Διατροφή και δίαιτες 

Μια δυαδική σχέση σε ένα σύνολο x ονομάζεται. Δυαδική σχέση. Βασικές αρχές Διακριτών Μαθηματικών

Αφήνω Rείναι κάποια δυαδική σχέση στο σύνολο X, και τα x, y, z είναι οποιοδήποτε από τα στοιχεία του. Εάν ένα στοιχείο x βρίσκεται σε σχέση R με ένα στοιχείο y, τότε γράψτε xRy.

1. Μια σχέση R σε ένα σύνολο Χ ονομάζεται ανακλαστική αν κάθε στοιχείο του συνόλου βρίσκεται σε αυτή τη σχέση με τον εαυτό του.

R -ανακλαστικό στο Χ<=>xRx για οποιοδήποτε x€ X

Εάν η σχέση R είναι ανακλαστική, τότε υπάρχει ένας βρόχος σε κάθε κορυφή του γραφήματος. Για παράδειγμα, οι σχέσεις ισότητας και παραλληλισμού για τμήματα είναι αντανακλαστικές, αλλά οι σχέσεις καθετότητας και "μακρύτερο" δεν είναι αντανακλαστικές. Αυτό αντικατοπτρίζεται στα γραφήματα στο Σχήμα 42.

2. Μια σχέση R σε ένα σύνολο X ονομάζεται συμμετρική αν από το γεγονός ότι το στοιχείο x βρίσκεται σε δεδομένη σχέση με το στοιχείο y, προκύπτει ότι το στοιχείο y βρίσκεται στην ίδια σχέση με το στοιχείο x.

R - συμμετρικά ενεργό (xYay =>y Rx)

Ένα γράφημα συμμετρικής σχέσης περιέχει ζευγαρωμένα βέλη που κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις. Οι σχέσεις παραλληλισμού, καθετότητας και ισότητας για τα τμήματα είναι συμμετρικές, αλλά η σχέση «μακρύτερη» δεν είναι συμμετρική (Εικ. 42).

3. Μια σχέση R σε ένα σύνολο X ονομάζεται αντισυμμετρική αν, για διαφορετικά στοιχεία x και y από το σύνολο X, από το γεγονός ότι το στοιχείο x βρίσκεται σε δεδομένη σχέση με το στοιχείο y, προκύπτει ότι το στοιχείο y δεν είναι σε αυτή τη σχέση με το στοιχείο x.

R - αντισυμμετρικό στο X « (xRy και xy ≠ yRx)

Σημείωση: μια overbar υποδηλώνει την άρνηση μιας πρότασης.

Σε ένα γράφημα αντισυμμετρικής σχέσης, δύο σημεία μπορούν να συνδεθούν μόνο με ένα βέλος. Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας σχέσης είναι η σχέση "μακρύτερο" για τμήματα (Εικ. 42). Οι σχέσεις παραλληλισμού, καθετότητας και ισότητας δεν είναι αντισυμμετρικές. Υπάρχουν σχέσεις που δεν είναι ούτε συμμετρικές ούτε αντισυμμετρικές, για παράδειγμα η σχέση «είναι αδελφός» (Εικ. 40).

4. Μια σχέση R σε ένα σύνολο X ονομάζεται μεταβατική αν από το γεγονός ότι ένα στοιχείο x βρίσκεται σε μια δεδομένη σχέση με ένα στοιχείο y και ένα στοιχείο y είναι σε αυτή τη σχέση με ένα στοιχείο z, προκύπτει ότι το στοιχείο x βρίσκεται σε μια δεδομένη σχέση με ένα στοιχείο Ζ

R - μεταβατικό στο A≠ (xRy και yRz=> xRz)

Στα γραφήματα των σχέσεων "μακρύτερο", παραλληλισμού και ισότητας στο Σχήμα 42, μπορείτε να παρατηρήσετε ότι εάν ένα βέλος πηγαίνει από το πρώτο στοιχείο στο δεύτερο και από το δεύτερο στο τρίτο, τότε σίγουρα υπάρχει ένα βέλος που πηγαίνει από το πρώτο στοιχείο στο τρίτο. Αυτές οι σχέσεις είναι μεταβατικές. Η καθετότητα των τμημάτων δεν έχει την ιδιότητα της μεταβατικότητας.

Υπάρχουν και άλλες ιδιότητες σχέσεων μεταξύ στοιχείων του ίδιου συνόλου που δεν εξετάζουμε.

Η ίδια σχέση μπορεί να έχει πολλές ιδιότητες. Έτσι, για παράδειγμα, σε ένα σύνολο τμημάτων η σχέση «ίσο» είναι αντανακλαστική, συμμετρική, μεταβατική. η σχέση «περισσότερο» είναι αντισυμμετρική και μεταβατική.


Εάν μια σχέση σε ένα σύνολο Χ είναι αντανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική, τότε είναι μια σχέση ισοδυναμίας σε αυτό το σύνολο. Τέτοιες σχέσεις χωρίζουν το σύνολο Χ σε κλάσεις.

Αυτές οι σχέσεις εκδηλώνονται, για παράδειγμα, κατά την ολοκλήρωση εργασιών: «Μαζέψτε λωρίδες ίσου μήκους και τακτοποιήστε τις σε ομάδες», «Τακτοποιήστε τις μπάλες έτσι ώστε κάθε κουτί να περιέχει μπάλες του ίδιου χρώματος». Οι σχέσεις ισοδυναμίας ("να είναι ίσο σε μήκος", "να είναι του ίδιου χρώματος") καθορίζουν σε αυτήν την περίπτωση τη διαίρεση των σετ λωρίδων και μπάλων σε τάξεις.

Εάν μια σχέση στο σύνολο 1 είναι μεταβατική και αντισυμμετρική, τότε ονομάζεται σχέση τάξης σε αυτό το σύνολο.

Ένα σύνολο με μια δεδομένη σχέση τάξης ονομάζεται διατεταγμένο σύνολο.

Για παράδειγμα, κατά την ολοκλήρωση των εργασιών: «Συγκρίνετε τις λωρίδες σε πλάτος και τακτοποιήστε τις από το στενότερο προς το ευρύτερο», «Σύγκρινε τους αριθμούς και τακτοποιήστε τις κάρτες αριθμών με τη σειρά», τα παιδιά διατάσσουν τα στοιχεία των σετ λωρίδων και καρτών αριθμών χρήση σχέσεων παραγγελίας. «να είναι ευρύτερο», «να ακολουθήσει».

Γενικά, οι σχέσεις ισοδυναμίας και τάξης παίζουν μεγάλο ρόλο στη διαμόρφωση στα παιδιά σωστών ιδεών σχετικά με την ταξινόμηση και τη σειρά των συνόλων. Επιπλέον, υπάρχουν πολλές άλλες σχέσεις που δεν είναι ούτε σχέσεις ισοδυναμίας ούτε σχέσεις τάξης.


6. Τι είναι χαρακτηριστική ιδιότητα ενός συνόλου;

7. Σε ποιες σχέσεις μπορεί να υπάρχουν σύνολα; Δώστε εξηγήσεις για κάθε περίπτωση και απεικονίστε τις χρησιμοποιώντας κύκλους Euler.

8. Ορίστε ένα υποσύνολο. Δώστε ένα παράδειγμα συνόλων, ένα από τα οποία είναι υποσύνολο ενός άλλου. Γράψτε τη σχέση τους χρησιμοποιώντας σύμβολα.

9. Ορίστε ίσα σύνολα. Δώστε παραδείγματα δύο ίσων συνόλων. Γράψτε τη σχέση τους χρησιμοποιώντας σύμβολα.

10. Ορίστε την τομή δύο συνόλων και απεικονίστε την χρησιμοποιώντας κύκλους Euler για κάθε συγκεκριμένη περίπτωση.

11. Ορίστε την ένωση δύο συνόλων και απεικονίστε την χρησιμοποιώντας κύκλους Euler για κάθε συγκεκριμένη περίπτωση.

12. Ορίστε τη διαφορά μεταξύ δύο συνόλων και απεικονίστε την χρησιμοποιώντας κύκλους Euler για κάθε συγκεκριμένη περίπτωση.

13. Ορίστε το συμπλήρωμα και απεικονίστε το χρησιμοποιώντας κύκλους Euler.

14. Τι ονομάζεται κατάτμηση ενός συνόλου σε κλάσεις; Ονομάστε τις προϋποθέσεις για τη σωστή ταξινόμηση.

15. Τι ονομάζεται αντιστοιχία μεταξύ δύο συνόλων; Ονομάστε τις μεθόδους για τον καθορισμό αντιστοιχιών.

16. Τι είδους αντιστοιχία ονομάζεται ένας προς έναν;

17. Ποια σύνολα ονομάζονται ίσα;

18. Ποια σύνολα ονομάζονται ισοδύναμα;

19. Ονομάστε τρόπους ορισμού σχέσεων σε ένα σύνολο.

20. Ποια σχέση σε ένα σύνολο ονομάζεται ανακλαστική;

21. Ποια σχέση σε ένα σύνολο λέγεται συμμετρική;

22. Ποια σχέση σε ένα σύνολο ονομάζεται αντισυμμετρική;

23. Ποια σχέση σε ένα σύνολο λέγεται μεταβατική;

24. Ορίστε μια σχέση ισοδυναμίας.

25. Ορίστε τη σχέση παραγγελίας.

26. Ποιο σύνολο λέγεται διατεταγμένο;

Διάλεξη 3.

ρήτρα 3. Σχέσεις στα σετ. Ιδιότητες δυαδικών σχέσεων.

3.1. Δυαδικές σχέσεις.

Όταν μιλούν για τη σχέση δύο ανθρώπων, για παράδειγμα, του Σεργκέι και της Άννας, εννοούν ότι υπάρχει μια συγκεκριμένη οικογένεια στην οποία ανήκουν. Ένα διατεταγμένο ζευγάρι (Σεργκέι, Άννα) διαφέρει από άλλα διατεταγμένα ζευγάρια ανθρώπων στο ότι υπάρχει κάποιο είδος σχέσης μεταξύ του Σεργκέι και της Άννας (ξάδερφος, πατέρας κ.λπ.).

Στα μαθηματικά, ανάμεσα σε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη του άμεσου γινόμενου δύο συνόλων ΕΝΑΚαι σι (ΕΝΑ´ σι) Τα «ειδικά» ζεύγη διακρίνονται και λόγω του ότι μεταξύ των συστατικών τους υπάρχουν κάποιες «συγγενικές» σχέσεις που οι άλλοι δεν έχουν. Ως παράδειγμα, εξετάστε το σύνολο μικρόφοιτητές κάποιου πανεπιστημίου και πολλών κμαθήματα που διδάσκονται εκεί. Σε άμεσο προϊόν μικρό´ κμπορεί κανείς να επιλέξει ένα μεγάλο υποσύνολο διατεταγμένων ζευγών ( μικρό, κ) έχοντας την ιδιοκτησία: φοιτητής μικρόπαρακολουθεί μάθημα κ. Το κατασκευασμένο υποσύνολο αντικατοπτρίζει τη σχέση «...ακούει...» που προκύπτει φυσικά μεταξύ συνόλων σπουδαστών και μαθημάτων.

Για μια αυστηρή μαθηματική περιγραφή τυχόν συνδέσεων μεταξύ στοιχείων δύο συνόλων, εισάγουμε την έννοια της δυαδικής σχέσης.

Ορισμός 3.1. Δυάδικος (ή διπλό )στάση rμεταξύ των σετ ΕΝΑΚαι σικαλείται ένα αυθαίρετο υποσύνολο ΕΝΑ´ σι, δηλ.

Ειδικότερα, εάν Α=σι(δηλαδή rÍ ΕΝΑ 2), τότε λένε ότι το r είναι μια σχέση στο σύνολο ΕΝΑ.

Στοιχεία έναΚαι σιλέγονται συστατικά (ή συντεταγμένες ) σχέση r.

Σχόλιο. Ας συμφωνήσουμε ότι για να δηλώσετε τις σχέσεις μεταξύ των στοιχείων των συνόλων, χρησιμοποιήστε το ελληνικό αλφάβητο: r, t, j, s, w κ.λπ.


Ορισμός 3.2. Τομέας ορισμού ρε r=( ένα| $ σι, Τι ένα r σι) (αριστερή πλευρά). Εύρος τιμών μιας δυαδικής σχέσης r ονομάζεται σύνολο R r=( σι| $ ένα, Τι ένα r σι) (δεξιό μέρος).

Παράδειγμα 3. 1. Ας δοθούν δύο σετ ΕΝΑ=(1; 3; 5; 7) και σι=(2; 4; 6). Ας ορίσουμε τη σχέση ως εξής t=(( Χ; y)Î ΕΝΑ´ σι | x+y=9). Αυτή η σχέση θα αποτελείται από τα ακόλουθα ζεύγη (3; 6), (5; 4) και (7; 2), τα οποία μπορούν να γραφτούν ως t=((3; 6), (5; 4), (7;2 ) ). Σε αυτό το παράδειγμα ρε t=(3; 5; 7) και R t= σι={2; 4; 6}.

Παράδειγμα 3. 2. Η σχέση ισότητας στο σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι το σύνολο r=(( Χ; y) | ΧΚαι y– πραγματικοί αριθμοί και Χισοδυναμεί y). Υπάρχει μια ειδική σημείωση για αυτή τη σχέση: "=". Το πεδίο ορισμού συμπίπτει με το πεδίο των τιμών και είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, ρε r= R r.

Παράδειγμα 3. 3. Αφήνω ΕΝΑ– πολλά αγαθά στο κατάστημα, και σι– σύνολο πραγματικών αριθμών. Τότε j=(( Χ; y)Î ΕΝΑ´ σι | y– τιμή Χ) – σχέση συνόλων ΕΝΑΚαι σι.

Εάν προσέξετε το παράδειγμα 3.1., θα παρατηρήσετε ότι αυτή η σχέση καθορίστηκε για πρώτη φορά με τη μορφή t=(( Χ; y)Î ΕΝΑ´ σι | x+y=9), και στη συνέχεια γράφεται ως t=((3; 6), (5;4), (7;2)). Αυτό υποδηλώνει ότι οι σχέσεις σε σύνολα (ή σε ένα σύνολο) μπορούν να καθοριστούν με διάφορους τρόπους. Ας δούμε τρόπους ορισμού δυαδικών σχέσεων.

Μέθοδοι καθορισμού σχέσεων:

1) χρησιμοποιώντας ένα κατάλληλο κατηγόρημα.

2) ένα σύνολο παραγγελθέντων ζευγών.

3) σε γραφική μορφή: ας ΕΝΑΚαι σι– δύο πεπερασμένα σύνολα και r – μια δυαδική σχέση μεταξύ τους. Τα στοιχεία αυτών των συνόλων αντιπροσωπεύονται από σημεία στο επίπεδο. Για κάθε διατεταγμένο ζεύγος σχέσεων, το r σχεδιάζει ένα βέλος που συνδέει τα σημεία που αντιπροσωπεύουν τα συστατικά του ζεύγους. Ένα τέτοιο αντικείμενο ονομάζεται κατευθυνόμενο γράφημαή δίφθογγος, συνήθως ονομάζονται τα σημεία που αντιπροσωπεύουν τα στοιχεία των συνόλων κορυφές του γραφήματος.

4) με τη μορφή μήτρας: ας ΕΝΑ={ένα 1, ένα 2, …, ένα) Και σι={σι 1, σι 2, …, bm), r – αναλογία ενεργή ΕΝΑ´ σι. Αναπαράσταση μήτραςΤο r ονομάζεται μήτρα Μ=[mij] Μέγεθος n´ Μ, που ορίζεται από τις σχέσεις

.

Παρεμπιπτόντως, η αναπαράσταση πίνακα είναι μια αναπαράσταση μιας σχέσης σε έναν υπολογιστή.

Παράδειγμα 3. 4. Ας δοθούν δύο σετ ΕΝΑ=(1; 3; 5; 7) και σι=(2; 4; 6). Η σχέση δίνεται ως εξής t=(( Χ; y) | x+y=9). Ορίστε αυτή τη σχέση ως ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών, ένα δίγραφο, με τη μορφή πίνακα.

Λύση. 1) t=((3; 6), (5; 4), (7; 2)) - είναι ένας ορισμός μιας σχέσης ως ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών.

2) το αντίστοιχο κατευθυνόμενο γράφημα φαίνεται στο σχήμα.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">. ,

Παράδειγμα 3. 5 . Ως παράδειγμα, μπορούμε να εξετάσουμε το προτεινόμενο J. von Neumann(1903 – 1957) μπλοκ διάγραμμα ενός διαδοχικού υπολογιστή, ο οποίος αποτελείται από πολλές συσκευές Μ:

,

Οπου ένα- συσκευή εισόδου, σι– αριθμητική συσκευή (επεξεργαστής), ντο- συσκευή ελέγχου, ρε- Συσκευή μνήμης, μι- συσκευή εξόδου.

Ας εξετάσουμε την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ συσκευών μιΚαι mj, τα οποία είναι σε σχέση r εάν από τη συσκευή μιπληροφορίες εισέρχονται στη συσκευή mj.

Αυτή η δυαδική σχέση μπορεί να οριστεί παραθέτοντας και τα 14 διατεταγμένα ζεύγη στοιχείων της:

Το αντίστοιχο διάγραμμα που ορίζει αυτή τη δυαδική σχέση παρουσιάζεται στο σχήμα:


Η αναπαράσταση πίνακα αυτής της δυαδικής σχέσης είναι:

. ,

Για τις δυαδικές σχέσεις, οι πράξεις θεωρίας συνόλων ορίζονται με τον συνήθη τρόπο: ένωση, τομή κ.λπ.


Ας εισαγάγουμε μια γενικευμένη έννοια της σχέσης.

Ορισμός 3.3. ν-τόπος (n-αρία ) η σχέση r είναι ένα υποσύνολο του άμεσου γινόμενου nσετ, δηλαδή ένα σύνολο από διατεταγμένα σετ ( πλειάδες )

rÍ ΕΝΑ 1 Ενα={(ένα 1, …, ένα)| ένα 1О ΕΝΑ 1Ù…Ù έναÎ Ενα}

Είναι βολικό να ορίσετε σχέσεις πολλαπλών θέσεων χρησιμοποιώντας σχεσιακούς πίνακες . Αυτή η εργασία αντιστοιχεί στην απαρίθμηση του συνόλου n-σε σχέση r. Οι σχεσικοί πίνακες χρησιμοποιούνται ευρέως στην πρακτική των υπολογιστών σε σχεσιακές βάσεις δεδομένων. Σημειώστε ότι οι σχεσικοί πίνακες χρησιμοποιούνται στην καθημερινή πρακτική. Όλα τα είδη παραγωγικών, οικονομικών, επιστημονικών και άλλων εκθέσεων συχνά παίρνουν τη μορφή σχεσιακών πινάκων.

λέξη" σχετικός" προέρχεται από τη λατινική λέξη σχέση, που μεταφράζεται στα ρωσικά σημαίνει «στάση». Επομένως, στη βιβλιογραφία, το γράμμα χρησιμοποιείται για να δηλώσει τη σχέση R(Λατινικά) ή r (ελληνικά).

Ορισμός 3.4.Άσε rÍ ΕΝΑ´ σιυπάρχει μια στάση απέναντι ΕΝΑ´ ΣΙ.Τότε καλείται ο λόγος r-1 αντίστροφη σχέση σε μια δεδομένη αναλογία r κατά ΕΝΑ´ σι, το οποίο ορίζεται ως εξής:

r-1=(( σι, ένα) | (ένα, σι)Îr).

Ορισμός 3.5.Έστω r Н ΕΝΑ´ σιυπάρχει μια στάση απέναντι ΕΝΑ´ ΣΙ, a s Н σι´ Γ –συμπεριφορά προς σι´ ΝΤΟ. Σύνθεσησυγγένειες s και r λέγεται η σχέση t Н ΕΝΑ´ ντο, το οποίο ορίζεται ως εξής:

t=s◦r= (( ένα, ντο)| $σιÎ Β, τι (ένα, σι) Ιρ Και (σι, ντο)Είναι).

Παράδειγμα 3. 6 . Αφήστε και ντο=(, !, δ, α). Και ας είναι η αναλογία r ΕΝΑ´ σικαι η αναλογία είναι ενεργοποιημένη σι´ ντοδίνονται με τη μορφή:

r=((1, Χ), (1, y), (3, Χ)};

s=(( Χ,), (Χ, !), (y, δ), ( y, à)}.

Βρείτε r-1 και s◦r, r◦s.

Λύση. 1) Εξ ορισμού r-1=(( Χ, 1), (y, 1), (Χ, 3)};

2) Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της σύνθεσης δύο σχέσεων, παίρνουμε

s◦r=((1,), (1, !), (1, d), (1, α), (3,), (3, !)),

αφού από (1, Χ)Ιr και ( Χ,)Îs ακολουθεί (1,)Îs◦r;

από (1, Χ)Ιr και ( Χ, !)Îs ακολουθεί (1, !)Îs◦r;

από (1, y)Ιr και ( y, d)Îs ακολουθεί (1, d)Îs◦r;

από (3, Χ)Ιr και ( Χ, !)Îs ακολουθεί (3, !)Îs◦r.

Θεώρημα 3.1.Για οποιεσδήποτε δυαδικές σχέσεις ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

2) ;

3) - συσχετισμός της σύνθεσης.

Απόδειξη.Η ιδιότητα 1 είναι προφανής.

Ας αποδείξουμε την ιδιότητα 2. Για να αποδείξουμε τη δεύτερη ιδιότητα, θα δείξουμε ότι τα σύνολα που γράφονται στην αριστερή και δεξιά πλευρά της ισότητας αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία. ας ( ένα; σι) О (s◦r)-1 Û ( σι; ένα) О s◦r Û $ ντοτέτοιο που ( σι; ντο) О r και ( ντο; ένα) О s Û $ ντοτέτοιο που ( ντο; σι) О r-1 και ( ένα; ντο) О s-1 Ш ( ένα; σι) О r -1◦s -1.

Αποδείξτε μόνοι σας την ιδιότητα 3.

3.2. Ιδιότητες δυαδικών σχέσεων.

Ας εξετάσουμε τις ειδικές ιδιότητες των δυαδικών σχέσεων στο σύνολο ΕΝΑ.

Ιδιότητες δυαδικών σχέσεων.

1. Αναλογία r ενεργή ΕΝΑ´ ΕΝΑπου ονομάζεται ανακλαστικός , Αν ( ένα,ένα) ανήκει στο r για όλους ένααπό ΕΝΑ.

2. Η σχέση r ονομάζεται αντιανακλαστικό , αν από ( ένα,σι) Ιr ακολουθεί ένα¹ σι.

3. Αναλογία r συμμετρικώς , εάν για έναΚαι σιανήκει σε ΕΝΑ, από ( ένα,σι) Από αυτό προκύπτει ότι ( σι,ένα) Ιρ.

4. Η σχέση r ονομάζεται αντισυμμετρική , εάν για έναΚαι σιαπό ΕΝΑ, από το ανήκειν ( ένα,σι) Και ( σι,ένα) η σχέση r υπονοεί ότι ένα=σι.

5. Αναλογία r μεταβατικά , εάν για ένα, σιΚαι ντοαπό ΕΝΑαπό το γεγονός ότι ( ένα,σι)Ιr και ( σι,ντο)Ε, προκύπτει ότι ( ένα,ντο) Ιρ.

Παράδειγμα 3. 7. Αφήνω ΕΝΑ=(1; 2; 3; 4; 5; 6). Σε αυτό το σύνολο δίνεται η σχέση rÍ ΕΝΑ 2, που έχει τη μορφή: r=((1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2 ) , (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)). Τι ιδιότητες έχει αυτή η σχέση;

Λύση. 1) Η σχέση αυτή είναι αντανακλαστική, αφού για το καθένα έναÎ ΕΝΑ, (ένα; ένα) Ιρ.

2) Η σχέση δεν είναι αντι-αντανακλαστική, αφού η συνθήκη αυτής της ιδιότητας δεν ικανοποιείται. Για παράδειγμα, (2, 2)Îr, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι 2¹2.

3) Εξετάστε όλες τις πιθανές περιπτώσεις, δείχνοντας ότι η σχέση r είναι συμμετρική:

(ένα, σι) Ιρ

(σι, ένα)

(σι, ένα)Ε;

4) Αυτή η σχέση δεν είναι αντισυμμετρική, αφού (1, 2)Îr και (2,1)Îr, αλλά δεν προκύπτει από αυτό ότι 1=2.

5) Είναι δυνατόν να δείξουμε ότι η σχέση r είναι μεταβατική χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της άμεσης απαρίθμησης.

(ένα, σι) Ιρ

(σι, ντο) Ιρ

(ένα, ντο)

(ένα, ντο)Ε;

Πώς να χρησιμοποιήσετε την αναπαράσταση μήτρας

προσδιορίζει τις ιδιότητες μιας δυαδικής σχέσης

1. Ανακλαστικότητα:Όλες οι μονάδες βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο, τα μηδενικά ή τα μονά υποδεικνύονται με αστερίσκους.

.

2. Αντιανακλαστικότητα:Όλα τα μηδενικά στην κύρια διαγώνιο.

3. Συμμετρία:Αν .

4. Αντισυμμετρία:Όλα τα στοιχεία έξω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν. μπορεί επίσης να υπάρχουν μηδενικά στην κύρια διαγώνιο.

.

Η λειτουργία "*" εκτελείται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα: , Οπου , .

5. Μεταβατικότητα:Αν . Η πράξη «◦» εκτελείται σύμφωνα με τον συνήθη κανόνα πολλαπλασιασμού και είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη: .

3.3 Σχέση ισοδυναμίας. Μερική σχέση παραγγελίας.

Η σχέση ισοδυναμίας είναι μια επισημοποίηση της κατάστασης όταν μιλάμε για ομοιότητα (ομοιότητα) δύο στοιχείων ενός συνόλου.

Ορισμός 3.6.Αναλογία r ενεργή ΕΝΑΥπάρχει σχέση ισοδυναμίας, αν αυτο αντανακλαστικό, συμμετρικό και μεταβατικό.Σχέση ισοδυναμίας ένα r σισυχνά υποδηλώνεται: ένα~ σι.

Παράδειγμα 3. 8 . Η σχέση ισότητας στο σύνολο των ακεραίων είναι μια σχέση ισοδυναμίας.

Παράδειγμα 3. 9 . Η σχέση «ίδιου ύψους» είναι μια σχέση ισοδυναμίας σε ένα σύνολο ανθρώπων Χ.

Παράδειγμα 3. 1 0 . Έστω ¢ το σύνολο των ακεραίων. Ας ονομάσουμε δύο αριθμούς ΧΚαι yαπό ¢ συγκρίσιμο σε συντελεστήΜ(ΜО¥) και γράψτε , εάν τα υπόλοιπα αυτών των αριθμών αφού τους διαιρέσετε με Μ, δηλαδή η διαφορά ( Χ-y) διαιρείται με Μ.

Η σχέση «συγκρίσιμο σε συντελεστή Μακέραιοι" είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο των ακεραίων ¢. Πράγματι:

αυτή η σχέση είναι αντανακλαστική, γιατί για " Χ¢ έχουμε Χ-Χ=0, και επομένως διαιρείται με Μ;

αυτή η σχέση είναι συμμετρική, γιατί αν ( Χ-y) διαιρείται με Μ, έπειτα ( y-Χ) διαιρείται επίσης με Μ;

αυτή η σχέση είναι μεταβατική, γιατί αν ( Χ-y) διαιρείται με Μ, μετά για κάποιο ακέραιο t 1 έχουμε https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, από εδώ , δηλαδή ( Χ-z) διαιρείται με Μ.

Ορισμός 3.7.Αναλογία r ενεργή ΕΝΑΥπάρχει σχέση μερικής παραγγελίας, αν αυτο αντανακλαστικό, αντισυμμετρικό και μεταβατικόκαι υποδεικνύεται με το σύμβολο °.

Η μερική σειρά είναι σημαντική σε καταστάσεις όπου θέλουμε να χαρακτηρίσουμε με κάποιο τρόπο την προτεραιότητα. Με άλλα λόγια, αποφασίστε υπό ποιες συνθήκες να θεωρήσετε ένα στοιχείο του συνόλου ανώτερο από ένα άλλο.

Παράδειγμα 3. 11 . Στάση Χ£ yυπάρχει μια μερική σχέση τάξης στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. ,

Παράδειγμα 3. 1 2 . Στο σύνολο των υποσυνόλων κάποιου καθολικού συνόλου Uστάση ΕΝΑÍ σιυπάρχει μια μερική σχέση παραγγελίας.

Παράδειγμα 3. 1 3 . Το σχήμα οργάνωσης της υποταγής σε ένα ίδρυμα είναι μια σχέση μερικής τάξης σε ένα σύνολο θέσεων.

Το πρωτότυπο μιας σχέσης μερικής τάξης είναι η διαισθητική έννοια μιας σχέσης προτίμησης (προτεραιότητας). Μια σχέση προτίμησης προσδιορίζει μια κατηγορία προβλημάτων που μπορούν να συνδυαστούν ως πρόβλημα επιλογής πρόβλημα το καλύτερο αντικείμενο .

Διατύπωση προβλήματος:ας υπάρχει μια συλλογή αντικειμένων ΕΝΑκαι απαιτείται η σύγκριση τους ανάλογα με την προτίμηση, δηλαδή να οριστεί η σχέση προτίμησης στο σύνολο ΕΝΑκαι να εντοπίσετε τα καλύτερα αντικείμενα.

Σχέση προτίμησης Π, το οποίο μπορεί να οριστεί ως " aPb, ένα, σιÎ ΕΝΑÛ αντικείμενο έναόχι λιγότερο προτιμότερο από το αντικείμενο σι"είναι αντανακλαστικό και αντισυμμετρικό ως προς το νόημα (κάθε αντικείμενο δεν είναι χειρότερο από τον εαυτό του, και αν το αντικείμενο έναόχι χειρότερα σιΚαι σιόχι χειρότερα ένα, τότε είναι τα ίδια κατά προτίμηση). Είναι φυσικό να υποθέσουμε ότι η σχέση Πμεταβατικά (αν και στην περίπτωση που, για παράδειγμα, συζητούνται προτιμήσεις από μια ομάδα ατόμων με αντίθετα συμφέροντα, αυτή η ιδιότητα μπορεί να παραβιαστεί), π.χ. Π– μερική σχέση παραγγελίας.

Ένας από τους πιθανούς τρόπους επίλυσης του προβλήματος της σύγκρισης αντικειμένων κατά προτίμηση είναι κυμαίνεται , δηλαδή, παραγγελία αντικειμένων σύμφωνα με φθίνουσα προτίμηση ή ισοδυναμία. Ως αποτέλεσμα της κατάταξης, προσδιορίζουμε τα «καλύτερα» ή «χειρότερα» αντικείμενα από την άποψη της σχέσης προτίμησης.

Τομείς χρήσης προβλήματα σχετικά με το πρόβλημα της επιλογής του καλύτερου αντικειμένου: θεωρία αποφάσεων, εφαρμοσμένα μαθηματικά, τεχνολογία, οικονομία, κοινωνιολογία, ψυχολογία.

Ορισμός. Δυαδική σχέση Rονομάζεται υποσύνολο ζευγών (α, β)∈RΚαρτεσιανό προϊόν A×B, δηλ. R⊆A×B. Ταυτόχρονα πολλοί ΕΝΑονομάζεται πεδίο ορισμού της σχέσης R, το σύνολο Β ονομάζεται πεδίο ορισμού τιμών.

Ονομασία: aRb (δηλαδή τα α και β είναι σε σχέση με το R). /

Σχόλιο: αν A = B, τότε το R λέγεται ότι είναι μια σχέση στο σύνολο A.

Μέθοδοι καθορισμού δυαδικών σχέσεων

1. Μια λίστα (αριθμός ζευγών) για την οποία ισχύει αυτή η σχέση.

2. Μήτρα. Η δυαδική σχέση R ∈ A × A, όπου A = (a 1, a 2,..., a n), αντιστοιχεί σε έναν τετραγωνικό πίνακα τάξης n, στον οποίο το στοιχείο c ij, που βρίσκεται στη τομή του i- η σειρά και η j-η στήλη, ισούται με 1 αν υπάρχει σχέση R μεταξύ a i και j, ή 0 αν απουσιάζει:

Ιδιότητες των σχέσεων

Έστω R μια σχέση σε ένα σύνολο A, R ∈ A×A. Τότε η αναλογία R:

    αντανακλαστικό εάν Ɐ a ∈ A: a R a (η κύρια διαγώνιος του πίνακα ανακλαστικών σχέσεων περιέχει μόνο μία).

    αντιανακλαστικό εάν Ɐ a ∈ A: a R a (η κύρια διαγώνιος του πίνακα ανακλαστικών σχέσεων περιέχει μόνο μηδενικά).

    συμμετρικό αν Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (ο πίνακας μιας τέτοιας σχέσης είναι συμμετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο, δηλ. c ij c ji);

    αντισυμμετρικό αν Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (στον πίνακα μιας τέτοιας σχέσης δεν υπάρχουν μονάδες συμμετρικές ως προς την κύρια διαγώνιο).

    μεταβατικό αν Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c (στον πίνακα μιας τέτοιας σχέσης πρέπει να πληρούται η συνθήκη: εάν υπάρχει μονάδα στην i-η σειρά, για παράδειγμα , στις j-ες σειρές συντεταγμένων (στήλη), δηλαδή c ij = 1, τότε όλες οι μονάδες στην j-η σειρά (έστω ότι αυτές οι μονάδες αντιστοιχούν σε k e συντεταγμένες έτσι ώστε c jk = 1) πρέπει να αντιστοιχούν σε μονάδες στο i- η σειρά στις ίδιες συντεταγμένες k, δηλαδή c ik = 1 (και ίσως και σε άλλες συντεταγμένες).

Εργασία 3.1.Να προσδιορίσετε τις ιδιότητες της σχέσης R – «να είναι διαιρέτης», που ορίζεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών.

Λύση.

λόγος R = ((a,b):a διαιρέτης b):

    αντανακλαστικό, όχι αντιανακλαστικό, αφού οποιοσδήποτε αριθμός διαιρείται χωρίς υπόλοιπο: a/a = 1 για όλα τα a∈N ;

    όχι συμμετρικό, αντισυμμετρικό, για παράδειγμα, το 2 είναι διαιρέτης του 4, αλλά το 4 δεν είναι διαιρέτης του 2.

    μεταβατικό, αφού αν b/a ∈ N και c/b ∈ N, τότε c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, για παράδειγμα, αν 6/3 = 2∈N και 18/6 = 3∈N , τότε 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Πρόβλημα 3.2.Προσδιορίστε τις ιδιότητες της σχέσης R – «να είσαι αδερφός», που ορίζεται σε ένα σύνολο ανθρώπων.
Λύση.

Σχέση R = ((a,b):a - αδελφός του b):

    μη αντανακλαστικό, αντι-αντανακλαστικό λόγω της προφανούς απουσίας του aRa για όλα τα α.

    όχι συμμετρικό, αφού στη γενική περίπτωση μεταξύ του αδελφού a και της αδελφής b υπάρχει aRb, αλλά όχι bRa.

    όχι αντισυμμετρικά, αφού αν τα a και b είναι αδέρφια, τότε τα aRb και bRa, αλλά a≠b.

    μεταβατικά, αν αποκαλείς αδέρφια άτομα που έχουν κοινούς γονείς (πατέρας και μητέρα).

Πρόβλημα 3.3.Προσδιορίστε τις ιδιότητες της σχέσης R – «να είσαι το αφεντικό», που ορίζονται σε ένα σύνολο στοιχείων δομής

Λύση.

Σχέση R = ((a,b) : a είναι το αφεντικό του b):

  • όχι αντανακλαστικό, αντιανακλαστικό, αν δεν έχει νόημα σε μια συγκεκριμένη ερμηνεία.
  • όχι συμμετρικό, αντισυμμετρικό, αφού για όλα τα a≠b aRb και bRa δεν ικανοποιούνται ταυτόχρονα.
  • μεταβατικό, αφού αν το a είναι το αφεντικό του b και το b το αφεντικό του c, τότε το a είναι το αφεντικό του c.

Προσδιορίστε τις ιδιότητες της σχέσης R i που ορίζεται στο σύνολο M i από τον πίνακα εάν:

  1. R 1 "έχουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρείται με το 5". M 1 είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών.
  2. R 2 «να είναι ίσο»; M 2 είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών.
  3. R 3 "ζουν στην ίδια πόλη"? Μ 3 πολλά άτομα.
  4. R 4 «να είσαι εξοικειωμένος»; Μ 4 πολλά άτομα.
  5. R 5 ((a,b):(a-b) - ζυγός· M 5 σύνολο αριθμών (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  6. R 6 ((a,b):(a+b) - ζυγό· M 6 σύνολο αριθμών (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  7. R7 ((a,b):(a+1) - διαιρέτης (a+b)); M 7 - σετ (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  8. R8 ((a,b):a - διαιρέτης (a+b),a≠1); Το M 8 είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών.
  9. R 9 «να είσαι αδερφή»; Μ 9 - πολύς κόσμος.
  10. R 10 «να είσαι κόρη»; M 10 - πολύς κόσμος.

Πράξεις σε δυαδικές σχέσεις

Έστω R 1, R 1 σχέσεις που ορίζονται στο σύνολο A.

    Ενωση R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 ή (a,b) ∈ R 2 ) ;

    σημείο τομής R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 και (a,b) ∈ R 2 ) ;

    διαφορά R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 και (a,b) ∉ R 2 ) ;

    καθολική στάση U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

    πρόσθεση R 1 U \ R 1, όπου U = A × A;

    ταυτόσημη σχέση I: = ((a;a) / a ∈ A);

    αντίστροφη σχέση R -1 1 : R -1 1 = ((a,b) : (b,a) ∈ R 1 );

    σύνθεση R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), όπου R 1 ⊂ A × C και R 2 ⊂C×B;

Ορισμός. Βαθμός σχέσηςΤο R σε ένα σύνολο Α είναι η σύνθεσή του με τον εαυτό του.

Ονομασία:

Ορισμός. Αν R ⊂ A × B, τότε καλείται R º R -1 πυρήνας της σχέσης R .

Θεώρημα 3.1.Έστω R ⊂ A × A μια σχέση που ορίζεται στο σύνολο A.

  1. Το R είναι αντανακλαστικό εάν και μόνο εάν (εφεξής χρησιμοποιείται το σύμβολο ⇔) όταν I ⊂ R.
  2. R συμμετρικό ⇔ R = R -1.
  3. R μεταβατικό ⇔ R º R ⊂ R
  4. Το R είναι αντισυμμετρικό ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
  5. Το R είναι αντιανακλαστικό ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Πρόβλημα 3.4 . Έστω R η σχέση μεταξύ των συνόλων (1,2,3) και (1,2,3,4), που δίνονται παραθέτοντας τα ζεύγη: R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)). Επιπλέον, S είναι η σχέση μεταξύ των συνόλων S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Υπολογίστε τα R -1 , S -1 και S º R. Ελέγξτε ότι (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Λύση.
R-1 = ((1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3));
S-1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4));
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)) = (S º R ) -1.

Πρόβλημα 3.5 . Έστω R η σχέση «...γονέας...» και S η σχέση «...αδελφός...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια σύντομη λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1 , S -1 , R º S , S -1 º R -1 και R º R .

Λύση.

R -1 - σχέση "...παιδί...";

S -1 - σχέση "...αδελφός ή αδελφή...";

R º S - σχέση "...γονέας...";

S -1 º R -1 - σχέση "...παιδί..."

R º R - σχέση "...γιαγιά ή παππούς..."

Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα

1) Έστω R η σχέση «...πατέρας...» και S η σχέση «...αδελφή...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , R º R.

2) Έστω R η σχέση «...αδελφός...» και S η σχέση «...μητέρα...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) Έστω R η σχέση «...παππούς...» και S η σχέση «...γιος...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

4) Έστω R η σχέση «...κόρη...» και S η σχέση «...γιαγιά...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

5) Έστω R η σχέση «...ανιψιά...» και S η σχέση «...πατέρας...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) Έστω R η σχέση «αδελφή...» και S η σχέση «μητέρα...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

7) Έστω R η σχέση «...μητέρα...» και S η σχέση «...αδελφή...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1, S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Έστω R η σχέση «...γιος...» και S η σχέση «...παππούς...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) Έστω R η σχέση «...αδελφή...» και S η σχέση «...πατέρας...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

10) Έστω R η σχέση «...μητέρα...» και S η σχέση «...αδελφός...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

Στην καθημερινή ζωή, πρέπει να ασχολούμαστε συνεχώς με την έννοια της «σχέσης». Οι σχέσεις είναι ένας από τους τρόπους καθορισμού σχέσεων μεταξύ στοιχείων ενός συνόλου.

Οι μονόπλευρες σχέσεις (ένας τόπος) αντικατοπτρίζουν την παρουσία κάποιου ενός χαρακτηριστικού R στα στοιχεία του συνόλου M (για παράδειγμα, το να είσαι κόκκινος στο σύνολο των σφαιρών σε μια λάρνακα).

Οι δυαδικές (δύο θέσεις) σχέσεις χρησιμοποιούνται για τον ορισμό της αμοιβαίας

συνδέσεις που χαρακτηρίζουν ζεύγη στοιχείων σε ένα σύνολο Μ.

Για παράδειγμα, οι ακόλουθες σχέσεις μπορούν να οριστούν σε ένα σύνολο ανθρώπων: «ζω στην ίδια πόλη», « Χλειτουργεί υπό την καθοδήγηση y", "να είσαι γιος", "να είσαι μεγαλύτερος" κ.λπ. σε ένα σύνολο αριθμών: «αριθμός έναπερισσότερος αριθμός σι", "αριθμός έναείναι διαιρέτης ενός αριθμού σι», «αριθμοί έναΚαι σιδίνουμε το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρέσουμε με το 3."

Στο άμεσο προϊόν, όπου ΕΝΑ- πολλοί φοιτητές οποιουδήποτε πανεπιστημίου, σι- μια ποικιλία θεμάτων που μελετήθηκαν, μπορεί να αναγνωριστεί ένα μεγάλο υποσύνολο διατεταγμένων ζευγών (α, β), έχοντας την ιδιότητα: «φοιτητής έναμελετά το θέμα σι" Το κατασκευασμένο υποσύνολο αντανακλά τη σχέση «μελετών» που προκύπτει μεταξύ συνόλων μαθητών και αντικειμένων. Ο αριθμός των παραδειγμάτων μπορεί να συνεχιστεί

Η σχέση μεταξύ δύο αντικειμένων είναι αντικείμενο μελέτης στα οικονομικά, τη γεωγραφία, τη βιολογία, τη φυσική, τη γλωσσολογία, τα μαθηματικά και άλλες επιστήμες.

Για μια αυστηρή μαθηματική περιγραφή τυχόν συνδέσεων μεταξύ στοιχείων δύο συνόλων, εισάγεται η έννοια της δυαδικής σχέσης.

Δυαδική σχέση μεταξύ των συνόλων Α και Βονομάζεται υποσύνολο R του άμεσου γινομένου. Στην περίπτωση που μπορείτε απλά να μιλήσετε για τη σχέση Rεπί ΕΝΑ.

Παράδειγμα 1. Καταγράψτε τα διατεταγμένα ζεύγη που ανήκουν σε δυαδικές σχέσεις R 1Και R 2, που ορίζεται στα σετ ΕΝΑΚαι : , . Υποσύνολο R 1αποτελείται από ζεύγη: . Υποσύνολο.

Τομέας Rυπάρχει ένα σύνολο από όλα τα στοιχεία από ΕΝΑτέτοια που για κάποια στοιχεία έχουμε . Με άλλα λόγια, το πεδίο ορισμού Rείναι το σύνολο όλων των πρώτων συντεταγμένων διατεταγμένων ζευγών των R.

Πολλαπλές έννοιεςσχέση Rαλλά υπάρχουν πολλά από όλα τέτοια που για κάποιους . Με άλλα λόγια, πολλές έννοιες Rείναι το σύνολο όλων των δεύτερων συντεταγμένων των διατεταγμένων ζευγών των R.

Στο παράδειγμα 1 για R 1τομέας ορισμού: , σύνολο τιμών - . Για R 2τομέας ορισμού: , σύνολο τιμών: .

Σε πολλές περιπτώσεις είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί μια γραφική αναπαράσταση μιας δυαδικής σχέσης. Αυτό γίνεται με δύο τρόπους: χρησιμοποιώντας σημεία στο επίπεδο και χρησιμοποιώντας βέλη.

Στην πρώτη περίπτωση επιλέγονται δύο κάθετες μεταξύ τους γραμμές ως οριζόντιος και κάθετος άξονας. Τα στοιχεία του συνόλου σχεδιάζονται στον οριζόντιο άξονα ΕΝΑκαι σχεδιάστε μια κάθετη γραμμή σε κάθε σημείο. Τα στοιχεία του συνόλου σχεδιάζονται στον κατακόρυφο άξονα σι, σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή σε κάθε σημείο. Τα σημεία τομής οριζόντιων και κάθετων γραμμών αντιπροσωπεύουν τα στοιχεία ενός άμεσου προϊόντος.

Παράδειγμα 5. Αφήστε , .

Αφήνω R 1ορίζεται με την παράθεση διατεταγμένων ζευγών: . Δυαδική σχέση R 2σε ένα σύνολο καθορίζεται χρησιμοποιώντας τον κανόνα: ένα ζευγάρι διατάσσεται αν έναδιαιρείται με σι. Επειτα R 2αποτελείται από ζεύγη: .

Δυαδικές σχέσεις, από το παράδειγμα 2, R 1Και R 2φαίνονται γραφικά στο Σχ. 6 και Εικ.7.

Ρύζι. 6 Εικ. 7

Για να απεικονίσετε μια δυαδική σχέση χρησιμοποιώντας βέλη, τα στοιχεία του συνόλου απεικονίζονται στα αριστερά ως τελείες ΕΝΑ, στα δεξιά - σετ σι. Για κάθε ζευγάρι (α, β)που περιέχεται στη δυαδική σχέση R, το βέλος αντλείται από έναΠρος την σι, . Γραφική αναπαράσταση δυαδικής σχέσης R 1που δίνεται στο παράδειγμα 6 φαίνεται στο Σχ. 8.

Εικ.8

Οι δυαδικές σχέσεις σε πεπερασμένα σύνολα μπορούν να προσδιοριστούν με πίνακες. Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια δυαδική σχέση Rμεταξύ των σετ ΕΝΑΚαι σι. , .

Οι σειρές του πίνακα αριθμούνται από τα στοιχεία του συνόλου ΕΝΑ, και οι στήλες είναι στοιχεία του συνόλου σι. Κελί μήτρας στη διασταύρωση Εγώ- ω γραμμές και ιΗ στήλη συνήθως συμβολίζεται με C ij και συμπληρώνεται ως εξής:

Ο προκύπτων πίνακας θα έχει μέγεθος.

Παράδειγμα 6.Ας δοθεί ένα σετ. Σε ένα σύνολο, ορίστε μια σχέση με μια λίστα και έναν πίνακα R- «να είμαι αυστηρά λιγότερος».

Στάση Rπώς ένα σύνολο περιέχει όλα τα ζεύγη στοιχείων ( ένα, σι)από Μτέτοια που .

Ο πίνακας σχέσεων που κατασκευάστηκε σύμφωνα με τους παραπάνω κανόνες έχει την ακόλουθη μορφή:

Ιδιότητες δυαδικών σχέσεων:

1. Δυαδική σχέση Rσε ένα σύνολο ονομάζεται ανακλαστικός, εάν για οποιοδήποτε στοιχείο ένααπό Μζεύγος (α, α)ανήκει R, δηλ. ισχύει για κανέναν ένααπό Μ:

Σχέσεις «ζω στην ίδια πόλη», «σπούδασε στο ίδιο πανεπιστήμιο», «δεν είσαι πια» είναι αντανακλαστικά.

2. Μια δυαδική σχέση ονομάζεται αντιανακλαστικό, αν δεν έχει την ιδιότητα της ανακλαστικότητας για κανένα ένα:

Για παράδειγμα, «να είσαι μεγαλύτερος», «να είσαι νεότερος» είναι αντιανακλαστικές σχέσεις.

3. Δυαδική σχέση Rπου ονομάζεται συμμετρικός, εάν υπάρχουν στοιχεία έναΚαι σιαπό Μαπό τι ζευγάρι (α, β)ανήκει RΑπό αυτό προκύπτει ότι το ζευγάρι (β, α)ανήκει R, δηλ.

Συμμετρικόςπαραλληλισμός ευθειών, γιατί αν τότε // . Συμμετρική σχέση«να είσαι ίσος» σε οποιοδήποτε σύνολο ή «να είσαι συμπρώτης στο N».

Η σχέση R είναι συμμετρική αν και μόνο αν R=R -1

4. Αν για στοιχεία που δεν ταιριάζουν η σχέση είναι αληθής αλλά ψευδής, τότε η σχέση αντισυμμετρική. Μπορείς να το πεις διαφορετικά:

Οι σχέσεις είναι αντισυμμετρικές«να είσαι μεγαλύτερος», «να είσαι διαιρέτης με το Ν», «να είσαι νεότερος».

5. Δυαδική σχέση Rπου ονομάζεται μεταβατικός, εάν για οποιαδήποτε τρία στοιχεία αυτών των ζευγών (α, β)Και (προ ΧΡΙΣΤΟΥ)ανήκω R, προκύπτει ότι το ζεύγος (α, γ) ανήκει R:

Οι σχέσεις είναι μεταβατικές: «να είσαι μεγαλύτερος», «να είσαι παράλληλος», «να είσαι ίσος» κ.λπ.

6. Δυαδική σχέση R αντιμεταβατικό, εάν δεν έχει την ιδιότητα μεταβατικότητας.

Για παράδειγμα, «να είναι κάθετο» σε ένα σύνολο ευθειών ενός επιπέδου ( , , αλλά δεν είναι αλήθεια ότι ).

Επειδή Δεδομένου ότι μια δυαδική σχέση μπορεί να καθοριστεί όχι μόνο από μια άμεση λίστα ζευγών, αλλά και από έναν πίνακα, είναι σκόπιμο να μάθετε ποια χαρακτηριστικά χαρακτηρίζουν τον πίνακα σχέσεων R, αν είναι: 1) αντανακλαστικό, 2) αντιανακλαστικό, 3) συμμετρικό, 4) αντισυμμετρικό, 5) μεταβατικό.

Αφήνω Rορίζεται σε , .R είτε εκτελείται και προς τις δύο κατευθύνσεις είτε δεν εκτελείται καθόλου. Έτσι, εάν ο πίνακας περιέχει ένα στη διασταύρωση Εγώ- ω γραμμές και ι- η στήλη, δηλ. C ij=1, τότε πρέπει να βρίσκεται στη διασταύρωση ι- ω γραμμές και Εγώ- η στήλη, δηλ. C ji=1, και αντίστροφα, αν C ji=1, λοιπόν C ij=1. Ετσι, ο πίνακας συμμετρικών σχέσεων είναι συμμετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο.

4. Rαντισυμμετρικό αν και ακολουθεί: . Αυτό σημαίνει ότι στον αντίστοιχο πίνακα για το αρ Εγώ, ιδεν εκτελείται C ij =C ji=1. Ετσι, στον αντισυμμετρικό πίνακα λόγου δεν υπάρχουν μονάδες που να είναι συμμετρικές ως προς την κύρια διαγώνιο.

5. Μια δυαδική σχέση R σε ένα μη κενό σύνολο Α ονομάζεται μεταβατικόςΑν

Η παραπάνω συνθήκη πρέπει να ικανοποιείται για οποιαδήποτε στοιχεία του πίνακα. Και, αντίστροφα, αν στο matrix Rυπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο C ij=1, για το οποίο αυτή η συνθήκη δεν ικανοποιείται, τότε Rόχι μεταβατικό.

Η γλώσσα T-SQL στον SQL Server βασίζεται στην τυπική γλώσσα SQL, η οποία βασίζεται στο σχεσιακό μοντέλο, το οποίο με τη σειρά του βασίζεται σε μαθηματικά θεμέλια όπως η θεωρία συνόλων και η λογική κατηγορημάτων. Αυτό το άρθρο εξετάζει ένα θεμελιώδες θέμα από τη θεωρία συνόλων: ιδιότητες των σχέσεων σε σύνολα. Οι αναγνώστες μπορούν να χρησιμοποιήσουν τους προτεινόμενους κωδικούς T-SQL για να ελέγξουν την παρουσία ορισμένων ιδιοτήτων ορισμένων σχέσεων. Ωστόσο, μπορείτε επίσης να δοκιμάσετε να γράψετε τις δικές σας εκδόσεις σεναρίων (για να προσδιορίσετε εάν μια σχέση έχει μια συγκεκριμένη ιδιότητα) πριν εφαρμόσετε τις λύσεις που περιγράφονται σε αυτό το άρθρο.

Σύνολα και σχέσεις

Ο Georg Cantor, ο δημιουργός της θεωρίας συνόλων, ορίζει ένα σύνολο ως «την ένωση σε ένα ορισμένο σύνολο M μιας συλλογής ορισμένων σαφώς διακριτών αντικειμένων m της ενατένισης ή της σκέψης μας (τα οποία θα ονομάζονται στοιχεία του συνόλου M). Τα στοιχεία ενός συνόλου μπορεί να είναι αντικείμενα αυθαίρετης φύσης: άνθρωποι, αριθμοί, ακόμη και τα ίδια τα σύνολα. Τα σύμβολα ∈ και ∉ υποδηλώνουν, αντίστοιχα, τελεστές που αντικατοπτρίζουν τη συμμετοχή (εμφάνιση, συμμετοχή) και τη μη συμμετοχή ενός στοιχείου σε ένα σύνολο. Έτσι, ο συμβολισμός x ∈ V σημαίνει ότι το x είναι στοιχείο του συνόλου V και ο συμβολισμός x ∉ V σημαίνει ότι το x δεν είναι στοιχείο του V.

Μια δυαδική σχέση σε ένα σύνολο είναι ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών στοιχείων του αρχικού συνόλου. Έτσι, για ένα σύνολο στοιχείων V = (a, b, c), μια δυαδική σχέση R σε ένα δεδομένο σύνολο V θα είναι ένα αυθαίρετο υποσύνολο του συνόλου όλων των διατεταγμένων ζευγών του καρτεσιανού γινομένου V × V = ((a, α), (α, β), (α , γ), (β, α), (β, β), (β, γ), (γ, α), (γ, β), (γ, γ) ). Η σχέση R = ((a, b), (b, c), (a, c)) είναι μια έγκυρη δυαδική σχέση στο V. Μπορούμε να πούμε ότι το a σχετίζεται με το b από το R. Έστω ότι R = ((a , β ), (β, γ), (γ, δ)). Ένα τέτοιο R δεν είναι μια αποδεκτή σχέση στο V, αφού το ζεύγος (c, d) δεν ανήκει στο καρτεσιανό γινόμενο V × V. Σημειώστε ότι η σειρά με την οποία καθορίζονται τα στοιχεία που περιλαμβάνονται στο σύνολο δεν είναι σημαντική. Το σύνολο V μπορεί να οριστεί ως (a, b, c) ή ως (b, a, c) και ούτω καθεξής. Ωστόσο, η σειρά σε διατεταγμένα ζεύγη, όπως (α, β) μιας δυαδικής σχέσης, είναι σημαντική. έτσι (a, b) ≠ (b, a).

Ως πιο ρεαλιστικό παράδειγμα δυαδικής σχέσης, θεωρήστε το σύνολο F των μελών της οικογένειας: (Itsik, Mickey, Inna, Mila, Gabi). Ο Μίκυ είναι ο δίδυμος αδερφός του Ίτζικ, η Ίννα είναι η μεγαλύτερη αδερφή του, η Μίλα η μητέρα του και η Γκάμπι είναι ο πατέρας του. Ένα παράδειγμα μιας σχέσης R σε ένα σύνολο F θα ήταν: "είναι αδελφός". Τα στοιχεία αυτής της σχέσης είναι ((Itsik, Mickey), (Mickey, Itzik), (Itsik, Inna), (Mickey, Inna)). Σημειώνουμε ότι το διατεταγμένο ζεύγος (Itsik, Inna) εμφανίζεται στο R, αλλά το ζεύγος (Inna, Itsik) όχι. Αν και ο Ιτζικ είναι αδερφός της Ίνα, δεν είναι αδερφός του.

Ιδιότητες σχέσεων σε σύνολα

Τώρα που ανανεώσαμε την κατανόησή μας για τα σύνολα και τις σχέσεις, ας περάσουμε στο θέμα του άρθρου - τις ιδιότητες των σχέσεων σε σύνολα. Για παράδειγμα δεδομένα, χρησιμοποιήστε τον κώδικα στη Λίστα 1 για να δημιουργήσετε πίνακες V και R. Το V θα αντιπροσωπεύει ένα σύνολο και το R θα αντιπροσωπεύει μια δυαδική σχέση σε αυτό. Χρησιμοποιήστε τον κώδικα στη Λίστα 2 για να δημιουργήσετε μια διαδικασία ClearTables που θα διαγράψει και τους δύο αυτούς πίνακες των εγγραφών πριν τους συμπληρώσει με νέα δείγματα δεδομένων. Τέλος, χρησιμοποιήστε τον κώδικα στις καταχωρίσεις 3, 4 και 5 για να συμπληρώσετε τους πίνακες V και R με διάφορα σύνολα δεδομένων για δοκιμή (θα τα ονομάσουμε δείγματα δεδομένων 1, 2 και 3, αντίστοιχα).

Ανακλαστικότητα.Μια σχέση R σε ένα σύνολο V είναι ανακλαστική αν για οποιοδήποτε στοιχείο v του συνόλου V, v ∈ V, προκύπτει ότι (v, v) ∈ R, δηλαδή, το ζεύγος (v, v) ανήκει πάντα στο R. Και η σχέση R στο V δεν είναι αντανακλαστική , αν υπάρχει ένα στοιχείο v ∈ V τέτοιο ώστε το ζεύγος (v, v) ∉ R. Εξετάστε ξανά το παράδειγμα του συνόλου F - μέλη της οικογένειάς μου.

Η σχέση «να είσαι στην ίδια ηλικία με» στο F είναι προφανώς αντανακλαστική. Τα στοιχεία της σχέσης θα είναι τα εξής ζευγάρια: ((Itsik, Itsik), (Itsik, Mickey), (Mickey, Mickey), (Mickey, Itzik), (Inna, Inna), (Mila, Mila), (Gabi , Γκάμπι)).

Ας αρχίσουμε να γράφουμε ένα ερώτημα T-SQL έναντι των πινάκων V και R (που αντιπροσωπεύουν ένα σύνολο και μια σχέση σε αυτό το σύνολο), ελέγχοντας αν το R είναι αντανακλαστικό:

ΕΠΙΛΕΓΩ
ΥΠΟΘΕΣΗ
ΟΤΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ
(ΕΠΙΛΟΓΗ v, v ΑΠΟ dbo.V
ΕΚΤΟΣ
ΕΠΙΛΟΓΗ r1, r2 ΑΠΟ dbo.R)
Τοτε οχι"
ΑΛΛΟ "Ναι"
ΤΕΛΟΣ ΩΣ αντανακλαστικό

Το πρώτο υποερώτημα στη λειτουργία EXCEPT επιστρέφει το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών (v, v) για όλες τις σειρές του πίνακα V. Το δεύτερο υποερώτημα επιστρέφει το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών (r1, r2) - όλες τις σειρές του πίνακα R. Η πράξη EXCEPT θα επιστρέψει έτσι όλα τα παραγγελθέντα ζεύγη που εμφανίζονται στο πρώτο και λείπουν στο δεύτερο σετ. Το κατηγόρημα ΥΠΑΡΧΕΙ απαιτείται για να ελεγχθεί η ύπαρξη τουλάχιστον μιας εγγραφής στο σύνολο αποτελεσμάτων. Εάν υπάρχει τουλάχιστον μία τέτοια εγγραφή, τότε η έκφραση CASE θα επιστρέψει "Όχι" (χωρίς ανακλαστικότητα), αλλά και "Ναι" διαφορετικά (υπάρχει ανακλαστικότητα).

Ρίξτε μια ματιά στα τρία παραδείγματα συνόλων δεδομένων στις Καταχωρίσεις 3, 4 και 5 και προσπαθήστε να προσδιορίσετε ποια θα είχαν μια ανακλαστική σχέση χωρίς να εκτελέσετε ένα ερώτημα. Οι απαντήσεις δίνονται περαιτέρω στο κείμενο του άρθρου.

Αντανάκλαση.Μια σχέση R σε ένα σύνολο V ονομάζεται αντανάκλαση (δεν πρέπει να συγχέεται με τη μη ανακλαστικότητα) εάν για κάθε στοιχείο v ∈ V προκύπτει ότι (v, v) ∉ R. Μια σχέση δεν είναι αντανάκλαση εάν υπάρχει ένα στοιχείο v ∈ V για το οποίο (v, v) ∈ R. Ένα παράδειγμα αντανάκλασης σχέσης στο σύνολο F των μελών της οικογένειάς μου είναι η σχέση «να είμαι γονέας», αφού κανένα άτομο δεν μπορεί να είναι γονέας του εαυτού του. Τα μέλη αυτής της σχέσης στο F θα είναι τα ακόλουθα ζεύγη: ((Mila, Itzik), (Mila, Mickey), (Mila, Inna), (Gabi, Itzik), (Gabi, Mickey), (Gabi, Inna)) .

Η ακόλουθη ερώτηση ελέγχει εάν η σχέση R στο V είναι αντανάκλαση:

ΕΠΙΛΕΓΩ
ΥΠΟΘΕΣΗ
ΟΤΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ
(ΕΠΙΛΟΓΗ * ΑΠΟ dbo.R
ΟΠΟΥ r1 = r2)
Τοτε οχι"
ΑΛΛΟ "Ναι"
ΤΕΛΟΣ ΩΣ αναντανακλαστικό

Τα ξένα κλειδιά στον ορισμό του πίνακα R εισήχθησαν για να διασφαλιστεί ότι μόνο τα στοιχεία του V μπορούν να συνθέσουν τα χαρακτηριστικά r1 και r2 μιας εγγραφής R. Έτσι, το μόνο που μένει είναι να ελέγξουμε εάν υπάρχουν εγγραφές στο R με τα ίδια χαρακτηριστικά r1 και r1 και r2. Εάν βρεθεί μια τέτοια καταχώρηση, η σχέση R δεν είναι αντανάκλαση, αν δεν υπάρχει καταχώρηση, είναι αντανάκλαση.

Συμμετρία.Μια σχέση R σε ένα σύνολο V ονομάζεται συμμετρική εάν μαζί με (r1, r2) ∈ R, (r2, r1) ∈ R είναι πάντα ικανοποιημένη. Η σχέση δεν είναι συμμετρική αν υπάρχει κάποιο ζεύγος (r1, r2) ∈ R για το οποίο (r2, r1) ∉ R. Στο σύνολο F των μελών της οικογένειας Ben-Gan, η σχέση «είναι αδελφός του» θα ήταν παράδειγμα συμμετρικής σχέσης. Τα ζευγάρια αυτής της σχέσης θα είναι τα εξής σύνολα: ((Itsik, Mickey), (Itsik, Inna), (Mickey, Itzik), (Mickey, Inna), (Inna, Itzik), (Inna, Mickey)).

Το ακόλουθο ερώτημα ελέγχει εάν η σχέση R προς V είναι συμμετρική:

ΕΠΙΛΕΓΩ
ΥΠΟΘΕΣΗ
ΟΤΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ
(ΕΠΙΛΟΓΗ r1, r2 ΑΠΟ dbo.R
ΕΚΤΟΣ
ΕΠΙΛΟΓΗ r2, r1 ΑΠΟ dbo.R)
Τοτε οχι"
ΑΛΛΟ "Ναι"
ΤΕΛΟΣ ΩΣ συμμετρικό

Ο κωδικός αιτήματος χρησιμοποιεί τη λειτουργία EXCEPT. Το πρώτο υποερώτημα της πράξης EXCEPT επιστρέφει ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών (r1, r2) - εγγραφές του πίνακα R, και το δεύτερο - ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών (r2, r1) για κάθε εγγραφή του R. Εάν η σχέση R στο Το σύνολο V δεν είναι συμμετρικό, τότε η πράξη EXCEPT θα επιστρέψει ένα μη κενό σύνολο αποτελεσμάτων , και το κατηγόρημα EXISTS, αντίστοιχα, την τιμή TRUE και, τέλος, η έκφραση CASE θα επιστρέψει "Όχι".

Εάν η σχέση είναι συμμετρική, τότε η έκφραση CASE θα δώσει "Ναι".

Ασυμμετρία.Μια σχέση R σε ένα σύνολο V είναι ασύμμετρη (αυτή η ιδιότητα δεν πρέπει να συγχέεται με την ασυμμετρία) εάν για κάθε σύνολο (r1, r2) ∈ R, στο οποίο r1 ≠ r2, είναι αλήθεια ότι (r2, r1) ∉ R. An παράδειγμα ασύμμετρης σχέσης σε ένα σύνολο F τα μέλη της οικογένειας του συγγραφέα θα έχουν τη σχέση «να είσαι γονέας» που περιγράφηκε παραπάνω. Ως άσκηση, προσπαθήστε να βρείτε ένα παράδειγμα μιας σχέσης σε ένα μη κενό σύνολο που να είναι συμμετρικό και ασύμμετρο. Ελέγξτε τα δείγματα δεδομένων σε αυτό το άρθρο για μια λύση.

ΕΠΙΛΕΓΩ
ΥΠΟΘΕΣΗ
ΟΤΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ
(ΕΠΙΛΟΓΗ r1, r2 ΑΠΟ dbo.R ΟΠΟΥ r1 r2
ΔΙΑΤΕΜΝΩ
ΕΠΙΛΟΓΗ r2, r1 ΑΠΟ dbo.R ΟΠΟΥ r1 r2)
Τοτε οχι"
ΑΛΛΟ "Ναι"
ΤΕΛΟΣ ΩΣ ασύμμετρη

Ο κώδικας χρησιμοποιεί τη λειτουργία INTERSECT. Το πρώτο υποερώτημα σε αυτήν τη λειτουργία επιστρέφει το ταξινομημένο ζεύγος (r1, r2) για κάθε εγγραφή του πίνακα R στον οποίο r1 r2.

Το δεύτερο υποερώτημα της πράξης INTERSECT επιστρέφει το ταξινομημένο ζεύγος (r2, r1) για κάθε εγγραφή του πίνακα R στον οποίο r1 r2. Εάν το σύνολο αποτελεσμάτων (το αποτέλεσμα της τομής αυτών των συνόλων) περιλαμβάνει τουλάχιστον μία εγγραφή, αυτό θα σημαίνει ότι το R δεν είναι ασύμμετρο. διαφορετικά το R είναι ασύμμετρο.

Μεταβατικότητα.Μια σχέση R σε ένα σύνολο V είναι μεταβατική εάν τα εγκλείσματα (a, b) ∈ R και (b, c) ∈ R υποδηλώνουν πάντα ότι (a, c) ∈ R. Ένα παράδειγμα μεταβατικής σχέσης σε ένα σύνολο μελών της οικογένειας Το F θα ήταν η σχέση "είναι αδελφός ή αδελφή" που συζητήθηκε παραπάνω.

Ο παρακάτω κώδικας ελέγχει τη μεταβατικότητα της σχέσης R:

ΕΠΙΛΕΓΩ
ΥΠΟΘΕΣΗ
ΟΤΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ
(ΕΠΙΛΟΓΗ *
ΑΠΟ dbo.R AS RA
ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΣΥΝΔΕΣΗ dbo.R AS RB
ON RA.r2 = RB.r1
ΑΡΙΣΤΕΡΑ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΣΥΝΔΕΣΗ dbo.R AS RC
ON RA.r1 = RC.r1 ΚΑΙ RB.r2 = RC.r2
ΟΠΟΥ το RC.r1 ΕΙΝΑΙ ΜΗΧΑΝΟ)
Τοτε οχι"
ΑΛΛΟ "Ναι"
ΤΕΛΟΣ ΩΣ μεταβατικό

Ο κώδικας χρησιμοποιεί πρώτα μια εσωτερική ένωση μεταξύ δύο περιπτώσεων του R για να επιλέξει μόνο εκείνες τις σειρές όπου το r2 στην πρώτη περίπτωση ταιριάζει με το r1 στη δεύτερη περίπτωση. Δεύτερον, ο κώδικας χρησιμοποιεί μια αριστερή εξωτερική ένωση με την τρίτη περίπτωση του πίνακα R, σύμφωνα με την οποία το r1 της πρώτης περίπτωσης του R είναι το ίδιο με το r1 της τρίτης περίπτωσης και το r2 της δεύτερης περίπτωσης είναι το ίδιο με το r2 του τρίτος. Εάν υπάρχει τουλάχιστον μία γραμμή αποτελέσματος στο εσωτερικό υποερώτημα (συνθήκη επιλογής για την τρίτη περίπτωση: το r1 είναι Null), αυτό σημαίνει ότι η σχέση δεν είναι μεταβατική. διαφορετικά η σχέση R είναι μεταβατική.

Σχέση ισοδυναμίας.Μια σχέση ισοδυναμίας είναι μια σχέση που έχει ταυτόχρονα τις ιδιότητες της ανακλαστικότητας, της συμμετρίας και της μεταβατικότητας. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα ερωτήματα που προτείνονται παραπάνω για να ελέγξετε χωριστά για την παρουσία κάθε ιδιότητας: εάν μια σχέση έχει και τις τρεις, τότε θα πρέπει να συμπεράνουμε ότι ισχύει μια σχέση ισοδυναμίας. Επιπλέον, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κώδικα στη Λίστα 6 για να ελέγξετε όλες τις ιδιότητες μιας σχέσης R σε ένα σύνολο V που συζητήθηκαν νωρίτερα στο άρθρο, συμπεριλαμβανομένου του ελέγχου της ιδιότητας της σχέσης ισοδυναμίας. Εάν εκτελέσετε τη Λίστα 6 στο δείγμα δεδομένων 1, 2 και 3 (που προέρχονται από τις καταχωρίσεις 3, 4 και 5, αντίστοιχα), θα λάβετε τα αποτελέσματα που εμφανίζονται στους Πίνακες 1, 2 και 3, αντίστοιχα.

Επιστροφή στα βασικά T-SQL

Έτσι, εξετάσαμε ένα θεμελιώδες θέμα από τη μαθηματική θεωρία συνόλων: τις ιδιότητες των σχέσεων στα σύνολα. Έχω προτείνει κωδικούς δοκιμής T-SQL για να δοκιμάσω τις ιδιότητες κάποιας σχέσης που αντιπροσωπεύεται από τον πίνακα R (διατεταγμένα ζεύγη στοιχείων) στο σύνολο στοιχείων που αντιπροσωπεύονται από τον πίνακα V.

Η χρήση βασικών κατασκευών T-SQL μας βοήθησε να διαμορφώσουμε σωστά και να εφαρμόσουμε τα εργαλεία αυτής της γλώσσας για καλύτερη κατανόηση των ιδιοτήτων των σχέσεων σε σύνολα.

Ιτζικ Μπεν-Γκαν ( [email προστατευμένο]) - δάσκαλος και σύμβουλος, συγγραφέας βιβλίων για την T-SQL, έχει τον τίτλο του SQL Server MVP