을 수행합니다. 진동체의 에너지가 증가하고 진동의 진폭이 커집니다. 강제 진동의 진폭 의존성 그래프 ㅏ 티 구동력의 주파수에 대해 υ 그림에 표시된 이 그래프를 공명 곡선이라고 합니다.

공명 현상은 여러 자연, 과학 및 산업 과정에서 중요한 역할을 합니다. 예를 들어, 교량, 건물 및 하중이 가해지는 기타 구조물을 설계할 때 공진 현상을 고려해야 합니다. 그렇지 않으면 특정 조건에서 이러한 구조물이 파괴될 수 있습니다.

스프링(그림 4)에 부착된 몸체가 평형 위치에서 거리 A만큼 예를 들어 왼쪽으로 편향되면 평형 위치를 통과한 후 오른쪽으로 편향됩니다. 이것은 에너지 보존 법칙에 따릅니다.

압축되거나 늘어난 스프링의 위치 에너지는 다음과 같습니다.

여기서 k는 스프링의 강성이고 x는 연신율입니다. 가장 왼쪽 위치에서 스프링의 신장 x = - A, 따라서 위치 에너지는

속도가 0과 같기 때문에 이 순간의 운동 에너지는 0과 같습니다. 이것은 위치 에너지가 이 순간 시스템의 전체 기계적 에너지임을 의미합니다. 마찰력이 0이고 다른 힘이 균형을 이룬다는 데 동의하면 시스템이 닫힌 것으로 간주될 수 있으며 전체 에너지는 운동 중에 변경될 수 없습니다. 운동 중인 물체가 가장 오른쪽 위치(x = A)에 있을 때 운동 에너지는 다시 0이 되고 총 에너지는 다시 포텐셜 에너지와 같습니다. 그리고 총 에너지는 변할 수 없습니다. 따라서 다시 같음

이것은 몸체가 A와 같은 거리만큼 오른쪽으로 벗어남을 의미합니다.

반대로 평형 위치에서는 스프링이 변형되지 않기 때문에 위치 에너지는 0입니다. x = 0입니다. 이 위치에서 신체의 총 에너지는 운동 에너지와 같습니다.

여기서 m은 물체의 질량이고 속도입니다(현재 최대값). 그러나 이 운동 에너지도 동일한 값을 가져야 합니다. 결과적으로 진동 운동 중에 운동 에너지가 위치 에너지로 또는 그 반대로 변환이 발생합니다. 평형 위치와 최대 처짐 위치 사이의 모든 지점에서 신체는 운동 에너지와 잠재력을 모두 갖지만 그 합은 신체의 모든 위치에서 총 에너지는 같습니다. 진동체의 총 기계적 에너지 W는 진폭과 진동의 제곱에 비례합니다.

진자. 수학 진자

진자는 무게 중심이 매달린 지점 아래에 있도록 매달린 물체입니다. 이것은 로프에 매달린 하중이 벽시계의 진자와 유사한 진동 시스템임을 의미합니다. 자유진동이 가능한 모든 계는 안정된 평형위치를 갖는다. 진자의 경우 무게 중심이 서스펜션 지점 아래 수직선에 있는 위치입니다. 진자를 이 위치에서 빼거나 밀면 진동하기 시작하여 평형 위치에서 한 방향 또는 다른 방향으로 벗어납니다. 진자가 도달하는 평형 위치에서 가장 큰 편차를 진동의 진폭이라고 합니다. 진폭은 진자가 움직이도록 설정된 초기 편향 또는 푸시에 의해 결정됩니다. 이 속성(운동 시작 시 조건에 대한 진폭의 의존성)은 진자의 자유 진동의 특징일 뿐만 아니라 일반적으로 매우 많은 진동 시스템의 자유 진동에 대한 특징입니다.

물리적 진자의 진동 주기는 많은 상황에 따라 달라집니다. 신체의 크기와 모양, 무게 중심과 매달린 지점 사이의 거리, 이 지점에 대한 체중 분포; 따라서 정지 된 신체의 기간을 계산하는 것은 다소 어려운 작업입니다. 상황은 수학 진자의 경우 더 간단합니다. 수학적 진자는 가는 실에 매달린 추로, 그 치수는 실의 길이보다 훨씬 작고 만나의 질량은 실의 질량보다 큽니다. 즉, 몸체(하중)와 나사산은 하중이 물질의 점으로 간주될 수 있고 나사산이 무중력 상태가 되도록 해야 합니다. 이러한 진자의 관찰을 통해 다음과 같은 간단한 법칙을 설정할 수 있습니다.

1. 같은 길이의 진자(매달린 지점에서 하중 중심까지의 거리)를 유지하면서 다른 추를 매달면, 추의 질량은 크게 다르지만 진동 주기는 같습니다. . 수학 진자의 주기는 하중의 질량에 의존하지 않습니다.

2. 궤적의 어느 지점에서나 신체에 작용하는 Sida는 평형 위치를 향하고 평형 지점 자체는 0과 같습니다.

3. 힘은 평형 위치에서 신체의 편차에 비례합니다.

쌀. 5.

4. 진자를 시작할 때 다른 각도(너무 크지는 않은)로 편향시키면 진폭은 다르지만 같은 주기로 진동합니다. 진폭이 너무 크지 않은 한 진동은 고조파 형태에 충분히 가깝고 수학 진자의 주기는 진동의 진폭에 의존하지 않습니다. 이 속성은 isochronism이라고합니다 (그리스어 "isos"- 같음, "chronos"- 시간).

이 사실은 1655년에 갈릴레오에 의해 처음 확인되었으며, 다음과 같은 상황에서 추정됩니다. 갈릴레오는 피사 대성당에서 긴 사슬에 달린 샹들리에(정교회에서는 중앙 샹들리에, 많은 양초나 아이콘 램프가 있는 램프)가 흔들리는 것을 관찰했는데, 불이 붙었을 때 밀렸다. 예배 중에 그네 그네가 점차 희미 해졌습니다 (8 장). 즉, 그네 진폭이 감소했지만 기간은 동일하게 유지되었습니다. 갈릴레오는 시간의 지표로 자신의 맥박을 사용했습니다.

진자의 이러한 특성은 놀랍고 유용할 뿐만 아니라 유용한 것으로 판명되었습니다. 갈릴레오는 시계의 조절기로 진자를 사용할 것을 제안했습니다. 갈릴레오 시대에 시계는 추로 동력을 얻었고 풍차 날개와 같은 조잡한 장치를 사용하여 공기 저항을 사용하는 스트로크를 조정했습니다. 무작위 돌풍에 의해 큰 진동과 작은 진동이 동시에 발생하기 때문에 진자는 동일한 시간 간격을 계산하는 데 사용할 수 있습니다. 갈릴레오로부터 1세기 후에 진자 시계가 사용되기 시작했지만 선원들은 여전히 바다에서 경도를 측정하기 위해 정확한 시계가 필요했습니다. 시간을 충분히 정확하게 측정할 수 있는 해양 시계를 만든 공로로 상이 발표되었습니다. 상은 플라이휠(밸런스)과 스트로크를 조절하는 특수 스프링을 사용하는 크로노미터로 Garisson에게 돌아갔습니다.

이제 수학 진자의 진동 주기에 대한 공식을 도출해 보겠습니다.

진자가 흔들릴 때, 하중은 이동 중에 변하는 복귀력 P 1의 작용에 따라 호 VA(그림 5, a)를 따라 가속 이동합니다.

일정하지 않은 힘의 영향으로 신체 움직임을 계산하는 것은 다소 복잡합니다. 따라서 편의상 다음과 같이 진행합니다.

진자가 한 평면에서 진동을 수행하지 않고 원추형을 설명하여 하중이 원을 그리도록 합시다(그림 5, b). 이 움직임은 두 개의 독립적인 진동을 추가한 결과 얻을 수 있습니다. 하나는 여전히 도면 평면에 있고 다른 하나는 수직 평면에 있습니다. 분명히, 이 두 평면 진동의 주기는 동일합니다. 왜냐하면 어떤 진동 평면도 다른 진동 평면과 다르지 않기 때문입니다. 결과적으로 복잡한 운동의 기간 - 원뿔을 따라 진자의 회전 -은 한 평면에서 스윙의 기간과 동일합니다. 이 결론은 두 개의 동일한 진자를 가지고 하나는 평면에서 스윙하고 다른 하나는 원뿔을 따라 회전하도록 지시하는 직접적인 실험으로 쉽게 설명할 수 있습니다.

그러나 "원추형"진자의 회전 기간은 하중으로 설명되는 원의 길이를 속도로 나눈 값과 같습니다.

수직으로부터의 편차 각도가 작은 경우(작은 진폭!) 그러면 복귀력 P 1이 BC 원의 반경을 따라 향한다고 가정할 수 있습니다. 즉, 구심력과 같습니다.

한편, 삼각형 OBC와 DBE의 유사성으로부터 BE: BD = CB: OB를 따른다. OB = l, CB = r, BE = P 1이므로

두 식 Р 1을 서로 동일시하면 순환 속도를 얻습니다.

마지막으로 이것을 기간 T에 대한 표현식에 대입하면 다음을 찾을 수 있습니다.

따라서 수학적 진자의 주기는 중력 가속도 g와 진자의 길이 l, 즉 서스펜션 지점에서 하중 중심까지의 거리에만 의존합니다. 얻은 공식에서 진자의 주기는 질량과 진폭에 의존하지 않는다는 것을 알 수 있습니다(충분히 작은 경우). 즉, 관찰을 통해 더 일찍 확립된 기본 법칙을 계산하여 얻은 것입니다.

그러나이 이론적 결론은 우리에게 더 많은 것을 제공합니다. 진자의 기간, 길이 및 중력 가속도 사이의 양적 관계를 설정할 수 있습니다. 수학 진자의 주기는 중력 가속도에 대한 진자의 길이 비율의 제곱근에 비례합니다. 가로 세로 비율이 2입니까?

중력 가속도에 대한 진자 주기의 의존성은 이 가속도를 결정하는 매우 정확한 방법입니다. 진자의 길이를 측정하고 l 많은 진동에서 기간 T를 결정하면 결과 공식 g를 사용하여 계산할 수 있습니다. 이 방법은 실제로 널리 사용됩니다.

진자 진동 공명 좌표