Վնասակար հակումներ 

Ինչ է երկուական հարաբերությունը բազմության վրա: Երկուական հարաբերություններ - MT1102. Գծային հանրահաշիվ (Մաթեմատիկայի ներածություն) - Բիզնես ինֆորմատիկա

Սահմանում. Երկուական հարաբերություն Ռկոչվում է զույգերի ենթաբազմություն (a,b)∈RԴեկարտյան արտադրյալը՝ A×B, այսինքն՝ R⊆A×B: Միևնույն ժամանակ, շատերը Ակոչվում է R հարաբերության սահմանման տիրույթ, B բազմությունը՝ արժեքների տիրույթ։

Նշում. aRb (այսինքն, a-ն և b-ը կապված են R-ի հետ): /

ՄեկնաբանությունԵթե ​​A = B, ապա R-ն ասվում է, որ հարաբերություն է A բազմության վրա:

Երկուական հարաբերությունները ճշտելու եղանակներ

1. Ցուցակ (զույգերի թվարկում), որոնց համար այս հարաբերությունը բավարարված է:

2. Մատրիցա. Երկուական R ∈ A × A հարաբերակցությունը, որտեղ A = (a 1, a 2,..., a n), համապատասխանում է n կարգի քառակուսի մատրիցային, որում c ij տարրը, որը i-ի հատման կետում է: -րդ տողը և j-րդ սյունակը հավասար է 1-ի, եթե a i-ի և a j-ի միջև կա R հարաբերություն, կամ 0-ի, եթե այն բացակայում է.

Հարաբերությունների հատկություններ

Թող R-ը լինի A բազմության վրա, R ∈ A×A հարաբերություն: Այնուհետև կապը R:

    ռեֆլեքսիվ, եթե Ɐ a ∈ A: a R a (ռեֆլեքսիվ հարաբերության մատրիցայի հիմնական անկյունագիծը պարունակում է միայն մեկը);

    հակառեֆլեքսիվ է, եթե Ɐ a ∈ A: a R a (ռեֆլեքսիվ հարաբերությունների մատրիցայի հիմնական անկյունագիծը պարունակում է միայն զրոներ);

    սիմետրիկ, եթե Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (նման հարաբերության մատրիցը սիմետրիկ է հիմնական անկյունագծի նկատմամբ, այսինքն. c ij c ji);

    հակասիմետրիկ, եթե Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (նման հարաբերությունների մատրիցում չկան սիմետրիկները հիմնական անկյունագծի նկատմամբ);

    անցողիկ, եթե Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c շարք, այսինքն c ij = 1, ապա բոլորը j-րդ շարքում (թող այս միավորները համապատասխանեն k e կոորդինատներին այնպես, որ. c jk = 1) պետք է համապատասխանի i-րդ շարքում գտնվողներին նույն k կոորդինատներում, այսինքն c ik = 1 (և, հավանաբար, նաև այլ կոորդինատներում):

Առաջադրանք 3.1.Որոշիր բնական թվերի բազմության վրա տրված R - «լինել բաժանարար» հարաբերության հատկությունները:

Լուծում.

հարաբերակցությունը R = ((a,b):a բաժանարար b):

    ռեֆլեքսիվ, ոչ հակառեֆլեքսիվ, քանի որ ցանկացած թիվ ինքն իրեն բաժանում է առանց մնացորդի. a/a = 1 a∈N բոլորի համար;

    ոչ սիմետրիկ, հակասիմետրիկ, օրինակ, 2-ը 4-ի բաժանարար է, բայց 4-ը 2-ի բաժանարար չէ;

    անցողիկ կերպով, քանի որ եթե b/a ∈ N և c/b ∈ N, ապա c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, օրինակ, եթե 6/3 = 2∈N և 18/6 = 3∈N. , ապա 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N:

Առաջադրանք 3.2.Որոշեք R - «եղբայր լինել» հարաբերության հատկությունները, որոնք տրված են մարդկանց մի շարքի վրա:
Լուծում.

Հարաբերակցությունը R = ((a,b):a - եղբայր b):

    ոչ ռեֆլեքսիվ, հակառեֆլեքսիվ՝ պայմանավորված aRa-ի ակնհայտ բացակայության պատճառով բոլոր a;

    ոչ սիմետրիկ, քանի որ ընդհանուր առմամբ կա aRb եղբոր a և քրոջ միջև, բայց ոչ bRa;

    ոչ հակասիմետրիկ, քանի որ եթե a-ն և b-ը եղբայրներ են, ապա aRb և bRa, բայց a≠b;

    անցողիկ կերպով, եթե եղբայրներ կոչենք ընդհանուր ծնողներ (հայր և մայր) ունեցող մարդիկ։

Առաջադրանք 3.3.Որոշեք կառուցվածքի տարրերի բազմության վրա նշված R - «լինել ղեկավար» հարաբերության հատկությունները

Լուծում.

Հարաբերակցություն R = ((a,b) : a - boss b):

  • ոչ ռեֆլեքսային, հակառեֆլեքսային, եթե դա իմաստ չունի որոշակի մեկնաբանության մեջ.
  • ոչ սիմետրիկ, հակասիմետրիկ, քանի որ բոլորի համար a≠b aRb-ը և bRa-ն միաժամանակ բավարարված չեն.
  • անցողիկ կերպով, քանի որ եթե a-ն b-ի գլուխն է, իսկ b-ն՝ c-ի գլուխը, ապա a-ն c-ի գլուխն է:

Որոշե՛ք M i բազմության վրա մատրիցով սահմանված R i հարաբերության հատկությունները, եթե.

  1. R 1 «ունի նույն մնացորդը, երբ բաժանվում է 5-ի»; M 1-ը բնական թվերի բազմությունն է։
  2. R 2 «հավասար լինել»; M 2-ը բնական թվերի բազմությունն է։
  3. R 3 «ապրում է նույն քաղաքում»; M 3 մարդկանց հավաքածու.
  4. R 4 «ծանոթ լինել»; M 4 շատ մարդ.
  5. R 5 ((a,b):(a-b) - զույգ; M 5 թվերի բազմություն (1,2,3,4,5,6,7,8,9):
  6. R 6 ((a,b):(a+b) - զույգ; M 6 թվերի բազմություն (1,2,3,4,5,6,7,8,9):
  7. R 7 ((a,b):(a+1) - բաժանարար (a+b)); M 7 - հավաքածու (1,2,3,4,5,6,7,8,9):
  8. R 8 ((a,b):a - բաժանարար (a+b),a≠1); M 8-ը բնական թվերի բազմությունն է։
  9. R 9 «քույր լինել»; M 9 - շատ մարդիկ:
  10. R 10 «դուստր լինել»; M 10 - շատ մարդիկ:

Գործողություններ երկուական հարաբերությունների վրա

Թող R 1, R 1 հարաբերություններ լինեն A բազմության վրա սահմանված հարաբերություններ:

    մի ասոցիացիա R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 կամ (a,b) ∈ R 2);

    խաչմերուկ R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 and (a,b) ∈ R 2 ) ;

    տարբերությունը R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 and (a,b) ∉ R 2 ) ;

    համընդհանուր հարաբերություն U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A): ;

    հավելում R 1 U \ R 1, որտեղ U = A × A;

    ինքնության հարաբերություն I: = ((a;a) / a ∈ A);

    հակադարձ կապՌ-1 1 :R-1 1 = ((a,b) : (b,a) ∈ R 1);

    կազմը R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), որտեղ R 1 ⊂ A × C և R 2 ⊂ C×B;

Սահմանում. Հարաբերությունների աստիճանը R-ն A բազմության վրա նրա կազմն է իր հետ:

Նշանակում:

Սահմանում. Եթե ​​R ⊂ A × B, ապա կոչվում է R º R -1 հարաբերության միջուկը Ռ .

Թեորեմ 3.1.Թող R ⊂ A × A լինի A բազմության վրա սահմանված հարաբերություն:

  1. R-ն ռեֆլեքսիվ է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ (այսուհետ՝ ⇔ նշանն է օգտագործվում), երբ ես ⊂ R.
  2. R-ն սիմետրիկ է ⇔ R = R -1:
  3. R-ն անցողիկ է ⇔ R º R ⊂ R
  4. R-ն հակասիմետրիկ է ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I:
  5. R-ն հակառեֆլեքսիվ է ⇔ R ⌒ I = ∅:

Առաջադրանք 3.4 . Թող R լինի (1,2,3) և (1,2,3,4) բազմությունների հարաբերությունը, որը տրված է զույգերի թվարկումով՝ R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)): Բացի այդ, S-ը հարաբերություն է S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2) բազմությունների միջև: Հաշվեք R -1, S -1 և S º R: Ստուգեք, որ (S º R) -1 = R -1, S -1:

Լուծում.
R -1 = ((1.1), (1.3), (3.2), (4.2), (4.3));
S -1 = ((1.1), (1.2), (1.3), (2.1), (2.4));
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1.1), (1.2), (1.3), (2.1), (2.2), (2.3)) = (S º R) -մեկ:

Առաջադրանք 3.5 . Թող R-ը լինի «...ծնող...» հարաբերությունը, իսկ S-ը՝ «...եղբայր...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց բազմության վրա: Տվեք հարաբերությունների համառոտ բանավոր նկարագրություն.

R -1, S -1, R º S, S -1 º R -1 և R º R:

Լուծում.

R -1 - հարաբերություն «... երեխա ...»;

S -1 - հարաբերություն «... եղբայր կամ քույր ...»;

R º S - հարաբերություն «... ծնող ...»;

S -1 º R -1 - հարաբերություն «... երեխա ...»

R º R - հարաբերություն «...տատիկ կամ պապիկ...»

Անկախ լուծման առաջադրանքներ

1) Թող R-ը լինի «...հայր...» հարաբերությունը, իսկ S-ը լինի «...քույր...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց բազմության վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

R -1, S -1, R º S, S -1 º R -1, R º R:

2) Թող R-ը լինի «...եղբայր...» հարաբերությունը, իսկ S-ը՝ «...մայր...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց բազմության վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

R -1, S -1, S º R, R -1 º S -1, S º S.

3) Թող R-ը լինի «...պապիկ...» հարաբերությունը, իսկ S-ը՝ «...որդի...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց բազմության վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

4) Թող R-ը լինի «...դուստր...» հարաբերությունը, իսկ S՝ «...տատիկ...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց հավաքածուի վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

5) Թող R-ը լինի «...հայրիկ...» հարաբերությունը, իսկ S-ը՝ «...հայր...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց հավաքածուի վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

R -1, S -1, S º R, R -1 º S -1, R º R:

6) Թող R-ը լինի «քույր...» հարաբերությունը, իսկ S-ը՝ «մայր...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց բազմության վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

R -1, S -1, R º S, S -1 º R -1, S º S.

7) Թող R-ը լինի «...մայր...» հարաբերությունը, իսկ S՝ «...քույր...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց բազմության վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

R -1, S1, R º S, S1 º R1, S º S:

8) Թող R-ը լինի «...որդի...» հարաբերությունը, իսկ S-ը՝ «...պապ...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց հավաքածուի վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

R -1, S -1, S º R, R -1 º S -1, R º R:

9) Թող R-ը լինի «...քույր...» հարաբերությունը, իսկ S՝ «...հայր...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց բազմության վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

R -1, S -1, R º S, S -1 º R -1, S º S.

10) Թող R-ը լինի «...մայր...» հարաբերությունը, իսկ S-ը՝ «...եղբայր...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց բազմության վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

R -1, S -1, S º R, R -1 º S -1, R º R:

Սահմանումներ

  • 1. A և B բազմությունների տարրերի միջև երկուական կապը RAB, RAA դեկարտյան արտադրյալի ցանկացած ենթաբազմություն է:
  • 2. Եթե A=B, ապա R-ն երկուական հարաբերություն է A-ի վրա:
  • 3. Նշում. (x, y)R xRy:
  • 4. R երկուական հարաբերությունների տիրույթը R = (x: կա y այնպիսին, որ (x, y)R բազմությունն է։
  • 5. R երկուական հարաբերության միջակայքը R = (y: կա x այնպիսին, որ (x, y)R) բազմությունն է։
  • 6. A և B տարրերի միջև R երկուական կապի լրացումը R = (AB) R բազմությունն է:
  • 7. R երկուական կապի հակադարձ կապը R1 = ((y, x) : (x, y)R բազմությունն է։
  • 8. R1AB և R2BC հարաբերությունների արտադրյալը R1 R2 = ((x, y) հարաբերությունն է. գոյություն ունի zB այնպիսին, որ (x, z)R1 և (z, y)R2):
  • 9. F կապը կոչվում է A-ից B ֆունկցիա, եթե բավարարված են երկու պայման.
    • ա) f \u003d A, f B
    • բ) բոլոր x, y1, y2-ի համար այն փաստը, որ (x, y1)f և (x, y2)f նշանակում է y1=y2:
  • 10. F կապը կոչվում է A-ից B ֆունկցիա, եթե առաջին պարբերությունում f = A, f = B:
  • 11. Նշում. (x, y)f y = f(x):
  • 12. Նույնականացման գործառույթը iA: AA սահմանվում է հետևյալ կերպ. iA(x) = x:
  • 13. F ֆունկցիան կոչվում է 1-1 ֆունկցիա, եթե ցանկացած x1, x2, y-ի համար այն փաստը, որ y = f(x1) և y = f(x2) նշանակում է x1=x2:
  • 14. F ֆունկցիան. AB-ն կատարում է A-ի և B-ի միջև մեկ առ մեկ համապատասխանություն, եթե f = A, f = B, իսկ f-ը 1-1 ֆունկցիա է:
  • 15. R երկուական կապի հատկությունները A բազմության վրա.
    • - ռեֆլեքսիվություն՝ (x, x)R բոլոր xA-ի համար:
    • - անռեֆլեկտիվություն. (x, x)R բոլոր xA-ի համար:
    • - համաչափություն՝ (x, y)R (y, x)R.
    • - հակասիմետրիա՝ (x, y)R և (y, x)R x=y։
    • - անցողիկություն՝ (x, y)R և (y, z)R (x, z)R:
    • - երկատում. կամ (x, y)R կամ (y, x)R բոլոր xA-ի և yA-ի համար:
  • 16. A1, A2, ..., Ar բազմությունները P(A)-ից կազմում են A բազմության բաժանումը, եթե.
  • - Аi , i = 1, ..., r,
  • - A = A1A2...Ar,
  • - AiAj = , i j.

Аi , i = 1, ..., r ենթաբազմությունները կոչվում են բաժանման բլոկներ։

  • 17. A բազմության վրա համարժեքությունը ռեֆլեքսիվ, անցումային և սիմետրիկ հարաբերություն է Ա-ի վրա:
  • 18. R համարժեքությամբ x տարրի համարժեքության դասը [x]R=(y: (x, y)R բազմությունն է։
  • 19. A բազմության գործակիցը R-ով A բազմության տարրերի համարժեքության դասերի բազմությունն է: Նշանակումը` A/R:
  • 20. Համարժեքության դասերը (A/R գործակիցների բազմության տարրերը) կազմում են A բազմության բաժանումը։ A բազմության ցանկացած բաժանում համապատասխանում է R համարժեք հարաբերությանը, որի համարժեքության դասերը համընկնում են նշված բաժանման բլոկների հետ: Այլ կերպ. A բազմության յուրաքանչյուր տարր ընկնում է A/R-ից որոշ համարժեքության դասի: Համարժեքության դասերը կամ չեն հատվում, կամ համընկնում են։
  • 21. A բազմության նախնական պատվերը A-ի ռեֆլեքսիվ և անցումային հարաբերություն է:
  • 22. A բազմության վրա մասնակի կարգը ռեֆլեքսիվ, անցումային և հակասիմետրիկ հարաբերություն է A-ի վրա:
  • 23. A բազմության վրա գծային կարգը ռեֆլեքսիվ, անցումային և հակասիմետրիկ հարաբերություն է A-ի վրա, որը բավարարում է դիխոտոմիայի հատկությունը:

Թող A=(1, 2, 3), B=(a, b): Դեկարտյան արտադրյալը դուրս գրենք՝ AB = ( (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) ): Վերցրեք այս դեկարտյան արտադրյալի ցանկացած ենթաբազմություն՝ R = ( (1, a), (1, b), (2, b) ): Այնուհետև R-ը երկուական հարաբերություն է A և B բազմությունների վրա:

Արդյո՞ք այս հարաբերությունը գործառույթ է լինելու: Եկեք ստուգենք երկու պայմանների կատարումը՝ 9a) և 9b): R հարաբերության տիրույթը R = (1, 2) բազմությունն է (1, 2, 3), այսինքն՝ առաջին պայմանը բավարարված չէ, ուստի R-ին պետք է ավելացնել զույգերից մեկը՝ (3, ա) կամ (3, բ). Եթե ​​երկու զույգերն էլ գումարվեն, ապա երկրորդ պայմանը չի բավարարվի, քանի որ աբ. Նույն պատճառով R-ից (1, a) կամ (1, b) զույգերից մեկը պետք է հանվի: Այսպիսով, R = ( (1, a), (2, b), (3, b) ) հարաբերությունը ֆունկցիա է: Նշենք, որ R-ն 1-1 ֆունկցիա չէ:

Տրված A և B բազմությունների վրա ֆունկցիաներ կլինեն նաև հետևյալ հարաբերությունները՝ ( (1, a), (2, a), (3, a) ), (1, a), (2, a), ( 3, բ ) ), ( (1, բ), (2, բ), (3, բ) ) և այլն։

Թող A=(1, 2, 3): A բազմության վրա հարաբերության օրինակ է R = ( (1, 1), (2, 1), (2, 3) ): A բազմության վրա ֆունկցիայի օրինակ է f = ( (1, 1), (2, 1), (3, 3) ):

Խնդիրների լուծման օրինակներ

1. Գտե՛ք R, R, R1, RR, RR1, R1R R = ((x, y) | x, y D և x+y0):

Եթե ​​(x, y)R, ապա x և y անցնում են բոլոր իրական թվերի միջով: Հետևաբար R = R = D:

Եթե ​​(x, y)R, ապա x+y0, ուրեմն y+x0 և (y, x)R: Հետեւաբար R1=R.

Ցանկացած xD, yD համար վերցնում ենք z=-|max(x, y)|-1, ապա x+z0 և z+y0, այսինքն. (x, z)R և (z, y)R. Հետեւաբար RR = RR1 = R1R = D2:

2. Ո՞ր երկուական հարաբերությունների համար է R1= R ճիշտ:

Թող RAB. Հնարավոր է երկու դեպք.

  • (1) AB. Վերցնենք xAB: Այնուհետև (x, x)R (x, x)R1 (x, x)R (x, x)(AB) R (x, x)R. Հակասություն.
  • (2) AB=. Քանի որ R1BA և RAB, ապա R1= R= . R1 =-ից հետևում է, որ R = . R =-ից հետևում է, որ R=AB. Հակասություն.

Հետևաբար, եթե A և B, ապա նման R հարաբերություններ գոյություն չունեն։

3. Իրական թվերի D բազմության վրա R կապը սահմանում ենք այսպես՝ (x, y)R (x-y) ռացիոնալ թիվ է։ Ապացուցեք, որ R-ը համարժեք է:

Ռեֆլեքսիվություն:

Ցանկացած xD-ի համար x-x=0 ռացիոնալ թիվ է: Քանի որ (x, x)R.

Համաչափություն:

Եթե ​​(x, y)R, ապա x-y = . Ապա y-x=-(x-y)=- ռացիոնալ թիվ է։ Հետևաբար (y, x)R.

Անցումային:

Եթե ​​(x, y)R, (y, z)R, ապա x-y = և y-z =: Այս երկու հավասարումները գումարելով՝ ստանում ենք, որ x-z = + ռացիոնալ թիվ է: Հետևաբար (x, z)R.

Այսպիսով, R-ը համարժեք է:

4. D2 հարթության միջնորմը բաղկացած է նկար ա-ում ներկայացված բլոկներից: Գրե՛ք այս բաժանմանը և համարժեքության դասերին համապատասխան R համարժեքության կապը։

Նմանատիպ խնդիր բ) և գ) համար.


ա) երկու կետերը համարժեք են, եթե դրանք գտնվում են y=2x+b ձևի ուղիղ գծի վրա, որտեղ b ցանկացած իրական թիվ է։

բ) երկու կետերը (x1,y1) և (x2,y2) համարժեք են, եթե (x1-ի ամբողջ մասը հավասար է x2-ի ամբողջ թվին) և (y1-ի ամբողջ մասը հավասար է y2-ի ամբողջ թվին):

գ) Որոշեք ինքներդ:

Անկախ լուծման առաջադրանքներ

  • 1. Ապացուցեք, որ եթե f-ը A-ից B ֆունկցիա է, իսկ g-ն՝ B-ից C ֆունկցիա, ապա fg-ը A-ից C ֆունկցիա է:
  • 2. Թող A և B լինեն վերջավոր բազմություններ՝ կազմված համապատասխանաբար m և n տարրերից։

Քանի՞ երկուական հարաբերություն կա A և B բազմությունների տարրերի միջև:

Քանի՞ ֆունկցիա կա A-ից B:

Քանի՞ 1-1 ֆունկցիա կա A-ից մինչև B:

Ո՞ր m-ի և n-ի համար է A-ի և B-ի միջև մեկ առ մեկ համապատասխանություն:

3. Ապացուցեք, որ f-ը բավարարում է f(AB)=f(A)f(B) պայմանը ցանկացած A և B-ի համար, եթե և միայն այն դեպքում, եթե f-ը 1-1 ֆունկցիա է:

Թող Ա- շատ. Եթե ​​տրված է նրա դեկարտյան քառակուսու որոշ ենթաբազմություն, այլ կերպ ասած՝ տրված է դասավորված զույգերի որոշ ենթաբազմություն, որտեղ , ապա մենք ասում ենք, որ նկարահանման հրապարակում Ատրված երկուական հարաբերություն Ռ. Գրել կամ .Որպես թվային բազմությունների վրա երկուական հարաբերությունների օրինակ կարող ենք դիտարկել թվաբանությունից հայտնի հարաբերությունները՝ ,=”,<”,£”,>”,³”.

Երկուական հարաբերությունը կոչվում է.

ռեֆլեքսային, եթե այդպիսիք կան

Անռեֆլեքսիվ, եթե այդպիսիք կան ;

սիմետրիկ, եթե պետք է ;

հակասիմետրիկ եթե և պետք է a=b;

Անցումային, եթե և ենթադրում է;

Հարաբերությունը,=»-ը ռեֆլեքսիվ է, սիմետրիկ և անցումային, հարաբերությունները,<” и,>«անցողիկ են և անռեֆլեքսիվ, հարաբերություններ, £» և,³»: ռեֆլեքսիվ, հակասիմետրիկ և անցողիկ: Վերջին հատկությունները ընտրվում են որպես սահմանող մասնակի կարգի առնչություն բազմության վրա Ա.

Սահմանում.երկուական հարաբերություն Ռնկարահանման հրապարակում Ակոչվում է մասնակի կարգի հարաբերություն, եթե այն ռեֆլեքսիվ է, հակասիմետրիկ և անցումային,

Եթե ​​, ապա մենք կդիտարկենք տարրը անախորդ տարր բև գրիր հարաբերությունը aRbինչպես . Եթե ​​որևէ երկու տարրի համար հարաբերություններից կամ առնվազն մեկը տեղի է ունենում, ապա մասնակի կարգը կոչվում է լրիվ կամ գծային կարգ։

Մասնակի պատվերի օրինակ է ընդգրկվածությամբ դասավորված բազմությունների համակարգ. . £» սովորական առնչությամբ թվային բազմությունները տալիս են գծային կարգերի օրինակներ։

Թող £ > մասնակի պատվիրված հավաքածու է։ Տարրը կոչվում է նվազագույն, եթե այն բխում է . Կարող է լինել մեկից ավելի նվազագույն տարր: Տարրը կոչվում է ամենափոքրը, եթե այդպիսիք կան: Եթե ​​ներս Ակա ամենափոքր տարրը, ապա այն եզակի է: Առավելագույն և մեծագույն տարրը սահմանվում են նույն կերպ:

Հավասարության հայեցակարգի ընդհանրացումը համարժեքության հարաբերություն է:

Սահմանում. երկուական հարաբերություն Ռնկարահանման հրապարակում Ակոչվում է համարժեքության հարաբերություն, եթե այն ռեֆլեքսիվ է, սիմետրիկ և անցումային։

Համարժեքության կապը բաժանում է բազմությունը Ամեջ չհամընկնող ենթաբազմություններ, որոնք կոչվում են համարժեքության դասեր: Եթե ​​որպես Ահաշվի առեք ինչ-որ քաղաքի տներում ապրող մարդկանց մի շարք, ապա մեկ տանը ապրելու հարաբերությունը կլինի համարժեք հարաբերություն: Ավելի մաթեմատիկական օրինակ է մոդուլային համեմատության կապը nամբողջ թվերի բազմության մեջ Զ: եթե բաժանվում է n. Որտեղ Զբաժանված դասերի , բնութագրվում է մնացորդներով՝ բաժանումից հետո n. Ավելի ընդհանուր օրինակ է խմբի տարրերի համարժեքությունը Գըստ ենթախմբի Հ: եթե . Այստեղ համարժեքության դասերը ենթախմբի ճիշտ կոզետներն են Հ.

որը կարող է լինել բացասական արժեք, օրինակ՝ աշխատուժ։ Բայց սպառողի կողմից աշխատուժի սպառումը չի կարող գերազանցել բնականորեն որոշված ​​արժեքը՝ 24 ժամը։

«Շարունակելու» հատկությունը նշանակում է, որ, հնարավոր է, անսահմանափակ քանակությամբ ապրանք հասանելի է սպառողին: Իհարկե, մենք կցանկանայինք խուսափել այս հատկությունից, և շատ ժամանակակից աշխատություններում, օրինակ, ընդհանուր հավասարակշռության մասին, այն բացակայում է, բայց սպառողի տեսության մի շարք հիմնական դասական արդյունքներ շատ ավելի հեշտ են ձևակերպվում և ստացվում: եթե այն կատարվի. Իսկապես, օրինակ այս գույքի բացակայության դեպքում մենք այլեւս չենք կարող վստահ լինել, որ սպառողը կծախսի իր ստացած ողջ եկամուտը (այսինքն, որ սպառողի ընտրությունը պատկանում է բյուջեի տողին)։

Վերջապես, եկեք բացատրենք ուռուցիկության հատկության իմաստը: X բազմության ուռուցիկությունն այնքան էլ անվնաս և բնական ենթադրություն չէ, որքան կարող է թվալ առաջին հայացքից։ Բավական թվով բովանդակային տնտեսական հարցեր կան, որոնց ուսումնասիրության մեջ այս ենթադրությունն անընդունելի է։ Օրինակ՝ դիտարկվող որոշ ապրանքներ կարող են սպառվել բացառապես առանձին քանակությամբ։ Այս իրավիճակը մեծապես բարդացնում է գործը և պահանջում է ավելի նուրբ պատճառաբանություն, որի վրա մենք չենք անդրադառնա:

0 X հատկությունը բավականին թափանցիկ նշանակություն ունի, դա իրականում նշանակում է, որ սպառողը կարող է պոտենցիալ ոչինչ չսպառել: Այս իրավիճակը չի նշանակում, որ դա նրա ընտրությունն է լինելու, բայց մենք գիտակցում ենք, որ նա նման հնարավորություն ունի։ Երբեմն հարմար է ենթադրել, որ իրագործելի այլընտրանքների բազմությունը ոչ բացասական օրթանտ է Rl + , այսինքն՝ X = Rl + ։ Հետագայում յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում կա՛մ մատնանշվի, կա՛մ համատեքստից պարզ կդառնա, թե վերոհիշյալ դեպքերից որն է նկատի ունենում8:

Ինչպես վերևում ասացինք, սպառողի վարքագիծը հիմնված է նրա նախասիրությունների վրա, որոնց համաձայն նա ընտրություն է կատարում իրեն հասանելի հավաքածուների միջև ընդունելի այլընտրանքների շարքից: Նախապատվության հայեցակարգի քննարկման բնական լեզուն երկուական հարաբերությունների տեսությունն է, որի համառոտ նկարագրությունը տրված է հաջորդ պարբերությունում։

2.2 Երկուական հարաբերություններ և դրանց հատկությունները

Երկուական կապի հասկացությունը մոտիվացնելու և պարզաբանելու համար դիտարկենք մանկական հայտնի «ժայռաթուղթ-մկրատ» խաղը։ Ենթադրվում է, որ քարը հաղթում է մկրատին (հիմար), մկրատը հաղթում է թղթին (կտրել), թուղթը հաղթում է քարին (շրջվում է), այլ դեպքերում (օրինակ՝ քարը՝ քարը)՝ մարտական ​​ոչ-ոքի։ Մենք կասենք, որ x-ը R-ի և y-ի հարաբերության մեջ է և գրենք x R y, եթե x-ը հաղթում է y-ին, որտեղ x-ը և y-ն պատկանում են բազմությանը (քար, թուղթ, մկրատ): Բնական է R կապը նույնացնել մի բազմության հետ, որի տարրերն են դասավորված զույգերը9 hstone, scissorsi, hscissors, paperi, hpaper, stonei և միայն դրանք։ Նկատի ունեցեք, որ այսպիսով սահմանված R կապը (բազմություն) ակնհայտորեն բոլոր հնարավոր դասավորված զույգերից բաղկացած բազմության ենթաբազմություն է, որտեղ յուրաքանչյուր տարր անցնում է բազմության միջով (քար, մկրատ, թուղթ):

Այս պարզ օրինակը մեզ տանում է երկուական հարաբերությունների հետևյալ սահմանմանը.

Սահմանում 1:

Թող X լինի կամայական ոչ դատարկ բազմություն: X բազմության դեկարտյան քառակուսին մի բազմություն է, որը նշվում է X × X-ով, որի տարրերը բոլոր հնարավոր դասավորված զույգերն են՝ hx, yi, որտեղ x, y-ն անցնում են X ամբողջ բազմության միջով: Տակ երկուական հարաբերություն R-ը, որը սահմանված է X բազմության վրա, մենք կհասկանանք X × X դեկարտյան քառակուսու որոշ ենթաբազմություն, այսինքն՝ պաշտոնապես R X × X:

8 Լավի հայեցակարգի և ընդունելի այլընտրանքների շարքի ավելի մանրամասն քննարկման համար տե՛ս Է. Մալենվոյի գիրքը.

Դասախոսություններ միկրոտնտեսական վերլուծության վերաբերյալ, Մ.: Նաուկա, 1985, գլ. 1, § 3 և գլ. 2, § 4.

9 «Պատվիրված զույգ» արտահայտությունը նշանակում է, որ հա, բի և հբ, աի զույգերը համարվում են տարբեր։

2.2. Երկուական հարաբերություններ և դրանց հատկությունները

Այլ կերպ ասած, երկուական հարաբերությունը hx, yi դասավորված զույգերի որոշակի բազմություն է, որտեղ x և y X բազմության տարրերն են: Երկուական հարաբերությունների հայեցակարգն ունի բավականին պարզ գրաֆիկական պատկեր (տես նկ. 2.1):

Բրինձ. 2.1. X բազմության վրա սահմանված երկուական R հարաբերություն

Երկուական հարաբերությունները դիտարկելիս այն դեպքում, երբ hx, yi զույգը պատկանում է R բազմությանը, hx, yi R-ի փոխարեն սովորաբար գրում ենք x R y և ասում, որ x-ը R-ի նկատմամբ է y-ի նկատմամբ։

Այժմ սահմանենք երկուական հարաբերությունների որոշ հատկություններ, որոնք մենք հետագայում կօգտագործենք նախապատվությունները դիտարկելիս 10:

Սահմանում 2:

Երկուական R կապը կոչվում է

ռեֆլեքսիվ, եթե x X-ը բավարարված է x R x

irreflexive 11, եթե x R x-ը չի գործում որևէ x X-ի համար (այսինքն x X(x R x));

սիմետրիկ, եթե x, y X-ը x R y-ից հետևում է y R x-ին;

Ասիմետրիկ, եթե x, y X-ը x R y-ից նշանակում է, որ y R x-ը կեղծ է.

Անցումային, եթե x, y, z X-ը բավարարված է

(x R y և y R z) x R z;

բացասական անցումային, եթե x, y, z X-ը բավարարված է

((x R y) և (y R z)) (x R z);

Լրացրեք, եթե x, y X-ը կամ x R y է կամ y R x, կամ երկուսն էլ:

Եկեք օրինակներով ցույց տանք երկուական հարաբերությունների այս հատկությունները:

11 Հաճախ այս հատկությունը կոչվում է նաև ոչ ռեֆլեքսիվություն, սակայն նման տերմինաբանությունը հանգեցնում է պարադոքսալ արտահայտությունների։ Օրինակ՝ «երկուական հարաբերությունը ոչ ռեֆլեքսային է, ոչ էլ ոչ ռեֆլեքսային»։ Այս բառախաղից խուսափելու համար մենք օգտագործում ենք «անռեֆլեքսիվություն» տերմինը։

2.2. Երկուական հարաբերություններ և դրանց հատկությունները

Թող X-ը լինի Նովոսիբիրսկի պետական ​​համալսարանում այս ուսումնական տարում սովորող ուսանողների բազմությունը, R լինի X-ի «ավելի բարձր» հարաբերակցությունը: Տեսնենք, թե վերը նշված հատկություններից որին է բավարարում տրված երկուական կապը։

Ակնհայտորեն, ինչ ուսանող էլ վերցնենք, նրա հասակը չի կարող մեծ լինել իր հասակից, այսինքն, օրինակ, 175-ը չի կարող մեծ լինել 175-ից: Այսպիսով, այս հարաբերությունն անռեֆլեքսիվ է և չի բավարարում ռեֆլեքսիվության հատկությունը:

Այս հարաբերությունը նույնպես ասիմետրիկ է և սիմետրիկ չէ։ Իսկապես, թող h(a)-ն լինի a-ի որոշ ուսանողի բարձրությունը, իսկ h(b)-ը լինի b-ի աշակերտի բարձրությունը, իսկ a R b-ն, այսինքն՝ ուսանող a-ն ավելի մեծ բարձրություն ունի, քան b (h(a) > h(b) )): Այնուհետև միանգամայն պարզ է, որ այն կեղծ է (h(b) > h(a)), ինչը նշանակում է, որ b R a-ն կեղծ է: Այսպիսով, հաշվի առնելով a-ի և b-ի ընտրության կամայականությունը, մենք ստացանք մեր ուզածը։

Այժմ ստուգենք, որ այս հարաբերությունը անցողիկ է: X բազմությունից վերցնում ենք երեք կամայական աշակերտ a, b, c, որոնց բարձրությունը համապատասխանաբար h(a), h(b) և h(c) է, և գործում է հետևյալը. h(a) > h(b) և. h(b) > h(c). Ակնհայտ է, որ իրական թվերի համեմատական ​​հատկությամբ ունենք, որ h(a) > h(c): Սա հենց նշանակում է, որ a R c-ն և մենք այսպիսով ցույց ենք տվել, որ R-ն անցողիկ է:

Բացասական անցումային հատկության կատարումը կստուգենք քիչ ուշ, իսկ այժմ կանցնենք ամբողջականության հատկության ստուգմանը։ Ինչպես հեշտ է հասկանալ, այս հարաբերակցությունը ամբողջական չէ, եթե ուսանողների մեջ կա առնվազն երկու նույն հասակի աշակերտ։ Այս դեպքում այս երկու ուսանողներից ոչ մեկը մյուսից բարձր չի լինի, և այսպիսով մենք ունենք ամբողջականության խախտում։ Եթե ​​մեր X բազմության մեջ չկա միևնույն հասակ ունեցող աշակերտի ոչ մի զույգ, ապա X-ում ներկայացված «բարձրից բարձր» կապն ունի ամբողջականության հատկություն: չորս

Թող R հարաբերությունը սահմանվի X = R2 + բազմության վրա (x1 , x2 ) R (y1 , y2 ) x1 + y2 > y1 + x2 կանոնով։ Նախքան հարցին պատասխանելը, թե ինչ հատկություններ է բավարարում այս երկուական կապը, մենք նշում ենք, որ x1 + y2 > y1 + x2 x1 − x2 > y1 − y2 , այսինքն (x1 , x2 ) R (y1 , y2 ) x1 − x2 > y1 − y2 ։ Ինչպես կարող եք կռահել, այս երկուական հարաբերությունը բավարարում է նույն հատկությունները, ինչ հարաբերակցությունը իրական գծի վրա, այսինքն՝ ամբողջականություն, անցողիկություն, ռեֆլեքսիվություն: (Ինքներդ ճշտեք՝ արդյոք պայմանները կատարված են/չկատարված։

Նշում. վերը նշված նախապատվության հատկությունները ստուգելիս պետք է զգույշ լինեք, որպեսզի շտապ եզրակացություններ չանեք: Մասնավորապես, եթե պարզվում է, որ հարաբերությունը ռեֆլեքսիվ չէ, ապա սրանից ընդհանրապես չի բխում, որ հարաբերությունն անռեֆլեքսիվ է։ Նույն իրավիճակը առաջանում է համաչափության/ասիմետրիայի մի խումբ հատկությունների դիտարկման ժամանակ:

Այս սահմանումները հեշտ է նաև գրաֆիկորեն պատկերել Նկ. 2.1. Օրինակ, ռեֆլեքսիվությունը նշանակում է, որ X ×X դեկեկյան քառակուսու ամբողջ անկյունագիծը պատկանում է R-ին: Համաչափության հատկությունը նշանակում է, որ R բազմությունը սիմետրիկ է դեկարտյան քառակուսու անկյունագծի նկատմամբ: Ամբողջականությունը նշանակում է, որ եթե մենք «անկյունագծով թեքենք» դեկարտյան քառակուսին, մենք կհայտնվենք եռանկյունիով, առանց բռունցքված կետերի:

Վերևում մենք ներկայացրեցինք և քննարկեցինք երկուական հարաբերությունների մի շարք սովորաբար հանդիպող հատկություններ: Այժմ հաշվի առեք այս հատկությունների փոխհարաբերությունները:

Թեորեմ 1:

Յուրաքանչյուր ասիմետրիկ երկուական հարաբերություն անռեֆլեկտիվ է:

Յուրաքանչյուր ամբողջական երկուական հարաբերություն ռեֆլեքսային է:

2.2. Երկուական հարաբերություններ և դրանց հատկությունները

Յուրաքանչյուր ոչ ռեֆլեքսիվ և անցումային երկուական հարաբերություն ասիմետրիկ է:

R-ն բացասաբար անցողիկ է, եթե և միայն եթե

x, y, z X x R y-ից հաջորդում է x R z կամ z R y:

Ապացույց. Հատկությունների ապացույցը չնչին է: Ապացույցի տեխնիկան ցուցադրելու նպատակով մենք ապացուցում ենք թեորեմի միայն երրորդ կետը։

Ենթադրենք հակառակը, այսինքն՝ թող R հարաբերությունը լինի անռեֆլեկտիվ, անցողիկ, բայց ոչ ասիմետրիկ։ Այնուհետև կա x, y X զույգ այնպիսին, որ x R y և y R x: Քանի որ R կապը անցումային է, x R y և y R x ենթադրում են x R x: Մենք հակասություն ենք ստացել անռեֆլեկտիվության հետ։

Օրինակ 3 (Օրինակ 1-ի շարունակությունը).

Մեզ մնում է ստուգել բացասական տարանցիկության հատկությունը։ Այն ստուգելու համար մենք օգտագործում ենք այս սեփականության ներկայացումը հենց նոր ապացուցված պնդումից: Դա անելու համար X բազմությունից վերցնում ենք երեք կամայական աշակերտներ a, b, c, որոնց բարձրությունը համապատասխանաբար h(a), h(b) և h(c) է, և h(a) > h(b): Ակնհայտորեն, ինչ էլ որ լինի h(c)-ը, h(a) > h(c) կամ h(c) > h(b) անհավասարություններից առնվազն մեկը պետք է պահպանվի: Այսպիսով, մենք տեսնում ենք, որ տվյալ R հարաբերության համար բացասական անցումային հատկությունը բավարարված է։

Այժմ, զինված լինելով երկուական հարաբերությունների գաղափարով, մենք կարող ենք անցնել նախապատվությունների և ընտրությունների մոդելավորման նեոկլասիկական մոտեցման քննարկմանը:

2.2.1 Առաջադրանքներ

/ 1. Ենթադրենք, պայմանականորեն, կա ընդամենը երկու քաղաք, որոնցից յուրաքանչյուրը վաճառում է երեք ապրանք։ Ո՞րն է ապրանքների տարածության չափը՝ ելնելով ապրանքի Դեբրեի սահմանումից:

/ 2. Թող X-ը լինի Երկիր մոլորակի բոլոր կենդանի մարդկանց բազմությունը: Ստուգեք հետևյալ հատկությունները.

ամբողջականություն,

ռեֆլեքսիվություն,

համաչափություն,

անցողիկություն,

բացասական տարանցիկություն

X-ում սահմանված հետևյալ երկուական հարաբերությունների համար.

(ա) «հետնորդ է»;

(բ) «թոռ է»;

(գ) «նույն թվով երեխաների ծնող է»,

դ) «ամուսնացած է» (թույլ է տալիս բազմակնությունը).

(ե) «ամուսնացած է» (ենթադրելով մոնոգամ հարաբերություններ);

(զ) «կապված է»;

(գ) «Կյանքումս գոնե մեկ անգամ մտածել եմ».

/ 3. X-ը Երկիր մոլորակի վրա գտնվող բնակավայրերի բազմությունն է: Ի՞նչ հատկություններ ունեն հետևյալ հարաբերությունները.

(ա) «գտնվում է դեպի արևելք» (եթե Երկիրը կլոր է);

բ) «գտնվում է դեպի արևելք» (եթե Երկիրը հարթ է և կանգնած է կրիաների վրա).

գ) «ունի նույն բնակչությունը, ինչ. . . »;

դ) «ունի նույն թվով գործազուրկներ, որքան. . . «?

Հարակից սահմանումներ

Հարաբերությունների հատկություններ

Երկուական հարաբերությունները կարող են ունենալ տարբեր հատկություններ, ինչպիսիք են

Հարաբերությունների տեսակները

  • Ռեֆլեքսիվ անցումային կապը կոչվում է քվազի կարգի հարաբերություն։
  • Ռեֆլեքսիվ սիմետրիկ անցումային կապը կոչվում է համարժեքության կապ։
  • Ռեֆլեքսիվ հակասիմետրիկ անցումային կապը կոչվում է (մասնակի) կարգի հարաբերություն։
  • Հակառեֆլեքսիվ հակասիմետրիկ անցումային կապը կոչվում է խիստ կարգի հարաբերություն։
  • Ամբողջական հակասիմետրիկ (xRy կամ yRx ցանկացած x, y) անցումային կապ կոչվում է գծային կարգի հարաբերություն։
  • Հակառեֆլեքսիվ ասիմետրիկ կապը կոչվում է գերակայության հարաբերություն:

Կրկնակի հարաբերությունների տեսակները

  • Հակադարձ կապ [հստակեցնել] (Հակադարձ կապը R-ին) երկուական հարաբերություն է, որը բաղկացած է տարրերի զույգերից (y, x), որը ստացվում է տվյալ R հարաբերության տարրերի (x, y) զույգերի փոխակերպմամբ։ Նշվում է՝ R −1։ Այս հարաբերության և դրա հակադարձի համար ճիշտ է հավասարությունը՝ (R −1) −1 = R։
  • Փոխադարձ հարաբերություններ(փոխադարձ հարաբերություններ) - հարաբերություններ, որոնք հակադարձ են միմյանց: Դրանցից մեկի տիրույթը ծառայում է որպես մյուսի տիրույթ, իսկ առաջինի տիրույթը՝ մյուսի տիրույթ։
  • Ռեֆլեքսիվ վերաբերմունք- երկտեղանի հարաբերություն R, որը սահմանվում է որոշակի բազմության վրա և բնութագրվում է նրանով, որ այս բազմության ցանկացած x-ի համար x տարրը կապված է R-ի հետ, այսինքն՝ այս բազմության ցանկացած x տարրի համար տեղի է ունենում xRx: Ռեֆլեքսիվ հարաբերությունների օրինակներ՝ հավասարություն, միաժամանակություն, նմանություն:
  • Հակառեֆլեքսիվ հարաբերություն(Անռեֆլեքսիվ հարաբերություն, նշեք, որ ինչպես հակասիմետրիան չի համընկնում ասիմետրիայի հետ, այնպես էլ անռեֆլեքսիվությունը չի համընկնում ոչ ռեֆլեքսության հետ:) - երկտեղանի հարաբերություն R, որը սահմանվում է որոշակի բազմության վրա և բնութագրվում է նրանով, որ այս բազմության x որևէ տարրի համար այն չի համապատասխանում. ճշմարիտ է, որ այն R-ի հետ կապված է իր հետ (ճիշտ չէ, որ xRx-ը), այսինքն՝ հնարավոր է, որ բազմության տարրը R-ի հետ կապված չէ իր հետ: Ոչ ռեֆլեքսային հարաբերությունների օրինակներ՝ «հոգ տանել», «զվարճացնել», «նյարդային»:
  • անցումային հարաբերություն- երկտեղանի R հարաբերակցությունը, որը սահմանված է որոշ բազմության վրա և բնութագրվում է նրանով, որ այս բազմության ցանկացած x, y, z համար xRy և yRz ենթադրում է xRz (xRy&yRzxRz): Անցումային հարաբերությունների օրինակներ՝ «ավելի մեծ», «պակաս», «հավասար», «նման», «ավելի բարձր», «հյուսիս»։
  • ոչ անցումային հարաբերություն [հստակեցնել] երկտեղանի R հարաբերություն է, որը սահմանվում է որոշակի բազմության վրա և բնութագրվում է նրանով, որ այս բազմության ցանկացած x, y, z համար xRy և yRz չեն նշանակում xRz ((xRy&yRzxRz)): Ոչ անցումային հարաբերությունների օրինակ. «x-ը y-ի հայրն է»
  • Սիմետրիկ կապ- երկտեղանի R հարաբերություն, որը սահմանվում է որոշակի բազմության վրա և բնութագրվում է նրանով, որ այս բազմության x և y տարրերի համար, քանի որ x-ը R (xRy) հարաբերակցությամբ y-ին է, հետևում է, որ y-ը նույնն է. հարաբերակցություն x-ին (yRx): Սիմետրիկ հարաբերությունների օրինակ կարող է լինել հավասարությունը (=), համարժեքությունը, նմանությունը, միաժամանակությունը, որոշ ազգակցական հարաբերություններ (օրինակ՝ եղբայրական հարաբերություններ)։
  • Հակասիմետրիկ հարաբերակցություն- երկտեղանի R հարաբերություն, որը սահմանված է որոշակի բազմության վրա և բնութագրվում է նրանով, որ xRy-ից և xR-1-ից ցանկացած x-ի և y-ի համար հետևում է x = y (այսինքն, R-ն և R-1-ը միաժամանակ կատարվում են միայն հավասար անդամների համար): .
  • Ասիմետրիկ վերաբերմունք [հստակեցնել] երկտեղանի R հարաբերություն է, որը սահմանվում է որոշ բազմության վրա և բնութագրվում է նրանով, որ ցանկացած x-ի և y-ի համար xRy-ն ենթադրում է yRx: Օրինակ՝ (>)-ից մեծ և (-ից փոքր<).
  • Համարժեքության հարաբերություն(ինքնության կապը [ հստակեցնել], հավասարության տիպի հարաբերություն) R երկտեղանի հարաբերություն է x և y առարկաների միջև D առարկայի տարածքում, որը բավարարում է հետևյալ աքսիոմներին (պայմաններին). Օրինակներ՝ հավասարություն, երկու կոմպլեկտների հավասար հզորություն, շուկայում ապրանքների փոխանակելիություն, նմանություն, միաժամանակյաություն։ Հարաբերության օրինակ, որը բավարարում է (3) աքսիոմային, բայց չի բավարարում (1) և (2) աքսիոմներին՝ «մեծ քան»։
  • Պատվերի հարաբերություններ- հարաբերություններ, որոնք ունեն համարժեքության հարաբերության երեք հատկություններից միայն մի քանիսը: Մասնավորապես, հարաբերությունը, որը ռեֆլեքսիվ է և անցողիկ, բայց ոչ սիմետրիկ (օրինակ՝ «ոչ ավելին») կազմում է «ոչ խիստ» կարգ։ Հարաբերությունը անցողիկ է, բայց ոչ ռեֆլեքսային և ոչ սիմետրիկ (օրինակ՝ «պակաս»)՝ «խիստ» կարգ։
  • Գործառույթ- կրկնակի հարաբերություն Ռ, սահմանված որոշ հավաքածուի վրա, բնութագրվում է նրանով, որ յուրաքանչյուր արժեք xհարաբերություններ xRy y. Օրինակ: " yհայրիկ x«. Հարաբերությունների ֆունկցիոնալ հատկություն Ռգրված է որպես աքսիոմ. xRyև xRz)→(y≡զ) Որովհետև յուրաքանչյուր արժեք xարտահայտությունների մեջ xRyև xRzհամապատասխանում է նույն արժեքին, ապա yև զհամընկնում են, նույնն են լինելու։ Ֆունկցիոնալ հարաբերությունը եզակի է, քանի որ հարաբերության յուրաքանչյուր x արժեք xRyհամապատասխանում է միայն մեկ արժեքի y, բայց ոչ հակառակը։
  • Բիեկցիա(մեկ-մեկ հարաբերություն) - երկտեղանի հարաբերություն Ռ, որը սահմանված է որոշ բազմության վրա, որը բնութագրվում է նրանով, որ դրանում x-ի յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանում է մեկ արժեքի ժամը, և յուրաքանչյուր արժեք ժամըհամապատասխանում է մեկ արժեքի X. Մեկ առ մեկ հարաբերությունը մեկ առ մեկ հարաբերության հատուկ դեպք է:
  • Հարակից հարաբերությունկրկնակի հարաբերություն է Ռ, որոշված ​​որոշ հավաքածուի վրա, որը բնութագրվում է նրանով, որ ցանկացած երկու տարբեր տարրերի համար Xև ժամըայս հավաքածուից մեկը հարաբերական է Ռմյուսին (այսինքն, երկու հարաբերություններից մեկը բավարարված է. xRyկամ yRx) Օրինակ՝ «պակաս» հարաբերություն (<).

Գործողություններ հարաբերությունների վրա

Քանի որ ֆիքսված զույգ բազմությունների վրա սահմանված հարաբերությունները, , բազմության ենթաբազմություններն են, ապա այս բոլոր հարաբերությունների ամբողջությունը կազմում է Բուլյան հանրահաշիվ՝ կապված հարաբերությունների միության, հատման և ավելացման գործողությունների հետ: Մասնավորապես, կամայականության համար.

Հաճախ հարաբերությունների միության, հատման և ավելացման փոխարեն խոսվում է դրանց անջատման, շաղկապման և ժխտման մասին։

Օրինակ՝ , , այսինքն՝ խիստ կարգի հարաբերության միությունը հավասարության հարաբերության հետ համընկնում է ոչ խիստ կարգի հարաբերության հետ, և դրանց հատումը դատարկ է։

Թվարկվածներից բացի կարևոր են նաև հարաբերությունների ինվերսիայի և բազմապատկման գործողությունները, որոնք սահմանվում են հետևյալ կերպ.

Եթե, ապա հակադարձ կապը այն հարաբերությունն է, որը սահմանված է զույգի վրա և բաղկացած է այն զույգերից, որոնց համար. Օրինակ, .

Թող հիմա,. Հարաբերական արտադրանքը այնպիսի հարաբերություն է, որ

Եթե ​​, և , ապա հարաբերությունների արտադրյալը սահմանված չէ։ Եթե ​​հարաբերությունները դիտարկվում են որոշակի հարթության վրա, ապա նման իրավիճակ չի առաջանում։

Օրինակ՝ դիտարկենք բնական թվերի բազմության վրա սահմանված խիստ կարգի հարաբերություն: Դա հեշտ է տեսնել

Երկուական հարաբերություններ և կոչվում են փոփոխական, եթե . Հեշտ է տեսնել, որ ցանկացած երկուական հարաբերության համար, որը սահմանված է ,-ում, որտեղ խորհրդանիշը նշանակում է հավասարություն, որը սահմանվում է վրա: Այնուամենայնիվ, հավասարությունը միշտ չէ, որ արդար է։

Հետևյալ ինքնությունները պահպանվում են.

Նկատի ունեցեք, որ վերջին երկու ինքնությունների անալոգները չեն պահպանվում:

Հարաբերությունների որոշ հատկություններ կարելի է որոշել՝ օգտագործելով հարաբերական գործողություններ.

տես նաեւ

գրականություն

  • A. I. Մալցև.Հանրահաշվական համակարգեր. - Մ .: Նաուկա, 1970:

Վիքիմեդիա հիմնադրամ. 2010 թ .

Տեսեք, թե ինչ է «Երկուական հարաբերությունը» այլ բառարաններում.

    երկուական հարաբերություն- . Հակառակ դեպքում՝ երկտեղանի կամ երկտեղանի: «X բազմության վրա երկուական հարաբերությունը» X-ից տարրերի դասավորված զույգերի ենթաբազմություն է: B.o-ի օրինակներ. հավասարություն են (=), անհավասարություններ (< или >), ներառման հարաբերակցությունը A Ì B.… … Տնտեսական և մաթեմատիկական բառարան

    երկուական հարաբերություն- Հակառակ դեպքում՝ երկտեղանի կամ երկտեղանի։ «X բազմության վրա երկուական հարաբերությունը» X-ից տարրերի դասավորված զույգերի ենթաբազմություն է: B.o-ի օրինակներ. արդյո՞ք հավասարություն (=), անհավասարություններ (), ներառական հարաբերություններ Ա. Բ. Ընդհանուր առմամբ…… Տեխնիկական թարգմանչի ձեռնարկ

    Երկուական պրեդիկատ տրված բազմության վրա: Բ-ի տակ մոտ. երբեմն նրանք հասկանում են A. B. o-ի տվյալ բազմության տարրերի դասավորված զույգերի բազմության ենթաբազմությունը (a, 6): հարաբերությունների հատուկ դեպք. Թող. Եթե, ապա մենք ասում ենք, որ տարրը երկուական է ... ... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

    Տրամաբանության մեջ այն, ինչ, ի տարբերություն հատկության, բնութագրում է ոչ թե առանձին առարկա, այլ զույգ, եռակի և այլն։ իրեր. Ավանդական տրամաբանությունը չէր համարում Օ. ժամանակակից տրամաբանության մեջ Օ.-ն երկու կամ ավելի փոփոխականների առաջարկային ֆունկցիա է։ Երկուական… Փիլիսոփայական հանրագիտարան

    վերաբերմունքը- RELATION շարք պատվիրված n ok անհատների (որտեղ n 1), այսինքն. երկու, երեք և այլն: n թիվը կոչվում է «տեղայնություն», կամ «արիտ», O. և, համապատասխանաբար, նրանք խոսում են n տեղական (p arny) O-ի մասին: Այսպիսով, օրինակ, երկտեղանի O.-ն կոչվում է ... ... Իմացաբանության և գիտության փիլիսոփայության հանրագիտարան

    Սպառման տեսության մեջ սա սպառողի ունակության պաշտոնական նկարագրությունն է՝ համեմատելու (պատվիրելու ըստ ցանկալիության) ապրանքների տարբեր խմբեր (սպառողական հավաքածուներ): Նախապատվության հարաբերությունները նկարագրելու համար անհրաժեշտ չէ չափել ցանկալիությունը ... ... Վիքիպեդիա

    Այս տերմինը այլ իմաստներ ունի, տես Հարաբերություն։ Հարաբերությունը մաթեմատիկական կառուցվածք է, որը պաշտոնապես սահմանում է տարբեր առարկաների հատկությունները և նրանց հարաբերությունները: Հարաբերությունները սովորաբար դասակարգվում են ըստ դրանց կապող օբյեկտների քանակի... Վիքիպեդիա

    Այս տերմինը այլ իմաստներ ունի, տես Հարաբերություն։ Տրամաբանության մեջ առաջին կարգի երկու կամ ավելի արգումենտ պրեդիկատ (բազմաթիվ պրեդիկատ), երկու կամ ավելի նախադրյալ հատկություն: Հարաբերությունների նշան՝ R. [նշել] Հարաբերությունների առումով ... ... Վիքիպեդիա

    Այս տերմինն այլ իմաստներ ունի, տես Համարժեքություն։ Բազմության վրա համարժեքության () հարաբերությունը երկուական հարաբերություն է, որի համար բավարարված են հետևյալ պայմանները.

    Այս հոդվածը պետք է վիքիֆիկացվի։ Խնդրում եմ ֆորմատավորեք հոդվածների ֆորմատավորման կանոնների համաձայն։ Երկուական հարաբերություններ շատերի վրա ... Վիքիպեդիա

էլեկտրոնային գիրք