Математикийн дүүжин: үе, хурдатгал, томъёо. Чөлөөт чичиргээ. Математикийн дүүжин

Нэг төрлийн таталцлын талбарт сунадаггүй жингүй утас (түүний масс нь биеийн жинтэй харьцуулахад бага байдаг) дээр өлгөөтэй материаллаг цэгээс (бие) бүрдэх механик системийг математикийн дүүжин (өөр нэр нь осциллятор) гэж нэрлэдэг. Энэ төхөөрөмжийн өөр төрлүүд байдаг. Утасны оронд жингүй саваа ашиглаж болно. Математикийн дүүжин нь олон сонирхолтой үзэгдлийн мөн чанарыг тодорхой харуулж чадна. Бага хэлбэлзлийн далайцтай бол түүний хөдөлгөөнийг гармоник гэж нэрлэдэг.

Механик системийн тухай ерөнхий мэдээлэл

Энэ савлуурын хэлбэлзлийн үеийн томъёог Голландын эрдэмтэн Гюйгенс (1629-1695) гаргажээ. И.Ньютоны энэ үеийн хүн энэ механик системд их дуртай байсан. 1656 онд тэрээр анхны дүүжин цагийг бүтээжээ. Тэд тухайн цаг үеийн хувьд онцгой нарийвчлалтайгаар цагийг хэмжсэн. Энэхүү шинэ бүтээл нь бие махбодийн туршилт, практик үйл ажиллагааг хөгжүүлэх хамгийн чухал үе шат болсон.

Хэрэв дүүжин тэнцвэрт байдалд байгаа бол (босоо унжсан) утас таталтын хүчээр тэнцвэржинэ. Сунгах боломжгүй утас дээрх хавтгай дүүжин нь хязгаарлалттай хоёр зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий систем юм. Зөвхөн нэг бүрэлдэхүүн хэсгийг өөрчлөхөд түүний бүх хэсгүүдийн шинж чанар өөрчлөгддөг. Тиймээс, утсыг саваагаар сольсон бол энэ механик систем нь зөвхөн 1 градусын эрх чөлөөтэй байх болно. Математикийн дүүжин ямар шинж чанартай байдаг вэ? Энэхүү энгийн системд үе үе эвдрэлийн нөлөөн дор эмх замбараагүй байдал үүсдэг. Түдгэлзүүлэх цэг нь хөдөлдөггүй, харин хэлбэлздэг тохиолдолд дүүжин дээр шинэ тэнцвэрийн байрлал гарч ирнэ. Дээш доошоо хурдацтай чичиргээтэй энэ механик систем нь тогтвор суурьшилтай урвуу байрлалд ордог. Энэ нь бас өөрийн гэсэн нэртэй байдаг. Үүнийг Капица дүүжин гэж нэрлэдэг.

Савлуурын шинж чанарууд

Математикийн дүүжин нь маш сонирхолтой шинж чанартай байдаг. Эдгээр нь бүгд сайн мэддэг физик хуулиудаар батлагдсан байдаг. Бусад дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа нь биеийн хэмжээ, хэлбэр, түдгэлзүүлэх цэг ба хүндийн төвийн хоорондох зай, өгөгдсөн цэгтэй харьцуулахад массын тархалт зэрэг янз бүрийн нөхцөл байдлаас хамаарна. Тийм ч учраас дүүжлэгдсэн биений хугацааг тодорхойлох нь нэлээд хэцүү ажил юм. Математик дүүжингийн хугацааг тооцоолох нь илүү хялбар бөгөөд томъёог доор өгөх болно. Ийм механик системийг ажигласны үр дүнд дараахь хэв маягийг тогтоох боломжтой.

Хэрэв савлуурын ижил урттай байвал бид өөр өөр жинг түдгэлзүүлбэл тэдгээрийн хэлбэлзлийн хугацаа ижил байх болно, гэхдээ тэдгээрийн масс нь ихээхэн ялгаатай байх болно. Иймээс ийм дүүжингийн хугацаа нь ачааны массаас хамаардаггүй.

Хэрэв системийг эхлүүлэх үед дүүжин нь хэтэрхий том биш, гэхдээ өөр өөр өнцгөөр хазайсан бол энэ нь ижил хугацаанд хэлбэлзэх боловч өөр далайцтай байх болно. Тэнцвэрийн төвөөс хазайлт нь тийм ч их биш л бол тэдгээрийн хэлбэрийн хэлбэлзэл нь гармониктай ойролцоо байх болно. Ийм дүүжингийн хугацаа нь хэлбэлзлийн далайцаас ямар ч байдлаар хамаардаггүй. Энэхүү механик системийн энэ шинж чанарыг изохронизм гэж нэрлэдэг (Грек хэлнээс орчуулсан "chronos" - цаг хугацаа, "isos" - тэнцүү).

Математикийн дүүжингийн үе

Энэ үзүүлэлт нь үеийг илэрхийлдэг Хэдий нарийн төвөгтэй үг хэллэгийг үл харгалзан үйл явц нь өөрөө маш энгийн байдаг. Хэрэв математик дүүжингийн утасны урт нь L, таталцлын хурдатгал нь g бол энэ утга нь дараахтай тэнцүү байна.

Байгалийн жижиг хэлбэлзлийн хугацаа нь дүүжингийн масс ба хэлбэлзлийн далайцаас ямар ч байдлаар хамаардаггүй. Энэ тохиолдолд дүүжин нь багассан урттай математикийн нэгэн адил хөдөлдөг.

Математик дүүжингийн хэлбэлзэл

Математик дүүжин хэлбэлздэг бөгөөд үүнийг энгийн дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.

x + ω2 sin x = 0,

Энд x (t) нь үл мэдэгдэх функц (энэ нь t цаг хугацааны доод тэнцвэрийн байрлалаас хазайх өнцөг бөгөөд радианаар илэрхийлэгддэг); ω нь эерэг тогтмол бөгөөд энэ нь савлуурын параметрүүдээс тодорхойлогддог (ω = √g / L, энд g нь чөлөөт уналтын хурдатгал, L нь математик дүүжин (суспенз) -ийн урт юм.

Тэнцвэрийн байрлалын ойролцоох жижиг чичиргээний тэгшитгэл (гармоник тэгшитгэл) дараах байдалтай байна.

x + ω2 sin x = 0

Савлуурын хэлбэлзлийн хөдөлгөөнүүд

Жижиг хэлбэлзэл үүсгэдэг математикийн дүүжин нь синусоид дагуу хөдөлдөг. Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь ийм хөдөлгөөний бүх шаардлага, параметрүүдийг хангадаг. Замын чиглэлийг тодорхойлохын тулд хурд, координатыг тохируулах шаардлагатай бөгөөд үүнээс бие даасан тогтмолуудыг тодорхойлно.

x = A нүгэл (θ 0 + ωt),

Энд θ 0 нь эхний үе шат, A нь чичиргээний далайц, ω нь хөдөлгөөний тэгшитгэлээр тодорхойлогддог мөчлөгийн давтамж юм.

Математик дүүжин (том далайцын томъёо)

Их хэмжээний далайцтай хэлбэлздэг энэ механик систем нь хөдөлгөөний илүү төвөгтэй хуулиудад захирагддаг. Ийм дүүжингийн хувьд тэдгээрийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

sin x / 2 = u * sn (ωt / u),

Энд sn нь Жакоби синус бөгөөд энэ нь u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

Энд ε = E / mL2 (mL2 нь дүүжингийн энерги).

Шугаман бус дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацааг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Энд Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K нь эллипс интеграл, π - 3,14.

Сепаратриксын дагуу савлуурын хөдөлгөөн

Тусгаарлагч гэдэг нь хоёр хэмжээст фазын орон зай бүхий динамик системийн замнал юм. Математикийн дүүжин түүний дагуу үе үе хөдөлдөггүй. Хязгааргүй алслагдсан агшинд тэр хамгийн дээд байрлалаас хажуу тийш тэг хурдтайгаар унадаг бөгөөд дараа нь аажмаар өргөдөг. Эцсийн эцэст тэр зогсч, анхны байрлалдаа буцаж ирдэг.

Хэрэв дүүжингийн хэлбэлзлийн далайц нь тоонд ойртвол π , энэ нь фазын хавтгай дээрх хөдөлгөөн нь салгагч руу ойртож байгааг харуулж байна. Энэ тохиолдолд бага зэргийн хүчээр үечилсэн хүчний нөлөөн дор механик систем эмх замбараагүй зан үйлийг харуулдаг.

Математикийн дүүжин тэнцвэрийн байрлалаас тодорхой φ өнцгөөр хазайхад хүндийн хүчний шүргэгч Fτ = -mg sin φ үүснэ. Хасах тэмдэг нь энэ шүргэгч бүрэлдэхүүн хэсэг нь дүүжингийн хазайлтаас эсрэг чиглэлд чиглэнэ гэсэн үг юм. L радиустай тойргийн нумын дагуух дүүжингийн шилжилтийг х илэрхийлэх үед түүний өнцгийн шилжилт нь φ = x / L байна. Төсөл ба хүчний хоёр дахь хууль нь хүссэн утгыг өгнө.

mg τ = Fτ = -mg sin x / L

Энэ харьцаан дээр үндэслэн энэ дүүжин нь шугаман бус систем болохыг харж болно, учир нь түүнийг тэнцвэрийн байрлал руу буцаах хүч нь х шилжилттэй үргэлж пропорциональ биш, харин x / L-тэй пропорциональ байдаг.

Математикийн дүүжин жижиг хэлбэлзэл хийх үед л гармоник осциллятор болно. Өөрөөр хэлбэл гармоник чичиргээг гүйцэтгэх чадвартай механик систем болж хувирдаг. Энэ ойролцоо нь 15-20 ° өнцгийн хувьд бараг хүчинтэй. Том далайцтай савлуурын хэлбэлзэл нь гармоник биш юм.

Дүүжингийн жижиг хэлбэлзлийн Ньютоны хууль

Хэрэв өгөгдсөн механик систем нь жижиг чичиргээ хийдэг бол Ньютоны 2-р хууль дараах байдлаар харагдана.

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Үүний үндсэн дээр бид математикийн дүүжин нь хасах тэмдэгтэй түүний шилжилттэй пропорциональ байна гэж дүгнэж болно. Энэ бол систем гармоник осциллятор болох нөхцөл юм. Шилжилт ба хурдатгалын хоорондох харьцааны модуль нь өнцгийн давтамжийн квадраттай тэнцүү байна.

ω02 = г / л; ω0 = √ г / л.

Энэ томьёо нь энэ төрлийн савлуурын жижиг хэлбэлзлийн байгалийн давтамжийг тусгасан болно. Үүнд үндэслэн,

T = 2π / ω0 = 2π√ г / L.

Эрчим хүч хэмнэх хуульд үндэслэсэн тооцоо

Дүүжингийн шинж чанарыг мөн энерги хадгалах хуулийг ашиглан тодорхойлж болно. Таталцлын талбар дахь дүүжин нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү гэдгийг санах нь зүйтэй.

E = mg∆h = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Бүрэн нь кинетик буюу хамгийн их потенциалтай тэнцүү: Epmax = Ekmsx = E

Эрчим хүч хадгалагдах хуулийг бичсэний дараа тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талын деривативыг авна.

Тогтмолуудын дериватив нь 0 тул (Ep + Ek) "= 0. Нийлбэрийн дериватив нь деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Ep "= (мг / L * x2 / 2)" = мг / 2L * 2x * x "= мг / L * v + Ek" = (mv2 / 2) = м / 2 (v2) "= м / 2 * 2v * v "= mv * α,

иймээс:

Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m α) = 0.

Сүүлийн томъёонд үндэслэн бид α = - g / L * x-ийг олно.

Математик дүүжингийн практик хэрэглээ

Дэлхийн царцдасын нягт нь дэлхий даяар ижил биш байдаг тул хурдатгал нь өргөрөгөөс хамаарч өөр өөр байдаг. Өндөр нягтралтай чулуулаг үүссэн тохиолдолд бага зэрэг өндөр байх болно. Математик дүүжингийн хурдатгалыг ихэвчлэн геологи хайгуулд ашигладаг. Эндээс янз бүрийн ашигт малтмал хайж байна. Зүгээр л савлуурын хэлбэлзлийн тоог тоолж үзвэл та дэлхийн гүнээс нүүрс эсвэл хүдэр олж болно. Энэ нь ийм чулуужсан олдворууд нь тэдгээрийн доор байрлах сул чулуулгаас илүү нягт, масстай байдагтай холбоотой юм.

Математикийн савлуурыг Сократ, Аристотель, Платон, Плутарх, Архимед зэрэг шилдэг эрдэмтэд ашиглаж байжээ. Тэдний олонх нь энэхүү механик систем нь хүний ​​хувь заяа, амьдралд нөлөөлж чадна гэдэгт итгэдэг байв. Архимед тооцоололдоо математикийн дүүжин ашигласан. Бидний үед олон ид шидтэнгүүд, зөн билэгтнүүд энэхүү механик системийг зөгнөлөө биелүүлэх эсвэл сураггүй алга болсон хүмүүсийг хайхад ашигладаг.

Францын нэрт одон орон судлаач, байгаль судлаач К.Фламмарион ч судалгаандаа математикийн дүүжин ашигласан. Түүний тусламжтайгаар шинэ гариг ​​нээгдэх, Тунгуска солирын харагдах байдал болон бусад чухал үйл явдлуудыг урьдчилан таамаглах боломжтой болсон гэж тэрээр мэдэгдэв. Дэлхийн 2-р дайны үед Германд (Берлин) тусгай дүүжин институт ажиллаж байв. Одоо Мюнхений Парапсихологийн хүрээлэн ижил төстэй судалгаа хийж байна. Энэ байгууллагын ажилчид дүүжинтэй хийсэн ажлыг "радиоестези" гэж нэрлэдэг.

10.4. Гармоник чичиргээний эрчим хүчний хэмнэлтийн хууль

10.4.1. Эрчим хүчний хэмнэлт механик гармоник чичиргээ

Математик дүүжингийн хэлбэлзлийн үед энергийн хадгалалт

Гармоник чичиргээний үед системийн нийт механик энерги хадгалагдана (тогтмол хэвээр байна).

Математик дүүжингийн нийт механик энерги

E = W k + W p,

хаана W k - кинетик энерги, W k = = mv 2/2; W p - боломжит энерги, W p = mgh; m нь ачааны жин; g - чөлөөт уналтын хурдатгалын модуль; v - ачааны хурдны модуль; h - тэнцвэрийн байрлалаас дээш ачаа өргөх өндөр (Зураг 10.15).

Гармоник хэлбэлзлийн үед математик дүүжин хэд хэдэн дараалсан төлөвийг дамжин өнгөрдөг тул математик дүүжингийн энергийг гурван байрлалд авч үзэхийг зөвлөж байна (Зураг 10.15-ыг үз):

Цагаан будаа. 10.15

1) дотор тэнцвэрийн байрлал

боломжит энерги тэг байна; Нийт энерги нь хамгийн их кинетик энергитэй давхцдаг:

E = W k max;

2) дотор туйлын байр суурь(2) биеийг анхны түвшнээс дээш h max хамгийн дээд өндөрт өргөсөн тул боломжит энерги нь мөн хамгийн их байна:

W p max = m g h max;

кинетик энерги нь тэг; Нийт энерги нь хамгийн их боломжит энергитэй давхцдаг:

E = W p max;

3) дотор завсрын байрлал(3) бие нь агшин зуурын v хурдтай бөгөөд анхны түвшнээс тодорхой h өндөрт өргөгдсөн тул нийт энерги нь нийлбэр юм.

E = m v 2 2 + m g h,

хаана mv 2/2 - кинетик энерги; mgh - боломжит энерги; m нь ачааны жин; g - чөлөөт уналтын хурдатгалын модуль; v - ачааны хурдны модуль; h - тэнцвэрийн байрлалаас дээш өргөх ачааны өндөр.

Математик дүүжингийн гармоник хэлбэлзлийн үед нийт механик энерги хадгалагдана.

E = const.

Гурван байрлал дахь математик дүүжингийн нийт энергийн утгыг Хүснэгтэнд үзүүлэв. 10.1.

№	Байрлал	W p	В к	E = W p + W k
1	Тэнцвэр	0	m v хамгийн ихдээ 2/2	m v хамгийн ихдээ 2/2
2	Хэт их	мг хамгийн их	0	мг хамгийн их
3	Дунд (шууд)	мгх	mv 2/2	мв 2/2 + мг цаг

Нийт механик энергийн утгыг хүснэгтийн сүүлийн баганад үзүүлэв. 10.1. Математик илэрхийлэл болох дүүжингийн аль ч байрлалд ижил утгатай байна:

m v max 2 2 = m g h max;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h;

m g h max = m v 2 2 + m g h,

энд m нь ачааны масс; g - чөлөөт уналтын хурдатгалын модуль; v - 3-р байрлал дахь ачааллын агшин зуурын хурдны модуль; h - 3-р байрлал дахь тэнцвэрийн байрлалаас дээш өргөх ачааны өндөр; v max - 1-р байрлал дахь ачааны хамгийн их хурдны модуль; h max нь 2-р байрлал дахь тэнцвэрийн байрлалаас дээш ачаа өргөх хамгийн их өндөр юм.

Утасны хазайлтын өнцөгбосоо (Зураг.10.15)-аас математикийн дүүжин илэрхийллээр тодорхойлогдоно

cos α = l - h l = 1 - h l,

энд l нь утасны урт; h - тэнцвэрийн байрлалаас дээш өргөх ачааны өндөр.

Хамгийн их өнцөгхазайлт α max нь тэнцвэрийн h max-аас дээш ачааг өргөх хамгийн их өндрөөр тодорхойлогдоно.

cos α max = 1 - h max l.

Жишээ 11. Математикийн дүүжингийн жижиг хэлбэлзлийн хугацаа 0.9 с. Тэнцвэрийн байрлалыг давж, бөмбөг 1.5 м / с хурдтай хөдөлж байвал утас босоо тэнхлэгээс хамгийн ихдээ ямар өнцгөөр хазайх вэ? Системд үрэлт байхгүй.

Шийдэл. Зурагт математик дүүжингийн хоёр байрлалыг харуулав.

• тэнцвэрийн байрлал 1 (бөмбөгний хамгийн дээд хурдаар тодорхойлогддог v max);
• туйлын байрлал 2 (бөмбөгний өсөлтийн хамгийн дээд өндрөөр тодорхойлогддог h max тэнцвэрийн байрлалаас дээш).

Хүссэн өнцгийг тэгшитгэлээр тодорхойлно

cos α max = l - h max l = 1 - h max l,

Энд l нь дүүжин утасны урт.

Нийт механик энерги хадгалагдах хуулиас бид тэнцвэрийн байрлалаас дээш дүүжин бөмбөгний хамгийн их өндрийг олдог.

Тэнцвэрийн болон туйлын байрлал дахь дүүжингийн нийт энергийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

• тэнцвэрийн байрлалд -

E 1 = m v max 2 2,

энд m нь дүүжин бөмбөгний масс; v max нь тэнцвэрийн байрлал дахь бөмбөгний хурдны модуль (хамгийн их хурд), v max = 1.5 м / с;

• туйлын байрлалд -

E 2 = mgh max,

Энд g нь таталцлын хурдатгалын модуль; h max нь бөмбөгний тэнцвэрийн байрлалаас дээш гарах хамгийн дээд өндөр юм.

Нийт механик энерги хадгалагдах хууль:

m v max 2 2 = m g h max.

Тэнцвэрийн байрлалаас дээш гарах бөмбөгний хамгийн их өндрийг эндээс илэрхийлье.

h max = v max 2 2 г.

Утасны уртыг математик дүүжингийн хэлбэлзлийн үеийн томъёогоор тодорхойлно

T = 2 π л г,

тэдгээр. утасны урт

l = T 2 g 4 π 2.

Хүссэн өнцгийн косинусын илэрхийлэлд h max ба l-ийг орлуулна.

cos α max = 1 - 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

π 2 = 10 ойролцоо тэнцүү байдлыг харгалзан бид тооцооллыг хийнэ.

cos α max = 1 - 2 ⋅ 10 ⋅ (1.5) 2 10 2 ⋅ (0.9) 2 = 0.5.

Эндээс хамгийн их хазайлтын өнцөг нь 60 ° байна.

Хатуухан хэлэхэд, 60 ° өнцгөөр бөмбөгний хэлбэлзэл бага биш бөгөөд математик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацааны стандарт томъёог ашиглах нь зохисгүй юм.

Пүршний савлуурын хэлбэлзлийн үед эрчим хүчний хэмнэлт

Пүршний дүүжингийн нийт механик энергиЭнэ нь кинетик болон потенциал энергиэс бүрдэнэ.

E = W k + W p,

хаана W k - кинетик энерги, W k = mv 2/2; W p - боломжит энерги, W p = k (Δx) 2/2; m нь ачааны жин; v - ачааны хурдны модуль; k - булгийн хатуу байдлын (уян хатан байдлын) коэффициент; Δx - хаврын хэв гажилт (хүчдэл эсвэл шахалт) (зураг 10.16).

Олон улсын нэгжийн системд механик хэлбэлзлийн системийн энергийг жоуль (1 Ж) хэмждэг.

Гармоник чичиргээний үед пүрш дүүжин хэд хэдэн дараалсан төлөвийг дамжин өнгөрдөг тул хаврын дүүжингийн энергийг гурван байрлалд авч үзэхийг зөвлөж байна (10.16-р зургийг үз):

1) дотор тэнцвэрийн байрлал(1) биеийн хурд нь v max хамгийн их утгатай тул кинетик энерги нь хамгийн их байна:

W k max = m v max 2 2;

хавар деформацид ороогүй тул хаврын боломжит энерги тэг байна; Нийт энерги нь хамгийн их кинетик энергитэй давхцдаг:

E = W k max;

2) дотор туйлын байр суурь(2) пүрш нь хамгийн их хэв гажилттай (Δx max) тул боломжит энерги нь мөн хамгийн их утгатай байна:

W p max = k (Δ x max) 2 2;

биеийн кинетик энерги тэг байна; Нийт энерги нь хамгийн их боломжит энергитэй давхцдаг:

E = W p max;

3) дотор завсрын байрлал(3) бие нь агшин зуурын v хурдтай, пүрш нь одоогийн байдлаар тодорхой хэмжээний хэв гажилттай (Δx) тул нийт энерги нь нийлбэр юм.

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

хаана mv 2/2 - кинетик энерги; k (Δx) 2/2 - боломжит энерги; m нь ачааны жин; v - ачааны хурдны модуль; k - булгийн хатуу байдлын (уян хатан байдлын) коэффициент; Δx - хаврын хэв гажилт (хүчдэл эсвэл шахалт).

Пүршний дүүжингийн ачааллыг тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэх үед түүнд дараах нөлөөлөл үзүүлнэ. хүчийг сэргээх, савлуурын хөдөлгөөний чиглэлийн проекцийг томъёогоор тодорхойлно

F x = −kx,

Энд x - пүршний дүүжингийн жинг тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх, x = ∆x, ∆x - пүршний хэв гажилт; k - дүүжин пүршний хатуу байдлын (уян хатан байдлын) коэффициент.

Пүршний дүүжингийн гармоник хэлбэлзлийн үед нийт механик энерги хадгалагдана.

E = const.

Гурван байрлал дахь хаврын дүүжингийн нийт энергийн утгыг хүснэгтэд тусгасан болно. 10.2.

№	Байрлал	W p	В к	E = W p + W k
1	Тэнцвэр	0	m v хамгийн ихдээ 2/2	m v хамгийн ихдээ 2/2
2	Хэт их	k (Δx max) 2/2	0	k (Δx max) 2/2
3	Дунд (шууд)	k (Δx) 2/2	mv 2/2	mv 2/2 + k (Δx) 2/2

Хүснэгтийн сүүлийн баганад үзүүлсэн нийт механик энергийн утгууд нь дүүжингийн аль ч байрлалд ижил утгатай бөгөөд энэ нь математикийн илэрхийлэл юм. нийт механик энерги хэмнэлтийн хууль:

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

энд m нь ачааны масс; v - 3-р байрлал дахь ачааллын агшин зуурын хурдны модуль; Δx - 3-р байрлал дахь хаврын хэв гажилт (хүчдэл эсвэл шахалт); v max - 1-р байрлал дахь ачааны хамгийн их хурдны модуль; Δx max - 2-р байрлал дахь пүршний хамгийн их хэв гажилт (суналт эсвэл шахалт).

Жишээ 12. Пүршний дүүжин гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг. Биеийн тэнцвэрийн байрлалаас шилжилт хөдөлгөөн далайцын дөрөвний нэг байх үед түүний кинетик энерги нь потенциалаас хэд дахин их вэ?

Шийдэл. Хаврын дүүжингийн хоёр байрлалыг харьцуулж үзье.

• туйлын байрлал 1 (х max тэнцвэрийн байрлалаас дүүжин жингийн хамгийн их шилжилтээр тодорхойлогддог);
• завсрын байрлал 2 (тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх завсрын утгууд ба v → хурдаар тодорхойлогддог).

Хэт ба завсрын байрлал дахь дүүжингийн нийт энергийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

• туйлын байрлалд -

E 1 = k (Δ x max) 2 2,

Энд k - пүршний хөшүүн чанар (уян чанар) -ын коэффициент; ∆x max - чичиргээний далайц (тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их шилжилт хөдөлгөөн), ∆x max = A;

• завсрын байрлалд -

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

энд m - дүүжингийн ачааллын масс; ∆x - ачааллыг тэнцвэрийн байрлалаас шилжүүлэх, ∆x = A / 4.

Пүршний дүүжингийн механик энерги хэмнэлтийн нийт хууль дараах байдалтай байна.

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2.

Бичсэн тэгш байдлын хоёр талыг бид k (∆x) 2/2-т хуваана.

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p,

Энд W k нь завсрын байрлал дахь дүүжингийн кинетик энерги, W k = mv 2/2; W p нь завсрын байрлал дахь дүүжингийн потенциал энерги, W p = k (∆x) 2/2.

Шаардлагатай энергийн харьцааг тэгшитгэлээс илэрхийлье.

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 - 1

түүний утгыг тооцоолох:

W k W p = (A A / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15.

Заасан хугацаанд дүүжингийн кинетик ба потенциал энергийн харьцаа 15 байна.

ЗОРИУЛАЛТ: Максвеллийн дүүжин дээрх хөрвүүлэлт-эргэлтийн хөдөлгөөний энерги хадгалагдах хуулийг туршилтаар турших; энерги ба кинематик хамаарлын дагуу дүүжингийн хөрвүүлэх хөдөлгөөний хурдыг тодорхойлж, харьцуулна.

ТОНОГ ТӨХӨӨРӨМЖ: Солигддог цагираг бүхий Максвелл дүүжин; электрон секундомер.

ОНОЛЫН ҮНДЭС

Материйн хөдөлгөөний хамгийн түгээмэл хэмжүүр бол түүний энерги юм. Механикийн хувьд энэ нь биеийн механик хөдөлгөөнд тохирсон механик энерги юм. Механик энерги нь кинетик ба потенциал гэсэн хоёр төрөлтэй.

Боломжит эрчим хүч... Эрчим хүчийг тодорхойлсон харилцан зохицуулалтхарилцан үйлчилдэг биетүүдийг зөвхөн координатаас хамааруулан потенциал гэж нэрлэдэг. Ажил А 12 , системийг нэг төлөвөөс нөгөөд шилжүүлэх үед консерватив хүчээр гүйцэтгэх нь эдгээр муж дахь боломжит энергийн алдагдалтай тэнцүү байна. .

A 12 = W 1 - W 2, (1)

хаана В 1 болон В 2  1 ба 2-р төлөв дэх системийн потенциал энерги.

Боломжит энергийн тодорхой төрөл нь хүчний талбайн шинж чанараас хамаарна. Таталцлын талбарт массын биеийн потенциал энерги мхарагдаж байна:

W = m g h, (2)

хаана g  чөлөөт уналтыг хурдасгах;

h  боломжит энерги байгаа түвшнээс хэмжсэн өндрийг В=0.

Кинетик энерги... Энэ нь бие (эсвэл биеийн систем) хөдөлгөөний улмаас эзэмшдэг энерги юм. Хэрэв бие нь орчуулгын дагуу хурдтай хөдөлдөг бол vтодорхой тэнхлэгийг тойрон өнцгийн хурдаар нэгэн зэрэг эргэдэг  , тэгвэл түүний хөдөлгөөний нийт кинетик энерги нь дараахтай тэнцүү байна.

хаана м- биеийн жин;

I инерцийн момент.

Таны харж байгаагаар эргэлтийн хөдөлгөөнд шугаман хурдны үүргийг өнцгийн хурд гүйцэтгэдэг бөгөөд массын үүрэг нь инерцийн момент юм. Импульсийн мөч Iзөвхөн массаас гадна эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад энэ массын тархалтаас хамаарна. Утга Iердийн геометрийн хэлбэрийн зарим биетүүдийн хувьд (урт саваа, диск, бөмбөг, цилиндр) ерөнхий физикийн хичээлийн сурах бичигт өгөгдсөн болно.

Эрчим хүч хэмнэх хууль... Консерватив хүчнүүд ажилладаг биетүүдийн хаалттай системийн механик энерги тогтмол хэвээр байна. Ийм системд бие хөдөлж байх үед кинетик энерги нь боломжит энерги болон эсрэгээр хувирдаг бол нийт энерги тогтмол хэвээр байна. (Консерватив хүч нь таталцлын, уян харимхай, Кулон болон бусад орно. Консерватив бус хүч нь үрэлтийн хүч, эсэргүүцэл, уян хатан бус хэв гажилт юм.).

Эрчим хүчний хэмжилтийн хэмжүүр нь гүйцэтгэсэн ажил учраас гадны хүчин ажил гүйцэтгэхгүй бол механик энерги нь нээлттэй системд хадгалагддаг.

ТУРШИЛТЫН ЖУРАМ

Биеийн хөрвүүлэлт-эргэлтийн хөдөлгөөний энерги хадгалагдах хуулийг Максвеллийн дүүжин дээр шалгаж байна. Максвеллийн дүүжин нь тэнхлэгт бэхлэгдсэн диск юм. Тэнхлэг нь эргээд хоёр утас дээр түдгэлзэж, дээд үзүүрээр хаалтанд бэхлэгдсэн байна.

Эдгээр утаснууд нь тэнхлэгт ороож болох бөгөөд тэдгээрийг тайлах үед дүүжин нь орчуулга-эргэлтийн хөдөлгөөнийг хийдэг, өөрөөр хэлбэл. эргэлдэж, босч, буурдаг.

Туршилтын явцад хоёр үндсэн төлөвийг тодорхойлсон. 1-р төлөвт масстай дүүжин мдээр байна h... Энэ төлөв дэх системийн механик энерги нь зөвхөн боломжит энергитэй тэнцүү байна.

E 1 = W 1 = m · g · h. (4)

Савлуурыг суллацгаая. Үүссэн таталцлын хүч ба утаснуудын хурцадмал байдлын нөлөөн дор энэ нь доошоо унаж эхэлдэг (орчуулгын хөдөлгөөн), утаснуудын хурцадмал хүч нь түүнийг эргүүлэх хөдөлгөөнд оруулна.

Цагаан будаа. 1. Максвеллийн дүүжингийн ерөнхий дүр зураг.

Т- утас татах хүч; Ф g - хүндийн хүч.

2-р төлөвт өндрөөс бууж буй дүүжин h, орчуулгын дагуу хурдтай хөдөлдөг v,өнцгийн хурдаар массын төвийг дайран өнгөрөх тэнхлэгийг тойрон эргэлдэж байх үед  Иймээс 2-р төлөв дэх системийн механик энерги нь хөрвүүлэлтийн болон эргэлтийн хөдөлгөөний кинетик энергийн нийлбэр юм.

. (5)

Сонгосон системд (таталцлын талбайн дүүжин) энерги хадгалагдах хуулийг биелүүлэх ёстой. Таталцал бол консерватив хүч юм. Утасны хурцадмал байдал нь гадны хүч юм. гэхдээ тэр ажил хийдэггүй, учир нь түүний хэрэглээний цэг нь савлуурыг бага зэрэг эргүүлэхэд хэвээр байна. Тиймээс:

. (6)

Савлуурын хөрвүүлэх хөдөлгөөний хурд нь өнцгийн хурдтай харьцаагаар хамааралтай байдаг

v =  r, (7)

хаана rЭнэ нь дүүжин тэнхлэгийн радиус юм.

Дараа нь (6) томъёо нь дараах хэлбэртэй болно.

2г = v 2 (1 + I / ноён 2). (найман)

Мөн дүүжингийн орчуулгын хөдөлгөөний хурд чухал болж байна.

. (9)

Эрчим хүч хадгалагдах хуулийг шалгахын тулд мэдэгдэж буй кинематик харилцааг ашиглан хурдыг өөр бие даасан аргаар тооцоолъё. Дүүжингийн хөдөлгөөн жигд хурдасч байгаа тул уналтын үед бол тдүүжин замыг туулсан h, түүний хурдатгал нь

a = 2h / t 2. (арав)

Тиймээс замын төгсгөлд дүүжингийн хөрвүүлэх хөдөлгөөний хурд:

v = a t = 2 цаг / т. (арван нэгэн)

(9) дахь хурд нь савлуурын инерцийн моментоос хамаардаг бөгөөд үүнийг дискэн дээр янз бүрийн цагираг суурилуулах замаар өөрчилж болно. Дүүжингийн инерцийн моментийг дараах байдлаар тодорхойлно

I = I 0 + I D + I K. (12)

хаана I 0 - тэнхлэгийн инерцийн момент,

- дискний инерцийн момент,

- цагирагийн инерцийн момент,

Р Д , Р TO- диск ба цагирагийн радиус.

Бөгжний радиусыг дотоод болон гадаад радиусуудын дунджаар авна. Дүүжин тэнхлэгийн радиус нь дискний радиусаас хамаагүй бага тул тэнхлэгийн инерцийн моментийг үл тоомсорлож болно.

Аргын логик диаграмм.

Хэрэв энерги хадгалагдах хуулиас (9) хамаарлаар тодорхойлсон хурд нь (11) томъёогоор кинематикаар тодорхойлсон хурдтай тэнцүү бол энэ нь сонгосон системийн энергийн хадгалалтыг баталгаажуулна.

АЖЛЫГ ГҮЙЦЭТГЭЖ БАЙНА

1. Багшийн заасан цагиргуудын аль нэгээр дүүжин унах хугацааг хэмжинэ.

2. Хэмжилтийг 5-10 удаа давтана.

3. Дүүжингийн уналт ба өргөлтийг хэмжинэ.

4. Дүүжингийн тэнхлэгийн диаметр, цагирагийн дотоод ба гадна диаметрийг диаметр хэмжигчээр хэмжинэ.

ҮР ДҮНГ БОЛОВСРУУЛАХ

1. Уналтын дундаж хугацааг тооцоол болон статистик хэмжилтийн алдаа  т.

2. Хурд тооцох v 1 хамаарлаар (11).

3. Хурдны хэмжилтийн алдааг тооцоол  v 1 шууд бус хэмжилтийн алдааг тооцоолох дүрмийн дагуу.

4. Бөгжний дүүжингийн инерцийн моментийг тооцоол. Диск ба цагирагийн массыг тэдгээрийн дээр тэмдэглэв.

5. Дүүжингийн хурдыг тооцоол v 2 хамаарлаар (9).

6. Тохиромжгүй байдлын хэмжүүрийг тодорхойлох  = ( v 1 - v 2 )/ v 1 харьцангуй алдаатай харьцуулна v 1 =  v 1 / v 1 .

НЭМЭЛТ ДААЛГАВАР

Уналтын өндөр ба савлуурын дараагийн өсөлтийн зөрүүгээс эрчим хүчний алдагдлыг тодорхойлно.

Эрчим хүчний алдагдлыг бий болгодог дундаж үр дүнтэй үрэлтийн хүчийг тооцоол.

ХЯНАЛТЫН АСУУЛТ

1. Ямар төрлийн механик энерги байдаг вэ? Тэдний тодорхойлолтыг өг.

2. Системийн механик энерги хадгалагдах хууль, түүнийг хэрэгжүүлэх нөхцөлийг томъёол.

3. Максвеллийн савлуурын энергийн хувирлыг тайлбарла.

4. Биеийн инерцийн момент гэж юу вэ? Диск, цагирагийн инерцийн момент гэж юу вэ?

5. Максвеллийн дүүжингийн хөрвүүлэх хөдөлгөөний хурдыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Хөнгөн сунадаггүй утас дээр дүүжлэгдсэн жижиг бөмбөг нь гүйцэтгэх чадвартай үнэгүйхэлбэлзлийн хөдөлгөөн (Зураг 598).

будаа. 598
Савлуурын хөдөлгөөнийг дүрслэхийн тулд бид бөмбөгийг материаллаг цэг гэж үзэж, судлын масс болон агаарын эсэргүүцлийг үл тоомсорлох болно. Энэ загварыг нэрлэдэг математикийн дүүжин.
Бөмбөгний байрлалыг тодорхойлсон координатын хувьд бид утаснуудын хазайлтын өнцгийг босоо тэнхлэгээс сонгоно. φ ... Энэ координатын өөрчлөлтийг тодорхойлохын тулд эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой.

хаана J = мл 2- системийн инерцийн момент; ε = Δω / Δt- биеийн өнцгийн хурдатгал (эргэлтийн өнцгийн хоёр дахь дериватив), М- системд үйлчлэх гадны хүчний нийт момент 1. Бөмбөлөгт мг таталцлын хүч ба утас таталтаар ажилладаг. Утасны суналтын момент Ндүүжлүүрийн цэгтэй харьцуулахад 0-тэй тэнцүү тул дүүжлэгдсэн бөмбөгний тэгшитгэл (1) хэлбэрийг авна.

эсвэл

Энэ тэгшитгэл нь дүүжингийн хэлбэлзлийг дүрсэлсэн боловч хүчний момент нь өнцгийн өөрөө биш харин хазайлтын өнцгийн синустай пропорциональ байдаг тул гармоник хэлбэлзлийн тэгшитгэл биш юм. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид хазайлтын өнцгийг бага гэж үзвэл (хэр ихийг дараа нь олж мэдэх болно) бид ойролцоогоор томъёог ашиглаж болно. sinφ ≈ φЭнэ ойролцоолсноор тэгшитгэл (3) нь гармоник хэлбэлзлийн танил тэгшитгэл болж хувирна.

хаана Ω = √ (г / л)- дүүжин 2-ын жижиг хэлбэлзлийн дугуй давтамж. Бид энэ тэгшитгэлийн шийдлийг аль хэдийн бичсэн

энд φ o- утасны хамгийн их хазайлт, өөрөөр хэлбэл чичиргээний далайц. Энгийн байхын тулд бид бөмбөгний анхны хурдыг тэг гэж үзэх болно.
Савлуурын жижиг хэлбэлзлийн үеийг өнцгийн давтамжаар илэрхийлнэ

Математик дүүжингийн жижиг хэлбэлзэл нь гармоник байдаг тул тэдгээрийн хугацаа нь далайцаас хамаардаггүй. Энэ баримтыг Г.Галилей туршилтаар тэмдэглэжээ. Их хэмжээний хазайлтын өнцгөөр математикийн дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа бага зэрэг нэмэгддэг.
Математик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа нь бөмбөгний массаас хамаардаггүй гэдгийг санаарай - таталцлын хурдатгал, түүнчлэн дэлхийн таталцлын талбар дахь биеийн хөдөлгөөний бусад шинж чанарууд нь массаас хамаардаггүй гэдгийг санаарай. биеийн (мэдээжийн хэрэг, бид агаарын эсэргүүцлийг үл тоомсорлохгүй бол).
Формула (6)-ийг ашиглаж болох ба таталцлын хурдатгалыг туршилтаар тодорхойлоход ашигладаг. Судасны урт ба хэлбэлзлийн хугацааг туршилтаар хялбархан хэмжиж болох бөгөөд дараа нь (6) томъёог ашиглан таталцлын хурдатгалыг тооцоолж болно.
Механик энерги хадгалагдах хуулийг ашиглан математик дүүжингийн хөдөлгөөнийг дүрслэхийг хичээцгээе. Бөмбөгний кинетик энергийг томъёогоор илэрхийлнэ

Боломжит энергийн лавлагааны тэг түвшин нь утасны түдгэлзүүлэх цэгтэй тохирч байвал бөмбөгний боломжит энерги байна.

Механик энерги хадгалагдах хуулийн тэгшитгэлүүд (анхны нөхцлийг харгалзан) хэлбэртэй байна

Энэ тэгшитгэл нь мөн гармоник чичиргээний тэгшитгэл биш юм. Гэхдээ хэрэв бид дүүжингийн хазайлтын өнцгийг дахин бага гэж үзэж, ойролцоогоор томъёог ашиглана уу.

Дараа нь (7) тэгшитгэл нь гармоник чичиргээний тэгшитгэлд шилждэг

эсвэл

заасан газар Ω = √ (г / л)- динамик тэгшитгэлээс (2) олж авсантай давхцаж буй дугуй чичиргээний давтамж.
Мэдээжийн хэрэг, энэ давхцал нь санамсаргүй биш юм - үнэн хэрэгтээ бид хоёр хандлагад жижиг хазайлтын өнцгийн ойролцоох утгыг ашигласан.

1 Зарчмын хувьд хөрвүүлэх хөдөлгөөний динамикийн тэгшитгэлийг ашиглах боломжтой боловч цэгийн траектор нь тойргийн нум учраас энд ашигласан арга нь илүү дээр юм.
2 Бид жижиг хэлбэлзлийн байгалийн давтамжийн хувьд Ω тэмдэглэгээг (энэ нь бас "омега, зөвхөн том үсгээр") сонгосон бөгөөд ингэснээр уламжлалт тэмдэглэгээ ω нь бөмбөгний хөдөлгөөний өнцгийн хурдны ард үлдэх бөгөөд энэ нь бидний үндэслэлд цаашид харагдах болно. .

Математикийн дүүжин биеийн масстай харьцуулахад жин нь үл тоомсорлодог нимгэн сунадаггүй утас дээр дүүжлэгдсэн жижиг хэмжээтэй бие гэж нэрлэдэг. Тэнцвэрийн байрлалд савлуур тэнхлэгийн шугамын дагуу өлгөөтэй байх үед таталцлын хүчийг утаснуудын суналтын хүчээр тэнцвэржүүлнэ.Дүүжин тэнцвэрийн байрлалаас тодорхой өнцгөөр хазайсан үед таталцлын хүчний шүргэгч бүрэлдэхүүн хэсэг φ байна. гарч ирнэ Ф τ = - мг sin φ (Зураг 2.3.1). Энэ томьёоны хасах тэмдэг нь шүргэгч бүрэлдэхүүн хэсэг нь савлуурын хазайлтаас эсрэг чиглэлд чиглэнэ гэсэн үг юм.

Хэрэв бид -ээр тэмдэглэвэл xрадиустай тойргийн нумын дагуу тэнцвэрийн байрлалаас дүүжин шугаман шилжилт л, тэгвэл түүний өнцгийн шилжилт нь φ =-тэй тэнцүү болно x / л... Шүргэгчийн чиглэлийн хурдатгал ба хүчний векторуудын проекцуудад зориулж бичсэн Ньютоны хоёр дахь хууль нь дараахь зүйлийг өгдөг.

Энэ хамаарал нь математикийн дүүжин бол цогцолбор гэдгийг харуулж байна шугаман буссистем, учир нь савлуурыг тэнцвэрийн байрлал руу буцаах хүч нь шилжилттэй пропорциональ биш юм. x, a

Зөвхөн тохиолдолджижиг хэлбэлзэл ойролцоогоор үед-ээр сольж болноМатематикийн дүүжин нь гармоник осциллятор юм, өөрөөр хэлбэл гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэх чадвартай систем. Практикт энэ ойролцоо нь 15-20 ° өнцгийн хувьд хүчинтэй байдаг; энэ тохиолдолд утга нь 2% -иас ихгүй байна. Том далайцтай дүүжингийн хэлбэлзэл нь гармоник биш юм.

Математик дүүжингийн жижиг хэлбэлзлийн хувьд Ньютоны хоёрдугаар хуулийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

Тиймээс тангенциал хурдатгал аСавлуурын τ нь түүний шилжилттэй пропорциональ байна xэсрэг тэмдгээр авсан. Энэ бол яг ийм нөхцөлд систем нь гармоник осциллятор юм. Чөлөөт гармоник хэлбэлзэл хийх боломжтой бүх системийн ерөнхий дүрмийн дагуу тэнцвэрийн байрлалаас хурдатгал ба шилжилтийн хоорондох пропорциональ коэффициентийн модуль нь өнцгийн давтамжийн квадраттай тэнцүү байна.

Энэ томъёог илэрхийлнэ Математик дүүжингийн жижиг хэлбэлзлийн байгалийн давтамж .

Тиймээс,

Эргэлтийн хэвтээ тэнхлэгт байрлуулсан аливаа бие нь таталцлын талбайд чөлөөт хэлбэлзлийг гүйцэтгэх чадвартай тул дүүжин юм. Ийм савлуурыг ихэвчлэн нэрлэдэг физик (зураг 2.3.2). Энэ нь зөвхөн массын тархалтаар математикийнхаас ялгаатай. Тогтвортой тэнцвэрийн байрлалд массын төв Cфизик дүүжин нь тэнхлэгийг дайран өнгөрөх босоо тэнхлэгт О эргэлтийн тэнхлэгийн доор байрладаг. Савлуурыг φ өнцгөөр хазайсан үед таталцлын момент үүсч, дүүжин тэнцвэрийн байрлал руу буцах хандлагатай байна.

М = -(мггэм φ) г.

Энд г- эргэлтийн тэнхлэг ба массын төв хоорондын зай C.

Зураг 2.3.2. Физик дүүжин

Энэ томьёоны хасах тэмдэг нь ердийнх шиг, хүчний момент нь дүүжинг тэнцвэрийн байрлалаас хазайхаас эсрэг чиглэлд эргүүлэх хандлагатай байгааг илтгэнэ. Математикийн дүүжинтэй адил мөчийг буцаана Мпропорциональ. Энэ нь физик савлуур нь зөвхөн жижиг өнцгөөр чөлөөтэй гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэх чадвартай гэсэн үг юм. Бага зэрэг хэлбэлзэлтэй тохиолдолд

Физик дүүжинд зориулсан Ньютоны хоёрдахь хууль нь хэлбэртэй байна

Энд ε нь дүүжингийн өнцгийн хурдатгал, I- эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад дүүжингийн инерцийн момент О... Хурдатгал ба шилжилтийн хоорондох пропорциональ коэффициентийн модуль нь өнцгийн давтамжийн квадраттай тэнцүү байна.

Энд ω 0 - физик савлуурын жижиг хэлбэлзлийн байгалийн давтамж .

Тиймээс,

ω 0 ба томъёоны илүү нарийн гаралт ТХэрэв бид өнцгийн хурдатгал ба өнцгийн шилжилтийн хоорондох математик хамаарлыг харгалзан үзвэл үүнийг хийж болно: өнцгийн хурдатгал ε нь өнцгийн шилжилтийн φ-ийн цаг хугацааны хувьд хоёр дахь дериватив юм.

Иймд физик дүүжинд зориулсан Ньютоны 2-р хуулийг илэрхийлсэн тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичиж болно

Энэ бол чөлөөт гармоник чичиргээний тэгшитгэл юм.

Энэ тэгшитгэл дэх коэффициент нь физик дүүжингийн чөлөөт гармоник хэлбэлзлийн дугуй давтамжийн квадрат гэсэн утгатай.

Эргэлтийн тэнхлэгийг параллель шилжүүлэх теоремоор (Штайнерын теорем) инерцийн момент Iинерцийн моментоор илэрхийлж болно ICмассын төвөөр дамжин өнгөрөх тэнхлэгийн тухай Cдүүжин ба эргэлтийн тэнхлэгтэй параллель:

Эцэст нь физик дүүжингийн чөлөөт хэлбэлзлийн дугуй давтамжийн ω 0-ийн хувьд дараах илэрхийллийг олж авна.

ХАМТшаргалэрэл хайгуултодорхойлолтын талаарявгаригууд