10.4. قانون الحفاظ على الطاقة أثناء التذبذبات التوافقية

10.4.1. حفظ الطاقة في الاهتزازات التوافقية الميكانيكية

حفظ الطاقة أثناء تذبذبات البندول الرياضي

مع الاهتزازات التوافقية ، يتم الحفاظ على الطاقة الميكانيكية الكلية للنظام (تظل ثابتة).

إجمالي الطاقة الميكانيكية للبندول الرياضي

E = W ك + W ع ،

حيث W k - الطاقة الحركية ، W k = = mv 2/2 ؛ W p - الطاقة الكامنة ، W p = mgh ؛ م هو وزن الحمولة ؛ ز - معامل تسارع السقوط الحر ؛ الخامس - معامل سرعة الحمل ؛ h هو ارتفاع الحمل فوق موضع التوازن (الشكل 10.15).

مع التذبذبات التوافقية ، يمر البندول الرياضي عبر سلسلة من الحالات المتتالية ، لذلك يُنصح بالنظر إلى طاقة البندول الرياضي في ثلاثة مواضع (انظر الشكل 10.15):

أرز. 10.15

1 في وضع التوازن

الطاقة الكامنة صفر ؛ تتطابق الطاقة الكلية مع الطاقة الحركية القصوى:

E = W ك كحد أقصى ؛

2 بوصة الموقف المتطرف(2) يتم رفع الجسم فوق المستوى الأولي إلى أقصى ارتفاع h كحد أقصى ، وبالتالي فإن الطاقة الكامنة هي أيضًا الحد الأقصى:

W p max = m g h max ؛

الطاقة الحركية هي صفر ؛ إجمالي الطاقة يتزامن مع الطاقة الكامنة القصوى:

E = W p max ؛

3) في وسيط(3) الجسم له سرعة لحظية v ويتم رفعه فوق المستوى الابتدائي بمقدار من الارتفاع h ، وبالتالي فإن إجمالي الطاقة هو المجموع

ه = م ع 2 2 + م ز ح ،

حيث mv 2/2 - الطاقة الحركية ؛ mgh - الطاقة الكامنة م هو وزن الحمولة ؛ ز - معامل تسارع السقوط الحر ؛ الخامس - معامل سرعة الحمل ؛ h هو ارتفاع الحمل فوق موضع التوازن.

مع التذبذبات التوافقية للبندول الرياضي ، يتم الحفاظ على الطاقة الميكانيكية الكلية:

E = const.

يتم عرض قيم الطاقة الإجمالية للبندول الرياضي في مواضعه الثلاثة في الجدول. 10.1.

№	موضع	Wp	دبليو ك	E = W p + W k
1	حالة توازن	0	م v ماكس 2/2	م v ماكس 2/2
2	أقصى الحدود	mgh ماكس	0	mgh ماكس
3	متوسط ​​(فوري)	mgh	م 2/2	م 2/2 + مغ

قيم إجمالي الطاقة الميكانيكية المعروضة في العمود الأخير من الجدول. 10.1 ، لها قيم متساوية لأي موضع في البندول ، وهو تعبير رياضي:

م v ماكس 2 2 = م ز ح كحد أقصى ؛

م v ماكس 2 2 = م v 2 2 + م ز ح ؛

م ز ح ماكس = م ع 2 2 + م ز س ،

حيث م هو وزن الحمولة ؛ ز - معامل تسارع السقوط الحر ؛ v هي وحدة السرعة اللحظية للحمل في الموضع 3 ؛ h هو ارتفاع الحمل فوق موضع التوازن في الموضع 3 ؛ v max - وحدة سرعة التحميل القصوى في الموضع 1 ؛ h max - أقصى ارتفاع رفع للحمل فوق موضع التوازن في الموضع 2.

زاوية انحراف الخيطالبندول الرياضي من العمودي (الشكل 10.15) يتحدد بالتعبير

كوس α = l - h l = 1 - h l ،

أين l طول الخيط ؛ h هو ارتفاع الحمل فوق موضع التوازن.

أقصى زاويةيتم تحديد الانحرافات α max بواسطة أقصى ارتفاع رفع للحمل فوق موضع التوازن h كحد أقصى:

cos α max = 1 - h max l.

مثال 11. فترة التذبذبات الصغيرة للبندول الرياضي هي 0.9 ثانية. في أي زاوية من الزاوية العمودية سينحرف الخيط إذا كانت الكرة تتحرك بسرعة 1.5 م / ث بالمرور من خلال وضع التوازن؟ لا يوجد احتكاك في النظام.

المحلول . يوضح الشكل موقعين للبندول الرياضي:

• موضع التوازن 1 (يتميز بالسرعة القصوى للكرة v كحد أقصى) ؛
• الموضع المتطرف 2 (يتميز بأقصى ارتفاع رفع للكرة h كحد أقصى فوق موضع التوازن).

يتم تحديد الزاوية المطلوبة من خلال المساواة

cos α max = l - h max l = 1 - h max l ،

أين l طول خيط البندول.

يمكن إيجاد أقصى ارتفاع لرفع كرة البندول فوق موضع التوازن من قانون حفظ الطاقة الميكانيكية الكلية.

يتم تحديد الطاقة الإجمالية للبندول في وضع التوازن وفي الوضع المتطرف بواسطة الصيغ التالية:

• في وضع التوازن

E 1 \ u003d م v كحد أقصى 2 2 ،

أين م هي كتلة كرة البندول ؛ v max - معامل سرعة الكرة في وضع التوازن (السرعة القصوى) ، v max = 1.5 m / s ؛

• في موقف متطرف

E 2 \ u003d mgh max ،

حيث g هو معامل تسارع السقوط الحر ؛ h max - أقصى ارتفاع للكرة فوق موضع التوازن.

قانون حفظ الطاقة الميكانيكية الكلية:

م v ماكس 2 2 = م ز س كحد أقصى.

من هذا نعبر عن أقصى ارتفاع للكرة فوق موضع التوازن:

ح ماكس = ع ماكس 2 2 جم.

نحدد طول الخيط من معادلة فترة التذبذب للبندول الرياضي

T = 2 π لتر ج ،

أولئك. طول الفقرة

ل = تي 2 جم 4 2.

عوّض h max و l في التعبير عن جيب تمام الزاوية المرغوبة:

cos α max = 1 - 2 π 2 v كحد أقصى 2 جم 2 T 2

وإجراء الحساب ، مع مراعاة المساواة التقريبية π 2 = 10:

كوس α ماكس = 1-2 10 (1.5) 2 10 2 ⋅ (0.9) 2 = 0.5.

ويترتب على ذلك أن أقصى زاوية انحراف تبلغ 60 درجة.

بالمعنى الدقيق للكلمة ، بزاوية 60 درجة ، فإن اهتزازات الكرة ليست صغيرة ، ومن غير القانوني استخدام الصيغة القياسية لفترة التذبذب في البندول الرياضي.

الحفاظ على الطاقة أثناء تذبذبات البندول الربيعي

إجمالي الطاقة الميكانيكية للبندول الربيعيهو مجموع الطاقة الحركية والطاقة الكامنة:

E = W ك + W ع ،

حيث W k - الطاقة الحركية ، W k = mv 2/2 ؛ W p - الطاقة الكامنة ، W p = k (Δx) 2/2 ؛ م هو وزن الحمولة ؛ الخامس - معامل سرعة الحمل ؛ ك - معامل الصلابة (مرونة) الربيع ؛ Δx - تشوه (توتر أو ضغط) الربيع (الشكل 10.16).

في النظام الدولي للوحدات ، تُقاس طاقة نظام التذبذب الميكانيكي بالجول (1 جول).

مع التذبذبات التوافقية ، يمر البندول الزنبركي بسلسلة من الحالات المتتالية ، لذلك يُنصح بالنظر إلى طاقة البندول الزنبركي في ثلاثة أوضاع (انظر الشكل 10.16):

1 في وضع التوازن(1) سرعة الجسم لها قيمة قصوى v كحد أقصى ، وبالتالي فإن الطاقة الحركية هي أيضًا الحد الأقصى:

W k max = m v max 2 2 ؛

الطاقة الكامنة للربيع صفر ، لأن الربيع غير مشوه ؛ تتطابق الطاقة الكلية مع الطاقة الحركية القصوى:

E = W ك كحد أقصى ؛

2 بوصة الموقف المتطرف(2) الربيع به أقصى تشوه (Δx max) ، وبالتالي فإن الطاقة الكامنة لها أيضًا قيمة قصوى:

W p max \ u003d k (Δ x max) 2 2 ؛

الطاقة الحركية للجسم هي صفر ؛ إجمالي الطاقة يتزامن مع الطاقة الكامنة القصوى:

E = W p max ؛

3) في وسيط(3) الجسم له سرعة لحظية v ، الزنبرك به بعض التشوه في هذه اللحظة (Δx) ، وبالتالي فإن إجمالي الطاقة هو المجموع

E \ u003d m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ،

حيث mv 2/2 - الطاقة الحركية ؛ ك (Δx) 2/2 - الطاقة الكامنة ؛ م هو وزن الحمولة ؛ الخامس - معامل سرعة الحمل ؛ ك - معامل الصلابة (مرونة) الربيع ؛ Δx - تشوه (توتر أو ضغط) الربيع.

عندما يتم إزاحة وزن البندول الزنبركي من موضع التوازن ، فإنه يتأثر به استعادة القوة، الذي يتم تحديد إسقاطه على اتجاه حركة البندول بواسطة الصيغة

و x = −kx ،

حيث x هي إزاحة حمل البندول الزنبركي من موضع التوازن ، x = ∆x ، ∆x هي تشوه الزنبرك ؛ ك - معامل الصلابة (المرونة) لزنبرك البندول.

مع التذبذبات التوافقية للبندول الزنبركي ، يتم الحفاظ على الطاقة الميكانيكية الكلية:

E = const.

يتم عرض قيم الطاقة الإجمالية للبندول الربيعي في مواضعه الثلاثة في الجدول. 10.2.

№	موضع	Wp	دبليو ك	E = W p + W k
1	حالة توازن	0	م v ماكس 2/2	م v ماكس 2/2
2	أقصى الحدود	ك (Δxmax) 2/2	0	ك (Δxmax) 2/2
3	متوسط ​​(فوري)	ك (Δx) 2/2	م 2/2	م 2/2 + ك (Δx) 2/2

قيم إجمالي الطاقة الميكانيكية المعروضة في العمود الأخير من الجدول لها قيم متساوية لأي مواضع من البندول ، وهو تعبير رياضي قانون حفظ الطاقة الميكانيكية الكلية:

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2 ؛

م ع ماكس 2 2 = م ع 2 2 + ك (Δ س) 2 2 ؛

ك (Δ س ماكس) 2 2 \ u003d م v 2 2 + ك (Δ س) 2 2 ،

حيث م هو وزن الحمولة ؛ v هي وحدة السرعة اللحظية للحمل في الموضع 3 ؛ Δx - تشوه (توتر أو ضغط) الزنبرك في الموضع 3 ؛ v max - وحدة سرعة التحميل القصوى في الموضع 1 ؛ Δx max - أقصى تشوه (تمديد أو ضغط) للزنبرك في الموضع 2.

مثال 12. البندول الزنبركي يؤدي التذبذبات التوافقية. كم مرة تكون طاقته الحركية أكبر من الطاقة الكامنة في الوقت الذي تكون فيه إزاحة الجسم من وضع التوازن ربع السعة؟

المحلول . لنقارن بين موقعي البندول الزنبركي:

• الموضع المتطرف 1 (يتميز بالإزاحة القصوى لحمل البندول من موضع التوازن x كحد أقصى) ؛
• موضع وسيط 2 (يتميز بقيم وسيطة للإزاحة من موضع التوازن x والسرعة v →).

يتم تحديد الطاقة الإجمالية للبندول في المواضع القصوى والمتوسطة من خلال الصيغ التالية:

• في موقف متطرف

E 1 \ u003d k (Δ x max) 2 2 ،

حيث k هي معامل صلابة (مرونة) الزنبرك ؛ ∆x max - سعة التذبذب (أقصى إزاحة من موضع التوازن) ، ∆x max = A ؛

• في موقع وسيط

ه 2 \ u003d ك (Δ س) 2 2 + م ع 2 2 ،

أين م هي كتلة حمل البندول ؛ ∆x - إزاحة الحمل من وضع التوازن ، ∆x = A / 4.

قانون حفظ الطاقة الميكانيكية الكلية للبندول الربيعي له الشكل التالي:

ل (Δ س ماكس) 2 2 = ك (Δ س) 2 2 + م ع 2 2.

نقسم كلا الجزأين من المساواة المكتوبة بواسطة k (∆x) 2/2:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p،

حيث W k هي الطاقة الحركية للبندول في موضع وسيط ، W k = mv 2/2 ؛ W p - الطاقة الكامنة للبندول في موضع وسيط ، W p = k (∆x) 2/2.

دعونا نعبر عن نسبة الطاقات المرغوبة من المعادلة:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2-1

وحساب قيمتها:

W k W p = (A / 4) 2-1 = 16-1 = 15.

في اللحظة الزمنية المحددة ، تبلغ نسبة الطاقات الحركية والإمكانات للبندول 15.

النظام الميكانيكي ، الذي يتكون من نقطة مادة (جسم) معلقة على خيط عديم الوزن غير قابل للتمدد (كتلته لا تذكر مقارنة بوزن الجسم) في حقل جاذبية موحد ، يسمى بندول رياضي (اسم آخر هو مذبذب) . هناك أنواع أخرى من هذا الجهاز. بدلاً من الخيط ، يمكن استخدام قضيب عديم الوزن. يمكن أن يكشف البندول الرياضي بوضوح عن جوهر العديد من الظواهر المثيرة للاهتمام. مع سعة التذبذب الصغيرة ، تسمى حركتها التوافقية.

معلومات عامة عن النظام الميكانيكي

اشتق العالم الهولندي Huygens (1629-1695) صيغة فترة تذبذب هذا البندول. كان نيوتن هذا معاصرًا جدًا لهذا النظام الميكانيكي. في عام 1656 ابتكر أول ساعة بندول. قاموا بقياس الوقت بدقة استثنائية لتلك الأوقات. أصبح هذا الاختراع أهم مرحلة في تطوير التجارب الفيزيائية والأنشطة العملية.

إذا كان البندول في وضع التوازن (معلق عموديًا) ، فسيتم موازنته بقوة شد الخيط. البندول المسطح على خيط غير مرن هو نظام ذو درجتين من الحرية مع اتصال. عندما تقوم بتغيير مكون واحد فقط ، تتغير خصائص جميع أجزائه. لذلك ، إذا تم استبدال الخيط بقضيب ، فسيكون لهذا النظام الميكانيكي درجة واحدة فقط من الحرية. ما هي خصائص البندول الرياضي؟ في هذا النظام الأبسط ، تنشأ الفوضى تحت تأثير اضطراب دوري. في حالة عدم تحرك نقطة التعليق ، ولكنها تتأرجح ، يكون للبندول وضع توازن جديد. مع التذبذبات السريعة لأعلى ولأسفل ، يكتسب هذا النظام الميكانيكي وضعًا مستقرًا مقلوبًا. لديها أيضا اسمها الخاص. يطلق عليه بندول كابيتزا.

خصائص البندول

البندول الرياضي له خصائص مثيرة للاهتمام. تم تأكيدهم جميعًا من خلال القوانين الفيزيائية المعروفة. تعتمد فترة تذبذب أي بندول آخر على ظروف مختلفة ، مثل حجم الجسم وشكله ، والمسافة بين نقطة التعليق ومركز الجاذبية ، وتوزيع الكتلة بالنسبة لهذه النقطة. هذا هو السبب في أن تحديد فترة الجسد المعلق مهمة صعبة إلى حد ما. من الأسهل كثيرًا حساب فترة البندول الرياضي ، وسيتم تقديم معادلته أدناه. نتيجة لملاحظات الأنظمة الميكانيكية المماثلة ، يمكن تحديد الانتظامات التالية:

إذا تم تعليق أوزان مختلفة مع الحفاظ على نفس طول البندول ، فستكون فترة التذبذبات هي نفسها ، على الرغم من أن كتلها ستختلف بشكل كبير. لذلك ، فإن فترة هذا البندول لا تعتمد على كتلة الحمل.

إذا كان البندول ينحرف عند بدء النظام بزوايا ليست كبيرة جدًا ، ولكن مختلفة ، فسيبدأ في التأرجح مع نفس الفترة ، ولكن مع اتساع مختلف. طالما أن الانحرافات عن مركز التوازن ليست كبيرة جدًا ، فإن التذبذبات في شكلها ستكون قريبة جدًا من التذبذبات التوافقية. فترة هذا البندول لا تعتمد على سعة التذبذب بأي شكل من الأشكال. هذه الخاصية لهذا النظام الميكانيكي تسمى isochronism (مترجمة من اليونانية "chronos" - الوقت ، "isos" - يساوي).

فترة البندول الرياضي

يمثل هذا المؤشر الفترة الزمنية على الرغم من الصياغة المعقدة ، فإن العملية نفسها بسيطة للغاية. إذا كان طول خيط البندول الرياضي هو L ، وكان تسارع السقوط الحر g ، فإن هذه القيمة تساوي:

لا تعتمد فترة التذبذبات الطبيعية الصغيرة بأي حال من الأحوال على كتلة البندول وسعة التذبذبات. في هذه الحالة ، يتحرك البندول مثل بندول رياضي بطول منخفض.

تذبذبات البندول الرياضي

يتذبذب البندول الرياضي ، ويمكن وصفه بمعادلة تفاضلية بسيطة:

س + ω2 خطيئة س = 0 ،

حيث x (t) دالة غير معروفة (هذه هي زاوية الانحراف عن موضع التوازن السفلي في الوقت t ، معبراً عنها بالتقدير الدائري) ؛ ω هو ثابت موجب يتم تحديده من معاملات البندول (ω = √g / L ، حيث g هو تسارع الجاذبية و L طول البندول الرياضي (التعليق).

تبدو معادلة التذبذبات الصغيرة بالقرب من موضع التوازن (المعادلة التوافقية) كما يلي:

x + ω2 sin x = 0

حركات التذبذب في البندول

بندول رياضي يجعل التذبذبات الصغيرة تتحرك على طول الجيب. تفي المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية بجميع متطلبات ومعلمات مثل هذه الحركة. لتحديد المسار ، يجب عليك تحديد السرعة والإحداثيات ، والتي يتم من خلالها تحديد الثوابت المستقلة:

س \ u003d خطيئة (θ 0 + t) ،

حيث θ 0 هي المرحلة الأولية ، A هي سعة التذبذب ، هي التردد الدوري المحدد من معادلة الحركة.

البندول الرياضي (الصيغ الخاصة باستطالات السعات الكبيرة)

هذا النظام الميكانيكي ، الذي يجعل اهتزازاته بسعة كبيرة ، يخضع لقوانين حركة أكثر تعقيدًا. بالنسبة لمثل هذا البندول ، يتم حسابها بواسطة الصيغة:

الخطيئة س / 2 = u * sn (ωt / ش) ،

أين sn هي الجيب اليعقوبي ، والتي من أجلك< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

ش = (ε + 2) / 2ω2 ،

حيث ε = E / mL2 (mL2 هي طاقة البندول).

يتم تحديد فترة التذبذب للبندول غير الخطي من خلال الصيغة:

حيث Ω = π / 2 * ω / 2K (u) ، K هو التكامل البيضاوي ، π - 3,14.

حركة البندول على طول المفصلة

المصفوفة المنفصلة هي مسار نظام ديناميكي به فضاء طور ثنائي الأبعاد. يتحرك البندول الرياضي على طوله بشكل غير دوري. في لحظة زمنية بعيدة بشكل لا نهائي ، ينخفض ​​من الموضع العلوي الأقصى إلى الجانب بسرعة صفر ، ثم يلتقطه تدريجياً. يتوقف في النهاية ، ويعود إلى موقعه الأصلي.

إذا اقتربت سعة اهتزاز البندول من الرقم π ، يشير هذا إلى أن الحركة على مستوى الطور تقترب من الفصل. في هذه الحالة ، تحت تأثير قوة دورية دافعة صغيرة ، يُظهر النظام الميكانيكي سلوكًا فوضويًا.

عندما ينحرف البندول الرياضي عن موضع التوازن بزاوية معينة φ ، تنشأ قوة الجاذبية العرضية Fτ = -mg sin. تعني علامة الطرح أن هذا المكون العرضي موجه في الاتجاه المعاكس لانحراف البندول. عندما يُشار إلى إزاحة البندول على طول قوس دائرة نصف قطرها L بالرمز x ، فإن إزاحته الزاوية تساوي φ = x / L. القانون الثاني الخاص بالإسقاطات والقوة ، سيعطي القيمة المطلوبة:

mg τ = Fτ = -mg sinx / L.

بناءً على هذه العلاقة ، يمكن ملاحظة أن هذا البندول هو نظام غير خطي ، لأن القوة التي تميل إلى إعادته إلى موضع توازنه تكون دائمًا متناسبة ليس مع الإزاحة x ، ولكن مع الخطيئة x / L.

فقط عندما يصنع البندول الرياضي ذبذبات صغيرة يكون مذبذب توافقي. بمعنى آخر ، يصبح نظامًا ميكانيكيًا قادرًا على أداء الاهتزازات التوافقية. هذا التقريب صالح عمليا لزوايا 15-20 درجة. ذبذبات البندول ذات السعات الكبيرة غير متناسقة.

قانون نيوتن للتذبذبات الصغيرة للبندول

إذا قام نظام ميكانيكي معين بأداء اهتزازات صغيرة ، فسيبدو قانون نيوتن الثاني كما يلي:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

بناءً على ذلك ، يمكننا أن نستنتج أن البندول الرياضي يتناسب مع إزاحته بعلامة ناقص. هذه هي الحالة التي بسببها يصبح النظام مذبذبًا توافقيًا. معامل معامل التناسب بين الإزاحة والتسارع يساوي مربع التردد الدائري:

ω02 = جم / لتر ؛ ω0 = ميكروغرام / لتر.

تعكس هذه الصيغة التردد الطبيعي للتذبذبات الصغيرة لهذا النوع من البندول. بناء على هذا،

T = 2π / ω0 = 2π√ جم / لتر.

الحسابات على أساس قانون الحفاظ على الطاقة

يمكن أيضًا وصف خصائص البندول باستخدام قانون الحفاظ على الطاقة. في هذه الحالة ، يجب مراعاة أن البندول في مجال الجاذبية يساوي:

E = mg∆h = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

المجموع يساوي القدرة الحركية أو الحد الأقصى: Epmax = Ekmsx = E

بعد كتابة قانون حفظ الطاقة ، يتم أخذ مشتق الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلة:

بما أن مشتق الثوابت هو 0 ، إذن (Ep + Ek) "= 0. مشتق المجموع يساوي مجموع المشتقات:

Ep "= (mg / L * x2 / 2)" = mg / 2L * 2x * x "= mg / L * v + Ek" = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) "= m / 2 * 2v * v "= mv * α ،

بالتالي:

Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + mα) = 0.

بناءً على الصيغة الأخيرة ، نجد: α = - g / L * x.

تطبيق عملي للبندول الرياضي

يختلف التسارع باختلاف خط العرض الجغرافي ، لأن كثافة قشرة الأرض ليست هي نفسها في جميع أنحاء الكوكب. في حالة وجود صخور ذات كثافة أعلى ، ستكون أعلى إلى حد ما. غالبًا ما يستخدم تسريع البندول الرياضي في الاستكشاف الجيولوجي. يتم استخدامه للبحث عن المعادن المختلفة. ببساطة عن طريق حساب عدد تقلبات البندول ، يمكنك العثور على الفحم أو الخام في أحشاء الأرض. هذا يرجع إلى حقيقة أن هذه الأحافير لها كثافة وكتلة أكبر من الصخور السائبة التي تحتها.

تم استخدام البندول الرياضي من قبل علماء بارزين مثل سقراط وأرسطو وأفلاطون وبلوتارخ وأرخميدس. يعتقد الكثير منهم أن هذا النظام الميكانيكي يمكن أن يؤثر على مصير وحياة الشخص. استخدم أرخميدس بندول رياضي في حساباته. في الوقت الحاضر ، يستخدم العديد من علماء التنجيم والوسطاء هذا النظام الميكانيكي لتحقيق نبوءاتهم أو البحث عن الأشخاص المفقودين.

كما استخدم الفلكي وعالم الطبيعة الفرنسي الشهير سي. فلاماريون البندول الرياضي في أبحاثه. وادعى أنه بمساعدته كان قادرًا على التنبؤ باكتشاف كوكب جديد وظهور نيزك تونجوسكا وأحداث مهمة أخرى. خلال الحرب العالمية الثانية في ألمانيا (برلين) ، عمل معهد متخصص للبندول. اليوم ، معهد ميونيخ لعلم التخاطر يشارك في بحث مماثل. يسمي موظفو هذه المؤسسة عملهم بالبندول "إشعاعي".

تعريف

البندول الرياضي- هذا نظام تذبذب ، وهو حالة خاصة من البندول الفيزيائي ، تتركز كتلته بأكملها عند نقطة واحدة ، مركز كتلة البندول.

عادة ما يتم تمثيل البندول الرياضي على شكل كرة معلقة على خيط طويل عديم الوزن وغير قابل للتمدد. هذا نظام مثالي يقوم بأداء التذبذبات التوافقية تحت تأثير الجاذبية. التقريب الجيد للبندول الرياضي هو كرة صغيرة ضخمة تتأرجح على خيط رفيع طويل.

كان جاليليو أول من درس خصائص البندول الرياضي ، مع الأخذ في الاعتبار تأرجح الثريا على سلسلة طويلة. لقد حصل على أن فترة تذبذب البندول الرياضي لا تعتمد على السعة. إذا كان البندول ينحرف عند زوايا صغيرة مختلفة عند انطلاقه ، فإن اهتزازاته ستحدث في نفس الفترة ولكن بمدى مختلف. هذه الخاصية تسمى التماثل الزمني.

معادلة حركة البندول الرياضي

البندول الرياضي هو مثال كلاسيكي للمذبذب التوافقي. يقوم بأداء التذبذبات التوافقية الموصوفة بالمعادلة التفاضلية:

\ [\ ddot (\ varphi) + (\ omega) ^ 2_0 \ varphi = 0 \ \ left (1 \ right) ، \]

حيث $ \ varphi $ هي زاوية انحراف الخيط (التعليق) عن موضع التوازن.

حل المعادلة (1) هو الوظيفة $ \ varphi (t): $

\ [\ varphi (t) = (\ varphi) _0 (\ cos \ left ((\ omega) _0t + \ alpha \ right) \ left (2 \ right) ، \) \]

حيث $ \ alpha $ - المرحلة الأولية من التذبذبات ؛ $ (varphi) _0 $ - سعة التذبذب ؛ $ (\ omega) _0 $ - التردد الدوري.

يعد تذبذب المذبذب التوافقي مثالًا مهمًا على الحركة الدورية. يعمل المذبذب كنموذج في العديد من مشاكل الميكانيكا الكلاسيكية والكمية.

التردد الدوري وفترة تذبذب البندول الرياضي

يعتمد التردد الدوري للبندول الرياضي فقط على طول تعليقه:

\ [\ (\ omega) _0 = \ sqrt (\ frac (g) (l)) \ يسار (3 \ يمين). \]

فترة التذبذب للبندول الرياضي ($ T $) في هذه الحالة تساوي:

يوضح التعبير (4) أن فترة البندول الرياضي تعتمد فقط على طول تعليقه (المسافة من نقطة التعليق إلى مركز ثقل الحمولة) وتسارع السقوط الحر.

معادلة الطاقة للبندول الرياضي

عند النظر في اهتزازات الأنظمة الميكانيكية بدرجة واحدة من الحرية ، غالبًا ما يتم اعتبارها معادلة نيوتن الأولية ليست معادلة الحركة ، ولكن معادلة الطاقة. نظرًا لأنه من الأسهل تكوينها ، وهي معادلة من الدرجة الأولى في الوقت المناسب. لنفترض أنه لا يوجد احتكاك في النظام. يمكن كتابة قانون حفظ الطاقة للبندول الرياضي الذي يصنع التذبذبات الحرة (التذبذبات الصغيرة) على النحو التالي:

حيث $ E_k $ هي الطاقة الحركية للبندول؛ $ E_p $ - الطاقة الكامنة للبندول؛ $ v $ - سرعة البندول ؛ $ x $ - الإزاحة الخطية لوزن البندول من موضع التوازن على طول قوس دائرة نصف قطرها $ l $ ، بينما ترتبط الزاوية - الإزاحة بـ $ x $ على النحو التالي:

\ [\ varphi = \ frac (x) (l) \ يسار (6 \ يمين). \]

القيمة القصوى للطاقة الكامنة لبندول رياضي هي:

القيمة القصوى للطاقة الحركية:

حيث $ h_m $ هو أقصى ارتفاع للرفع للبندول؛ $ x_m $ - أقصى انحراف للبندول عن موضع التوازن ؛ $ v_m = (\ omega) _0x_m $ - السرعة القصوى.

أمثلة على مشاكل الحل

مثال 1

المهمة.ما أقصى ارتفاع للكرة في البندول الرياضي إذا كانت سرعة حركتها عند المرور عبر موضع التوازن $ v $؟

المحلول.لنقم برسم.

دع الطاقة الكامنة للكرة تساوي صفرًا في موضع توازنها (النقطة 0) ، عند هذه النقطة ، تكون سرعة الكرة القصوى وتساوي $ v $ حسب حالة المشكلة. عند نقطة الرفع الأقصى للكرة فوق موضع التوازن (النقطة أ) ، تكون سرعة الكرة صفرًا ، وتكون الطاقة الكامنة القصوى. دعونا نكتب قانون الحفاظ على الطاقة لموضعين للكرة:

\ [\ frac (mv ^ 2) (2) = mgh \ يسار (1.1 \ يمين). \]

من المعادلة (1.1) نجد الارتفاع المطلوب:

إجابه.$ h = \ frac (v ^ 2) (2g) $

مثال 2

المهمة.ما عجلة الجاذبية إذا تأرجح بندول رياضي بطول $ l = 1 \ m $ مع فترة تساوي $ T = 2 \ s $؟ اعتبر أن اهتزازات البندول الرياضي صغيرة. \ textit ()

المحلول.كأساس لحل المشكلة ، نأخذ صيغة حساب فترة التذبذبات الصغيرة:

دعونا نعبر عن العجلة منه:

لنحسب عجلة الجاذبية:

إجابه.$ g = 9.87 \ frac (m) (s ^ 2) $

البندول الرياضي- هذه نقطة مادية معلقة على خيط عديم الوزن وغير قابل للتمدد يقع في مجال الجاذبية الأرضية. البندول الرياضي هو نموذج مثالي يصف بشكل صحيح البندول الحقيقي فقط في ظل ظروف معينة. يمكن اعتبار البندول الحقيقي رياضيًا إذا كان طول الخيط أكبر بكثير من أبعاد الجسم المعلق عليه ، وكتلة الخيط لا تكاد تذكر مقارنةً بكتلة الجسم ، وتشوهات الخيط صغيرة جدًا أنه يمكن إهمالها تمامًا.

يتكون النظام المتذبذب في هذه الحالة من خيط ، وجسم متصل به ، والأرض ، والتي بدونها لا يمكن لهذا النظام أن يعمل كبندول.

أين لكن X – التسريع، ز - تسارع الجاذبية، X- عوض، لهو طول سلسلة البندول.

هذه المعادلة تسمى معادلة التذبذبات الحرة للبندول الرياضي.يصف التذبذبات قيد الدراسة بشكل صحيح فقط عند استيفاء الافتراضات التالية:

2) تؤخذ في الاعتبار فقط التذبذبات الصغيرة للبندول بزاوية تأرجح صغيرة.

يتم وصف الاهتزازات الحرة لأي أنظمة في جميع الحالات بواسطة معادلات مماثلة.

أسباب التذبذب الحر للبندول الرياضي هي:

1. العمل على البندول لقوة التوتر وقوة الجاذبية ، مما يمنع إزاحته من وضع التوازن ويجبره على السقوط مرة أخرى.

2. القصور الذاتي للبندول ، والذي بسببه ، مع الحفاظ على سرعته ، لا يتوقف في وضع التوازن ، بل يمر عبره أكثر.

فترة التذبذبات الحرة للبندول الرياضي

لا تعتمد فترة التذبذبات الحرة للبندول الرياضي على كتلته ، ولكن يتم تحديدها فقط من خلال طول الخيط وتسارع السقوط الحر في المكان الذي يوجد فيه البندول.

تحويل الطاقة أثناء الاهتزازات التوافقية

مع التذبذبات التوافقية للبندول الزنبركي ، يتم تحويل الطاقة الكامنة للجسم المشوه بشكل مرن إلى طاقته الحركية ، حيث ك – معامل المرونة X -وحدة إزاحة البندول من وضع التوازن ، م- كتلة البندول ، الخامس- سرعته. وفقًا لمعادلة التذبذبات التوافقية:

, .

الطاقة الكلية لبندول الربيع:

.

إجمالي الطاقة للبندول الرياضي:

في حالة البندول الرياضي

تحدث تحويلات الطاقة أثناء تذبذبات البندول الربيعي وفقًا لقانون حفظ الطاقة الميكانيكية ( ). عندما يتحرك البندول لأعلى أو لأسفل من وضع التوازن ، تزداد طاقته الكامنة وتقل طاقته الحركية. عندما يمر البندول من وضع التوازن ( X= 0) ، طاقته الكامنة تساوي الصفر ، والطاقة الحركية للبندول لها أكبر قيمة ، تساوي طاقته الإجمالية.

وهكذا ، في عملية التذبذب الحر للبندول ، يتم تحويل طاقته الكامنة إلى حركية ، حركية إلى جهد ، ثم إلى طاقة حركية مرة أخرى ، إلخ. لكن الطاقة الميكانيكية الكلية تظل دون تغيير.

الاهتزازات القسرية. صدى.

تسمى التذبذبات التي تحدث تحت تأثير قوة دورية خارجية الاهتزازات القسرية. قوة دورية خارجية ، تسمى القوة الدافعة ، تضفي طاقة إضافية على النظام التذبذب ، والذي يستخدم لتجديد فقد الطاقة بسبب الاحتكاك. إذا تغيرت القوة الدافعة بمرور الوقت وفقًا لقانون الجيب أو قانون جيب التمام ، فإن التذبذبات القسرية ستكون متناسقة وغير مخمدة.

على عكس التذبذبات الحرة ، عندما يتلقى النظام الطاقة مرة واحدة فقط (عندما يتم إخراج النظام من التوازن) ، في حالة التذبذبات القسرية ، يمتص النظام هذه الطاقة باستمرار من مصدر قوة دورية خارجية. تعوض هذه الطاقة الخسائر التي يتم إنفاقها على التغلب على الاحتكاك ، وبالتالي تظل الطاقة الإجمالية للنظام التذبذب كما هي.

تردد التذبذبات القسرية يساوي تواتر القوة الدافعة. عندما تواتر القوة الدافعة υ يتزامن مع التردد الطبيعي للنظام التذبذب υ 0 , هناك زيادة حادة في سعة التذبذبات القسرية - صدى. يحدث الرنين بسبب υ = υ 0 القوة الخارجية ، التي تعمل في الوقت المناسب مع الاهتزازات الحرة ، دائمًا ما تكون موجهة بشكل مشترك مع سرعة الجسم المتأرجح وتقوم بعمل إيجابي: تزداد طاقة الجسم المتأرجح ، ويصبح اتساع اهتزازاته كبيرًا. رسم بياني لاعتماد سعة التذبذبات القسرية لكن تي على تواتر القوة الدافعة υ الموضح في الشكل يسمى هذا الرسم البياني منحنى الرنين:

تلعب ظاهرة الرنين دورًا مهمًا في عدد من العمليات الطبيعية والعلمية والصناعية. على سبيل المثال ، من الضروري مراعاة ظاهرة الرنين عند تصميم الجسور والمباني وغيرها من الهياكل التي تتعرض للاهتزاز تحت الحمل ، وإلا ، في ظل ظروف معينة ، يمكن تدمير هذه الهياكل.

إذا انحرف الجسم المرتبط بالزنبرك (الشكل 4) عن موضع التوازن بمسافة أ ، على سبيل المثال ، إلى اليسار ، فبعد مروره عبر موضع التوازن ، سينحرف إلى اليمين. هذا يتبع من قانون الحفاظ على الطاقة.

الطاقة الكامنة لنابض مضغوط أو ممتد تساوي

حيث k هي صلابة الزنبرك و x هي استطالة. في أقصى الموضع الأيسر ، امتداد الربيع x \ u003d - A ، لذلك ، الطاقة الكامنة هي

الطاقة الحركية في هذه اللحظة تساوي صفرًا ، لأن السرعة تساوي صفرًا. ومن ثم ، فإن الطاقة الكامنة هي إجمالي الطاقة الميكانيكية للنظام في تلك اللحظة. إذا اتفقنا على أن قوة الاحتكاك تساوي صفرًا ، وأن القوى الأخرى متوازنة ، فيمكن اعتبار نظامنا مغلقًا ولا يمكن أن تتغير طاقته الكلية أثناء الحركة. عندما يكون الجسم ، أثناء حركته ، في أقصى الموضع الأيمن (س = أ) ، فإن طاقته الحركية ستساوي مرة أخرى صفرًا وستكون الطاقة الكلية مرة أخرى مساوية للطاقة الكامنة. والطاقة الكلية لا تتغير. لذا فهي متساوية مرة أخرى

هذا يعني أن الجسم سينحرف جهة اليمين بمسافة تساوي أ.

في وضع التوازن ، على العكس من ذلك ، الطاقة الكامنة هي صفر ، لأن الزنبرك غير مشوه ، x = 0. في هذا الوضع ، الطاقة الكلية للجسم تساوي طاقته الحركية

حيث m كتلة الجسم وسرعته (الحد الأقصى في هذه اللحظة). لكن هذه الطاقة الحركية يجب أن يكون لها أيضًا قيمة متساوية. لذلك ، أثناء الحركة التذبذبية ، يتم تحويل الطاقة الحركية إلى طاقة كامنة والعكس صحيح. في أي نقطة بين مواضع التوازن والحد الأقصى للانحراف ، يمتلك الجسم طاقة حركية وطاقة كامنة ، ولكن مجموعهما ، أي الطاقة الإجمالية في أي وضع من الجسم متساوية. إجمالي الطاقة الميكانيكية W لجسم متأرجح يتناسب مع مربع السعة وتذبذباته

بندول. البندول الرياضي

البندول هو أي جسم معلق بحيث يكون مركز ثقله تحت نقطة التعليق. هذا يعني أن الحمل المعلق على حبل هو نظام تذبذب مشابه لبندول ساعة الحائط. أي نظام قادر على أداء التذبذبات الحرة له وضع توازن مستقر. بالنسبة إلى البندول ، هذا هو الموضع الذي يكون فيه مركز الجاذبية على الوضع الرأسي أسفل نقطة التعليق. إذا أخرجنا البندول من هذا الموضع أو دفعناه ، فسوف يبدأ في التذبذب ، وينحرف إما في اتجاه واحد أو في الاتجاه الآخر عن وضع التوازن. نحن نعلم أن أكبر انحراف عن موضع التوازن ، الذي يصل إليه البندول ، يسمى سعة التذبذب. يتم تحديد السعة من خلال الانحراف الأولي أو الدفع الذي تم به تشغيل البندول. هذه الخاصية - اعتماد السعة على الظروف في بداية الحركة - هي خاصية مميزة ليس فقط للتذبذبات الحرة للبندول ، ولكن أيضًا بشكل عام للتذبذبات الحرة للعديد من الأنظمة التذبذبية.

تعتمد فترة اهتزاز البندول الفيزيائي على العديد من الظروف: على حجم وشكل الجسم ، وعلى المسافة بين مركز الجاذبية ونقطة التعليق ، وعلى توزيع كتلة الجسم بالنسبة لهذه النقطة ؛ لذلك ، فإن حساب فترة الجسم المعلق مهمة صعبة إلى حد ما. الوضع أبسط بالنسبة للبندول الرياضي. البندول الرياضي هو حمولة معلقة من خيط رفيع ، أبعاده أصغر بكثير من طول الخيط ، وكتلته أكبر من كتلة الخيط. هذا يعني أن الجسم (الوزن) والخيط يجب أن يكونا بحيث يمكن اعتبار الوزن نقطة مادية ، والخيط عديم الوزن. من الملاحظات على هذه البندولات ، يمكن وضع القوانين البسيطة التالية.

1. إذا تم تعليق أحمال مختلفة ، مع الحفاظ على نفس طول البندول (المسافة من نقطة التعليق إلى مركز ثقل الحمولة) ، فستكون فترة التذبذب هي نفسها ، على الرغم من كتل الأحمال تختلف إلى حد كبير. فترة البندول الرياضي لا تعتمد على كتلة الحمل.

2. سيدا ، التي تعمل على الجسم في أي نقطة من المسار ، يتم توجيهها إلى موضع التوازن ، وعند نقطة التوازن نفسها تساوي الصفر.

3. تتناسب القوة مع انحراف الجسم عن وضع التوازن.

أرز. خمسة.

4. إذا كان البندول ينحرف إلى زوايا مختلفة (ولكن ليست كبيرة جدًا) عند بدء البندول ، فإنه يتأرجح مع نفس الفترة ، على الرغم من اختلاف السعات. طالما أن السعات ليست كبيرة جدًا ، فإن التذبذبات قريبة بدرجة كافية في شكلها من التوافقية ، ولا تعتمد فترة البندول الرياضي على سعة التذبذبات. هذه الخاصية تسمى isochronism (من الكلمات اليونانية "isos" - يساوي ، "كرونوس" - الوقت).

تم إثبات هذه الحقيقة لأول مرة في عام 1655 بواسطة جاليليو يُزعم في ظل الظروف التالية. لاحظ جاليليو في كاتدرائية بيزا تأرجح ثريا (في الكنيسة الأرثوذكسية ، ثريا مركزية ، مصباح به العديد من الشموع أو المصابيح) على سلسلة طويلة ، تم دفعها عند إشعالها. أثناء سير الخدمة ، تلاشى اتساع التقلبات تدريجياً (الفصل 8) ، أي تناقص اتساع التذبذبات ، لكن الفترة بقيت على حالها. استخدم جاليليو نبضه كمؤشر على الوقت.

تبين أن خاصية البندول ليست مذهلة فحسب ، ولكنها مفيدة أيضًا. اقترح جاليليو استخدام البندول كمنظم في الساعة. في زمن جاليليو ، كانت الساعات مدفوعة بالوزن ، وتم استخدام أداة بدائية تشبه طاحونة الهواء لضبط المعدل ، والتي تستخدم مقاومة الهواء. يمكن استخدام البندول لحساب فترات زمنية متساوية ، لأن التذبذبات الصغيرة تحدث في نفس الوقت الذي تحدث فيه التذبذبات الكبيرة الناتجة عن هبوب الرياح العشوائية. بعد قرن من استخدام نظام غاليليو ، دخلت ساعات البندول حيز الاستخدام ، لكن لا يزال الملاحون بحاجة إلى ساعات دقيقة لقياس خط الطول في البحر. تم الإعلان عن جائزة لإنشاء مثل هذه الساعة البحرية التي من شأنها أن تتيح قياس الوقت بدقة كافية. حصل هاريسون على جائزة الكرونومتر حيث تم استخدام دولاب الموازنة (التوازن) ونابض خاص لتنظيم الدورة.

نشتق الآن معادلة لفترة تذبذب البندول الرياضي.

عندما يتأرجح البندول ، يتحرك الحمل متسارعًا على طول القوس BA (الشكل 5 ، أ) تحت تأثير القوة العائدة P 1 ، والتي تتغير أثناء الحركة.

إن حساب حركة الجسم تحت تأثير قوة غير ثابتة معقد نوعًا ما. لذلك ، من أجل التبسيط ، سنمضي على النحو التالي.

دعونا نجعل البندول لا يتأرجح في مستوى واحد ، لكن نصف المخروط بحيث يتحرك الحمل في دائرة (الشكل 5 ، ب). يمكن الحصول على هذه الحركة عن طريق إضافة اهتزازين مستقلين: أحدهما لا يزال في مستوى الرسم والآخر في المستوى العمودي. من الواضح أن فترات كل من هذه التذبذبات المستوية هي نفسها ، لأن أي مستوى تذبذب لا يختلف عن أي مستوى آخر. وبالتالي ، فإن فترة الحركة المعقدة - دوران البندول على طول المخروط - ستكون هي نفسها فترة التأرجح في مستوى واحد. يمكن توضيح هذا الاستنتاج بسهولة من خلال التجربة المباشرة ، بأخذ بندولين متطابقين وإخبار أحدهما بالتأرجح في مستوى والآخر بالدوران على طول مخروط.

لكن فترة ثورة البندول "المخروطي" تساوي طول الدائرة الموصوفة بالحمل مقسومًا على السرعة:

إذا كانت زاوية الانحراف عن العمودي صغيرة (سعة صغيرة!) ، فيمكننا افتراض أن القوة العائدة P 1 موجهة على طول نصف قطر الدائرة BC ، أي تساوي قوة الجاذبية:

من ناحية أخرى ، ينتج عن تشابه المثلثات OBC و DBE أن BE: BD = CB: OB. بما أن OB = l ، CB = r ، BE = P 1 ، ثم من هنا

معادلة كلا التعبيرين P 1 ببعضهما البعض ، نحصل على سرعة الدوران

وأخيرًا ، بالتعويض عن هذا في المقدار الخاص بالدورة T ، نجد ذلك

لذا ، فإن فترة البندول الرياضي تعتمد فقط على تسارع السقوط الحر g وعلى طول البندول l ، أي المسافة من نقطة التعليق إلى مركز ثقل الحمولة. من الصيغة التي تم الحصول عليها ، يترتب على ذلك أن فترة البندول لا تعتمد على كتلته وعلى السعة (بشرط أن يكون صغيرًا بدرجة كافية). بمعنى آخر ، تم الحصول على تلك القوانين الأساسية التي تم وضعها مسبقًا من الملاحظات عن طريق الحساب.

لكن هذا الاستنتاج النظري يعطينا المزيد: فهو يسمح لنا بإنشاء علاقة كمية بين فترة البندول وطوله وتسارع السقوط الحر. تتناسب فترة البندول الرياضي مع الجذر التربيعي لنسبة طول البندول إلى عجلة الجاذبية. معامل التناسب يساوي 2 ؟.

طريقة دقيقة للغاية لتحديد هذا التسارع تعتمد على اعتماد فترة البندول على تسارع السقوط الحر. بعد قياس طول البندول l وتحديد الفترة T من عدد كبير من التذبذبات ، يمكننا حساب g باستخدام الصيغة التي تم الحصول عليها. تستخدم هذه الطريقة على نطاق واسع في الممارسة.

تنسق رنين التذبذب البندول