Grafikon potencijalne energije prema udaljenosti. Ovisnost potencijalne energije međumolekulske interakcije o udaljenosti između molekula. Ovisnost potencijalne energije o udaljenosti između molekula

Omogućuje vam analizu općih obrazaca kretanja, ako je poznata ovisnost potencijalne energije o koordinatama. Razmotrimo, na primjer, jednodimenzionalno kretanje materijalne točke (čestice), duž ose 0x u potencijalnom polju prikazanom na sl. 4.12.

Sl.4.12. Kretanje čestice u blizini položaja stabilne i nestabilne ravnoteže

Budući da je potencijalna energija u jednoličnom gravitacionom polju proporcionalna visini tijela, možemo zamisliti ledeno brdo (zanemarujući trenje) s profilom koji odgovara funkciji P(x) na slici.

Iz zakona održanja energije E = K + P i iz činjenice da je kinetička energija K = E - P je uvijek nenegativna, iz toga slijedi da se čestica može nalaziti samo u područjima gdje E > P. Na slici je čestica sa ukupnom energijom E može se kretati samo u područjima

U prvom području, njeno kretanje će biti ograničeno (konačno): sa datom ukupnom energijom, čestica ne može savladati "brda" na svom putu (oni se nazivaju potencijalne barijere) i osuđeni da zauvijek ostanu u "dolini" između njih. Zauvijek - sa stanovišta klasične mehanike, koju sada proučavamo. Na kraju kursa, videćemo kako kvantna mehanika pomaže čestici da izađe iz zatočeništva u potencijalnoj bušotini - regionu

U drugom području, kretanje čestice nije ograničeno (beskonačno), može se kretati beskonačno daleko od početka udesno, ali s lijeve strane njeno kretanje je i dalje ograničeno potencijalnom barijerom:

Video 4.6. Demonstracija konačnih i beskonačnih kretanja.

U tačkama ekstrema potencijalne energije x MIN I x MAX sila koja djeluje na česticu je nula, jer je derivacija potencijalne energije nula:

Ako se čestica koja miruje stavi na ove tačke, onda bi ostala tamo... opet, zauvijek, da nije fluktuacija u njenom položaju. U ovom svijetu ne postoji ništa striktno u mirovanju; čestica može doživjeti malo odstupanja (fluktuacije) iz ravnotežnog položaja. Ovo prirodno stvara sile. Ako vraćaju česticu u ravnotežni položaj, tada se takva ravnoteža naziva održivo. Ako, kada čestica odstupi, sile koje nastaju je još više udalje od ravnotežnog položaja, onda imamo posla sa nestabilno ravnoteža, a čestica u ovom položaju obično ne ostaje dugo. Po analogiji sa ledenim toboganom, može se pretpostaviti da će položaj biti stabilan na minimumu potencijalne energije, a nestabilan na maksimumu.

Mi ćemo dokazati da je to zaista tako. Za česticu u tački ekstrema x M (x MIN ili x MAX) sila koja na njega djeluje F x (x M) = 0. Neka se koordinata čestice promijeni za malu količinu zbog fluktuacije x. Sa takvom promjenom koordinata, sila će početi djelovati na česticu

(isprekidana linija označava derivaciju u odnosu na koordinate x). S obzirom na to F x \u003d -P ", dobijamo izraz za silu

U minimalnoj tački, drugi izvod potencijalne energije je pozitivan: U"(x MIN) > 0. Zatim za pozitivna odstupanja od ravnotežnog položaja x > 0 rezultujuća sila je negativna, i kada x<0 snaga je pozitivna. U oba slučaja, sila sprečava promjenu koordinate čestice, a ravnotežni položaj na minimumu potencijalne energije je stabilan.

Suprotno tome, u tački maksimuma, drugi izvod je negativan: U" (x MAX)<0 . Tada povećanje koordinate čestice Δx dovodi do pojave pozitivne sile, koja dodatno povećava odstupanje od ravnotežnog položaja. At x<0 sila je negativna, odnosno u ovom slučaju doprinosi i daljem otklonu čestice. Ovo stanje ravnoteže je nestabilno.

Dakle, položaj stabilne ravnoteže može se naći zajedničkim rješavanjem jednačine i nejednakosti

Video 4.7. Potencijalni bunari, potencijalne barijere i ravnoteža: stabilni i nestabilni.

Primjer. Potencijalna energija dvoatomske molekule (npr. H 2 ili Oko 2) je opisan izrazom oblika

Gdje r je udaljenost između atoma, i A, B su pozitivne konstante. Odredite ravnotežnu udaljenost r M između atoma molekula. Da li je dvoatomski molekul stabilan?

Rješenje. Prvi pojam opisuje odbijanje atoma na kratkim udaljenostima (molekul se opire kompresiji), drugi - privlačenje na velikim udaljenostima (molekul se opire pucanju). U skladu sa navedenim, ravnotežna udaljenost se nalazi rješavanjem jednačine

Diferencirajući potencijalnu energiju, dobijamo

Sada nalazimo drugi izvod potencijalne energije

i tu zamijeniti vrijednost ravnotežne udaljenosti rM :

Položaj ravnoteže je stabilan.

Na sl. 4.13 predstavlja iskustvo proučavanja potencijalnih krivih i uslova ravnoteže lopte. Ako se na modelu potencijalne krive lopta postavi na visinu veću od visine potencijalne barijere (energija lopte je veća od energije barijere), tada lopta savladava potencijalnu barijeru. Ako je početna visina lopte manja od visine barijere, tada lopta ostaje unutar potencijalnog bunara.

Lopta postavljena na najvišu tačku potencijalne barijere je u nestabilnoj ravnoteži, jer svaki vanjski utjecaj dovodi do prijelaza lopte u najnižu tačku potencijalnog bunara. U donjoj tački potencijalnog bunara, lopta je u stabilnoj ravnoteži, jer svako vanjsko djelovanje dovodi do povratka lopte u donju tačku potencijalnog bunara.

Rice. 4.13. Eksperimentalno proučavanje potencijalnih krivulja

Dodatne informacije

http://vivovoco.rsl.ru/quantum/2001.01/KALEID.PDF - Dodatak časopisu "Kvant" - rasprave o stabilnoj i nestabilnoj ravnoteži (A. Leonovich);

http://mehanika.3dn.ru/load/24-1-0-3278 – Targ S.M. Kratki kurs teorijske mehanike, Izdavačka kuća, Viša škola, 1986 - str. 11–15, §2 - početne odredbe statike.

Hemijska veza nastaje samo ako se, kada se atomi (dva ili više) međusobno približavaju, ukupna energija sistema (zbir kinetičke i potencijalne energije) smanji.

Najvažnije informacije o strukturi molekula dobijaju se proučavanjem zavisnosti potencijalne energije sistema od udaljenosti između njegovih sastavnih atoma. Prvi put ovu zavisnost su 1927. godine proučavali njemački naučnici W. Heitler i F. London, istražujući uzroke nastanka hemijske veze u molekulu vodonika. Koristeći Schrödingerovu jednačinu, zaključili su da se energija sistema koji se sastoji od dva jezgra i dva elektrona u molekulu vodonika može izraziti na sljedeći način:

E = ~ K ± O,

Gdje TO je Kulonov integral uključujući sve elektrostatičke interakcije, tj. odbijanje između elektrona, odbijanje između jezgara, kao i privlačenje elektrona na jezgra atoma. O- integral razmene, karakteriše pojavu elektronskog para i nastaje usled kretanja elektrona oko oba vodonikova jezgra. Ovaj integral ima veoma veliku negativnu vrijednost. Dakle, prema proračunima, energija ovog sistema može imati dvije vrijednosti:

E \u003d ~ K + O I E \u003d ~ K - O

Posljedično, postoje takva stanja elektrona, tokom čije interakcije se energija sistema može mijenjati u granicama 0 < E < 0 .

Prva jednačina odgovara smanjenju energije sistema E< 0 .

Druga jednačina odgovara povećanju energije sistema E > 0.

Uslov za smanjenje energije sistema je zadovoljen sa "y"- funkcija koja određuje stanje elektrona u interakciji sa suprotno usmjerenim (antiparalelnim) spinovima. Ovo "y"- funkcija se zove simetrična "y"- funkcija.

To dovodi do zaključka da bi kemijska veza između atoma trebala nastati samo ako elektroni koji pripadaju različitim atomima imaju suprotno usmjerene spinove. Samo pod ovim uslovom će energija molekularnog sistema biti manja od energije atomskih sistema, tj. formira se stabilan molekul. Prema tome, antiparalelnost spinova elektrona atoma u interakciji je neophodan uslov za formiranje kovalentne veze.

Rice. 8. Promjena potencijalne energije u sistemu od dva atoma vodonika u zavisnosti od udaljenosti između jezgara

Kada se dva atoma približavaju jedan drugome, ako su spinovi elektrona paralelni, onda se njihova ukupna energija povećava, između atoma nastaje i raste odbojna sila (slika 8).

Kod suprotno usmjerenih okretaja, približavanje atoma određenoj udaljenosti r0 praćeno smanjenjem energije sistema.

At r = r0 sistem ima najmanju energiju, tj. je u najstabilnijem stanju, karakterizirano stvaranjem molekula vodika H 2. Daljnjim približavanjem atoma energija naglo raste.

Pojava molekula H 2 atoma se može objasniti preklapanjem oblaka atomskih elektrona kako bi se formirao molekularni oblak koji okružuje dva pozitivno nabijena jezgra.

Rice. 9. Oblaci elektrona koji se preklapaju

u formiranju molekule vodonika

Na mestu gde se elektronski oblaci preklapaju (tj. u prostoru između jezgara), elektronska gustina vezivnog oblaka je maksimalna (slika 9). Drugim riječima, vjerovatnoća da se elektroni nalaze u prostoru između jezgara je veća nego na drugim mjestima. Zbog toga nastaju privlačne sile između pozitivnog naboja jezgra i negativnih naboja elektrona i jezgre se približavaju jedna drugoj - udaljenost između jezgri vodika u molekuli H 2 primetno manje (0.74Å) zbir radijusa dva slobodna atoma vodika (1.06Å)

Veza nastala kao rezultat generalizacije elektronske gustine atoma u interakciji naziva se kovalentna.

Prema kvantnim mehaničkim konceptima, interakcija atoma može dovesti do stvaranja molekula samo pod uslovom da spinovi elektrona atoma koji se približavaju imaju suprotno usmjerene spinove. Kada se elektroni sa paralelnim spinovima približavaju jedan drugom, djeluju samo odbojne sile.

H ­ + H ¯ → H ­¯ H → H 2

+1/2 -1/2

Budući da je tačno rješenje Schrödingerove jednadžbe za atomsko-molekularne sisteme nemoguće, nastale su različite približne metode za izračunavanje valne funkcije, a time i raspodjele elektronske gustine u molekulu. Dvije metode se najčešće koriste: metoda valentnih veza (ned) i molekularnu orbitalnu metodu (MO). U razvoju prve metode posebne zasluge pripadaju Heitleru i Londonu, Slateru i Paulingu. Razvoj druge metode povezan je uglavnom s imenima Mullikena i Hunda.

Glavne odredbe metode sunce. 1) Kovalentnu hemijsku vezu formiraju dva elektrona sa suprotno usmerenim spinovima, a ovaj elektronski par pripada dva atoma.

2) Kada se formira kovalentna veza, elektronski oblaci atoma u interakciji se preklapaju, povećava se elektronska gustina u međunuklearnom prostoru, što dovodi do smanjenja energije sistema.

3) Kovalentna veza je jača, što se elektronski oblaci u interakciji više preklapaju. Stoga se kovalentna veza formira u smjeru u kojem je ovo preklapanje maksimalno.

Ova metoda opravdava označavanje korištenjem crtice kemijske veze u strukturnim formulama spojeva.

Dakle, u pogledu metode sunce hemijska veza je lokalizovana između dva atoma, tj. dvocentrična je i dvoelektronska.

Još u davna vremena otkriveno je zlatno pravilo mehanike: pobjeđujući u snazi, gubite u daljini. Zaista, ako se, na primjer, teret podiže duž nagnute ravni, onda se mora raditi protiv gravitacije (pretpostavit ćemo da se rad protiv sila trenja može zanemariti). Ako je nagnuta ravan blaga, onda je put dugačak, ali se na teret može primijeniti manja sila. Na strmoj ravni je teže podići teret, ali je put kraći. Rad koji se mora obaviti da bi se teret mase m podigao na visinu uvijek je isti i jednak .

Ovo je najvažnije svojstvo sila gravitacije: rad ne zavisi od oblika putanje, već je određen samo početnim i konačnim položajem tela. Na sl. 1 prikazana su tri moguća kretanja tijela od tačke M do tačke N. Ubrzanje gravitacionog polja je označeno strelicom. Lako je dokazati da će se, pomjerajući tijela duž segmenta MN i duž izlomljene prave MON, morati obaviti isti posao, jer je rad na segmentu MO jednak nuli. Podjelom zakrivljene putanje na mnogo ravnih segmenata možemo osigurati da je u ovom slučaju rad isti.

Sile s ovim svojstvom nazivaju se potencijalne ili konzervativne. Za njih možete odrediti potencijalnu energiju. Dovoljno je odabrati ishodište - pretpostaviti da je u nekom položaju (na primjer, na površini Zemlje) potencijalna energija jednaka nuli, a zatim će u bilo kojoj drugoj tački biti jednaka radu kretanja tijela od početne pozicije do ove tačke.

Potencijalna energija zajedno s kinetičkom energijom je ukupna mehanička energija tijela. Ako je tijelo samo u polju potencijalnih sila, onda je ukupna energija očuvana (zakon održanja mehaničke energije). Za lansiranje rakete sposobne da napusti Sunčev sistem, potrebno joj je reći ogromnu brzinu (oko 11 km/s). Zaliha kinetičke energije kompenzira povećanje potencijalne energije kako se raketa udaljava od Zemlje.

Nisu samo sile gravitacije potencijalne, već i sile elektrostatičke interakcije. Na kraju krajeva, Coulombov zakon je vrlo sličan Newtonovom zakonu univerzalne gravitacije. Čak su i formule za potencijalnu energiju gotovo iste: u oba slučaja, energija je obrnuto proporcionalna udaljenosti između tijela u interakciji.

Istovremeno, rad sila trenja ovisi o obliku staze (na primjer, kod suhog trenja, najkraći put je najbolji), a takve sile nisu potencijalne.

Uz pomoć potencijalne energije zgodno je opisati interakciju čestica u mikrokosmosu, na primjer, dva atoma. Sile privlačenja djeluju na velikim udaljenostima između atoma. Iako je svaki atom neutralan, pod uticajem električnog polja drugog atoma, on se pretvara u mali dipol, a ti se dipoli međusobno privlače (slika 2). Stoga, kada se atomi približavaju jedan drugome, moraju biti obuzdani i protiv ovih sila se mora izvršiti negativan rad. Na malim udaljenostima između atoma, naprotiv, djeluju sile odbijanja, koje su uglavnom posljedica Kulonove interakcije jezgara koja se približavaju. U ovom slučaju, mora se obaviti pozitivan rad kako bi se atomi približili.

Grafikon potencijalne energije atoma u zavisnosti od udaljenosti između njih prikazan je na Sl. 3. Potencijalna energija ima minimum, a ovaj položaj atoma odgovara stabilnoj formaciji - molekulu. U ovom slučaju se kaže da se atomi nalaze u potencijalnoj bušotini.

Slično, u kristalu su atomi raspoređeni u prostoru na takav način da ima minimalnu potencijalnu energiju. Kao rezultat, formira se periodična struktura - kristalna rešetka (vidi Kristalna fizika).

Stabilan položaj sistema uvek odgovara minimalnoj potencijalnoj energiji. Na sl. 4 prikazuje reljef površine na kojoj se lopta nalazi. Postoje tri ravnotežna položaja, ali samo jedan, koji odgovara minimalnoj potencijalnoj energiji, je stabilan (u ovom slučaju lopta je doslovno u rupi).

Zanimljivo je da ako između čestica djeluju samo sile elektrostatičke interakcije (sistem fiksnih naboja), onda one uopće ne mogu biti u stanju stabilne ravnoteže. Potencijalna energija nema minimum, a sistem će se definitivno raspasti (naboji će se raspršiti). Ova Ernshawova teorema poslužila je kao najvažniji dokaz neuspjeha statičkog modela atoma.

Ako se označi masa tjelesnog molekula i brzina njegovog translacijskog kretanja, tada će kinetička energija translacijskog kretanja molekule biti jednaka

Molekuli tijela mogu imati različite brzine i vrijednosti, stoga se za karakterizaciju stanja tijela koristi prosječna energija translacijskog kretanja

gdje je ukupan broj molekula u tijelu. Ako su svi molekuli isti, onda

Ovdje se označava srednja kvadratna brzina haotičnog kretanja molekula:

Budući da između molekula postoje sile interakcije, molekuli tijela, osim kinetičke energije, imaju i potencijalnu energiju. Pretpostavit ćemo da je potencijalna energija usamljene molekule koja nije u interakciji s drugim molekulima jednaka nuli. Tada će tokom interakcije dva molekula potencijalna energija zbog odbojnih sila biti pozitivna, a privlačne sile negativne (slika 2.1, b), budući da kada se molekuli približe jedan drugom, mora se obaviti određeni rad da savladaju odbojne sile, a privlačne sile, naprotiv, same rade posao. Na sl. 2.1, b prikazuje grafik promjene potencijalne energije interakcije dvaju molekula, ovisno o udaljenosti između njih. Dio grafa potencijalne energije blizu njegove najniže vrijednosti naziva se potencijalna bušotina, a vrijednost najniže energetske vrijednosti naziva se dubina potencijalne bušotine.

U nedostatku kinetičke energije, molekuli bi se nalazili na udaljenosti koja odgovara njihovoj stabilnoj ravnoteži, budući da je rezultanta molekularnih sila u ovom slučaju nula (slika 2.1, a), a potencijalna energija minimalna. Da biste uklonili molekule jedni od drugih, potrebno je raditi na prevazilaženju sila interakcije molekula,

jednake po veličini (drugim riječima, molekuli moraju savladati potencijalnu barijeru visinom

Budući da u stvarnosti molekuli uvijek imaju kinetičku energiju, razmak između njih se stalno mijenja i može biti veći ili manji. Ako je kinetička energija molekule B manja, na primjer, na sl. tada će se molekul kretati unutar potencijalnog bunara. Prevazilazeći opoziciju sila privlačenja (ili odbijanja), molekul B se može udaljiti od A (ili približiti) na udaljenosti na kojima se sva njegova kinetička energija pretvara u potencijalnu energiju interakcije. Ovi ekstremni položaji molekula određeni su tačkama na krivulji potencijala na nivou od dna potencijalne jame (slika 2.1, b). Sile privlačenja (ili odbijanja) tada potiskuju molekul B iz ovih ekstremnih položaja. Dakle, sile interakcije drže molekule blizu jedne druge na određenoj prosječnoj udaljenosti.

Ako je kinetička energija molekula B veća od Ymiv (Epost" na slici 2.1, b), tada će ona prevladati potencijalnu barijeru i udaljenost između molekula može se neograničeno povećavati.

Kada se molekul kreće unutar potencijalne jame, što je veća njegova kinetička energija (na slici 2.1, b), tj. što je viša temperatura tijela, to je veća prosječna udaljenost između molekula. Ovo objašnjava širenje čvrstih tijela i tekućina kada grijano.

Povećanje prosječne udaljenosti između molekula objašnjava se činjenicom da graf potencijalne energije raste mnogo strmije lijevo nego desno. Ova asimetrija grafika je dobijena zbog činjenice da odbojne sile opadaju sa porastom mnogo brže od privlačnih sila (slika 2.1, a).

Ovisnost međumolekulskih interakcijskih sila o udaljenosti između molekula

Između molekula materije istovremeno operirati privlačne sile I odbojne sile. Na daljinu r = r0 sila F= 0, tj. sile privlačenja i odbijanja uravnotežuju jedna drugu (vidi sliku 1). Dakle, udaljenost r0 odgovara ravnotežnom stanju između molekula, u kojem bi oni bili u odsustvu termičkog kretanja. At r< r 0 prevladavaju odbojne sile (Fo > 0), u r > r 0- sile privlačenja (Fn< 0). Na udaljenostima r > 10 -9 m, međumolekulske sile interakcije praktički izostaju (F → 0).

Ovisnost potencijalne energije međumolekulske interakcije o udaljenosti između molekula

elementarni rad δA snagu F sa povećanjem udaljenosti između molekula za dr, nastaje zbog smanjenja međusobne potencijalne energije molekula, tj. δ A= Fdr= - dP. Kao na slici b, ako su molekuli na međusobnoj udaljenosti na kojoj ne djeluju međumolekularne sile interakcije (r→∞), tada je P = 0. Postepenim približavanjem molekula između njih se pojavljuju privlačne sile (F< 0) koji rade pozitivno (δA= F dr > 0). Tada se potencijalna energija interakcije smanjuje, dostižući minimum na r = r 0 . At r< r 0 sa opadajućom r odbojnom silom (F > 0) naglo se povećavaju i rad protiv njih je negativan ( δA = Fdr< 0). Potencijalna energija također počinje naglo rasti i postaje pozitivna. Iz ove potencijalne krive slijedi da je sistem od dva molekula koji međusobno djeluju u stanju stabilne ravnoteže ( r = r0) ima minimalnu potencijalnu energiju.

Slika 1 - Zavisnost sila i potencijalne energije međumolekulske interakcije o udaljenosti između molekula

F o- sila odbijanja; F u- sila gravitacije; F- njihova rezultanta

jednačina stanja idealnog gasa se pretvara u van der Waalsova jednadžba:

. (1.6)

za jedan mol gasa

Izoterme

Analizirajmo izoterme van der Waalsove jednačine, zavisnosti R od V za pravi gas na konstantnoj temperaturi. Množenje van der Waalsove jednačine sa V 2 i proširivanjem zagrada dobijamo

PV 3 – (RT + bP) vV 2 + av 2 V - abv 3= 0.

Pošto ova jednačina ima treći stepen u odnosu na V, i koeficijenti at V su realni, onda ima jedan ili tri realna korijena, tj. izobar R= const siječe krivu P = P(V) u jednoj ili tri tačke, kao što je prikazano na slici 7.4. Štaviše, sa povećanjem temperature, mi ćemo se pomeriti sa nemonotonske zavisnosti P = P(V) na monotonu jednovrijednu funkciju. Izoterma na T cr, koji odvaja nemonotono T< T кр i monotono T > T cr izoterma, odgovara izotermi na kritičnoj temperaturi. Na temperaturama iznad kritične zavisnosti P = P(V) je jednoznačna monotona funkcija volumena. To znači da na T > T cr supstanca je u samo jednom stanju, gasovitom, kao što je bio slučaj sa idealnim gasom. Na temperaturi plina ispod kritične, ova jednoznačnost nestaje, što znači da je moguć prijelaz tvari iz plinovitog u tekuće i obrnuto. Lokacija uključena DIA izoterme T 1 pritisak raste sa zapreminom ( dP/dV) > 0. Ovo stanje je nestabilno, jer se ovdje trebaju pojačati i najmanje fluktuacije gustine. Dakle, područje BCA ne može postojati održivo. U regionima DLB I DOB pritisak opada kako se volumen povećava (dP/dV) T< 0 je neophodan, ali ne i dovoljan uslov za stabilnu ravnotežu. Eksperiment pokazuje da se sistem kreće iz oblasti stabilnih stanja G.E.(gas) u područje stabilnih stanja LD(tečnost) kroz dvofazno stanje (gas - tečnost) GL duž horizontalne izoterme GCL.

Pod kvazistatičkom kompresijom, počevši od tačke G, sistem se raspada na 2 faze - tečnost i gas, a gustine tečnosti i gasa ostaju nepromenjene pod kompresijom i jednake su njihovim vrednostima u tačkama L I G respektivno. Tokom kompresije, količina tvari u plinovitoj fazi kontinuirano opada, au tekućoj se povećava do tačke L, u kojem će sva supstanca preći u tečno stanje.

Rice. 7.4

Prisustvo kritične tačke na van der Waalsovoj izotermi znači da za svaku tečnost postoji temperatura iznad koje supstanca može postojati samo u gasovitom stanju. Do ovog zaključka došao je i D.I. Mendeljejev 1861. Primetio je da na određenoj temperaturi prestaje porast tečnosti u kapilarama, tj. površinski napon nestaje. Na istoj temperaturi, latentna toplota isparavanja nestaje. Mendeljejev je ovu temperaturu nazvao temperaturom apsolutnog ključanja. Iznad ove temperature, prema Mendeljejevu, gas se ne može kondenzovati u tečnost nikakvim povećanjem pritiska.

Kritičnu tačku K definirali smo kao prevojnu tačku kritične izoterme, u kojoj je tangenta na izotermu horizontalna (slika 7.5). Također se može definirati kao tačka u kojoj horizontalni dijelovi izoterme prelaze u granici kada temperatura poraste do kritične. Ovo je osnova metode za određivanje kritičnih parametara P k, V k , T k u vlasništvu Andrewsa. Sistem izotermi je konstruisan na različitim temperaturama. Granična izoterma, u kojoj je horizontalni presjek LG(slika 7.4) ide do tačke, biće kritična izoterma, a naznačena tačka će biti kritična tačka (slika 7.5).

Rice. 7.5

Nedostatak Andrewsove metode je njena glomaznost.