수학 진자지구의 중력장에 위치한 무중력 및 확장할 수 없는 실에 매달린 물질 지점입니다. 수학적 진자는 특정 조건에서만 실제 진자를 올바르게 설명하는 이상적인 모델입니다. 실의 길이가 매달린 본체의 치수보다 훨씬 크고 실의 무게가 본체의 질량에 비해 무시할 수 있고 실의 변형이 매우 작은 경우 실제 진자는 수학적인 것으로 간주될 수 있습니다. 완전히 무시할 수 있다는 것입니다.

이 경우 진동 시스템은 실, 그것에 부착 된 몸체 및 지구에 의해 형성되며이 시스템이 없으면이 시스템이 진자 역할을 할 수 없습니다.

어디 NS NS – 가속, NS - 중력 가속도, NS- 오프셋, 엘진자 스레드의 길이입니다.

이 방정식은 수학 진자의 자유 진동 방정식.다음 가정이 충족되는 경우에만 고려되는 변동을 올바르게 설명합니다.

2) 스윙 각도가 작은 진자의 작은 진동만 고려됩니다.

모든 경우에 시스템의 자유 진동은 유사한 방정식으로 설명됩니다.

수학 진자의 자유 진동에 대한 이유는 다음과 같습니다.

1. 장력과 중력이 진자에 작용하여 평형 위치에서 변위를 방지하고 다시 하강하도록 합니다.

2. 진자의 관성으로 인해 속도를 유지하면서 평형 위치에서 멈추지 않고 더 멀리 통과합니다.

수학 진자의 자유 진동 주기

수학 진자의 자유 진동주기는 질량에 의존하지 않고 진자가 위치한 곳의 실의 길이와 중력 가속도에 의해서만 결정됩니다.

고조파 진동으로 에너지 변환

스프링 진자의 조화 진동 동안 탄성적으로 변형된 몸체의 위치 에너지는 운동 에너지로 변환됩니다. 케이 – 탄성 계수, NS -평형 위치에서 진자의 변위 계수, 미디엄는 진자의 질량, V속도입니다. 고조파 진동 방정식에 따르면:

, .

스프링 진자의 총 에너지:

.

수학 진자의 총 에너지:

수학 진자의 경우

스프링 진자의 진동 중 에너지 변환은 기계적 에너지 보존 법칙에 따라 발생합니다( ). 진자가 평형 위치에서 아래로 또는 위로 움직일 때 위치 에너지는 증가하고 운동 에너지는 감소합니다. 진자가 평형 위치를 지날 때( NS= 0), 위치 에너지는 0이고 진자의 운동 에너지는 총 에너지와 동일한 가장 큰 값을 갖습니다.

따라서 진자의 자유 진동 과정에서 위치 에너지는 운동 에너지로, 운동 에너지는 위치 에너지로, 위치 에너지는 다시 운동 에너지로 바뀌는 식입니다. 그러나 총 역학적 에너지는 변하지 않습니다.

강제 진동. 공명.

외부의 주기적인 힘의 작용으로 발생하는 진동을 강요된 망설임... 강제력이라고 하는 외부 주기적 힘은 마찰로 인한 에너지 손실을 보충하는 데 사용되는 진동 시스템에 추가 에너지를 전달합니다. 구동력이 사인 또는 코사인 법칙에 따라 시간에 따라 변경되면 강제 진동은 조화되고 감쇠되지 않습니다.

자유 진동과 달리 시스템이 한 번만 에너지를 받으면(시스템이 평형 상태에서 제거될 때) 강제 진동의 경우 시스템은 외부 주기적인 힘의 소스에서 이 에너지를 지속적으로 흡수합니다. 이 에너지는 마찰을 극복하는 데 소비되는 손실을 보상하므로 진동 시스템의 총 에너지는 변하지 않습니다.

강제 진동의 주파수는 구동력의 주파수와 같습니다.... 구동력의 주파수가 υ 진동 시스템의 고유 주파수와 일치 υ 0 , 강제 진동의 진폭이 급격히 증가합니다. 공명. 공명은 다음과 같은 사실 때문에 발생합니다. υ = υ 0 자유 진동과 함께 시간에 작용하는 외력은 항상 진동체의 속도와 함께 지시되고 긍정적인 작업을 수행합니다. 진동체의 에너지가 증가하고 진동의 진폭이 커집니다. 강제 진동의 진폭 의존성 그래프 NS NS 구동력의 주파수에 대해 υ 그림에 표시된 이 그래프를 공명 곡선이라고 합니다.

공명 현상은 여러 자연, 과학 및 산업 과정에서 중요한 역할을 합니다. 예를 들어, 교량, 건물 및 하중이 가해지는 기타 구조물을 설계할 때 공진 현상을 고려해야 합니다. 그렇지 않으면 특정 조건에서 이러한 구조물이 파괴될 수 있습니다.

수학 진자 그것은 몸의 질량에 비해 그 질량은 무시할 수있는 얇은 확장 불가능한 실에 매달려있는 작은 크기의 몸체라고합니다. 평형 위치에서 진자가 연직선을 따라 매달릴 때 중력의 힘은 실의 장력에 의해 균형을 이룹니다. 진자가 평형 위치에서 특정 각도 φ만큼 편향되면 중력의 접선 성분 나타난다 NS τ = - mg죄 φ (그림 2.3.1). 이 공식에서 빼기 기호는 접선 성분이 진자의 처짐과 반대 방향으로 향함을 의미합니다.

로 나타내면 NS반지름의 원호를 따라 평형 위치에서 진자의 선형 변위 엘, 그러면 각 변위는 φ = NS / 엘... 접선 방향에 대한 가속도 및 힘 벡터의 투영에 대해 작성된 뉴턴의 두 번째 법칙은 다음을 제공합니다.

이 관계는 수학 진자가 복소수임을 보여줍니다. 비선형진자를 평형 위치로 되돌리려는 힘은 변위에 비례하지 않기 때문에 시스템 NS, NS

경우에만작은 변동 대략 언제로 대체할 수 있습니다수학 진자는 고조파 발진기입니다., 즉 고조파 진동을 수행할 수 있는 시스템입니다. 실제로 이 근사치는 15-20 ° 정도의 각도에 유효합니다. 이 경우 값은 2% 이하입니다. 큰 진폭에서 진자의 진동은 조화롭지 않습니다.

수학 진자의 작은 진동에 대해 뉴턴의 두 번째 법칙은 다음 형식으로 작성됩니다.

따라서 접선 가속도 NS진자의 τ는 변위에 비례합니다 NS반대 기호로 찍은. 이것이 바로 시스템이 고조파 발진기인 조건입니다. 자유 조화 진동을 수행할 수 있는 모든 시스템에 대한 일반적인 규칙으로 평형 위치로부터의 가속도와 변위 사이의 비례 계수의 계수는 각주파수의 제곱과 같습니다.

이 공식은 수학 진자의 작은 진동의 고유 주파수 .

따라서,

수평 회전축에 고정된 물체는 중력장에서 자유 진동을 수행할 수 있으므로 진자이기도 합니다. 이러한 진자는 일반적으로 물리적 인 (그림 2.3.2). 그것은 질량 분포에서만 수학과 다릅니다. 안정된 평형상태에서 질량중심은 씨물리적 진자는 축을 통과하는 수직에서 회전 축 O 아래에 있습니다. 진자가 각도 φ만큼 편향되면 중력 모멘트가 발생하여 진자를 평형 위치로 되돌리는 경향이 있습니다.

미디엄 = -(mg죄 φ) NS.

여기 NS- 회전축과 질량 중심 사이의 거리 씨.

그림 2.3.2. 물리적 진자

이 공식의 빼기 기호는 평소와 같이 힘의 모멘트가 평형 위치에서 벗어난 반대 방향으로 진자를 돌리는 경향이 있음을 의미합니다. 수학 진자의 경우와 같이 모멘트를 되돌려 미디엄비례항. 이것은 물리적 진자가 자유 조화 진동을 수행할 수 있는 작은 각도에서만 의미합니다. 미세한 변동의 경우

물리적 진자에 대한 뉴턴의 두 번째 법칙은 다음 형식을 취합니다.

여기서 ε은 진자의 각가속도, NS- 회전축에 대한 진자의 관성 모멘트 영형... 가속도와 변위 사이의 비례 계수의 계수는 각주파수의 제곱과 같습니다.

여기 ω 0 - 물리적 진자의 작은 진동의 고유 진동수 .

따라서,

ω 0 및 NS각 가속도와 각 변위 사이의 수학적 관계를 고려하면 수행할 수 있습니다. 각 가속도 ε는 시간에 대한 각 변위 φ의 2차 도함수입니다.

따라서 물리적 진자에 대한 뉴턴의 제2법칙을 표현하는 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이것은 자유 고조파 진동의 방정식입니다.

이 방정식의 계수는 물리적 진자의 자유 조화 진동의 원형 주파수의 제곱의 의미를 갖습니다.

회전축의 평행이동에 대한 정리(슈타이너의 정리), 관성모멘트 NS관성 모멘트로 표현 가능 NS씨질량 중심을 지나는 축에 대해 씨진자와 회전축에 평행:

마지막으로 물리적 진자의 자유 진동의 원형 주파수 ω 0 에 대해 다음 식이 얻어진다.

와 함께진상탐구정의에 대해가다행성

10.4. 고조파 진동에 대한 에너지 보존 법칙

10.4.1. 에너지 절약 기계적 조화 진동

수학 진자의 진동 동안 에너지 보존

고조파 진동으로 시스템의 전체 기계적 에너지는 보존됩니다(일정하게 유지됨).

수학 진자의 총 역학적 에너지

E = W k + W p,

여기서 W k - 운동 에너지, W k = = mv 2/2; W p - 위치 에너지, W p = mgh; m은 화물의 질량입니다. g - 자유 낙하 가속 모듈; v - 화물 속도의 계수; h - 평형 위치 위의 하중 리프팅 높이 (그림 10.15).

고조파 진동으로 수학적 진자는 여러 연속 상태를 통과하므로 세 가지 위치에서 수학적 진자의 에너지를 고려하는 것이 좋습니다(그림 10.15 참조).

쌀. 10.15

1) 에서 평형 위치

위치 에너지는 0입니다. 총 에너지는 최대 운동 에너지와 일치합니다.

E = W k 최대;

2) 안에 극단적인 위치(2) 몸체가 초기 높이보다 최대 높이 hmax까지 올라가므로 위치 에너지도 최대입니다.

W p 최대 = m g h 최대;

운동 에너지는 0입니다. 총 에너지는 최대 위치 에너지와 일치합니다.

E = 최대 Wp;

3) 안에 중간 위치(3) 몸체는 순간 속도 v를 가지며 초기 레벨보다 특정 높이 h까지 상승하므로 총 에너지는 다음과 같습니다.

E = m v 2 2 + m g h,

어디서 mv 2/2 - 운동 에너지; mgh - 위치 에너지; m은 화물의 질량입니다. g - 자유 낙하 가속 모듈; v - 화물 속도의 계수; h는 평형 위치 위의 하중 리프팅 높이입니다.

수학적 진자의 조화 진동으로 총 기계적 에너지는 보존됩니다.

E = 상수

세 위치에서 수학 진자의 총 에너지 값은 표에 반영됩니다. 10.1.

№	위치	승	승	E = W p + W k
1	평형	0	m v 최대 2/2	m v 최대 2/2
2	극심한	mgh 최대	0	mgh 최대
3	중급(인스턴트)	mgh	뮤직비디오 2/2	mv 2/2 + mgh

표의 마지막 열에 표시된 총 기계적 에너지 값. 10.1, 수학적 표현인 진자의 모든 위치에 대해 동일한 값을 갖습니다.

m v 최대 2 2 = m g h 최대;

m v 최대 2 2 = m v 2 2 + m g h;

m g h 최대 = m v 2 2 + m g h,

여기서 m은 화물의 질량입니다. g - 자유 낙하 가속 모듈; v는 위치 3에서 부하의 순간 속도 계수입니다. h - 위치 3의 평형 위치 위의 하중 리프팅 높이; v max - 위치 1에서 최대 화물 속도의 계수; h max는 위치 2의 평형 위치 위의 하중의 최대 리프팅 높이입니다.

실 편향각수직으로부터의 수학 진자(그림 10.15)는 다음 식에 의해 결정됩니다.

코사인 α = l - h l = 1 - h l,

여기서 l은 스레드의 길이입니다. h는 평형 위치 위의 하중 리프팅 높이입니다.

최대 각도편차 α max는 평형 위치 h max 위의 하중의 최대 리프팅 높이에 의해 결정됩니다.

cos α 최대 = 1 - h 최대 l.

예 11. 수학 진자의 작은 진동 주기는 0.9초입니다. 공이 평형 위치를 지나 1.5m/s의 속도로 움직이면 나사산이 수직선에서 최대 각도로 어느 정도 벗어날까요? 시스템에 마찰이 없습니다.

해결책 . 그림은 수학 진자의 두 위치를 보여줍니다.

• 평형 위치 1(볼의 최대 속도 v max로 특성화됨);
• 극단 위치 2(볼의 최대 높이가 평형 위치 위로 h max 상승하는 것을 특징으로 함).

원하는 각도는 평등에 의해 결정됩니다.

cos α 최대 = l - h 최대 l = 1 - h 최대 l,

여기서 l은 진자 실의 길이입니다.

우리는 총 역학적 에너지 보존 법칙에서 평형 위치 위로 올라가는 진자 공의 최대 높이를 찾습니다.

평형 위치와 극단 위치에서 진자의 총 에너지는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

• 평형 위치에서 -

E 1 = m v 최대 2 2,

여기서 m은 진자 공의 질량입니다. v max는 평형 위치(최대 속도)에서 공 속도의 계수입니다. v max = 1.5m / s;

• 극단적인 위치에 -

E 2 = mgh 최대,

여기서 g는 중력 가속도의 계수입니다. h max는 평형 위치 위로 올라가는 볼의 최대 높이입니다.

총 역학적 에너지 보존 법칙:

m v max 2 2 = m g h max.

이로부터 평형 위치 위로 올라가는 공의 최대 높이를 표현해보자.

h 최대 = v 최대 2 2 g.

실의 길이는 수학 진자의 진동 주기 공식에서 결정됩니다.

T = 2 π l g,

저것들. 스레드 길이

내가 = T 2 g 4 π 2.

원하는 각도의 코사인을 식에서 h max 및 l로 대체합니다.

cos α 최대 = 1 - 2 π 2 v 최대 2 g 2 T 2

대략적인 평등 π 2 = 10을 고려하여 계산합니다.

cos α 최대 = 1 - 2 ⋅ 10 ⋅ (1.5) 2 10 2 ⋅ (0.9) 2 = 0.5.

최대 편향 각도는 60 °입니다.

엄밀히 말하면 60° 각도에서 공의 진동이 작지 않고 수학 진자의 진동 주기에 대한 표준 공식을 사용하는 것은 부적절합니다.

스프링 진자의 진동 동안 에너지 보존

스프링 진자의 총 기계적 에너지운동 에너지와 위치 에너지로 구성됩니다.

E = W k + W p,

여기서 W k - 운동 에너지, W k = mv 2/2; W p - 위치 에너지, W p = k(Δx) 2/2; m은 화물의 질량입니다. v - 화물 속도의 계수; k - 스프링의 강성 계수(탄성); Δx - 스프링의 변형(장력 또는 압축)(그림 10.16).

국제 단위계에서 기계적 진동 시스템의 에너지는 줄(1 J)로 측정됩니다.

조화 진동으로 스프링 진자는 여러 연속 상태를 통과하므로 세 위치에서 스프링 진자의 에너지를 고려하는 것이 좋습니다(그림 10.16 참조).

1) 에서 평형 위치(1) 물체의 속도는 최대값 v max를 가지므로 운동 에너지도 최대값입니다.

W k 최대 = m v 최대 2 2;

스프링이 변형되지 않기 때문에 스프링의 위치 에너지는 0입니다. 총 에너지는 최대 운동 에너지와 일치합니다.

E = W k 최대;

2) 안에 극단적인 위치(2) 스프링은 최대 변형(Δx max)을 가지므로 위치 에너지도 최대값을 갖습니다.

W p 최대 = k (Δ x 최대) 2 2;

신체의 운동 에너지는 0입니다. 총 에너지는 최대 위치 에너지와 일치합니다.

E = 최대 Wp;

3) 안에 중간 위치(3) 몸체는 순간 속도 v를 가지며, 이 순간 스프링에는 약간의 변형(Δx)이 있으므로 총 에너지는 합입니다.

E = m v 2 2 + k(Δ x) 2 2,

어디서 mv 2/2 - 운동 에너지; k (Δx) 2/2 - 위치 에너지; m은 화물의 질량입니다. v - 화물 속도의 계수; k - 스프링의 강성 계수(탄성); Δx - 스프링의 변형(장력 또는 압축).

스프링 진자의 하중이 평형 위치에서 변위되면 다음과 같이 작용합니다. 회복력, 진자의 이동 방향에 대한 투영은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

Fx = -kx,

여기서 x는 평형 위치에서 스프링 진자의 무게 변위, x = ∆x, ∆x는 스프링의 변형입니다. k - 진자 스프링의 강성 계수(탄성).

스프링 진자의 조화 진동으로 전체 기계적 에너지가 보존됩니다.

E = 상수

세 위치에서 스프링 진자의 총 에너지 값이 표에 나와 있습니다. 10.2.

№	위치	승	승	E = W p + W k
1	평형	0	m v 최대 2/2	m v 최대 2/2
2	극심한	k(Δx 최대) 2/2	0	k(Δx 최대) 2/2
3	중급(인스턴트)	k(Δx) 2/2	뮤직비디오 2/2	mv 2/2 + k(Δx) 2/2

표의 마지막 열에 표시된 총 기계적 에너지의 값은 수학적 표현인 진자의 모든 위치에 대해 동일한 값을 갖습니다 총 역학적 에너지 보존 법칙:

m v 최대 2 2 = k(Δ x 최대) 2 2;

m v 최대 2 2 = m v 2 2 + k(Δ x) 2 2;

k(Δ x 최대) 2 2 = m v 2 2 + k(Δ x) 2 2,

여기서 m은 화물의 질량입니다. v는 위치 3에서 부하의 순간 속도 계수입니다. Δx - 위치 3에서 스프링의 변형(장력 또는 압축); v max - 위치 1에서 최대 화물 속도의 계수; Δx max - 위치 2에서 스프링의 최대 변형(장력 또는 압축).

예 12. 스프링 진자는 조화 진동을 수행합니다. 평형 위치에서 몸의 변위가 진폭의 1/4인 순간의 운동 에너지는 전위보다 몇 배나 더 큽니까?

해결책 . 스프링 진자의 두 위치를 비교해 보겠습니다.

• 극단 위치 1(평형 위치 x max로부터의 진자 하중의 최대 변위를 특징으로 함);
• 중간 위치 2 (평형 위치 x 및 속도 v →에서 변위의 중간 값으로 특성화됨).

극단 및 중간 위치에서 진자의 총 에너지는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

• 극단적인 위치에 -

E 1 = k(Δ x 최대) 2 2,

여기서 k는 스프링의 강성(탄성) 계수입니다. ∆x max - 진동 진폭(평형 위치에서 최대 변위), ∆x max = A;

• 중간 위치에서 -

E 2 = k(Δ x) 2 2 + m v 2 2,

여기서 m은 진자 하중의 질량입니다. ∆x - 평형 위치에서 하중의 변위, ∆x = A / 4.

스프링 진자의 총 역학적 에너지 보존 법칙은 다음과 같습니다.

k(Δ x 최대) 2 2 = k(Δ x) 2 2 + m v 2 2.

서면 평등의 양변을 k(∆x) 2/2로 나눕니다.

(Δ x 최대 Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p,

여기서 W k는 중간 위치에서 진자의 운동 에너지, W k = mv 2/2입니다. W p는 중간 위치에서 진자의 위치 에너지, W p = k(∆x) 2/2입니다.

다음 방정식에서 필요한 에너지 비율을 표현해 보겠습니다.

W k W p = (Δ x 최대 Δ x) 2 - 1

값을 계산합니다.

W k W p = (A A / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15.

지정된 시간에 진자의 운동 에너지와 위치 에너지의 비율은 15입니다.

스프링(그림 4)에 부착된 몸체가 평형 위치에서 거리 A만큼 예를 들어 왼쪽으로 편향되면 평형 위치를 통과한 후 오른쪽으로 편향됩니다. 이것은 에너지 보존 법칙에 따릅니다.

압축되거나 늘어난 스프링의 위치 에너지는 다음과 같습니다.

여기서 k는 스프링의 강성이고 x는 연신율입니다. 맨 왼쪽 위치에서 스프링의 신장 x = - A, 따라서 위치 에너지는

속도가 0과 같기 때문에 이 순간의 운동 에너지는 0과 같습니다. 이것은 위치 에너지가 이 순간 시스템의 전체 기계적 에너지임을 의미합니다. 마찰력이 0이고 다른 힘이 균형을 이룬다는 데 동의하면 시스템이 닫힌 것으로 간주될 수 있으며 전체 에너지는 운동 중에 변경할 수 없습니다. 운동 중인 물체가 가장 오른쪽 위치(x = A)에 있을 때 운동 에너지는 다시 0이 되고 총 에너지는 다시 포텐셜 에너지와 같습니다. 그리고 총 에너지는 바뀔 수 없습니다. 따라서 다시 같음

이것은 몸체가 A와 같은 거리만큼 오른쪽으로 벗어남을 의미합니다.

반대로 평형 위치에서는 스프링이 변형되지 않기 때문에 위치 에너지는 0입니다. x = 0입니다. 이 위치에서 신체의 총 에너지는 운동 에너지와 같습니다.

여기서 m은 물체의 질량이고 속도입니다(현재 최대값). 그러나 이 운동 에너지도 동일한 값을 가져야 합니다. 결과적으로 진동 운동 중에 운동 에너지가 위치 에너지로 또는 그 반대로 변환이 발생합니다. 평형 위치와 최대 처짐 위치 사이의 모든 지점에서 신체는 운동 에너지와 잠재력을 모두 갖지만 그 합은 신체의 모든 위치에서 총 에너지는 같습니다. 진동체의 총 기계적 에너지 W는 진폭과 진동의 제곱에 비례합니다.

진자. 수학 진자

진자는 무게 중심이 매달린 지점 아래에 있도록 매달린 물체입니다. 이것은 로프에 매달린 하중이 벽시계의 진자와 유사한 진동 시스템임을 의미합니다. 자유진동이 가능한 모든 계는 안정된 평형위치를 갖는다. 진자의 경우 무게 중심이 서스펜션 지점 아래 수직선에 있는 위치입니다. 진자를 이 위치에서 빼거나 ​​밀면 진동하기 시작하여 평형 위치에서 한 방향 또는 다른 방향으로 벗어납니다. 진자가 도달하는 평형 위치에서 가장 큰 편차를 진동의 진폭이라고 합니다. 진폭은 진자가 움직이도록 설정된 초기 편향 또는 푸시에 의해 결정됩니다. 이 속성(운동 시작 시 조건에 대한 진폭의 의존성)은 진자의 자유 진동의 특징일 뿐만 아니라 일반적으로 매우 많은 진동 시스템의 자유 진동에 대한 특징입니다.

물리적 진자의 진동 주기는 많은 상황에 따라 달라집니다. 신체의 크기와 모양, 무게 중심과 매달린 지점 사이의 거리, 이 지점에 대한 체중 분포; 따라서 정지 된 신체의 기간을 계산하는 것은 다소 어려운 작업입니다. 상황은 수학 진자의 경우 더 간단합니다. 수학적 진자는 가는 실에 매달린 추로, 그 치수는 실의 길이보다 훨씬 작고 만나의 질량은 실의 질량보다 큽니다. 즉, 몸체(하중)와 나사산은 하중이 물질의 점으로 간주될 수 있고 나사산이 무중력 상태가 되도록 해야 합니다. 이러한 진자의 관찰을 통해 다음과 같은 간단한 법칙을 설정할 수 있습니다.

1. 같은 길이의 진자(매달린 지점에서 하중 중심까지의 거리)를 유지하면서 다른 추를 매달면, 추의 질량은 크게 다르지만 진동 주기는 같습니다. . 수학 진자의 주기는 하중의 질량에 의존하지 않습니다.

2. 궤적의 어느 지점에서나 신체에 작용하는 Sida는 평형 위치를 향하고 평형 지점 자체는 0과 같습니다.

3. 힘은 평형 위치에서 신체의 편차에 비례합니다.

쌀. 5.

4. 진자를 시작할 때 다른 각도(너무 크지는 않은)로 편향시키면 진폭은 다르지만 같은 주기로 진동합니다. 진폭이 너무 크지 않은 한 진동은 고조파 형태에 충분히 가깝고 수학 진자의 주기는 진동의 진폭에 의존하지 않습니다. 이 속성은 isochronism이라고합니다 (그리스어 "isos"- 같음, "chronos"- 시간).

이 사실은 1655년에 갈릴레오에 의해 처음 확인되었으며, 다음과 같은 상황에서 추정됩니다. 갈릴레오는 피사 대성당에서 긴 사슬에 달린 샹들리에(정교회에서는 중앙 샹들리에, 많은 양초나 아이콘 램프가 있는 램프)가 흔들리는 것을 관찰했는데, 불이 붙었을 때 밀렸다. 예배 중에 그네 그네가 점차 희미 해졌습니다 (8 장). 즉, 그네 진폭이 감소했지만 기간은 동일하게 유지되었습니다. 갈릴레오는 시간의 지표로 자신의 맥박을 사용했습니다.

진자의 이러한 특성은 놀랍고 유용할 뿐만 아니라 유용한 것으로 판명되었습니다. 갈릴레오는 시계의 조절기로 진자를 사용할 것을 제안했습니다. 갈릴레오 시대에 시계는 추로 작동되었고 풍차 블레이드와 같은 조잡한 장치를 사용하여 공기 저항을 사용하여 스트로크를 조정했습니다. 무작위 돌풍에 의해 큰 진동과 작은 진동이 동시에 발생하기 때문에 진자는 동일한 시간 간격을 계산하는 데 사용할 수 있습니다. 갈릴레오로부터 1세기 후에 진자 시계가 사용되기 시작했지만 선원들은 여전히 ​​바다에서 경도를 측정하기 위해 정확한 시계가 필요했습니다. 시간을 충분히 정확하게 측정할 수 있는 해양 시계를 만든 공로로 상이 발표되었습니다. 상은 플라이휠(밸런스)과 스트로크를 조절하는 특수 스프링을 사용하는 크로노미터로 Garisson에게 돌아갔습니다.

이제 수학 진자의 진동 주기에 대한 공식을 도출해 보겠습니다.

진자가 흔들릴 때, 하중은 이동 중에 변하는 복귀력 P 1의 작용에 따라 호 VA(그림 5, a)를 따라 가속 이동합니다.

일정하지 않은 힘의 영향으로 신체 움직임을 계산하는 것은 다소 복잡합니다. 따라서 편의상 다음과 같이 진행합니다.

진자가 한 평면에서 진동하지 않고 원추형을 묘사하여 하중이 원을 그리도록 합시다(그림 5, b). 이 움직임은 두 개의 독립적인 진동을 추가한 결과 얻을 수 있습니다. 하나는 여전히 도면 평면에 있고 다른 하나는 수직 평면에 있습니다. 분명히, 이 두 평면 진동의 주기는 동일합니다. 왜냐하면 어떤 진동 평면도 다른 진동 평면과 다르지 않기 때문입니다. 결과적으로 복잡한 운동의 기간 - 원뿔을 따라 진자의 회전 -은 한 평면에서 스윙의 기간과 동일합니다. 이 결론은 두 개의 동일한 진자를 가지고 하나는 평면에서 스윙하고 다른 하나는 원뿔을 따라 회전하도록 지시하는 직접적인 실험으로 쉽게 설명할 수 있습니다.

그러나 "원추형"진자의 회전 기간은 하중으로 설명되는 원의 길이를 속도로 나눈 값과 같습니다.

수직으로부터의 편차 각도가 작은 경우(작은 진폭!) 그러면 복귀력 P 1이 BC 원의 반경을 따라 향한다고 가정할 수 있습니다. 즉, 구심력과 같습니다.

한편, 삼각형 OBC와 DBE의 유사성으로부터 BE: BD = CB: OB를 따른다. OB = l, CB = r, BE = P 1이므로

두 식 Р 1을 서로 동일시하면 순환 속도를 얻습니다.

마지막으로 이것을 기간 T에 대한 식에 대입하면 다음을 찾을 수 있습니다.

따라서 수학적 진자의 주기는 중력 가속도 g와 진자의 길이 l, 즉 서스펜션 지점에서 하중 중심까지의 거리에만 의존합니다. 얻은 공식에서 진자의 주기는 질량과 진폭에 의존하지 않는다는 것을 알 수 있습니다(충분히 작은 경우). 즉, 관찰을 통해 더 일찍 확립된 기본 법칙은 계산을 통해 얻은 것입니다.

그러나 이 이론적 결론은 우리에게 더 많은 것을 제공합니다. 진자의 주기, 길이 및 중력 가속도 사이의 양적 관계를 설정할 수 있습니다. 수학 진자의 주기는 중력 가속도에 대한 진자의 길이 비율의 제곱근에 비례합니다. 가로 세로 비율이 2입니까?

중력 가속도에 대한 진자 주기의 의존성은 이 가속도를 결정하는 매우 정확한 방법입니다. 진자의 길이를 측정하고 l 많은 진동에서 기간 T를 결정하면 결과 공식 g를 사용하여 계산할 수 있습니다. 이 방법은 실제로 널리 사용됩니다.

진자 진동 공명 좌표

가볍고 늘어나지 않는 실에 매달린 작은 공은 다음을 수행할 수 있습니다. 무료진동 운동(그림 598).

쌀. 598
진자의 움직임을 설명하기 위해 볼을 재료 점으로 간주하고 스레드 질량과 공기 저항은 무시합니다. 이 모델은 수학 진자.
볼의 위치를 ​​설명하는 좌표로 수직에서 실의 처짐 각도를 선택합니다. φ ... 이 좌표의 변화를 설명하려면 회전 운동의 역학 방정식을 사용하는 것이 편리합니다.

어디 J = ml 2- 시스템의 관성 모멘트, ε = Δω / Δt- 몸체의 각가속도(회전 각도의 2차 도함수), 미디엄- 시스템에 작용하는 외력의 총 모멘트 1. 볼은 중력 mg과 스레드 장력에 의해 작용합니다. 나사 장력 토크 N서스펜션 포인트에 대한 상대적인 값은 0과 같으므로 서스펜션 볼에 대한 방정식 (1)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

또는

이 방정식은 진자의 진동을 설명하지만 힘의 모멘트는 각도 자체가 아니라 편향 각도의 사인에 비례하기 때문에 조화 진동 방정식이 아닙니다. 그러나 편차 각도가 작다고 생각하면(나중에 얼마나 알게 될 것인지) 대략적인 공식을 사용할 수 있습니다. sinφ ≈ φ이 근사에서 식 (3)은 친숙한 조화 진동 방정식으로 바뀝니다.

어디 Ω = √(g/l)-진자의 작은 진동의 원형 주파수 2. 우리는 이미 이 방정식의 해를 기록했습니다.

여기 φ 오- 나사산의 최대 처짐, 즉 진동 진폭. 간단하게 볼의 초기 속도는 0이라고 가정합니다.
진자의 작은 진동 주기는 각주파수로 표현

수학 진자의 작은 진동은 고조파이므로 주기는 진폭에 의존하지 않습니다. 이 사실은 G. Galileo에 의해 실험적으로 기록되었습니다. 큰 편향각에서 수학 진자의 진동 주기는 약간 증가합니다.
수학적 진자의 진동 기간은 공의 질량에 의존하지 않는다는 점에 유의하십시오. 중력 가속도 및 지구의 중력장에서 신체 운동의 다른 특성도 신체에 의존하지 않습니다. 질량(물론 공기 저항을 무시하지 않는 한).
식 (6)을 사용할 수 있으며 중력 가속도를 실험적으로 결정하는 데 사용됩니다. 필라멘트의 길이와 진동주기는 실험적으로 쉽게 측정할 수 있으며 식 (6)을 이용하여 중력가속도를 계산할 수 있다.
역학적 에너지 보존 법칙을 사용하여 수학적 진자의 운동을 기술해 봅시다. 공의 운동 에너지는 다음 공식으로 표현됩니다.

위치 에너지의 0 기준 레벨은 스레드의 서스펜션 포인트와 호환되며 볼의 위치 에너지는 다음과 같습니다.

기계적 에너지 보존 법칙의 방정식(초기 조건 고려)은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이 방정식은 또한 고조파 진동 방정식이 아닙니다. 그러나 다시 진자의 처짐각이 작다고 가정하고 근사식을 사용하면

그런 다음 방정식 (7)은 고조파 진동 방정식으로 넘어갑니다.

또는

표시된 곳 Ω = √(g/l)- 동적 방정식 (2)에서 얻은 것과 일치하는 원형 진동 주파수.
물론, 이 우연의 일치는 우연이 아닙니다. 사실 두 접근 방식 모두에서 작은 편향 각도의 동일한 근사값을 사용했습니다.

1 원칙적으로 병진 운동의 역학 방정식을 사용할 수도 있지만 점의 궤적이 원호이므로 여기에서 사용하는 방법이 더 좋습니다.
2 우리는 작은 진동의 고유 진동수에 대해 지정 Ω(이것도 "오메가"이며 대문자만 사용)을 선택했습니다. 따라서 전통적인 지정 ω는 공 운동의 각속도 뒤에 남게 됩니다. 추리.