Relațiile binare și exemplele de soluție ale proprietăților lor. Relația binară. Exemple de relații binare. Relațiile binare și proprietățile acestora

pentru relația dintre ordinea non-îngrijită:

h.X. - adevărat (reflexivitate);

hu și wow x \u003d- (antisimetrie);

x y și z x x z- (Transitivitate).

Multe X.numit comandat dacă două elemente h.și w.acest set este comparabil, adică, dacă este efectuată una dintre condițiile: h.< u, H.= u, W.< x.

Setul comandat sunt numite o tuplă. În cazul general, tuple este o secvență de elemente, adică setul de elemente în care fiecare element ocupă un loc complet clar. Elementele setului comandat se numesc componentele tuplei. Exemple de cortex pot fi o secvență ordonată de progresuri aritmetice sau geometrice, o secvență de operații tehnologice în fabricarea unui produs radioelectronic, o secvență ordonată a pozițiilor de instalare ale plăcii de circuite imprimate pentru fixarea elementelor structurale.

În toate aceste seturi, locul fiecărui element este pe deplin definit și nu poate schimba arbitrar.

La procesarea informațiilor de proiectare a computerelor, ratele de dominanță folosesc adesea. Ei spun asta xx.domină peste ux.adică x \u003e\u003e y,dacă articolul h.În ceva superior (are un prioritar) element w.din același set. De exemplu, sub h.puteți înțelege una dintre listele de date, care ar trebui primite pentru prelucrarea mai întâi. Atunci când analizăm mai multe structuri REA, unele dintre ele ar trebui să primească prioritate, deoarece acest design are cel mai bun, din punct de vedere, proprietăți decât altele, adică designul h.dominiază designul y.

Proprietatea de tranzitivitate nu are spațiu. Într-adevăr, dacă, de exemplu, designul h.pentru orice parametri preferați y,Și design w.potrivit oricărui alt parametri, modelele Z preferate, atunci nu urmează încă faptul că desenele h.trebuie să primească preferințe comparativ cu designul g.

Seturi de afișare. Unul dintre conceptele de bază ale teoriei setate este conceptul de afișare. Dacă sunt specificate două seturi non-goale X.și Y,apoi legea conform căreia fiecare element x X.pune în conformitate cu elementul , numit cartografiere fără echivoc X.în Y.sau o funcție definită pe x și valoarea de recepție Y.

În practică, este necesar să se ocupe de majorarea multi-valoare a seturilor X.pe set Y,care definesc legea conform căreia fiecare element xx.pune în linie cu un subset , numită felul de elemente. Cazurile sunt posibile când Gh \u003d 0.

Să fie dat un subset TOPOR.Pentru oricine hacale h.este un subset . O combinație a tuturor elementelor Y,sunt imagini pentru toți x în A.revendicați un mod de setare DARȘi vom denota Ha.În acest caz

Relația binară.

Fie A și B seturi arbitrare. Luați un element din fiecare set și de la A, B de la B și scrieți-le astfel: (În primul rând, elementul primului set, apoi elementul celui de-al doilea set - adică suntem importanți pentru ordinea în care sunt luate elementele). Un astfel de obiect va fi numit pereche comandată. Egal Vom lua în considerare numai acele perechi care au elemente cu aceleași numere sunt egale. = dacă a \u003d c și b \u003d d. Evident, dacă a ≠ B, atunci ≠ .

Lucrul cartezian Seturile arbitrare A și B (denumite: AB) numite un set constând din toate posibilele aburi ordonate, primul element al cărui element aparține A, iar al doilea aparține B. Prin definiție: AB \u003d ( | AA și BB). Evident, dacă a ≠ B, atunci ab ≠ ba. Lucrări de la cartesovo de la sine numite n ori gradul cartezian. A (denotă: a n).

Exemplul 5. Fie A \u003d (x, y) și b \u003d (1, 2, 3).

Ab \u003d ( , , , , , }.

Ba \u003d (<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

Aa \u003d a 2 \u003d ( , , , }.

Bb \u003d b 2 \u003d (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

Atitudine binară Pe set m, o varietate de perechi comandate de elemente ale setului M. Dacă R este atitudinea binară și abur aparține acestei relații, apoi scrieți: R sau x r y. Evident, r í m 2.

Exemplul 6. Setați (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) este o atitudine binară pe setul (1, 2, 3, 4, 5).

Exemplul 7. Raportul ³ pe o multitudine de întregi este o atitudine binară. Acesta este un set infinit de cupluri comandate unde x ³ y, x și y sunt numere întregi. Această relație aparține, de exemplu, perechi<5, 3>, <2, 2>, <324, -23> și nu aparțin perechilor<5, 7>, <-3, 2>.

Exemplul 8. Raportul dintre egalitatea de pe setul A este un raport binar: I A \u003d ( | xî a). Am numit diagonală Setează A.

Deoarece se stabilesc relațiile binare, acestea se aplică operațiunilor asociației, intersecțiilor, adaosurilor și diferențelor.

Definiție zonă. Raportul binar R este numit setul D (R) \u003d (X | există un astfel de y care XRY). Zona de valori Raportul binar R este numit setul R (R) \u003d (Y | Există un astfel de x care XRY).

Relație invers la raportul binar r Í m 2, se numește raportul binar R -1 \u003d ( | Î R). Evident, D (R -1) \u003d R (R), R (R -1) \u003d D (R), R - 1 Í M2.

Compoziţie Relațiile binare R1 și R2 specificate pe setul M sunt numite raport binar R20 R 1 \u003d ( | Există y astfel încât Î R1 și Í r 2). Evident, R2 o R 1 Í m 2.

Exemplul 9. Lăsați raportul binar al R a setat pe setul M \u003d (A, B, C, D), R \u003d ( , , , ). Apoi D (R) \u003d (A, C), R (R) \u003d (B, C, D), R -1 \u003d ( , , , ), R o r \u003d ( , , , ), R -1 o r \u003d ( , , , ), R o R -1 \u003d ( , , , , , , }.

Fie ca o atitudine binară pe setul M. Raportul R este numit reflexivăDacă x R x pentru orice x "M. Raportul R este numit simetricDacă cu fiecare pereche Conține un cuplu . Raportul R este numit tranzitivDacă din faptul că x R y și y Rd urmează că x R z. Raportul R este numit antisymmetric.Dacă nu conține o pereche în același timp și Elemente diferite x ¹ y set M.

Indicăm criteriile pentru efectuarea acestor proprietăți.

Raportul binar R pe bază de reflexiv atunci și numai dacă i m í r.

Raportul binar R este simetric și numai dacă r \u003d R -1.

Raportul binar R pe setul M este antisymmetric dacă și numai dacă r ç r -1 \u003d i m.

Raportul binar R este transpirat dacă și numai dacă r o r í r.

Exemplul 10. Raportul dintre exemplul 6 este antisymmetric, dar nu este simetric, reflexiv și tranzitiv. Raportul dintre exemplul 7 este reflexiv, antisimetric și tranzitiv, dar nu este simetric. Raportul I A are toate cele patru proprietăți în cauză. Raporturile R -1O R și R o R -1 sunt simetrice, tranzitive, dar nu sunt antizimetrice și reflexive.

Relație echivalenţă Pe setul m se numește tranzitiv, simetric și reflexiv asupra atitudinii binare m.

Relație ordinul parțial Pe setul m se numește tranzitiv, antisimetric și reflexiv pe raportul m binar R.

Exemplul 11. Raportul dintre exemplul 7 este un raport de ordine parțială. Raportul I A este raportul dintre echivalența și ordinea parțială. Raportul de paralelism pe setul de directe este rata de echivalență.

Proprietățile relațiilor:

1) reflexivitate;

2) simetrie;

3) tranzitivitate.

4) Legarea.

Atitudine R. Pe set H. numit. reflexiv Dacă despre fiecare element al setului H. Putem spune că este în legătură cu R. Cu mine insumi: h.Rx. Dacă raportul este reflexiv, atunci în fiecare vertex există o buclă. Și înapoi, graficul, fiecare vârf al căror conține o buclă, este un grafic al unei relații reflexive.

Exemple de relații reflexive sunt și raportul dintre "multiple" pe setul de numere naturale (fiecare număr de mai mulți însuși) și atitudinea asemănată a triunghiului (fiecare triunghi este similar cu ea însăși) și atitudinea "egalității "(fiecare număr egal) și alții.

Există relații care nu au proprietatea de reflexivitate, de exemplu, raportul dintre perpendicularitatea segmentelor: aB, BA. (Nu există un singur segment care se poate spune că este perpendicular pe el însuși) . Prin urmare, nu există o buclă pe coloana acestei relații.

Nu are proprietatea reflexivității și a raportului "mai mult" pentru segmente, "mai mult cu 2" pentru numerele naturale etc.

Atitudine R. Pe set H.numit. antireflemisivDacă pentru orice element din set H.Întotdeauna falsă h.Rx: .

Există ratinguri care nu sunt nici reflexive sau antirefleme. Un exemplu de o astfel de relație este punctul " h. Punct simetric. w.legate de l.", Specificat pe setul de puncte din avion. Într-adevăr, toate punctele sunt directe l. simetrice noi, și puncte care nu se află într-o dreaptă l, noi înșine nu suntem simetrici.

Atitudine R.pe set H. numit. simetric, Dacă condiția este satisfăcută: din ceea ce elementul h. este în raport cu elementul y., rezultă că elementul y. Situat în dreapta R. cu element x:xryyrx.

Graficul unei relații simetrice are următoarea caracteristică: împreună cu fiecare săgeată provenită de la h. la y., graficul conține o săgeată provenită de la y. la h. (Fig.35).

Exemple de relații simetrice pot fi următoarele: raportul dintre "paralelismul" segmentelor, raportul dintre "perpendicularitatea" segmentelor, raportul dintre "egalitatea" segmentelor, raportul dintre similitudinea triunghiurilor, raportul dintre "egalitate" fracțiuni etc.

Există relații care nu au o proprietate de simetrie.

Într-adevăr, dacă segmentul h. Tăiat lung. w., apoi tăiați w. nu poate fi segment mai lung h.. Graficul acestei relații are o caracteristică: săgeata care conectează vârfurile este îndreptată numai într-o singură direcție.

Atitudine R. Apel antisymmetric.Dacă pentru orice elemente h. și y.de la adevăr xry.fals urmează yrx :: xryyrx.

În plus față de relația "mai mult" pe setul de segmente există și alte relații antisimetrice. De exemplu, raportul "mai mult" pentru numere (dacă h. Mai mult w.T. w. nu pot fi mai mult h.), raportul "mai mult" și alții.

Există relații care nu au o proprietate de simetrie, nici proprietatea antisimetriei.

Raportul R pe set H.apel tranzitiv Dacă din faptul că elementul h. Situat în dreapta R. cu element y, Și element y. Situat în dreapta R. cu element z., Rezultă că elementul h. Situat în dreapta R. cu element z.: xry. și yrz.xrz.

Numărul relației tranzitive cu fiecare pereche de săgeți provenite de la h. la y. și de la y. la z., Conține o săgeată provenită de la h.la z.

Relația de tranzitivitate are raportul "mai lung" pe setul de segmente: în cazul în care segmentul dar Tăiat lung. b., secțiune b.tăiat lung. din, apoi tăiați dartăiat lung. din. Raportul dintre "egalitatea" pe setul de segmente are, de asemenea, proprietatea de tranzitivitate: (A \u003d.b, b \u003d c) (a \u003d c).

Există relații care nu au proprietatea de tranzitivitate. O astfel de atitudine este, de exemplu, atitudinea de perpendicularitate: în cazul în care segmentul dar Perpendicular pe segment b., și tăiat b. Perpendicular pe segment din, apoi segmente dar și din Nu este perpendicular!

Există o altă proprietate a relației, care se numește proprietatea legăturii, iar atitudinea care le are se numește conectată.

Atitudine R. Pe set H. numit. asociate Dacă pentru orice elemente h. și y. O condiție este satisfăcută de acest set: dacă h. și y. Diferite, atunci fie h. Situat în dreapta R. cu element y.sau element y. Situat în dreapta R. cu element h.. Cu ajutorul caracterelor poate fi scris ca: x Y. Xry. sau yrx.

De exemplu, proprietatea relațiilor are raportul dintre "mai mult" pentru numerele naturale: pentru numerele diferite x și y, poate fi argumentat sau x\u003e Y.fie y\u003e x.

Pe coloana relației asociate, orice două noduri sunt conectate printr-o săgeată. O declarație corectă și inversă.

Există relații care nu au proprietatea legăturii. O astfel de atitudine, de exemplu, este relația divizibilității pe un set de numere naturale: puteți apela astfel de numere x și y.Niciun număr h.nu este un număr divider y.nici un număr y. nu este un număr divider h.(Numere 17 și 11 , 3 și 10 etc.) .

Luați în considerare mai multe exemple. Pe set X \u003d (1, 2, 4, 8, 12) Numărul raportului " h.numărul de vopsea y." Construim graficul acestei relații și formularea proprietăților sale.

Raportul dintre egalitatea fracțiilor vorbește, este raportul de echivalență.

Atitudine R. Pe set H. numit. relație de echivalență Dacă simultan are proprietatea reflexivității, simetriei și tranzitivității.

Exemple de relații de echivalență includ: relația figurilor geometrice, raportul dintre paralelismul direct (cu condiția ca liniile drepte coincidente să fie considerate paralele).

În raportul dintre "egalitatea fracțiilor", mulți H.a intrat în trei subseturi: ( ; ; }, {; } , (). Aceste subseturi nu se intersectează, iar asocierea lor coincide cu mulți H.. Avem o despicare a multor clase.

Asa de, dacă raportul de echivalență este specificat pe setul X, acesta generează divizarea acestui set pe subseturile de difuzare a perechiului - clase de echivalență.

Deci, am constatat că relația de egalitate pe set
H.\u003d (;;;;) corespunde partiției acestui set pe clasele de echivalență, fiecare dintre ele constă din fracțiuni egale.

Principiul împărțirii setului pe clase cu o relație de echivalență este un principiu important al matematicii. De ce?

În primul rând, echivalentul este echivalent, interschimbabil. Prin urmare, elementele unei singure clase de echivalență sunt interschimbabile. Deci, fracțiunea, care se afla într-o clasă de echivalență (;;), indistinguizabil în ceea ce privește relațiile de egalitate și fracțiune pot fi înlocuite de un altul, de exemplu . Și această înlocuire nu va schimba rezultatul calculelor.

În al doilea rând, deoarece în clasa de echivalență este elemente care nu se deosebesc de punctul de vedere al unei relații, ei cred că clasa de echivalență este determinată de orice reprezentant, adică. Un element arbitrar al clasei. Deci, poate fi setată orice clasă de fracțiuni egale, indicând orice fracțiune aparținând acestei clase. O clasă de echivalență pentru un reprezentant permite în loc de toate elementele setului de a explora setul de reprezentanți din clasele de echivalență. De exemplu, raportul de echivalență dintre "are același număr de noduri" specificat pe setul de poligoane, generează partiția acestui set pe clasele de triunghiuri, cvadrangles, pentagoane etc. Proprietățile inerente într-o anumită clasă sunt luate în considerare pe unul dintre reprezentanții săi.

În al treilea rând, divizarea setului la clase folosind rata de echivalență este utilizată pentru a introduce noi concepte. De exemplu, conceptul de "fascicul de direct" poate fi determinat ca fiind comun, care are drepte paralele.

Un alt tip important de relație este relația de ordine. Ia în considerare sarcina. Pe set H.={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) Raportul este setat la "au același reziduu atunci când se împarte 3 " Această atitudine creează despicarea setului H. la cursuri: se va cădea într-un număr, atunci când se împarte care pe 3 se dovedește în restul 0 (Acestea sunt numere 3, 6, 9 ). În al doilea - numărul, atunci când se împarte care pe 3 În reziduul se dovedește 1 (Acestea sunt numere 4, 7, 10 ). În al treilea rând, toate numerele vor cădea, atunci când se împarte care pe 3 În reziduul se dovedește 2 (Acestea sunt numere 5, 8 ). Într-adevăr, seturile rezultate nu se intersectează și asocierea lor coincide cu setul H.. Prin urmare, atitudinea "de a avea același reziduu în divizarea 3 "Situat pe un set H.este relația de echivalență.

Luați un alt exemplu: o varietate de studenți de clasă pot fi aranjate de creștere sau vârstă. Rețineți că acest raport are proprietățile antisimetriei și al tranziției. Sau toată lumea știe ordinea literelor din alfabet. Acesta oferă relația "urmați".

Atitudine R.pe set H. numit. relație de ordine strictăDacă are simultan proprietăți antisimetrice și de tranziție. De exemplu, relația " h.< y.».

Dacă relația are proprietățile reflexivității, antisimetriei și a tranziției, atunci va fi atitudinea ordinii non-stricte. De exemplu, relația " h.y.».

Exemple de relație a ordinului pot fi: raportul "mai puțin" pe setul de numere naturale, raportul "mai scurt" pe setul de segmente. Dacă raportul de comandă are, de asemenea, o proprietate de conectare, ei spun că este relația liniară. De exemplu, raportul "mai puțin" pe setul de numere naturale.

Multe H. numit. ordonat Dacă este specificat raportul de comandă.

De exemplu, setul X \u003d.{2, 8, 12, 32 ) Puteți raționaliza cu ajutorul raportului "mai puțin" (fig.41) și îl puteți face cu ajutorul unei relații "multiple" (figura 42). Dar, fiind o atitudine de ordine, relația "mai puțin" și "mai multă vopsea" aranja multe numere naturale în moduri diferite. Raportul "Mai puțin" vă permite să comparați două numere din set H.Iar raportul dintre "multiple" nu posedă o astfel de proprietate. Deci, câteva numere 8 și 12 Raportul este "multiplu" nu este legat: este imposibil să spunem asta 8 margine 12 sau 12 margine 8.

Nu ar trebui să se creeze că toate relațiile sunt împărțite în relații de echivalență și relație de relații. Există un număr mare de relații de non-echivalență sau relații de ordine.

Bazele matematicii discrete.

Conceptul de set. Relația dintre seturi.

Setul este un set de obiecte cu o proprietate specifică combinată într-un singur întreg.

Componentele obiectului sunt numite elemente seturi. Pentru ca unele seturi de obiecte să fie numite un set, trebuie efectuate următoarele condiții:

· Trebuie să existe o regulă pentru care Mono determină dacă elementul aparține acestui set.

· Ar trebui să existe o regulă prin care elementele pot fi distinse una de cealaltă.

Seturile sunt indicate prin majuscule, iar elementele sale sunt mici. Metode de setare a seturilor:

· Listează elementele setului. - Pentru seturi finite.

· Indicarea proprietății caracteristice .

Set gol - numit un set care nu conține nici un element (Ø).

Două seturi sunt numite egale, dacă constau din aceleași elemente. . A \u003d B.

Multe B. numit un subset al setului DAR (, atunci și numai atunci când toate elementele setului B. aparțin setului A..

De exemplu: , B. =>

Proprietate:

NOTĂ: De obicei, luați în considerare un subset de unul și pe acel set, numit universal (U). Setul universal conține toate elementele.

Operațiuni pe seturi.

2.Intersecție 2 seturi sunt numite un nou set constând din elemente, simultan aparțin primului și al doilea set.

Nr: ,,

Proprietate: combinarea și operațiunile de intersecție.

· Communție.

· Asociația. ;

· Distribuție. ;

Relațiile binare și proprietățile acestora.

Lasa DAR și ÎN Acestea sunt o varietate de derivate a naturii, ia în considerare o pereche de elemente ordonate. (A, b) a, în ε înputeți lua în considerare comandarea "Enki".

(1, și 2 și 3, ... și n)Unde dar 1 ε și 1; dar 2 ε și 2; ...; dar N. ε și n;

Cartesian (drept) A 1, și 2, ... și nse numește mn, care constă dintr-un ordonat n k al speciei.

Nr: M.= {1,2,3}

M × m \u003d m 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Subseturile lucrărilor decarțiene numit raportul dintre grade n. sau o relație enar. În cazul în care un n.\u003d 2, apoi luați în considerare binar relaţii. Ce spun ei asta a 1 și 2 sunt în termeni bari R.cand a 1 R A 2.

Atitudine binară pe set M. Numit un subset al produsului direct al setului n. de la sine.

M × m \u003d m 2= {(a, B.)| a, B ε m) În exemplul anterior, raportul este mai mic pe set M. Ea dă naștere la următorul set: ((1,2); (1,3); (2.3))

Relațiile binare au proprietăți diferite, inclusiv:

· Reflexivitate: .

· Antireflexivitate (ireflexion) :.

· Simetrie :.

· Antisimetrie :.

· Transitivitate :.

· Asimetrie :.

Tipuri de relații.

· Raportul de echivalență;

· Raportul dintre ordine.

v Relația transitivă reflexivă se numește raportul dintre cvasi-brațele.

v Relația transitivă simetrică reflexivă se numește rata de echivalență.

v Relația tranzitivă antisimetrică reflexivă se numește raportul dintre ordinea parțială).

v O relație tranzită antisemmetrică antiremimetrică se numește un raport de ordine strictă.

Evident, relațiile binare arbitrare de a studia în termeni generali nu este deosebit de interesant, putem spune foarte puțin despre ei. Cu toate acestea, dacă relațiile satisfac unele condiții suplimentare, se pot face declarații mai substanțiale față de acestea. În această secțiune, vom analiza unele dintre proprietățile de bază ale relațiilor binare.

• 1. Atitudinea binară pe setul X se numește reflexivă, dacă o condiție A este mulțumită pentru orice element AX:
  • (Ax) A * A.

Dacă raportul este prezentat folosind un grafic, atunci reflexivitatea acestei relații înseamnă că nu există o buclă în fiecare vertex.

Pentru relația dată de ajutorul unei matrice militante, reflexivitatea acestuia este echivalentă cu faptul că pe diagonala principală a acestei matrice (venind din colțul din stânga sus la dreapta jos) numai caracterele 1 Costul.

2. Atitudinea binară față de X se numește antireflems, dacă nici unul din topor nu este mulțumit de condiția A * A:

Denotă de I x raportul din setul x constând din perechi de formular (A, a), unde un X:

I x \u003d ((a, a) | a x).

Raportul dintre IX se numește de obicei diagonala setului X sau a raportului de identitate pe X.

Evident, atitudinea de pe setul X este reflexivă dacă diagonala I x este un subset al setului:

Raportul dintre cei antireflexic, dacă diagonalul I x și raportul B nu au nici un element general:

• 3. Atitudinea binară pe setul X este numită simetrică dacă de la A * B urmează B * A:
  • (A, bx) (a * b b * a).

Exemple de relații simetrice sunt:

atitudinea de perpendicularitate pe setul de linii drepte;

touch raport pe o multitudine de cercuri;

raportul dintre "este similar" pe setul de oameni;

raportul "de a avea același sex" pe setul de animale.

Raportul "Brother X" pe setul de toate persoanele nu este simetric. În același timp, raportul "X frate Y" pe setul de bărbați este simetric.

Într-un grafic al unui raport simetric pentru fiecare arc din partea de sus X la partea superioară a Y există un arc de la y la x. Prin urmare, relațiile simetrice pot fi reprezentate de grafice cu coaste ne-orientate. În acest caz, fiecare pereche de margini orientate XY și YX sunt înlocuite cu o margine non-orientată.

Figura 8 prezintă atitudinea

b \u003d ((a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (d, c))

folosind grafice orientate și non-orientate.

Smochin. opt.

Matricea unei relații simetrice este simetrică față de diagonala principală.

Teorema: asocierea și intersecția oricărei familii de relații simetrice sunt din nou relații simetrice.

Definiție. Atitudinea binară de pe setul X se numește antisimetrică, dacă pentru orice element diferit A și B condițiile A * B și B * A nu sunt efectuate simultan:

(A, BX) (A * B & B * A A \u003d B).

De exemplu, raportul "acțiuni" pe setul de numere naturale este antisymmetric, deoarece rezultă dintr-un b și b A, că a \u003d b. Cu toate acestea, pe o multitudine de numere întregi, rata "acțiuni" nu este antisimetrică, deoarece (-2) 2 și 2 (-2), dar -22.

Relația "deasupra", "mai greu", "mai în vârstă" antisimetrică pe o varietate de oameni. Raportul "A fi sora" pe setul de toate persoanele nu este antisymmetric.

În graficul relației antisimetrice, două noduri diferite pot fi conectate la mai mult de un arc.

Definiție 3.5. Raportul binar A de pe setul X se numește tranzit, dacă pentru orice trei elemente A, B, C X de la A * B și B * C urmează A * C:

(A, B, C X) (A * B & B * C A * C).

Exemple de relații tranzitive servesc:

raportul "acționează" pe setul de numere valide;

raportul "mai mult" pe setul de numere valide;

raportul dintre "mai în vârstă" pe setul de jucării de oameni;

raportul "de a avea aceeași culoare" pe setul de jucării pentru copii;

e) Atitudinea "a fi un descendent" pe o varietate de oameni.

Atitudinea feudală "a fi vasal" nu este tranzitivă. Acest lucru este subliniat în anumite manuale de istorie: "Vassalul meu vasal nu este vasalul meu".

Raportul dintre "arata similar" pe setul de oameni nu are proprietatea de tranzitivitate.

Pentru o relație arbitrară, puteți găsi relația minimă transitivă, astfel încât AB. O astfel de atitudine este închiderea tranzitivă a relației.

Exemplul 3.1. Închiderea tranzită a relației binare pe setul de oameni "a fi un copil" este raportul dintre "a fi un descendent".

Teorema echitabilă.

Teorema 3.2. Pentru orice relație, închiderea tranzitivă este egală cu intersecția tuturor relațiilor tranzitive, inclusiv a unui subset.

Definiția 3.6. Atitudinea binară de pe setul X este numită conectată dacă pentru oricare două elemente diferite A și B au loc A * B sau B * A:

(A, B, C X) (AB A * B B \u003d A).

Un exemplu de relație coerentă este raportul dintre "mai mult" pe setul de numere valide. Raportul este "împărtășirea" pe o multitudine de numere întregi nu este conectată.

4. Invarianța relațiilor

În acest paragraf, vom enumera câteva cazuri atunci când anumite proprietăți ale relațiilor sunt salvate la efectuarea operațiunilor asupra acestora.

Teorema 4.4. Pentru ca produsul relațiilor simetrice, este simetric, este necesar și suficient pentru relația și naveta.

Raportul de echivalență

Un tip important de relații binare este raportul de echivalență.

Definiție 1. Atitudinea binară pe setul X se numește raportul de echivalență la x, dacă reflexiv, simetric și transitiv.

Raportul de echivalență este adesea notat de simboluri ~,.

Exemple de rata de echivalență servesc:

raportul de identitate I x \u003d ((a, a) axa) pe un set X non-gol;

raportul dintre paralelismul pe setul de plan direct;

raportul de similitudine pe setul de forme plane;

raportul de echivalent pe setul de ecuații;

atitudinea "să aibă aceleași reziduuri în împărțirea la un număr natural fix M" pe o multitudine de numere întregi. Acest raport în matematică se numește raportul dintre comparabilitate a modulului M și denotă AB (MOD M);

raportul "aparține unui tip" pe setul de animale;

raportul dintre "a fi rude" pe setul de oameni;

raportul dintre "a fi o creștere" pe o varietate de persoane;

atitudinea "să trăiască în aceeași casă" pe o varietate de oameni.

Relația "de a trăi pe o singură stradă", "a fi similară" pe setul de oameni nu sunt relații de echivalență, deoarece nu au proprietatea de tranzitivitate.

Dintre proprietățile de mai sus ale relațiilor binare, rezultă că intersecția relației de echivalență este raportul de echivalență.

Clase de echivalență

Cu atitudinea echivalenței, divizarea setului pe clase este strâns legată.

Definiție 1. Sistemul de subseturi non-goale

(M 1, M 2, ...)

multiple M se numește divizarea acestui set dacă

Seturile M 1, M 2, ... se numesc clasele acestei partiții.

Exemple de partide servesc:

descompunerea tuturor poligoanelor în grupuri în numărul de noduri - triunghiuri, cvadrangles, pentagoane etc.;

împărțirea tuturor triunghiurilor în funcție de proprietățile unghiurilor (înclinate, dreptunghiulare, stupide);

partiția tuturor triunghiurilor în funcție de proprietățile părților (versatile, egale, echilaterale);

partiția tuturor triunghiurilor pe clasele de triunghiuri similare;

vânzarea unei varietăți de toți studenții din această clasă școlară.

Utilizarea pe scară largă a relațiilor de echivalență în știința modernă se datorează faptului că orice relație de echivalență efectuează stabilirea setului în care este definită, clasele luate de obicei pentru obiecte noi. Cu alte cuvinte, cu ajutorul relațiilor de echivalență, sunt generate noi obiecte, concepte.

Astfel, de exemplu, raportul răcitor de radiație rupe setul de toate razele planului sau spațiului de pe clasele razelor acoperite. Fiecare dintre aceste clase de raze este numită direcția. Astfel, conceptul intuitiv al direcției primește o descriere matematică exactă ca o clasă de partiționare a unui set de raze prin rata de echivalență.

Despre astfel de cifre sunt de obicei indicate că au aceeași formă. Dar ce este o formă de formă geometrică? Este intuitiv că acest lucru este general care unește astfel de cifre. Folosind raportul de echivalență, acest concept intuitiv este gestionat pentru a corecta matematic. Raportul de similitudine, fiind un raport de echivalență, sparge numeroasele figuri pe clasele unor astfel de figuri. Fiecare astfel de clasă poate fi numită forma. Apoi, expresia "două figuri identice au aceeași formă" are următorul înțeles precis "două figuri similare aparțin unei forme."

Relațiile de echivalență se găsesc oriunde unde seturi de seturi pe clase. Le folosim adesea fără să-l observați.

Dăm un exemplu elementar. Când copiii se joacă cu multe jucării multi-colorate (de exemplu, cu blocuri Dielesh) și decid să descompun jucării în culori, atunci se bucură de relația "pentru a avea o singură culoare". Primit ca rezultat al claselor de cifre monocrome sunt percepute de copii ca noi concepte: roșu, galben, albastru etc.

În mod similar, ca urmare a rezolvării problemei de descompunere a blocurilor în formă, copiii primesc clase, fiecare dintre acestea fiind percepută ca o formă: dreptunghiulară, rotundă, triunghiulară etc.

Relația dintre relațiile de echivalență definită pe setul M, iar partițiile stabilite în clase sunt descrise în următoarele două teoreme.

Teorema 1 Orice partiționare a unui set m non-goale în clase determină (induce) pe acest raport de echivalență stabilită astfel încât:

toate cele două elemente ale aceleiași clase sunt în legătură cu;

toate cele două elemente ale diferitelor clase nu sunt în legătură cu. Dovezi. Să fie o anumită împărțire a unui set de M. Determinați raportul binar după cum urmează: Xay (K) (XK & YK).

Adică cele două elemente X și Y A pentru setul M sunt asociate cu raportul în acel și numai dacă există o astfel de clasă K, care aparține simultan elementelor x și y.

Deci, o anumită relație este evident reflexivă și simetrică. Doveim tranzitarea relației. Fie X * Y și X * Z. Apoi, prin definiție, există clase K 1 și K2, cum ar fi X, YK 1 și Y, ZK 2. Deoarece diferitele clase din partiții nu au elemente comune, atunci K 1 \u003d K2, adică X, Z K 1. Prin urmare, X * Z, care trebuia să demonstreze.

Teorema 2. Orice raport de echivalență într-un set non-gol M generează partiția acestui set pe clasele de echivalență, astfel încât toate tipurile de două elemente ale aceleiași clase sunt în raport cu;

toate cele două elemente ale diferitelor clase nu sunt în legătură cu.

Dovezi. Fie B un raport de echivalență pe setul M. Fiecare element X de la punerea în linie cu un subset [x] al setului M constând din toate elementele Y, care sunt în raport cu elementul X:

Sistemul subsetului [x], formează despicarea setului M. Într-adevăr, în primul rând, fiecare subset [x] o, deoarece datorită reflexivității raportului X [X].

În al doilea rând, două subseturi diferite [x] și [y] nu au elemente comune. Argumentând de la celălalt, să spunem existența unui element Z este de așa natură încât z [x] și z [Y]. Apoi zax și zay. Prin urmare, pentru orice element A [x] de la A * X, Z * X și Z * Y, din cauza simetriei și a tranziției, urmează a * y, adică a [y]. În consecință, [x] [y]. În mod similar, obținem că [y] [x]. Cele două incluziuni obținute dau egalitatea [x] \u003d [y], ceea ce contravine asumarea nepotrivirii subseturilor [x] și [y]. Astfel, [x] y] \u003d O.

În al treilea rând, fuziunea tuturor subseturilor [x] coincide cu setul M, pentru ca orice element XM, este efectuată condiția X [X].

Deci, sistemul subseturilor [x], formează despicarea setului M. Este ușor de arătat că partiția construită satisface condițiile teoremei. Împărțirea setului M, care are proprietățile specificate în teoremă, se numește un set de set M cu respect și denumit m / b.