Математичний маятник- це матеріальна точка, підвішена на невагомій і нерозтяжній нитці, що у полі тяжкості Землі. Математичний маятник – це ідеалізована модель, що правильно описує реальний маятник лише за певних умов. Реальний маятник можна вважати математичним, якщо довжина нитки набагато більша за розміри підвішеного на ній тіла, маса нитки мізерна мала в порівнянні з масою тіла, а деформації нитки настільки малі, що ними взагалі можна знехтувати.

Коливальну систему у разі утворюють нитку, приєднане до неї тіло і Земля, без якої ця система не могла б служити маятником.

де а х – прискорення, g - прискорення вільного падіння, х- Зміщення, l- Довжина нитки маятника.

Це рівняння називається рівнянням вільних коливань математичного маятникаВоно правильно визначає розглянуті коливання лише тоді, коли виконані такі припущення:

2) розглядаються лише малі коливання маятника з невеликим кутом розмаху.

Вільні коливання будь-яких систем завжди описуються аналогічними рівняннями.

Причинами вільних коливань математичного маятника є:

1. Дія на маятник сили натягу та сили тяжіння, що перешкоджає його зміщенню з положення рівноваги і змушує його знову опускатися.

2. Інертність маятника, завдяки якій він, зберігаючи свою швидкість, не зупиняється в положенні рівноваги, а проходить через нього далі.

Період вільних коливань математичного маятника

Період вільних коливань математичного маятника залежить від його маси, а визначається лише довжиною нитки і прискоренням вільного падіння там, де знаходиться маятник.

Перетворення енергії при гармонійних коливаннях

При гармонійних коливаннях пружинного маятника відбуваються перетворення потенційної енергії пружно деформованого тіла на його кінетичну енергію, де k – коефіцієнт пружності, х -модуль зміщення маятника із положення рівноваги, m- Маса маятника, v- Його швидкість. Відповідно до рівняння гармонійних коливань:

, .

Повна енергія пружинного маятника:

.

Повна енергія для математичного маятника:

У разі математичного маятника

Перетворення енергії при коливаннях пружинного маятника відбувайся відповідно до закону збереження механічної енергії ( ). При русі маятника вниз або вгору від рівноваги його потенційна енергія збільшується, а кінетична - зменшується. Коли маятник проходить положення рівноваги ( х= 0), його потенційна енергія дорівнює нулю і кінетична енергія маятника має найбільше значення, що дорівнює його повній енергії.

Таким чином, у процесі вільних коливань маятника його потенційна енергія перетворюється на кінетичну, кінетична на потенційну, потенційна потім знову на кінетичну і т. д. Але повна механічна енергія при цьому залишається незмінною.

Вимушені коливання. Резонанс.

Коливання, що відбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили, називаються вимушеними коливаннями. Зовнішня періодична сила, яка називається примушує, повідомляє коливальній системі додаткову енергію, яка йде на поповнення енергетичних втрат, що відбуваються через тертя. Якщо сила, що змушує, змінюється в часі за законом синуса або косинуса, то вимушені коливання будуть гармонійними і незатухаючими.

На відміну від вільних коливань, коли система отримує енергію лише один раз (при виведенні системи зі стану рівноваги), у разі вимушених коливань, система поглинає цю енергію від джерела зовнішньої періодичної сили безперервно. Ця енергія заповнює втрати, що витрачаються на подолання тертя, і тому повна енергія коливальної системи, як і раніше, залишається незмінною.

Частота вимушених коливань дорівнює частоті сили, що змушує.. У разі коли частота змушує сили υ збігається з власною частотою коливальної системи υ 0 , відбувається різке зростання амплітуди вимушених коливань. резонанс. Резонанс виникає через те, що при υ = υ 0 зовнішня сила, діючи в такт з вільними коливаннями, весь час сонаправлена ​​зі швидкістю тіла, що коливається, і робить позитивну роботу: енергія тіла, що коливається, збільшується, і амплітуда його коливань стає великою. Графік залежності амплітуди вимушених коливань А т від частоти сили, що змушує υ представлений на малюнку, цей графік називається резонансною кривою:

Явище резонансу грає велику роль у ряді природних, наукових та виробничих процесів. Наприклад, необхідно враховувати явище резонансу при проектуванні мостів, будівель та інших споруд, що зазнають вібрації під навантаженням, інакше за певних умов ці споруди можуть бути зруйновані.

Математичним маятником називають тіло невеликих розмірів, підвішене на тонкій нерозтяжній нитці, маса якої дуже мала в порівнянні з масою тіла. У положенні рівноваги, коли маятник висить по схилу, сила тяжіння врівноважується силою натягу нитки. F τ = - mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «мінус» у цій формулі означає, що дотична складова спрямована у бік, протилежний відхиленню маятника.

Якщо позначити через xлінійне усунення маятника від положення рівноваги по дузі кола радіусу l, то його кутове зміщення дорівнюватиме φ = x / l. Другий закон Ньютона, записаний для проекцій векторів прискорення та сили на напрям дотичної, дає:

Це співвідношення показує, що математичний маятник є складною нелінійнусистему, оскільки сила, що прагне повернути маятник у положення рівноваги, пропорційна не зсуву x, а

Тільки у випадкумалих коливань , коли наближеноможна замінити наматематичний маятник є гармонічним осцилятором, Т. е. Системою, здатною здійснювати гармонійні коливання. Майже таке наближення справедливе для кутів порядку 15-20°; при цьому величина відрізняється не більше ніж на 2 %. Коливання маятника при великих амплітудах є гармонійними.

Для малих коливань математичного маятника другий закон Ньютона записується як

Таким чином, тангенціальне прискорення aτ маятника пропорційно його зсуву x, взятий зі зворотним знаком. Це якраз та умова, за якої система є гармонічним осцилятором. За загальним правилом для всіх систем, здатних здійснювати вільні гармонічні коливання, модуль коефіцієнта пропорційності між прискоренням та усуненням із положення рівноваги дорівнює квадрату кругової частоти:

Ця формула висловлює власну частоту малих коливань математичного маятника .

Отже,

Будь-яке тіло, насаджене на горизонтальну вісь обертання, здатне здійснювати в полі тяжіння вільні коливання і, отже, є маятником. Такий маятник прийнято називати фізичним (Рис. 2.3.2). Він відрізняється від математичного лише розподілом мас. У положенні стійкої рівноваги центр мас Cфізичного маятника знаходиться нижче осі обертання на вертикалі, що проходить через вісь. При відхиленні маятника на кут виникає момент сили тяжіння, що прагне повернути маятник в положення рівноваги:

M = -(mg sin φ) d.

Тут d- відстань між віссю обертання та центром мас C.

Малюнок 2.3.2. Фізичний маятник

Знак «мінус» у цій формулі, як завжди, означає, що момент сил прагне повернути маятник у напрямі, протилежному його відхилення від положення рівноваги. Як і у випадку математичного маятника, що повертає момент Mпропорційний. Це означає, що тільки при малих кутах, коли фізичний маятник здатний здійснювати вільні гармонічні коливання. У разі малих коливань

і другий закон Ньютона для фізичного маятника набуває вигляду

де ε - кутове прискорення маятника, I- момент інерції маятника щодо осі обертання O. Модуль коефіцієнта пропорційності між прискоренням і усуненням дорівнює квадрату кругової частоти:

Тут ω 0 - власна частота малих коливань фізичного маятника .

Отже,

Суворіший висновок формул для ω 0 і Tможна зробити, якщо взяти до уваги математичний зв'язок між кутовим прискоренням та кутовим зміщенням: кутове прискорення ε є другою похідною кутового зміщення φ за часом:

Тому рівняння, яке виражає другий закон Ньютона для фізичного маятника, можна записати у вигляді

Це рівняння вільних гармонійних коливань.

Коефіцієнт у цьому рівнянні має значення квадрата кругової частоти вільних гармонійних коливань фізичного маятника.

По теоремі про паралельне перенесення осі обертання (теорема Штейнера) момент інерції Iможна висловити через момент інерції ICщодо осі, що проходить через центр мас Cмаятника та паралельної осі обертання:

Остаточно для кругової частоти 0 вільних коливань фізичного маятника виходить вираз:

Зкриншотквестапро визначенняитипланети

10.4. Закон збереження енергії при гармонійних коливаннях

10.4.1. Збереження енергії при механічних гармонічних коливаннях

Збереження енергії при коливаннях математичного маятника

При гармонійних коливаннях повна механічна енергія системи зберігається (залишається постійною).

Повна механічна енергія математичного маятника

E = W k + W p ,

де W k – кінетична енергія, W k = = mv 2/2; W p - потенційна енергія, W p = mgh; m – маса вантажу; g – модуль прискорення вільного падіння; v – модуль швидкості вантажу; h – висота підйому вантажу над положенням рівноваги (рис. 10.15).

При гармонійних коливаннях математичний маятник проходить ряд послідовних станів, тому доцільно розглянути енергію математичного маятника у трьох положеннях (див. рис. 10.15):

Мал. 10.15

1) у становищі рівноваги

потенційна енергія дорівнює нулю; повна енергія збігається з максимальною кінетичною енергією:

E = W k max;

2) у крайньому становищі(2 ) тіло піднято над вихідним рівнем на максимальну висоту h max тому потенційна енергія також максимальна:

W p max = m g h max;

кінетична енергія дорівнює нулю; повна енергія збігається з максимальною потенційною енергією:

E = W p max;

3) у проміжному положенні(3 ) тіло має миттєву швидкість v і піднято над вихідним рівнем на деяку висоту h , тому повна енергія являє собою суму

E = m v 2 2 + m g h ,

де mv 2/2 - кінетична енергія; mgh – потенційна енергія; m – маса вантажу; g – модуль прискорення вільного падіння; v – модуль швидкості вантажу; h - висота підйому вантажу над положенням рівноваги.

При гармонійних коливаннях математичного маятника повна механічна енергія зберігається:

E=const.

Значення повної енергії математичного маятника у трьох його положеннях відображені у табл. 10.1.

№	Положення	W p	W k	E = W p + W k
1	Рівновість	0	m v max 2/2	m v max 2/2
2	Крайнє	mgh max	0	mgh max
3	Проміжне (миттєве)	mgh	mv 2/2	mv 2/2 + mgh

Значення повної механічної енергії представлені в останньому стовпці табл. 10.1, мають рівні значення для будь-яких положень маятника, що є математичним виразом:

m v max 2 2 = m g h max;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h;

m g h max = m v 2 2 + m g h ,

де m – маса вантажу; g – модуль прискорення вільного падіння; v - модуль миттєвої швидкості вантажу в положенні 3; h - висота підйому вантажу над положенням рівноваги в положенні 3; v max - модуль максимальної швидкості вантажу в положенні 1; h max - максимальна висота підйому вантажу над положенням рівноваги у положенні 2 .

Кут відхилення ниткиматематичного маятника від вертикалі (рис. 10.15) визначається виразом

cos α = l − h l = 1 − h l ,

де l – довжина нитки; h - висота підйому вантажу над положенням рівноваги.

Максимальний кутвідхилення α max визначається максимальною висотою підйому вантажу над положенням рівноваги h max:

cos α max = 1 − h max l.

Приклад 11. Період малих коливань математичного маятника дорівнює 0,9 с. На який максимальний кут від вертикалі відхилятиметься нитка, якщо, проходячи положення рівноваги, кулька рухається зі швидкістю, що дорівнює 1,5 м/с? Тертя в системі відсутнє.

Рішення . На малюнку показано два положення математичного маятника:

• положення рівноваги 1 (характеризується максимальною швидкістю кульки v max);
• крайнє положення 2 (характеризується максимальною висотою підйому кульки h max над положенням рівноваги).

Шуканий кут визначається рівністю

cos α max = l − h max l = 1 − h max l ,

де l – довжина нитки маятника.

Максимальну висоту підйому кульки маятника над положенням рівноваги знайдемо із закону збереження повної механічної енергії.

Повна енергія маятника в положенні рівноваги та в крайньому положенні визначається такими формулами:

• у положенні рівноваги -

E 1 = m v max 2 2

де m – маса кульки маятника; v max – модуль швидкості кульки у положенні рівноваги (максимальна швидкість), v max = 1,5 м/с;

• у крайньому становищі -

E 2 = mgh max

де g – модуль прискорення вільного падіння; h max – максимальна висота підйому кульки над положенням рівноваги.

Закон збереження повної механічної енергії:

m v max 2 2 = m g h max.

Виразимо звідси максимальну висоту підйому кульки над положенням рівноваги:

h max = v max 2 2 g.

Довжину нитки визначимо з формули для періоду коливань математичного маятника

T = 2 π l g ,

тобто. довжина нитки

l = T2g4π2.

Підставимо h max і l у вираз для косинуса шуканого кута:

cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

і зробимо обчислення з урахуванням приблизної рівності π 2 = 10:

cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1,5) 2 10 2 ⋅ (0,9) 2 = 0,5 .

Звідси випливає, що максимальний кут відхилення 60°.

Строго кажучи, при вугіллі 60° коливання кульки є малими і користуватися стандартною формулою для періоду коливань математичного маятника неправомірно.

Збереження енергії при коливаннях пружинного маятника

Повна механічна енергія пружинного маятникаскладається з кінетичної енергії та потенційної енергії:

E = W k + W p ,

де W k – кінетична енергія, W k = mv 2/2; W p - Потенційна енергія, W p = k (Δx) 2 /2; m – маса вантажу; v – модуль швидкості вантажу; k – коефіцієнт жорсткості (пружності) пружини; Δx - деформація (розтяг або стиснення) пружини (рис. 10.16).

У Міжнародній системі одиниць енергія механічної коливальної системи вимірюється у джоулях (1 Дж).

При гармонійних коливаннях пружинний маятник проходить ряд послідовних станів, тому доцільно розглянути енергію пружинного маятника у трьох положеннях (див. рис. 10.16):

1) у становищі рівноваги(1 ) швидкість тіла має максимальне значення v max , тому кінетична енергія також максимальна:

W k max = m v max 2 2;

потенційна енергія пружини дорівнює нулю, оскільки пружина не деформована; повна енергія збігається з максимальною кінетичною енергією:

E = W k max;

2) у крайньому становищі(2 ) пружина має максимальну деформацію (Δx max), тому потенційна енергія також має максимальне значення:

W p max = k (Δ x max) 2 2;

кінетична енергія тіла дорівнює нулю; повна енергія збігається з максимальною потенційною енергією:

E = W p max;

3) у проміжному положенні(3 ) тіло має миттєву швидкість v , пружина має в цей момент деяку деформацію (Δx ), тому повна енергія являє собою суму

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2

де mv 2/2 - кінетична енергія; k (Δx) 2/2 - потенційна енергія; m – маса вантажу; v – модуль швидкості вантажу; k – коефіцієнт жорсткості (пружності) пружини; Δx - деформація (розтяг або стиснення) пружини.

При усуненні вантажу пружинного маятника від положення рівноваги на нього діє повертаюча сила, проекція якої на напрямок руху маятника визначається формулою

F x = −kx ,

де x - зсув вантажу пружинного маятника від положення рівноваги, x = ∆x, ∆x - деформація пружини; k – коефіцієнт жорсткості (пружності) пружини маятника.

При гармонійних коливаннях пружинного маятника повна механічна енергія зберігається:

E=const.

Значення повної енергії пружинного маятника у трьох його положеннях відображені у табл. 10.2.

№	Положення	W p	W k	E = W p + W k
1	Рівновість	0	m v max 2/2	m v max 2/2
2	Крайнє	k (Δx max) 2 /2	0	k (Δx max) 2 /2
3	Проміжне (миттєве)	k (Δx) 2 /2	mv 2/2	mv 2 /2 + k (Δx) 2 /2

Значення повної механічної енергії, представлені в останньому стовпці таблиці, мають рівні значення для будь-яких положень маятника, що є математичним виразом закону збереження повної механічної енергії:

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2

де m – маса вантажу; v - модуль миттєвої швидкості вантажу в положенні 3; Δx - деформація (розтяг або стиснення) пружини в положенні 3 ; v max - модуль максимальної швидкості вантажу в положенні 1; Δx max - максимальна деформація (розтяг або стиснення) пружини в положенні 2 .

Приклад 12. Пружинний маятник здійснює гармонійні коливання. У скільки разів його кінетична енергія більша за потенційну в той момент, коли зміщення тіла з положення рівноваги становить чверть амплітуди?

Рішення . Порівняємо два положення пружинного маятника:

• крайнє положення 1 (характеризується максимальним усуненням вантажу маятника від положення рівноваги x max);
• проміжне положення 2 (характеризується проміжними значеннями усунення положення рівноваги x і швидкості v →).

Повна енергія маятника в крайньому та проміжному положеннях визначається такими формулами:

• у крайньому становищі -

E 1 = k (Δ x max) 2 2

де k – коефіцієнт жорсткості (пружності) пружини; ∆x max - амплітуда коливань (максимальне усунення положення рівноваги), ∆x max = A ;

• у проміжному положенні -

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2

де m – маса вантажу маятника; ∆x - усунення вантажу від положення рівноваги, ∆x = A /4.

Закон збереження повної механічної енергії для пружинного маятника має такий вигляд:

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 .

Розділимо обидві частини записаної рівності на k (∆x ) 2 /2:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

де W k - кінетична енергія маятника у проміжному положенні, W k = mv 2/2; W p - Потенційна енергія маятника в проміжному положенні, W p = k (∆x) 2 /2.

Виразимо з рівняння шукане відношення енергій:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 − 1

і розрахуємо його значення:

W k W p = (A A / 4) 2 − 1 = 16 − 1 = 15 .

У зазначений момент часу відношення кінетичної та потенційної енергії маятника дорівнює 15.

Якщо тіло, прикріплене до пружини (рисунок 4), відхилити положення рівноваги на відстань А, наприклад, вліво, воно, пройшовши через положення рівноваги, відхилиться вправо. Це випливає із закону збереження енергії.

Потенційна енергія стиснутої чи розтягнутої пружини дорівнює

де k - жорсткість пружини та x - її подовження. У крайньому лівому положенні подовження пружини x = - А, отже, потенційна енергія дорівнює

Кінетична енергія в цей момент дорівнює нулю, тому що нуль дорівнює швидкість. Отже, потенційна енергія – це повна механічна енергія системи у цей момент. Якщо домовитися, що сила тертя дорівнює нулю, а інші сили врівноважені, то нашу систему можна вважати замкненою і її повна енергія під час руху не може змінитися. Коли тіло при своєму русі опиниться в крайньому правому положенні (x=А), Його кінетична енергія знову дорівнюватиме нулю і повна енергія знову дорівнює потенційній. А повна енергія не може змінитись. Значить, вона знову дорівнює

Це означає, як і вправо тіло відхилиться на відстань рівну А.

У положенні рівноваги, навпаки, потенційна енергія дорівнює нулю, оскільки пружина не деформована, х=0. У цьому положенні повна енергія тіла дорівнює його кінетичній енергії

де m – маса тіла та – його швидкість (вона в цей момент максимальна). Але ця кінетична енергія теж повинна мати рівне значення. Отже, при коливальному русі відбувається перетворення кінетичної енергії на потенційну і назад. У будь-якій точці між положеннями рівноваги та максимального відхилення тіло має і кінетичну енергію, і потенційну, але їхню суму, тобто. Повна енергія в будь-якому положенні тіла дорівнює. Повна механічна енергія W тіла, що коливається, пропорційна квадрату амплітуди та його коливань

Маятники. Математичний маятник

Маятником є ​​всяке тіло, підвішене так, що його центр тяжіння знаходиться нижче за точку підвісу. Значить вантаж, підвішений на мотузку, це коливальна система подібна до маятника настінного годинника. Кожна система, здатна здійснювати вільні коливання, має стійке положення рівноваги. У маятника - це положення, при якому центр ваги знаходиться на вертикалі під точкою підвісу. Якщо ми виведемо маятник із цього становища чи штовхнемо його, він почне вагатися, відхиляючись то одну, то інший бік від положення рівноваги. Ми знаємо, що найбільше відхилення від положення рівноваги, до якого доходить маятник, називається амплітудою коливань. Амплітуда визначається тим первісним відхиленням або поштовхом, яким маятник був приведений у рух. Ця властивість - залежності амплітуди від умов на початку руху - характерно не тільки для вільних коливань маятника, але й взагалі для вільних коливань багатьох коливальних систем.

Період коливань фізичного маятника залежить від багатьох обставин: від розмірів та форми тіла, від відстані між центром ваги та точкою підвісу та від розподілу маси тіла щодо цієї точки; тому обчислення періоду підвішеного тіла – досить складне завдання. Простіша справа для математичного маятника. Математичним маятником називається підвішений до тонкої нитки вантаж, розміри якого набагато менше довжини нитки, яке маса манного більше маси нитки. Це означає, що тіло (вантаж) і нитка мають бути такими, щоб вантаж можна було вважати матеріальною точкою, а нитку невагомою. Зі спостережень над подібними маятниками можна встановити такі прості закони.

1. Якщо, зберігаючи ту саму довжину маятника (відстань від точки підвісу до центру тяжкості вантажу), підвішувати різні вантажі, то період коливань вийде той самий, хоча маси вантажів сильно різняться. Період математичного маятника залежить від маси вантажу.

2. Сіда, що діє на тіло в будь-якій точці траєкторії, спрямована до положення рівноваги, а в самій точці рівноваги дорівнює нулю.

3. Сила пропорційна відхиленню тіла від положення рівноваги.

Мал. 5.

4. Якщо при пуску маятника відхиляти його на різні (але не надто великі) кути, то він коливатиметься з тим самим періодом, хоча і з різними амплітудами. Поки не дуже великі амплітуди, коливання досить близькі за своєю формою до гармонійних, і період математичного маятника не залежить від амплітуди коливань. Ця властивість називається ізохронізмом (від грецьких слів «ізос» – рівний, «хронос» – час).

Вперше цей факт було встановлено у 1655 р. Галілеєм нібито за наступних обставин. Галілей спостерігав у Пізанському соборі гойдання панікадилу (у православному храмі центральна люстра, світильник із безліччю свічок чи лампад) на довгому ланцюгу, який штовхнули під час запалювання. Протягом богослужіння розмахи хитань поступово згасали (глава 8), т. е. амплітуда коливань зменшувалася, але період залишався одним і тим самим. Як покажчик часу Галілей користувався власним пульсом.

Ця властивість маятника виявилася не тільки дивовижною, а й корисною. Галілей запропонував використовувати маятник як регулятор у годиннику. За часів Галілея годинник наводився в дію вантажем, а для регулювання ходу застосовувалося грубе пристосування типу лопатей вітряка, яке використовувало опір повітря. Для відліку рівних проміжків часу можна було б використовувати маятник, бо малі коливання відбуваються за той самий час, що й великі, спричинені випадковими поривами вітру. Століття після Галілея годинник з маятниковим регулятором увійшли в побут, але мореплавці, як і раніше, потребували точного годинника для вимірювання довготи на морі. Була оголошена премія за створення такого морського годинника, який дозволяв би вимірювати час з достатньою точністю. Премію отримав Гарісон за хронометр, у якому для регулювання ходу використовувалися махове колесо (баланс) та спеціальна пружина.

Виведемо тепер формулу для періоду коливань математичного маятника.

При гойданнях маятника вантаж рухається прискорено по дузі ВА (рис. 5, а) під дією сили, що повертається P 1 , яка змінюється при русі.

Розрахунок руху тіла під впливом непостійної сили досить складний. Тому для спрощення надійдемо таким чином.

Заставимо маятник здійснювати не коливання однієї площині, а описувати конус те щоб вантаж рухався по колу (рис. 5, б). Цей рух може бути отримано в результаті складання двох незалежних коливань: одного - як і раніше, у площині малюнка та іншого - у перпендикулярній площині. Очевидно, періоди обох цих плоских коливань однакові, оскільки будь-яка площина хитань нічим не відрізняється від будь-якої іншої. Отже, і період складного руху - звернення маятника за конусом - буде той самий, що й період хитання в одній площині. Цей висновок можна легко ілюструвати безпосереднім досвідом, взявши два однакові маятники і повідомивши одному з них хитання в площині, а іншому - обертання по конусу.

Але період звернення «конічного» маятника дорівнює довжині описуваної вантажем кола, поділеної на швидкість:

Якщо кут відхилення від вертикалі невеликий (малі амплітуди!), то можна вважати, що сила, що повертається, Р 1 спрямована по радіусу кола ВС, тобто дорівнює доцентровій силі:

З іншого боку, з подоби трикутників ОВС та DBE випливає, що ВЕ: BD = CB: OB. Оскільки ОВ=l, CB=r, BE=P 1 то звідси

Прирівнявши обидва вирази Р 1 один до одного, ми отримуємо для швидкості звернення

Нарешті, підставивши це вираз періоду Т, знаходимо

Отже, період математичного маятника залежить від прискорення вільного падіння g і зажадав від довжини маятника l, т. е. відстані від точки підвісу до центру тяжкості вантажу. З отриманої формули випливає, що період маятника не залежить від його маси та від амплітуди (за умови, що вона досить мала). Іншими словами, вийшли шляхом розрахунку ті основні закони, які були встановлені раніше із спостережень.

Але цей теоретичний висновок дає нам більше: він дозволяє встановити кількісну залежність між періодом маятника, його довжиною та прискоренням вільного падіння. Період математичного маятника пропорційний до кореня квадратного з відношення довжини маятника до прискорення вільного падіння. Коефіцієнт пропорційності дорівнює 2?.

Залежно від періоду маятника від прискорення вільного падіння заснований дуже точний спосіб визначення цього прискорення. Вимірявши довжину маятника l і визначивши з великої кількості коливань період Т, ми можемо обчислити за допомогою отриманої формули g. Цей спосіб широко використовується на практиці.

маятник коливання резонанс координата

Невелика кулька, підвішена на легкій нерозтяжній нитці, здатна здійснювати вільнеколивальний рух (рис. 598).

Мал. 598
Для опису руху маятника вважатимемо кульку матеріальною точкою, нехтуємо масою нитки та опором повітря. Така модель називається математичним маятником.
Як координата, що описує положення кульки, виберемо кут відхилення нитки від вертикалі. φ . Для опису зміни цієї координати зручно використовувати рівняння динаміки обертального руху

де J = ml 2− момент інерції системи, ε = Δω/Δt− кутове прискорення тіла (друга похідна від кута повороту), M− сумарний момент зовнішніх сил, що діють на систему 1 . На кульку діють сили тяжіння mg та натягу нитки. Момент сили натягу нитки Nщодо точки підвісу дорівнює нулю, тому рівняння (1) для підвішеної кульки набуває вигляду

або

Це рівняння визначає коливання маятника, але є рівнянням гармонійних коливань, оскільки момент сил пропорційний синусу кута відхилення, а чи не самому куту. Однак, якщо вважати кути відхилення малими (скільки це – ми з'ясуємо пізніше), можна скористатися наближеною формулою sinφ ≈ φу цьому наближенні рівняння (3) перетворюється на знайоме рівняння гармонійних коливань

де Ω = √(g/l)− кругова частота малих коливань маятника 2 . Вирішення цього рівняння ми вже виписували

тут φ o− максимальне відхилення нитки, тобто амплітуда коливань. Для простоти вважатимемо, що початкова швидкість кульки дорівнює нулю.
Період малих коливань маятника виражається через кругову частоту

Оскільки малі коливання математичного маятника є гармонічними, їх період не залежить від амплітуди. Цей факт був експериментально відзначений ще Г. Галілеєм. При великих кутах відхилення період коливань математичного маятника трохи зростає.
Зазначимо, що період коливань математичного маятника не залежить також від маси кульки – пригадайте, прискорення вільного падіння, а також інші характеристики руху тіла в полі тяжіння Землі також не залежать від маси тіла (якщо, звичайно, нехтувати опором повітря).
Формула (6) може бути використана та використовується для експериментального визначення прискорення вільного падіння. Довжина нитки та період коливань досить просто виміряти експериментально, потім за допомогою формули (6) можна розрахувати прискорення вільного падіння.
Спробуємо описати рух математичного маятника за допомогою закону збереження механічної енергії. Кінетична енергія кульки виражається формулою

Нульовий рівень відліку потенційної енергії сумісний із точкою підвісу нитки, тоді потенційна енергія кульки дорівнює

Рівняння закону збереження механічної енергії (з урахуванням початкових умов) має вигляд

Це рівняння також є рівнянням гармонійних коливань. Але, якщо ми знову вважатимемо кути відхилення маятника малими і скористаємося наближеною формулою

то рівняння (7) перейде в рівняння гармонійних коливань

або

де зазначено Ω = √(g/l)− кругова частота коливань, що збігається з отриманою з динамічного рівняння (2).
Звичайно, такий збіг не є випадковим – фактично в обох підходах ми використовували те саме наближення малих кутів відхилення.

1 В принципі, можна використовувати і рівняння динаміки поступального руху, але підхід, що використовується тут, є кращим, так як траєкторією руху точки є дуга кола.
2 Ми вибрали позначення Ω (це теж «омега», тільки заголовна) для власної частоти малих коливань, щоб традиційне позначення ω − залишити за кутовою швидкістю руху кульки, яка буде фігурувати в наших міркуваннях.