Математикийн дүүжиннь дэлхийн таталцлын талбарт байрлах жингүй, сунадаггүй утас дээр дүүжлэгдсэн материаллаг цэг юм. Математикийн дүүжин нь зөвхөн тодорхой нөхцөлд л жинхэнэ дүүжинг зөв дүрсэлсэн идеалжуулсан загвар юм. Утасны урт нь түүнээс дүүжлэгдсэн биеийн хэмжээнээс хамаагүй их, утасны жин нь биеийн масстай харьцуулахад өчүүхэн бага, утасны хэв гажилт нь маш бага байвал жинхэнэ дүүжинг математик гэж үзэж болно. тэдгээрийг бүрэн орхигдуулж болно.

Энэ тохиолдолд хэлбэлзлийн систем нь утас, түүнд холбогдсон бие ба Дэлхийгээс бүрддэг бөгөөд үүнгүйгээр энэ систем нь дүүжин болж чадахгүй.

хаана а NS – хурдатгал, g - хүндийн хүчний хурдатгал, NS- офсет, лЭнэ нь дүүжин утасны урт юм.

Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг Математик дүүжингийн чөлөөт хэлбэлзлийн тэгшитгэл.Энэ нь зөвхөн дараах таамаглалыг хангасан тохиолдолд авч үзсэн хэлбэлзлийг зөв тайлбарласан болно.

2) зөвхөн жижиг дүүжин өнцөг бүхий дүүжингийн жижиг хэлбэлзлийг авч үздэг.

Аливаа системийн чөлөөт чичиргээг бүх тохиолдолд ижил төстэй тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Математик дүүжингийн чөлөөт хэлбэлзлийн шалтгаан нь:

1. Тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэхээс сэргийлж, дахин доошлоход хүргэдэг суналтын хүч ба таталцлын хүчний савлуурт үзүүлэх нөлөө.

2. Дүүжингийн инерци нь түүний хурдыг хадгалахын зэрэгцээ тэнцвэрийн байрлалд зогсохгүй, харин цааш дамжин өнгөрдөг.

Математик дүүжингийн чөлөөт хэлбэлзлийн үе

Математикийн дүүжингийн чөлөөт хэлбэлзлийн хугацаа нь түүний массаас хамаардаггүй бөгөөд зөвхөн утасны урт ба дүүжин байрлах газрын таталцлын хурдатгалаар тодорхойлогддог.

Гармоник чичиргээтэй энергийг хувиргах

Пүршний савлуурын гармоник хэлбэлзлийн үед уян хатан хэв гажилттай биеийн потенциал энерги нь түүний кинетик энерги болж хувирдаг. к – уян хатан байдлын коэффициент, NS -тэнцвэрийн байрлалаас дүүжин шилжилтийн модуль, мдүүжингийн масс, vтүүний хурд юм. Гармоник чичиргээний тэгшитгэлийн дагуу:

, .

Пүршний дүүжингийн нийт энерги:

.

Математик дүүжингийн нийт энерги:

Математикийн дүүжингийн хувьд

Пүршний савлуурын хэлбэлзлийн үеийн энергийн хувирал нь механик энерги хадгалагдах хуулийн дагуу явагддаг ( ). Савлуур тэнцвэрийн байрлалаас доош эсвэл дээш хөдлөхөд түүний потенциал энерги нэмэгдэж, кинетик энерги буурдаг. Савлуур тэнцвэрийн байрлалыг давах үед ( NS= 0), түүний потенциал энерги нь тэг бөгөөд дүүжингийн кинетик энерги нь түүний нийт энергитэй тэнцүү байх хамгийн их утгатай байна.

Тиймээс савлуурын чөлөөт хэлбэлзлийн явцад түүний боломжит энерги нь кинетик, кинетик нь потенциал, потенциал дараа нь кинетик болон хувирдаг. Гэвч нийт механик энерги өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Албадан чичиргээ. Резонанс.

Гадны тогтмол хүчний үйл ажиллагааны дор үүсэх хэлбэлзлийг нэрлэдэг албадан эргэлзэх... Хүчдэл гэж нэрлэгддэг гадны тогтмол хүч нь хэлбэлзлийн системд нэмэлт энерги өгдөг бөгөөд энэ нь үрэлтийн улмаас эрчим хүчний алдагдлыг нөхөхөд ашиглагддаг. Хэрэв хөдөлгөгч хүч нь синус эсвэл косинусын хуулийн дагуу цаг хугацааны хувьд өөрчлөгдвөл албадан хэлбэлзэл нь гармоник, уналтгүй болно.

Чөлөөт хэлбэлзлээс ялгаатай нь систем зөвхөн нэг удаа энерги хүлээн авах үед (системийг тэнцвэрт байдлаас гаргах үед) албадан хэлбэлзлийн үед систем нь энэ энергийг гадны үечилсэн хүчний эх үүсвэрээс тасралтгүй шингээж авдаг. Энэ энерги нь үрэлтийг даван туулахад зарцуулсан алдагдлыг нөхдөг тул хэлбэлзлийн системийн нийт энерги өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Албадан чичиргээний давтамж нь хөдөлгөгч хүчний давтамжтай тэнцүү байна... Хөдөлгүүрийн хүчний давтамжтай тохиолдолд υ хэлбэлзлийн системийн байгалийн давтамжтай давхцдаг υ 0 , албадан хэлбэлзлийн далайц огцом нэмэгдэж байна - резонанс. Хэзээ гэдэгтэй холбоотой резонанс үүсдэг υ = υ 0 чөлөөт хэлбэлзэлтэй цаг хугацаанд үйлчилдэг гадаад хүч нь хэлбэлзэж буй биеийн хурдтай үргэлж хамт чиглүүлж, эерэг ажил гүйцэтгэдэг: хэлбэлзэгч биеийн энерги нэмэгдэж, түүний хэлбэлзлийн далайц их болдог. Албадан чичиргээний далайцын хамаарлын график А Т хөдөлгөх хүчний давтамж дээр υ Зурагт үзүүлсэн энэ графикийг резонансын муруй гэж нэрлэдэг.

Резонансын үзэгдэл нь байгалийн, шинжлэх ухаан, үйлдвэрлэлийн олон үйл явцад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Жишээлбэл, ачааллын дор чичиргээ үүсгэдэг гүүр, барилга, бусад байгууламжийг төлөвлөхдөө резонансын үзэгдлийг харгалзан үзэх шаардлагатай бөгөөд эс тэгвээс тодорхой нөхцөлд эдгээр байгууламжууд эвдэрч болзошгүй.

Математикийн дүүжин биеийн масстай харьцуулахад жин нь үл тоомсорлодог нимгэн сунадаггүй утсан дээр дүүжлэгдсэн жижиг хэмжээтэй бие гэж нэрлэгддэг. Тэнцвэрийн байрлалд савлуур тэнхлэгийн шугамын дагуу өлгөгдсөн үед таталцлын хүч нь утасны суналтын хүчээр тэнцвэрждэг. Дүүжин тэнцвэрийн байрлалаас тодорхой өнцгөөр хазайсан үед таталцлын хүчний шүргэгч бүрэлдэхүүн хэсэг φ байна. гарч ирнэ Ф τ = - мг sin φ (Зураг 2.3.1). Энэ томьёоны хасах тэмдэг нь шүргэгч бүрэлдэхүүн хэсэг нь савлуурын хазайлтаас эсрэг чиглэлд чиглэнэ гэсэн үг юм.

Хэрэв бид -ээр тэмдэглэвэл храдиустай тойргийн нумын дагуу тэнцвэрийн байрлалаас дүүжин шугаман шилжилт л, тэгвэл түүний өнцгийн шилжилт нь φ =-тэй тэнцүү болно х / л... Шүргэгчийн чиглэлийн хурдатгал ба хүчний векторуудын проекцуудад зориулж бичсэн Ньютоны хоёр дахь хууль нь дараахь зүйлийг өгдөг.

Энэ хамаарал нь математикийн дүүжин бол цогцолбор гэдгийг харуулж байна шугаман буссистем, учир нь савлуурыг тэнцвэрийн байрлал руу буцаах хүч нь шилжилттэй пропорциональ биш юм. х, a

Зөвхөн тохиолдолджижиг хэлбэлзэл ойролцоогоор үед-ээр сольж болноМатематик дүүжин нь гармоник осциллятор юм, өөрөөр хэлбэл гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэх чадвартай систем. Практикт энэ ойролцоо нь 15-20 ° өнцгийн хувьд хүчинтэй байдаг; энэ тохиолдолд утга нь 2% -иас ихгүй байна. Том далайцтай дүүжингийн хэлбэлзэл нь гармоник биш юм.

Математик дүүжингийн жижиг хэлбэлзлийн хувьд Ньютоны хоёрдугаар хуулийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

Тиймээс тангенциал хурдатгал аСавлуурын τ нь түүний шилжилттэй пропорциональ байна хэсрэг тэмдгээр авсан. Энэ бол яг ийм нөхцөлд систем нь гармоник осциллятор юм. Чөлөөт гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэх чадвартай бүх системүүдийн ерөнхий дүрмийн дагуу тэнцвэрийн байрлалаас хурдатгал ба шилжилтийн хоорондох пропорциональ коэффициентийн модуль нь өнцгийн давтамжийн квадраттай тэнцүү байна.

Энэ томъёог илэрхийлнэ Математик дүүжингийн жижиг хэлбэлзлийн байгалийн давтамж .

Тиймээс,

Эргэлтийн хэвтээ тэнхлэгт байрлуулсан аливаа бие нь таталцлын талбайд чөлөөт хэлбэлзлийг гүйцэтгэх чадвартай тул дүүжин юм. Ийм савлуурыг ихэвчлэн нэрлэдэг физик (зураг 2.3.2). Энэ нь зөвхөн массын хуваарилалтаар математикийнхаас ялгаатай. Тогтвортой тэнцвэрийн байрлалд массын төв Cфизик савлуур нь тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх босоо чиглэлд эргэлтийн тэнхлэгийн доор байрладаг. Савлуурыг φ өнцгөөр хазайсан үед таталцлын момент үүсч, дүүжин тэнцвэрийн байрлал руу буцах хандлагатай байна.

М = -(мггэм φ) г.

Энд г- эргэлтийн тэнхлэг ба массын төв хоорондын зай C.

Зураг 2.3.2. Физик дүүжин

Энэ томьёоны хасах тэмдэг нь ердийнх шиг, хүчний момент нь дүүжинг тэнцвэрийн байрлалаас хазайхаас эсрэг чиглэлд эргүүлэх хандлагатай байгааг илтгэнэ. Математикийн дүүжинтэй адил буцах момент Мпропорциональ. Энэ нь зөвхөн жижиг өнцгөөр, физик савлуур чөлөөтэй гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэх чадвартай гэсэн үг юм. Бага зэрэг хэлбэлзэлтэй тохиолдолд

Физик дүүжинд зориулсан Ньютоны хоёр дахь хууль нь хэлбэртэй байна

Энд ε нь дүүжингийн өнцгийн хурдатгал, I- эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад дүүжингийн инерцийн момент О... Хурдатгал ба шилжилтийн хоорондох пропорциональ коэффициентийн модуль нь өнцгийн давтамжийн квадраттай тэнцүү байна.

Энд ω 0 - физик савлуурын жижиг хэлбэлзлийн байгалийн давтамж .

Тиймээс,

ω 0 ба томъёоны илүү нарийн гаралт ТХэрэв бид өнцгийн хурдатгал ба өнцгийн шилжилтийн хоорондох математик хамаарлыг харгалзан үзвэл үүнийг хийж болно: өнцгийн хурдатгал ε нь цаг хугацааны хувьд өнцгийн шилжилтийн φ-ийн хоёр дахь дериватив юм.

Иймд физик дүүжинд зориулсан Ньютоны 2-р хуулийг илэрхийлсэн тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичиж болно

Энэ бол чөлөөт гармоник чичиргээний тэгшитгэл юм.

Энэ тэгшитгэлийн коэффициент нь физик дүүжингийн чөлөөт гармоник хэлбэлзлийн дугуй давтамжийн квадрат гэсэн утгатай.

Эргэлтийн тэнхлэгийг параллель шилжүүлэх теоремоор (Штайнерын теорем) инерцийн момент Iинерцийн моментоор илэрхийлж болно ICмассын төвөөр дамжин өнгөрөх тэнхлэгийн тухай Cдүүжин ба эргэлтийн тэнхлэгтэй параллель:

Эцэст нь физик дүүжингийн чөлөөт хэлбэлзлийн дугуй давтамжийн ω 0-ийн хувьд дараах илэрхийллийг олж авна.

ХАМТшаргалэрэл хайгуултодорхойлолтын талаарявгаригууд

10.4. Гармоник чичиргээний эрчим хүчний хэмнэлтийн хууль

10.4.1. Эрчим хүчний хэмнэлт механик гармоник чичиргээ

Математик дүүжингийн хэлбэлзлийн үеийн энергийн хадгалалт

Гармоник чичиргээний үед системийн нийт механик энерги хадгалагдана (тогтмол хэвээр байна).

Математик дүүжингийн нийт механик энерги

E = W k + W p,

хаана W k - кинетик энерги, W k = = mv 2/2; W p - боломжит энерги, W p = mgh; m нь ачааны жин; g - чөлөөт уналтын хурдатгалын модуль; v - ачааны хурдны модуль; h - тэнцвэрийн байрлалаас дээш ачаа өргөх өндөр (Зураг 10.15).

Гармоник чичиргээний үед математик дүүжин хэд хэдэн дараалсан төлөвийг дамжин өнгөрдөг тул математик дүүжингийн энергийг гурван байрлалд авч үзэхийг зөвлөж байна (Зураг 10.15-ыг үз):

Цагаан будаа. 10.15

1) дотор тэнцвэрийн байрлал

боломжит энерги нь тэг; Нийт энерги нь хамгийн их кинетик энергитэй давхцдаг:

E = W k max;

2) дотор туйлын байр суурь(2) биеийг анхны түвшнээс дээш хамгийн дээд өндөр h max хүртэл өргөсөн тул боломжит энерги нь мөн хамгийн их байна:

W p max = m g h max;

кинетик энерги нь тэг; Нийт энерги нь хамгийн их боломжит энергитэй давхцдаг:

E = W p max;

3) дотор завсрын байрлал(3) бие нь агшин зуурын v хурдтай бөгөөд анхны түвшнээс дээш тодорхой h өндөрт өргөгдсөн тул нийт энерги нь нийлбэр юм.

E = m v 2 2 + m g h,

хаана mv 2/2 - кинетик энерги; mgh - боломжит энерги; m нь ачааны жин; g - чөлөөт уналтын хурдатгалын модуль; v - ачааны хурдны модуль; h - тэнцвэрийн байрлалаас дээш ачаа өргөх өндөр.

Математик дүүжингийн гармоник хэлбэлзлийн үед нийт механик энерги хадгалагдана.

E = const.

Гурван байрлал дахь математик дүүжингийн нийт энергийн утгыг хүснэгтэд үзүүлэв. 10.1.

№	Байрлал	W p	В к	E = W p + W k
1	Тэнцвэр	0	m v хамгийн ихдээ 2/2	m v хамгийн ихдээ 2/2
2	Хэт их	мг хамгийн их	0	мг хамгийн их
3	Дунд (шууд)	мгх	mv 2/2	мв 2/2 + мг цаг

Нийт механик энергийн утгыг хүснэгтийн сүүлчийн баганад үзүүлэв. 10.1, дүүжингийн аль ч байрлалд ижил утгатай байх нь математикийн илэрхийлэл юм.

m v max 2 2 = m g h max;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h;

m g h max = m v 2 2 + m g h,

энд m нь ачааны масс; g - чөлөөт уналтын хурдатгалын модуль; v - 3-р байрлал дахь ачааллын агшин зуурын хурдны модуль; h - 3-р байрлал дахь тэнцвэрийн байрлалаас дээш ачаа өргөх өндөр; v max - 1-р байрлал дахь ачааны хамгийн их хурдны модуль; h max нь 2-р байрлал дахь тэнцвэрийн байрлалаас дээш ачаа өргөх хамгийн их өндөр юм.

Утасны хазайлтын өнцөгбосоо (Зураг.10.15)-аас математикийн дүүжин илэрхийлэл тодорхойлогдоно

cos α = l - h l = 1 - h l,

энд l нь утасны урт; h - тэнцвэрийн байрлалаас дээш ачаа өргөх өндөр.

Хамгийн их өнцөгхазайлт α max нь тэнцвэрийн h max-аас дээш ачааг өргөх хамгийн их өндрөөр тодорхойлогдоно.

cos α max = 1 - h max l.

Жишээ 11. Математик дүүжингийн жижиг хэлбэлзлийн хугацаа 0.9 сек. Бөмбөг тэнцвэрийн байрлалаар дамжин 1.5 м / с хурдтай хөдөлж байвал утас босоо тэнхлэгээс хамгийн ихдээ ямар өнцгөөр хазайх вэ? Системд үрэлт байхгүй.

Шийдэл. Зурагт математик дүүжингийн хоёр байрлалыг харуулав.

• тэнцвэрийн байрлал 1 (бөмбөгний хамгийн дээд хурдаар тодорхойлогддог v max);
• туйлын байрлал 2 (бөмбөгний өсөлтийн хамгийн дээд өндрөөр тодорхойлогддог h max тэнцвэрийн байрлалаас дээш).

Хүссэн өнцгийг тэгшитгэлээр тодорхойлно

cos α max = l - h max l = 1 - h max l,

Энд l нь дүүжин утасны урт.

Нийт механик энерги хадгалагдах хуулиас бид тэнцвэрийн байрлалаас дээш дүүжин бөмбөгний хамгийн их өндрийг олдог.

Тэнцвэрийн болон туйлын байрлал дахь дүүжингийн нийт энергийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

• тэнцвэрийн байрлалд -

E 1 = m v max 2 2,

энд m нь савлуурын бөмбөгний масс; v max нь тэнцвэрийн байрлал дахь бөмбөгний хурдны модуль (хамгийн их хурд), v max = 1.5 м / с;

• туйлын байрлалд -

E 2 = mgh max,

Энд g нь таталцлын хурдатгалын модуль; h max нь бөмбөгний тэнцвэрийн байрлалаас дээш өргөх хамгийн дээд өндөр юм.

Нийт механик энерги хадгалагдах хууль:

m v max 2 2 = m g h max.

Тэнцвэрийн байрлалаас дээш гарах бөмбөгний хамгийн их өндрийг эндээс илэрхийлье.

h max = v max 2 2 г.

Утасны уртыг математик дүүжингийн хэлбэлзлийн үеийн томъёогоор тодорхойлно

T = 2 π л г,

тэдгээр. утасны урт

l = T 2 g 4 π 2.

Хүссэн өнцгийн косинусын илэрхийлэлд h max ба l-ийг орлуулна.

cos α max = 1 - 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

π 2 = 10 ойролцоо тэгш байдлыг харгалзан бид тооцооллыг хийнэ.

cos α max = 1 - 2 ⋅ 10 ⋅ (1.5) 2 10 2 ⋅ (0.9) 2 = 0.5.

Эндээс хамгийн их хазайлтын өнцөг нь 60 ° байна.

Хатуухан хэлэхэд, 60 ° өнцгөөр бөмбөгний хэлбэлзэл нь бага биш бөгөөд математик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацааны стандарт томъёог ашиглах нь зохисгүй юм.

Пүршний савлуурын хэлбэлзлийн үед эрчим хүчний хэмнэлт

Пүршний дүүжингийн нийт механик энергиЭнэ нь кинетик болон потенциал энергиэс бүрдэнэ.

E = W k + W p,

хаана W k - кинетик энерги, W k = mv 2/2; W p - боломжит энерги, W p = k (Δx) 2/2; m нь ачааны жин; v - ачааны хурдны модуль; k - булгийн хатуу байдлын (уян хатан байдлын) коэффициент; Δx - хаврын хэв гажилт (хүчдэл буюу шахалт) (Зураг 10.16).

Олон улсын нэгжийн системд механик хэлбэлзлийн системийн энергийг жоуль (1 Ж) хэмждэг.

Гармоник чичиргээний үед пүрш дүүжин хэд хэдэн дараалсан төлөвийг дамжин өнгөрдөг тул пүршний дүүжингийн энергийг гурван байрлалд авч үзэхийг зөвлөж байна (10.16-р зургийг үз):

1) дотор тэнцвэрийн байрлал(1) биеийн хурд нь v max хамгийн их утгатай тул кинетик энерги нь мөн хамгийн их байна:

W k max = m v max 2 2;

хавар деформацид ороогүй тул булгийн боломжит энерги тэг байна; Нийт энерги нь хамгийн их кинетик энергитэй давхцдаг:

E = W k max;

2) дотор туйлын байр суурь(2) пүрш нь хамгийн их хэв гажилттай (Δx max) тул боломжит энерги нь хамгийн их утгатай байна:

W p max = k (Δ x max) 2 2;

биеийн кинетик энерги тэг байна; Нийт энерги нь хамгийн их боломжит энергитэй давхцдаг:

E = W p max;

3) дотор завсрын байрлал(3) бие нь агшин зуурын v хурдтай, пүрш нь энэ мөчид бага зэрэг хэв гажилттай (Δx) тул нийт энерги нь нийлбэр юм.

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

хаана mv 2/2 - кинетик энерги; k (Δx) 2/2 - боломжит энерги; m нь ачааны жин; v - ачааны хурдны модуль; k - булгийн хатуу байдлын (уян хатан байдлын) коэффициент; Δx - хаврын хэв гажилт (хүчдэл эсвэл шахалт).

Пүршний дүүжингийн ачааллыг тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэх үед түүнд дараах нөлөөлөл үзүүлнэ. хүчийг сэргээх, савлуурын хөдөлгөөний чиглэлийн проекцийг томъёогоор тодорхойлно

F x = −kx,

Энд x - пүршний дүүжингийн жинг тэнцвэрийн байрлалаас шилжүүлэх, x = ∆x, ∆x - пүршний хэв гажилт; k - дүүжин пүршний хатуу байдлын (уян хатан байдлын) коэффициент.

Пүршний дүүжингийн гармоник хэлбэлзлийн үед нийт механик энерги хадгалагдана.

E = const.

Гурван байрлал дахь хаврын дүүжингийн нийт энергийн утгыг Хүснэгтэнд үзүүлэв. 10.2.

№	Байрлал	W p	В к	E = W p + W k
1	Тэнцвэр	0	m v хамгийн ихдээ 2/2	m v хамгийн ихдээ 2/2
2	Хэт их	k (Δx max) 2/2	0	k (Δx max) 2/2
3	Дунд (шууд)	k (Δx) 2/2	mv 2/2	mv 2/2 + k (Δx) 2/2

Хүснэгтийн сүүлчийн баганад үзүүлсэн нийт механик энергийн утгууд нь дүүжингийн аль ч байрлалд ижил утгатай байна, энэ нь математикийн илэрхийлэл юм. нийт механик энерги хэмнэлтийн хууль:

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

энд m нь ачааны масс; v - 3-р байрлал дахь ачааллын агшин зуурын хурдны модуль; Δx - 3-р байрлал дахь хаврын хэв гажилт (суналт эсвэл шахалт); v max - 1-р байрлал дахь ачааны хамгийн их хурдны модуль; Δx max - 2-р байрлал дахь пүршний хамгийн их хэв гажилт (суналт эсвэл шахалт).

Жишээ 12. Пүршний дүүжин гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг. Биеийн тэнцвэрийн байрлалаас шилжилт хөдөлгөөн далайцын дөрөвний нэг байх үед түүний кинетик энерги нь потенциалаас хэд дахин их вэ?

Шийдэл. Хаврын дүүжингийн хоёр байрлалыг харьцуулж үзье.

• туйлын байрлал 1 (х max тэнцвэрийн байрлалаас дүүжин ачааллын хамгийн их шилжилтээр тодорхойлогддог);
• завсрын байрлал 2 (тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх завсрын утгууд ба v → хурдаар тодорхойлогддог).

Хэт ба завсрын байрлал дахь дүүжингийн нийт энергийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

• туйлын байрлалд -

E 1 = k (Δ x max) 2 2,

Энд k нь пүршний хөшүүн байдлын (уян) коэффициент; ∆x max - чичиргээний далайц (тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их шилжилт хөдөлгөөн), ∆x max = A;

• дунд байрлалд -

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

энд m нь дүүжингийн ачааллын масс; ∆x - ачааллыг тэнцвэрийн байрлалаас шилжүүлэх, ∆x = A / 4.

Пүршний дүүжингийн механик энерги хэмнэлтийн нийт хууль дараах байдалтай байна.

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2.

Бичсэн тэгш байдлын хоёр талыг бид k (∆x) 2/2-т хуваана.

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p,

Энд W k нь завсрын байрлал дахь дүүжингийн кинетик энерги, W k = mv 2/2; W p нь завсрын байрлал дахь дүүжингийн потенциал энерги, W p = k (∆x) 2/2.

Шаардлагатай энергийн харьцааг тэгшитгэлээс илэрхийлье.

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 - 1

ба түүний утгыг тооцоолох:

W k W p = (A A / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15.

Заасан хугацаанд дүүжингийн кинетик ба боломжит энергийн харьцаа 15 байна.

Хэрэв хавар хавсаргасан бие (Зураг 4) тэнцвэрийн байрлалаас А зайд, жишээлбэл, зүүн тийш хазайсан бол тэнцвэрийн байрлалыг давж баруун тийш хазайх болно. Энэ нь энерги хадгалагдах хуулиас үүдэлтэй.

Шахсан эсвэл сунгасан пүршний боломжит энерги нь

Энд k нь пүршний хөшүүн чанар, х нь түүний суналт юм. Зүүн талын туйлын байрлалд пүршний суналт x = - A, тиймээс боломжит энерги байна

Энэ агшинд кинетик энерги тэгтэй тэнцүү байна, учир нь хурд нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ нь боломжит энерги нь одоогийн системийн нийт механик энерги гэсэн үг юм. Хэрэв бид үрэлтийн хүч нь тэг, бусад хүчнүүд тэнцвэртэй байна гэдэгтэй санал нийлбэл манай системийг хаалттай гэж үзэж болох бөгөөд хөдөлгөөний явцад түүний нийт энерги өөрчлөгдөхгүй. Хөдөлгөөнд байгаа бие нь туйлын зөв байрлалд (x = A) байх үед түүний кинетик энерги дахин тэг болж, нийт энерги нь потенциалтай тэнцүү байна. Мөн нийт энерги өөрчлөгдөх боломжгүй. Тиймээс энэ нь дахин тэнцүү байна

Энэ нь бие нь А-тай тэнцүү зайд баруун тийш хазайна гэсэн үг юм.

Тэнцвэрийн байрлалд эсрэгээр потенциал энерги тэг байна, учир нь пүрш нь хэв гажилтгүй, x = 0 байна. Энэ байрлалд биеийн нийт энерги нь түүний кинетик энергитэй тэнцүү байна

Энд m нь биеийн масс ба түүний хурд (энэ мөчид хамгийн их байна). Гэхдээ энэ кинетик энерги нь бас ижил утгатай байх ёстой. Үүний үр дүнд хэлбэлзлийн хөдөлгөөний үед кинетик энергийг боломжит энерги болгон хувиргах ба эсрэгээр болдог. Тэнцвэрийн байрлал ба хамгийн их хазайлтын хоорондох аль ч үед бие нь кинетик энерги ба потенциалтай байдаг боловч тэдгээрийн нийлбэр, i.e. биеийн аль ч байрлал дахь нийт энерги нь тэнцүү байна. Хэлбэлзэж буй биеийн нийт механик энерги W нь далайц ба түүний хэлбэлзлийн квадраттай пропорциональ байна.

Савлуурууд. Математикийн дүүжин

Савлуур гэдэг нь таталцлын төв нь дүүжлүүрийн цэгээс доогуур байхаар дүүжлэгдсэн аливаа бие юм. Энэ нь олс дээр өлгөгдсөн ачаалал нь ханын цагны дүүжинтэй төстэй хэлбэлзлийн систем гэсэн үг юм. Чөлөөт чичиргээ хийх чадвартай аливаа систем нь тогтвортой тэнцвэрийн байрлалтай байдаг. Савлуурын хувьд энэ нь таталцлын төв нь түдгэлзүүлэх цэгийн доор байрлах босоо байрлал юм. Хэрэв бид савлуурыг энэ байрлалаас гаргах эсвэл түлхэх юм бол тэр тэнцвэрийн байрлалаас нэг чиглэлд хазайж, хэлбэлзэж эхэлнэ. Савлуур хүрэх тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их хазайлтыг хэлбэлзлийн далайц гэж нэрлэдэг гэдгийг бид мэднэ. Далайц нь савлуурыг хөдөлгөж байсан анхны хазайлт эсвэл түлхэлтээр тодорхойлогддог. Энэ шинж чанар - хөдөлгөөний эхэн үеийн нөхцлөөс далайцын хамаарал нь зөвхөн дүүжингийн чөлөөт хэлбэлзэл төдийгүй ерөнхийдөө маш олон тербеллийн системийн чөлөөт хэлбэлзлийн шинж чанар юм.

Физик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа нь олон нөхцөл байдлаас шалтгаална: биеийн хэмжээ, хэлбэр, хүндийн төв ба түдгэлзүүлэх цэгийн хоорондох зай, энэ цэгтэй харьцуулахад биеийн жингийн хуваарилалт; тиймээс дүүжлэгдсэн биеийн хугацааг тооцоолох нь нэлээд хэцүү ажил юм. Математикийн дүүжингийн хувьд нөхцөл байдал илүү хялбар байдаг. Математикийн дүүжин нь нимгэн утаснаас дүүжлэгдсэн жин бөгөөд хэмжээс нь утасны уртаас хамаагүй бага бөгөөд маннагийн масс нь утасны массаас их байдаг. Энэ нь бие (ачаалал) ба утас нь ачааллыг материаллаг цэг гэж үзэж болохуйц байх ёстой бөгөөд утас нь жингүй байна гэсэн үг юм. Ийм дүүжингийн ажиглалтаас дараах энгийн хуулиудыг тогтоож болно.

1. Дүүжингийн уртыг ижил байлгахад (дүүжүүлэлтийн цэгээс ачааны хүндийн төв хүртэлх зай) янз бүрийн жинг түдгэлзүүлбэл жингийн масс ихээхэн ялгаатай боловч хэлбэлзлийн хугацаа ижил байх болно. . Математикийн дүүжингийн хугацаа нь ачааны массаас хамаардаггүй.

2. Сида, траекторийн аль ч цэг дээр бие дээр үйлчилж, тэнцвэрийн байрлал руу чиглэсэн бөгөөд тэнцвэрийн цэг дээр өөрөө тэгтэй тэнцүү байна.

3. Хүч нь биеийн тэнцвэрийн байрлалаас хазайсантай пропорциональ байна.

Цагаан будаа. 5.

4. Хэрэв савлуурыг эхлүүлэхдээ бид өөр өөр (гэхдээ тийм ч том биш) өнцгөөр хазайвал өөр өөр далайцтай ч гэсэн ижил хугацаанд хэлбэлзэх болно. Далайц нь тийм ч том биш л бол хэлбэлзэл нь гармоник хэлбэрээрээ хангалттай ойрхон байх ба математик дүүжингийн хугацаа нь хэлбэлзлийн далайцаас хамаардаггүй. Энэ өмчийг изохронизм гэж нэрлэдэг (Грек үгнээс "isos" - тэнцүү, "chronos" - цаг хугацаа).

Энэ баримтыг анх 1655 онд Галилео дараах нөхцөл байдлын дор тогтоожээ. Галилео Пизагийн сүмд лааны суурь (Ортодокс сүмд төв лааны суурь, олон лаа эсвэл дүрсний чийдэн бүхий дэнлүү) урт гинжээр дүүжин, гал асаахад түлхэгдэж байгааг ажиглав. Тэнгэрлэг үйлчлэлийн үеэр дүүжин савлуур аажмаар бүдгэрч (8-р бүлэг), өөрөөр хэлбэл дүүжин далайц багассан боловч хугацаа нь ижил хэвээр байв. Галилео өөрийн импульсийг цаг хугацааны үзүүлэлт болгон ашигласан.

Савлуурын энэ шинж чанар нь гайхмаар төдийгүй бас ашигтай болсон. Галилео савлуурыг цагны зохицуулагч болгон ашиглахыг санал болгов. Галилеогийн үед цагийг жингээр ажиллуулдаг байсан бөгөөд салхин тээрмийн ир зэрэг бүдүүлэг төхөөрөмжөөр агаарын эсэргүүцлийг ашигладаг байсан. Салхины санамсаргүй шуурганаас үүдэлтэй том хэлбэлзэлтэй ижил хугацаанд жижиг хэлбэлзэл үүсдэг тул цаг хугацааны тэнцүү интервалыг тоолоход дүүжин ашиглаж болно. Галилеогаас хойш зуун жилийн дараа дүүжин цагийг ашиглаж эхэлсэн ч далайчид далайд уртраг хэмжихэд үнэн зөв цаг хэрэгтэй хэвээр байв. Цаг хугацааг хангалттай нарийвчлалтайгаар хэмжих боломжийг олгодог ийм далайн цагийг бүтээхэд шагналыг зарлав. Шагналыг Гариссон хронометрийн хувьд хүртэж, цус харвалтыг зохицуулахын тулд flywheel (тэнцвэр) болон тусгай пүрш ашигласан.

Одоо математикийн дүүжингийн хэлбэлзлийн үеийн томъёог гаргая.

Савлуурыг савлах үед ачаалал нь хөдөлгөөний явцад өөрчлөгддөг P 1 буцах хүчний үйлчлэлээр VA нумын дагуу хурдасгаж хөдөлдөг (Зураг 5, а).

Тогтмол бус хүчний нөлөөн дор биеийн хөдөлгөөнийг тооцоолох нь нэлээд төвөгтэй байдаг. Тиймээс, хялбар болгох үүднээс бид дараах байдлаар ажиллана.

Савлуурыг хүчээр нэг хавтгайд хэлбэлзэл хийхгүй, харин конусыг дүрслэхийн тулд ачаалал тойрог хэлбэрээр хөдөлдөг (Зураг 5, b). Энэ хөдөлгөөнийг хоёр бие даасан чичиргээ нэмсний үр дүнд олж авч болно: нэг нь зургийн хавтгайд, нөгөө нь перпендикуляр хавтгайд байна. Аль ч хэлбэлзлийн хавтгай нь бусдаас ялгарах зүйлгүй тул эдгээр хоёр хавтгайн хэлбэлзлийн хугацаа ижил байх нь ойлгомжтой. Үүний үр дүнд нарийн төвөгтэй хөдөлгөөний хугацаа - конусын дагуух савлуурын эргэлт нь нэг хавтгайд дүүжин байх хугацаатай ижил байх болно. Энэ дүгнэлтийг хоёр ижил дүүжин авч, нэгийг нь хавтгайд, нөгөөг нь конусын дагуу эргүүлэхийг шууд туршилтаар хялбархан харуулж болно.

Гэхдээ "конус" дүүжингийн эргэлтийн хугацаа нь ачааллын дагуу тодорхойлсон тойргийн уртыг хурдаар хуваасантай тэнцүү байна.

Хэрэв босоо тэнхлэгээс хазайх өнцөг бага бол (жижиг далайц!), Дараа нь буцах хүч P 1 нь МЭӨ тойргийн радиусын дагуу чиглэнэ, өөрөөр хэлбэл энэ нь төв рүү чиглэсэн хүчтэй тэнцүү байна гэж үзэж болно.

Нөгөө талаас OBC ба DBE гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд BE: BD = CB: OB байна. OB = l, CB = r, BE = P 1 тул иймээс

Р 1 хоёр илэрхийлэлийг бие биентэйгээ адилтгаснаар бид эргэлтийн хурдыг олж авна

Эцэст нь үүнийг T хугацааны илэрхийлэлд орлуулснаар бид олдог

Тиймээс, математикийн дүүжингийн хугацаа нь зөвхөн таталцлын хурдатгал g ба дүүжингийн урт l, өөрөөр хэлбэл дүүжлүүрийн цэгээс ачааны хүндийн төв хүртэлх зайгаас хамаарна. Олж авсан томъёоноос харахад дүүжингийн хугацаа нь түүний масс ба далайцаас хамаардаггүй (энэ нь хангалттай бага байх тохиолдолд). Өөрөөр хэлбэл, ажиглалтаар өмнө нь бий болсон тэдгээр үндсэн хуулиудыг тооцоолж гаргаж авсан.

Гэхдээ энэ онолын дүгнэлт нь бидэнд илүү их зүйлийг өгдөг: энэ нь савлуурын хугацаа, түүний урт ба таталцлын хурдатгалын хоорондох тоон хамаарлыг тогтоох боломжийг олгодог. Математик дүүжингийн хугацаа нь дүүжингийн уртыг таталцлын хурдатгалд харьцуулсан квадрат язгууртай пропорциональ байна. Хэсгийн харьцаа 2 уу?

Савлуурын хугацаа нь таталцлын хурдатгалаас хамаарах нь энэхүү хурдатгалыг тодорхойлох маш зөв арга юм. Савлуур l-ийн уртыг хэмжиж, олон тооны хэлбэлзлээс T үеийг тодорхойлсны дараа бид үүссэн g томьёог ашиглан тооцоолж болно. Энэ аргыг практикт өргөн ашигладаг.

дүүжин хэлбэлзлийн резонансын координат

Хөнгөн сунадаггүй утас дээр дүүжлэгдсэн жижиг бөмбөг нь гүйцэтгэх чадвартай үнэгүйхэлбэлзлийн хөдөлгөөн (зураг 598).

будаа. 598
Савлуурын хөдөлгөөнийг дүрслэхийн тулд бид бөмбөгийг материаллаг цэг гэж үзэж, утасны масс болон агаарын эсэргүүцлийг үл тоомсорлох болно. Энэ загварыг нэрлэдэг математикийн дүүжин.
Бөмбөгний байрлалыг тодорхойлсон координатын хувьд бид утаснуудын хазайлтын өнцгийг босоо байрлалаас сонгоно. φ ... Энэ координатын өөрчлөлтийг тодорхойлохын тулд эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой.

хаана J = мл 2- системийн инерцийн момент, ε = Δω / Δt- биеийн өнцгийн хурдатгал (эргэлтийн өнцгийн хоёр дахь дериватив), М- системд үйлчлэх гадны хүчний нийт момент 1. Бөмбөлөгт мг таталцлын хүч ба утас таталтаар ажилладаг. Утасны суналтын момент Нтүдгэлзүүлэх цэгтэй харьцуулахад 0-тэй тэнцүү тул дүүжлэгдсэн бөмбөгний тэгшитгэл (1) хэлбэрийг авна.

эсвэл

Энэ тэгшитгэл нь савлуурын хэлбэлзлийг дүрсэлсэн боловч хүчний момент нь өнцөгт биш харин хазайлтын өнцгийн синустай пропорциональ байдаг тул энэ нь гармоник хэлбэлзлийн тэгшитгэл биш юм. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид хазайлтын өнцгийг бага гэж үзвэл (бид дараа нь хэр их болохыг олж мэдэх болно) бид ойролцоогоор томъёог ашиглаж болно. sinφ ≈ φЭнэ ойролцоолсноор тэгшитгэл (3) нь гармоник хэлбэлзлийн танил тэгшитгэл болж хувирна.

хаана Ω = √ (г / л)- дүүжин 2-ын жижиг хэлбэлзлийн дугуй давтамж. Бид энэ тэгшитгэлийн шийдлийг аль хэдийн бичсэн

энд φ o- утасны хамгийн их хазайлт, өөрөөр хэлбэл чичиргээний далайц. Энгийн байхын тулд бид бөмбөгний анхны хурдыг тэг гэж үзэх болно.
Савлуурын жижиг хэлбэлзлийн үеийг өнцгийн давтамжаар илэрхийлнэ

Математик дүүжингийн жижиг хэлбэлзэл нь гармоник байдаг тул тэдгээрийн хугацаа нь далайцаас хамаардаггүй. Энэ баримтыг Г.Галилей туршилтаар тэмдэглэжээ. Их хэмжээний хазайлтын өнцгөөр математикийн дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа бага зэрэг нэмэгддэг.
Математик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа нь бөмбөгний массаас хамаардаггүй гэдгийг санаарай - таталцлын хурдатгал, түүнчлэн дэлхийн таталцлын талбар дахь биеийн хөдөлгөөний бусад шинж чанарууд нь массаас хамаардаггүй гэдгийг санаарай. биеийн (мэдээжийн хэрэг, бид агаарын эсэргүүцлийг үл тоомсорлохгүй бол).
Формула (6)-ыг ашиглаж болох ба таталцлын хурдатгалыг туршилтаар тодорхойлоход ашигладаг. Судасны урт ба хэлбэлзлийн хугацааг туршилтаар хялбархан хэмжиж болох бөгөөд дараа нь (6) томъёог ашиглан таталцлын хурдатгалыг тооцоолж болно.
Механик энерги хадгалагдах хуулийг ашиглан математик дүүжингийн хөдөлгөөнийг дүрслэхийг хичээцгээе. Бөмбөгний кинетик энергийг томъёогоор илэрхийлнэ

Боломжит энергийн лавлагааны тэг түвшин нь утасны түдгэлзүүлэх цэгтэй тохирч байвал бөмбөгний боломжит энерги байна.

Механик энерги хадгалагдах хуулийн тэгшитгэл (анхны нөхцлийг харгалзан) хэлбэртэй байна

Энэ тэгшитгэл нь мөн гармоник чичиргээний тэгшитгэл биш юм. Гэхдээ хэрэв бид дүүжингийн хазайлтын өнцгийг дахин бага гэж үзэж, ойролцоогоор томъёог ашиглана уу.

Дараа нь (7) тэгшитгэл нь гармоник чичиргээний тэгшитгэлд шилждэг

эсвэл

заасан газар Ω = √ (г / л)- динамик тэгшитгэлээс (2) олж авсантай давхцаж буй дугуй чичиргээний давтамж.
Мэдээжийн хэрэг, энэ давхцал нь санамсаргүй биш юм - үнэн хэрэгтээ бид хоёр хандлагад жижиг хазайлтын өнцгийн ойролцоох утгыг ашигласан.

1 Зарчмын хувьд хөрвүүлэх хөдөлгөөний динамикийн тэгшитгэлийг бас ашиглаж болно, гэхдээ цэгийн траектори нь тойргийн нум учраас энд ашигласан аргыг илүүд үздэг.
2 Бид жижиг хэлбэлзлийн байгалийн давтамжийн хувьд Ω тэмдэглэгээг (энэ нь бас "омега" бөгөөд зөвхөн том үсгээр бичсэн) сонгосон бөгөөд ингэснээр уламжлалт тэмдэглэгээ ω нь бөмбөгний өнцгийн хурдны ард үлдэх бөгөөд энэ нь бидний үндэслэлд цаашид харагдах болно. .