10.4. Гармоник чичиргээний эрчим хүчний хэмнэлтийн тухай хууль

10.4.1. Эрчим хүчний хэмнэлт механик гармоник чичиргээ

Математикийн савлуурын хэлбэлзлийн үед энерги хэмнэх

Гармоник чичиргээгээр системийн нийт механик энергийг хадгалдаг (тогтмол хэвээр байна).

Математикийн дүүжингийн нийт механик энерги

E = W k + W p,

энд W k - кинетик энерги, W k = = mv 2/2; W p - боломжит энерги, W p = mgh; m - ачааны масс; g - үнэгүй уналтын хурдатгалын модуль; v - ачааны хурдны модуль; h - тэнцвэрийн байрлалаас дээш ачааг өргөх өндөр (Зураг 10.15).

Гармоник хэлбэлзлийн үед математик дүүжин нь хэд хэдэн дараалсан төлөвөөр дамждаг тул математик дүүжингийн энергийг гурван байрлалд авч үзэхийг зөвлөж байна (Зураг 10.15-ыг үзнэ үү):

Цагаан будаа. 10.15

1) in тэнцвэрийн байрлал

боломжит энерги нь тэг; нийт энерги нь хамгийн их кинетик энергитэй давхцдаг.

E = W k хамгийн их;

2) дотор хэт байр суурь(2) биеийг эхний түвшингээс хамгийн их өндөр h max хүртэл өсгөсөн тул боломжит энерги нь мөн хамгийн их байна:

W p max = m g h max;

кинетик энерги нь тэг; нийт энерги нь хамгийн их боломжит энергитэй давхцаж байна.

E = W p max;

3) in завсрын байрлал(3) бие нь агшин зуурын v хурдтай бөгөөд анхны түвшингээс дээш тодорхой h өндөрт өргөгдсөн тул нийт энерги нь нийлбэр болно.

E = m v 2 2 + m g h,

mv 2/2 - кинетик энерги; mgh - боломжит энерги; m - ачааны масс; g - үнэгүй уналтын хурдатгалын модуль; v - ачааны хурдны модуль; h нь тэнцвэрийн байрлалаас дээш өргөх ачааны өндөр юм.

Математикийн дүүжингийн гармоник хэлбэлзлээр нийт механик энергийг хадгална.

E = const.

Математикийн дүүжингийн нийт энергийн гурван байрлал дахь утгыг хүснэгтэд үзүүлэв. 10.1.

№	Байрлал	W х	Д к	E = W p + W k
1	Тэнцвэр	0	m v хамгийн их 2/2	m v хамгийн их 2/2
2	Хэт их	мгм хамгийн их	0	мгм хамгийн их
3	Дунд (шуурхай)	mgh	mv 2/2	mv 2/2 + mgh

Механик энергийн нийт утгыг хүснэгтийн сүүлийн баганад үзүүлэв. 10.1, математикийн илэрхийлэл болох дүүжингийн аль ч байрлалд тэнцүү утгатай байна.

m v max 2 2 = m g h max;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h;

m g h max = m v 2 2 + m g h,

энд m нь ачааны масс; g - үнэгүй уналтын хурдатгалын модуль; v нь 3-р байрлал дахь ачааллын агшин зуурын хурдны модуль; h - 3-р байрлал дахь тэнцвэрийн байрлалаас дээш өргөх ачааны өндөр; v max - 1-р байрлал дахь ачааны хамгийн их хурдны модуль; h max нь 2 -р байрлал дахь тэнцвэрийн байрлалаас дээш ачааг өргөх хамгийн дээд өндөр юм.

Утасны хазайлтын өнцөгбосоо чиглэлээс математик дүүжин (Зураг 10.15) илэрхийллээр тодорхойлогдоно

cos α = l - h l = 1 - h l,

энд l нь утасны урт; h нь тэнцвэрийн байрлалаас дээш өргөх ачааны өндөр юм.

Хамгийн их өнцөгхазайлт α max нь тэнцвэрийн байрлалаас дээш ачааны хамгийн их өргөх өндрөөр тодорхойлогдоно:

cos α max = 1 - h max l.

Жишээ 11. Математикийн дүүжингийн жижиг хэлбэлзлийн хугацаа 0.9 сек байна. Тэнцвэрийн байрлалыг өнгөрөөд бөмбөг 1.5 м / с хурдтай хөдөлвөл босоо чиглэлээс хамгийн их өнцгөөр хазайх уу? Системд ямар ч үрэлт байхгүй.

Шийдэл. Зураг дээр математик дүүжингийн хоёр байрлалыг харуулав.

• тэнцвэрийн байрлал 1 (бөмбөгний хамгийн их хурдаар тодорхойлогддог v max);
• туйлын байрлал 2 (тэнцвэрийн байрлалаас дээш бөмбөгний хамгийн их өсөлт h-ээр тодорхойлогддог).

Хүссэн өнцгийг тэгш байдлын дагуу тодорхойлно

cos α max = l - h max l = 1 - h max l,

энд l нь савлуурын утасны урт.

Савлуур бөмбөгний тэнцвэрт байдлаас дээш өргөгдсөн хамгийн өндөр өндрийг нийт механик энергийг хадгалах хуулиас олж болно.

Дэнлүүний тэнцвэрт байдал ба хэт байрлал дахь нийт энергийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

• тэнцвэрт байдалд -

E 1 = m v хамгийн их 2 2,

энд m нь савлуурын бөмбөлгийн масс; v max - тэнцвэрийн байрлал дахь бөмбөгний хурдны модуль (хамгийн дээд хурд), v max = 1.5 м / с;

• хэт байрлалд -

E 2 = mgh max,

энд g нь таталцлын хурдатгалын модуль; h max нь бөмбөгийг тэнцвэрийн байрлалаас дээш өргөх хамгийн дээд өндөр юм.

Нийт механик энергийг хадгалах хууль:

m v max 2 2 = m g h max.

Бөмбөгний тэнцвэрийн байрлалаас дээш гарах хамгийн өндөр өндрийг эндээс илэрхийлье.

h max = v max 2 2 g.

Утасны уртыг математик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацааны томъёогоор тодорхойлно

T = 2 π l g,

тэдгээр. утас урт

l = T 2 g 4 π 2.

Хүссэн өнцгийн косинусын илэрхийлэлд h max ба l -ийг орлуулна уу.

cos α max = 1 - 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

мөн ойролцоо тэгш байдлыг харгалзан тооцооллыг хийх болно π 2 = 10:

cos α max = 1 - 2 ⋅ 10 ⋅ (1.5) 2 10 2 ⋅ (0.9) 2 = 0.5.

Эндээс харахад хамгийн их хазайлтын өнцөг нь 60 ° байна.

Хатуухан хэлэхэд 60 ° өнцгөөр бөмбөгний хэлбэлзэл бага биш бөгөөд математикийн дүүжингийн хэлбэлзлийн үеийн стандарт томъёог ашиглах нь зохисгүй юм.

Хаврын дүүжингийн хэлбэлзлийн үед энерги хэмнэх

Хаврын савлуурын нийт механик энергикинетик энерги ба боломжит энергиээс бүрдэнэ.

E = W k + W p,

хаана W k - кинетик энерги, W k = mv 2/2; W p - боломжит энерги, W p = k (Δx) 2/2; m нь ачааны жин; v - ачааны хурдны модуль; k - хаврын хатуулаг (уян хатан чанар) коэффициент; Δx - булгийн хэв гажилт (суналт ба шахалт) (Зураг 10.16).

Олон улсын нэгжийн системд механик хэлбэлзлийн системийн энергийг жоул (1 J) хэмждэг.

Гармоник чичиргээний хувьд хаврын дүүжин нь хэд хэдэн дараалсан төлөвөөр дамждаг тул хаврын дүүжингийн энергийг гурван байрлалд авч үзэхийг зөвлөж байна (10.16 -р зургийг үз).

1) in тэнцвэрийн байрлал(1) биеийн хурд нь хамгийн их утга v max тул кинетик энерги хамгийн их байна:

W k max = m v max 2 2;

булгийн хэв гажилтгүй тул хаврын боломжит энерги тэг байна; нийт энерги нь хамгийн их кинетик энергитэй давхцдаг.

E = W k хамгийн их;

2) дотор хэт байр суурь(2) булаг хамгийн их хэв гажилттай (Δx max) тул потенциал энерги нь хамгийн их утгатай байна.

W p max = k (Δ x max) 2 2;

биеийн кинетик энерги нь тэг; Нийт энерги нь хамгийн их боломжит энергитэй давхцаж байна.

E = W p max;

3) in завсрын байрлал(3) бие нь агшин зуурын хурдтай v, хавар нь одоогоор зарим хэв гажилттай (Δx) тул нийт энерги нь нийлбэр болно.

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

mv 2/2 - кинетик энерги; k (Δx) 2/2 - боломжит энерги; m - ачааны масс; v - ачааны хурдны модуль; k - хаврын хатуулаг (уян хатан чанар) коэффициент; Δx - булгийн хэв гажилт (суналт эсвэл шахалт).

Пүршний дүүжингийн ачааллыг тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх үед үүнийг ажиллуулна сэргээх хүч, дүүжингийн хөдөлгөөний чиглэл дэх проекцийг томъёогоор тодорхойлно

F x = -kx,

энд x нь хаврын дүүжингийн жингийн тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэлт, x = ∆x, ∆x - булгийн хэв гажилт; k - дүүжин булгийн хатуулгийн коэффициент (уян хатан байдал).

Хаврын савлуурын гармоник хэлбэлзлийн үед нийт механик энерги хадгалагдана.

E = const.

Гурван байрлал дахь хаврын савлуурын нийт энергийн утгыг хүснэгтэд тусгасан болно. 10.2.

№	Байрлал	W х	Д к	E = W p + W k
1	Тэнцвэр	0	m v хамгийн их 2/2	m v хамгийн их 2/2
2	Хэт их	k (Δx max) 2/2	0	k (Δx max) 2/2
3	Дунд (шуурхай)	k (Δx) 2/2	mv 2/2	mv 2/2 + k (Δx) 2/2

Хүснэгтийн сүүлчийн баганад үзүүлсэн нийт механик энергийн утгууд нь дүүжингийн аль ч байрлалд тэнцүү утгатай байх бөгөөд энэ нь математикийн илэрхийлэл болно нийт механик энерги хэмнэлтийн хууль:

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

энд m нь ачааны масс; v нь 3-р байрлал дахь ачааллын агшин зуурын хурдны модуль; Δx - 3 -р байрны булгийн хэв гажилт (суналт эсвэл шахалт); v max - 1 -р байрны хамгийн их ачааны хурдны модуль; Δx max - 2-р байрлал дахь хаврын хамгийн их деформаци (таталт ба шахалт).

Жишээ 12. Пүршний дүүжин нь гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг. Тэнцвэрийн байрлалаас биеийн шилжилт далайцын дөрөвний нэг болох мөчид түүний кинетик энерги нь потенциалаас хэдэн дахин их вэ?

Шийдэл. Хаврын дүүжингийн хоёр байрлалыг харьцуулж үзье.

• туйлын байрлал 1 (савлуурын жингийн тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их шилжилтээр тодорхойлогддог x max);
• завсрын байрлал 2 (тэнцвэрийн байрлал x ба хурдны v → шилжилтийн завсрын утгуудаар тодорхойлогддог).

Хэт ба завсрын байрлал дахь савлуурын нийт энергийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

• хэт байрлалд -

E 1 = k (Δ x max) 2 2,

энд k нь булгийн хатуу байдал (уян хатан чанар) коэффициент; ∆x max - чичиргээний далайц (тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их шилжилт), ∆x max = A;

• завсрын байрлалд -

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

энд m нь савлуурын ачааллын жин; ∆x - тэнцвэрийн байрлалаас ачааллыг шилжүүлэх, ∆x = A / 4.

Хаврын савлуурын нийт механик энерги хэмнэлтийн хууль дараах байдалтай байна.

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2.

Бичсэн тэгш байдлын хоёр талыг k (∆x) 2/2 гэж хуваана.

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p,

энд W k нь завсрын байрлал дахь савлуурын кинетик энерги, W k = mv 2/2; W p - завсрын байрлал дахь дүүжингийн боломжит энерги, W p = k (∆x) 2/2.

Шаардлагатай энергийн харьцааг тэгшитгэлээс илэрхийлье.

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 - 1

түүний утгыг тооцоолох:

W k W p = (A A / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15.

Тодорхой цаг хугацаанд дүүжингийн кинетик ба боломжит энергийн харьцаа 15 байна.

Хүндийн хүчний жигд бус талбарт уян хатан бус жинтэй утас дээр өлгөгдсөн материаллаг цэг (бие) -ээс бүрдэх механик системийг математикийн дүүжин гэж нэрлэдэг (өөр нэр нь осциллятор). Энэ төхөөрөмжийн бусад төрлүүд байдаг. Утасны оронд жингүй саваа ашиглаж болно. Математикийн дүүжин нь олон сонирхолтой үзэгдлийн мөн чанарыг тодорхой харуулдаг. Бага хэлбэлзлийн далайцтай бол түүний хөдөлгөөнийг гармоник гэж нэрлэдэг.

Механик системийн талаархи ерөнхий мэдээлэл

Энэхүү савлуурын хэлбэлзлийн хугацааны томъёог Голландын эрдэмтэн Гюйгенс (1629-1695) гаргасан. И.Ньютоны орчин үеийн хүн энэхүү механик системд маш их дуртай байжээ. 1656 онд тэрээр анхны дүүжин цагийг бүтээжээ. Тэд цаг хугацааг онцгой нарийвчлалтайгаар хэмжсэн. Энэхүү шинэ бүтээл нь физик туршилт, практик үйл ажиллагааг хөгжүүлэх хамгийн чухал үе шат болжээ.

Хэрэв савлуур тэнцвэртэй байвал (босоо байрлалд өлгөөтэй) бол утас суналтын хүчээр тэнцвэрждэг. Уян хатан биш утас дээрх хавтгай дүүжин бол хязгаарлалттай хоёр градусын эрх чөлөөтэй систем юм. Зөвхөн нэг бүрэлдэхүүн хэсгийг өөрчлөхөд түүний бүх хэсгүүдийн шинж чанар өөрчлөгддөг. Тэгэхээр, утсыг саваагаар сольсон бол энэ механик систем нь зөвхөн 1 зэрэг эрх чөлөөтэй байх болно. Математикийн дүүжин ямар шинж чанартай вэ? Энэхүү хамгийн энгийн системд үе үе гарч буй эмх замбараагүй байдлын нөлөөн дор эмх замбараагүй байдал үүсдэг. Түдгэлзүүлэх цэг хөдөлдөггүй, харин хэлбэлздэг тохиолдолд дүүжин дээр шинэ тэнцвэрийн байрлал гарч ирнэ. Хурдан дээш доош чичиргээний үед энэхүү механик систем нь доошоо доошоо тогтвортой байрлалыг авдаг. Энэ нь бас өөрийн гэсэн нэртэй байдаг. Үүнийг Капица дүүжин гэж нэрлэдэг.

Дүүжингийн шинж чанар

Математикийн савлуур нь маш сонирхолтой шинж чанартай байдаг. Эдгээрийг бүгдийг нь сайн мэддэг физикийн хуулиуд баталдаг. Бусад дүүжин савны хэлбэлзлийн хугацаа нь биеийн хэмжээ, хэлбэр, түдгэлзүүлэх цэг ба хүндийн төв хоорондын зай, өгөгдсөн цэгтэй харьцуулсан массын тархалт гэх мэт янз бүрийн нөхцөл байдлаас хамаардаг. Тиймээс өлгөөтэй биеийн хугацааг тодорхойлох нь нэлээд хэцүү ажил юм. Математикийн дүүжингийн хугацааг тооцоолох нь илүү хялбар бөгөөд томъёог доор өгөв. Ийм механик системийг ажигласны үр дүнд дараахь хэв маягийг бий болгох боломжтой болно.

Хэрэв дүүжингийн ижил уртыг хадгалж, бид өөр өөр жинг түдгэлзүүлбэл масс нь маш их ялгаатай боловч тэдний хэлбэлзлийн хугацаа ижил байх болно. Тиймээс ийм савлуурын хугацаа нь ачааллын массаас хамаардаггүй.

Хэрэв системийг эхлүүлэх үед дүүжин нь хэт том биш, өөр өөр өнцгөөс хазайсан бол тэр нь ижил хугацаанд, өөр өөр далайцаар хэлбэлзэж эхлэх болно. Тэнцвэрийн төвөөс хазайх нь тийм ч их биш бол хэлбэрийн хэлбэлзэл нь гармониктай ойролцоо байх болно. Ийм савлуурын хугацаа нь ямар нэгэн байдлаар хэлбэлзлийн далайцаас хамаардаггүй. Энэхүү механик системийн энэ шинж чанарыг изохронизм гэж нэрлэдэг (Грекээс "хронос" - цаг хугацаа, "изос" - тэнцүү).

Математикийн савлуурын хугацаа

Энэ үзүүлэлт нь үеийг илэрхийлдэг Хэдийгээр нарийн төвөгтэй бүтэцтэй ч гэсэн процесс өөрөө маш энгийн байдаг. Хэрэв математик дүүжингийн уртын урт L, таталцлын хурдатгал g бол энэ утга дараахьтай тэнцүү байна.

Байгалийн жижиг хэлбэлзлийн хугацаа нь савлуурын масс ба хэлбэлзлийн далайцаас огт хамаардаггүй. Энэ тохиолдолд дүүжин нь багасгасан урттай математик шиг хөдөлдөг.

Математикийн савлуурын хэлбэлзэл

Математикийн дүүжин нь хэлбэлздэг бөгөөд үүнийг энгийн дифференциал тэгшитгэлээр дүрсэлж болно.

x + ω2 sin x = 0,

x (t) нь үл мэдэгдэх функц юм (энэ нь радиангаар илэрхийлсэн t хугацааны тэнцвэрийн доод байрлалаас хазайлтын өнцөг юм); ω нь дүүжингийн параметрүүдээс (ω = √g / L) тодорхойлсон эерэг тогтмол бөгөөд g нь чөлөөт уналтын хурдатгал ба L нь математикийн дүүжингийн урт (түдгэлзүүлэлт) юм.

Тэнцвэрийн байрлалын ойролцоо жижиг чичирхийллийн тэгшитгэл (гармоник тэгшитгэл) дараах байдалтай байна.

x + ω2 sin x = 0

Дүүжингийн хэлбэлзлийн хөдөлгөөн

Жижиг хэлбэлзэл хийдэг математик дүүжин нь синусоидын дагуу хөдөлдөг. Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь ийм хөдөлгөөний бүх шаардлага, параметрүүдийг хангадаг. Траекторыг тодорхойлохын тулд хурд ба координатыг тогтоох шаардлагатай бөгөөд дараа нь бие даасан тогтмолуудыг тодорхойлно.

x = Нүгэл (θ 0 + ωt),

θ 0 бол эхний үе шат, А нь чичиргээний далайц, ω нь хөдөлгөөний тэгшитгэлээс тодорхойлсон мөчлөгийн давтамж юм.

Математикийн дүүжин (том далайцын томъёо)

Их хэмжээний далайцтай хэлбэлздэг энэхүү механик систем нь илүү нарийн хөдөлгөөний хуулийг дагаж мөрддөг. Ийм дүүжингийн хувьд тэдгээрийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

нүгэл x / 2 = u * sn (ωt / u),

Энд sn бол Жакоби синус юм< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

энд ε = E / mL2 (mL2 нь савлуурын энерги).

Шугаман бус дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацааг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

Энд Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K нь эллипсийн интеграл, π - 3,14.

Сепараторын дагуу дүүжин хөдөлгөөн

Сепаратрикс бол хоёр хэмжээст фазын орон зай бүхий динамик системийн замнал юм. Математикийн дүүжин нь түүний дагуу үе үе хөдөлдөггүй. Хязгааргүй алслагдсан мөчид энэ нь туйлын дээд байрлалаас тэг хурдтай хажуу тийш унаж, аажмаар авдаг. Эцсийн эцэст энэ нь анхны байрлалдаа эргэж зогсдог.

Хэрэв савлуурын хэлбэлзлийн далайц тоо руу ойртвол π , энэ нь фазын хавтгай дээрх хөдөлгөөн нь салангид шугам руу ойртож байгааг харуулж байна. Энэ тохиолдолд жижиг хүчээр ажилладаг үечилсэн хүчний нөлөөн дор механик систем нь эмх замбараагүй зан үйлийг харуулдаг.

Математикийн дүүжин тэнцвэрийн байрлалаас тодорхой φ өнцгөөр хазайхад таталцлын тангенциал хүч Fτ = -mg sin φ үүснэ. Хасах тэмдэг нь энэ шүргэгч бүрэлдэхүүн нь дүүжингийн хазайлтын эсрэг чиглэлд чиглэгддэг гэсэн үг юм. X нь радиустай тойргийн нумын дагуу дүүжингийн шилжилтийг илэрхийлдэг бол түүний өнцгийн шилжилт нь φ = x / L байна. Төсөөлөл ба хүчний хоёр дахь хууль нь хүссэн утгыг өгөх болно.

мг τ = Fτ = -mg sin x / L

Энэхүү харьцаа дээр үндэслэн энэхүү савлуур нь шугаман бус систем болохыг харж болно, учир нь түүнийг тэнцвэрт байдалд буцааж өгөх хүч нь x нүүлэлт биш харин x / L нүгэлтэй пропорциональ байдаг.

Зөвхөн математикийн дүүжин нь жижиг хэлбэлзэл хийх үед энэ нь гармоник осциллятор юм. Өөрөөр хэлбэл энэ нь гармоник чичиргээг гүйцэтгэх чадвартай механик систем болж хувирдаг. Энэ ойролцоо нь 15-20 градусын өнцөгт бараг хүчинтэй байдаг. Том далайцтай савлуурын хэлбэлзэл нь гармоник биш юм.

Савлуурын жижиг хэлбэлзлийн Ньютоны хууль

Хэрэв өгөгдсөн механик систем нь бага чичиргээ хийдэг бол Ньютоны 2-р хууль дараах байдалтай байна.

мг τ = Fτ = -m * g / L * x.

Үүн дээр үндэслэн математикийн дүүжин нь түүний хасах тэмдэгтэй шилжилт хөдөлгөөнтэй пропорциональ байна гэж дүгнэж болно. Энэ бол систем нь гармоник осциллятор болох нөхцөл юм. Нүүлгэн шилжүүлэлт ба хурдатгалын харьцааны модуль нь өнцгийн давтамжийн квадраттай тэнцүү байна.

ω02 = г / л; ω0 = √ г / Л.

Энэ томъёо нь энэ төрлийн дүүжингийн жижиг хэлбэлзлийн байгалийн давтамжийг тусгасан болно. Үүн дээр үндэслэн,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Эрчим хүчний хэмнэлтийн хуульд үндэслэсэн тооцоо

Савлуурын шинж чанарыг энерги хадгалах хуулийг ашиглан тодорхойлж болно. Таталцлын талбайн дүүжин нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү гэдгийг анхаарах хэрэгтэй.

E = mg∆h = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Бүрэн нь кинетик буюу хамгийн их потенциалтай тэнцүү байна: Epmax = Ekmsx = E

Эрчим хүчний хэмнэлтийн хуулийг бичсний дараа тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талын деривативыг авна.

Тогтмол уламжлал 0-тэй тэнцүү тул (Ep + Ek) "= 0. Нийлбэрийн дериватив нь деривативын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Эп "= (мг / L * x2 / 2)" = мг / 2L * 2x * x "= мг / L * v + Ek" = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) "= m / 2 * 2v * v "= mv * α,

Үүний үр дүнд:

Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m α) = 0.

Сүүлийн томъёонд үндэслэн бид дараахь зүйлийг олно: α = - g / L * x.

Математикийн савлуурын практик хэрэглээ

Дэлхийн царцдасын нягтрал дэлхий даяар ижил биш тул хурдатгал өргөргийн хувьд харилцан адилгүй байдаг. Өндөр нягтралтай чулуулаг үүссэн тохиолдолд ялимгүй өндөр байх болно. Математикийн дүүжин хурдатгалыг геологи хайгуулын ажилд ихэвчлэн ашигладаг. Үүнээс янз бүрийн ашигт малтмал хайж байдаг. Дүүжингийн хэлбэлзлийн тоог тоолоход дэлхийн гэдэс дотор нүүрс эсвэл хүдэр олж болно. Энэ нь ийм чулуужсан олдворууд нь тэдгээрийн доор байрлах сул чулуулгуудаас илүү нягтрал, масстай байдагтай холбоотой юм.

Сократ, Аристотель, Платон, Плутарх, Архимед зэрэг алдартай эрдэмтэд математикийн дүүжин ашигласан. Тэдний олонх нь энэхүү механик систем нь хүний ​​хувь тавилан, амьдралд нөлөөлж чадна гэж үздэг байв. Архимед тооцоололдоо математикийн дүүжин ашигласан. Өнөө үед олон илбэчин, зөн билэгчид энэхүү механик системийг бошиглолоо биелүүлэх эсвэл сураггүй алга болсон хүмүүсийг хайж олоход ашигладаг.

Францын алдарт одон орон судлаач, байгалийн судлаач К.Фламмарион мөн судалгаандаа математикийн дүүжин ашигласан байна. Тэрбээр өөрийн тусламжтайгаар шинэ гариг ​​нээгдэх, Тунгуска солир гарч ирэх болон бусад чухал үйл явдлуудыг урьдчилан таамаглаж чадсан гэж мэдэгджээ. Дэлхийн 2 -р дайны үед тусгай дүүжин институт Германд (Берлин) ажиллаж байсан. Өнөө үед Мюнхений парапсихологийн хүрээлэн ижил төстэй судалгаа хийж байна. Энэ байгууллагын ажилчид савлуураар хийсэн ажлаа "радиоестези" гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт

Математикийн савлуургэдэг нь бүхэл масс нь нэг цэг дээр төвлөрсөн, савлуурын массын төв болох физик савлуурын онцгой тохиолдол болох хэлбэлзлийн систем юм.

Ихэнхдээ математик дүүжин нь урт, жингүй, сунахгүй утас дээр дүүжин бөмбөг хэлбэрээр дүрслэгддэг. Энэ бол таталцлын нөлөөн дор эв нэгдэлтэй чичирхийлдэг idealized систем юм. Математикийн дүүжингийн нарийвчлалтай тооцоолох нь нимгэн урт утсан дээр хэлбэлзэж буй асар том жижиг бөмбөлөг юм.

Галилей нь урт гинж дээр лааны суурь дүүжин байгааг харгалзан математикийн савлуурын шинж чанарыг анх судалж байжээ. Тэрээр математик савлуурын хэлбэлзлийн хугацаа нь далайцаас хамаардаггүй болохыг олж тогтоожээ. Хэрэв peint эхлэх үед энэ нь өөр өөр жижиг өнцгөөс хазайсан бол түүний хэлбэлзэл нь ижил хугацаанд, гэхдээ өөр өөр далайцтай байх болно. Энэ өмчийг изохронизм гэж нэрлэдэг.

Математикийн дүүжингийн хөдөлгөөний тэгшитгэл

Математикийн савлуур нь гармоник хэлбэлзлийн сонгодог жишээ юм. Энэ нь дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг.

\ [\ ddot (\ varphi) + (\ omega) ^ 2_0 \ varphi = 0 \ \ зүүн (1 \ баруун), \]

$ \ varphi $ бол тэнцвэрийн байрлалаас утас (түдгэлзүүлэх) хазайлтын өнцөг юм.

Тэгшитгэл (1) -ийн шийдэл бол $ \ varphi (t): $ функц юм

\ [\ varphi (t) = (\ varphi) _0 (\ cos \ зүүн ((\ omega) _0t + \ альфа \ баруун) \ зүүн (2 \ баруун), \) \]

Энд $ \ alpha $ нь хэлбэлзлийн эхний үе шат юм; $ (\ varphi) _0 $ - чичиргээний далайц; $ (\ omega) _0 $ - мөчлөгийн давтамж.

Гармоник осцилляторын хэлбэлзэл нь үечилсэн хөдөлгөөний чухал жишээ юм. Осциллятор нь сонгодог ба квант механикийн олон асуудлын загвар болж өгдөг.

Математикийн дүүжингийн мөчлөгийн давтамж ба хэлбэлзлийн үе

Математикийн савлуурын мөчлөгийн давтамж нь зөвхөн түдгэлзүүлсэн уртаас хамаарна.

\ [\ (\ omega) _0 = \ sqrt (\ frac (g) (l)) \ зүүн (3 \ баруун). \]

Математикийн савлуурын хэлбэлзлийн үе ($ T $) энэ тохиолдолд дараахь байдалтай байна.

Илэрхийлэл (4) нь математикийн дүүжингийн хугацаа нь зөвхөн түүний түдгэлзүүлэлтийн урт (түдгэлзүүлэлтийн цэгээс ачааны хүндийн төв хүртэлх зай) болон хүндийн хүчний хурдатгалаас хамаардаг болохыг харуулж байна.

Математикийн савлуурын энергийн тэгшитгэл

Механик системийн чичиргээг нэг градусын эрх чөлөөгөөр авч үзэхдээ ихэвчлэн Ньютоны хөдөлгөөний тэгшитгэл биш харин энергийн тэгшитгэлийг авдаг. Энэ нь зохиоход илүү хялбар байдаг бөгөөд энэ нь цаг хугацааны хувьд эхний дарааллын тэгшитгэл юм. Системд үрэлт байхгүй гэж үзье. Чөлөөт хэлбэлзэл (жижиг хэлбэлзэл) хийдэг математик дүүжингийн энерги хадгалагдах хуулийг дараах байдлаар бичиж болно.

$ E_k $ бол дүүжингийн кинетик энерги; $ E_p $ - дүүжингийн боломжит энерги; $ v $ бол савлуурын хурд; $ x $ - савлуурын ачааллын тэнцвэрийн байрлалаас $ l $ радиустай тойргийн нумын дагуу шугаман шилжилт, харин өнцгийн шилжилт нь $ x $ -тай холбоотой:

\ [\ varphi = \ frac (x) (l) \ зүүн (6 \ баруун). \]

Математикийн дүүжингийн боломжит энергийн хамгийн их утга нь:

Хамгийн их кинетик энерги:

$ h_m $ бол дүүжингийн өргөх хамгийн дээд өндөр; $ x_m $ - савлуурын тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их хазайлт; $ v_m = (\ omega) _0x_m $ - хамгийн дээд хурд.

Шийдэл бүхий даалгаврын жишээ

Жишээ 1

Даалгавар.Математикийн дүүжин бөмбөгийг тэнцвэрийн байрлал өнгөрөхөд түүний хөдөлгөөний хурд $ v $ байсан бол түүнийг өргөх хамгийн дээд өндөр нь хэд вэ?

Шийдэл.Зураг зурцгаая.

Бөмбөгний боломжит энергийг тэнцвэрийн байрлалд нь тэг болго (цэг 0) .Энэ үед бөмбөгний хурд хамгийн их бөгөөд бодлогын нөхцлөөр $ v $ -тай тэнцүү байна. Тэнцвэрийн байрлалаас дээш бөмбөгийг хамгийн их өргөх цэг дээр (А цэг) бөмбөгний хурд тэг, боломжит энерги хамгийн их байна. Бөмбөгийг авч үзсэн хоёр байрлалын энергийг хадгалах хуулийг бичье.

\ [\ frac (mv ^ 2) (2) = mgh \ \ зүүн (1.1 \ баруун). \]

Тэгшитгэл (1.1) -ээс бид хүссэн өндрийг олж авна.

Хариулт.$ h = \ frac (v ^ 2) (2g) $

Жишээ 2

Даалгавар.$ L = 1 \ m $ урттай математик савлуур $ T = 2 \ s $ -тай тэнцэх хугацаатай хэлбэлзвэл таталцлын хурдатгал хэд вэ? Математикийн савлуурын хэлбэлзлийг бага гэж үзье. \ Textit ()

Шийдэл.Асуудлыг шийдвэрлэх үндэс болгон бид бага хэлбэлзлийн хугацааг тооцоолох томъёог авна.

Үүнээс хурдатгалаа илэрхийлье.

Хүндийн хүчний хурдатгалыг тооцоолъё.

Хариулт.$ g = 9.87 \ \ frac (m) (s ^ 2) $

Математикийн савлуурнь дэлхийн таталцлын талбарт байрладаг жингүй, сунахгүй утас дээр түдгэлзүүлсэн материаллаг цэг юм. Математикийн савлуур нь зөвхөн тодорхой нөхцөлд л бодит савлуурыг зөв дүрсэлсэн оновчтой загвар юм. Хэрэв утасны урт нь түүн дээр тогтсон биеийн хэмжээнээс хамаагүй их, жин нь биеийн масстай харьцуулахад үл тоомсорлож, утасны хэв гажилт нь маш бага байвал жинхэнэ савлуурыг математик гэж үзэж болно. Тэднийг үл тоомсорлож болно.

Энэ тохиолдолд хэлбэлзлийн систем нь утас, түүнд бэхлэгдсэн бие ба Дэлхийг үүсгэдэг бөгөөд энэ системгүйгээр дүүжин болж чадахгүй.

хаана гэхдээ NS – хурдатгал, ж - таталцлын хурдатгал, NS- офсет, лДүүжин утасны урт.

Энэ тэгшитгэлийг нэрлэдэг математик савлуурын чөлөөт хэлбэлзлийн тэгшитгэл.Дараахь таамаглалыг биелүүлсэн тохиолдолд л авч үзсэн хэлбэлзлийг зөв тайлбарласан болно.

2) дүүжин өнцгийн жижиг дүүжингийн зөвхөн бага хэлбэлзлийг тооцно.

Аливаа системийн чөлөөт чичиргээг бүх тохиолдолд ижил төстэй тэгшитгэлээр дүрсэлдэг.

Математикийн савлуурын чөлөөт хэлбэлзлийн шалтгаан нь:

1. Тэнцвэрийн хүч ба таталцлын хүчний дүүжин дээрх тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэлтээс сэргийлж, түүнийг доош буухад хүргэдэг үйлдэл.

2. Савлуурын инерци, үүнээс болж хурдаа хадгалахын зэрэгцээ тэнцвэрийн байрлал дээр зогсохгүй, цааш дамжин өнгөрнө.

Математикийн дүүжингийн чөлөөт хэлбэлзлийн үе

Математикийн дүүжингийн чөлөөт хэлбэлзлийн хугацаа нь түүний массаас хамаарахгүй бөгөөд зөвхөн утасны урт ба дүүжин байрлаж буй газрын таталцлын хурдаар тодорхойлогдоно.

Гармоник чичиргээгээр энергийг хувиргах

Хаврын савлуурын гармоник хэлбэлзлийн үед уян хатан хэв гажилттай биеийн потенциал энерги нь түүний кинетик энерги болж хувирдаг. к – уян хатан байдлын коэффициент, NS -савлуурын тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх модуль, мсавлуурын масс, v- түүний хурд. Гармоник чичиргээний тэгшитгэлийн дагуу:

, .

Хаврын савлуурын нийт энерги:

.

Математикийн савлуурын нийт энерги:

Математикийн дүүжингийн хувьд

Хаврын дүүжингийн хэлбэлзлийн үед энергийн өөрчлөлт нь механик энергийг хадгалах хуулийн дагуу явагддаг. ). Савлуур тэнцвэрийн байрлалаас доош буюу дээш хөдлөхөд түүний боломжит энерги нэмэгдэж, кинетик энерги нь буурдаг. Савлуур тэнцвэрийн байрлалыг өнгөрөхөд ( NS= 0), түүний боломжит энерги нь тэг бөгөөд дүүжингийн кинетик энерги нь хамгийн их утгатай бөгөөд нийт энергитэй тэнцүү байна.

Ийнхүү дүүжингийн чөлөөт хэлбэлзлийн явцад түүний потенциал энергийг кинетик, кинетик, потенциал, дараа нь кинетик гэх мэт болгон хувиргадаг боловч нийт механик энерги өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Албадан чичиргээ. Резонанс.

Гадны үечилсэн хүчний үйлчлэлээр үүсэх хэлбэлзлийг нэрлэдэг албадан эргэлзэх... Хүчээр албадах гэж нэрлэгддэг гадны тогтмол хүч нь хэлбэлзлийн системд нэмэлт энерги өгдөг бөгөөд үүнийг үрэлтийн улмаас үүссэн эрчим хүчний алдагдлыг нөхөхөд ашигладаг. Хэрэв синус буюу косинусын хуулийн дагуу хөдөлгөгч хүч цаг хугацааны хувьд өөрчлөгдвөл албадан хэлбэлзэл нь гармоник бөгөөд намдаагүй болно.

Чөлөөт хэлбэлзлээс ялгаатай нь систем нь зөвхөн нэг удаа энерги хүлээн авахад (системийг тэнцвэрийн байдлаас гаргахад) албадан хэлбэлзлийн хувьд систем энэ энергийг гадны үечилсэн хүчний эх үүсвэрээс тасралтгүй шингээдэг. Энэ энерги нь үрэлтийг арилгахад зарцуулсан алдагдлыг нөхдөг тул хэлбэлзлийн системийн нийт энерги өөрчлөгдөхгүй хэвээр байна.

Албадан чичирхийллийн давтамж нь хөдөлгөгч хүчний давтамжтай тэнцүү байна... Хөдөлгөөний хүчний давтамж υ хэлбэлзэлтэй системийн байгалийн давтамжтай давхцаж байна υ 0 , албадан хэлбэлзлийн далайц огцом нэмэгдэж байна - резонанс. Хэзээ гэдэгтэй холбоотойгоор резонанс үүсдэг υ = υ 0 Чөлөөт хэлбэлзэлтэй цаг хугацаанд ажилладаг гадны хүч нь үргэлж хэлбэлзэж буй биеийн хурдаар зохицуулагддаг бөгөөд эерэг ажил хийдэг: хэлбэлзэлтэй биеийн энерги нэмэгдэж, түүний хэлбэлзлийн далайц том болно. Албадан чичиргээний далайцын хамаарлын график ГЭХДЭЭ Т хөдөлгөгч хүчний давтамж дээр υ Зурагт үзүүлсэн энэхүү графикийг резонансын муруй гэж нэрлэдэг.

Резонансын үзэгдэл нь байгалийн, шинжлэх ухаан, үйлдвэрлэлийн олон үйл явцад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Жишээлбэл, ачааллын дор чичирхийлэлд өртдөг гүүр, барилга байгууламж, бусад байгууламжийг зохион бүтээхдээ резонансын үзэгдлийг харгалзан үзэх шаардлагатай, эс тэгвээс тодорхой нөхцөлд эдгээр байгууламжийг устгах боломжтой.

Хэрэв булаг хавсаргасан бие (Зураг 4) нь A зайгаар, жишээлбэл, зүүн тийш тэнцвэрийн байрлалаас хазайсан бол тэнцвэрийн байрлалыг дамжуулж баруун тийш хазайх болно. Энэ нь эрчим хүчийг хадгалах хуулиас үүдэлтэй юм.

Шахсан эсвэл сунгасан хаврын потенциал энерги нь

энд k нь булгийн хөшүүн байдал, x нь түүний суналт юм. Зүүн туйлын байрлалд хаврын суналт x = - A тул боломжит энерги нь тэнцүү байна

Одоогийн байдлаар кинетик энерги нь тэгтэй тэнцүү, учир нь хурд нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ нь боломжит энерги нь тухайн үеийн системийн нийт механик энерги гэсэн үг юм. Хэрэв бид үрэлтийн хүч тэг, бусад хүч тэнцвэртэй гэдэгтэй санал нийлэх юм бол манай системийг хаалттай гэж үзэж болох бөгөөд хөдөлгөөний явцад түүний нийт энерги өөрчлөгдөх боломжгүй болно. Хөдөлж буй бие нь хэт зөв байрлалд (x = A) байх үед түүний кинетик энерги дахин тэг, нийт энерги нь потенциалтай тэнцүү болно. Мөн нийт энерги өөрчлөгдөх боломжгүй. Тиймээс энэ нь дахин тэнцүү байна

Энэ нь бие нь А -тай тэнцүү зайд баруун тийш хазайна гэсэн үг юм.

Тэнцвэрийн байрлалд эсрэгээрээ потенциал энерги нь тэг болно, учир нь булаг хэв гажаагүй, x = 0 байна. Энэ байрлалд биеийн нийт энерги нь кинетик энергитэй тэнцүү байна

хаана m нь биеийн масс ба түүний хурд (энэ үед хамгийн их хэмжээтэй байна). Гэхдээ энэ кинетик энерги нь ижил утгатай байх ёстой. Үүний үр дүнд хэлбэлзлийн хөдөлгөөний үед кинетик энергийг боломжит энерги болгон хувиргах болно. Тэнцвэр ба хамгийн их хазайлтын байрлалын хоорондох аль ч үед бие нь кинетик энерги, потенциалтай байдаг боловч тэдгээрийн нийлбэр, өөрөөр хэлбэл. биеийн аль ч байрлал дахь нийт энерги нь тэнцүү байна. Хэлбэлзэж буй биеийн нийт механик энерги W нь далайцын квадрат ба түүний хэлбэлзэлтэй пропорциональ байна.

Дүүжин. Математикийн савлуур

Савлуур гэдэг нь таталцлын төв нь түдгэлзэх цэгээс доогуур байхаар дүүжлэгдсэн аливаа биетийг хэлнэ. Энэ нь олс дээр дүүжлэгдсэн ачаалал нь хананы цагны дүүжинтэй төстэй хэлбэлзэлтэй систем юм гэсэн үг юм. Чөлөөт чичиргээ хийх чадвартай аливаа систем тогтвортой тэнцвэрийн байрлалтай байдаг. Савлуурын хувьд таталцлын төв нь түдгэлзэх цэгийн доор босоо байрлалд байрладаг. Хэрэв бид савлуурыг энэ байрлалаас гаргаж авбал түүнийг тэнцвэрийн байрлалаас нэг чиглэлд, эсвэл нөгөө чиглэлд хазайж хэлбэлзэж эхэлнэ. Савлуур хүрэх тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их хазайлтыг хэлбэлзлийн далайц гэж нэрлэдэгийг бид мэднэ. Далайцыг дүүжин хөдөлгөөнд оруулсан анхны хазайлт эсвэл түлхэлтээр тодорхойлно. Энэ шинж чанар нь далайцын хөдөлгөөний эхэн үеийн нөхцлөөс хамаарах байдал нь зөвхөн дүүжингийн чөлөөт хэлбэлзэлд төдийгүй ерөнхийдөө маш олон хэлбэлзлийн системийн чөлөөт хэлбэлзлийн шинж чанар юм.

Физик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа нь олон нөхцөл байдлаас хамаарна: биеийн хэмжээ, хэлбэр, хүндийн төв ба түдгэлзсэн цэгийн хоорондох зай ба биеийн массын энэ цэгтэй харьцуулсан хуваарилалтаас хамаарна; Тиймээс түдгэлзүүлсэн биеийн хугацааг тооцоолох нь нэлээд хэцүү ажил юм. Математикийн дүүжингийн хувьд нөхцөл байдал илүү хялбар байдаг. Математикийн дүүжин гэдэг нь хэмжээсүүд нь утасны уртаас хамаагүй бага, маннагийн масс нь утасны жингээс их хэмжээтэй нимгэн утаснаас дүүжлэгдсэн жинг хэлнэ. Энэ нь бие (ачаалал) ба утас нь ачааллыг материаллаг цэг гэж үзэж болохуйц байх ёстой бөгөөд утас нь жингүй болно гэсэн үг юм. Ийм дүүжингийн ажиглалтаас дараахь энгийн хуулиудыг тогтоож болно.

1. Хэрэв дүүжингийн ижил уртыг (дүүжлэх цэгээс ачааны хүндийн төв хүртэлх зай) байлгаж, өөр өөр жинг түдгэлзүүлбэл жингийн масс хоорондоо маш их ялгаатай боловч хэлбэлзлийн хугацаа ижил байх болно. . Математикийн дүүжингийн үе нь ачааллын массаас хамаардаггүй.

2. Траекторын аль ч цэг дээр биенд үйлчилдэг Сида нь тэнцвэрийн байрлал руу чиглэсэн бөгөөд тэнцвэрийн цэг дээр өөрөө тэгтэй тэнцүү байна.

3. Хүч нь тэнцвэрийн байрлалаас биеийн хазайлттай пропорциональ байна.

Цагаан будаа. тав.

4. Хэрэв дүүжин асаахдаа бид түүнийг өөр өнцгөөс (гэхдээ хэт том биш) хазайлгаж байвал өөр өөр далайцтай байсан ч гэсэн ижил хугацаанд хэлбэлзэх болно. Далайн далайц хэт том биш л бол хэлбэлзэл нь гармоник хэлбэрт ойрхон байх бөгөөд математик дүүжингийн хугацаа нь хэлбэлзлийн далайцаас хамаардаггүй. Энэ шинж чанарыг изохронизм гэж нэрлэдэг (грек хэлнээс "isos" - тэнцүү, "хронос" - цаг хугацаа).

Энэ баримтыг анх 1655 онд Галилео дараахь нөхцөл байдалд үндэслэн тогтоожээ. Галилео Пизагийн сүм хийд дээр урт гинж дээр лааны суурь (Ортодокс сүм хийд, төв лааны суурь, олон лаа эсвэл чийдэн бүхий чийдэн) дүүжин байгааг ажиглав. Тэнгэрлэг үйлчлэлийн үеэр дүүжингийн савлуур аажмаар бүдгэрч (Бүлэг 8), өөрөөр хэлбэл савлуурын далайц буурч, харин хугацаа өөрчлөгдсөнгүй. Галилео өөрийн судасны цохилтыг цаг хугацааны үзүүлэлт болгон ашигласан.

Савлуурын энэ шинж чанар нь гайхмаар төдийгүй ашиг тустай болжээ. Галилей дүүжин цагийг зохицуулагч болгон ашиглахыг санал болгов. Галилейгийн үед цагнууд жингээр ажилладаг байсан бөгөөд салхин тээрмийн ир гэх мэт түүхий төхөөрөмжийг цус харвалтыг тохируулахад ашигладаг байсан бөгөөд энэ нь агаарын эсэргүүцлийг ашигладаг байжээ. Жижиг хэлбэлзэл нь санамсаргүй салхины нөлөөгөөр их хэмжээний хэлбэлзэлтэй ижил хугацаанд тохиолддог тул ижил хугацааны интервал тоолоход дүүжин ашиглаж болно. Галилейгаас хойш нэг зууны дараа дүүжин цаг ашиглалтанд орсон боловч далай тэнгисийн уртрагийг хэмжих нарийвчлалтай цаг хэрэгтэй байв. Цаг хугацааг хангалттай нарийвчлалтай хэмжих боломжийг олгох далайн ийм цагийг бүтээсэнд шагнал гардуулав. Гариссоныг хронометрийн хувьд шагналыг нисдэг тэрэг (баланс) болон цус харвалтыг зохицуулах тусгай хавар ашигласан.

Одоо математикийн дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацааны томъёог гаргаж ирье.

Дүүжин дүүжин байх үед ачаалал нь хөдөлгөөний явцад өөрчлөгддөг P 1 буцах хүчний үйлчлэлээр VA (Зураг 5, а) нуман дагуу хурдацтай хөдөлдөг.

Тогтмол бус хүчний нөлөөн дор биеийн хөдөлгөөнийг тооцоолох нь нэлээд төвөгтэй байдаг. Тиймээс хялбарчлахын тулд бид дараах байдлаар үргэлжлүүлнэ.

Савлуурыг нэг хавтгайд хэлбэлзэл биш харин конусыг дүрслэхийн тулд ачааллыг тойрог хэлбэрээр хөдөлгөе (Зураг 5, б). Энэ хөдөлгөөнийг бие даасан хоёр чичиргээ нэмсэний үр дүнд олж авч болно: нэг нь зургийн хавтгайд, нөгөө нь перпендикуляр хавтгайд хэвээр байна. Аливаа хэлбэлзлийн хавтгай нь нөгөөгөөсөө ялгаагүй тул эдгээр хоёр хавтгайн хэлбэлзлийн үе нь ижил байх нь ойлгомжтой. Үүний үр дүнд нарийн төвөгтэй хөдөлгөөний үе - конусын дагуу дүүжингийн эргэлт - нэг хавтгайд эргэлдэх хугацаатай ижил байх болно. Энэхүү дүгнэлтийг хоёр ижил дүүжин авч, нэгэнд нь хавтгайд эргэлдэж, нөгөө нь конусын дагуу эргүүлэх замаар шууд туршилтаар хялбархан дүрсэлж болно.

Гэхдээ "конус хэлбэрийн" дүүжингийн хувьсгалын хугацаа нь ачааллаар тодорхойлсон тойргийн урттай тэнцүү бөгөөд хурдаар хуваагдана.

Хэрэв босоо чиглэлээс хазайх өнцөг нь бага бол (жижиг далайц!), Дараа нь P 1 буцах хүчийг МЭӨ тойргийн радиусын дагуу чиглүүлж, өөрөөр хэлбэл төв рүү чиглэсэн хүчтэй тэнцүү гэж үзэж болно.

Нөгөө талаар OBC ба DBE гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас BE: BD = CB: OB гэсэн үр дүн гарч байна. OB = l, CB = r, BE = P 1 тул эндээс

Р 1 илэрхийллийг хоёуланг нь хооронд нь тэнцүүлж, эргэлтийн хурдыг авна

Эцэст нь үүнийг T хугацааны илэрхийлэлд орлуулснаар бид олж мэднэ

Тиймээс математикийн дүүжингийн хугацаа нь зөвхөн g таталцлын хурдатгал ба l савлуурын уртаас, өөрөөр хэлбэл түдгэлзсэн цэгээс ачааны хүндийн төв хүртэлх зайнаас хамаарна. Олсон томъёоноос харахад дүүжингийн хугацаа нь түүний масс ба далайцаас хамаардаггүй (хангалттай бага байх тохиолдолд). Өөрөөр хэлбэл, ажиглалтаас өмнө үндэслэсэн эдгээр үндсэн хуулиудыг тооцоолох замаар олж авсан болно.

Гэхдээ энэ онолын дүгнэлт нь бидэнд илүү их зүйлийг өгдөг: энэ нь дүүжингийн хугацаа, түүний урт, таталцлын хурдатгал хоёрын хооронд тоон хамаарлыг тогтоох боломжийг олгодог. Математикийн дүүжингийн хугацаа нь дүүжингийн уртын хүндийн хүчний хурдатгалтай харьцуулсан квадрат язгууртай пропорциональ байна. Харьцааны харьцаа 2?

Энэхүү хурдатгалыг тодорхойлох маш зөв арга нь дүүжингийн хугацаа нь таталцлын хурдатгалаас хамаардаг. Дүүжин l -ийн уртыг хэмжиж, олон тооны хэлбэлзлээс T хугацааг тодорхойлсны дараа үүссэн g томъёог ашиглан тооцоолж болно. Энэ аргыг практикт өргөн ашигладаг.

дүүжин хэлбэлзлийн резонансын координат