Хоёртын харилцаа ба тэдгээрийн шинж чанарууд нь шийдлүүдийн жишээ юм. Хоёртын харилцаа. Хоёртын харилцааны жишээ. Хоёртын харилцаа ба тэдгээрийн шинж чанарууд

сул дарааллын хувьд:

хX - үнэн (рефлекс чанар);

xy ба yh x \u003d y- (антисимметр);

x y ба y z xy z- (шилжилт).

Маш их Xхэрэв хоёр элемент байвал захиалсан гэж нэрлэдэг хболон үедэдгээр багцыг харьцуулах боломжтой, өөрөөр хэлбэл дараах нөхцлүүдийн аль нэг нь биелсэн бол: х< y, x= y, y< х.

Захиалсан багцыг кортеж гэж нэрлэдэг. Ерөнхий тохиолдолд цорго гэдэг нь элементүүдийн дараалал, өөрөөр хэлбэл элемент тус бүр нь сайн тодорхойлсон газрыг эзэлдэг элементүүдийн цуглуулга юм. Захиалгат олонлогийн элементүүдийг кортежийн бүрдэл хэсгүүд гэж нэрлэдэг. Цонхны жишээнд арифметик эсвэл геометр прогрессын тооны дараалсан дараалал, радиоэлектрон бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх технологийн үйл ажиллагааны дараалал, бүтцийн элементүүдийг бэхлэх зориулалттай хэвлэмэл хэлхээний самбарыг байрлуулах дарааллыг багтаасан болно.

Эдгээр бүх багцад элемент тус бүрийн байршил тодорхой бөгөөд дур мэдэн өөрчлөх боломжгүй юм.

Компьютер дээр дизайны мэдээллийг боловсруулахдаа давамгайллын харилцааг ихэвчлэн ашигладаг. Тэд үүнийг хэлдэг xXдавамгайлдаг yX,өөрөөр хэлбэл x \u003e\u003e y,хэрэв элемент хдавсан (давуу эрх авдаг) элемент үедижил багц. Жишээлбэл, дор хта эхлээд боловсруулагдах ёстой өгөгдлүүдийн нэг жагсаалтыг ойлгож чадна. Цахим тоног төхөөрөмжийн хэд хэдэн загварт дүн шинжилгээ хийхдээ тэдгээрийн аль нэгэнд нь тэргүүлэх ач холбогдол өгөх хэрэгтэй, учир нь энэ загвар нь бидний үзэж байгаагаар бусдаас илүү шинж чанартай, өөрөөр хэлбэл дизайнтай байдаг. хзагварыг давамгайлдаг үед.

Энэ тохиолдолд шилжилтийн шинж чанар хадгалагдахгүй. Үнэн хэрэгтээ, жишээ нь барилгын ажил хзарим нэг параметр дээр тэд дизайныг илүүд үздэг y,гэхдээ дизайн үедz-ийн бүтцийг илүүд үзсэн бусад параметрүүдийн хувьд барилга байгууламж үүнээс улбаатай болно хбарилга байгууламжаас илүүтэйгээр илүүд үзэх хэрэгтэй ж.

Багцын дэлгэц. Олонлогийн онолын үндсэн ойлголтуудын нэг бол зураглалын тухай ойлголт юм. Хэрэв хоосон биш хоёр багц өгөгдсөн бол Xболон Y,дараа нь элемент тус бүрийн дагуу x Xэлементтэй таарч байна , нэг утга бүхий зураглал гэж нэрлэдэг Xонд Yэсвэл X дээр тодорхойлогдсон, утга авах функц Y.

Бодит байдал дээр олон талт зураглалын зураглалыг шийдэх хэрэгтэй Xзураг авалт дээр Y,аль элементийн дагуу хуулийг тодорхойлдог xXзарим дэд хэсэг , элементүүдийн дүрс гэж нэрлэдэг. Тохиолдол байдаг Rx \u003d 0.

Зарим дэд хэсгийг өгье AX.Хэний ч хувьд хаарга зам хнь дэд хэсэг юм . Бүх элементүүдийн цуглуулга Y,бүгдэд зориулсан зураг x in A,олонлогийн дүрс гэж нэрлэгдэх болно БАбид тэмдэглэх болно GA.Энэ тохиолдолд

Хоёртын харилцаа.

А ба В дурын олонлогууд байг. Баг бүрээс нэг элемент, A-аас B, B-ээс аваад дараах байдлаар бичнэ үү. (эхлээд эхний олонлогийн элемент, дараа нь хоёр дахь багцын элемент - өөрөөр хэлбэл элементүүдийг авах дараалал нь бидний хувьд чухал юм). Ийм объектыг дуудах болно захиалсан хос. Тэгш бид ижил тоотой элементүүд тэнцүү хосуудыг л тоолох болно. = Хэрэв a \u003d c ба b \u003d d бол. Хэрэв ≠ b бол тодорхой ≠ .

Декарт бүтээгдэхүүн дурын A ба B олонлогуудыг (AB-ээр тэмдэглэв) эхний элемент нь А-д, хоёр дахь нь B-д хамаарах бүх боломжтой эрэмбэлэгдсэн хосуудаас бүрдэх олонлог гэж нэрлэдэг. | aA ба bB). Хэрэв A ≠ B бол AB ≠ BA байх нь ойлгомжтой. А олонлогийн Декарт үржвэрийг n удаа өөрөө нэрлэдэг декартын зэрэг A (тэмдэглэсэн: A n).

Жишээ 5. A \u003d (x, y) ба B \u003d (1, 2, 3) байг.

AB \u003d ( , , , , , }.

BA \u003d (<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

AA \u003d A 2 \u003d ( , , , }.

BB \u003d B 2 \u003d (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

Хоёртын харьцаа M олонлог дээр бид M олонлогийн зарим эрэмбэлэгдсэн хос элементүүдийн багцыг хэлнэ. Хэрэв r бол хоёртын хамаарал ба хос юм энэ харилцаанд хамааралтай бол дараахь зүйлийг бичнэ. r эсвэл x r y. Мэдээжийн хэрэг, r Í M 2.

Жишээ 6. Олонлог (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) нь олонлог дээрх хоёртын хамаарал юм (1, 2, 3, 4, 5).

Жишээ 7. Бүхэл тоонуудын олонлог дээрх ³ хамаарал нь хоёртын хамаарал юм. Энэ бол захиалсан хос хэлбэрийн хязгааргүй багц юм , энд x ³ y, x ба y нь бүхэл тоо байна. Энэ хамааралд, жишээлбэл, хосууд орно<5, 3>, <2, 2>, <324, -23> мөн хосынх биш<5, 7>, <-3, 2>.

Жишээ 8. А олонлог дээрх тэгш байдлын харилцаа нь хоёртын хамаарал юм: I A \u003d ( | x Î A). I A дуудагдав диагональ багц A.

Хоёртын харилцаа нь олонлог байдаг тул нэгдэх, огтлолцох, нөхөх, ялгах үйлдлүүд тэдгээрт хамаатай.

Хамрах хүрээ хоёртын харьцааны r-ийг D (r) \u003d (x | xry гэсэн у байна) гэж нэрлэдэг. Үнэлэмжийн хүрээ хоёртын харьцааны r-ийг R (r) \u003d (y | xry гэсэн x байгаа) олонлог гэж нэрлэдэг.

Хандлага, урвуу r Í M 2 гэсэн хоёртын харьцаанд хоёртын харьцаа r -1 \u003d гэж нэрлэдэг. | Î r). Мэдээжийн хэрэг, D (r -1) \u003d R (r), R (r -1) \u003d D (r), r - 1 Í M 2.

Зохиол М олонлог дээр өгөгдсөн r 1 ба r 2 хоёртын харилцааг хоёртын харьцаа r 2 o r 1 \u003d ( | ийм ийм байдаг Î r 1 ба Í r 2). R 2 o r 1 Í M 2.

Жишээ 9. M \u003d (a, b, c, d), r \u003d (олонлог) дээр хоёртын харьцааг r тодорхойлъё. , , , ). Дараа нь D (r) \u003d (a, c), R (r) \u003d (b, c, d), r ‑1 \u003d ( , , , ), r o r \u003d ( , , , ), r ‑1 o r \u003d ( , , , ), r o r ‑1 \u003d ( , , , , , , }.

М олонлог дээрх r хоёртын харьцаа байг. R харьцааг дууддаг тусгалхэрэв x r x дурын x Î бол M. харьцааг дууддаг тэгш хэмтэйхэрэв хос бүртэй хамт байвал энэ нь бас хос агуулдаг ... R харьцааг нэрлэдэг шилжилтийнхэрэв x r y ба y r z гэсэн баримтаас x r z гарах юм бол. R харьцааг нэрлэдэг тэгш хэмгүйхэрэв энэ нь хосыг нэгэн зэрэг агуулаагүй бол болон М олонлогийн x ¹ y өөр элементүүд.

Эдгээр шинж чанаруудыг биелүүлэх шалгуурыг зааж өгье.

М олонлог дээрх хоёртын харьцаа r нь I M Í r тохиолдолд л рефлекс шинжтэй байдаг.

Хоёртын харьцаа r нь тэгш хэмтэй бөгөөд хэрэв r \u003d r ‑1 байвал л болно.

М олонлог дээрх r хоёртын харьцаа нь r Ç r ‑1 \u003d I M байвал л хэмжигдэхүүнгүй болно.

Хоёртын харьцаа r нь зөвхөн r o r Í r байвал дамжин өнгөрдөг.

Жишээ 10. 6-р жишээнээс хамаарал нь антисиметрийн шинжтэй боловч тэгш хэмтэй, рефлекс, шилжилтийн шинжтэй биш юм. 7-р жишээний харилцаа нь рефлекс, антисимметр, шилжилтийн шинжтэй боловч тэгш хэм биш юм. I A хамаарал нь авч үзсэн дөрвөн шинж чанартай. R ‑1 o r ба r o r ‑1 хамаарал нь тэгш хэмтэй, шилжилтийн шинжтэй боловч антисиметрик, рефлекс биш юм.

Хандлага эквивалент байдал М олонлог дээр М бинар хамаарал дээр шилжилт, тэгш хэмтэй, рефлекс гэж нэрлэдэг.

Хандлага хэсэгчилсэн захиалга M олонлог дээр M хоёртын харьцаа r-д шилжилтийн, антисимметр, рефлекс гэж нэрлэдэг.

Жишээ 11. Жишээ 7-оос авсан хамаарал нь хэсэгчилсэн захиалга юм. I A хамаарал нь эквивалент байдал ба хэсэгчилсэн эрэмбийн харьцаа юм. Шулуунуудын параллелизмын харьцаа нь эквивалент харьцаа юм.

Харилцааны шинж чанарууд:

1) рефлекс чанар;

2) тэгш хэм;

3) шилжилт.

4) холболт.

Хандлага R зураг авалт дээр X гэж нэрлэдэг тусгалтай, хэрэв багцын элемент тус бүрийн талаар X бид түүнийг холбоотой гэж хэлж болно R Өөртэйгөө: хRx. Хэрэв харилцаа нь рефлекс шинжтэй байвал графикийн орой бүрт гогцоо байна. Үүний эсрэгээр орой бүр нь давталт агуулсан график нь рефлексийн хамаарлын график юм.

Рефлексийн харилцааны жишээ бол натурал тоонуудын олонлогийн “тоо” -ын харьцаа (тоо тус бүр нь өөрийн үржвэр) ба гурвалжны ижил төстэй байдлын харьцаа (гурвалжин бүр өөртэйгөө ижил төстэй) ба “тэгш байдал” -ын харьцаа (тоо бүр өөртэйгөө тэнцүү) гэх мэт.

Рефлексийн шинж чанаргүй харилцаа байдаг, жишээлбэл, сегментийн перпендикулярын харьцаа: ab, ba (энэ нь өөртөө перпендикуляр гэж хэлж болох нэг ч хэсэг байхгүй) . Тиймээс энэ хамаарлын график дээр нэг ч гогцоо байхгүй байна.

Энэ нь рефлексийн шинж чанарыг эзэмшдэггүй бөгөөд харьцаа нь сегментүүдийн хувьд "урт", натурал тоонуудын хувьд "2-оос их" гэх мэт.

Хандлага R зураг авалт дээр Xгэж нэрлэдэг эсрэг цацруулагчхэрэв багцаас ямар нэг элемент байвал Xүргэлж худал хRx: .

Гэрэл тусгалгүй, эсрэг тусгалгүй харилцаа байдаг. Ийм харилцааны жишээ бол цэг юм х цэг рүү тэгш хэмтэй үедхарьцангуй шулуун л»Онгоцны олон цэг дээр тодорхойлогдсон болно. Үнэхээр шугамын бүх цэгүүд л өөрсдөдөө тэгш хэмтэй бөгөөд шулуун шугам дээр байрладаггүй цэгүүд юм л, өөрсдөө тэгш хэмтэй биш байдаг.

Хандлага Rзураг авалт дээр X гэж нэрлэдэг тэгш хэмтэй, хэрэв нөхцөл хангагдсан бол: тухайн элемент байгаагаас х элементтэй холбоотой юм y, элемент нь дараах байдалтай байна y хамааралтай байна R элементтэй x:xRyyRx.

Тэгш хэмийн харьцааны график нь дараахь онцлог шинжтэй байна х руу y, графикт сум орж байна y руу х (зураг 35).

Тэгш хэмийн харилцааны жишээнд дараахь зүйлийг дурдаж болно: сегментүүдийн "параллелизм" -ын харьцаа, сегментүүдийн "перпендикулярын" харьцаа, сегментүүдийн "тэгш байдал" -ын харьцаа, гурвалжны ижил төстэй байдлын харьцаа, фракцын "тэгш байдал" -ын харьцаа гэх мэт.

Тэгш хэмийн шинж чанаргүй харилцаа байдаг.

Үнэхээр, хэрвээ сегмент бол х сегментээс урт үед, дараа нь сегмент үед сегментээс урт байж болохгүй х... Энэ харилцааны график нь өвөрмөц шинж чанартай байдаг: оройг холбосон сумыг зөвхөн нэг чиглэлд чиглүүлдэг.

Хандлага R гэж нэрлэдэг тэгш хэмгүйхэрэв ямар нэгэн элементийн хувьд х болон yүнэний тухай xRyхуурамч байдал yRx :: xRyyRx.

"Урт" харилцаанаас гадна сегментүүдийн багц дээр бусад тэгш хэмийн бус харилцаа холбоо байдаг. Жишээлбэл, тоонуудын хувьд "их" харьцаа (хэрэв х дэлгэрэнгүй үеддараа нь үед илүү байж чадахгүй х), "илүү их" харьцаа гэх мэт.

Тэгш хэмийн шинж чанар эсвэл антисиметрийн шинж чанар хоёулаа байдаггүй харилцаа байдаг.

Олонлог дээрх R харьцаа Xгэж нэрлэдэг шилжилтийн, Хэрэв тэр элементээс х хамааралтай байна R элементтэй y, ба элемент y хамааралтай байна R элементтэй z, элемент нь дараах байдалтай байна х хамааралтай байна R элементтэй z: xRy болон yRzxRz.

Хос сум тус бүрээр дамжин өнгөрөх харилцааны график х руу y болон y руу z, руу чиглэсэн сумыг агуулна хруу z.

Сегментүүдийн багц дээрх "урт" гэсэн харьцаа нь мөн дамжуулалтын шинж чанартай байдаг: хэрвээ сегмент бол болон сегментээс урт б, Хэсэг бсегментээс урт -аас, дараа нь сегмент болонсегментээс урт -аас. Сегментүүдийн олонлог дээрх "тэгш байдал" хамаарал нь мөн шилжилтийн шинж чанартай байдаг. (a \u003db, b \u003d c) (a \u003d c).

Транзит шинж чанаргүй харилцаа байдаг. Ийм хамаарал нь жишээлбэл перпендикуляр харьцаа юм: хэрвээ сегмент бол болон сегментэд перпендикуляр бболон сегмент б сегментэд перпендикуляр -аас, дараа нь сегментүүд болон болон -аас перпендикуляр биш!

Харилцааны өөр нэг шинж чанар байдаг бөгөөд үүнийг холболтын шинж чанар гэж нэрлэдэг бөгөөд түүнийг эзэмшсэн харилцааг холбогдсон гэж нэрлэдэг.

Хандлага R зураг авалт дээр X гэж нэрлэдэг хүлэгдсэн, хэрэв ямар нэгэн элементийн хувьд х болон y энэ багцаас дараах нөхцлийг хангасан болно: хэрэв х болон y өөр, дараа нь бас х хамааралтай байна R элементтэй y, эсвэл элемент y хамааралтай байна R элементтэй х... Тэмдгүүдийг ашиглан дараах байдлаар бичиж болно: xy xRy эсвэл yRx.

Жишээлбэл, натурал тоонуудын “илүү” гэсэн харьцаа нь холбогдох шинж чанартай байдаг: x ба y гэсэн өөр тооны хувьд аль нэгийг нь баталж болно. x\u003e yэсвэл y\u003e x.

Холбогдох харилцааны график дээрх дурын хоёр оройг сумаар холбодог. Үүний эсрэг нь бас үнэн юм.

Холбоогүй харилцаа байдаг. Жишээлбэл, ийм хамаарал нь натурал тоонуудын хуваагдлын харьцаа юм: бид ийм тоонуудыг x ба гэж нэрлэж болно yтэр тоо байхгүй ххуваагч биш yдугаар ч биш y хуваагч биш х(тоо 17 болон 11 , 3 болон 10 гэх мэт) .

Зарим жишээг авч үзье. Зураг авалт дээр X \u003d (1, 2, 4, 8, 12) харилцаа "тоо хтооны олон y". Энэ хамаарлын графикийг байгуулаад шинж чанарыг нь томъёолъё.

Бутархай тэнцүү байдлын харьцааг эквивалент харьцаа гэнэ.

Хандлага R зураг авалт дээр X гэж нэрлэдэг эквивалент харьцаа, хэрэв энэ нь уян хатан байдал, тэгш хэм, шилжилтийн шинж чанарыг нэгэн зэрэг эзэмшсэн бол.

Эквивалент харилцааны жишээ нь: геометрийн фигурын тэгш байдлын харилцаа, шулуун шугамын параллелизмын харьцаа (давхцаж буй шулуунуудыг параллель гэж үзвэл).

Дээр дурдсан "бутархай тэнцүү байдал" -ын харьцаатай холбоотой багц Xгурван дэд хэсэгт хуваах: ( ; ; }, {; } , (). Эдгээр дэд хэсгүүд огтлолцохгүй бөгөөд тэдгээрийн нэгдэл нь багцтай давхцаж байна X, өөрөөр хэлбэл бид ангиудад багцын хуваалт байна.

Тэгэхээр, хэрэв X олонлог дээр эквивалент хамаарал өгөгдсөн бол энэ олонлогийн хуваагдмал дэд дэд багцууд болох эквивалентын ангиудад хуваалт үүсгэдэг.

Тиймээс бид олонлог дээрх тэгш байдлын харьцааг тогтоосон
X\u003d (;;;;;) нь энэ багцыг тэнцүү ангиудад хуваахтай тохирч байгаа бөгөөд тус бүр нь тэнцүү фракцаас бүрдэнэ.

Олонлогийг зарим эквивалент хамаарлыг ашиглан ангиудад хуваах зарчим нь математикийн чухал зарчим юм. Яагаад?

Нэгдүгээрт, эквивалент нь дүйцэх, сольж болох гэсэн утгатай. Тиймээс ижил эквивалент ангийн элементүүд хоорондоо солигддог. Тэгэхээр ижил эквивалент анги дахь бутархай (;;), тэгш байдлын харьцаа, бутархай байдлаар ялгах боломжгүй юм жишээ нь өөр нэгээр сольж болно . Энэ солих нь тооцооллын үр дүнг өөрчлөхгүй.

Хоёрдугаарт, эквивалент байдлын ангид зарим харилцааны үүднээс ялгах боломжгүй элементүүд байдаг тул эквивалент анги нь түүний аль нэг төлөөлөгчөөр тодорхойлогддог гэж үздэг. ангийн дурын элемент. Тэгэхээр энэ ангид хамаарах бутархайг зааж өгөөд тэнцүү фракцын аль ч ангиллыг зааж өгч болно. эквивалент анги нь олонлогийн бүх элементүүдийн оронд нэг төлөөлөгчийг эквивалент ангиудын төлөөллийн багцыг судлах боломжийг олгодог. Жишээлбэл, олон өнцөгт дээр тодорхойлсон “ижил тооны оройтой байх” эквивалент харьцаа нь энэ олонлогийн хуваалтыг гурвалжин, дөрвөлжин, таван өнцөгт гэх мэт анги болгон үүсгэдэг. тодорхой ангилалд багтсан шинж чанарыг түүний төлөөлөгчдийн аль нэгэнд авч үздэг.

Гуравдугаарт, эквивалент харьцаа ашиглан багцыг ангиудад хуваах нь шинэ ойлголтыг нэвтрүүлэхэд ашиглагддаг. Жишээлбэл, "мөрийн багц" гэсэн ойлголтыг зэрэгцээ шугамууд хоорондоо ижил төстэй нийтлэг зүйл гэж тодорхойлж болно.

Харилцааны өөр нэг чухал хэлбэр бол захиалгын харилцаа юм. Асуудлыг авч үзье. Зураг авалт дээр X={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) харьцааг “хуваахдаа ижил үлдэгдэлтэй байна 3 ". Энэ хамаарал нь олонлогийн хуваалтыг үүсгэдэг X ангиудад: бүх дугаарыг хуваахад нэгэнд нь оруулна 3 үлдсэн хэсэг 0 (эдгээр нь тоо юм 3, 6, 9 ). Хоёр дахь нь хуваагдахад тоог агуулна 3 үлдсэн хэсэг нь 1 (эдгээр нь тоо юм 4, 7, 10 ). Гуравдугаарт хуваахад бүх тоо багтана 3 үлдсэн хэсэг нь 2 (эдгээр нь тоо юм 5, 8 ). Үнэн хэрэгтээ, үүссэн багцууд огтлолцохгүй бөгөөд тэдгээрийн нэгдэл нь багцтай давхцаж байна X... Улмаар харилцаа нь “хуваахдаа ижил үлдэгдэлтэй байна 3 »Зураг авалтын талбай дээр тодорхойлогдсон X, эквивалент хамаарал юм.

Өөр нэг жишээ авахад та ангийн сурагчдын өндрийг эсвэл насаар нь ангилж болно. Энэ холбоо нь антисимметр ба транзитив шинж чанартай болохыг анхаарна уу. Эсвэл цагаан толгой дээрх үсгийн дарааллыг хүн бүр мэддэг. Үүнийг "ёстой" гэсэн харьцаагаар хангаж өгдөг.

Хандлага Rзураг авалт дээр X гэж нэрлэдэг хатуу дэг журамхэрэв энэ нь антисимметр ба шилжилтийн шинж чанарыг нэгэн зэрэг эзэмшдэг бол. Жишээлбэл, “ х< y».

Хэрэв харилцаа нь рефлекс, антисимметр, шилжилтийн шинж чанарыг эзэмшсэн бол энэ нь ийм байх болно сул захиалга... Жишээлбэл, “ хy».

Захиалгын харилцааны жишээнүүд нь: натурал тооны олонлогийн харьцаа "бага", сегментүүдийн багц дахь "богино" харьцаа. Хэрэв захиалгын харьцаа нь бас холбогдох шинж чанартай бол тэд үүнийг хэлнэ шугаман дарааллын хамаарал... Жишээлбэл, натурал тооны олонлог дээрх "бага" харьцаа.

Маш их X гэж нэрлэдэг эмх цэгцтэй, дээр нь захиалгын хамаарлыг зааж өгсөн бол.

Жишээлбэл, багц X \u003d{2, 8, 12, 32 ) "бага" харьцааг ашиглан захиалж болно (Зураг 41), үүнийг "үржвэр" хамаарлыг ашиглан хийж болно (Зураг 42). Гэхдээ эрэмбийн хамаарал болох "бага" ба "олон" харилцаа нь натурал тооны багцыг янз бүрээр эрэмбэлдэг. "Бага" гэсэн харьцаа нь багцаас дурын хоёр тоог харьцуулах боломжийг танд олгоно X, "олон тооны" харьцаа нь энэ өмчийг агуулаагүй болно. Тэгэхээр хоёр тоо 8 болон 12 "үржвэр" гэсэн харьцаа холбогдоогүй: үүнийг хэлж чадахгүй 8 олон 12 эсвэл 12 олон 8.

Бүх харилцааг эквивалент харилцаа ба захиалгын харилцаа гэж хуваадаг гэж бодож болохгүй. Тэнцвэр биш, захиалга ч биш асар олон тооны харилцаа байдаг.

Дискрет математикийн үндэс суурь.

Багцын тухай ойлголт. Багц хоорондын харилцаа.

Set - тодорхой шинж чанартай объектуудын цуглуулга, бүхэлд нь нэгтгэсэн.

Олонлогийг бүрдүүлдэг объектуудыг нэрлэдэг элементүүд багц. Тодорхой объектуудыг багц гэж нэрлэхийн тулд дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

· Тухайн элементэд тухайн популяцид хамаарах эсэхийг тодорхойлох боломжтой дүрэм байх ёстой.

· Элементүүдийг хооронд нь ялгах дүрэм байх ёстой.

Багцыг том үсгээр, түүний элементүүдийг жижиг үсгээр тэмдэглэнэ. Багцыг тодорхойлох арга:

· Олонлогийн элементүүдийг тоолох. - хязгаарлагдмал багцуудын хувьд.

Онцлог шинж чанарын тодорхойлолт .

Хоосон багц - ямар ч элемент агуулаагүй багц гэж нэрлэдэг (Ø).

Хоёр багц нь ижил элементүүдээс бүрдэх бол тэнцүү гэж хэлдэг. , A \u003d B

Маш их Б олонлогийн дэд хэсэг гэж нэрлэдэг БА (, хэрэв зөвхөн олонлогийн бүх элементүүд байвал Б багцад хамаарна А.

Жишээлбэл: Б =>

Үл хөдлөх хөрөнгө:

Тэмдэглэл: ихэвчлэн ижил e олонлогийн дэд бүлгийг авч үздэг нийтийн (u). Бүх нийтийн багц нь бүх элементүүдийг агуулдаг.

Багцууд дээрх ажиллагаа.

2.Уулзвар 2 багцыг эхний ба хоёрдугаар багцад нэгэн зэрэг хамаарах элементүүдээс бүрдэх шинэ багц гэж нэрлэдэг.

Nr: ,,

Үл хөдлөх хөрөнгө: эвлэлдэн нэгдэх ба уулзварын үйл ажиллагаа.

· Хуваарилах байдал.

· Холбоо. ;

· Түгээх. ;

Хоёртын харилцаа ба тэдгээрийн шинж чанарууд.

Байг БА болон IN Эдгээр нь гарал үүслийн шинж чанарууд бөгөөд эрэмбэлэгдсэн хос элементүүдийг анхаарч үзээрэй (a, c) a ϵ A, c ϵ Bзахиалсан “enki” -ийг авч үзэж болно.

(a 1, a 2, a 3, ... a n)хаана болон 1 ϵ А 1; болон 2 ϵ А 2; ...; болон n ϵ А n;

Багцын картезиан (шууд) бүтээгдэхүүн А 1, А 2, ..., А n, хэлбэрийн эрэмбэлэгдсэн n k-ээс бүрдэх олон тооны гэж нэрлэдэг.

Nr: М= {1,2,3}

M × M \u003d M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Декарт бүтээгдэхүүний дэд хэсэг градусын харьцаа гэж нэрлэдэг n эсвэл анарийн холбоо. Хэрвээ n\u003d 2, дараа нь авч үзье хоёртын харилцаа. Тэд үүнийг юу гэж хэлж байна a 1, a 2 хоёртын харьцаатай байна Rхэзээ a 1 R a 2.

Багц дээрх хоёртын хамаарал М олонлогийн шууд бүтээгдэхүүний дэд хэсэг гэж нэрлэдэг n өөрөө.

M × M \u003d M 2= {(а, б)| a, b ϵ M) өмнөх жишээнд харьцаа багц дээр бага байна М дараах багцыг үүсгэдэг: ((1,2); (1,3); (2,3))

Хоёртын харилцаа нь дараахь шинж чанаруудыг агуулдаг.

Рефлекс чанар: .

· Эсрэг рефлекс (эргэлт буцалтгүй байдал) :.

· Тэгш хэм :.

· Антисимметр:.

· Шилжилтийн байдал:.

· Тэгш бус байдал:.

Харилцааны төрөл.

· Тэнцвэртэй байдлын харьцаа;

· Захиалгын хандлага.

v Рефлексийн шилжилтийн хамаарлыг бараг эрэмбийн харилцаа гэнэ.

v Рефлексийн тэгш хэмтэй шилжилтийн хамаарлыг эквивалент харьцаа гэнэ.

v Рефлексийн антисиметрийн шилжилтийн хамаарлыг (хэсэгчилсэн) эрэмбийн харилцаа гэнэ.

v Антирефлексив антисиметрийн шилжилтийн харилцааг хатуу эрэмбэтэй харилцаа гэнэ.

Мэдээжийн хэрэг, дурын хоёртын харилцааг ерөнхийд нь судлах нь тийм ч сонирхолтой биш бөгөөд тэдгээрийн талаар маш бага зүйл хэлж болно. Гэсэн хэдий ч хэрэв харилцаа нь зарим нэмэлт нөхцлийг хангаж байвал та энэ талаар илүү утга учиртай мэдэгдэл хийж болно. Энэ хэсэгт бид хоёртын харилцааны зарим үндсэн шинж чанаруудыг авч үзэх болно.

• 1. Х олонлог дээрх хоёртын харьцааг aX элементийн хувьд a нөхцөл хангагдсан бол рефлекс гэж нэрлэдэг.
  • (aX) a * a.

Хэрэв харилцааг графикаар дүрсэлсэн бол энэ хамаарлын рефлекс чанар нь графикийн орой бүрт гогцоо байх ёстой гэсэн үг юм.

Булын матрицаар өгсөн харилцааны хувьд түүний рефлекс чанар нь энэ матрицын гол диагональ дээр зөвхөн 1 тэмдэг байгаа (түүний зүүн дээд булангаас баруун доод тал руу шилжих) -тэй тэнцүү юм.

2. a-ийн нөхцөл нь ямар ч aX-д тохирохгүй бол X дээрх хоёртын хамаарлыг антирефлекс гэж нэрлэдэг.

Би x хэлбэрийн (a, a) хосоос бүрдсэн X олонлог дээрх хамаарлыг тэмдэглэе, энд X:

I x \u003d ((a, a) | a X).

Ix хамаарлыг ихэвчлэн X олонлогийн диагональ буюу X дээрх таних хамаарал гэж нэрлэдэг.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв I x диагонал нь олонлогийн дэд хэсэг бол X олонлог дээрх харилцаа нь рефлекс шинжтэй болно.

Хэрэв I x диагональ ба b хамаарал нь нийтлэг элементгүй бол харилцаа нь эсрэг чиглэлтэй болно.

• 3. X олонлог дээрх хоёртын харьцааг a * b нь b * a гэсэн утгатай бол тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг.
  • (a, bX) (a * b b * a).

Симметрик харилцааны жишээ нь:

мөрүүдийн олонлог дээрх перпендикулярын харьцаа;

олон тооны тойрог дээрх шүргэх холбоо;

олон хүмүүст "адилхан байх" хандлага;

харилцаа нь олон амьтад дээр "ижил хүйстэн" байдаг.

Бүх хүмүүсийн зураг авалтын талбай дээрх "x ах у" харьцаа тэгш хэмтэй биш байна. Үүний зэрэгцээ эрчүүдийн багц дээрх "x ах у" гэсэн харьцаа нь тэгш хэмтэй байдаг.

Тэгш хэмийн харьцааны графикт x оройноос у орой хүртэл нум тус бүрт угаас х хүртэлх нум байна. Тиймээс тэгш хэмт харилцааг чиглүүлээгүй ирмэг бүхий графикаар дүрсэлж болно. Үүнээс гадна xy ба yx чиглэсэн ирмэг тус бүрийг нэг чиглүүлээгүй ирмэгээр орлуулдаг.

Зураг 8-т харьцааг харуулав

b \u003d ((a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (d, c))

чиглүүлсэн болон чиглүүлээгүй графикуудыг ашиглах.

Зураг: найм.

Тэгш хэмийн харьцааны матриц нь гол диагоналийн талаар тэгш хэмтэй байдаг.

Теорем: Аливаа тэгш хэмт харилцааны гэр бүлийн нэгдэл ба огтлолцол нь дахин тэгш хэмийн харилцаа юм.

Тодорхойлолт. A ба b өөр элементүүдийн хувьд a * b ба b * a нөхцөлүүд нэгэн зэрэг хангагдаагүй бол X олонлог дээрх хоёртын харьцааг антисимметр гэж нэрлэдэг.

(a, bX) (a * b & b * a a \u003d b).

Жишээлбэл, натурал тооны олонлогт "хуваагдах" гэсэн харьцаа нь a, b a-ээс a \u003d b байх тул a тэгш хэмтэй байна. Гэсэн хэдий ч бүхэл тоонууд дээр хуваагдах харьцаа нь тэгш хэм биш, учир нь (-2) 2 ба 2 (-2), харин -22 байна.

"Илүү өндөр", "хүнд", "хуучин" харилцаа нь олон хүмүүст антисиметрийн шинж чанартай байдаг. "Эгч болох" хандлага нь бүх хүмүүсийн хувьд тэгш хэмтэй бус байдаг.

Антисиметрийн хамаарлын график дээр хоёр өөр оройг дээд тал нь нэг нумаар холбож болно.

Тодорхойлолт 3.5. Х олонлог дээрх а хоёртын харьцааг а, b, c X элементийн хувьд * b ба b * c гэсэн гурван элементийн хувьд a * c-ийг дагаж мөрдвөл шилжилт гэж нэрлэдэг.

(a, b, c X) (a * b & b * c a * c).

Транзит харилцааны жишээ нь:

харилцаа нь бодит тооны багцаар "хуваагдана";

бодит тоонуудын багц дахь "илүү их" хамаарал;

тоглоомын янз бүрийн хүмүүст "хөгшин" хандлага;

олон тооны хүүхдийн тоглоом дээр ижил өнгийн харилцаатай байх;

e) олон хүмүүсийн "удам болох" харилцаа.

"Вассал байх" гэсэн феодалын хандлага нь түр зуурын шинжтэй байдаггүй. Үүнийг түүхийн зарим сурах бичигт "миний вассал миний вассал биш" гэж онцлон тэмдэглэсэн байдаг.

Хүмүүсийн "адилхан байх" хандлага нь шилжилтийн шинж чанарыг эзэмшдэггүй.

Дурын харилцааны хувьд ab гэсэн хамгийн бага шилжилтийн хамаарлыг олж болно. Ийм харилцаа нь харилцааны түр зуурын хаалт юм.

Жишээ 3.1. Хүмүүсийн "хүүхэд байх" гэсэн хоёртын харилцааны шилжилтийг хаах нь "удам болох" харилцаа юм.

Теорем үнэн.

Теорем 3.2. Аливаа харилцааны хувьд шилжилтийн хаалт нь бүх дамжлагын харилцааны огтлолцол, түүний дотор дэд олонлогтой тэнцүү байна.

Тодорхойлолт 3.6. A ба b гэсэн хоёр өөр элементэд a * b эсвэл b * a тохирч байвал X олонлог дээрх хоёртын хамаарлыг холбогдсон гэж нэрлэдэг.

(a, b, c X) (ab a * b b * a).

Холбогдсон харилцааны жишээ бол бодит тоонуудын харьцаанаас их юм. Бүхэл тоонуудын олонлог дээрх "хуваагдах" гэсэн харьцаа холбоогүй байна.

4. Харилцааны хувьсалгүй байдал

Энэ хэсэгт бид харилцааны тодорхой шинж чанарууд дээр үйл ажиллагаа гүйцэтгэхэд хадгалагдах зарим тохиолдлыг жагсаах болно.

Теорем 4.4. Тэгш хэмийн харилцааны үржвэр нь тэгш хэмтэй байхын тулд харилцаа нь харилцан адилгүй байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.

Тэнцвэрт хамаарал

Хоёртын харилцааны чухал төрөл бол эквивалент харилцаа юм.

Тодорхойлолт 1. X олонлог дээрх хоёртын хамаарлыг рефлекс, тэгш хэмтэй, шилжилтийн шинжтэй бол X дээрх эквивалент харьцаа гэнэ.

Тэнцүү хамаарлыг ихэвчлэн ~, гэж тэмдэглэдэг.

Эквивалент харилцааны жишээ нь:

таних харьцаа I X \u003d ((a, a) | aX) хоосон бус олонлог дээр X;

хавтгай дахь шулуун шугамын параллелизмын хамаарал;

хавтгай зургийн багц дээрх ижил төстэй байдал;

тэгшитгэлийн багц дахь эквивалент хамаарал;

бүхэл тоонуудын олонлог дээрх "тогтмол m тоогоор хуваахад ижил үлдэгдэлтэй байна" гэсэн харьцаа. Математик дахь энэ хамаарлыг m харьцуулж болох харьцаа гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг ab (mod m) гэж тэмдэглэдэг;

олон амьтанд "нэг зүйлд хамаарах" гэсэн харьцаа;

олон хүмүүст "холбоотой байх" хандлага;

олон хүмүүст "ижил өндөр байх" хандлага;

олон хүнд "нэг байшинд амьдрах" хандлага.

"Нэг гудамжинд амьдардаг", "хүмүүсийн адил байх" гэсэн харилцаа нь шилжилтийн шинж чанарыг эзэмшдэггүй тул эквивалент харилцаа биш юм.

Дээр дурдсан хоёртын харилцааны шинж чанаруудаас харахад эквивалент харилцааны огтлолцол нь эквивалент харьцаа юм.

Тэнцвэртэй байдлын хичээл

Олонлогийг ангиудад хуваах нь эквивалент харьцаатай нягт холбоотой.

Тодорхойлолт 1. Хоосон бус дэд олонлогуудын систем

(M 1, M 2, ...)

m олонлогийг энэ олонлогийн хуваалт гэж нэрлэдэг

M 1, M 2,… олонлогуудыг өөрсдийгөө өгөгдсөн хуваалтын анги гэж нэрлэдэг.

Хуваалтуудын жишээ нь:

бүх олон өнцөгтийг оройн тоогоор бүлэг болгон задлах - гурвалжин, дөрвөлжин, таван өнцөгт гэх мэт.

өнцгийн шинж чанаруудын дагуу бүх гурвалжинг хуваах (хурц өнцөгт, тэгш өнцөгт, мохоо);

талуудын шинж чанаруудын дагуу бүх гурвалжинг хуваах (олон талт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт);

бүх гурвалжинг ижил төстэй гурвалжингийн анги болгон хуваах;

тухайн сургуулийн бүх сурагчдын багцыг анги болгон хуваах.

Орчин үеийн шинжлэх ухаанд эквивалент харилцааг өргөнөөр ашиглах нь аливаа эквивалент харилцаа нь түүнийг тодорхойлсон олонлогийг ихэвчлэн шинэ объектуудад зориулж авдаг ангиудад хуваадагтай холбоотой юм. Өөрөөр хэлбэл, эквивалент харилцааны тусламжтайгаар шинэ объект, ойлголтыг бий болгодог.

Жишээлбэл, цацрагийн хамтын чиглүүлэлтийн харьцаа нь хавтгай эсвэл орон зайн бүх цацрагийн олонлогийг хамт чиглэсэн туяаны ангилалд хуваана. Эдгээр цацрагийн анги бүрийг чиглэл гэж нэрлэдэг. Тиймээс чиглэлийн зөн совингийн ойлголт нь эквивалент хамаарлыг ашиглан олон тооны туяаг хуваах анги болох яг математик тодорхойлолтыг хүлээн авдаг.

Ийм тоонуудыг ихэвчлэн ижил хэлбэртэй гэж ярьдаг. Гэхдээ геометрийн дүрс ямар хэлбэртэй байдаг вэ? Энэ бол ийм тоонуудыг нэгтгэдэг нийтлэг зүйл юм. Эквивалент харилцааны тусламжтайгаар энэхүү зөн билгийн ойлголтыг яг математикийн ойлголт болгон хөрвүүлэх боломжтой юм. Ижил төстэй байдал нь эквивалент харьцаа байхын тулд олон тооны дүрсийг ижил төстэй дүрсийн ангилалд хуваадаг. Ийм анги бүрийг маягт гэж нэрлэж болно. Дараа нь "хоёр ижил дүрс ижил хэлбэртэй байна" гэсэн илэрхийлэл нь "ижил төстэй хоёр дүрс нэг хэлбэрт хамаарах" гэсэн дараахь нарийн утгатай болно.

Олонлогийн хуваалтуудыг анги болгон хувааж гүйцэтгэсэн газар бүрт адил тэгш байдлын харилцаатай тулгардаг. Бид тэдгээрийг анзаарахгүйгээр ихэвчлэн ашигладаг.

Анхан шатны жишээг хэлье. Хүүхдүүд олон өнгийн тоглоомоор (жишээлбэл, Диенес блокоор) тоглож, тоглоомыг өнгөөр \u200b\u200bнь ялгах асуудлыг шийдэхдээ тэд "нэг өнгөтэй байх" хандлагыг ашигладаг. Үр дүнгийн монохром дүрсийг хүүхдүүд улаан, шар, цэнхэр гэх мэт шинэ ойлголт гэж ойлгодог.

Үүнтэй адилаар, блокуудыг хэлбэр дүрсээр нь задлах асуудлыг шийдсэний үр дүнд хүүхдүүд ангиудыг нь тэгш өнцөгт, дугуй, гурвалжин гэх мэт хэлбэрээр хүлээн авдаг.

М олонлог дээр тодорхойлогдсон эквивалент харьцаа ба М олонлогийн ангиудад хуваах хоорондох холболтыг дараахь хоёр теоремд тайлбарлав.

Теорем 1 Хоосон бус М олонлогийг анги болгон хуваахдаа энэ олонлогийн эквивалент хамаарлыг дараахь байдлаар тодорхойлдог.

нэг ангийн дурын хоёр элемент хамааралтай байна;

өөр өөр ангийн аль ч хоёр элемент харилцан хамааралгүй байна. Нотлох баримт. Хоосон бус M. олонлогийн хуваалт байг. Хоёртын хамаарлыг дараах байдлаар тодорхойлно: xay (K) (xK & yK).

Энэ нь M олонлогийн x ба y a хоёр элементүүд нь хуваалт нь x ба y элементүүдийг нэгэн зэрэг агуулсан K класс агуулсан тохиолдолд л хамааралтай болно.

Ийнхүү тодорхойлсон харилцаа нь мэдээжийн рефлекс, тэгш хэмтэй байна. Харилцааны шилжилтийг нотолж үзье. X * y ба x * z байг. Дараа нь тодорхойлолтоор x, yK 1 ба y, zK 2 гэсэн K 1 ба K 2 ангиуд байдаг. Хуваалтын өөр ангиуд нийтлэг элементгүй тул K 1 \u003d K 2, өөрөөр хэлбэл x, z K 1 болно. Тиймээс шаардлагатай бол x * z.

Теорем 2. Хоосон бус М олонлогийн аливаа эквивалент хамаарал нь энэ олонлогийн хуваагдлыг ижил ангийн аль ч хоёр элемент хамааралтай байхаар эквивалент анги болгон үүсгэдэг.

өөр өөр ангийн аль ч хоёр элемент харилцан хамааралгүй байна.

Нотлох баримт. М олонлог дээрх эквивалент хамаарал b байг. Х элементээс бид M олонлогийн x элементтэй холбогдсон бүх элементээс бүрдэх [x] дэд хэсгийг холбоно.

Дэд олонлогын систем [x] нь M. олонлогийн хуваалтыг бүрдүүлдэг. Нэгдүгээрт, [x] O дэд хэсэг тус бүр, учир нь x [x] харьцааны рефлекс чанараар.

Хоёрдугаарт, хоёр ялгаатай дэд бүлэг [x] ба [y] нь нийтлэг элементгүй байна. Зөрчилдөөнтэй маргалдаж, z [x] ба z [y] гэсэн z элемент байгаа гэж үзье. Дараа нь zax ба zay. Тиймээс a * x, z * x ба z * y-ээс үүссэн аливаа элементийн хувьд харьцааны тэгш хэм ба шилжилтийн ачаар a * y, өөрөөр хэлбэл a [y] -г дагана. Тиймээс [x] [y]. Үүнтэй адил бид [y] [x] -г олж авдаг. Үүссэн хоёр оруулалт нь [x] \u003d [y] тэгш байдлыг илэрхийлж байгаа бөгөөд энэ нь [x] ба [y] дэд олонцууд давхцахгүй гэсэн таамаглалтай зөрчилдөж байна. Тэгэхээр [x] y] \u003d О.

Гуравдугаарт, ямар ч xM элементийн хувьд x [x] нөхцөл хангагдсан тул бүх дэд олонлогуудын нэгдэл [M] олонлогтой давхцаж байна.

Тиймээс дэд олонлогуудын систем [x] олонлогийн хуваалтыг бүрдүүлдэг. Барьсан хуваалт нь теоремын нөхцлийг хангаж байгааг харуулахад хялбар байдаг. Теоремд заасан шинж чанаруудтай М олонлогийн хуваалтыг М олонлогийн харьцаа гэж нэрлэдэг ба М / б гэж тэмдэглэнэ.