Prehrana i dijete 

Poziva se binarna relacija na skupu x. Binarna relacija. Osnove diskretne matematike

Neka R je neka binarna relacija na skupu X, a x, y, z su bilo koji od njegovih elemenata. Ako je element x u odnosu R sa elementom y, onda napišite xRy.

1. Relacija R na skupu X naziva se refleksivnom ako je svaki element skupa u toj vezi sa samim sobom.

R -refleksivan na X<=>xRx za bilo koje x€ X

Ako je relacija R refleksivna, tada postoji petlja na svakom vrhu grafa. Na primjer, odnosi jednakosti i paralelizma za segmente su refleksivni, ali odnosi okomitosti i „duže“ nisu refleksivni. Ovo se odražava na grafikonima na slici 42.

2. Relacija R na skupu X naziva se simetrična ako iz činjenice da je element x u datom odnosu sa elementom y, slijedi da je element y u istoj vezi sa elementom x.

R - simetrično na (xYay =>y Rx)

Graf simetrične relacije sadrži uparene strelice koje idu u suprotnim smjerovima. Relacije paralelizma, okomitosti i jednakosti za segmente su simetrične, ali „duža“ relacija nije simetrična (slika 42).

3. Relacija R na skupu X naziva se antisimetrična ako, za različite elemente x i y iz skupa X, iz činjenice da je element x u datoj vezi sa elementom y, slijedi da element y nije u ovom odnosu sa elementom x.

R - antisimetrično na X « (xRy i xy ≠ yRx)

Napomena: preklopna traka označava negaciju iskaza.

U antisimetričnom relacionom grafu, dve tačke mogu biti povezane samo jednom strelicom. Primjer takve relacije je “duža” relacija za segmente (slika 42). Odnosi paralelizma, okomitosti i jednakosti nisu antisimetrični. Postoje odnosi koji nisu ni simetrični ni antisimetrični, na primjer relacija „biti brat“ (Sl. 40).

4. Relacija R na skupu X naziva se tranzitivna ako iz činjenice da je element x u datoj vezi sa elementom y, a element y u ovoj vezi sa elementom z, slijedi da je element x u datu relaciju sa elementom Z

R - tranzitivan na A≠ (xRy i yRz=> xRz)

Na grafovima „dužih“, paralelnih i jednakosti relacija na slici 42, možete primijetiti da ako strelica ide od prvog elementa do drugog i od drugog do trećeg, onda definitivno postoji strelica koja ide od prvog elementa. element do trećeg. Ovi odnosi su tranzitivni. Okomitost segmenata nema svojstvo tranzitivnosti.

Postoje i druga svojstva odnosa između elemenata istog skupa koja ne razmatramo.

Ista relacija može imati nekoliko svojstava. Tako, na primjer, na skupu segmenata relacija “jednako” je refleksivna, simetrična, tranzitivna; relacija “više” je antisimetrična i tranzitivna.


Ako je relacija na skupu X refleksivna, simetrična i tranzitivna, onda je to relacija ekvivalencije na ovom skupu. Takvi odnosi dijele skup X na klase.

Ovi odnosi se očituju, na primjer, prilikom izvršavanja zadataka: „Pokupite trake jednake dužine i rasporedite ih u grupe“, „Posložite kuglice tako da svaka kutija sadrži kuglice iste boje“. Relacije ekvivalencije („biti jednake dužine“, „biti iste boje“) određuju u ovom slučaju podjelu skupova pruga i kuglica na klase.

Ako je relacija na skupu 1 tranzitivna i antisimetrična, onda se naziva relacija reda na ovom skupu.

Skup sa datom relacijom reda naziva se uređenim skupom.

Na primjer, prilikom izvršavanja zadataka: „Uporedi trake po širini i poredaj ih od najužeg ka najširem“, „Uporedi brojeve i složi kartice s brojevima po redu“, djeca poređaju elemente skupova traka i brojčanih kartica. korištenje odnosa naloga; „biti širi“, „pratiti“.

Generalno, odnosi ekvivalencije i reda igraju veliku ulogu u formiranju kod djece ispravnih ideja o klasifikaciji i uređenju skupova. Osim toga, postoje mnoge druge relacije koje nisu ni odnosi ekvivalencije ni relacije poretka.


6. Koje je karakteristično svojstvo skupa?

7. U kojim odnosima mogu postojati skupovi? Dajte objašnjenja za svaki slučaj i oslikajte ih pomoću Ojlerovih krugova.

8. Definirajte podskup. Navedite primjer skupova od kojih je jedan podskup drugog. Zapišite njihov odnos pomoću simbola.

9. Definirajte jednake skupove. Navedite primjere dva jednaka skupa. Zapišite njihov odnos pomoću simbola.

10. Definirajte presjek dva skupa i oslikajte ga korištenjem Ojlerovih krugova za svaki pojedinačni slučaj.

11. Definirajte uniju dva skupa i oslikajte je koristeći Ojlerove krugove za svaki pojedinačni slučaj.

12. Definirajte razliku između dva skupa i oslikajte je koristeći Ojlerove krugove za svaki pojedinačni slučaj.

13. Definirajte komplement i oslikajte ga pomoću Ojlerovih krugova.

14. Šta se zove particioniranje skupa na klase? Navedite uslove za tačnu klasifikaciju.

15. Šta se zove korespondencija između dva skupa? Imenujte metode za određivanje korespondencije.

16. Koja vrsta korespondencije se zove jedan na jedan?

17. Koji skupovi se nazivaju jednaki?

18. Koji skupovi se nazivaju ekvivalentni?

19. Imenujte načine za definiranje relacija na skupu.

20. Koja se relacija na skupu naziva refleksivna?

21. Koja se relacija na skupu naziva simetrična?

22. Koja se relacija na skupu naziva antisimetrična?

23. Koja se relacija na skupu naziva tranzitivna?

24. Definirajte odnos ekvivalencije.

25. Definirajte odnos poretka.

26. Koji skup se naziva uređenim?

Predavanje 3.

klauzula 3. Relacije na skupovima. Svojstva binarnih relacija.

3.1. Binarni odnosi.

Kada govore o odnosu dvoje ljudi, na primjer, Sergeja i Ane, misle da postoji određena porodica kojoj oni pripadaju. Naručeni par (Sergei, Ana) razlikuje se od drugih naređenih parova ljudi po tome što postoji neka vrsta odnosa između Sergeja i Ane (rođak, otac, itd.).

U matematici, među svim uređenim parovima direktni proizvod dva skupa A I B (A´ B) „posebni“ parovi se razlikuju i zbog činjenice da između njihovih komponenti postoje neki „srodstveni“ odnosi koje drugi nemaju. Kao primjer, razmotrite set S studenti nekih univerziteta i mnogi K kurseve koji se tamo predaju. U direktnom proizvodu S´ K može se odabrati veliki podskup uređenih parova ( s, k) ima svojstvo: student s pohađa kurs k. Konstruisani podskup odražava odnos "...sluša..." koji prirodno nastaje između grupe studenata i kurseva.

Za strogi matematički opis bilo koje veze između elemenata dva skupa, uvodimo koncept binarne relacije.

Definicija 3.1. Binarno (ili duplo )stav r između setova A I B poziva se proizvoljan podskup A´ B, tj.

Konkretno, ako A=B(tj. rÍ A 2), tada kažu da je r relacija na skupu A.

Elementi a I b su pozvani komponente (ili koordinate ) odnos r.

Komentar. Složimo se da za označavanje odnosa između elemenata skupova koristimo grčku abecedu: r, t, j, s, w, itd.


Definicija 3.2. Domen definicije D r=( a| $ b, Šta a r b) (lijeva strana). Raspon vrijednosti binarne relacije r naziva se skup R r=( b| $ a, Šta a r b) (desni dio).

Primjer 3. 1. Neka su data dva skupa A=(1; 3; 5; 7) i B=(2; 4; 6). Postavimo relaciju na sljedeći način t=(( x; y)Î A´ B | x+y=9). Ova relacija će se sastojati od sljedećih parova (3; 6), (5; 4) i (7; 2), koji se mogu zapisati kao t=((3; 6), (5; 4), (7;2 ) ). U ovom primjeru D t=(3; 5; 7) i R t= B={2; 4; 6}.

Primjer 3. 2. Relacija jednakosti na skupu realnih brojeva je skup r=(( x; y) | x I y– realni brojevi i x jednaki y). Za ovaj odnos postoji posebna oznaka: “=”. Domen definicije poklapa se sa domenom vrijednosti i predstavlja skup realnih brojeva, D r= R r.

Primjer 3. 3. Neka A– puno robe u radnji, i B– skup realnih brojeva. Tada je j=(( x; y)Î A´ B | y- Cijena x) – odnos skupova A I B.

Ako obratite pažnju na primjer 3.1., primijetit ćete da je ova relacija prvo navedena u obliku t=(( x; y)Î A´ B | x+y=9), a zatim se zapisuje kao t=((3; 6), (5;4), (7;2)). Ovo sugerira da se relacije na skupovima (ili jednom skupu) mogu specificirati na različite načine. Pogledajmo načine definiranja binarnih odnosa.

Metode za definisanje odnosa:

1) upotrebom odgovarajućeg predikata;

2) skup uređenih parova;

3) u grafičkom obliku: neka A I B– dva konačna skupa i r – binarna relacija između njih. Elementi ovih skupova su predstavljeni tačkama na ravni. Za svaki uređeni par relacija, r crta strelicu koja povezuje tačke koje predstavljaju komponente para. Takav objekat se zove usmjereni graf ili digraf, tačke koje predstavljaju elemente skupova se obično nazivaju vrhovima grafa.

4) u obliku matrice: neka A={a 1, a 2, …, an) I B={b 1, b 2, …, bm), r – omjer uključen A´ B. Matrična reprezentacija r se naziva matrica M=[mij] veličina n´ m, definisan relacijama

.

Inače, matrična reprezentacija je reprezentacija relacije u računaru.

Primjer 3. 4. Neka su data dva skupa A=(1; 3; 5; 7) i B=(2; 4; 6). Relacija je data na sljedeći način t=(( x; y) | x+y=9). Definišite ovu relaciju kao skup uređenih parova, digraf, u obliku matrice.

Rješenje. 1) t=((3; 6), (5; 4), (7; 2)) - je definicija relacije kao skupa uređenih parova;

2) odgovarajući usmjereni graf je prikazan na slici.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">. ,

Primjer 3. 5 . Kao primjer možemo razmotriti predloženo J. von Neumann(1903 – 1957) blok dijagram sekvencijalnog računara, koji se sastoji od mnogo uređaja M:

,

Gdje a- ulazni uređaj, b– aritmetički uređaj (procesor), c- kontrolni uređaj, d- memorijski uređaj, e– izlazni uređaj.

Razmotrimo razmjenu informacija između uređaja mi I mj, koji su u odnosu r ako iz uređaja mi informacije ulaze u uređaj mj.

Ova binarna relacija se može definirati navođenjem svih njenih 14 uređenih parova elemenata:

Odgovarajući digraf koji definira ovu binarnu relaciju prikazan je na slici:


Matrični prikaz ove binarne relacije je:

. ,

Za binarne relacije, teorijske skupove operacije se definišu na uobičajen način: unija, presek, itd.


Hajde da uvedemo generalizovani koncept odnosa.

Definicija 3.3. n-mesto (n-ary ) relacija r je podskup direktnog proizvoda n skupovi, odnosno skup uređenih skupova ( tuples )

rÍ A 1 An={(a 1, …, an)| a 1O A 1Ù…Ù anÎ An}

Pogodno je definirati relacije više mjesta koristeći relacione tabele . Ovaj zadatak odgovara nabrajanju skupa n-na odnos r. Relacione tabele se široko koriste u računarskoj praksi u relacionim bazama podataka. Imajte na umu da se relacijske tablice koriste u svakodnevnoj praksi. Sve vrste proizvodnih, finansijskih, naučnih i drugih izveštaja često imaju oblik relacionih tabela.

riječ " relacijski“ dolazi od latinske riječi odnos, što u prevodu na ruski znači „stav“. Stoga se u literaturi slovo koristi za označavanje odnosa R(latinski) ili r (grčki).

Definicija 3.4. Neka rÍ A´ B postoji stav prema A´ B. Tada se naziva omjer r-1 inverzna relacija na dati odnos r by A´ B, koji je definiran na sljedeći način:

r-1=(( b, a) | (a, b)Îr).

Definicija 3.5. Neka je r N A´ B postoji stav prema A´ B, a s N B´ C – stav prema B´ C. Kompozicija odnosi s i r se naziva relacija t N A´ C, koji je definiran na sljedeći način:

t=s◦r= (( a, c)| $bÎ B, šta (a, b)Îr I (b, c)Îs).

Primjer 3. 6 . Neka i C=(, !, d, a). I neka omjer bude r A´ B i omjer je uključen B´ C dati su u obliku:

r=((1, x), (1, y), (3, x)};

s=(( x,), (x, !), (y, d), ( y, à)}.

Naći r-1 i s◦r, r◦s.

Rješenje. 1) Po definiciji r-1=(( x, 1), (y, 1), (x, 3)};

2) Koristeći definiciju sastava dvije relacije, dobijamo

s◦r=((1,), (1, !), (1, d), (1, a), (3,), (3, !)), (3, !)),

budući da od (1, x)Îr i ( x,)Îs slijedi (1,)Îs◦r;

od (1, x)Îr i ( x, !)Îs slijedi (1, !)Îs◦r;

od (1, y)Îr i ( y, d)Îs slijedi (1, d)Îs◦r;

od (3, x)Îr i ( x, !)Îs slijedi (3, !)Îs◦r.

Teorema 3.1. Za bilo koje binarne relacije vrijede sljedeća svojstva:

2) ;

3) - asocijativnost kompozicije.

Dokaz. Svojstvo 1 je očigledno.

Dokažimo svojstvo 2. Da bismo dokazali drugo svojstvo, pokazaćemo da se skupovi napisani na lijevoj i desnoj strani jednakosti sastoje od istih elemenata. Neka ( a; b) O (s◦r)-1 Û ( b; a) O s◦r Û $ c takav da ( b; c) O r i ( c; a) O s Û $ c takav da ( c; b) O r-1 i ( a; c) O s-1 Š ( a; b) O r -1◦s -1.

Svojstvo 3 dokažite sami.

3.2. Svojstva binarnih relacija.

Razmotrimo posebna svojstva binarnih relacija na skupu A.

Svojstva binarnih relacija.

1. Omjer r uključen A´ A pozvao reflektirajuće , Ako ( a,a) pripada r za sve a od A.

2. Relacija r se zove antirefleksno , ako od ( a,b)Îr slijedi a¹ b.

3. Omjer r simetrično , ako za a I b pripada A, od ( a,b)Ili iz toga slijedi da ( b,a)Îr.

4. Relacija r se zove antisimetrično , ako za a I b od A, od pripadnosti ( a,b) I ( b,a) relacija r implicira da a=b.

5. Omjer r tranzitivno , ako za a, b I c od A iz činjenice da ( a,b)Îr i ( b,c)Ir, slijedi da ( a,c)Îr.

Primjer 3. 7. Neka A=(1; 2; 3; 4; 5; 6). Na ovom skupu data je relacija rÍ A 2, koji ima oblik: r=((1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2 ) , (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)). Koja svojstva ima ovaj odnos?

Rješenje. 1) Ovaj odnos je refleksivan, jer za svaki aÎ A, (a; a)Îr.

2) Relacija nije antirefleksivna, jer uslov ovog svojstva nije zadovoljen. Na primjer, (2, 2)Îr, ali to ne znači da je 2¹2.

3) Razmotrimo sve moguće slučajeve, pokazujući da je relacija r simetrična:

(a, b)Îr

(b, a)

(b, a)Îr?

4) Ova relacija nije antisimetrična, budući da (1, 2)Îr i (2,1)Îr, ali iz toga ne slijedi da je 1=2.

5) Moguće je pokazati da je relacija r tranzitivna korištenjem metode direktnog nabrajanja.

(a, b)Îr

(b, c)Îr

(a, c)

(a, c)Îr?

Kako koristiti matričnu reprezentaciju

određuju svojstva binarne relacije

1. Refleksivnost: Sve jedinice su na glavnoj dijagonali; nule ili jedinice su označene zvjezdicama.

.

2. Anti-refleksivnost: Sve nule na glavnoj dijagonali.

3. Simetrija: Ako .

4. Antisimetrija: svi elementi izvan glavne dijagonale su nula; mogu biti i nule na glavnoj dijagonali.

.

Operacija “*” se izvodi prema sljedećem pravilu: , Gdje , .

5. Tranzitivnost: Ako . Operacija “◦” se izvodi po uobičajenom pravilu množenja, a potrebno je uzeti u obzir: .

3.3 Relacija ekvivalencije. Parcijalni odnos poretka.

Relacija ekvivalencije je formalizacija situacije kada govorimo o sličnosti (istosti) dva elementa skupa.

Definicija 3.6. Omjer r uključen A Tu je odnos ekvivalencije, ako refleksivna, simetrična i tranzitivna. Relacija ekvivalencije a r bčesto označavano: a~ b.

Primjer 3. 8 . Relacija jednakosti na skupu cijelih brojeva je relacija ekvivalencije.

Primjer 3. 9 . Relacija “iste visine” je relacija ekvivalencije na skupu ljudi X.

Primjer 3. 1 0 . Neka je ¢ skup cijelih brojeva. Nazovimo dva broja x I y od ¢ uporedivi po modulum(m O¥) i napišite , ako su ostaci ovih brojeva nakon dijeljenja sa m, tj. razlika ( x-y) podijeljena m.

Relacija „uporedivo u modulu m cijeli brojevi" je relacija ekvivalencije na skupu cijelih brojeva ¢. Zaista:

ovaj odnos je refleksivan, jer za " x΢ imamo x-x=0, pa je stoga djeljiv sa m;

ova relacija je simetrična, jer ako ( x-y) podijeljena m, zatim ( y-x) je također djeljiv sa m;

ova relacija je tranzitivna, jer ako ( x-y) podijeljena m, zatim za neki cijeli broj t 1 imamo https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, odavde , tj. ( x-z) podijeljena m.

Definicija 3.7. Omjer r uključen A Tu je parcijalni odnos poretka, ako refleksivni, antisimetrični i tranzitivni i označen je simbolom °.

Djelomični red je važan u situacijama kada želimo nekako okarakterizirati prednost. Drugim riječima, odlučite pod kojim uslovima da jedan element skupa smatrate superiornijim u odnosu na drugi.

Primjer 3. 11 . Stav x£ y postoji relacija parcijalnog reda na skupu realnih brojeva. ,

Primjer 3. 1 2 . U skupu podskupova nekog univerzalnog skupa U stav AÍ B postoji odnos parcijalne narudžbe.

Primjer 3. 1 3 . Šema organizacije subordinacije u instituciji je odnos djelomičnog reda u nizu pozicija.

Prototip relacije parcijalnog poretka je intuitivni koncept relacije preferencije (prednost). Relacija preferencije identifikuje klasu problema koji se mogu kombinovati kao problem izbora najbolji objekat .

Formulacija problema: neka postoji kolekcija objekata A i potrebno ih je uporediti prema preferenciji, odnosno postaviti relaciju preferencije na skupu A i identificirati najbolje objekte.

Odnos preferencija P, koji se može definisati kao " aPb, a, bÎ AÛ objekt a ništa manje poželjniji od objekta b"je refleksivan i antisimetričan po značenju (svaki predmet nije gori od sebe, a ako je predmet a ništa gore b I b ništa gore a, onda su isti po želji). Prirodno je pretpostaviti da je odnos P tranzitivno (iako u slučaju kada, na primjer, o preferencijama raspravlja grupa ljudi sa suprotnim interesima, ovo svojstvo može biti narušeno), tj. P– odnos parcijalnog naloga.

Jedan od mogućih načina da se riješi problem poređenja objekata po preferencijama je rasponu , tj. naručivanje objekata u skladu sa opadajućom preferencijom ili ekvivalentnošću. Kao rezultat rangiranja, identifikujemo „najbolje“ ili „najgore“ objekte sa stanovišta odnosa preferencija.

Područja upotrebe problemi o problemu izbora najboljeg objekta: teorija odlučivanja, primijenjena matematika, tehnologija, ekonomija, sociologija, psihologija.

Definicija. Binarna relacija R naziva se podskup parova (a,b)∈R Dekartov proizvod A×B, tj. R⊆A×B. Istovremeno, mnogi A naziva se domenom definicije relacije R, skup B naziva se domenom vrijednosti.

Oznaka: aRb (tj. a i b su u odnosu na R). /

Komentar: ako je A = B, onda se kaže da je R relacija na skupu A.

Metode za specificiranje binarnih relacija

1. Lista (nabrajanje parova) za koju ova relacija vrijedi.

2. Matrica. Binarna relacija R ∈ A × A, gdje je A = (a 1, a 2,..., a n), odgovara kvadratnoj matrici reda n, u kojoj je element c ij, smješten na presjeku i- redak i j-ti stupac, jednak je 1 ako postoji relacija R između a i i a j, ili 0 ako je odsutna:

Svojstva odnosa

Neka je R relacija na skupu A, R ∈ A×A. Tada je omjer R:

    refleksivno ako Ɐ a ∈ A: a R a (glavna dijagonala refleksivne relacijske matrice sadrži samo jedinice);

    antirefleksivan ako Ɐ a ∈ A: a R a (glavna dijagonala refleksivne relacijske matrice sadrži samo nule);

    simetrična ako je Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (matrica takve relacije je simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu, tj. c ij c ji);

    antisimetrično ako Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (u matrici takve relacije nema jedinica simetričnih oko glavne dijagonale);

    tranzitivno ako je Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c (u matrici takve relacije mora biti zadovoljen uslov: ako postoji jedinica u i-tom redu, npr. , u j-tim koordinatnim (kolona) redovima, tj. c ij = 1, onda sve jedinice u j-tom redu (neka ove jedinice odgovaraju k e koordinatama tako da je c jk = 1) moraju odgovarati jedinicama u i- red u istim k koordinatama, tj. c ik = 1 (a možda i u drugim koordinatama).

Zadatak 3.1. Odrediti svojstva relacije R – „da bude djelitelj“, definisane na skupu prirodnih brojeva.

Rješenje.

omjer R = ((a,b):a djelitelj b):

    refleksivan, a ne antirefleksivan, pošto se bilo koji broj dijeli bez ostatka: a/a = 1 za sve a∈N ;

    nije simetričan, antisimetričan, na primjer, 2 je djelitelj 4, ali 4 nije djelitelj 2;

    tranzitivan, jer ako je b/a ∈ N i c/b ∈ N, onda je c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, na primjer, ako je 6/3 = 2∈N i 18/6 = 3∈N , tada je 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Problem 3.2. Odrediti svojstva relacije R – „biti brat“, definisane na skupu ljudi.
Rješenje.

Relacija R = ((a,b):a - brat od b):

    nije refleksivan, antirefleksivan zbog očiglednog odsustva aRa za sve a;

    nije simetrično, jer u opštem slučaju između brata a i sestre b postoji aRb, ali ne i bRa;

    nije antisimetrično, jer ako su a i b braća, onda su aRb i bRa, već a≠b;

    prelazno, ako ljude koji imaju zajedničke roditelje (oca i majku) nazivate braćom.

Problem 3.3. Odrediti svojstva relacije R – „biti šef“, definisane na skupu elemenata strukture

Rješenje.

Relacija R = ((a,b) : a je glavni od b):

  • nije reflektirajuća, antirefleksivna, ako nema smisla u specifičnoj interpretaciji;
  • nije simetrično, antisimetrično, jer za sve a≠b aRb i bRa nisu zadovoljeni istovremeno;
  • tranzitivan, jer ako je a šef od b i b je šef od c, onda je a šef od c.

Odredi svojstva relacije R i definirane na skupu M i matricom ako:

  1. R 1 “imaju isti ostatak kada se podijeli sa 5”; M 1 je skup prirodnih brojeva.
  2. R 2 “biti jednak”; M 2 je skup prirodnih brojeva.
  3. R 3 “živi u istom gradu”; M 3 puno ljudi.
  4. R 4 “biti upoznat”; M 4 puno ljudi.
  5. R 5 ((a,b):(a-b) - paran; M 5 skup brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  6. R 6 ((a,b):(a+b) - paran; M 6 skup brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  7. R 7 ((a,b):(a+1) - djelitelj (a+b)) ; M 7 - set (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  8. R 8 ((a,b):a - djelitelj (a+b),a≠1); M 8 je skup prirodnih brojeva.
  9. R 9 “biti sestra”; M 9 - puno ljudi.
  10. R 10 “biti ćerka”; M 10 - puno ljudi.

Operacije nad binarnim odnosima

Neka su R 1, R 1 relacije definisane na skupu A.

    Union R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R1 ili (a,b) ∈ R2) ;

    raskrsnica R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R1 i (a,b) ∈ R2) ;

    razlika R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 i (a,b) ∉ R 2 ) ;

    univerzalni stav U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

    dodatak R 1 U \ R 1, gdje je U = A × A;

    identičan odnos I: = ((a;a) / a ∈ A);

    inverzna relacija R -1 1 Motor: R -1 1 = ((a,b) : (b,a) ∈ R 1 );

    kompozicija R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), gdje je R 1 ⊂ A × C i R 2 ⊂C×B;

Definicija. Stepen odnosa R na skupu A je njegova kompozicija sa samim sobom.

Oznaka:

Definicija. Ako je R ⊂ A × B, tada se zove R º R -1 jezgro relacije R .

Teorema 3.1. Neka je R ⊂ A × A relacija definirana na skupu A.

  1. R je refleksivan ako i samo ako (u daljem tekstu se koristi znak ⇔) kada je I ⊂ R.
  2. R simetričan ⇔ R = R -1.
  3. R tranzitivna ⇔ R º R ⊂ R
  4. R je antisimetričan ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
  5. R je antirefleksivan ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Problem 3.4 . Neka je R relacija između skupova (1,2,3) i (1,2,3,4), data nabrajanjem parova: R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)). Osim toga, S je relacija između skupova S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Izračunajte R -1 , S -1 i S º R. Provjerite da li je (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Rješenje.
R -1 = ((1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3));
S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4));
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)) = (S º R ) -1 .

Problem 3.5 . Neka je R relacija “...roditelj...” a S relacija “...brat...” na skupu svih ljudi. Dajte kratak verbalni opis odnosa:

R -1 , S -1 , R º S , S -1 º R -1 i R º R .

Rješenje.

R -1 - relacija “...dijete...”;

S -1 - odnos “...brat ili sestra...”;

R º S - relacija “...roditelj...”;

S -1 º R -1 - odnos “...dijete...”

R º R - odnos “...baka ili djed...”

Problemi koje treba riješiti samostalno

1) Neka je R relacija “...otac...” i S relacija “...sestra...” na skupu svih ljudi. Dajte verbalni opis odnosa:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , R º R.

2) Neka je R relacija “...brat...” i S relacija “...majka...” na skupu svih ljudi. Dajte verbalni opis odnosa:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) Neka je R relacija “...djed...” i S relacija “...sin...” na skupu svih ljudi. Dajte verbalni opis odnosa:

4) Neka je R relacija “...ćerka...” i S relacija “...baka...” na skupu svih ljudi. Dajte verbalni opis odnosa:

5) Neka je R relacija “...nećakinja...” i S relacija “...otac...” na skupu svih ljudi. Dajte verbalni opis odnosa:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) Neka je R relacija “sestra...” i S relacija “majka...” na skupu svih ljudi. Dajte verbalni opis odnosa:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

7) Neka je R relacija “...majka...” i S relacija “...sestra...” na skupu svih ljudi. Dajte verbalni opis odnosa:

R -1 , S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Neka je R relacija “...sin...” i S relacija “...djed...” na skupu svih ljudi. Dajte verbalni opis odnosa:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) Neka je R relacija “...sestra...” i S relacija “...otac...” na skupu svih ljudi. Dajte verbalni opis odnosa:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

10) Neka je R relacija “...majka...” i S relacija “...brat...” na skupu svih ljudi. Dajte verbalni opis odnosa:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

U svakodnevnom životu stalno se moramo baviti konceptom „veze“. Relacije su jedan od načina da se specificiraju odnosi između elemenata skupa.

Unarne (jednomjesne) relacije odražavaju prisustvo nekog atributa R u elementima skupa M (na primjer, "biti crven" na skupu kuglica u urni).

Binarni (dvomjesni) odnosi se koriste za definiranje uzajamnih

veze koje karakteriziraju parove elemenata u skupu M.

Na primjer, na skupu ljudi mogu se definirati sljedeći odnosi: „živi u istom gradu“, „ x radi pod rukovodstvom y", "biti sin", "biti stariji" itd. na skupu brojeva: "broj a više broja b", "broj a je djelitelj broja b", "brojevi a I b dati isti ostatak kada se podijeli sa 3.”

U direktnom proizvodu, gdje A- mnogi studenti bilo kojeg univerziteta, B- različiti predmeti koji se proučavaju, može se identifikovati veliki podskup uređenih parova (a, b), koji ima svojstvo: „student a proučava predmet b" Konstruisani podskup odražava odnos “studija” koji nastaje između skupova učenika i objekata. Broj primjera se može nastaviti

Odnos između dva objekta predmet je proučavanja ekonomije, geografije, biologije, fizike, lingvistike, matematike i drugih nauka.

Za strogi matematički opis bilo koje veze između elemenata dva skupa, uvodi se koncept binarne relacije.

Binarna relacija između skupova A i Bnaziva se podskup R direktnog proizvoda. U slučaju kada možete jednostavno razgovarati o vezi R on A.

Primjer 1. Zapišite uređene parove koji pripadaju binarnim relacijama R 1 I R 2, definisan na skupovima A I : , . Podset R 1 sastoji se od parova: . Podset.

Domena R postoji skup svih elemenata iz A tako da za neke elemente imamo . Drugim riječima, domen definicije R je skup svih prvih koordinata uređenih parova R.

Višestruka značenja odnos R ali ima mnogo svih takvih da za neke . Drugim riječima, mnogo značenja R je skup svih drugih koordinata uređenih parova od R.

U primjeru 1 za R 1 domen definicije: , skup vrijednosti - . Za R 2 domen definicije: , skup vrijednosti: .

U mnogim slučajevima zgodno je koristiti grafički prikaz binarne relacije. To se radi na dva načina: pomoću tačaka na ravni i pomoću strelica.

U prvom slučaju, dvije međusobno okomite linije biraju se kao horizontalna i vertikalna osa. Elementi skupa su iscrtani na horizontalnoj osi A i nacrtajte okomitu liniju kroz svaku tačku. Elementi skupa su iscrtani na vertikalnoj osi B, nacrtajte horizontalnu liniju kroz svaku tačku. Točke sjecišta horizontalnih i vertikalnih linija predstavljaju elemente direktnog proizvoda.

Primjer 5. Neka , .

Neka R 1 definisano navođenjem uređenih parova: . Binarna relacija R 2 na skupu je specificirano pomoću pravila: par je naređen ako a podijeljena b. Onda R 2 sastoji se od parova: .

Binarne relacije, iz primjera 2, R 1 I R 2 su grafički prikazane na Sl. 6 i sl.7.

Rice. 6 Fig. 7

Da bi se prikazao binarni odnos pomoću strelica, elementi skupa su prikazani na lijevoj strani kao tačke A, desno - setovi B. Za svaki par (a, b) sadržane u binarnoj relaciji R, strelica je nacrtana iz a To b, . Grafički prikaz binarne relacije R 1 dato u primjeru 6 prikazano je na slici 8.

Fig.8

Binarne relacije na konačnim skupovima mogu se specificirati matricama. Pretpostavimo da nam je data binarna relacija R između setova A I B. , .

Redovi matrice su numerisani elementima skupa A, a kolone su elementi skupa B. Matrična ćelija na raskrsnici i- Oh linije i j Stupac se obično označava sa C ij, a popunjava se na sljedeći način:

Rezultirajuća matrica će imati veličinu .

Primjer 6. Neka je dat skup. Na skupu definirajte relaciju sa listom i matricom R- "da bude striktno manje."

Stav R kako skup sadrži sve parove elemenata ( a, b) od M takav da .

Matrica relacija konstruisana prema gornjim pravilima ima sledeći oblik:

Svojstva binarnih relacija:

1. Binarna relacija R na skupu se zove reflektirajuće, ako je za bilo koji element a od M par (aa) pripada R, tj. važi za bilo koga a od M:

Veze “žive u istom gradu”, “studiram na istom fakultetu”, “ne budi više” reflektirajuće.

2. Binarna relacija se zove antirefleksno, ako nema svojstvo refleksivnosti za bilo koje a:

Na primjer, "biti veći", "biti mlađi" je antirefleksne veze.

3. Binarna relacija R pozvao simetrično, ako za bilo koje elemente a I b od M od kakvog para (a, b) pripada R...iz toga sledi da je par (b,a) pripada R, tj.

Simetrično paralelizam pravih, jer ako onda // . Simetričan odnos“biti jednak” na bilo kom skupu ili “biti koprost na N”.

Relacija R je simetrična ako i samo ako je R=R -1

4. Ako je za nepodudarne elemente relacija tačna, ali netačna, onda je relacija antisimetrično. Možete reći drugačije:

Odnosi su antisimetrični“biti veći”, “biti djelitelj sa N”, “biti mlađi”.

5. Binarna relacija R pozvao tranzitivan, ako za bilo koja tri elementa tog para (a, b) I (b,c) pripadati R, slijedi da par (a, c) pripada R:

Odnosi su tranzitivni: “biti veći”, “biti paralelan”, “biti jednak” itd.

6. Binarna relacija R antitransitivni, ako nema svojstvo tranzitivnosti.

Na primjer, “biti okomit” na skup pravih linija ( , , ali nije tačno da ).

Jer Budući da se binarna relacija može specificirati ne samo direktnim popisom parova, već i matricom, preporučljivo je saznati koje karakteristike karakteriziraju matricu relacija R, ako je: 1) refleksivna, 2) antirefleksivna, 3) simetrična, 4) antisimetrična, 5) tranzitivna.

Neka R postavljeno na .R se ili izvršava u oba smjera ili se uopće ne izvršava. Dakle, ako matrica sadrži jedan na sjecištu i- Oh linije i j- ta kolona, ​​tj. C ij=1, onda mora biti na raskrsnici j- Oh linije i i- ta kolona, ​​tj. C ji=1, i obrnuto, ako C ji=1, dakle C ij=1. dakle, matrica simetrične relacije je simetrična oko glavne dijagonale.

4. R antisimetrično ako i slijedi: . To znači da u odgovarajućoj matrici za br i, j nije izvršeno C ij =C ji=1. dakle, u matrici antisimetričnog omjera nema jedinica koje su simetrične oko glavne dijagonale.

5. Poziva se binarna relacija R na nepraznom skupu A tranzitivan Ako

Gornji uslov mora biti zadovoljen za bilo koji element matrice. I obrnuto, ako je u matrici R postoji barem jedan element C ij=1, za koje ovaj uslov nije zadovoljen R nije tranzitivan.

T-SQL jezik u SQL Serveru je baziran na standardnom SQL jeziku, koji je zasnovan na relacionom modelu, koji je zauzvrat zasnovan na matematičkim osnovama kao što su teorija skupova i logika predikata. Ovaj članak ispituje fundamentalnu temu iz teorije skupova: svojstva relacija na skupovima. Čitaoci mogu koristiti predložene T-SQL kodove da provjere prisustvo određenih svojstava određenih odnosa. Međutim, možete pokušati napisati vlastite verzije skripti (da biste utvrdili ima li relacija određeno svojstvo) prije nego što primijenite rješenja opisana u ovom članku.

Skupovi i relacije

Georg Cantor, tvorac teorije skupova, definira skup kao „ujedinjenje u određenu cjelinu M skupa određenih jasno prepoznatljivih objekata m naše kontemplacije ili mišljenja (koji će se zvati elementi skupa M).“ Elementi skupa mogu biti objekti proizvoljne prirode: ljudi, brojevi, pa čak i sami skupovi. Simboli ∈ i ∉ označavaju, respektivno, operatore koji odražavaju članstvo (pojavljivanje, članstvo) i ne-članstvo elementa u skupu. Dakle, oznaka x ∈ V znači da je x element skupa V, a oznaka x ∉ V znači da x nije element skupa V.

Binarna relacija na skupu je skup uređenih parova elemenata originalnog skupa. Dakle, za skup elemenata V = (a, b, c), binarna relacija R na datom skupu V će biti proizvoljan podskup skupa svih uređenih parova kartezijanskog proizvoda V × V = ((a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c) ). Relacija R = ((a, b), (b, c), (a, c)) je važeća binarna relacija na V. Možemo reći da je a povezano sa b pomoću R. Pretpostavimo da je R = ((a , b ), (b, c), (c, d)). Takav R nije dopustiva relacija na V, pošto par (c, d) ne pripada kartezijanskom proizvodu V × V. Imajte na umu da redosled kojim su elementi uključeni u skup specificirani nije važan. Skup V se može specificirati kao (a, b, c) ili kao (b, a, c) i tako dalje. Međutim, redosled u uređenim parovima, kao što su (a, b) binarne relacije, je važan; dakle (a, b) ≠ (b, a).

Kao realniji primjer binarne relacije, razmotrite skup F članova porodice: (Itsik, Mickey, Inna, Mila, Gabi). Mickey je Itzikov brat blizanac, Inna je njegova starija sestra, Mila je njegova majka, a Gabi je njegov otac. Primjer relacije R na skupu F bi bio: “je brat”. Elementi ovog odnosa su ((Itsik, Mickey), (Mickey, Itzik), (Itsik, Inna), (Mickey, Inna)). Napominjemo da se naručeni par (Itsik, Inna) pojavljuje u R, ali par (Inna, Itsik) ne. Iako je Itzik Innin brat, ona nije njegov brat.

Svojstva relacija na skupovima

Sada kada smo osvježili naše razumijevanje skupova i relacija, pređimo na temu članka – svojstva relacija na skupovima. Na primjer podaci, koristite kod u Listingu 1 za kreiranje tablica V i R. V će predstavljati skup, a R će predstavljati binarnu relaciju na njemu. Koristite kod u Listingu 2 da kreirate ClearTables proceduru koja će obrisati obje ove tablice zapisa prije nego što ih popuni novim uzorcima podataka. Konačno, koristite kod u Listings 3, 4 i 5 da popunite tabele V i R različitim skupovima podataka za testiranje (nazvat ćemo ih uzorci podataka 1, 2 i 3, redom).

Refleksivnost. Relacija R na skupu V je refleksivna ako za bilo koji element v skupa V, v ∈ V, slijedi da (v, v) ∈ R, to jest, par (v, v) uvijek pripada R. I relacija R na V nije refleksivna , ako postoji element v ∈ V takav da je par (v, v) ∉ R. Razmotrimo ponovo primjer skupa F - članovi moje porodice.

Odnos “biti istih godina kao” na F je očigledno refleksivan. Elementi veze bit će sljedeći parovi: ((Itsik, Itsik), (Itsik, Mickey), (Mickey, Mickey), (Mickey, Itzik), (Inna, Inna), (Mila, Mila), (Gabi , Gabi)).

Počnimo pisati T-SQL upit prema tabelama V i R (koje predstavljaju skup i relaciju na ovom skupu), provjeravajući da li je R refleksivan:

SELECT
CASE
KADA POSTOJI
(ODABIR v, v IZ dbo.V
OSIM
ODABERITE r1, r2 IZ dbo.R)
ONDA "ne"
OSTALO "Da"
END AS refleksivno

Prvi potupit u operaciji EXCEPT vraća skup svih uređenih parova (v, v) za sve redove tabele V. Drugi potupit vraća skup uređenih parova (r1, r2) - sve redove tabele R. Operacija EXCEPT tako će vratiti sve uređene parove koji se pojavljuju u prvom i nedostaju u drugom setu. Predikat EXISTS je potreban za provjeru postojanja najmanje jednog zapisa u skupu rezultata. Ako postoji barem jedan takav zapis, onda će izraz CASE vratiti “Ne” (nema refleksivnosti), ali i “Da” u suprotnom (postoji refleksivnost).

Pogledajte tri primjera skupa podataka u popisima 3, 4 i 5 i pokušajte odrediti koji bi imali reflektirajući odnos bez pokretanja upita. Odgovori su dati dalje u tekstu članka.

Irreflektirajuće. Relacija R na skupu V naziva se nerefleksivnost (ne treba je brkati sa nerefleksivnošću) ako za svaki element v ∈ V slijedi da (v, v) ∉ R. Relacija nije nerefleksivna ako postoji element v ∈ V za koji (v, v) ∈ R. Primjer nerefleksivne relacije na skupu F članova moje porodice je relacija „biti roditelj“, pošto nijedna osoba ne može biti sam sebi roditelj. Članovi ove relacije na F će biti sljedeći parovi: ((Mila, Itzik), (Mila, Mickey), (Mila, Inna), (Gabi, Itzik), (Gabi, Mickey), (Gabi, Inna)) .

Sljedeći upit provjerava da li je relacija R na V nerefleksivna:

SELECT
CASE
KADA POSTOJI
(ODABIR * IZ dbo.R
GDJE r1 = r2)
ONDA "ne"
OSTALO "Da"
END AS nerefleksivan

Strani ključevi u definiciji tabele R uvedeni su kako bi se osiguralo da samo elementi iz V mogu sačinjavati atribute r1 i r2 zapisa R. Dakle, ostaje samo provjeriti da li u R postoje zapisi sa odgovarajućim atributima r1 i r2. Ako se takav unos pronađe, relacija R nije nerefleksivna; ako nema unosa, ona je nerefleksivna.

Simetrija. Relacija R na skupu V naziva se simetrična ako je, zajedno sa (r1, r2) ∈ R, uvijek zadovoljena (r2, r1) ∈ R. Relacija nije simetrična ako postoji neki par (r1, r2) ∈ R za koji (r2, r1) ∉ R. Na skupu F članova porodice Ben-Gan, relacija „je brat ili sestra“ bila bi primjer simetrične relacije. Parovi ove relacije će biti sljedeći skupovi: ((Itsik, Mickey), (Itsik, Inna), (Mickey, Itzik), (Mickey, Inna), (Inna, Itzik), (Inna, Mickey)).

Sljedeći upit provjerava da li je relacija R prema V simetrična:

SELECT
CASE
KADA POSTOJI
(IZABIR r1, r2 IZ dbo.R
OSIM
ODABERITE r2, r1 IZ dbo.R)
ONDA "ne"
OSTALO "Da"
KRAJ KAO simetrično

Šifra zahtjeva koristi operaciju EXCEPT. Prvi potupit operacije EXCEPT vraća skup uređenih parova (r1, r2) - zapise tabele R, a drugi - skup uređenih parova (r2, r1) za svaki zapis R. Ako je relacija R na skup V nije simetričan, tada će operacija EXCEPT vratiti neprazan skup rezultata, a predikat EXISTS, respektivno, vrijednost TRUE i, konačno, izraz CASE će vratiti “Ne”.

Ako je odnos simetričan, onda će izraz CASE dati "Da".

Asimetrija. Relacija R na skupu V je asimetrična (ovo svojstvo ne treba brkati sa asimetrijom) ako je za svaki skup (r1, r2) ∈ R, u kojem je r1 ≠ r2, tačno da je (r2, r1) ∉ R. primjer asimetrične relacije na skupu F članovi porodice autora će imati odnos "biti roditelj" koji je gore opisan. Kao vježbu, pokušajte smisliti primjer relacije na nepraznom skupu koji je i simetričan i asimetričan. Pogledajte primjere podataka u ovom članku za rješenje.

SELECT
CASE
KADA POSTOJI
(IZABIR r1, r2 IZ dbo.R GDJE r1 r2
INTERSECT
ODABERITE r2, r1 IZ dbo.R GDJE r1 r2)
ONDA "ne"
OSTALO "Da"
KRAJ KAO asimetrično

Kod koristi operaciju INTERSECT. Prvi potupit u ovoj operaciji vraća uređeni par (r1, r2) za svaki zapis tabele R u kojoj je r1 r2.

Drugi potupit operacije INTERSECT vraća uređeni par (r2, r1) za svaki zapis tabele R u kojoj je r1 r2. Ako skup rezultata (rezultat presjeka ovih skupova) uključuje barem jedan zapis, to će značiti da R nije asimetričan; inače je R asimetričan.

Tranzitivnost. Relacija R na skupu V je tranzitivna ako inkluzije (a, b) ∈ R i (b, c) ∈ R uvijek impliciraju da (a, c) ∈ R. Primjer tranzitivne relacije na skupu članova porodice F bi bila relacija "je li brat ili sestra" o kojoj je gore raspravljano.

Kod ispod testira tranzitivnost relacije R:

SELECT
CASE
KADA POSTOJI
(ODABIR *
OD dbo.R AS RA
UNUTRAŠNJI SPOJ dbo.R AS RB
NA RA.r2 = RB.r1
LIJEVI VANJSKI SPOJ dbo.R AS RC
NA RA.r1 = RC.r1 I RB.r2 = RC.r2
GDJE JE RC.r1 NULL)
ONDA "ne"
OSTALO "Da"
END AS tranzitivan

Kod prvo koristi unutrašnje spajanje između dvije instance R da odabere samo one redove gdje r2 u prvoj instanci odgovara r1 u drugoj instanci. Drugo, kod koristi lijevo vanjsko spajanje s trećom instancom tabele R, prema kojoj je r1 prve instance R isto što i r1 treće instance, a r2 druge instance je isto kao r2 iz tabele R. treće. Ako postoji barem jedan red rezultata u unutrašnjem potupitu (uslov odabira za treću instancu: r1 je Null), to znači da relacija nije tranzitivna; inače je relacija R tranzitivna.

Relacija ekvivalencije. Relacija ekvivalencije je relacija koja istovremeno ima svojstva refleksivnosti, simetrije i tranzitivnosti. Možete koristiti gore predložene upite da zasebno provjerite prisustvo svakog svojstva: ako relacija ima sva tri, onda bismo trebali zaključiti da relacija ekvivalencije vrijedi. Dodatno, možete koristiti kod u Listingu 6 da testirate sva svojstva relacije R na skupu V o kojima je bilo riječi ranije u članku, uključujući testiranje svojstva relacije ekvivalencije. Ako pokrenete Listing 6 na uzorku podataka 1, 2 i 3 (izvedenih iz Liste 3, 4 i 5, respektivno), dobićete rezultate prikazane u tabelama 1, 2 i 3, respektivno.

Vraćanje na osnove T-SQL-a

Dakle, ispitali smo fundamentalnu temu iz matematičke teorije skupova: svojstva relacija na skupovima. Predložio sam T-SQL test kodove za testiranje svojstava neke relacije predstavljene tabelom R (uređeni parovi elemenata) na skupu elemenata predstavljenih tabelom V.

Upotreba osnovnih T-SQL konstrukcija pomogla nam je da pravilno konfigurišemo i primenimo alate ovog jezika za bolje razumevanje svojstava relacija na skupovima.

Itzik Ben-Gan ( [email protected]) - nastavnik i konsultant, autor knjiga o T-SQL-u, ima zvanje SQL Server MVP