Marrëdhëniet binare dhe shembujt e zgjidhjes së pronave të tyre. Marrëdhënie binare. Shembuj të marrëdhënieve binare. Marrëdhëniet binare dhe pronat e tyre

për marrëdhënien e rendit jo të zoti:

h.X. - e vërtetë (refleksiviteti);

hu dhe wow x \u003d- (antisimmetri);

x y dhe z x x z.- (transitivitet).

Shume nga X.i quajtur urdhëruar nëse ka dy elemente h.dhe w.ky grup është i krahasueshëm, i.e., nëse një nga kushtet është kryer për ta: h.< u, H.= u, W.< x.

Set i urdhëruar quhen një tuple. Në rastin e përgjithshëm, tuple është një sekuencë elementesh, i.e., grupi i elementeve në të cilat secili element zë një vend krejtësisht të caktuar. Elementet e grupit të urdhëruar quhen komponentët e tuple. Shembuj të korteksit mund të jenë një sekuencë e urdhëruar e progresioneve aritmetike ose gjeometrike, një sekuencë e operacioneve teknologjike në prodhimin e një produkti radio-elektronik, një sekuencë të rregullt të pozicioneve të instalimit të bordit të printuar të qarkut për fiksimin e elementeve strukturore.

Në të gjitha këto grupe, vendi i secilit element është i përcaktuar plotësisht dhe nuk mund të ndryshojë në mënyrë arbitrare.

Kur përdorni informacionin e projektimit për kompjuterët, raportet e dominimit shpesh përdoren. Ata thonë këtë xxdominon uxi.E. x \u003e\u003e y,nëse artikulli h.në diçka superiore (ka një prioritet) element w.të të njëjtit grup. Për shembull, nën h.ju mund të kuptoni një nga listat e të dhënave, të cilat duhet të pranohen për përpunimin e parë. Kur analizoni disa struktura të arsyeshme, disa prej tyre duhet t'u jepet prioritet, pasi që ky dizajn ka më të mirën, nga këndvështrimi ynë, pronat sesa të tjerët, i.E. Dizajni h.dominon Design y

Prona e tranzicionit nuk ka hapësirë. Në të vërtetë, nëse, për shembull, dizajni h.për çdo parametrat e një parametra të preferuar y,dhe dizajn w.sipas çdo parametra të tjerë, preferon Z harton, atëherë nuk e ndjek akoma planet h.duhet të jepet preferencë në krahasim me dizajnin g.

Përcakton ekranet. Një nga konceptet themelore të teorisë së caktuar është koncepti i ekranit. Nëse janë specifikuar dy grupe jo të zbrazëta X.dhe Y,pastaj ligji sipas të cilit secili element x X.vënë në përputhje me elementin , i quajtur harta e qartë X.në Y.ose një funksion të përcaktuar në x dhe vlerën e marrjes Y.

Në praktikë, është e nevojshme të merren me mappings shumëvjeçare të grupeve X.në grup Y,të cilat përcaktojnë ligjin sipas të cilit çdo element xxvendoseni në përputhje me disa nëngrup , quajtur artikujt e mënyrës. Rastet janë të mundshme kur GH \u003d 0.

Le të jepet një nëngrup Sëpatë.Për këdo harrugë h.është një nëngrup . Një kombinim i të gjitha elementeve Y,janë imazhe për të gjithë x në njëpretendojnë një mënyrë të caktuar Pordhe ne do të tregojmë Ha.Në këtë rast

Marrëdhënie binare.

Le të jenë një dhe B të jenë grupe arbitrare. Merrni një element nga secili grup, dhe nga A, B nga B dhe shkruani ato si kjo: (Së pari, elementi i grupit të parë, atëherë elementi i grupit të dytë - domethënë, ne jemi të rëndësishëm për rendin në të cilin merren elementet). Një objekt i tillë do të thirret palë të urdhëruara. I barabartë Ne do të shqyrtojmë vetëm ato çifte që kanë elemente me të njëjtat numra janë të barabartë. = nëse a \u003d c dhe b \u003d d. Natyrisht, nëse një ≠ b, atëherë ≠ .

Punë cartesian Sets arbitrar A dhe B (shënuar: ab) të quajtur një grup të përbërë nga të gjitha avull të mundshëm të porositur, elementi i parë i të cilit i përket një, dhe i dyti i takon B. sipas përkufizimit: ab \u003d ( | AA dhe BB). Natyrisht, nëse një ≠ b, atëherë ab ≠ ba. Cartesovo punon për të vendosur një vetë të quajtur n herë diplomë Cartesian A (nënkupton: një n).

Shembull 5. Le të a \u003d (x, y) dhe b \u003d (1, 2, 3).

Ab \u003d ( , , , , , }.

BA \u003d (<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

Aa \u003d a 2 \u003d ( , , , }.

Bb \u003d b 2 \u003d (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

Qëndrim binar Në set m, një shumëllojshmëri të disa palë të urdhëruara të elementeve të grupit M. nëse r është qëndrim binar dhe avull i takon kësaj marrëdhënieje, pastaj shkruani: R ose x r y. Natyrisht, r í m 2.

Shembulli 6. Set (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) është një qëndrim binar në grup (1, 2, 3, 4, 5).

Shembulli 7. Raporti ³ në një pluralitet të numrave të plotë është një qëndrim binar. Ky është një grup i pafund i çifteve të porositura ku x ³ y, x dhe y janë integers. Kjo marrëdhënie i takon, për shembull, çifte<5, 3>, <2, 2>, <324, -23> dhe nuk i përkasin çifteve<5, 7>, <-3, 2>.

Shembull 8. Raporti i barazisë në grupin A është një raport binar: i a \u003d ( | x î a). Unë një quajtur diagonal Sets A.

Meqenëse grupet binare janë grupe, ato janë të zbatueshme për operacionet e shoqatës, kryqëzimin, shtesat dhe dallimet.

Definicion zonë Raporti binar r është quajtur Set D (r) \u003d (x | ka një y që xry). Zona e vlerave Raporti binar është quajtur SET R (R) \u003d (Y | Ka një X XRY).

Lidhje i anasjellë në raportin binar r í m 2, quhet raporti binar r -1 \u003d ( | Î R). Natyrisht, D (r -1) \u003d r (r), r (r -1) \u003d d (r), r - 1 í m 2.

Përbërje Marrëdhëniet binare R1 dhe R2 të specifikuara në set m quhen raporti binar r 2 o r 1 \u003d ( | Nuk është y tillë që Î r 1 dhe Í R 2). Natyrisht, R2 o R1 í m 2.

Shembull 9. Le raporti binar i r të vendosur në set m \u003d (a, b, c, d), r \u003d ( , , , ). Atëherë d (r) \u003d (a, c), r (r) \u003d (b, c, d), r -1 \u003d ( , , , ), R o r \u003d ( , , , ), R -1 o r \u003d ( , , , ), R o r -1 \u003d ( , , , , , , }.

Le të jetë një qëndrim binar në Set M. Raporti R është quajtur reflektuesNëse x r x për çdo X î M. Raporti R është quajtur simetrikNëse me çdo palë Ajo përmban një çift . Raporti r është quajtur kalimtarNëse nga fakti se x r y dhe y r z ndjek atë x r z. Raporti r është quajtur antisismetrikNëse nuk përmban një palë në të njëjtën kohë dhe Elemente të ndryshme x ¹ y Set M.

Ne tregojmë kriteret për kryerjen e këtyre pronave.

Raporti binar r në kon refleksivisht të vendosur dhe vetëm nëse unë jam.

Raporti binar r është simetrik atëherë dhe vetëm nëse R \u003d R -1.

Raporti binar r në set m është antisismetric nëse dhe vetëm nëse r deri r -1 \u003d unë m.

Raporti binar r është transitivisht nëse dhe vetëm nëse r o r.

Shembulli 10. Raporti i shembullit 6 është antisimetrik, por nuk është simetrik, refleksiv dhe transitive. Raporti i Shembullit 7 është refleksiv, antisimetrik dhe kalimtar, por nuk është simetrik. Raporti i A ka të katër pronat në fjalë. Raportet r -1 o r dhe r o r -1 janë simetrike, kalimtare, por nuk janë antisimetrike dhe refleksive.

Lidhje ekuivalencë Në set M quhet transitive, simetrike dhe refleksive në qëndrimin binar m.

Lidhje gjendje e pjesshme Në grupin m quhet transitive, antisimetrike dhe refleksive në raportin binar M R.

Shembulli 11. Raporti i Shembullit 7 është një raport i pjesshëm i rendit. Raporti I A është raporti i ekuivalencës dhe rendit të pjesshëm. Raporti i paralelizmit në grupin e drejtpërdrejtë është raporti i ekuivalencës.

Prona të marrëdhënieve:

1) refleksivitet;

2) simetri;

3) transitiviteti.

4) lidhjen.

Qëndrim R. Në grup H. i quajtur refleksiv Nëse për çdo element të grupit H. Mund të themi se është në lidhje me R. Me veten time: h.Rx. Nëse raporti është refleksiv, atëherë në çdo kulm ka një lak. Dhe mbrapa, grafiku, çdo kulm i të cilave përmban një lak, është një grafik i një marrëdhënie refleksive.

Shembuj të marrëdhënieve refleksive janë dhe raporti i "shumëfishtë" në grupin e numrave natyrorë (çdo numër i shumëfishtë), dhe qëndrimi i ngjashmërisë së trekëndëshit (çdo trekëndësh është i ngjashëm me vetveten), dhe qëndrimi i "barazisë" "(çdo numër në mënyrë të barabartë) dhe të tjerët.

Ka marrëdhënie që nuk kanë pasurinë e refleksivitetit, për shembull, raporti i perpendikimit të segmenteve: aB, BA. (Nuk ka një segment të vetëm që mund të thuhet se ai është pingul me veten) . Prandaj, nuk ka lak në kolonën e kësaj marrëdhënieje.

Nuk ka pasurinë e refleksivitetit dhe raportit "më të gjatë" për segmentet, "më shumë nga 2" për numrat natyrorë etj.

Qëndrim R. Në grup H.i quajtur antireflemissivNëse për ndonjë element nga grupi H.gjithmonë të rreme h.RX: .

Ka vlerësime që nuk janë as refleksive apo antireflem. Një shembull i një marrëdhënie të tillë është qëndrimi "pikë h. Pikë simetrike w.i lidhur l.", Të specifikuara në grupin e pikave të avionit. Në të vërtetë, të gjitha pikat janë të drejtpërdrejta l. simetrik, dhe pikat që nuk qëndrojnë në një të drejtë l, vetë nuk jemi simetrik.

Qëndrim R.në grup H. i quajtur simetrik, Nëse gjendja është e kënaqur: nga ajo që elementi h. është në lidhje me elementin y., rrjedh se elementi y. E vendosur në të drejtën R. me element x:xryyrx.

Grafiku i një marrëdhënie simetrike ka tiparin e mëposhtëm: së bashku me çdo shigjetë që vjen nga h. për të y., grafiku përmban një shigjetë që vjen nga y. për të h. (Figura 35).

Shembuj të marrëdhënieve simetrike mund të jenë si më poshtë: raporti i "paralelizmit" të segmenteve, raporti i "pingulimit" të segmenteve, raporti i "barazisë" të segmenteve, raporti i ngjashmërisë së trekëndëshave, raporti i "barazisë" fraksionet, etj.

Ka marrëdhënie që nuk kanë një pronë simetri.

Në të vërtetë, nëse segmenti h. Prerje e gjatë w., pastaj prerë w. nuk mund të jetë segment më i gjatë h.. Grafiku i kësaj marrëdhënieje ka një veçori: shigjeta që lidh vertices drejtohet vetëm në një drejtim.

Qëndrim R. Thirrje antisismetrikNëse për ndonjë element h. dhe y.nga e vërteta xryndjek. yRX :: Xryyrx.

Përveç lidhjes "më gjatë" në grupin e segmenteve ka marrëdhënie të tjera antisimetrike. Për shembull, raporti "më shumë" për numrat (nëse h. më shumë w.T. w. nuk mund të jetë më shumë h.), raporti "më shumë" dhe të tjerët.

Ka marrëdhënie që nuk kanë një pronë simetri, as pronë e antisimetrisë.

Raporti r në grupin H.thirrje kalimtar Nëse nga fakti se elementi h. E vendosur në të drejtën R. me element y, Dhe element y. E vendosur në të drejtën R. me element z., Rrjedh se elementi h. E vendosur në të drejtën R. me element z.: xry dhe yrz.xrz.

Numërimi i marrëdhënieve kalimtare me çdo palë shigjeta që vijnë nga h. për të y. dhe nga y. për të z., Ajo përmban një shigjetë që vjen nga h.për të z.

Marrëdhënia e tranzicionit ka raportin "më të gjatë" në grupin e segmenteve: nëse segmenti por Prerje e gjatë b., Seksioni b.prerje e gjatë nga, pastaj prerë porprerje e gjatë nga. Raporti i "barazisë" në grupin e segmenteve gjithashtu ka pasurinë e tranzicionit: (A \u003d.b, b \u003d c) (a \u003d c).

Ka marrëdhënie që nuk kanë pasurinë e tranzicionit. Një qëndrim i tillë është, për shembull, qëndrimi i perpendikarit: nëse segmenti por Pingul me segmentin b.dhe prerë b. Pingul me segmentin nga, pastaj segmente por dhe nga Jo pingul!

Ekziston një pronë tjetër e marrëdhënieve, e cila quhet pronë e lidhjes, dhe qëndrimi që posedon ata quhet i lidhur.

Qëndrim R. Në grup H. i quajtur i lidhur Nëse për ndonjë element h. dhe y. Një kusht është i kënaqur nga ky grup: nëse h. dhe y. ndryshe, pastaj ose h. E vendosur në të drejtën R. me element y.ose element y. E vendosur në të drejtën R. me element h.. Me ndihmën e karaktereve mund të shkruhet si: xy. Xry ose yRX.

Për shembull, prona e marrëdhënieve ka raportin e "më shumë" për numrat natyrorë: për çdo numër të ndryshëm x dhe y, mund të argumentohet ose x\u003e y.ose y\u003e x.

Në kolonën e marrëdhënies së lidhur, çdo dy vertices janë të lidhura nga një shigjetë. Deklaratë e drejtë dhe e kundërt.

Ka marrëdhënie që nuk kanë pasurinë e lidhjes. Një qëndrim i tillë, për shembull, është lidhja e ndarjes në një grup numrash natyrore: ju mund të telefononi numra të tillë x dhe y.asnjë numër h.nuk është një numër ndarës y.as një numër y. nuk është një numër ndarës h.(Numra 17 dhe 11 , 3 dhe 10 etj) .

Shqyrtoni disa shembuj. Në grup X \u003d (1, 2, 4, 8, 12) Raporti "numri h.numri i bojës y." Ne ndërtojmë grafikun e kësaj marrëdhënieje dhe formulojmë pronat e saj.

Raporti i barazisë së fraksioneve flet, është raporti i ekuivalencës.

Qëndrim R. Në grup H. i quajtur lidhje ekuivalente Nëse njëkohësisht ka pasurinë e refleksivitetit, simetrisë dhe transitivitetit.

Shembuj të marrëdhënieve ekuivalente përfshijnë: marrëdhënien e figurave gjeometrike, raportin e paralelizmit të drejtpërdrejtë (me kusht që linjat e drejta që përputhen të konsiderohen paralel).

Në raportin e "barazisë së fraksioneve", shumë H.thyen në tre subsets: ( ; ; }, {; } , (). Këto subset nuk ndërpriten, dhe shoqata e tyre përkon me shumë H.. Ne kemi një ndarje të shumë klasave.

Kështu që, nëse raporti i ekuivalencës është i specifikuar në grupin X, gjeneron ndarjen e këtij grupi në bashkimet e shpërndarjes së palëve - klasa ekuivalente.

Pra, kemi gjetur se lidhja e barazisë në grup
H.\u003d (;;;;) korrespondon me ndarjen e këtij grupi në klasat e ekuivalencës, secila prej të cilave përbëhet nga fraksione të barabarta.

Parimi i ndarjes së caktuar në klasa me një marrëdhënie ekuivalente është një parim i rëndësishëm i matematikës. Pse?

Së pari, ekuivalenti është ekuivalent, i këmbyeshëm. Prandaj, elementet e një klase të vetme ekuivalente janë të këmbyeshme. Pra, fraksioni, i cili ishte në një klasë ekuivalente (;;), I padallueshëm në aspektin e marrëdhënieve të barazisë dhe fraksionit mund të zëvendësohet nga një tjetër, për shembull . Dhe kjo zëvendësim nuk do të ndryshojë rezultatin e llogaritjeve.

Së dyti, pasi në klasën e ekuivalencës është elemente që janë të padallueshme nga këndvështrimi i një marrëdhënieje, ata besojnë se klasa e ekuivalencës përcaktohet nga çdo përfaqësues, i.e. Një element arbitrar i klasës. Pra, çdo klasë e fraksioneve të barabarta mund të vendoset, duke treguar ndonjë pjesë që i përket kësaj klase. Një klasë ekuivalente për një përfaqësues lejon në vend të të gjitha elementeve të grupit për të eksploruar grupin e përfaqësuesve nga klasa ekuivalente. Për shembull, raporti i ekuivalencës i "kanë të njëjtin numër vertices" të specifikuara në grupin e poligoneve, gjeneron ndarjen e këtij grupi në klasat e trekëndëshave, katërkëndëshit, pentagonëve etj. Prona të paluajtshme në disa klasë janë konsideruar në një nga përfaqësuesit e saj.

Së treti, ndarja e grupeve për klasat duke përdorur raportin e ekuivalencës përdoret për të futur koncepte të reja. Për shembull, koncepti i "rreze të drejtpërdrejtë" mund të përcaktohet si i zakonshëm, i cili ka drejtësi paralele.

Një tjetër lloj i rëndësishëm i marrëdhënieve është marrëdhënia e rendit. E konsideroni detyrën. Në grup H.={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) Raporti është vendosur të "të ketë të njëjtin mbetje kur ndahet 3 " Ky qëndrim krijon ndarjen e grupit H. në klasa: një do të bjerë në një numër, kur ndahet se cili ndodh 3 rezulton në pjesën tjetër 0 (Këto janë numra 3, 6, 9 ). Në të dytin - numrin, kur ndahet në cilin 3 Në mbetjen rezulton 1 (Këto janë numra 4, 7, 10 ). Në të tretën, të gjitha numrat do të bien, kur ndahen në cilën 3 Në mbetjen rezulton 2 (Këto janë numra 5, 8 ). Në të vërtetë, grupet që rezultojnë nuk ndërpriten dhe shoqata e tyre përkon me grupin H.. Prandaj, qëndrimi "të ketë të njëjtin mbetje në ndarjen 3 "Vendosni në një grup H.është marrëdhënie ekuivalente.

Merrni një shembull tjetër: një shumëllojshmëri e studentëve të klasës mund të rregullohen me rritje ose moshë. Vini re se ky raport ka vetitë e antisimetrisë dhe transitivit. Ose të gjithë e dinë rendin e letrave në alfabetin. Ai siguron lidhjen "ndjek".

Qëndrim R.në grup H. i quajtur lidhja e rendit të rreptëNëse njëkohësisht ka antisimmetri dhe vetitë e transititivitetit. Për shembull, lidhja " h.< y.».

Nëse marrëdhënia ka vetitë e refleksivitetit, antisimetrisë dhe transitivitetit, atëherë do të jetë qëndrimi i rendit jo strikte. Për shembull, lidhja " h.y.».

Shembuj të marrëdhënies së rendit mund të jenë: raporti "më pak" në grupin e numrave natyrorë, raporti "më i shkurtër" në grupin e segmenteve. Nëse raporti i porosisë ka gjithashtu një pronë të lidhjes, ata thonë se është lidhje rendit linear. Për shembull, raporti "më pak" në grupin e numrave natyrorë.

Shume nga H. i quajtur i urdhëruar Nëse raporti i porosisë është specifikuar.

Për shembull, grupi X \u003d{2, 8, 12, 32 ) Ju mund të modernizoni me ndihmën e raportit "më pak" (Fig. 41), dhe ju mund ta bëni atë me ndihmën e një marrëdhënieje "të shumëfishtë" (Figura 42). Por, duke qenë një qëndrim i rendit, marrëdhënia "më pak" dhe "bojë" rregullojnë shumë numra natyrorë në mënyra të ndryshme. Raporti "më pak" ju lejon të krahasoni dy numra nga grupi H.Dhe raporti i "shumëfishtë" nuk posedon një pronë të tillë. Pra, disa numra 8 dhe 12 Raporti është "i shumëfishtë" nuk është i lidhur: është e pamundur të thuhet kjo 8 buzë 12 ose 12 buzë 8.

Nuk duhet të mendohet se të gjitha marrëdhëniet ndahen në marrëdhënie ekuivalente dhe marrëdhëniet e marrëdhënieve. Ekziston një numër i madh i marrëdhënieve jo-ekuivalente ose marrëdhënieve të rendit.

Bazat e matematikës diskrete.

Koncepti i grupit. Marrëdhëniet midis grupeve.

Set është një grup i objekteve me një pronë specifike të kombinuar në një tërësi të vetme.

Komponentët e objekteve janë quajtur elementet vendos. Në mënyrë që disa grupe të objekteve të quhen një grup, kushtet e mëposhtme duhet të kryhen:

· Duhet të ketë rregull për të cilën mono të përcaktojë nëse elementi i takon këtij grupi.

· Duhet të ketë rregull me të cilat artikujt mund të dallohen nga njëri-tjetri.

Sets tregohen me shkronja të mëdha, dhe elementet e tij janë të vogla. Metodat për vendosjen e grupeve:

· Listoni elementet e grupit. - për grupe të fundme.

· Tregimi i pronës karakteristike .

Bosh - të quajtur një grup që nuk përmban asnjë element (Ø).

Dy grupe quhen të barabarta, nëse ato përbëhen nga të njëjtat elemente. . A \u003d B.

Shume nga B. quajtur një nëngrup të grupit Por (, pastaj dhe vetëm kur të gjitha elementet e grupit B. i përkasin A..

Për shembull: , B. =>

Pronës:

Shënim: zakonisht konsideroni një nëngrup të një dhe se e vendosur, e cila quhet universal (U). Set Universal përmban të gjitha elementet.

Operacionet në grupe.

2.Kryqëzim 2 grupe quhen një grup i ri i përbërë nga elemente, në të njëjtën kohë i përkasin grupit të parë dhe të dytë.

Nr: ,,

Pronës: Kombinimi dhe kryqëzimi i operacioneve.

· Komunikimi.

· Associatori. ;

· Shpërndarja. ;

Marrëdhëniet binare dhe pronat e tyre.

Le te jete Por dhe NË Këto janë një shumëllojshmëri derivatesh të natyrës, konsiderojnë një palë elemente të urdhëruara. (A, b) një ε a, në ε nëju mund të konsideroni urdhëruar "Enki".

(Një 1, dhe 2, dhe 3, ... dhe n)ku por 1 ε a 1; por 2 ε a 2; ...; por N. ε dhe n;

Cartesian (drejt) A 1, dhe 2, ..., dhe nquhet mn në, e cila përbëhet nga një urdhër i urdhëruar nga speciet.

Nr: M.= {1,2,3}

M × m \u003d m 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Subsets e veprave dekartiane quajtur raporti i shkallës n. ose një lidhje enar. Nese nje n.\u003d 2, pastaj konsideroni binar Marrëdhëniet. Çfarë thonë ata një 1, dhe 2 janë në terma binar R.kur një 1 r a 2.

Qëndrim binar në grup M. quajtur një nëngrup të produktit të drejtpërdrejtë të grupit n. vetvetiu.

M × m \u003d m 2= {(a, B.)| a, b ε m) Në shembullin e mëparshëm, raporti është më pak në grup M. Ai krijon grupin e mëposhtëm: ((1,2); (1,3); (2.3))

Marrëdhëniet binare kanë vetitë e ndryshme duke përfshirë:

· Refleksiviteti: .

· Antireflexity (irreflexusion) :.

· Simmetri:.

· AntiyMmetry:.

· Transitiviteti :.

· Asimetria:.

Llojet e marrëdhënieve.

· Raporti i ekuivalencës;

· Raporti i rendit.

v Marrëdhënia kalimtare refleksive quhet raporti i armëve kuazi.

v Marrëdhënia transitive simetrike e refleksiv është quajtur raporti i ekuivalencës.

v Marrëdhënia transitive antisimetrike refleksive quhet raporti i rendit (pjesshëm).

v Një marrëdhënie kalimtare antisimetrike antirefmetrike quhet një raport i një rendi të rreptë.

Natyrisht, marrëdhëniet binare arbitrare për të studiuar në terma të përgjithshëm nuk janë veçanërisht interesante, mund të themi shumë pak për to. Megjithatë, nëse marrëdhëniet plotësojnë disa kushte shtesë, deklarata më substanciale mund të bëhen në lidhje me ta. Në këtë seksion, ne do të shqyrtojmë disa nga vetitë themelore të marrëdhënieve binare.

• 1. Qëndrimi binar në grupin X quhet refleksiv, nëse një kusht A është i kënaqur për ndonjë sërë elementi:
  • (AX) A * a.

Nëse raporti paraqitet duke përdorur një grafik, atëherë refleksiviteti i kësaj marrëdhënieje do të thotë se nuk ka lak në çdo kulm.

Për marrëdhëniet e dhëna nga ndihma e një matrice militante, refleksiviteti i saj është i barabartë me faktin se në diagonën kryesore të kësaj matricë (që vjen nga këndi i sipërm i majtë në të djathtën e poshtme) vetëm karaktere 1 kosto.

2. Qëndrimi binar ndaj X quhet Antireflems, nëse asnjë nga poset nuk është i kënaqur me gjendjen A * A:

Tregoni nga raporti i x në grupin X të përbërë nga palë të formularit (a, a), ku një x:

I x \u003d ((a, a) | a x).

Raporti i IX zakonisht quhet diagonale e grupit X ose raporti i identitetit në X.

Natyrisht, qëndrimi në Set X është refleksiv nëse diagonali i x është një nëngrup i grupit:

Raporti i antresës, nëse diagonal i x dhe raporti b nuk kanë ndonjë element të përgjithshëm:

• 3. Qëndrimi binar në grupin X quhet simetrik nëse nga A * b ndjek b * a:
  • (A, bx) (a * b b * a).

Shembuj të marrëdhënieve simetrike janë:

qëndrimi i pingës në grupin e linjave të drejta;

raporti i prekjes në një pluralitet të qarqeve;

raporti i "të jetë i ngjashëm" në grupin e njerëzve;

raporti "të ketë të njëjtën gjini" në grupin e kafshëve.

Raporti "X Brother Y" në grupin e të gjithë njerëzve nuk është simetrik. Në të njëjtën kohë, raporti "X Brother Y" në grupin e njerëzve është simetrik.

Në një grafik të një raporti simetrik për çdo hark nga Top X në krye të Y ka një hark nga Y në X. Prandaj, marrëdhëniet simetrike mund të përfaqësohen me grafikë me brinjë të orientuara. Në këtë rast, çdo palë edges të orientuar XY dhe YX është zëvendësuar me një avantazh jo të orientuar.

Figura 8 tregon qëndrimin

b \u003d ((a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (d, c))

duke përdorur grafikët e orientuar dhe jo të orientuar.

Fik. tetë.

Matrica e një marrëdhënieje simetrike është simetrike në krahasim me diagonën kryesore.

Teorema: Shoqata dhe kryqëzimi i çdo familjeje të marrëdhënieve simetrike janë përsëri marrëdhënie simetrike.

Përkufizimi. Qëndrimi binar në grupin X quhet antisimmetrik, nëse për ndonjë element të ndryshëm A dhe B Kushtet A * B dhe B * A nuk kryhen njëkohësisht:

(A, bx) (a * b & b * a a \u003d b).

Për shembull, raporti "aksionet" në grupin e numrave natyrorë është antisimetrik, pasi rrjedh nga një b dhe b a, që a \u003d b. Megjithatë, në një numër të plotë të numrave të plotë, raporti "aksionet" nuk janë antisimmetrike, që nga (-2) 2 dhe 2 (-2), por -22.

Marrëdhënia "më sipër", "më e rëndë", "më e vjetër" antisimetrike në një shumëllojshmëri njerëzish. Raporti "Të jesh motër" në grupin e të gjithë njerëzve nuk është antisimetrik.

Në grafikun e marrëdhënieve antisimetrike, dy vertices të ndryshme mund të lidhen me jo më shumë se një hark.

Përkufizimi 3.5. Raporti binar A në Set X quhet transitive, nëse për çdo tre elemente A, B, C X nga A * B dhe B * C Ndërkon A * C:

(A, b, c x) (a * b & b * c a * c).

Shembuj të marrëdhënieve kalimtare shërbejnë:

raporti "aksionet" në grupin e numrave të vlefshëm;

raporti "më shumë" në grupin e numrave të vlefshëm;

raporti i "vjetër" në grupin e lodrave të njerëzve;

raporti "të ketë të njëjtën ngjyrë" në grupin e lodrave të fëmijëve;

e) qëndrimi "të jetë pasardhës" në një shumëllojshmëri njerëzish.

Qëndrimi feudal "të jetë vasal" nuk është transitive. Kjo në veçanti është theksuar në disa tekste të historisë: "Vasal vasal im nuk është vasal im".

Raporti i "dukjes së ngjashme" në grupin e njerëzve nuk ka pasurinë e transitivitetit.

Për një marrëdhënie arbitrare, ju mund të gjeni marrëdhënien minimale transitive të tillë që ab. Një qëndrim i tillë është mbyllja kalimtare e marrëdhënies.

Shembulli 3.1. Mbyllja kalimtare e marrëdhënies binare në grupin e njerëzve "të jetë një fëmijë" është raporti i "të jetë pasardhës".

Teorema e drejtë.

Teorema 3.2. Për çdo marrëdhënie, mbyllja transitive është e barabartë me kryqëzimin e të gjitha marrëdhënieve kalimtare, duke përfshirë një nëngrup.

Përkufizimi 3.6. Qëndrimi binar në SET X quhet i lidhur nëse për çdo dy elementë të ndryshëm A dhe B bëjnë një * B, ose B * A:

(A, b, c x) (ab a * b b * a).

Një shembull i një marrëdhënie koherente është raporti i "më shumë" në grupin e numrave të vlefshëm. Raporti është "ndarja" në një pluralitet të numrave të plotë nuk është i lidhur.

4. Invarianca e marrëdhënieve

Në këtë paragraf, ne do të rendisim disa raste kur disa vetitë e marrëdhënieve ruhen gjatë kryerjes së operacioneve mbi ta.

TEOREM 4.4. Në mënyrë që produkti i marrëdhënieve simetrike, është simetrik, është e nevojshme dhe e mjaftueshme për marrëdhëniet dhe udhëtimin.

Raporti i Ekuivalencës

Një lloj i rëndësishëm i marrëdhënies binare është raporti i ekuivalencës.

Përkufizimi 1. Qëndrimi binar në grupin X quhet raporti i ekuivalencës në X, nëse refleksiv, simetrik dhe në transitivisht.

Raporti i ekuivalencës është shënuar shpesh nga simbolet ~,.

Shembuj të raportit të ekuivalencës shërbejnë:

raporti i identitetit i x \u003d ((a, a) sëpatë) në një set jo të zbrazët;

raporti i paralelizmit në grupin e avionit të drejtpërdrejtë;

raporti i ngjashmërisë në grupin e formave të aeroplanit;

raporti i ekuivajivitetit në grupin e ekuacioneve;

qëndrimi "të ketë të njëjtat mbetje në ndarjen e një numri fiks natyror m" në një pluralitet të numrave të plotë. Ky raport në matematikë quhet raporti i krahasueshmërisë nga moduli m dhe tregon ab (mod m);

raporti "i takon një lloji" në grupin e kafshëve;

raporti i "të afërmve" në grupin e njerëzve;

raporti i "të jetë një rritje" në një shumëllojshmëri të njerëzve;

qëndrimi "për të jetuar në të njëjtën shtëpi" në një shumëllojshmëri njerëzish.

Marrëdhënia "për të jetuar në një rrugë", "të jetë e ngjashme" në grupin e njerëzve nuk janë marrëdhënie ekuivalente, pasi ata nuk kanë pasurinë e transitivitetit.

Nga pronat e mësipërme të marrëdhënieve binare, rrjedh se kryqëzimi i marrëdhënies së ekuivalencës është raporti i ekuivalencës.

Klasa ekuivalente

Me qëndrimin e ekuivalencës, ndarja e grupit për klasa është e lidhur ngushtë.

Përkufizimi 1. Sistemi i subsets jo të zbrazët

(M 1, m 2, ...)

multiple m quhet ndarja e këtij grupi nëse

Sets M 1, M 2, ... quhen klasat e kësaj ndarjeje.

Shembuj të palëve shërbejnë:

dekompozimi i të gjitha poligoneve në grupe në numrin e vertices - trekëndëshat, katërkëndësh, pentagons, etj;

ndarjen e të gjitha trekëndëshave sipas vetive të këndeve (akute-angled, drejtkëndëshe, budalla);

ndarja e të gjitha trekëndëshave sipas pronave të palëve (të gjithanshme, të barabarta, barabrinjës);

ndarja e të gjitha trekëndëshat në klasat e trekëndëshave të ngjashme;

shitja e një shumëllojshmërie të të gjithë nxënësve në këtë klasë të shkollës.

Përdorimi i gjerë i marrëdhënieve ekuivalente në shkencën moderne është për shkak të faktit se çdo lidhje ekuivalente kryen vendosjen e grupit në të cilin është përcaktuar, klasat zakonisht merren për objekte të reja. Me fjalë të tjera, me ndihmën e marrëdhënieve ekuivalente, gjenerohen objekte të reja, koncepte.

Kështu, për shembull, raporti i frigoriferit të rrezatimit thyen grupin e të gjitha rrezet e avionit ose hapësirës në klasat e rrezeve të veshura. Secila nga këto klasa të rrezeve quhet drejtimi. Kështu, koncepti intuitiv i drejtimit merr një përshkrim të saktë matematikor si një klasë të ndarjes së një sërë rrezesh me raportin e ekuivalencës.

Rreth shifrave të tilla zakonisht tregohen se ata kanë të njëjtën formë. Por cila është një formë e një forme gjeometrike? Është intuitive se kjo është e përgjithshme që bashkon figura të tilla. Duke përdorur raportin e ekuivalencës, ky koncept intuitiv menaxhohet për të saktë matematikën. Raporti i ngjashmërisë, duke qenë një raport ekuivaleku, thyen shumë figura në klasat e figurave të tilla. Çdo klasë e tillë mund të quhet forma. Pastaj shprehja "dy figura identike kanë të njëjtën formë" ka kuptimin e saktë të mëposhtëm "dy figura të ngjashme i përkasin një forme".

Marrëdhëniet ekuivalente janë gjetur kudo ku grupe të grupeve në klasa. Ne shpesh i përdorim ato pa e vërejtur.

Ne japim një shembull elementar. Kur fëmijët luajnë me shumë lodra me shumë ngjyra (për shembull, me blloqe dielesh) dhe vendosni të dekompozoni lodra me ngjyra, atëherë ata gëzojnë marrëdhënien "të kenë një ngjyrë". Pranuar si rezultat i klasave të shifrave monokrome perceptohen nga fëmijët si koncepte të reja: të kuqe, të verdhë, blu etj.

Në mënyrë të ngjashme, si rezultat i zgjidhjes së problemit të dekompozimit të blloqeve në formë, fëmijët marrin klasa, secila prej të cilave perceptohet si një formë: drejtkëndore, e rrumbullakët, trekëndëshi, etj.

Marrëdhënia midis marrëdhënieve ekuivalente të përcaktuara në m, dhe ndarjet e grupit m në klasa janë përshkruar në dy teorema në vijim.

Teorema 1 Çdo ndarje e një set m jo të zbrazët në klasa përcakton (shkakton) në këtë raport të ekuivalencës së përcaktuar të tillë që:

të dy elementet e së njëjtës klasë janë në lidhje me;

të dy elementet e klasave të ndryshme nuk janë në lidhje me. Dëshmi. Le të ketë disa ndarje të një grupi jo të zbrazët M. përcaktojnë raportin binar si më poshtë: xay (k) (XK & YK).

Kjo është, dy elementet X dhe Y A për set m janë të lidhur me raportin në atë dhe vetëm nëse ka një klasë të tillë K, që në të njëjtën kohë i takon elementet x dhe y.

Pra, një raport i caktuar është padyshim refleksiv dhe simetrik. Ne dëshmojmë tranzitivitetin e marrëdhënies. Le X * y dhe x * z të jetë. Pastaj, sipas përkufizimit, ka klasa K 1 dhe K 2 të tilla si X, YK 1 dhe Y, ZK 2. Meqenëse klasa të ndryshme në ndarjet nuk kanë elemente të përbashkëta, atëherë k 1 \u003d k 2, që është, x, z K 1. Prandaj, X * z, i cili u kërkua të provojë.

TEOREM 2. Çdo raport ekuivalence në një set m jo të zbrazët gjeneron ndarjen e këtij grupi në klasat e ekuivalencës në mënyrë që të gjitha llojet e dy elementëve të së njëjtës klasë janë në lidhje me;

të dy elementet e klasave të ndryshme nuk janë në lidhje me.

Dëshmi. Le të jetë një raport i ekuivalencës në M. Secili element X nga të vënë në përputhje me një nëns [X] të set m përbëhet nga të gjitha elementet y, të cilat janë në lidhje me elementin X:

Sistemi i nëngrupit [X], formon ndarjen e grupit M. në të vërtetë, së pari, secili nëngrup [x], pasi për shkak të refleksivitetit të raportit X [X].

Së dyti, dy subsets të ndryshme [X] dhe [Y] nuk kanë elemente të përbashkëta. Duke argumentuar nga tjetri, le të themi ekzistenca e një elementi Z është i tillë që Z [X] dhe Z [Y]. Pastaj zax dhe zay. Prandaj, për çdo element të një [x] nga një * x, z * x dhe z * y, për shkak të simetrisë dhe transitivitetit, një * y ndjek, domethënë një [y]. Rrjedhimisht, [X] [y]. Në mënyrë të ngjashme, ne marrim atë [y] [x]. Dy përfshirjet e marra argëtojnë barazinë [x] \u003d [y], e cila bie në kundërshtim me supozimin e mospërputhjes së substs [x] dhe [y]. Kështu, [x] y] \u003d O.

Së treti, bashkimi i të gjitha subsets [x] përkon me M, për çdo element XM, gjendja X [X] është kryer.

Pra, sistemi i subsets [x], formon ndarjen e M. Është e lehtë të tregohet se ndarja e ndërtuar plotëson kushtet e teoremës. Ndarja e grupit m, e cila ka pronat e specifikuara në teoremën, quhet një grup i vendosur m me respekt dhe të caktuar M / b.