Теорема о кинетической энергии работа силы равна. Московский государственный университет печати. Потенциальная энергия взаимодействия тела с Землей

Работа равнодействующей всех сил , приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии тела.

Эта теорема верна не только для поступательного движения твердого тела, но и в случае его произвольного движения.

Кинетической энергией обладают только движущиеся тела, поэтому ее называют энергией движения.

§ 8. Консервативные (потенциальные) силы.

Поле консервативных сил

Опр.

Силы, работа которых не зависит от пути, по которому двигалось тело, а определяется только начальным и конечным положениями тела, называются консервативными (потенциальными) силами.

Опр.

Поле сил – область пространства, в каждой точке которого на тело, помещенное туда, действует сила, закономерно меняющаяся от точки к точке пространства.

Опр.

Поле, не изменяющееся со временем, называется стационарным.

Можно доказать следующие 3 утверждения

1) Работа консервативных сил по любому замкнутому пути равна 0.

Доказательство:

2) Однородное поле сил консервативно.

Опр.

Поле называется однородным, если во всех точках поля силы, действующие на тело помещенное туда, одинаковы по модулю и направлению.

Доказательство:

3) Поле центральных сил, в котором величина силы зависит только от расстояния до центра, консервативно.

Опр.

Поле центральных сил – силовое поле, в каждой точке которого на точечное тело, движущееся в нем, действует сила, направленная вдоль линии, проходящей через одну и ту же неподвижную точку – центр поля.

В общем случае такое поле центральных сил не является консервативным. Если же в поле центральных сил величина силы зависит только от расстояния до центра силового поля (О), т.е. , то такое поле является консервативным (потенциальным).

Доказательство:

где - первообразная .

§ 9. Потенциальная энергия.

Связь силы и потенциальной энергии

в поле консервативных сил

Полем консервативных сил выберем начало координат, т.О.

Потенциальная энергия тела в поле консервативных сил. Эта функция определяется однозначно (зависит только от координат), т.к. работа консервативных сил не зависит от вида пути.

Найдем связь в поле консервативных сил при перемещении тела из точки 1 в точку 2.

Работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии с обратным знаком.

Потенциальная энергия тела поля консервативных сил есть энергия, обусловленная наличием силового поля, возникающего в результате определенного взаимодействия данного тела с внешним телом (телами), которое, как говорят, и создает силовое поле.

Потенциальная энергия поля консервативных сил характеризует способность тела совершить работу и численно равна работе консервативных сил по перемещению тела в начало координат (или в точку с нулевой энергией). Она зависит от выбора нулевого уровня и может быть отрицательной. В любом случае , а значит и для элементарной работы справедливо , т.е. или , где - проекция силы на направление движения или элементарное перемещение. Следовательно, . Т.к. мы можем перемещать тело в любом направлении, то для любого направления справедливо . Проекция консервативной силы на произвольное направление равна производной потенциальной энергии по этому направлению с обратным знаком.

Учитывая разложение векторов и по базису , , получим, что

С другой стороны из математического анализа известно, что полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме произведений частных производных по аргументам на дифференциалы аргументов, т.е. , а значит, из соотношения получим

Для более компактной записи данных соотношений можно использовать понятие градиента функции.

Опр.

Градиентом некоторой скалярной функции координат называется вектор с координатами, равными соответствующим частным производным этой функции.

В нашем случае

Опр.

Эквипотенциальной поверхностью называется геометрическое место точек в поле консервативных сил, значения потенциальной энергии в которых одинаковы, т.е. .

Т.к. из определения эквипотенциальной поверхности следует, что для точек этой поверхности, то , как производная константы, следовательно .

Таким образом, консервативная сила всегда перпендикулярна эквипотенциальной поверхности и направлена в строну убыли потенциальной энергии. (П 1 >П 2 >П 3).

§ 10. Потенциальная энергия взаимодействия.

Консервативные механические системы

Рассмотрим систему их двух взаимодействующих частиц. Пусть силы их взаимодействия центральные и величина силы зависит от расстояния между частицами (такими силами являются гравитационные и электрические кулоновские силы). Понятно, что силы взаимодействия двух частиц – внутренние.

Учитывая третий закон Ньютона (), получим , т.е. работа внутренних сил взаимодействия двух частиц определяется изменением расстояния между ними.

Такая же работа была бы совершена, если бы первая частица покоилась в начале координат, а вторая – получила перемещение , равное приращению ее радиус-вектора, т.е работу, совершаемую внутренними силами можно вычислять, считая одну частицу неподвижной, а вторую – движущейся в поле центральных сил, величина которых однозначно определяется расстоянием между частицами. В §8 мы доказали, что поле таких сил (т.е. поле центральных сил, в котором величина силы зависит только от расстояния до центра) консервативно, а значит, их работу можно рассматривать как убыль потенциальной энергии (определяемой, согласно §9, для поля консервативных сил).

В рассматриваемом случае эта энергия обусловлена взаимодействием двух частиц, составляющих замкнутую систему. Ее именуют потенциальной энергией взаимодействия (или взаимной потенциальной энергией). Она также зависит от выбора нулевого уровня и может быть отрицательной.

Опр.

Механическая система твердых тел, внутренние силы между которыми консервативны, называется консервативной механической системой.

Можно показать, что потенциальная энергия взаимодействия консервативной системы из N частиц слагается из потенциальных энергий взаимодействия частиц, взятых попарно, что можно представить.

Где - потенциальная энергия взаимодействия двух частиц i-ой и j-ой. Индексы i и j в сумме принимают независимые друг от друга значения 1,2,3, … , N. Учитывая, что одна и та же потенциальная энергия взаимодействия i-ой и j-ой частиц друг с другом, то при суммировании энергия будет умножаться на 2, вследствие чего появляется коэффициент перед суммой. В общем случае потенциальная энергия взаимодействия системы из N частиц будет зависеть от положения или координат всех частиц . Нетрудно видеть, что потенциальная энергия частицы в поле консервативных сил есть разновидность потенциальной энергии взаимодействия системы частиц, т.к. силовое поле есть результат некоторого взаимодействия тел друг с другом.

§ 11. Закон сохранения энергии в механике.

Пусть твердое тело движется поступательно под действием консервативных и неконсервативных сил, т.е. общий случай. Тогда равнодействующая всех сил, действующих на тело . Работа равнодействующей всех сил в этом случае .

По теореме о кинетической энергии , а также учитывая, что , получим

Полная механическая энергия тела

Если , то . Это и есть математическая запись закона сохранения энергии в механике для отдельного тела.

Формулировка закона сохранения энергии:

Полная механическая энергия тела не изменяется в отсутствии работы неконсервативных сил.

Для механической системы из N частиц нетрудно показать, что (*) имеет место.

При этом

Первая сумма здесь – суммарная кинетическая энергия системы частиц.

Вторая – суммарная потенциальная энергия частиц во внешнем поле консервативных сил

Третья – потенциальная энергия взаимодействия частиц системы друг с другом.

Вторая и третья суммы представляют собой полную потенциальную энергию системы.

Работа неконсервативных сил состоит из двух слагаемых, представляемых собой работу внутренних и внешних неконсервативных сил .

Также как и в случае движения отдельного тела, для механической системы из N тел, если , то , и закон сохранения энергии в общем случае для механической системы гласит:

Полная механическая энергия системы частиц, находящихся только под действием консервативных сил, сохраняется.

Таким образом, при наличии неконсервативных сил полная механическая энергия не сохраняется.

Неконсервативными силами являются, например, сила трения , сила сопротивления и другие силы, действия которых вызывают дессинацию энергии (переход механической энергии в теплоту).

Силы, приводящие к дессинации называются дессинативными. Некоторые силы не обязательно являются дессинативными.

Закон сохранения энергии имеет всеобщий характер и применим не только к механическим явлениям, но и ко всем процессам в природе. Полное количество энергии в изолированной системе тел и полей всегда остается постоянным. Энергия лишь может переходить из одной формы в другую.

С учетом этого равенства

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Кинœетическая энергия.

Неотъемлемым свойством материи является движение. Различные формы движения материи способны к взаимным превращениям, которые, как установлено, происходят в строго определœенных количественных соотношениях. Единой мерой различных форм движения и типов взаимодействия материальных объектов и является энергия.

Энергия зависит от параметров состояния системы, ᴛ.ᴇ. таких физических величин, которые характеризуют некоторые существенные свойства системы. Энергию, зависящую от двух векторных параметров, характеризующих механическое состояние системы, а именно, радиус-вектора , определяющего положение одного тела относительно другого, и скорости , определяющей быстроту перемещения тела в пространстве, называют механической.

В классической механике представляется возможным разбить механическую энергию на два слагаемых, каждое из которых зависит только от одного параметра:

где - потенциальная энергия, зависящая от относительного расположения взаимодействующих тел; - кинœетическая энергия, зависящая от скорости движения тела в пространстве.

Механическая энергия макроскопических тел может изменяться только за счет работы.

Найдем выражение для кинœетической энергии поступательного движения механической системы. Стоит сказать, что для начала рассмотрим материальную точку массой m . Допустим, что ее скорость в некоторый момент времени t равна . Определим работу результирующей силы , действующей на материальную точку в течение некоторого времени:

Учитывая, что на основе определœения скалярного произведения

где - начальная, а - конечная скорость точки.

Величина

принято называть кинœетической энергией материальной точки.

С помощью этого понятия соотношение (4.12) запишется в виде

Из (4.14) следует, что энергия имеет такую же размерность, как и работа͵ и следовательно, измеряется в тех же единицах.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, работа результирующей всœех сил, действующих на материальную точку, равна приращению кинœетической энергии этой точки. Отметим, что приращение кинœетической энергии может быть положительным или отрицательным в зависимости от знака, совершенной работы (сила может либо ускорять, либо тормозить движение тела). Данное утверждение принято называть теоремой о кинœетической энергии.

Полученный результат без труда обобщается на случай поступательного движения произвольной системы материальных точек. Кинœетической энергией системы принято называть сумма кинœетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит. В результате сложения соотношений (4.13) для каждой материальной точки системы, снова получится формула (4.13), но уже для системы материальных точек:

где m – масса всœей системы.

Отметим, что имеется существенное отличие теоремы о кинœетической энергии (закона об изменении кинœетической энергии) и закона об изменении импульса системы. Как известно, приращение импульса системы определяется только внешними силами. Внутренние силы вследствие равенства действия и противодействия не меняют импульс системы. Не так обстоит дело в случае кинœетической энергии. Работа внутренних сил, вообще говоря, не обращается в нуль. К примеру, при движении двух материальных точек, взаимодействующих между собой силами притяжения, каждая из сил совершит положительную работу, и будет положительной приращение кинœетической энергии всœей системы. Следовательно, приращение кинœетической энергии определяется работой не только внешних, но и внутренних сил.

- Теорема о кинетической энергии

Криволинейным интегралом 2-го рода, вычисление которого, как правило, проще, чем вычисление криволинейного интеграла 1-го рода. Мощностью силыf называется работа силы в единицу времени. Так как за бесконечно малое время dt сила совершает работу dA = fsds = fdr, то мощность...

Кинетическая энергия материальной точки выражается половиной произведения массы этой точки на квадрат ее скорости.

Теорему о кинетической энергии материальной точки можно выразить в трех видах:

т. е. дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на эту точку;

т. е. производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна мощности силы, действующей на эту точку:

т. е. изменение кинетической энергии материальной точки на конечном пути равно работе силы, действующей на точку на том же пути.

Таблица 17. Классификация задач

Если на точку действует несколько сил, то в правые частя уравнений входит работа или мощность равнодействующей этих сил, которая равна сумме работ или мощностей всех составляющих сил.

В случае прямолинейного движения точки, направляя ось по прямой, по которой движется точка, имеем:

где , так как в этом случае равнодействующая всех приложенных к точке сил направлена по оси х.

Применяя теорему о кинетической энергии в случае несвободного движения материальной точки, нужно иметь в виду следующее: если на точку наложена совершенная стационарная связь (точка движется по абсолютно гладкой неподвижной поверхности или линии), то реакция связи в уравнения не входит, ибо эта реакция направлена по нормали к траектории точки и, следовательно, ее работа равна нулю. Если же приходится учитывать трение, то в уравнение кинетической энергии войдет работа или мощность силы трения.

Задачи, относящиеся к этому параграфу, можно разделить на два основных типа.

I. Задачи на применение теоремы о кинетической энергии при прямолинейном движении точки.

II. Задачи на применение теоремы о кинетической энергии при криволинейном движении точки.

Кроме того, задачи, относящиеся к типу I, можно разделить на три группы:

1) сила, действующая на точку (или равнодействующая нескольких сил), постоянна, т. е. , где X - проекция силы (или равнодействующей) на ось , направленную по прямолинейной траектории точки;

2) сила, действующая на точку (или равнодействующая), является функцией расстояния (абсциссы этой точки), т. е.

3) сила, действующая на точку (или равнодействующая), есть функция скорости этой точки, т. е.

Задачи, относящиеся к типу II, можно разделить на три группы:

1) сила, действующая на точку (или равнодействующая), постоянна и по модулю и по направлению (например, сила веса);

2) сила, действующая на точку (или равнодействующая), есть функция положения этой точки (функция координат точки);

3) движение точки при наличии сил сопротивления.

Скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы, называется кинетической энергией системы.

Кинетическая энергия является характеристикой поступательного и вращательного движения системы. На ее изменение влияет действие внешних сил и так как она является скаляром, то не зависит от направления движения частей системы.

Найдем кинетическую энергию при различных случаях движения:

1. Поступательное движение

Скорости всех точек системы равны скорости центра масс . Тогда

Кинетическая энергия системы при поступательном движении равна половине произведения массы системы на квадрат скорости центра масс.

2. Вращательное движение (рис. 77)

Скорость любой точки тела: . Тогда

или используя формулу (15.3.1):

Кинетическая энергия тела при вращении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

3. Плоскопараллельное движение

При данном движении кинетическая энергия складывается из энергии поступательного и вращательных движений

Общий случай движения дает формулу, для вычисления кинетической энергии, аналогичную последней.

Определение работы и мощности мы сделали в параграфе 3 главы 14. Здесь же мы рассмотрим примеры вычисления работы и мощности сил действующих на механическую систему.

1. Работа сил тяжести . Пусть , координаты начального и конечного положения точки k тела. Работа силы тяжести действующих на эту частицу веса будет . Тогда полная работа:

где Р - вес системы материальных точек, - вертикальное перемещение центра тяжести С.

2. Работа сил, приложенных к вращающемуся телу .

Согласно соотношению (14.3.1) можно записать , но ds согласно рисунку 74, в силу бесконечной малости можно представить в виде - бесконечно малый угол поворота тела. Тогда

Величина называется вращающим моментом.

Формулу (19.1.6) перепишем как

Элементарная работа равна произведению вращательного момента на элементарный поворот .

При повороте на конечный угол имеем:

Если вращательный момент постоянен , то

а мощность определим из соотношения (14.3.5)

как произведение вращающего момента на угловую скорость тела.

Теорема об изменении кинетической энергии доказанная для точки (§ 14.4) будет справедлива для любой точки системы

Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно получаем:

или, согласно (19.1.1):

что является выражением теоремы о кинетической энергии системы в дифференциальной форме.

Проинтегрировав (19.2.2) получаем:

Теорему об изменении кинетической энергии в конечном виде: изменение кинетической энергии системы при некотором ее конечном перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Подчеркнем, что внутренние силы не исключаются. Для неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и

Если связи, наложенные на систему, не изменяются со временем, то силы, как внешние так и внутренние, можно разделить на активные и реакции связей, и уравнение (19.2.2) теперь можно записать:

В динамике вводится такое понятие как "идеальная" механическая система. Это такая система, наличие связей у которой не влияет на изменение кинетической энергии, то есть

Такие связи, не изменяющиеся со временем и сумма работ которых на элементарном перемещении равна нулю, называются идеальными, и уравнение (19.2.5) запишется:

Потенциальной энергией материальной точки в данном положении М называется скалярная величина П, равная той работе, которую произведут силы поля при перемещении точки из положения М в нулевое

П = А (мо) (19.3.1)

Потенциальная энергия зависит от положения точки М, то есть от ее координат

П = П(х,у,z) (19.3.2)

Поясним здесь, что силовым полем называется часть пространственного объема, в каждой точке которого на частицу действует определенная по модулю и направлению сила, зависящая от положения частицы, то есть от координат х, у, z. Например, поле тяготения Земли.

Функция U от координат, дифференциал которой равен работе, называется силовой функцией . Силовое поле, для которого существует силовая функция, называется потенциальным силовым полем , а силы действующие в этом поле, - потенциальными силами .

Пусть нулевые точки для двух силовых функций П(х,у,z) и U(x,y,z) совпадают.

По формуле (14.3.5) получаем , т.е. dA = dU(x,y,z) и

где U - значение силовой функции в точке М. Отсюда

П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

Потенциальная энергия в любой точке силового поля равна значению силовой функции в этой точке, взятому с обратным знаком.

То есть, при рассмотрении свойств силового поля вместо силовой функции можно рассматривать потенциальную энергию и, в частности, уравнение (19.3.3) перепишется как

Работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии движущейся точки в начальном и конечном положении.

В частности работа силы тяжести:

Пусть все силы, действующие на систему, будут потенциальными. Тогда для каждой точки k системы работа равна

Тогда для всех сил, как внешних, так и внутренних будет

где - потенциальная энергия всей системы.

Подставляем эти суммы в выражение для кинетической энергии (19.2.3):

или окончательно:

При движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергии системы в каждом ее положении остается величиной постоянной. Это закон сохранения механической энергии.

Груз массой 1 кг совершает свободные колебания согласно закону х = 0,1sinl0t. Коэффициент жесткости пружины с = 100 Н/м. Определить полную механическую энергию груза при х = 0,05м, если при х= 0 потенциальная энергия равна нулю . (0,5)

Груз массой m = 4 кг, опускаясь вниз, приводит с помощью нити во вращение цилиндр радиуса R = 0,4 м. Момент инерции цилиндра относительно оси вращения I = 0,2 . Определить кинетическую энергию системы тел в момент времени, когда скорость груза v = 2м/с . (10,5)