Харчування та дієти 

Бінарним ставленням на множині x називається. Бінарне ставлення. Основи дискретної математики

Нехай R- деяке бінарне відношення на множині X, а х, у, z будь-які його елементи. Якщо елемент х знаходиться у відношенні R з елементом у, то пишуть xRy.

1. Відношення R на множині X називається рефлексивним, якщо кожен елемент множини знаходиться в цьому відношенні із самим собою.

R-рефлексивно на X<=>xRx для будь-якого x€ X

Якщо відношення R рефлексивне, то кожній вершині графа є петля. Наприклад, відносини рівності та паралельності для відрізків є рефлексивними, а відношення перпендикулярності та «довше» не є рефлексивними. Це відбивають графи малюнку 42.

2. Відношення R на множині X називається симетричним, якщо з того, що елемент х знаходиться в даному відношенні з елементом у, випливає, що елемент у цьому ж відношенні з елементом х.

R - симетрично на (хЯу => у Rx)

Граф симетричного відношення містить парні стрілки, що йдуть у протилежних напрямках. Відносини паралельності, перпендикулярності та рівності для відрізків мають симетричність, а відношення «довше» - не є симетричним (рис. 42).

3. Відношення R на множині X називається антисиметричним, якщо для різних елементів х і у з множини X з того, що елемент х знаходиться в даному відношенні з елементом у, слід, що елемент у цьому відношенні з елементом х не знаходиться.

R - антисиметрично на Х« (xRy та xy ≠ yRx)

Примітка: риса зверху позначає заперечення висловлювання.

На графі антисиметричного відношення дві точки може поєднувати лише одна стрілка. Прикладом такого відношення є відношення "довше" для відрізків (рис. 42). Відносини паралельності, перпендикулярності та рівності не є антисиметричними. Існують відносини, які не є ні симетричними, ні антисиметричними, наприклад, ставлення «бути братом» (рис. 40).

4. Відношення R на множині X називається транзитивним, якщо з того, що елемент х знаходиться в даному відношенні з елементом у і елемент у знаходиться в цьому відношенні з елементом z, слід, що елемент х знаходиться в даному відношенні з елементом Z

R - транзитивно на A≠ (xRy та yRz=> xRz)

На графах відносин «довше», паралельності і рівності малюнку 42 можна помітити, що й стрілка йде від першого елемента до другого і від другого до третього, то обов'язково є стрілка, що йде від першого елемента до третього. Ці відносини є транзитивними. Перпендикулярність відрізків не має властивості транзитивності.

Існують інші властивості відносин між елементами однієї множини, які ми не розглядаємо.

Те саме ставлення може мати кілька властивостей. Так, наприклад, на багатьох відрізках відношення «рівно» - рефлексивне, симетричне, транзитивне; відношення «більше» - антисиметричне та транзитивне.


Якщо ставлення на множині X рефлексивно, симетрично і транзитивно, воно є ставленням еквівалентності цьому множині. Такі відносини розбивають безліч X класи.

Дані відносини проявляються, наприклад, при виконанні завдань: «Підбери смужки рівні по довжині і розклади по групах», «Розклади м'ячі так, щоб у кожній коробці були м'ячі одного кольору». Відносини еквівалентності («бути рівним по довжині», «бути одного кольору») визначають у цьому випадку розбиття множин смужок та м'ячів на класи.

Якщо відношення на множині 1 транзитивно і антисиметрично, воно називається ставленням порядку на цій множині.

Безліч із заданим у ньому ставленням порядку називається упорядкованим безліччю.

Наприклад, виконуючи завдання: «Порівняй смужки по ширині і розклади їх від найвужчої до найширшої», «Порівняй числа та розклади числові картки по порядку», діти впорядковують елементи множин смужок та числових карток за допомогою відносин порядку; «бути ширшими», «іти за».

Взагалі відносини еквівалентності та порядку відіграють велику роль у формуванні у дітей правильних уявлень про класифікацію та впорядкування множин. З іншого боку, зустрічається багато інших відносин, які є ні відносинами еквівалентності, ні відносинами порядку.


6. Що таке характеристичне властивість множини?

7. У яких відносинах можуть бути безлічі? Дайте пояснення кожному випадку і зобразіть їх за допомогою кіл Ейлера.

8. Дайте визначення підмножини. Наведіть приклад множин, одна з яких є підмножиною іншого. Запишіть їхнє відношення за допомогою символів.

9. Дайте визначення рівних множин. Наведіть приклади двох рівних множин. Запишіть їхнє відношення за допомогою символів.

10. Дайте визначення перетину двох множин і зобразіть його за допомогою кіл Ейлера для кожного окремого випадку.

11. Дайте визначення об'єднання двох множин і зобразіть його за допомогою кіл Ейлера для кожного окремого випадку.

12. Дайте визначення різниці двох множин і зобразіть її за допомогою кіл Ейлера для кожного окремого випадку.

13. Дайте визначення доповнення та зобразіть його за допомогою кіл Ейлера.

14. Що називається розбиттям множини на класи? Назвіть умови правильної класифікації.

15. Що називається відповідністю між двома множинами? Назвіть способи відповідності.

16. Яка відповідність називається взаємно однозначною?

17. Які множини називають рівносильними?

18. Які множини називають рівнозначними?

19. Назвіть способи завдання стосунків на безлічі.

20. Яке відношення на множині називають рефлексивним?

21. Яке відношення на множині називають симетричним?

22. Яке відношення на множині називають антисиметричним?

23. Яке відношення на множині називають транзитивним?

24. Дайте визначення відносини еквівалентності.

25. Дайте визначення відносин порядку.

26. Яку множину називають упорядкованою?

лекція 3.

п.3. Відносини на множинах. Властивості бінарних відносин.

3.1. Бінарні відносини.

Коли говорять про спорідненість двох людей, наприклад, Сергій та Ганна, то мають на увазі, що є якась родина, до членів якої вони належать. Упорядкована пара (Сергій, Ганна) відрізняється від інших упорядкованих пар людей тим, що між Сергієм та Ганною є якась спорідненість (кузина, батько тощо).

У математиці серед усіх упорядкованих пар прямого твору двох множин Aі B (A´ B) теж виділяються «особливі» пари у зв'язку з тим, що між їх компонентами є деякі «родинні» відносини, яких немає в інших. Як приклад розглянемо безліч Sстудентів якогось університету та безліч Kчитаних курсів. У прямому творі S´ Kможна виділити велику підмножину упорядкованих пар ( s, k), які мають властивість: студент sслухає курс k. Побудована підмножина відображає відношення «…слухає…», що природно виникає між множинами студентів та курсів.

Для суворого математичного опису будь-яких зв'язків між елементами двох множин введемо поняття бінарного відношення.

Визначення 3.1. Бінарним (або двомісним )ставленням rміж множинами Aі Bназивається довільне підмножина A´ B, тобто.

Зокрема, якщо A=B(тобто rÍ A 2), то кажуть, що r є відношення на множині A.

Елементи aі bназиваються компонентами (або координатами ) Відношення r.

Зауваження. Домовимося, що з позначення відносин між елементами множин використовувати грецький алфавіт : r, t, j, s, w тощо.


Визначення 3.2. Областю визначення D r=( a| $ b, що a r b) (ліва частина). Область значень бінарного відношення r називається безліч R r=( b| $ a, що a r b) (права частина).

приклад 3. 1. Нехай дані дві множини A=(1; 3; 5; 7) та B= (2; 4; 6). Відношення поставимо наступним чином t=(( x; y)Î A´ B | x+y=9). Це відношення складатиметься з наступних пар (3; 6), (5; 4) та (7; 2), які можна записати у вигляді t=((3; 6), (5; 4), (7;2) ). У цьому прикладі D t=(3; 5; 7) та R t= B={2; 4; 6}.

приклад 3. 2. Відношення рівності на безлічі дійсних чисел є множина r=(( x; y) | xі y– дійсні числа та xодно y). І тому відносини існує спеціальне позначення «=». Область визначення збігається з областю значень і є безліччю дійсних чисел, D r= R r.

приклад 3. 3. Нехай A– безліч товарів у магазині, а B- Багато дійсних чисел. Тоді j=(( x; y)Î A´ B | y- ціна x) - відношення множин Aі B.

Якщо звернути увагу приклад 3.1., можна помітити, що це ставлення було поставлено спочатку як t=(( x; y)Î A´ B | x+y=9), та був записано як t=((3; 6), (5;4), (7;2)). Це говорить про те, що відносини на множинах (або одній множині) можна ставити різними способами. Розглянемо методи завдання бінарних відносин.

Способи завдання відносин:

1) за допомогою відповідного предикату;

2) безліч упорядкованих пар;

3) у графічній формі: нехай Aі B– дві кінцеві множини та r – бінарне відношення між ними. Елементи цих множин зображаємо крапками на площині. Для кожної впорядкованої пари відношення r малюють стрілку, що з'єднує точки, що становлять компоненти пари. Такий об'єкт називається орієнтованим графомабо орграфом, Точки ж, що зображають елементи множин, прийнято називати вершинами графа.

4) у вигляді матриці: нехай A={a 1, a 2, …, an) та B={b 1, b 2, …, bm), r - ставлення на A´ B. Матричним уявленням r називається матриця M=[mij] розміру n´ m, визначена співвідношеннями

.

До речі, матричне уявлення є уявленням в комп'ютері.

приклад 3. 4. Нехай дані дві множини A=(1; 3; 5; 7)і B= (2; 4; 6). Ставлення задано так t=(( x; y) | x+y=9). Задати це ставлення як безліч упорядкованих пар, орграфом, як матриці.

Рішення. 1) t=((3; 6), (5; 4), (7; 2)) - є завдання відношення як безлічі упорядкованих пар;

2) відповідний орієнтований граф показаний малюнку.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">.

приклад 3. 5 . Ще як приклад можна розглянути запропоновану Дж. фон Нейманом(1903 - 1957) блок-схему ЕОМ послідовної дії, яка складається з безлічі пристроїв M:

,

де a- Пристрій введення, b- арифметичний пристрій (процесор), c- пристрій керування, d- запам'ятовуючий пристрій, e- Влаштування виведення.

Розглянемо інформаційний обмін між пристроями miі mj, які знаходяться у відношенні r, якщо з пристрою miнадходить інформація у пристрій mj.

Це бінарне відношення можна задати перерахуванням усіх його 14 упорядкованих пар елементів:

Відповідний орграф, який задає це бінарне відношення, представлений на малюнку:


Матричне уявлення цього бінарного відношення має вигляд:

. ,

Для бінарних відносин звичайним чином визначені теоретико-множинні операції: об'єднання, перетин тощо.


Введемо узагальнене поняття відносини.

Визначення 3.3. n-місцеве (n-арне ) відношення r – це підмножина прямого твору nмножин, тобто безліч упорядкованих наборів ( кортежів )

rÍ A 1´…´ An={(a 1, …, an)| a 1Î A 1Ù … Ù anÎ An}

Багатомісні відносини зручно ставити за допомогою реляційних таблиць . Таке завдання відповідає перерахуванню множини n-До відношення r. Реляційні таблиці широко використовуються у комп'ютерній практиці в реляційних базах даних. Зауважимо, що реляційні таблиці знайшли застосування у повсякденній практиці. Різні виробничі, фінансові, наукові та інші звіти часто мають форму реляційних таблиць.

Слово « реляційна» походить від латинського слова relation, що у перекладі російською мовою означає «відношення». Тому в літературі для позначення відносин використовують букву R(латинську) або r (грецьку).

Визначення 3.4.Нехай rÍ A´ Bє відношення на A´ B.Тоді відношення r-1 називається зворотним ставленням до цього відношення r на A´ B, Яке визначається наступним чином:

r-1=(( b, a) | (a, b) Îr).

Визначення 3.5.Нехай r Í A´ Bє відношення на A´ B,а s Í B´ C –ставлення на B´ C. Композицієювідносин s і r називається відношення t Í A´ C, Яке визначається наступним чином:

t=s◦r= (( a, c)| $bÎ B, що (a, b)Îr і (b, c) Îs).

приклад 3. 6 . Нехай і C=(, !, d, à). І нехай відношення r на A´ Bі ставлення s на B´ Cзадані у вигляді:

r=((1, x), (1, y), (3, x)};

s=(( x,), (x, !), (y, d), ( y, à)}.

Знайти r-1 та s◦r, r◦s.

Рішення. 1) За визначенням r-1=(( x, 1), (y, 1), (x, 3)};

2) Використовуючи визначення композиції двох відносин, отримуємо

s◦r=((1,), (1, !), (1, d), (1, à), (3,), (3, !)),

оскільки з (1, x)Îr та ( x,)Îs слід (1,)Îs◦r;

з (1, x)Îr та ( x, !)Îs слід (1, !)Îs◦r;

з (1, y)Îr та ( y, d)Îs слід (1, d)Îs◦r;

з (3, x)Îr та ( x, !)Îs слід (3, !)Îs◦r.

Теорема 3.1.Для будь-яких бінарних відносин виконуються такі властивості:

2) ;

3) - асоціативність композиції.

Доведення.Властивість 1 очевидна.

Доведемо властивість 2. Для доказу другої властивості покажемо, що множини, записані в лівій та правій частинах рівності, складаються з одних і тих самих елементів. Нехай ( a; b) Î (s◦r)-1 ¢ ( b; a) Î s◦r û $ cтаке, що ( b; c) Î r та ( c; a) Î s û $ cтаке, що ( c; b) Î r-1 та ( a; c) Î s-1 ¢ ( a; b) Î r -1◦s -1.

Властивість 3 довести самостійно.

3.2. Властивості бінарних відносин.

Розглянемо спеціальні властивості бінарних відносин на безлічі A.

Властивості бінарних відносин.

1. Відношення r на A´ Aназивається рефлексивним , якщо ( a,a) належить r для всіх aз A.

2. Відношення r називається антирефлексивним , якщо з ( a,b)Îr слід a¹ b.

3. Відношення r симетрично , якщо для aі b, що належать A, з ( a,b)Îr слід, що ( b,a)Îr.

4. Відношення r називається антисиметричним , якщо для aі bз A, з приладдя ( a,b) та ( b,a) відношенню r випливає, що a=b.

5. Відношення r транзитивно , якщо для a, bі cз Aз того, що ( a,b)Îr та ( b,c)Îr, слідує, що ( a,c)Îr.

приклад 3. 7. Нехай A=(1; 2; 3; 4; 5; 6). На цій множині задано ставлення rÍ A 2, яке має вигляд: r=((1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2) , (1; 4), (2; 1), (2; 4), (3; 5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)). Якими властивостями має це відношення?

Рішення. 1) Це ставлення рефлексивне, оскільки для кожного aÎ A, (a; a)Îr.

2) Ставлення перестав бути антирефлексивним, оскільки виконується умова цієї характеристики. Наприклад, (2, 2)Îr, але звідси не випливає, що 2¹2.

3) Розглянемо всі можливі випадки, показавши, що відношення r є симетричним:

(a, b)Îr

(b, a)

(b, a)Îr?

4) Дане відношення не є антисиметричним, оскільки (1, 2) Îr та (2,1) Îr, але звідси не випливає, що 1=2.

5) Можна показати, що відношення r транзитивне, використовуючи метод прямого перебору.

(a, b)Îr

(b, c)Îr

(a, c)

(a, c)Îr?

Як по матриці уявлення

визначити властивості бінарного відношення

1. Рефлексивність:на головній діагоналі стоять всі одиниці, зірочками позначені нулі чи одиниці.

.

2. Антирефлексивність:на головній діагоналі всі нулі.

3. Симетричність:якщо.

4. Антисиметричність:всі елементи поза головною діагоналі дорівнюють нулю; на головній діагоналі також можуть бути нулі.

.

Операція «*» виконується за таким правилом: де , .

5. Транзитивність:якщо. Операція "◦" виконується за звичайним правилом множення, при цьому треба враховувати: .

3.3 Відношення еквівалентності. Відношення часткового порядку.

Відношення еквівалентності є формалізацією такої ситуації, коли говорять про схожість (однаковість) двох елементів множини.

Визначення 3.6.Відношення r на Aє відношення еквівалентності, якщо воно рефлексивно, симетрично та транзитивно.Відношення еквівалентності a r bчасто позначається: a~ b.

приклад 3. 8 . Відношення рівності на багатьох цілих чисел є відношення еквівалентності.

приклад 3. 9 . Ставлення «одного зростання» є відношення еквівалентності на багатьох людей X.

приклад 3. 1 0 . Нехай ¢ – безліч цілих чисел. Назвемо два числа xі yз ¢ порівнянними за модулемm(mÎ¥) і запишемо , якщо рівні залишки цих чисел від розподілу їх на m, Т. е. різниця ( x-y) ділиться на m.

Відношення «порівняних за модулем mцілих чисел» є відношення еквівалентності на безлічі цілих числа ¢. Справді:

це ставлення рефлексивно, т. до. x΢ маємо x-x=0, і, отже, воно поділяється на m;

це відношення симетрично, тому що якщо ( x-y) ділиться на m, то і ( y-x) теж ділиться на m;

це ставлення транзитивно, тому що якщо ( x-y) ділиться на m, то для деякого цілого t 1 маємо https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, звідси , Т. е. ( x-z) ділиться на m.

Визначення 3.7.Відношення r на Aє відношення часткового порядку, якщо воно рефлексивно, антисиметрично та транзитивнота позначається символом °.

Частковий порядок важливий у тих ситуаціях, коли хочемо якось охарактеризувати старшинство. Іншими словами, вирішити за яких умов вважати, що один елемент множини перевершує інший.

приклад 3. 11 . Ставлення x£ yна багатьох дійсних чисел є відношення часткового порядку. ,

приклад 3. 1 2 . У безлічі підмножин деякої універсальної множини Uставлення AÍ Bє відношення часткового порядку.

приклад 3. 1 3 . Схема організації підпорядкування установі є ставлення часткового порядку на багатьох посад.

Прообразом відносини часткового порядку є інтуїтивне поняття відносини переваги (попередження). Відношення переваги виділяє клас завдань, які можна об'єднати як завдання про проблему вибору найкращого об'єкта .

Формулювання завдання:нехай є сукупність об'єктів Aі потрібно порівняти їх за перевагою, тобто задати відношення переваги на множині Aта визначити найкращі об'єкти.

Відношення переваги P, яке можна визначити як « aPb, a, bÎ A¯ об'єкт aне менш кращий, ніж об'єкт b» є за змістом рефлексивним і антисиметричним (кожен об'єкт не гірший за самого себе, і, якщо об'єкт aне гірше bі bне гірше a, то вони однакові за перевагою). Природно вважати, що ставлення Pтранзитивно (хоча у разі, коли, наприклад, переваги обговорюються групою осіб із протилежними інтересами, ця властивість може бути порушена), тобто. P- Відношення часткового порядку.

Один із можливих способів вирішення завдання порівняння об'єктів за перевагою – ранжування , тобто впорядкування об'єктів відповідно до зменшення їх переваги або рівноцінності. У результаті ранжирування ми виділяємо «найкращі» чи «найгірші» з погляду відношення переваги об'єкти.

Області застосування Завдання про проблему вибору найкращого об'єкта: теорія прийняття рішень, прикладна математика, техніка, економіка, соціологія, психологія.

Визначення. Бінарним ставленням Rназивається підмножина пар (a,b)∈Rдекартові твори A×B, тобто R⊆A×B . При цьому безліч Aназивають областю визначення відношення R, множина B – областю значень.

Позначення: aRb (тобто a і b знаходяться щодо R). /

Зауваження: якщо A = B , то кажуть, що R є відношення на множині A .

Способи завдання бінарних відносин

1. Списком (перерахуванням пар), котрим це ставлення виконується.

2. Матрицею. Бінарному відношенню R ∈ A ? дорівнює 1, якщо між a i і a j має місце відношення R або 0, якщо воно відсутнє:

Властивості відносин

Нехай R – відношення на множині A, R ∈ A×A. Тоді відношення R:

    рефлексивно, якщо Ɐ a ∈ A: a Ra (головна діагональ матриці рефлексивного відношення містить лише одиниці);

    антирефлексивно, якщо Ɐ a ∈ A: a Ra (головна діагональ матриці рефле сивного відношення містить тільки нулі);

    симетрично, якщо Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b Ra (матриця такого відношення симетрична щодо головної діагоналі, тобто c ij c ji);

    антисиметрично, якщо Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (у матриці такого відношення відсутні одиниці, симетричні щодо головної діагоналі);

    транзитивно, якщо Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c (у матриці такого відношення має виконуватися умова: якщо в i-му рядку стоїть одиниця, наприклад, у j-ій координаті (стовпці) рядки, тобто c ij = 1 , то всім одиницям у j-му рядку (нехай цим одиницям відповідають k е координати такі, що c jk = 1) повинні відповідати одиниці в i-му рядку в тих же k-х координатах, тобто c ik = 1 (і, можливо, ще й в інших координатах).

Завдання 3.1.Визначте властивості відношення R – бути дільником, заданого на безлічі натуральних чисел.

Рішення.

відношення R = ((a, b): a дільник b):

    рефлексивно, не антирефлексивно, оскільки будь-яке число ділить саме себе без залишку: a/a = 1 всім a∈N ;

    не симетрично, антисиметрично, наприклад, дільник 2 4, але 4 не є дільником 2;

    транзитивно,таккакеслі b/a ∈ N і c/b ∈ N, то c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, наприклад, якщо 6/3 = 2∈N і 18/6 = 3∈N, то 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Завдання 3.2.Визначте властивості відношення R – бути братом, заданого на безлічі людей.
Рішення.

Відношення R = ((a, b): a - брат b):

    не рефлексивно, антирефлексивно через очевидну відсутність aRa для всіх a;

    не симетрично, тому що в загальному випадку між братом a і сестрою b має місце aRb, але не bRa;

    не антисиметрично, оскільки якщо a і b-брати, то aRb і bRa, але a≠b;

    транзитивно, якщо називати братами людей, які мають спільних батьків (батька та матір).

Завдання 3.3.Визначте властивості відношення R – «бути начальником», заданого на безлічі елементів структури

Рішення.

Відношення R = ((a, b): a - начальник b):

  • не рефлексивно, антирефлексивно, якщо у конкретній інтерпретації немає сенсу;
  • не симетрично, антисиметрично, так як для всіх a≠b не виконується одночасно aRb та bRa;
  • транзитивно, оскільки якщо начальник b і b начальник c , то a начальник c .

Визначте властивості відношення R i , заданого на множині M i матрицею, якщо:

  1. R 1 «мати той самий залишок від розподілу на 5»; M 1 безліч натуральних чисел.
  2. R 2 "бути рівним"; M 2 безліч натуральних чисел.
  3. R 3 "жити в одному місті"; M 3 багато людей.
  4. R 4 бути знайомим; M 4 багато людей.
  5. R 5 ((a,b):(a-b) - парне; M 5 безліч чисел (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  6. R 6 ((a,b):(a+b) - парне; M 6 безліч чисел (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  7. R 7 ((a,b):(a+1) - дільник (a+b)); M 7 - множина (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  8. R 8 ((a,b):a - дільник (a+b),a≠1); M 8 – безліч натуральних чисел.
  9. R 9 бути сестрою; M 9 – безліч людей.
  10. R 10 "бути дочкою"; M 10 – безліч людей.

Операції над бінарними відносинами

Нехай R 1 R 1 є відносини, задані на множині A .

    об'єднання R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 або (a,b) ∈ R 2 );

    перетин R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 і (a,b) ∈ R 2 );

    різниця R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a, b) : (a, b) ∈ R 1 і (a, b) ∉ R 2);

    універсальне відношення U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

    доповнення R 1 U \ R 1 де U = A × A;

    тотожне ставлення I: = ((a; a) / a ∈ A);

    зворотне ставлення R -1 1 : R -1 1 = ((a, b) : (b, a) ∈ R 1);

    композиція R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), де R 1 ⊂ A × C і R 2 ⊂ C × B;

Визначення. ступенем відносини R на множині A називається його композиція із самим собою.

Позначення:

Визначення. Якщо R ⊂ A × B , то R º R -1 називається ядром відношення R .

Теорема 3.1.Нехай R ⊂ A × A – відношення, задане на множині A .

  1. R рефлексивно тоді і лише тоді, (далі використовується знак ⇔) коли I ⊂ R.
  2. R симетрично ⇔ R = R -1.
  3. R транзитивно ⇔ R º R ⊂ R
  4. R антисиметрично ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
  5. R антирефлексивно ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Завдання 3.4 . Нехай R - відношення між множинами (1,2,3) і (1,2,3,4), задане перерахуванням пар: R = ((1,1), (2,3), (2,4), ( 3,1), (3,4)). Крім того, S - відношення між множинами S = ​​((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Обчисліть R -1 , S -1 і S º R. Перевірте, що (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Рішення.
R -1 = ((1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3));
S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4));
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2 ,1), (2,2), (2,3)) = (S º R ) -1.

Завдання 3.5 . Нехай R відношення «...батько...», а S відношення «...брат...» на багатьох людей. Дайте короткий словесний опис відносин:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 і R º R.

Рішення.

R -1 - відношення «... дитина ...»;

S -1 - ставлення «...брат чи сестра...»;

R º S - відношення «...батько...»;

S -1 º R -1 - відношення «...дитина...»

R º R - відношення «...бабуся чи дідусь...»

Завдання для самостійного вирішення

1) Нехай R - ставлення «...батько...», а S - відношення «...сестра...» на багатьох людей. Дайте словесний опис відносин:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , R º R.

2) Нехай R - ставлення «...брат...», а S - відношення «...мати...» на багатьох людей. Дайте словесний опис відносин:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) Нехай R - ставлення «...дід...», а S - відношення «...син...» на багатьох людей. Дайте словесний опис відносин:

4) Нехай R - відношення «...дочка...», а S - відношення «...бабуся...» на множині всіх людей. Дайте словесний опис відносин:

5) Нехай R - ставлення «...племінниця...», а S - відношення «...батько...» на багатьох людей. Дайте словесний опис відносин:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) Нехай R - ставлення «сестра...», а S - ставлення «мати...» на багатьох людей. Дайте словесний опис відносин:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

7) Нехай R - відношення «...мати...», а S - відношення «...сестра...» на множині всіх людей. Дайте словесний опис відносин:

R -1 , S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Нехай R - ставлення «...син...», а S - відношення «...дід...» на багатьох людей. Дайте словесний опис відносин:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) Нехай R - відношення «...сестра...», а S - відношення «...батько...» на множині всіх людей. Дайте словесний опис відносин:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

10) Нехай R - ставлення «...мати...», а S - відношення «...брат...» на багатьох людей. Дайте словесний опис відносин:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

У повсякденні нам постійно доводиться стикатися з поняттям «відносини». Відносини – один із способів завдання взаємозв'язків між елементами множини.

Унарні (одномісні) відносини відображають наявність якоїсь однієї ознаки R у елементів множини M (наприклад, «бути червоною» на безлічі куль в урні).

Бінарні (двомісні) відносини використовуються для визначення взаємо

зв'язків, якими характеризуються пари елементів у множині M.

Наприклад, на багатьох людей можуть бути задані такі відносини: «жити в одному місті», « xпрацює під керівництвом y», «Бути сином», «Бути старшим» і т.д. на безлічі чисел: «число aбільше числа b», «число aє дільником числа b», «числа aі bдають однаковий залишок при розподілі на 3».

У прямому творі, де A- безліч студентів будь-якого вузу, B- безліч предметів, що вивчаються, можна виділити велику підмножину впорядкованих пар (a, b), які мають властивість: «студент aвивчає предмет b». Побудована підмножина відображає відношення «вивчає», що виникає між множинами студентів та предметів. Число прикладів можна продовжити

Відносини між двома об'єктами є предметом дослідження економіки, географії, біології, фізики, лінгвістики, математики та інших наук.

Для суворого математичного опису будь-яких зв'язків між елементами двох множин вводиться поняття бінарного відношення.

Бінарним ставленням між множинами A та Bназивається підмножина R прямого твору. У тому випадку, коли можна просто говорити про ставлення Rна A.

Приклад 1. Випишіть упорядковані пари, що належать бінарним відносинам R 1і R 2, заданими на множинах Aта : , . Підмножина R 1складається з пар: . Підмножина.

Область визначення Rє безліч всіх елементів з Aтаких, що для деяких елементів маємо . Іншими словами область визначення Rє безліч усіх перших координат упорядкованих пар з R.

Безліч значеньвідносини Rє безліч всіх таких, що для деяких . Тобто безліч значень Rє безліч всіх других координат упорядкованих пар з R.

У прикладі 1 для R 1область визначення: , множина значень - . Для R 2Область визначення: , безліч значень: .

У багатьох випадках зручно використати графічне зображення бінарного відношення. Воно здійснюється двома способами: за допомогою точок на площині та за допомогою стрілок.

У першому випадку вибирають дві взаємно перпендикулярні лінії як горизонтальну і вертикальну осі. На горизонтальній осі відкладають елементи множини Aта через кожну точку проводять вертикальну лінію. На вертикальній осі відкладають елементи множини Bчерез кожну точку проводять горизонтальну лінію. Точки перетину горизонтальних та вертикальних ліній зображують елементи прямого твору.

Приклад 5. Нехай,.

Нехай R 1поставлено на перерахуванням упорядкованих пар: . Бінарне відношення R 2на безлічі задано за допомогою правила: упорядкована пара, якщо aділиться на b. Тоді R 2складається з пар: .

Бінарні відносини, приклад 2, R 1і R 2зображено графічно на рис. 6 та рис.7.

Мал. 6 Мал. 7

Щоб зобразити бінарне відношення за допомогою стрілок, ліворуч зображуються крапками елементи множини A, праворуч - множини B. Для кожної пари (a, b), що міститься у бінарному відношенні R, проводиться стрілка від aдо b, . Графічне зображення бінарного відношення R 1, наведеного у прикладі 6, показано на рис.8.

Рис.8

Бінарні відносини на кінцевих множинах можуть бути задані матрицями. Припустимо, що поставлено бінарне ставлення Rміж множинами Aі B. , .

Рядки матриці нумеруються елементами множини A, а стовпці – елементами множини B. Осередок матриці, що стоїть на перетині i- ого рядка та j- ого стовпця прийнято позначати через C ij , а заповнюється вона так:

Отримана матриця матиме розмір.

Приклад 6.Нехай задано безліч. На безлічі задайте списком та матрицею відношення R- «Бути суворо менше».

Ставлення Rяк безліч містить усі пари елементів ( a, b)з Mтакі, що .

Матриця відносини, побудована за вищевказаними правилами, має такий вигляд:

Властивості бінарних відносин:

1. Бінарне відношення Rна безлічі називається рефлексивним, якщо для будь-якого елемента aз Mпара (a, a)належить R, тобто. має місце для будь-кого aз M:

Відносини "жити в одному місті", "вчитися в одному вузі", "бути не більше" є рефлексивними.

2. Бінарне ставлення називається антирефлексивнимякщо воно не володіє властивістю рефлексивності для будь-яких a:

Наприклад, «бути більше», «бути молодшими» - це антирефлексивні відносини.

3. Бінарне відношення Rназивається симетричним, якщо для будь-яких елементів aі bз Mз того, що пара (a, b)належить R, , Випливає, що пара (b, a)належить R, тобто.

Симетричнапаралельність прямих, т.к. якщо то // . Симетричне відношення"бути рівним" на будь-якій множині або "бути взаємнопростим на N".

Відношення R симетрично тоді і лише тоді, коли R=R -1

4. Якщо для несупадних елементів правильне ставлення, але хибно, то відношення антисиметрично. Можна сказати інакше:

Антисиметричними є стосунки«Бути більше», «Бути дільником на N», «Бути молодшим».

5. Бінарне відношення Rназивається транзитивним, якщо для будь-яких трьох елементів з того, що пари (a, b)і (b, c)належать Rслід, що пара (a, c) належить R:

Транзитивні відносини: «Бути більше», «Бути паралельним», «Бути рівним» та ін.

6. Бінарне відношення R антитранзитивно, якщо воно не має властивості транзитивності.

Наприклад, «бути перпендикулярним» на безлічі прямих площин ( , , але невірно, що ).

Т.к. бінарне відношення може бути поставлене не лише прямим перерахуванням пар, а й матрицею, то доцільно з'ясувати, якими ознаками характеризується матриця відношення Rякщо воно: 1) рефлексивно, 2) антирефлексивно, 3) симетрично, 4) антисиметрично, 5) транзитивно.

Нехай Rзадано на , .R або виконується в обидві сторони, або не виконується взагалі. Таким чином, якщо в матриці стоїть одиниця на перетині i- ого рядка та j- ого стовпця, тобто. C ij=1, то вона має стояти і на перетині j- ого рядка та i- ого стовпця, тобто. C ji=1, і навпаки, якщо C ji=1, то C ij=1. Таким чином, матриця симетричного відношення симетрична щодо головної діагоналі.

4. Rантисиметрично, якщо і слід: . Це означає, що у відповідній матриці для жодних i, jне виконується C ij =C ji=1. Таким чином, у матриці антисиметричного відношення відсутні одиниці, симетричні щодо головної діагоналі.

5. Бінарне відношення R на непустому множині A називається транзитивнимякщо

Наведена вище умова повинна виконуватися для будь-яких елементів матриці. І, навпаки, якщо у матриці Rє хоча б один елемент C ij=1, для якого ця умова не виконується, то Rне транзитивно.

Мова T-SQL в SQL Server базується на стандартній мові SQL, заснованій на реляційній моделі, яка, у свою чергу, базується на математичних підставах, таких як теорія множин та логіка предикатів. У статті розглядається фундаментальна тема з теорії множин: властивості відносин на множинах. Пропоновані коди T-SQL читачі зможуть використовувати для перевірки певних властивостей тих чи інших відносин. Але можна ще спробувати написати власні версії сценаріїв (щоб визначити, чи має відношення конкретна властивість), перш ніж застосовувати описані в статті рішення.

Безліч та відносини

Георг Кантор, творець теорії множин, визначає безліч як «об'єднання в якесь ціле M сукупності певних добре помітних об'єктів m нашого споглядання чи мислення (які будуть називатися елементами множини M)». Елементами множини можуть бути об'єкти довільної природи: люди, цифри і навіть самі множини. Символи ∈ і ∉ позначають, відповідно оператори, що відбивають приналежність (входження, членство) і неналежність елемента безлічі. Так, запис x ∈ V означає, що x є елементом множини V, а запис x ∉ V - що x не є елементом V.

Бінарним ставленням на множині називається безліч упорядкованих пар елементів вихідної множини. Так, для множини елементів V = (a, b, c), бінарним ставленням R на даній множині V буде довільне підмножина множини всіх упорядкованих пар декартового твору V × V = ((a, a), (a, b), (a , c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)). Відношення R = ((a, b), (b, c), (a, c)) є допустимим бінарним ставленням на V. Можна сказати, що a співвідноситься з b за допомогою R. Припустимо, що R = ((a, b) ), (b, c), (c, d)). Таке R не є допустимим ставленням на V, оскільки пара (c, d) не належить декартову добутку V × V. Зауважимо, що порядок вказівки елементів, що входять до множини, не є важливим. Безліч V може бути задано як (a, b, c) або як (b, a, c) і таке інше. Однак порядок у впорядкованих парах, наприклад (a, b) бінарного відношення, важливий; таким чином (a, b) ≠ (b, a).

Як реальніший приклад бінарного відношення розглянемо безліч F членів сім'ї: (Іцик, Міккі, Інна, Міла, Габі). Міккі – брат-близнюк Іцика, Інна – його старша сестра, Міла – мама, а Габі – батько. Прикладом відношення R на множині F буде: «є братом». Елементи цього відношення суть ((Іцик, Міккі), (Міккі, Іцик), (Іцик, Інна), (Міккі, Інна)). Зазначаємо, що впорядкована пара (Іцик, Інна) з'являється у R, а пара (Інна, Іцик) – ні. Хоча Іцик – брат Інни, вона йому братом не доводиться.

Властивості відносин на безлічі

Тепер, коли ми освіжили наші уявлення про множини і відносини, приступимо до теми статті - властивостей відносин на множинах. Як дані для прикладу звернемося до кодів лістингу 1, щоб створити таблиці V і R. V представлятиме безліч, а R - бінарне відношення на ньому. Використовуйте код листингу 2 для створення процедури ClearTables, за допомогою якої зможете очистити від записів обидві таблиці перед заповненням новими зразками даних. Нарешті, використовуйте коди лістингів 3, 4 і 5 для наповнення таблиць V і R різними наборами даних для тестування (назвемо їх прикладами даних 1, 2 і 3 відповідно).

Рефлексивність.Відношення R на множині V є рефлексивним, якщо для будь-якого елемента v множини V, v ∈ V, випливає, що (v, v) ∈ R, тобто пара (v, v) завжди належить R. А відношення R на V не рефлексивне якщо знайдеться такий елемент v ∈ V, що пара (v, v) ∉ R. Знову розглянемо приклад множини F - членів моєї сім'ї.

Відношення «мати однаковий вік з» на F, очевидно, рефлексивне. Елементами відношення будуть такі пари: ((Іцик, Іцик), (Іцик, Міккі), (Міккі, Міккі), (Міккі, Іцик), (Інна, Інна), (Міла, Міла), (Габі, Габі)).

Приступимо до написання T-SQL запиту до таблиць V і R (що представляє безліч і відношення на цій множині), що перевіряє, чи володіє R властивістю рефлексивності:

SELECT
CASE
WHEN EXISTS
(SELECT v, v FROM dbo.V
EXCEPT
SELECT r1, r2 FROM dbo.R)
THEN "Ні"
ELSE "Так",
END AS reflexive

Перше підзапит в операції EXCEPT повертає набір всіх упорядкованих пар (v, v) для всіх рядків таблиці V. Друге підзапит повертає набір упорядкованих пар (r1, r2) - всіх рядків таблиці R. Операція EXCEPT, таким чином, поверне всі упорядковані пари, що зустрічаються у першому та відсутні у другому наборі. Предикат EXISTS необхідний перевірки існування хоча б однієї записи в результующем наборі. Якщо знайдеться хоча б один такий запис, то вираз CASE поверне нам «Ні» (немає рефлексивності), а й «Так» - інакше (є рефлексивність).

Подивіться три приклади наборів даних у лістингах 3, 4 і 5 і спробуйте визначити без запуску запиту, у яких їх ставлення буде рефлексивним. Відповіді даються далі у тексті статті.

Ірефлексивність.Відношення R на множині V називається іррефлексивним (не плутати з нерефлексивністю), якщо для кожного елемента v ∈ V випливає, що (v, v) ∉ R. Відношення не іррефлексивне, якщо знайдеться елемент v ∈ V, для якого (v, v) ∈ R. Прикладом іррефлексивного відношення на множині F членів моєї сім'ї є відношення «бути батьком», тому що жодна людина не може бути батьком самому собі. Членами цього відношення на F будуть такі пари: ((Міла, Іцик), (Міла, Міккі), (Міла, Інна), (Габі, Іцик), (Габі, Міккі), (Габі, Інна)).

Наступний запит є перевірним - чи буде відношення R на V іррефлексивним:

SELECT
CASE
WHEN EXISTS
(SELECT * FROM dbo.R
WHERE r1 = r2)
THEN "Ні"
ELSE "Так"
END AS irreflexive

Зовнішні ключі у визначенні таблиці R були введені для забезпечення того, що лише елементи V зможуть скласти атрибути r1 і r2 записи R. Таким чином, залишається тільки перевірити, чи немає R записів з збігаються атрибутами r1 і r2. Якщо такий запис знайдеться, відношення R не є іррефлексивним, якщо запису немає, воно іррефлексивним.

Симетричність.Відношення R на множині V називається симетричним, якщо разом з (r1, r2) ∈ R завжди виконується і (r2, r1) ∈ R. Відношення не симетричне, якщо знайдеться деяка пара (r1, r2) ∈ R, для якої (r2, r1) ∉ R. На множині F членів сім'ї Бен-Ган відношення «є братом або сестрою (is a sibling of)» буде прикладом симетричного відношення. Парами цього відношення будуть наступні набори: ((Іцик, Міккі), (Іцик, Інна), (Міккі, Іцик), (Міккі, Інна), (Інна, Іцик), (Інна, Міккі)).

Наступний запит є перевірним - чи відношення R на V симетричним:

SELECT
CASE
WHEN EXISTS
(SELECT r1, r2 FROM dbo.R
EXCEPT
SELECT r2, r1 FROM dbo.R)
THEN "Ні"
ELSE "Так"
END AS symmetric

Код запиту використовує операцію EXCEPT. Перший підзапит операції EXCEPT повертає набір упорядкованих пар (r1, r2) - записів таблиці R, а другий - набір впорядкованих пар (r2, r1) за кожним записом R. Якщо відношення R на множині V не симетрично, то операція EXCEPT поверне непустий результуючий набір , а предикат EXISTS відповідно значення TRUE і, нарешті, вираз CASE поверне «Ні».

Якщо ставлення симетричне, то вираз CASE дасть "Так".

Асиметричність.Відношення R на множині V асиметрично (не слід плутати цю властивість з несиметричністю), якщо для кожного набору (r1, r2) ∈ R, в якому r1 ≠ r2, справедливо, що (r2, r1) ∉ R. Прикладом асиметричного відношення на множині F членів сім'ї автора буде відношення «батьком», яке було описано вище. Як вправу постарайтеся придумати приклад стосунку на непорожній множині, яка одночасно є симетричною та асиметричною. Перевірте приклад даних у цій статті як рішення.

SELECT
CASE
WHEN EXISTS
(SELECT r1, r2 FROM dbo.R WHERE r1 r2
INTERSECT
SELECT r2, r1 FROM dbo.R WHERE r1 r2)
THEN "Ні"
ELSE "Так"
END AS asymmetric

У коді використовується операція INTERSECT. Перше підзапит у цій операції повертає впорядковану пару (r1, r2) для кожного запису таблиці R, в якій r1 r2.

Друге підзапит операції INTERSECT повертає впорядковану пару (r2, r1) для кожного запису таблиці R, в якій r1 r2. Якщо результуючий набір (результат перетину цих множин) входить хоча б один запис, це означатиме, що R не асиметрично; інакше R асиметрично.

Транзитивність.Відношення R на множині V є транзитивним, якщо з включень (a, b) ∈ R і (b, c) ∈ R завжди випливає, що і (a, c) ∈ R. Прикладом транзитивного відношення на множині членів сім'ї F буде відношення "є братом або сестрою", яке було розглянуто вище.

Наведений нижче код перевіряє транзитивність відношення R:

SELECT
CASE
WHEN EXISTS
(SELECT *
FROM dbo.R AS RA
INNER JOIN dbo.R AS RB
ON RA.r2 = RB.r1
LEFT OUTER JOIN dbo.R AS RC
ON RA.r1 = RC.r1 AND RB.r2 = RC.r2
WHERE RC.r1 IS NULL)
THEN "Ні"
ELSE "Так"
END AS transitive

У коді, по‑перше, використовується внутрішній зв'язок (inner join) між двома примірниками R, щоб відбирати лише ті рядки, в яких r2 у першому примірнику збігається з r1 на другому примірнику. По-друге, у коді застосовується лівий зовнішній зв'язок (left outer join) з третім екземпляром таблиці R, відповідно до якої r1 першого екземпляра R збігається з r1 третього екземпляра, а r2 другого екземпляра збігається з r2 третього. Якщо існує хоча б один результуючий рядок у внутрішньому підзапиті (умова відбору для третього екземпляра: r1 є Null), це означає, що відношення не є транзитивним; в іншому випадку відношення R транзитивне.

Відношення еквівалентності.Відношенням еквівалентності є таке відношення, яке одночасно має властивості рефлексивності, симетричності та транзитивності. Можна використовувати запити, запропоновані вище для роздільної перевірки наявності кожної властивості: якщо відношення має всі три, то слід зробити висновок, що має місце відношення еквівалентності. Крім того, ви можете використовувати коди лістингу 6 для перевірки всіх властивостей відношення R на множині V, які раніше обговорювалися у статті, у тому числі перевірку властивості бути ставленням еквівалентності. Якщо провести прогін листингу 6 для прикладів даних 1, 2 і 3 (отриманих на основі лістингів 3, 4 і 5 відповідно), то вийдуть результати, наведені в таблицях 1, 2 і 3 відповідно.

Повертаючись до основ T-SQL

Отже, ми розглянули фундаментальну тему з математичної теорії множин: властивості відносин на множинах. Я запропонував перевірочні коди T-SQL контролю властивостей деякого відношення, представленого таблицею R (упорядкованих пар елементів), на безлічі елементів, представлених таблицею V.

Використання основних конструкцій T-SQL допомогло нам правильно налаштувати та застосувати засоби цієї мови для кращого розуміння властивостей стосунків на множинах.

Іцик Бен-Ган ( [email protected]) - викладач та консультант, автор книг з T-SQL, має звання SQL Server MVP