이진 관계와 그 속성은 솔루션의 예입니다. 이진 관계. 이진 관계의 예. 이진 관계와 그 속성

느슨한 주문 관계의 경우:

NS NS - 참(반사성);

xy 및 yh x = y- (반대칭);

x y 및 y z xy z- (이동성).

많이 NS두 요소 중 하나라도 있으면 ordered라고 합니다. NS그리고 ~에이 세트 중 하나는 비교할 수 있습니다. 즉, 다음 조건 중 하나가 충족되는 경우: NS< 야, 엑스= 야, 야< NS.

순서가 지정된 집합을 튜플이라고 합니다. 일반적으로 튜플은 일련의 요소, 즉 각 요소가 잘 정의된 위치를 차지하는 요소 모음입니다. 순서가 지정된 집합의 요소를 튜플의 구성 요소라고 합니다. 튜플의 예에는 산술 또는 기하학적 진행의 순서가 지정된 순서, 전자 제품 제조의 기술 작업 순서, 구조 요소를 고정하기 위한 인쇄 회로 기판의 장착 위치 순서가 포함됩니다.

이 모든 집합에서 각 요소의 위치는 매우 명확하며 임의로 변경할 수 없습니다.

컴퓨터에서 디자인 정보를 처리할 때 지배 관계가 자주 사용됩니다. 그들은 말한다 더블 엑스지배하다 yX,즉. x >> y, if 요소 NS(우선권을 가짐) 요소를 능가합니다. ~에같은 세트. 예를 들어, 아래 NS먼저 처리해야 하는 데이터 목록 중 하나를 이해할 수 있습니다. 여러 전자 장비의 디자인을 분석할 때, 우리의 관점에서 이 디자인이 다른 것보다 더 나은 특성, 즉 디자인을 가지고 있기 때문에 그 중 하나를 우선적으로 고려해야 합니다. NS디자인을 지배 에.

이 경우 전이 속성이 유지되지 않습니다. 실제로 예를 들어 건설 NS어떤 한 매개변수에서 그들은 디자인을 선호했습니다. 와이,하지만 디자인 ~에일부 다른 매개변수의 경우 구성 z를 선호했지만 아직 구성이 다음과 같이 이어지지는 않습니다. NS건설보다 우선되어야 한다 NS.

세트 표시. 집합 이론의 기본 개념 중 하나는 매핑의 개념입니다. 비어 있지 않은 두 세트가 주어진 경우 NS그리고 와이,그런 다음 각 요소 x에 따른 법칙 NS요소와 일치 , 단일 값 매핑이라고 합니다. NS V 와이또는 X에 정의되고 값을 취하는 함수 와이.

실제로는 집합의 다중값 매핑을 처리해야 합니다. NS세트에 와이,각 요소에 따라 법칙을 정의합니다. 더블 엑스일부 하위 집합 , 요소의 이미지라고 합니다. 하는 경우가 있다 수신 = 0.

일부 하위 집합을 제공하자 도끼.누구에게나 하아방법 NS하위 집합입니다 . 모든 요소의 컬렉션 와이,모두를 위한 이미지 x에서 A,세트의 이미지라고 부를 것입니다 NS그리고 우리는 나타낼 것입니다 조지아.이 경우

이진 관계.

A와 B를 임의의 집합이라고 하자. 각 집합에서 하나의 요소, A에서, b에서 B를 가져와 다음과 같이 작성합니다. (첫 번째 세트의 첫 번째 요소, 다음 두 번째 세트의 요소 - 즉, 요소가 취해진 순서는 우리에게 중요합니다). 그러한 객체는 주문 쌍. 동일한동일한 숫자를 가진 요소가 동일한 쌍만 계산합니다. = a = c 및 b = d인 경우. 분명히 ≠ b이면 ≠ .

데카르트 곱임의의 집합 A와 B(AB로 표시됨)는 가능한 모든 순서쌍으로 구성된 집합이라고 하며, 첫 번째 요소는 A에 속하고 두 번째 요소는 B에 속합니다. 정의에 따르면 AB = ( | aA 및 bB). 분명히 A ≠ B이면 AB ≠ BA입니다. 집합 A의 데카르트 곱 자체가 n번이라고 합니다. 데카르트 학위에이(A n으로 표시됨).

예 5. A = (x, y) 및 B = (1, 2, 3)이라고 가정합니다.

AB = ( , , , , , }.

학사 = (<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

AA = A 2 = ( , , , }.

BB = B 2 = (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

이진 관계집합 M에서 우리는 집합 M의 일부 순서쌍의 집합을 의미합니다. r이 이진 관계이고 쌍이 이 관계에 속하면 다음과 같이 씁니다. r 또는 x r y. 분명히, r Í M 2.

예 6. 집합(<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>)은 집합(1, 2, 3, 4, 5)에 대한 이진 관계입니다.

예 7. 정수 집합에 대한 관계 ³는 이진 관계입니다. 이것은 다음 형식의 무한한 수의 순서 쌍입니다. 여기서 x ³ y, x 및 y는 정수입니다. 이 관계에는 예를 들어 쌍이 포함됩니다.<5, 3>, <2, 2>, <324, -23>그리고 쌍에 속하지 않는다<5, 7>, <-3, 2>.

예 8. 집합 A에 대한 등식 관계는 이진 관계입니다. I A = ( | x α). 나는 A라고 불린다 대각선세트 A.

이진 관계는 집합이므로 합집합, 교집합, 보수, 차등의 연산을 적용할 수 있습니다.

범위이진 관계 r의 집합 D(r) = (x | xry와 같은 y가 있음)이라고 합니다. 값 범위이진 관계 r의 집합 R(r) = (y | xry와 같은 x가 있음)이라고 합니다.

태도, 뒤집다이진 관계 r Í M 2 를 이진 관계 r -1 = ( | Δ r). 분명히, D(r -1) = R(r), R(r -1) = D(r), r - 1 Í M 2.

구성집합 M에 대해 주어진 이진 관계 r 1 및 r 2를 이진 관계 r 2 또는 r 1 = ( | 그런 y가 있다 Δ r 1 및 Í r 2). 분명히, r 2 또는 r 1 Í M 2.

예 9. 집합 M = (a, b, c, d), r = ( , , , ). 그런 다음 D (r) = (a, c), R (r) = (b, c, d), r -1 = ( , , , ), r 또는 r = ( , , , ), r -1 또는 r = ( , , , ), r 또는 ‑1 = ( , , , , , , }.

r을 집합 M에 대한 이진 관계라고 합시다. 관계 r이 호출됩니다. 반사 x r x 임의의 x Δ M에 대한 경우. 관계 r이 호출됩니다. 대칭각 쌍과 함께라면 그것은 또한 한 쌍을 포함합니다 ... 비율 r은 타동 x r y 및 y r z라는 사실에서 x r z를 따릅니다. 비율 r은 비대칭쌍을 동시에 포함하지 않는 경우 그리고 집합 M의 다른 요소 x ¹ y.

이러한 속성을 충족하기 위한 기준을 표시해 보겠습니다.

집합 M에 대한 이항 관계 r은 I M Í r인 경우에만 반사적입니다.

이항 관계 r은 r = r -1인 경우에만 대칭입니다.

집합 M에 대한 이항 관계 r은 r Ç r ‑1 = IM인 경우에만 비대칭입니다.

이진 관계 r은 r 또는 r Í r인 경우에만 전이적입니다.

예 10. 예 6의 관계는 대칭이 아니지만 대칭, 반사 및 전이가 아닙니다. 예 7의 관계는 반사적, 비대칭적, 전이적이지만 대칭은 아닙니다. 관계 IA에는 고려 중인 네 가지 속성이 모두 있습니다. r -1 or r 및 r or r -1 관계는 대칭적이고 전이적이지만 반대칭 및 반사적이지 않습니다.

태도 등가집합 M에서 M 이진 관계에 대한 전이, 대칭 및 반사라고 합니다.

태도 부분 주문집합 M에서 M 이진 관계 r에 대한 전이, 비대칭 및 반사라고 합니다.

예 11. 예 7의 관계는 부분 순서 관계입니다. 관계 IA는 등가 및 부분 순서 관계입니다. 일련의 선에 대한 평행 관계는 등가 관계입니다.

관계 속성:

1) 반사성;

2) 대칭성;

3) 전이성.

4) 연결성.

태도 NS세트에 NS~라고 불리는 반사,집합의 각 요소에 대해 NS우리는 그가 관계라고 말할 수 있습니다 NS나 자신과 함께: NS수신관계가 반사적이면 그래프의 각 꼭짓점에 루프가 있습니다. 반대로 각 꼭짓점에 루프가 포함된 그래프는 재귀 관계 그래프입니다.

재귀 관계의 예는 자연수 집합에 대한 비율 "배수"(각 수는 자신의 배수임), 삼각형의 유사도 비율(각 삼각형은 자신과 유사함) 및 "등등"의 관계입니다. (각 숫자는 자신과 같음) 등

반사성의 속성이 없는 관계가 있습니다(예: 세그먼트의 직각도 비율). 아바바(자신에 대해 수직이라고 말할 수 있는 단일 선분은 없습니다) . 따라서 이 관계의 그래프에는 단일 루프가 없습니다.

그것은 반사성의 속성을 가지고 있지 않으며 비율은 세그먼트의 경우 "길게", 자연수의 경우 "2배 이상" 등입니다.

태도 NS세트에 NS~라고 불리는 반사 방지집합의 요소에 대해 NS항상 거짓 NS수신: .

반사적이지도 반사적이지도 않은 관계가 있습니다. 그러한 관계의 예는 요점입니다. NS점에 대칭 ~에비교적 직선 엘»평면의 점 집합에 정의됩니다. 사실 라인의 모든 포인트는 엘서로 대칭이며 직선 위에 있지 않은 점 엘,자체가 대칭이 아닙니다.

태도 NS세트에 NS~라고 불리는 대칭, 조건이 충족되는 경우: 요소가 NS요소와 관련이 있습니다. 와이, 다음 요소는 와이관계에있다 NS요소와 NS:xRyyRx.

대칭 관계 그래프에는 다음과 같은 기능이 있습니다. NS NS 와이, 그래프에는 화살표가 포함되어 있습니다. 와이 NS NS(그림 35).

대칭 관계의 예는 다음과 같습니다. 세그먼트의 "평행도" 비율, 세그먼트의 "수직성" 비율, 세그먼트의 "동등성" 비율, 삼각형의 유사도 비율, "동등성"의 비율 분수 등

대칭성이 없는 관계가 있습니다.

실제로 세그먼트의 경우 NS세그먼트보다 길다 ~에, 다음 세그먼트 ~에세그먼트보다 길 수 없습니다. NS... 이 관계의 그래프에는 특성이 있습니다. 정점을 연결하는 화살표는 한 방향으로만 향합니다.

태도 NS불려진다 비대칭어떤 요소에 대해 NS그리고 와이진실의 엑스라이거짓이 따른다 yRx:: xRyyRx.

"길게"라는 관계 외에도 세그먼트 집합에 다른 비대칭 관계가 있습니다. 예를 들어, 숫자에 대한 "보다 큼" 비율(만약 NS더 ~에, 그 다음에 ~에더 할 수 없다 NS), 비율 "more by" 등

대칭성이나 반대칭성을 갖지 않는 관계가 있다.

집합의 관계 R NS불려진다 전이,어떤 요소에서 NS관계에있다 NS요소와 와이,및 요소 와이관계에있다 NS요소와 지, 다음 요소는 NS관계에있다 NS요소와 지: 엑스라이그리고 yRzxRz.

각 화살표 쌍이 있는 전이 관계 그래프 NS NS 와이그리고 ~에서 와이 NS 지, 다음에서 가는 화살표가 포함되어 있습니다. NS NS 지.

전이 속성은 또한 세그먼트 집합에서 "더 긴" 관계에 의해 소유됩니다. NS세그먼트보다 길다 NS, 부분 NS세그먼트보다 길다 ~와 함께, 다음 세그먼트 NS세그먼트보다 길다 와 함께.세그먼트 집합에 대한 "동등성" 관계에는 다음과 같은 전이성 속성도 있습니다. (아 =b, b = c) (a = c).

전이의 속성을 갖지 않는 관계가 있습니다. 이러한 관계는 예를 들어 직각도의 비율입니다. NS세그먼트에 수직 NS, 그리고 세그먼트 NS세그먼트에 수직 ~와 함께, 다음 세그먼트 NS그리고 ~와 함께수직이 아닙니다!

또 다른 관계 속성이 있는데 이를 연결 속성이라고 하고 그것을 소유한 관계를 연결 속성이라고 합니다.

태도 NS세트에 NS~라고 불리는 연결된,어떤 요소에 대해 NS그리고 와이이 집합에서 다음 조건이 충족됩니다. NS그리고 와이다르다, 그럼 NS관계에있다 NS요소와 와이, 또는 요소 와이관계에있다 NS요소와 NS... 기호를 사용하여 다음과 같이 작성할 수 있습니다. xy엑스라이또는 yRx.

예를 들어, 자연수에 대한 "더 많은" 관계는 연결되는 속성이 있습니다. 다른 숫자 x와 y에 대해 다음 중 하나를 주장할 수 있습니다. x> y또는 y> 엑스.

관련 관계 그래프의 두 정점은 화살표로 연결됩니다. 그 반대도 사실이다.

연결되지 않은 관계가 있습니다. 예를 들어, 그러한 관계는 자연수 집합에 대한 나눗셈 관계입니다. 이러한 수를 x라고 부를 수 있고 와이그 숫자가 없다 NS제수가 아니다 와이번호도 와이제수가 아니다 NS(숫자 17 그리고 11 , 3 그리고 10 등.) .

몇 가지 예를 살펴보겠습니다. 세트에서 X = (1, 2, 4, 8, 12)관계 "숫자 NS숫자의 배수 와이". 이 관계의 그래프를 만들고 그 속성을 공식화합시다.

분수의 등가 관계를 등가 관계라고 합니다.

태도 NS세트에 NS~라고 불리는 등가 관계,반사성, 대칭성 및 전이성의 속성을 동시에 소유하는 경우.

등가 관계의 예는 기하학적 도형의 평등 관계, 직선의 평행도 비율(일치하는 직선이 평행으로 간주되는 경우)입니다.

위에서 고려한 "분수 등식"의 관계에서 집합은 NS세 가지 하위 집합으로 분할: ( ; ; }, {; } , (). 이 부분 집합은 교차하지 않으며 합집합은 집합과 일치합니다. NS, 즉. 우리는 세트의 파티션을 클래스로 가지고 있습니다.

그래서, 등가 관계가 집합 X에 주어지면 이 집합을 쌍으로 분리된 하위 집합(등가 클래스)으로 분할합니다.

따라서 우리는 집합에 대한 평등 관계를 확립했습니다.
NS=(;;;;;)는 이 집합을 등가 클래스로 나누는 것에 해당하며, 각각은 동일한 분수로 구성됩니다.

어떤 등가 관계를 사용하여 집합을 클래스로 나누는 원리는 수학의 중요한 원리입니다. 왜요?

첫째, 등가는 등가, 교환 가능을 의미합니다. 따라서 동일한 등가 클래스의 요소는 서로 교환할 수 있습니다. 따라서 동일한 등가 클래스의 분수(;;), 평등 관계의 측면에서 구별할 수 없으며 분수 예를 들어 다른 것으로 교체할 수 있습니다. . 그리고 이 교체는 계산 결과를 변경하지 않습니다.

둘째, 등가 등급에는 어떤 관계의 관점에서 볼 때 구별할 수 없는 요소가 있기 때문에 등가 등급은 그 대표자 중 누구에 의해 결정된다고 믿어집니다. 클래스의 임의 요소. 따라서 이 클래스에 속하는 분수를 지정하여 동일한 분수 클래스를 지정할 수 있습니다. 한 대표에 의한 동등 클래스는 세트의 모든 요소 대신 동등 클래스의 대표 전체를 연구할 수 있도록 합니다. 예를 들어, 다각형 집합에 정의된 "정점 수가 동일"한 등가 관계는 이 집합을 삼각형, 사각형, 오각형 등의 클래스로 분할합니다. 특정 클래스에 고유한 속성은 해당 클래스의 대표자 중 하나에서 고려됩니다.

셋째, 등가 관계를 사용하여 집합을 클래스로 분할하여 새로운 개념을 도입합니다. 예를 들어, "선 묶음"의 개념은 평행선이 서로 가지고 있는 공통점으로 정의할 수 있습니다.

또 다른 중요한 관계 유형은 순서 관계입니다. 문제를 고려하십시오. NS={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) 관계 "로 나눌 때 나머지가 동일합니다. 3 ". 이 관계는 집합의 파티션을 생성합니다. NS클래스로: 모든 숫자는 3 나머지 0 (이것은 숫자입니다 3, 6, 9 ). 두 번째는 다음으로 나눌 때 숫자를 포함합니다. 3 나머지는 1 (이것은 숫자입니다 4, 7, 10 ). 세 번째는 다음으로 나눌 때 모든 숫자를 포함합니다. 3 나머지는 2 (이것은 숫자입니다 5, 8 ). 실제로 결과 집합은 교차하지 않으며 그 합집합은 집합과 일치합니다. NS... 따라서 관계식은 "로 나눈 나머지가 같습니다. 3 »세트에 정의 NS는 등가 관계입니다.

다른 예를 들자면, 한 학급의 학생 집합을 키나 나이로 정렬할 수 있습니다. 이 관계는 반대칭성과 전이성의 속성을 가지고 있음을 주목하십시오. 또는 모두가 알파벳의 문자 순서를 알고 있습니다. "should" 관계에 의해 제공됩니다.

태도 NS세트에 NS~라고 불리는 엄격한 명령대칭성과 전이성의 속성을 동시에 가지고 있다면. 예를 들어 " NS< 와이».

관계가 반사성, 반대칭성 및 전이성의 속성을 갖는다면 이것은 다음과 같습니다. 느슨한 주문... 예를 들어 " NS와이».

순서 관계의 예는 다음과 같습니다. 자연수 집합에 대한 비율 "덜", 세그먼트 집합에 대한 비율 "짧은" 비율. 순서 관계에도 연결된 속성이 있으면 다음과 같습니다. 선형 순서 관계... 예를 들어, 자연수 집합의 비율은 "적음"입니다.

많이 NS~라고 불리는 질서 있는,주문 관계가 지정된 경우.

예를 들어, 세트 X ={2, 8, 12, 32 )는 "less"(그림 41) 관계를 사용하여 주문할 수 있으며 "multiple"(그림 42) 관계를 사용하여 수행할 수 있습니다. 그러나 순서 관계이기 때문에 "less" 및 "multiple" 관계는 자연수 집합을 다른 방식으로 정렬합니다. 비율 "적음"을 사용하면 집합의 두 숫자를 비교할 수 있습니다. NS, 그리고 비율 "다수"는 그러한 속성을 갖지 않습니다. 그래서, 몇 개의 숫자 8 그리고 12 "다수"라는 관계는 연결되어 있지 않습니다. 8 배수 12 또는 12 배수 8.

모든 관계가 등가관계와 질서관계로 나뉜다고 생각해서는 안 된다. 등가 관계도, 질서 관계도 아닌 수많은 관계가 있습니다.

이산 수학의 기초.

세트의 개념입니다. 집합 간의 관계.

집합 - 하나의 전체로 결합된 특정 속성을 가진 개체 모음입니다.

집합을 구성하는 개체를 호출합니다. 집단세트. 특정 개체 집합이 집합이라고 하려면 다음 조건이 충족되어야 합니다.

· 요소가 주어진 모집단에 속하는지 여부를 결정할 수 있는 규칙이 있어야 합니다.

· 요소들을 서로 구분할 수 있는 규칙이 있어야 합니다.

집합은 대문자로 표시되고 요소는 소문자로 표시됩니다. 세트 지정 방법:

· 집합 요소의 열거. - 유한 집합의 경우.

특성 속성의 사양 .

빈 세트- 원소(Ø)를 포함하지 않는 집합이라고 합니다.

두 집합이 동일한 요소로 구성되어 있으면 동일하다고 합니다. , A = B

많이 NS집합의 부분집합이라고 함 NS(, 집합의 모든 요소가 있는 경우에만 NS세트에 속하다 NS.

예를 들어: , NS =>

재산:

참고: 일반적으로 동일한 e 집합의 하위 집합을 고려합니다. 만능인(유). 유니버설 세트에는 모든 요소가 포함됩니다.

세트 작업.

2.횡단 2개의 집합은 첫 번째 집합과 두 번째 집합에 동시에 속하는 요소로 구성된 새로운 집합이라고 합니다.

번호:,,

속성: 합집합 및 교차 작업.

· 교환성.

· 연관성. ;

· 배포. ;

이진 관계 및 해당 속성.

하자 NS그리고 V이것들은 파생된 성격의 집합입니다. 정렬된 요소 쌍을 고려하십시오. (a, c) a ϵ A, b ϵ B주문한 "enki"를 고려할 수 있습니다.

(a 1, a 2, a 3, ... an), 어디 NS 1 ϵ А 1; NS 2 ϵ А 2; ...; NS N ϵ А n;

데카르트(직접) 집합의 곱 А 1, А 2, ..., А n, 는 순서가 지정된 n k 형식으로 구성된 복수의 숫자라고 합니다.

번호: 미디엄= {1,2,3}

남 × 남 = 남 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

데카르트 곱의 부분집합 정도의 비율이라고 함 N또는 enary 관계. 만약에 N= 2, 다음 고려 바이너리관계. 그들이 뭐라고 1, 2이진 관계에 있습니다 NS, 언제 1 라 2.

집합의 이진 관계 미디엄집합의 직접 곱의 부분집합이라고 합니다. N당신 자신.

남 × 남 = 남 2= {(에이, ㄴ)| a, b ϵ M) 이전 예에서 비율은 세트에서 더 작습니다. 미디엄다음 집합을 생성합니다: ((1,2), (1,3), (2,3))

이진 관계에는 다음과 같은 다양한 속성이 있습니다.

반사성: .

· Anti-reflexivity(비반사성):.

· 대칭:.

· 비대칭:.

· 전이성:.

· 비대칭:.

관계의 유형.

· 등가비;

· 질서의 태도.

v 재귀적 이행 관계를 준순서 관계라고 합니다.

v 반사 대칭 전이 관계를 등가 관계라고 합니다.

v 반사적 비대칭 전이 관계를 (부분) 순서 관계라고 합니다.

v 반반대칭 전이 관계를 엄격한 순서 관계라고 합니다.

분명히, 일반적으로 임의의 이항 관계를 연구하는 것은 특별히 흥미롭지 않으며 그에 대해 말할 수 있는 것이 거의 없습니다. 그러나 관계가 몇 가지 추가 조건을 만족한다면 더 의미 있는 진술을 할 수 있습니다. 이 섹션에서는 이진 관계의 몇 가지 기본 속성을 살펴보겠습니다.

• 1. 집합 X에 대한 이진 관계는 조건 a가 요소 aX에 대해 충족되는 경우 재귀적이라고 합니다.
  • (ㄱ) ㄱ * ㄱ.

관계가 그래프로 표시되는 경우 이 관계의 반사성은 그래프의 각 꼭짓점에 반드시 루프가 있음을 의미합니다.

부울 행렬을 사용하여 주어진 관계의 경우, 반사성은 이 행렬의 주 대각선에 기호 1만 있다는 사실과 동일합니다(왼쪽 상단 모서리에서 오른쪽 하단 모서리로 이동).

2. X에 대한 이항 관계는 a * a 조건이 aX에 대해 충족되지 않는 경우 반사 방지라고 합니다.

우리는 (a, a) 형식의 쌍으로 구성된 집합 X에 대한 관계를 I x로 표시합니다. 여기서 X는 다음과 같습니다.

나는 x = ((a, a) | a X).

관계 Ix는 일반적으로 집합 X의 대각선 또는 X에 대한 항등 관계라고 합니다.

분명히 대각선 I x가 집합의 부분 집합이면 집합 X의 관계는 반사적입니다.

대각선 I x와 관계 b가 단일 요소를 공유하지 않는 경우 관계는 반사 방지적입니다.

• 3. a * b가 b * a를 의미하는 경우 집합 X에 대한 이진 관계를 대칭이라고 합니다.
  • (a, bX) (a * b b * a).

대칭 관계의 예는 다음과 같습니다.

선 세트의 직각도 비율;

원 세트에 대한 접선 관계;

많은 사람들에 대한 "닮고 싶은" 태도;

관계는 많은 동물들에게 "동성(同性)을 가진다".

모든 사람들의 집합에서 "x 형제 y" 관계는 대칭이 아닙니다. 동시에 남성 세트의 "x 형제 y"관계는 대칭입니다.

대칭 관계 그래프에서 정점 x에서 정점 y까지의 각 호에는 y에서 x까지의 호가 있습니다. 따라서 대칭 관계는 방향이 없는 모서리가 있는 그래프로 나타낼 수 있습니다. 이 경우 방향이 지정된 모서리 xy 및 yx의 각 쌍은 방향이 지정되지 않은 모서리로 대체됩니다.

그림 8은 비율을 보여줍니다.

b = ((a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (d, c))

방향성 및 무방향성 그래프를 사용합니다.

쌀. 여덟.

대칭 비율 행렬은 주대각선에 대해 대칭입니다.

정리: 대칭 관계의 모든 패밀리의 합집합과 교차는 다시 대칭 관계입니다.

정의. 다른 요소 a와 b에 대해 a * b와 b * 조건이 동시에 충족되지 않는 경우 집합 X에 대한 이항 관계를 반대칭이라고 합니다.

(a, bX) (a * b & b * a a = b).

예를 들어, 자연수 집합으로 "나누어질 수 있는" 관계는 반대칭입니다. 그 이유는 b와 b a에서 a = b를 따르기 때문입니다. 그러나 정수 집합에서 "나누는" 비율은 (-2) 2와 2(-2) 때문에 대칭이 아니라 -22입니다.

"높은", "무거운", "나이가 많은" 관계는 많은 사람들에게 비대칭입니다. '자매'라는 태도는 모든 사람의 다수에게 비대칭이 아닙니다.

반대칭 관계 그래프에서 두 개의 서로 다른 꼭짓점은 최대 하나의 호로 연결될 수 있습니다.

정의 3.5. 집합 X에 대한 이항 관계 a는 a * b와 b * c의 X가 a * c 다음에 오는 세 요소 a, b, c에 대해 전이적이라고 합니다.

(a, b, c X) (a * b & b * c a * c).

전이 관계의 예는 다음과 같습니다.

관계는 실수 집합으로 "나누어" 있습니다.

실수 집합에 대한 "더 많은" 관계;

다양한 장난감 사람들에 대한 "나이 든"의 태도;

여러 개의 어린이 장난감에 동일한 색상 관계가 있습니다.

e) 일련의 사람들에 대한 "후손이 되는" 관계.

"가신"이라는 봉건적 태도는 전이적이지 않습니다. 이것은 일부 역사 책에서 특히 강조됩니다. "내 가신의 가신은 내 가신이 아닙니다."

다수의 사람들에게서 "닮고자 하는" 태도는 전이성의 속성을 가지고 있지 않습니다.

임의의 관계에 대해 ab와 같은 최소 전이 관계를 찾을 수 있습니다. 그러한 관계는 관계의 전이적 폐쇄입니다.

예 3.1. "자식"이 되는 사람들의 집합에 대한 이진 관계의 전이적 폐쇄는 "후손이 되기 위한" 관계입니다.

정리는 사실입니다.

정리 3.2. 모든 관계에 대해 전이적 폐쇄는 하위 집합을 포함하는 모든 전이적 관계의 교차점과 같습니다.

정의 3.6. 집합 X에 대한 이진 관계는 a * b 또는 b * a가 두 개의 다른 요소 a와 b에 대해 유지되는 경우 연결이라고 합니다.

(a, b, c X) (ab a * b b * a).

연결된 관계의 예는 실수 집합에 대한 보다 큼 관계입니다. 정수 집합에서 "나누는" 관계는 연결되어 있지 않습니다.

4. 관계의 불변성

이 섹션에서는 작업이 수행될 때 관계의 특정 속성이 보존되는 몇 가지 경우를 나열합니다.

정리 4.4. 대칭 관계의 곱이 대칭이 되기 위해서는 관계와 통근이 필요하고 충분합니다.

등가 관계

이진 관계의 중요한 유형은 등가 관계입니다.

정의 1. 집합 X에 대한 이항 관계는 반사, 대칭 및 추이인 경우 X에 대한 등가 관계라고 합니다.

등가 관계는 종종 ~로 표시됩니다.

등가 관계의 예는 다음과 같습니다.

항등 관계 I X = ((a, a) | aX) 비어 있지 않은 집합 X;

평면의 직선 세트에 대한 평행도의 관계;

평면 도형 세트의 유사성 관계;

방정식 세트에 대한 등가 관계;

관계는 정수 집합에서 "고정된 자연수 m으로 나눌 때 동일한 나머지를 가집니다". 수학에서 이 관계는 모듈로 m 비교 가능성의 관계라고 하며 ab(mod m)로 표시됩니다.

많은 동물에 대한 "동일한 종에 속하는" 관계;

다수의 사람들에 대한 "관련된" 태도;

많은 사람들에 대한 "같은 키"의 태도;

많은 사람들에 대한 "한 집에 산다"는 태도.

사람들의 집합에 대한 "같은 거리에 산다", "닮다" 관계는 전이 속성을 소유하지 않기 때문에 등가 관계가 아닙니다.

위에서 열거한 이분법적 관계의 속성으로부터 등가관계의 교집합은 등가관계임을 알 수 있다.

등가 클래스

집합을 클래스로 분할하는 것은 등가 관계와 밀접한 관련이 있습니다.

정의 1. 비어 있지 않은 부분 집합의 시스템

(남 1, 남 2, ...)

집합 M의 다음과 같은 경우 이 집합의 분할이라고 합니다.

집합 M 1, M 2,… 자체를 주어진 파티션의 클래스라고 합니다.

파티션의 예는 다음과 같습니다.

삼각형, 사각형, 오각형 등 정점 수에 따라 모든 다각형을 그룹으로 분해;

각의 속성에 따라 모든 삼각형 분할(예각, 직사각형, 둔각);

측면의 속성에 따라 모든 삼각형을 분할합니다(다용도, 이등변, 정변).

모든 삼각형을 유사한 삼각형의 클래스로 분할합니다.

주어진 학교의 모든 학생 집합을 클래스로 나눕니다.

현대 과학에서 등가 관계의 광범위한 사용은 등가 관계가 정의된 집합을 일반적으로 새로운 대상으로 간주되는 클래스로 분할한다는 사실에 기인합니다. 즉, 등가 관계의 도움으로 새로운 대상과 개념이 생성됩니다.

예를 들어, 광선의 동방향성의 비율은 평면 또는 공간의 모든 광선 세트를 공동 지향 광선의 클래스로 분할합니다. 이러한 광선의 각 클래스를 방향이라고 합니다. 따라서 직관적인 방향 개념은 등가 관계를 사용하여 광선 집합을 분할하는 클래스로 정확한 수학적 설명을 받습니다.

이러한 도형은 일반적으로 같은 모양이라고 합니다. 그러나 기하학적 도형의 모양은 무엇입니까? 이것이 그러한 수치를 하나로 묶는 공통적인 것이라는 것이 직관적으로 분명합니다. 등가 관계의 도움으로 이 직관적인 개념을 정확한 수학적 개념으로 번역하는 것이 가능합니다. 등가 관계인 유사성 관계는 그림 집합을 유사한 그림의 클래스로 나눕니다. 이러한 각 클래스를 양식이라고 부를 수 있습니다. 그러면 "두 개의 동일한 도형이 같은 모양을 갖는다"라는 표현은 "두 개의 유사한 도형이 같은 모양에 속한다"라는 정확한 의미를 갖습니다.

등가 관계는 집합을 클래스로 분할할 때마다 발생합니다. 우리는 종종 그것을 눈치 채지 않고 사용합니다.

기본적인 예를 들어보겠습니다. 아이들이 여러 가지 색색의 장난감(예: Dienes 블록)을 가지고 놀고 장난감을 색깔별로 분류하는 문제를 풀 때 "하나의 색을 갖고 있다"는 태도를 사용합니다. 흑백 인물의 결과 클래스는 어린이에게 빨간색, 노란색, 파란색 등의 새로운 개념으로 인식됩니다.

마찬가지로 모양의 블록을 분해하는 문제를 해결한 결과 어린이는 각 클래스를 직사각형, 원형, 삼각형 등의 모양으로 인식합니다.

집합 M에 정의된 등가 관계와 집합 M의 클래스 분할 간의 연결은 다음 두 가지 정리에 설명되어 있습니다.

정리 1 비어 있지 않은 집합 M을 클래스로 분할하면 다음과 같이 이 집합에 대한 등가 관계를 정의(유도)합니다.

동일한 클래스의 두 요소가 관계에 있습니다.

다른 클래스의 두 요소는 관계에 있지 않습니다. 증거. 비어 있지 않은 집합 M의 일부 파티션이 있다고 가정합니다. xay(K)(xK & yK)와 같이 이진 관계를 정의합니다.

즉, 집합 M의 두 요소 x와 y는 요소 x와 y를 동시에 포함하는 파티션에 클래스 K가 있는 경우에만 관계에 의해 관련됩니다.

이렇게 정의된 관계는 분명히 반사적이고 대칭적입니다. 관계의 전이성을 증명하자. x * y와 x * z라고 하자. 그러면 정의에 따라 x, yK 1 및 y, zK 2와 같은 클래스 K 1 및 K 2가 존재합니다. 파티션의 다른 클래스에는 공통 요소가 없으므로 K 1 = K 2, 즉 x, z K 1입니다. 따라서 필요에 따라 x * z입니다.

정리 2. 비어 있지 않은 집합 M의 등가 관계는 동일한 클래스의 두 요소가 관계에 있도록 이 집합을 등가 클래스로 분할합니다.

다른 클래스의 두 요소는 관계에 있지 않습니다.

증거. b를 집합 M에 대한 등가 관계라고 하자. 각 요소 x에 대해 요소 x와 관련된 모든 요소 y로 구성된 집합 M의 부분 집합 [x]를 연결합니다.

부분 집합 [x]의 시스템은 집합 M의 분할을 형성합니다. 실제로, 먼저 각 부분 집합 [x] O는 관계 x [x]의 반사성에 의해 발생합니다.

둘째, 두 개의 별개의 하위 집합 [x]와 [y]에는 공통 요소가 없습니다. 모순으로 주장하면서 z [x] 및 z [y]와 같은 요소 z가 있다고 가정합니다. 그런 다음 zax와 zay. 따라서 a * x, z * x 및 z * y의 모든 요소 a [x]에 대해 관계의 대칭성과 전이성으로 인해 a * y, 즉 a [y]를 따릅니다. 따라서 [x] [y]입니다. 유사하게, 우리는 [y] [x]를 얻습니다. 결과적으로 두 개의 내포물은 평등 [x] = [y]를 의미하며, 이는 하위 집합 [x]와 [y]가 일치하지 않는다는 가정과 모순됩니다. 따라서 [x] y] = O입니다.

셋째, 모든 부분 집합 [x]의 합집합은 집합 M과 일치합니다. 왜냐하면 임의의 요소 xM에 대해 조건 x [x]가 충족되기 때문입니다.

따라서 부분 집합 [x]의 시스템은 집합 M의 분할을 형성합니다. 구성된 분할이 정리의 조건을 만족한다는 것을 쉽게 보여줍니다. 정리에 표시된 속성을 가진 집합 M의 분할은 에 대한 집합 M의 몫이라고 하며 M / b로 표시됩니다.