Nutriție și diete 

Se numește o relație binară pe o mulțime x. Relație binară. Fundamentele matematicii discrete

Lăsa R este o relație binară pe mulțimea X, iar x, y, z sunt oricare dintre elementele sale. Dacă un element x este într-o relație R cu un element y, atunci scrieți xRy.

1. O relație R pe o mulțime X se numește reflexivă dacă fiecare element al mulțimii este în această relație cu el însuși.

R -reflexiv pe X<=>xRx pentru orice x€ X

Dacă relația R este reflexivă, atunci există o buclă la fiecare vârf al graficului. De exemplu, relațiile de egalitate și paralelism pentru segmente sunt reflexive, dar relațiile de perpendicularitate și „mai lung” nu sunt reflexive. Acest lucru este reflectat în graficele din Figura 42.

2. O relație R pe o mulțime X se numește simetrică dacă din faptul că elementul x este într-o relație dată cu elementul y, rezultă că elementul y este în aceeași relație cu elementul x.

R - activat simetric (xYay =>y Rx)

Un grafic de relații simetrice conține săgeți perechi care merg în direcții opuse. Relațiile de paralelism, perpendicularitate și egalitate pentru segmente sunt simetrice, dar relația „mai lungă” nu este simetrică (Fig. 42).

3. O relație R pe o mulțime X se numește antisimetrică dacă, pentru diferite elemente x și y din mulțimea X, din faptul că elementul x este într-o relație dată cu elementul y, rezultă că elementul y nu este în această relaţie cu elementul x.

R - antisimetric pe X « (xRy și xy ≠ yRx)

Notă: un overbar indică negarea unei declarații.

Într-un grafic de relație antisimetrică, două puncte pot fi conectate doar printr-o săgeată. Un exemplu de astfel de relație este relația „mai lungă” pentru segmente (Fig. 42). Relațiile de paralelism, perpendicularitate și egalitate nu sunt antisimetrice. Există relații care nu sunt nici simetrice, nici antisimetrice, de exemplu relația „a fi frate” (Fig. 40).

4. O relație R pe o mulțime X se numește tranzitivă dacă din faptul că un element x este într-o relație dată cu un element y și un element y este în această relație cu un element z, rezultă că elementul x este în o relație dată cu un element Z

R - tranzitiv pe A≠ (xRy și yRz=> xRz)

În graficele relațiilor „mai lungi”, paralelism și egalitate din Figura 42, puteți observa că dacă o săgeată trece de la primul element la al doilea și de la al doilea la al treilea, atunci cu siguranță există o săgeată care merge de la primul. element la al treilea. Aceste relații sunt tranzitive. Perpendicularitatea segmentelor nu are proprietatea tranzitivității.

Există și alte proprietăți ale relațiilor dintre elementele aceleiași mulțimi pe care nu le luăm în considerare.

Aceeași relație poate avea mai multe proprietăți. Deci, de exemplu, pe un set de segmente relația „egal” este reflexivă, simetrică, tranzitivă; relația „mai mult” este antisimetrică și tranzitivă.


Dacă o relație dintr-o mulțime X este reflexivă, simetrică și tranzitivă, atunci este o relație de echivalență pe această mulțime. Astfel de relații împart mulțimea X în clase.

Aceste relații se manifestă, de exemplu, la finalizarea sarcinilor: „Ridicați benzi de lungime egală și aranjați-le în grupuri”, „Aranjați bilele astfel încât fiecare cutie să conțină bile de aceeași culoare”. Relațiile de echivalență („să fie egal în lungime”, „să fie de aceeași culoare”) determină în acest caz împărțirea seturilor de dungi și bile în clase.

Dacă o relație din mulțimea 1 este tranzitivă și antisimetrică, atunci se numește relație de ordine pe această mulțime.

O mulțime cu o relație de ordine dată se numește mulțime ordonată.

De exemplu, la finalizarea sarcinilor: „Comparați benzile în lățime și aranjați-le de la cea mai îngustă la cea mai lată”, „Comparați numerele și aranjați cărțile cu numere în ordine”, copiii ordonează elementele setului de benzi și cărți cu numere. utilizarea relațiilor de ordine; „a fi mai larg”, „a urma”.

În general, relațiile de echivalență și ordine joacă un rol important în formarea la copii a unor idei corecte despre clasificarea și ordonarea mulțimilor. În plus, există multe alte relații care nu sunt nici relații de echivalență, nici relații de ordine.


6. Care este o proprietate caracteristică a unei mulțimi?

7. În ce relații pot exista mulțimi? Dați explicații pentru fiecare caz și descrieți-le folosind cercuri Euler.

8. Definiți un subset. Dați un exemplu de mulțimi, dintre care unul este un submult al altuia. Scrie relația lor folosind simboluri.

9. Definiți mulțimi egale. Dați exemple de două mulțimi egale. Scrie relația lor folosind simboluri.

10. Definiți intersecția a două mulțimi și descrieți-o folosind cercuri Euler pentru fiecare caz particular.

11. Definiți uniunea a două mulțimi și descrieți-o folosind cercuri Euler pentru fiecare caz particular.

12. Definiți diferența dintre două mulțimi și descrieți-o folosind cercuri Euler pentru fiecare caz particular.

13. Definiți complementul și descrieți-l folosind cercuri Euler.

14. Ce se numește partiționarea unui set în clase? Numiți condițiile pentru clasificarea corectă.

15. Ce se numește corespondență între două mulțimi? Numiți metodele de specificare a corespondențelor.

16. Ce fel de corespondență se numește unu-la-unu?

17. Ce mulţimi se numesc egale?

18. Ce mulţimi se numesc echivalente?

19. Numiți modalități de definire a relațiilor pe o mulțime.

20. Ce relație dintr-o mulțime se numește reflexivă?

21. Ce relație dintr-o mulțime se numește simetrică?

22. Ce relație dintr-o mulțime se numește antisimetrică?

23. Ce relație dintr-o mulțime se numește tranzitivă?

24. Definiți o relație de echivalență.

25. Definiți relația de ordine.

26. Care set se numește ordonat?

Cursul 3.

clauza 3. Relații pe platouri. Proprietățile relațiilor binare.

3.1. Relații binare.

Când vorbesc despre relația dintre doi oameni, de exemplu, Serghei și Anna, înseamnă că există o anumită familie căreia îi aparțin. O pereche ordonată (Sergei, Anna) diferă de alte perechi ordonate de oameni prin faptul că există un fel de relație între Serghei și Anna (văr, tată etc.).

În matematică, dintre toate perechile ordonate ale produsului direct a două mulțimi AȘi B (A´ B) perechile „speciale” se disting și prin faptul că între componentele lor există unele relații de „rudenie” pe care alții nu le au. Ca exemplu, luați în considerare setul S studenți ai unor universități și mulți K cursuri predate acolo. Într-un produs direct S´ K se poate selecta un subset mare de perechi ordonate ( s, k) având proprietatea: student s face un curs k. Subsetul construit reflectă relația „...ascultă...” care apare în mod natural între seturi de studenți și cursuri.

Pentru o descriere matematică strictă a oricăror conexiuni între elementele a două mulțimi, introducem conceptul de relație binară.

Definiție 3.1. Binar (sau dubla )atitudine rîntre seturi AȘi B se numește o submulțime arbitrară A´ B, adică

În special, dacă A=B(adică rÍ A 2), atunci ei spun că r este o relație pe mulțime A.

Elemente AȘi b sunt numite componente (sau coordonate ) relație r.

Cometariu. Să fim de acord că pentru a desemna relațiile dintre elementele mulțimilor, folosiți alfabetul grecesc: r, t, j, s, w etc.


Definiție 3.2. Domeniul definiției D r=( A| $ b, Ce A r b) (partea stanga). Gama de valori a unei relații binare r se numește mulțime R r=( b| $ A, Ce A r b) (partea dreapta).

Exemplu 3. 1. Să fie date două seturi A=(1; 3; 5; 7) și B=(2; 4; 6). Să stabilim relația după cum urmează t=(( X; y)Î A´ B | x+y=9). Această relație va consta din următoarele perechi (3; 6), (5; 4) și (7; 2), care pot fi scrise ca t=(((3; 6), (5; 4), (7;2). ) ). În acest exemplu D t=(3; 5; 7) și R t= B={2; 4; 6}.

Exemplu 3. 2. Relația de egalitate pe mulțimea numerelor reale este mulțimea r=(( X; y) | XȘi y– numere reale și X egală y). Există o notație specială pentru această relație: „=”. Domeniul definiției coincide cu domeniul valorilor și este mulțimea numerelor reale, D r= R r.

Exemplu 3. 3. Lăsa A– o mulțime de mărfuri în magazin, și B– multime de numere reale. Atunci j=(( X; y)Î A´ B | y- Preț X) – relație de mulțimi AȘi B.

Dacă acordați atenție exemplului 3.1., veți observa că această relație a fost specificată mai întâi sub forma t=(( X; y)Î A´ B | x+y=9), și apoi scris ca t=((3; 6), (5;4), (7;2)). Acest lucru sugerează că relațiile pe mulțimi (sau o mulțime) pot fi specificate în diferite moduri. Să ne uităm la modalități de a defini relațiile binare.

Metode de definire a relațiilor:

1) folosind un predicat potrivit;

2) un set de perechi ordonate;

3) în formă grafică: lit AȘi B– două mulțimi finite și r – o relație binară între ele. Elementele acestor multimi sunt reprezentate prin puncte de pe plan. Pentru fiecare pereche ordonată de relații, r desenează o săgeată care leagă punctele reprezentând componentele perechii. Un astfel de obiect se numește grafic dirijat sau digraf, punctele reprezentând elementele mulţimilor se numesc de obicei vârfuri ale graficului.

4) sub forma unei matrice: fie A={A 1, A 2, …, un) Și B={b 1, b 2, …, bm), r – raport pe A´ B. Reprezentarea matriceală r se numește matrice M=[mij] mărimea n´ m, definit de relaţiile

.

Apropo, reprezentarea matriceală este o reprezentare a unei relații într-un computer.

Exemplu 3. 4. Să fie date două seturi A=(1; 3; 5; 7) și B=(2; 4; 6). Relația este dată după cum urmează t=(( X; y) | x+y=9). Definiți această relație ca un set de perechi ordonate, un digraf, sub forma unei matrice.

Soluţie. 1) t=((3; 6), (5; 4), (7; 2)) - este o definiție a unei relații ca o mulțime de perechi ordonate;

2) graficul direcționat corespunzător este prezentat în figură.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">. ,

Exemplu 3. 5 . Ca exemplu, putem lua în considerare cele propuse J. von Neumann(1903 – 1957) diagrama bloc a unui calculator secvenţial, care constă din mai multe dispozitive M:

,

Unde A- dispozitiv de intrare, b– dispozitiv aritmetic (procesor), c- dispozitiv de control, d- Dispozitiv de memorie, e- dispozitiv de ieșire.

Să luăm în considerare schimbul de informații între dispozitive miȘi mj, care sunt în relaţia r dacă din aparat mi informațiile intră în dispozitiv mj.

Această relație binară poate fi definită prin listarea tuturor celor 14 perechi ordonate de elemente:

Digraful corespunzător care definește această relație binară este prezentat în figură:


Reprezentarea matricială a acestei relații binare este:

. ,

Pentru relațiile binare, operațiile teoretice de mulțimi sunt definite în mod obișnuit: unire, intersecție etc.


Să introducem un concept generalizat de relație.

Definiție 3.3. n-loc (n-ary ) relația r este o submulțime a produsului direct n mulţimi, adică un set de mulţimi ordonate ( tupluri )

rÍ A 1 Un={(A 1, …, un)| A 1О A 1Ù…Ù unÎ Un}

Este convenabil să definiți relații multi-loc folosind tabele relaționale . Această sarcină corespunde enumerarii setului n-la relatia r. Tabelele relaționale sunt utilizate pe scară largă în practica computerizată în bazele de date relaționale. Rețineți că tabelele relaționale sunt folosite în practica de zi cu zi. Toate tipurile de rapoarte de producție, financiare, științifice și de altă natură iau adesea forma unor tabele relaționale.

Cuvântul " relaționale„provine din cuvântul latin relație, care tradus în rusă înseamnă „atitudine”. Prin urmare, în literatură, litera este folosită pentru a desemna relația R(latină) sau r (greacă).

Definiție 3.4. Să rÍ A´ B există o atitudine faţă de A´ B. Atunci se numește raportul r-1 relatie inversa la un raport dat r de A´ B, care este definit după cum urmează:

r-1=(( b, A) | (A, b)Îr).

Definiție 3.5. Fie r Н A´ B există o atitudine faţă de A´ B, a s Н B´ C – atitudine față de B´ C. Compoziţie relaţii s și r se numește relația t Н A´ C, care este definit după cum urmează:

t=s◦r= (( A, c)| $bÎ B, ce (A, b)Îr Și (b, c)Este).

Exemplu 3. 6 . Lasă și C=(, !, d, a). Și fie raportul r A´ B iar raportul este activat B´ C sunt date sub forma:

r=((1, X), (1, y), (3, X)};

s=(( X,), (X, !), (y, d), ( y, à)}.

Găsiți r-1 și s◦r, r◦s.

Soluţie. 1) Prin definiție r-1=(( X, 1), (y, 1), (X, 3)};

2) Folosind definiția compoziției a două relații, obținem

s◦r=((1,), (1, !), (1, d), (1, a), (3,), (3, !)),

deoarece de la (1, X)Îr și ( X,)Îs urmează (1,)Îs◦r;

de la (1, X)Îr și ( X, !)Îs urmează (1, !)Îs◦r;

de la (1, y)Îr și ( y, d)Îs urmează (1, d)Îs◦r;

de la (3, X)Îr și ( X, !)Îs urmează (3, !)Îs◦r.

Teorema 3.1. Pentru orice relație binară sunt valabile următoarele proprietăți:

2) ;

3) - asociativitatea compoziţiei.

Dovada. Proprietatea 1 este evidentă.

Să demonstrăm proprietatea 2. Pentru a demonstra a doua proprietate, vom arăta că mulțimile scrise pe laturile stânga și dreapta ale egalității sunt formate din aceleași elemente. Lăsa ( A; b) О (s◦r)-1 Û ( b; A) О s◦r Û $ c astfel încât ( b; c) О r și ( c; A) О s Û $ c astfel încât ( c; b) О r-1 și ( A; c) О s-1 Ш ( A; b) О r -1◦s -1.

Demonstrați singur proprietatea 3.

3.2. Proprietățile relațiilor binare.

Să luăm în considerare proprietățile speciale ale relațiilor binare pe mulțime A.

Proprietățile relațiilor binare.

1. Raportul r on A´ A numit reflectorizant , Dacă ( A,A) aparține lui r pentru toate A din A.

2. Relația r se numește antireflex , dacă de la ( A,b)Îr urmează A¹ b.

3. Raportul r simetric , dacă pentru AȘi b aparținând A, din ( A,b)În rezultă că ( b,A)Îr.

4. Relația r se numește antisimetric , dacă pentru AȘi b din A, din apartenență ( A,b) Și ( b,A) relaţia r presupune că A=b.

5. Raportul r tranzitiv , dacă pentru A, bȘi c din A din faptul ca ( A,b)Îr și ( b,c)Îr, rezultă că ( A,c)Îr.

Exemplu 3. 7. Lăsa A=(1; 2; 3; 4; 5; 6). Pe această mulţime este dată relaţia rÍ A 2, care are forma: r=((1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2). ), (1; 4), (2; 1), (2; 4), (3; 5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)). Ce proprietăți are această relație?

Soluţie. 1) Această relație este reflexivă, deoarece pentru fiecare AÎ A, (A; A)Îr.

2) Relația nu este antireflexivă, deoarece condiția acestei proprietăți nu este îndeplinită. De exemplu, (2, 2)Îr, dar asta nu înseamnă că 2¹2.

3) Luați în considerare toate cazurile posibile, arătând că relația r este simetrică:

(A, b)Îr

(b, A)

(b, A)Îr?

4) Această relaţie nu este antisimetrică, întrucât (1, 2)Îr şi (2,1)Îr, dar nu rezultă de aici că 1=2.

5) Se poate arăta că relația r este tranzitivă folosind metoda enumerarii directe.

(A, b)Îr

(b, c)Îr

(A, c)

(A, c)Îr?

Cum se utilizează reprezentarea matriceală

determinați proprietățile unei relații binare

1. Reflexivitate: Toate sunt pe diagonala principală; zerourile sau unurile sunt indicate prin asteriscuri.

.

2. Antireflexivitate: Toate zerourile pe diagonala principală.

3. Simetrie: Dacă .

4. Antisimetrie: toate elementele din afara diagonalei principale sunt zero; pot exista și zerouri pe diagonala principală.

.

Operația „*” se efectuează conform următoarei reguli: , Unde , .

5. Tranzitivitate: Dacă . Operația „◦” se realizează după regula obișnuită de înmulțire și este necesar să se țină cont de: .

3.3 Relația de echivalență. Relație de ordine parțială.

Relația de echivalență este o formalizare a situației atunci când vorbim despre asemănarea (asemănarea) a două elemente ale unei mulțimi.

Definiție 3.6. Raportul este activat A Există relație de echivalență, daca reflexiv, simetric și tranzitiv. Relația de echivalență A r b adesea notat: A~ b.

Exemplu 3. 8 . Relația de egalitate pe mulțimea numerelor întregi este o relație de echivalență.

Exemplu 3. 9 . Relația „aceeași înălțime” este o relație de echivalență pe un set de oameni X.

Exemplu 3. 1 0 . Fie ¢ mulțimea numerelor întregi. Să numim două numere XȘi y de la ¢ comparabil ca modulm(mО¥) și scrieți , dacă restul acestor numere după împărțirea lor la m, adică diferența ( X-y) impartit de m.

Relația „comparabil în modul m numere întregi” este o relație de echivalență pe mulțimea numerelor întregi ¢. Într-adevăr:

această relație este reflexivă, deoarece pentru „ X΢ avem X-X=0 și, prin urmare, este divizibil cu m;

această relație este simetrică, deoarece dacă ( X-y) impartit de m, apoi ( y-X) este de asemenea divizibil cu m;

această relație este tranzitivă, deoarece dacă ( X-y) impartit de m, apoi pentru un număr întreg t 1 avem https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, de aici , adică ( X-z) impartit de m.

Definiție 3.7. Raportul este activat A Există relație de ordine parțială, daca reflexiv, antisimetric și tranzitivși este indicată prin simbolul °.

Ordinea parțială este importantă în situațiile în care vrem să caracterizăm cumva precedența. Cu alte cuvinte, decideți în ce condiții să considerați un element al mulțimii ca fiind superior altuia.

Exemplu 3. 11 . Atitudine X£ y există o relație de ordine parțială pe mulțimea numerelor reale. ,

Exemplu 3. 1 2 . In multimea submultimii unei multimi universale U atitudine AÍ B există o relație de ordine parțială.

Exemplu 3. 1 3 . Schema de organizare a subordonării într-o instituție este o relație de ordine parțială într-un set de posturi.

Prototipul unei relații de ordine parțială este conceptul intuitiv al unei relații de preferință (precedentă). O relație de preferințe identifică o clasă de probleme care pot fi combinate ca problema problema alegerii cel mai bun obiect .

Formularea problemei: să existe o colecție de obiecte Ași este necesar să le comparați în funcție de preferință, adică să setați relația de preferință pe mulțime Ași identificați cele mai bune obiecte.

Relația de preferințe P, care poate fi definit ca „ aPb, A, bÎ AÛ obiect A nu mai puțin preferabil decât obiectul b„este reflexiv și antisimetric în sens (fiecare obiect nu este mai rău decât el însuși și dacă obiectul A nici mai rău bȘi b nici mai rău A, atunci sunt aceleași ca preferință). Este firesc să presupunem că relația P tranzitiv (deși în cazul în care, de exemplu, preferințele sunt discutate de un grup de persoane cu interese opuse, această proprietate poate fi încălcată), i.e. P– relație de ordine parțială.

Una dintre modalitățile posibile de a rezolva problema comparării obiectelor prin preferință este variind , adică ordonarea obiectelor în conformitate cu preferințele sau echivalența descrescătoare. Ca urmare a clasamentului, identificăm obiectele „cele mai bune” sau „cele mai proaste” din punctul de vedere al relației de preferințe.

Domenii de utilizare probleme legate de problema alegerii celui mai bun obiect: teoria deciziei, matematică aplicată, tehnologie, economie, sociologie, psihologie.

Definiție. Relația binară R numit submult de perechi (a,b)∈R Produsul cartezian A×B, adică R⊆A×B. În același timp, mulți A se numeste domeniul de definitie al relatiei R, multimea B se numeste domeniul valorilor.

Denumire: aRb (adică a și b sunt în relație cu R). /

cometariu: dacă A = B, atunci se spune că R este o relație pe mulțimea A.

Metode de specificare a relațiilor binare

1. O listă (numerarea perechilor) pentru care această relație este valabilă.

2. Matrice. Relația binară R ∈ A × A, unde A = (a 1, a 2,..., a n), corespunde unei matrice pătrate de ordin n, în care elementul c ij, situat la intersecția i- rândul și j-a coloană, este egal cu 1 dacă există o relație R între a i și a j, sau 0 dacă este absentă:

Proprietățile relațiilor

Fie R o relație pe o mulțime A, R ∈ A×A. Atunci raportul R:

    reflexiv dacă Ɐ a ∈ A: a R a (diagonala principală a matricei relaţiilor reflexive conţine numai unele);

    antireflexiv dacă Ɐ a ∈ A: a R a (diagonala principală a matricei relațiilor reflexive conține doar zerouri);

    simetric dacă Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b Ra (matricea unei astfel de relații este simetrică față de diagonala principală, adică c ij c ji);

    antisimetric dacă Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (în matricea unei astfel de relații nu există unități simetrice față de diagonala principală);

    tranzitiv dacă Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c (în matricea unei astfel de relații trebuie îndeplinită condiția: dacă există o unitate în rândul i, de exemplu , în rândurile j-a de coordonate (coloană), adică c ij = 1, atunci toate unitățile din j-lea rând (fie ca aceste unități să corespundă k e coordonate astfel încât c jk = 1) trebuie să corespundă unităților din i- al-lea rând în aceleași k coordonate, adică c ik = 1 (și poate și în alte coordonate).

Sarcina 3.1. Determinați proprietățile relației R – „a fi divizor”, definită pe mulțimea numerelor naturale.

Soluţie.

raportul R = ((a,b):a divizor b):

    reflexiv, nu antireflexiv, deoarece orice număr se împarte fără rest: a/a = 1 pentru tot a∈N ;

    nu simetric, antisimetric, de exemplu, 2 este un divizor al lui 4, dar 4 nu este un divizor al lui 2;

    tranzitiv, deoarece dacă b/a ∈ N și c/b ∈ N, atunci c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, de exemplu, dacă 6/3 = 2∈N și 18/6 = 3∈N , atunci 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Problema 3.2. Determinați proprietățile relației R – „a fi frate”, definită pe un set de oameni.
Soluţie.

Relația R = ((a,b):a - fratele lui b):

    nu reflexiv, antireflexiv din cauza absenței evidente a aRa pentru toate a;

    nu simetric, deoarece in cazul general intre fratele a si sora b exista aRb, dar nu bRa;

    nu antisimetric, deoarece dacă a și b sunt frați, atunci aRb și bRa, dar a≠b;

    tranzitiv, dacă numiți frați pe oamenii care au părinți comuni (tată și mamă).

Problema 3.3. Determinați proprietățile relației R – „a fi șeful”, definită pe un set de elemente de structură

Soluţie.

Relația R = ((a,b): a este șeful lui b):

  • nu reflectorizant, antireflexiv, dacă nu are sens într-o anumită interpretare;
  • nu simetric, antisimetric, deoarece pentru toate a≠b aRb și bRa nu sunt satisfăcute simultan;
  • tranzitiv, deoarece dacă a este șef lui b și b este șef lui c, atunci a este șef lui c.

Determinați proprietățile relației R i definite pe mulțimea M i de către matrice dacă:

  1. R 1 „au același rest când se împarte la 5”; M 1 este mulțimea numerelor naturale.
  2. R 2 „a fi egal”; M 2 este mulțimea numerelor naturale.
  3. R 3 „locuiește în același oraș”; M 3 o mulțime de oameni.
  4. R 4 „a fi familiar”; M 4 o mulțime de oameni.
  5. R5 ((a,b):(a-b) - par; M 5 set de numere (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  6. R6 ((a,b):(a+b) - par; M6 set de numere (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  7. R7 ((a,b):(a+1) - divizor (a+b)); M 7 - set (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  8. R8 ((a,b):a - divizor (a+b),a≠1); M 8 este mulțimea numerelor naturale.
  9. R 9 „a fi soră”; M 9 - multă lume.
  10. R 10 „a fi fiică”; M 10 - o mulțime de oameni.

Operații pe relații binare

Fie R 1, R 1 relații definite pe mulțimea A.

    Uniune R1 ∪ R2: R1 ∪ R2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R1 sau (a,b) ∈ R2) ;

    intersecție R1 ∩ R2: R1 ∩ R2 = ((a,b): (a,b) ∈ R1 şi (a,b) ∈ R2) ;

    diferență R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 şi (a,b) ∉ R 2 ) ;

    atitudine universală U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

    plus R 1 U \ R 1, unde U = A × A;

    relatie identica I: = ((a;a) / a ∈ A);

    relatie inversa R -1 1 : R -1 1 = ((a,b): (b,a) ∈ R 1 );

    compoziţie R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), unde R 1 ⊂ A × C și R 2 ⊂C×B;

Definiție. Gradul de relație R pe o mulțime A este compoziția sa cu sine.

Desemnare:

Definiție. Dacă R ⊂ A × B, atunci se numește R º R -1 nucleul relației R .

Teorema 3.1. Fie R ⊂ A × A o relație definită pe mulțimea A.

  1. R este reflexiv dacă și numai dacă (în continuare se folosește semnul ⇔) când I ⊂ R.
  2. R simetric ⇔ R = R -1.
  3. R tranzitiv ⇔ R º R ⊂ R
  4. R este antisimetric ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
  5. R este antireflexiv ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Problema 3.4 . Fie R relația dintre mulțimile (1,2,3) și (1,2,3,4), dată prin enumerarea perechilor: R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)). În plus, S este relația dintre mulțimile S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Calculați R -1 , S -1 și S º R. Verificați dacă (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Soluţie.
R-1 = ((1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3));
S-1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4));
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)) = (S º R ) -1 .

Problema 3.5 . Fie R relația „...părinte...” și S relația „...frate...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Faceți o scurtă descriere verbală a relației:

R-1, S-1, RºS, S-1ºR-1 și RºR.

Soluţie.

R -1 - relația „...copil...”;

S -1 - relația „...frate sau soră...”;

R º S - relația „...părinte...”;

S -1 º R -1 - relația „...copil...”

R º R - relația „...bunica sau bunicul...”

Probleme de rezolvat independent

1) Fie R relația „...tată...” și S relația „...sora...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

R-1, S-1, RºS, S-1ºR-1, RºR.

2) Fie R relația „...frate...” și S relația „...mamă...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

R -1 , S -1 , S º R , R -1 º S -1 , S º S.

3) Fie R relația „...bunicul...” și S relația „...fiul...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

4) Fie R relația „...fiica...” și S relația „...bunica...” pe setul tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

5) Fie R relația „...nepoată...” și S relația „...tată...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

R -1 , S -1 , S º R , R -1 º S -1 , R º R .

6) Fie R relația „sora...” și S relația „mamă...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

R -1 , S -1 , R º S , S -1 º R -1 , S º S.

7) Fie R relația „...mamă...” și S relația „...sora...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

R -1 , S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Fie R relația „...fiul...” și S relația „...bunic...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

R -1 , S -1 , S º R , R -1 º S -1 , R º R .

9) Fie R relația „...sora...” și S relația „...tată...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

R -1 , S -1 , R º S , S -1 º R -1 , S º S.

10) Fie R relația „...mamă...” și S relația „...frate...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

R -1 , S -1 , S º R , R -1 º S -1 , R º R .

În viața de zi cu zi, trebuie să ne confruntăm constant cu conceptul de „relație”. Relațiile sunt una dintre modalitățile de a specifica relațiile dintre elementele unei mulțimi.

Relațiile unare (un loc) reflectă prezența unui singur atribut R în elementele mulțimii M (de exemplu, „a fi roșu” pe setul de bile dintr-o urnă).

Relațiile binare (cu două locuri) sunt folosite pentru a defini reciproc

conexiuni care caracterizează perechile de elemente dintr-o mulţime M.

De exemplu, pe un set de oameni pot fi definite următoarele relații: „locuiește în același oraș”, „ X lucrează sub îndrumarea y”, „a fi fiu”, „a fi mai mare”, etc. pe un set de numere: „număr A mai mult număr b", "număr A este un divizor al unui număr b", "numerele AȘi b dați același rest când se împarte la 3.”

În produsul direct, unde A- mulți studenți ai oricărei universități, B- o varietate de subiecte studiate, se poate identifica un subset mare de perechi ordonate (a, b), având proprietatea: „student A studiază subiectul b" Submulțimea construită reflectă relația „studii” care apare între seturi de elevi și obiecte. Numărul de exemple poate fi continuat

Relația dintre două obiecte este subiect de studiu în economie, geografie, biologie, fizică, lingvistică, matematică și alte științe.

Pentru o descriere matematică strictă a oricăror conexiuni între elementele a două mulțimi, este introdus conceptul de relație binară.

Relația binară între mulțimile A și Bse numește submulțime R a produsului direct. În cazul în care poți vorbi pur și simplu despre relație R pe A.

Exemplul 1. Notează perechile ordonate aparținând relațiilor binare R 1Și R 2, definite pe platouri AȘi : , . Subset R 1 este format din perechi: . Subset.

Domeniul R există un set de toate elementele din A astfel încât pentru unele elemente avem . Cu alte cuvinte, domeniul definiției R este mulțimea tuturor primelor coordonate ale perechilor ordonate de R.

Sensuri multiple relaţie R dar sunt multe dintre toate astfel încât pentru unii . Cu alte cuvinte, multe sensuri R este mulțimea tuturor coordonatelor secunde ale perechilor ordonate de R.

În exemplul 1 pentru R 1 domeniu de definiție: , set de valori - . Pentru R 2 domeniu de definiție: , set de valori: .

În multe cazuri, este convenabil să se folosească o reprezentare grafică a unei relații binare. Acest lucru se face în două moduri: folosind puncte din plan și folosind săgeți.

În primul caz, sunt alese două linii reciproc perpendiculare ca axe orizontale și verticale. Elementele multimii sunt trasate pe axa orizontala Ași trageți o linie verticală prin fiecare punct. Elementele setului sunt trasate pe axa verticală B, trageți o linie orizontală prin fiecare punct. Punctele de intersecție ale liniilor orizontale și verticale reprezintă elementele unui produs direct.

Exemplul 5. Lăsa , .

Lăsa R 1 definite prin enumerarea perechilor ordonate: . Relație binară R 2 pe un set se specifică folosind regula: o pereche este ordonată dacă A impartit de b. Apoi R 2 este format din perechi: .

Relații binare, din exemplul 2, R 1Și R 2 sunt prezentate grafic în Fig. 6 și Fig.7.

Orez. 6 Fig. 7

Pentru a descrie o relație binară folosind săgeți, elementele setului sunt reprezentate în stânga ca puncte A, în dreapta - seturi B. Pentru fiecare pereche (a, b) cuprinse în relaţia binară R, săgeata este trasă din A La b, . Reprezentarea grafică a unei relații binare R 1 dat în exemplul 6 este prezentat în Fig. 8.

Fig.8

Relațiile binare pe mulțimi finite pot fi specificate prin matrice. Să presupunem că ni se oferă o relație binară Rîntre seturi AȘi B. , .

Rândurile matricei sunt numerotate după elementele mulțimii A, iar coloanele sunt elemente ale multimii B. Celula matriceală la intersecție i- oh linii și j Coloana a treia este de obicei notată cu C ij și este completată după cum urmează:

Matricea rezultată va avea dimensiunea .

Exemplul 6. Să fie dat un set. Pe un set, definiți o relație cu o listă și o matrice R- „a fi strict mai puțin.”

Atitudine R cum o mulțime conține toate perechile de elemente ( A, b) din M astfel încât .

Matricea de relații construită conform regulilor de mai sus are următoarea formă:

Proprietățile relațiilor binare:

1. Relație binară R pe un platou este numit reflectorizant, dacă pentru orice element A din M pereche (a, a) aparține R, adică este valabil pentru oricine A din M:

Relațiile „trăiesc în același oraș”, „studiază la aceeași universitate”, „nu mai fii” sunt reflectorizante.

2. Se numește o relație binară antireflex, dacă nu are proprietatea de reflexivitate pentru niciunul A:

De exemplu, „a fi mai mare”, „a fi mai tânăr” este relații anti-reflex.

3. Relație binară R numit simetric, dacă pentru orice elemente AȘi b din M din ce cuplu (a, b) aparține R... rezultă că cuplul (b, a) aparține R, adică

Simetric paralelismul dreptelor, deoarece daca atunci // . Relație simetrică„a fi egal” pe orice mulțime sau „a fi coprim pe N”.

Relația R este simetrică dacă și numai dacă R=R -1

4. Dacă pentru elementele care nu se potrivesc relația este adevărată, dar falsă, atunci relația antisimetric. Poți spune altfel:

Relațiile sunt antisimetrice„a fi mai mare”, „a fi împărțitor cu N”, „a fi mai tânăr”.

5. Relație binară R numit tranzitiv, dacă pentru oricare trei elemente din acele perechi (a, b)Și (b,c) aparține R, rezultă că perechea (a, c) aparține R:

Relațiile sunt tranzitive: „a fi mai mare”, „a fi paralel”, „a fi egal”, etc.

6. Relație binară R antitranzitiv, dacă nu are proprietatea de tranzitivitate.

De exemplu, „a fi perpendicular” pe un set de drepte ale unui plan ( , , dar nu este adevărat că ).

Deoarece Întrucât o relație binară poate fi specificată nu numai printr-o listă directă de perechi, ci și printr-o matrice, este recomandabil să aflăm ce caracteristici caracterizează matricea relației R, dacă este: 1) reflexiv, 2) antireflexiv, 3) simetric, 4) antisimetric, 5) tranzitiv.

Lăsa R setat la , .R fie este executat în ambele direcții, fie nu este executat deloc. Astfel, dacă matricea conține una la intersecție i- oh linii și j- a coloana, adică C ij=1, atunci trebuie să fie la intersecție j- oh linii și i- a coloana, adică C ji=1, și invers, dacă C ji=1, atunci C ij=1. Prin urmare, matricea relațiilor simetrice este simetrică față de diagonala principală.

4. R antisimetric dacă și urmează: . Aceasta înseamnă că în matricea corespunzătoare pentru nr i, j neexecutat C ij =C ji=1. Prin urmare, în matricea raportului antisimetric nu există unități care să fie simetrice față de diagonala principală.

5. Se numește o relație binară R pe o mulțime nevide A tranzitiv Dacă

Condiția de mai sus trebuie îndeplinită pentru orice elemente ale matricei. Și, invers, dacă în matrice R există cel puțin un element C ij=1, pentru care această condiție nu este îndeplinită, atunci R nu tranzitiv.

Limbajul T-SQL din SQL Server se bazează pe limbajul SQL standard, care se bazează pe modelul relațional, care, la rândul său, se bazează pe baze matematice, cum ar fi teoria mulțimilor și logica predicatelor. Acest articol examinează un subiect fundamental din teoria mulțimilor: proprietățile relațiilor pe mulțimi. Cititorii pot folosi codurile T-SQL propuse pentru a verifica prezența anumitor proprietăți ale anumitor relații. Cu toate acestea, puteți încerca și să scrieți propriile versiuni de scripturi (pentru a determina dacă o relație are o anumită proprietate) înainte de a aplica soluțiile descrise în acest articol.

Seturi și relații

Georg Cantor, creatorul teoriei mulțimilor, definește o mulțime ca „uniunea într-un anumit întreg M a unei colecții de anumite obiecte clar distinse m ale contemplației sau gândirii noastre (care vor fi numite elemente ale mulțimii M). Elementele unei mulțimi pot fi obiecte de natură arbitrară: oameni, numere și chiar mulțimile în sine. Simbolurile ∈ și ∉ denotă, respectiv, operatori care reflectă apartenența (apariția, apartenența) și neappartenarea unui element într-o mulțime. Astfel, notația x ∈ V înseamnă că x este un element al mulțimii V, iar notația x ∉ V înseamnă că x nu este un element al lui V.

O relație binară pe o mulțime este o mulțime de perechi ordonate de elemente ale mulțimii inițiale. Astfel, pentru o mulțime de elemente V = (a, b, c), o relație binară R pe o mulțime dată V va fi o submulțime arbitrară a mulțimii tuturor perechilor ordonate ale produsului cartezian V × V = ((a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c) ). Relația R = ((a, b), (b, c), (a, c)) este o relație binară valabilă pe V. Putem spune că a este legat de b de către R. Să presupunem că R = ((a , b ), (b, c), (c, d)). Un astfel de R nu este o relație admisibilă pe V, deoarece perechea (c, d) nu aparține produsului cartezian V × V. Rețineți că ordinea în care sunt specificate elementele incluse în mulțime nu este importantă. Mulțimea V poate fi specificată ca (a, b, c) sau ca (b, a, c) și așa mai departe. Totuși, ordinea în perechi ordonate, cum ar fi (a, b) a unei relații binare, este importantă; astfel (a, b) ≠ (b, a).

Ca exemplu mai realist de relație binară, luați în considerare setul F de membri ai familiei: (Itsik, Mickey, Inna, Mila, Gabi). Mickey este fratele geamăn al lui Itzik, Inna este sora lui mai mare, Mila este mama lui, iar Gabi este tatăl lui. Un exemplu de relație R pe o mulțime F ar fi: „este un frate”. Elementele acestei relații sunt ((Itsik, Mickey), (Mickey, Itzik), (Itsik, Inna), (Mickey, Inna)). Observăm că perechea ordonată (Itsik, Inna) apare în R, dar perechea (Inna, Itsik) nu. Deși Itzik este fratele Innei, ea nu este fratele lui.

Proprietăți ale relațiilor pe mulțimi

Acum că ne-am reîmprospătat înțelegerea mulțimilor și relațiilor, să trecem la subiectul articolului - proprietățile relațiilor pe mulțimi. De exemplu date, utilizați codul din Lista 1 pentru a crea tabele V și R. V va reprezenta o mulțime, iar R va reprezenta o relație binară pe aceasta. Utilizați codul din Lista 2 pentru a crea o procedură ClearTables care va șterge ambele tabele de înregistrări înainte de a le popula cu date noi eșantion. În cele din urmă, utilizați codul din Listările 3, 4 și 5 pentru a completa tabelele V și R cu diferite seturi de date pentru testare (le vom numi date eșantion 1, 2 și, respectiv, 3).

Reflexivitate. O relație R pe o mulțime V este reflexivă dacă pentru orice element v al mulțimii V, v ∈ V, rezultă că (v, v) ∈ R, adică perechea (v, v) aparține întotdeauna lui R. Și relația R pe V nu este reflexivă , dacă există un element v ∈ V astfel încât perechea (v, v) ∉ R. Luăm din nou exemplul mulțimii F - membrii familiei mele.

Relația „a avea aceeași vârstă ca” pe F este evident reflexivă. Elementele relației vor fi următoarele perechi: ((Itsik, Itsik), (Itsik, Mickey), (Mickey, Mickey), (Mickey, Itzik), (Inna, Inna), (Mila, Mila), (Gabi , Gabi)).

Să începem să scriem o interogare T-SQL pe tabelele V și R (reprezentând o mulțime și o relație pe această mulțime), verificând dacă R este reflexiv:

SELECTAȚI
CAZ
CÂND EXISTĂ
(SELECT v, v FROM dbo.V
CU EXCEPTIA
SELECTARE r1, r2 FROM dbo.R)
Atunci nu"
ELSE "Da"
TERMINAT CA reflexiv

Prima subinterogare din operațiunea EXCEPT returnează setul tuturor perechilor ordonate (v, v) pentru toate rândurile din tabelul V. A doua subinterogare returnează setul de perechi ordonate (r1, r2) - toate rândurile din tabelul R. Operația EXCEPT va returna astfel toate perechile ordonate aparute in primul si care lipsesc in al doilea set. Predicatul EXISTS este necesar pentru a verifica existența a cel puțin unei înregistrări în setul de rezultate. Dacă există cel puțin o astfel de înregistrare, atunci expresia CASE va returna „Nu” (fără reflexivitate), dar și „Da” în caz contrar (există reflexivitate).

Aruncați o privire la cele trei exemple de seturi de date din Listările 3, 4 și 5 și încercați să determinați care dintre ele ar avea o relație de reflectare fără a rula o interogare. Răspunsurile sunt date în continuare în textul articolului.

Ireflexiv. O relație R pe o mulțime V se numește ireflexivă (a nu se confunda cu non-reflexivitate) dacă pentru fiecare element v ∈ V rezultă că (v, v) ∉ R. O relație nu este ireflexivă dacă există un element v ∈ V pentru care (v, v) ∈ R. Un exemplu de relație ireflexivă pe mulțimea F a membrilor familiei mele este relația „a fi părinte”, deoarece nicio persoană nu poate fi propriul părinte. Membrii acestei relații pe F vor fi următoarele perechi: ((Mila, Itzik), (Mila, Mickey), (Mila, Inna), (Gabi, Itzik), (Gabi, Mickey), (Gabi, Inna)) .

Următoarea interogare verifică dacă relația R pe V este ireflexivă:

SELECTAȚI
CAZ
CÂND EXISTĂ
(SELECT * FROM dbo.R
UNDE r1 = r2)
Atunci nu"
ELSE "Da"
TERMINAT CA ireflexiv

Cheile străine în definiția tabelului R au fost introduse pentru a se asigura că numai elementele lui V pot alcătui atributele r1 și r2 ale unei înregistrări R. Astfel, tot ce rămâne este să verificăm dacă există înregistrări în R cu atributele r1 și r2 potrivite. r2. Dacă se găsește o astfel de intrare, relația R nu este ireflexivă; dacă nu există o intrare, este ireflexivă.

Simetrie. O relație R pe o mulțime V se numește simetrică dacă, împreună cu (r1, r2) ∈ R, (r2, r1) ∈ R este întotdeauna satisfăcută. Relația nu este simetrică dacă există o pereche (r1, r2) ∈ R pentru care (r2, r1) ∉ R. Pe mulțimea F a membrilor familiei Ben-Gan, relația „este un frate al” ar fi un exemplu de relație simetrică. Perechile acestei relații vor fi următoarele seturi: ((Itsik, Mickey), (Itsik, Inna), (Mickey, Itzik), (Mickey, Inna), (Inna, Itzik), (Inna, Mickey)).

Următoarea interogare verifică dacă relația R la V este simetrică:

SELECTAȚI
CAZ
CÂND EXISTĂ
(SELECTARE r1, r2 FROM dbo.R
CU EXCEPTIA
SELECTARE r2, r1 FROM dbo.R)
Atunci nu"
ELSE "Da"
TERMINAT CA simetric

Codul de solicitare folosește operațiunea EXCEPT. Prima subinterogare a operațiunii EXCEPT returnează un set de perechi ordonate (r1, r2) - înregistrări ale tabelului R, iar a doua - un set de perechi ordonate (r2, r1) pentru fiecare înregistrare a lui R. Dacă relația R pe setul V nu este simetric, atunci operația EXCEPT va returna un set de rezultate nevid, iar predicatul EXISTS, respectiv, valoarea TRUE și, în final, expresia CASE va returna „Nu”.

Dacă relația este simetrică, atunci expresia CASE va da „Da”.

Asimetrie. O relație R pe o mulțime V este asimetrică (această proprietate nu trebuie confundată cu asimetria) dacă pentru fiecare mulțime (r1, r2) ∈ R, în care r1 ≠ r2, este adevărat că (r2, r1) ∉ R. O exemplu de relație asimetrică pe o mulțime F membrii familiei autorului vor avea relația „a fi părinte” descrisă mai sus. Ca exercițiu, încercați să veniți cu un exemplu de relație pe o mulțime nevidă care este atât simetrică, cât și asimetrică. Consultați exemplele de date din acest articol pentru o soluție.

SELECTAȚI
CAZ
CÂND EXISTĂ
(SELECTARE r1, r2 FROM dbo.R WHERE r1 r2
INTERSECT
SELECTAȚI r2, r1 FROM dbo.R WHERE r1 r2)
Atunci nu"
ELSE "Da"
END AS asimetric

Codul folosește operația INTERSECT. Prima subinterogare din această operație returnează perechea ordonată (r1, r2) pentru fiecare înregistrare a tabelului R în care r1 r2.

A doua subinterogare a operației INTERSECT returnează perechea ordonată (r2, r1) pentru fiecare înregistrare a tabelului R în care r1 r2. Dacă setul de rezultate (rezultatul intersecției acestor mulțimi) include cel puțin o înregistrare, aceasta va însemna că R nu este asimetric; altfel R este asimetric.

Tranzitivitatea. O relație R pe o mulțime V este tranzitivă dacă incluziunile (a, b) ∈ R și (b, c) ∈ R implică întotdeauna că (a, c) ∈ R. Un exemplu de relație tranzitivă pe o mulțime de membri ai familiei F ar fi relația „este un frate sau o soră” despre care am discutat mai sus.

Codul de mai jos testează tranzitivitatea relației R:

SELECTAȚI
CAZ
CÂND EXISTĂ
(SELECTAȚI *
DIN dbo.R AS RA
INNER JOIN dbo.R AS RB
PE RA.r2 = RB.r1
LEFT OUTER JOIN dbo.R AS RC
PE RA.r1 = RC.r1 SI RB.r2 = RC.r2
UNDE RC.r1 ESTE NUL)
Atunci nu"
ELSE "Da"
END CA tranzitiv

Codul folosește mai întâi o îmbinare interioară între două instanțe de R pentru a selecta doar acele rânduri în care r2 în prima instanță se potrivește cu r1 în a doua instanță. În al doilea rând, codul folosește o îmbinare exterioară stângă cu a treia instanță a tabelului R, conform căreia r1 din prima instanță a lui R este același cu r1 din a treia instanță, iar r2 din a doua instanță este același cu r2 din instanță. al treilea. Dacă există cel puțin un rând de rezultat în subinterogarea interioară (condiția de selecție pentru a treia instanță: r1 este Null), aceasta înseamnă că relația nu este tranzitivă; în caz contrar relaţia R este tranzitivă.

Relația de echivalență. O relație de echivalență este o relație care are simultan proprietățile de reflexivitate, simetrie și tranzitivitate. Puteți utiliza interogările sugerate mai sus pentru a verifica separat prezența fiecărei proprietăți: dacă o relație le are pe toate trei, atunci ar trebui să concluzionăm că o relație de echivalență este valabilă. În plus, puteți utiliza codul din Lista 6 pentru a testa toate proprietățile unei relații R pe o mulțime V care au fost discutate mai devreme în articol, inclusiv testarea proprietății de a fi o relație de echivalență. Dacă rulați Lista 6 pe eșantion de date 1, 2 și 3 (derivate din Listările 3, 4 și, respectiv, 5), veți obține rezultatele afișate în Tabelele 1, 2 și, respectiv, 3.

Revenirea la elementele de bază T-SQL

Astfel, am examinat un subiect fundamental din teoria matematică a mulțimilor: proprietățile relațiilor pe mulțimi. Am propus coduri de testare T-SQL pentru a testa proprietățile unei relații reprezentate de tabelul R (perechi ordonate de elemente) pe setul de elemente reprezentat de tabelul V.

Utilizarea constructelor de bază T-SQL ne-a ajutat să configuram și să aplicăm corect instrumentele acestui limbaj pentru o mai bună înțelegere a proprietăților relațiilor pe mulțimi.

Itzik Ben-Gan ( [email protected]) - profesor și consultant, autor de cărți despre T-SQL, are titlul de SQL Server MVP