Odżywianie i diety 

Nazywa się relację binarną na zbiorze x. Relacja binarna. Podstawy matematyki dyskretnej

Pozwalać R jest pewną relacją binarną na zbiorze X, a x, y, z są dowolnymi jego elementami. Jeśli element x jest w relacji R z elementem y, to napisz xRy.

1. Relację R na zbiorze X nazywamy zwrotną, jeśli każdy element zbioru pozostaje w tej relacji sam ze sobą.

R – refleksyjny na X<=>xRx dla dowolnego x€ X

Jeśli relacja R jest zwrotna, to w każdym wierzchołku grafu znajduje się pętla. Na przykład relacje równości i równoległości odcinków są zwrotne, ale relacje prostopadłości i „dłuższego” nie są zwrotne. Znajduje to odzwierciedlenie na wykresach na rysunku 42.

2. Relację R na zbiorze X nazywamy symetryczną, jeżeli z faktu, że element x pozostaje w danej relacji z elementem y, wynika, że ​​element y pozostaje w tej samej relacji z elementem x.

R - włączone symetrycznie (xYay =>y Rx)

Wykres relacji symetrycznej zawiera sparowane strzałki skierowane w przeciwne strony. Relacje równoległości, prostopadłości i równości odcinków są symetryczne, ale relacja „dłuższa” nie jest symetryczna (rys. 42).

3. Relację R na zbiorze X nazywamy antysymetryczną, jeżeli dla różnych elementów x i y ze zbioru X z faktu, że element x pozostaje w danej relacji z elementem y, wynika, że ​​element y nie jest w tej relacji z elementem x.

R - antysymetryczny na X « (xRy i xy ≠ yRx)

Uwaga: górna kreska oznacza zaprzeczenie instrukcji.

Na wykresie relacji antysymetrycznej dwa punkty można połączyć tylko jedną strzałką. Przykładem takiej relacji jest „dłuższa” relacja dla odcinków (rys. 42). Relacje równoległości, prostopadłości i równości nie są antysymetryczne. Istnieją relacje, które nie są ani symetryczne, ani antysymetryczne, jak na przykład relacja „być bratem” (ryc. 40).

4. Relację R na zbiorze X nazywamy przechodnią, jeżeli z faktu, że element x pozostaje w danej relacji z elementem y, a element y jest w tej relacji z elementem z wynika, że ​​element x jest w dana relacja z elementem Z

R - przechodni na A≠ (xRy i yRz=> xRz)

Na wykresach relacji „dłuższej”, równoległości i równości na rysunku 42 można zauważyć, że jeśli strzałka przechodzi od pierwszego elementu do drugiego i od drugiego do trzeciego, to na pewno jest strzałka biegnąca od pierwszego element trzeci. Relacje te są przechodnie. Prostopadłość odcinków nie ma właściwości przechodniości.

Istnieją inne właściwości relacji między elementami tego samego zbioru, których nie bierzemy pod uwagę.

Ta sama relacja może mieć kilka właściwości. I tak np. na zbiorze odcinków relacja „równa” jest zwrotna, symetryczna, przechodnia; relacja „więcej” jest antysymetryczna i przechodnia.


Jeżeli relacja na zbiorze X jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, to jest to relacja równoważności na tym zbiorze. Takie relacje dzielą zbiór X na klasy.

Zależności te przejawiają się np. podczas wykonywania zadań: „Pobierz paski o jednakowej długości i ułóż je w grupy”, „Ułóż kule tak, aby w każdym pudełku znajdowały się kulki tego samego koloru”. Relacje równoważności („być równej długości”, „być tego samego koloru”) określają w tym przypadku podział zbiorów pasków i piłek na klasy.

Jeżeli relacja na zbiorze 1 jest przechodnia i antysymetryczna, wówczas nazywa się ją relacją porządku na tym zbiorze.

Zbiór mający daną relację porządku nazywany jest zbiorem uporządkowanym.

Przykładowo, wykonując zadania: „Porównaj szerokość pasków i ułóż je od najwęższego do najszerszego”, „Porównaj liczby i ułóż karty z liczbami w odpowiedniej kolejności”, dzieci porządkują elementy zestawów pasków i kart liczbowych wykorzystanie relacji porządku; „być szerszym”, „naśladować”.

Ogólnie rzecz biorąc, relacje równoważności i porządku odgrywają dużą rolę w kształtowaniu się u dzieci prawidłowych wyobrażeń na temat klasyfikacji i porządkowania zbiorów. Ponadto istnieje wiele innych relacji, które nie są ani relacjami równoważności, ani relacjami porządku.


6. Jaka jest charakterystyczna właściwość zbioru?

7. W jakich relacjach mogą istnieć zbiory? Wyjaśnij każdy przypadek i zobrazuj go za pomocą kręgów Eulera.

8. Zdefiniuj podzbiór. Podaj przykład zbiorów, z których jeden jest podzbiorem drugiego. Zapisz ich związek za pomocą symboli.

9. Zdefiniuj zbiory równe. Podaj przykłady dwóch jednakowych zbiorów. Zapisz ich związek za pomocą symboli.

10. Zdefiniuj przecięcie dwóch zbiorów i zobrazuj je za pomocą okręgów Eulera dla każdego konkretnego przypadku.

11. Zdefiniuj sumę dwóch zbiorów i zobrazuj ją za pomocą okręgów Eulera dla każdego konkretnego przypadku.

12. Określ różnicę pomiędzy dwoma zbiorami i zobrazuj ją za pomocą kręgów Eulera dla każdego konkretnego przypadku.

13. Zdefiniuj dopełnienie i zobrazuj je za pomocą kręgów Eulera.

14. Jak nazywa się podział zbioru na klasy? Podaj warunki prawidłowej klasyfikacji.

15. Jak nazywa się zgodność między dwoma zbiorami? Nazwij metody określania korespondencji.

16. Jaki rodzaj korespondencji nazywamy indywidualną?

17. Jakie zbiory nazywamy równymi?

18. Jakie zbiory nazywamy równoważnymi?

19. Wymień sposoby definiowania relacji na zbiorze.

20. Jaką relację na zbiorze nazywamy zwrotną?

21. Jaką relację na zbiorze nazywamy symetryczną?

22. Jaką relację na zbiorze nazywamy antysymetryczną?

23. Jaką relację na zbiorze nazywamy przechodnią?

24. Zdefiniuj relację równoważności.

25. Zdefiniuj relację porządku.

26. Który zbiór nazywamy uporządkowanym?

Wykład 3.

klauzula 3. Relacje na zbiorach. Własności relacji binarnych.

3.1. Relacje binarne.

Kiedy mówią o związku dwojga ludzi, na przykład Siergieja i Anny, mają na myśli, że istnieje pewna rodzina, do której należą. Uporządkowana para (Siergiej, Anna) różni się od innych uporządkowanych par ludzi tym, że istnieje jakiś związek między Siergiejem i Anną (kuzynem, ojcem itp.).

W matematyce wśród wszystkich uporządkowanych par iloczynu bezpośredniego dwóch zbiorów A I B (A´ B) pary „specjalne” wyróżnia się również tym, że między ich składnikami istnieją pewne relacje „pokrewieństwa”, których inne nie mają. Jako przykład rozważ zestaw S studenci jakiegoś uniwersytetu i wielu K prowadzonych tam zajęć. W produkcie bezpośrednim S´ K można wybrać duży podzbiór uporządkowanych par ( S, k) posiadający własność: student S bierze kurs k. Skonstruowany podzbiór odzwierciedla relację „…słucha…”, która naturalnie pojawia się pomiędzy zbiorami studentów i kursów.

Dla ścisłego matematycznego opisu wszelkich powiązań pomiędzy elementami dwóch zbiorów wprowadzamy pojęcie relacji binarnej.

Definicja 3.1. Dwójkowy (Lub podwójnie )postawa R pomiędzy setami A I B nazywa się dowolny podzbiór A´ B, tj.

W szczególności, jeśli A=B(tj. rÍ A 2), to mówią, że r jest relacją na zbiorze A.

Elementy A I B są nazywane składniki (Lub współrzędne ) związek r.

Komentarz. Przyjmijmy, że do oznaczenia relacji pomiędzy elementami zbiorów należy używać alfabetu greckiego: r, t, j, s, w itd.


Definicja 3.2. Dziedzina definicji D r=( A| $ B, Co A R B) (lewa strona). Zakres wartości relacji binarnej r nazywa się zbiorem R r=( B| $ A, Co A R B) (prawa część).

Przykład 3. 1. Niech będą dane dwa zestawy A=(1; 3; 5; 7) i B=(2; 4; 6). Ustawmy relację następująco t=(( X; y)Î A´ B | x+y=9). Relacja ta będzie składać się z następujących par (3; 6), (5; 4) i (7; 2), które można zapisać jako t=((3; 6), (5; 4), (7;2 ) ). W tym przykładzie D t=(3; 5; 7) i R t= B={2; 4; 6}.

Przykład 3. 2. Relacją równości na zbiorze liczb rzeczywistych jest zbiór r=(( X; y) | X I y– liczby rzeczywiste i X równa się y). Istnieje specjalny zapis dla tej relacji: „=”. Dziedzina definicji pokrywa się z dziedziną wartości i jest zbiorem liczb rzeczywistych, D r= R R.

Przykład 3. 3. Pozwalać A– dużo towaru w sklepie, oraz B– zbiór liczb rzeczywistych. Wtedy j=(( X; y)Î A´ B | y- cena X) – relacja zbiorów A I B.

Jeśli zwrócisz uwagę na przykład 3.1., zauważysz, że relacja ta została po raz pierwszy określona w postaci t=(( X; y)Î A´ B | x+y=9), a następnie zapisano jako t=((3; 6), (5;4), (7;2)). Sugeruje to, że relacje na zbiorach (lub jednym zbiorze) można określić na różne sposoby. Przyjrzyjmy się sposobom definiowania relacji binarnych.

Metody definiowania relacji:

1) użycie odpowiedniego orzeczenia;

2) zbiór par uporządkowanych;

3) w formie graficznej: lit A I B– dwa zbiory skończone oraz r – binarna relacja między nimi. Elementy tych zbiorów są reprezentowane przez punkty na płaszczyźnie. Dla każdej uporządkowanej pary relacji r rysuje strzałkę łączącą punkty reprezentujące składniki pary. Taki obiekt nazywa się Kierowany wykres Lub dwuznak, punkty reprezentujące elementy zbiorów nazywane są zwykle wierzchołki grafu.

4) w postaci macierzy: niech A={A 1, A 2, …, jakiś) I B={B 1, B 2, …, bm), r – stosunek włączony A´ B. Reprezentacja macierzowa r nazywa się macierzą M=[mij] rozmiar N´ M, określone przez relacje

.

Nawiasem mówiąc, reprezentacja macierzowa jest reprezentacją relacji w komputerze.

Przykład 3. 4. Niech będą dane dwa zestawy A=(1; 3; 5; 7)i B=(2; 4; 6). Relację podaje się następująco t=(( X; y) | x+y=9). Zdefiniuj tę relację jako zbiór par uporządkowanych, dwuznak, w postaci macierzy.

Rozwiązanie. 1) t=((3; 6), (5; 4), (7; 2)) - jest definicją relacji jako zbioru par uporządkowanych;

2) odpowiedni skierowany wykres pokazano na rysunku.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" szerokość="125" wysokość="117">. ,

Przykład 3. 5 . Jako przykład możemy rozważyć proponowane J. von Neumanna(1903 – 1957) schemat blokowy komputera sekwencyjnego, składającego się z wielu urządzeń M:

,

Gdzie A- urządzenie wejściowe, B– urządzenie arytmetyczne (procesor), C- urządzenie sterujące, D- Urządzenie pamięci, mi– urządzenie wyjściowe.

Rozważmy wymianę informacji pomiędzy urządzeniami mi I mj, które są w relacji r jeśli z urządzenia mi informacje dostają się do urządzenia mj.

Tę relację binarną można zdefiniować, wymieniając wszystkie 14 uporządkowanych par elementów:

Odpowiedni dwuznak definiujący tę relację binarną przedstawiono na rysunku:


Macierzowa reprezentacja tej relacji binarnej to:

. ,

W przypadku relacji binarnych operacje teorii mnogości definiuje się w zwykły sposób: suma, przecięcie itp.


Wprowadźmy uogólnioną koncepcję relacji.

Definicja 3.3. n-miejsce (N-ary ) relacja r jest podzbiorem iloczynu bezpośredniego N zestawy, czyli zbiór uporządkowanych zbiorów ( krotki )

rÍ A 1 Jakiś={(A 1, …, jakiś)| A 1О A 1…Ù jakiśÎ Jakiś}

Wygodne jest definiowanie relacji wielomiejscowych za pomocą tabele relacyjne . Zadanie to odpowiada wyliczeniu zbioru N-do relacji r. Tabele relacyjne są szeroko stosowane w praktyce komputerowej w relacyjnych bazach danych. Należy pamiętać, że tabele relacyjne są używane w codziennej praktyce. Wszelkiego rodzaju raporty produkcyjne, finansowe, naukowe i inne często przybierają formę tabel relacyjnych.

Słowo " relacyjny„ pochodzi od łacińskiego słowa relacja, co w języku rosyjskim oznacza „postawę”. Dlatego w literaturze litera jest używana do oznaczenia związku R(łacina) lub r (grecki).

Definicja 3.4. Niech rÍ A´ B istnieje stosunek do A´ B. Następnie nazywa się stosunek r-1 odwrotna zależność do danego stosunku r przez A´ B, który jest zdefiniowany w następujący sposób:

r-1=(( B, A) | (A, B)Îr).

Definicja 3.5. Niech r Н A´ B istnieje stosunek do A´ B, a s Н B´ C - postawa wobec B´ C. Kompozycja relacje s i r nazywane są relacją t Н A´ C, który jest zdefiniowany w następujący sposób:

t=s◦r= (( A, C)| $BÎ B. co (A, B)Îr I (B, C)Jest).

Przykład 3. 6 . Niech i C=(, !, d, a). I niech będzie stosunek r A´ B i współczynnik jest włączony B´ C podawane są w postaci:

r=((1, X), (1, y), (3, X)};

s=(( X,), (X, !), (y, D), ( y, à)}.

Znajdź r-1 i s◦r, r◦s.

Rozwiązanie. 1) Z definicji r-1=(( X, 1), (y, 1), (X, 3)};

2) Korzystając z definicji złożenia dwóch relacji, otrzymujemy

s◦r=((1,), (1, !), (1, d), (1, а), (3,), (3, !)),

ponieważ od (1, X)Îr i ( X,)Îs wynika z (1,)Îs◦r;

od 1, X)Îr i ( X, !)Îs następuje po (1, !)Îs◦r;

od 1, y)Îr i ( y, d)Îs wynika z (1, d)Îs◦r;

od (3, X)Îr i ( X, !)Îs wynika z (3, !)Îs◦r.

Twierdzenie 3.1. Dla dowolnych relacji binarnych obowiązują następujące właściwości:

2) ;

3) - łączność kompozycji.

Dowód. Właściwość 1 jest oczywista.

Udowodnijmy własność 2. Aby udowodnić drugą własność, pokażemy, że zbiory zapisane po lewej i prawej stronie równości składają się z tych samych elementów. Pozwalać ( A; B) О (s◦r)-1 Û ( B; A) О s◦r Û $ C taki, że ( B; C) О r i ( C; A) О s Û $ C taki, że ( C; B) О r-1 i ( A; C) О s-1 Ř ( A; B) О r -1◦s -1.

Udowodnij własność 3 samodzielnie.

3.2. Własności relacji binarnych.

Rozważmy szczególne właściwości relacji binarnych na zbiorze A.

Własności relacji binarnych.

1. Współczynnik włączony A´ A zwany odblaskowy , Jeśli ( A,A) należy do r dla wszystkich A z A.

2. Nazywa się relację r antyrefleksyjna , jeśli od ( A,B)Îr następuje A¹ B.

3. Stosunek r symetrycznie , jeśli dla A I B należeć do A, z ( A,B) Wynika z tego, że ( B,A)Îr.

4. Nazywa się relację r antysymetryczny , jeśli dla A I B z A, z przynależności ( A,B) I ( B,A) relacja r implikuje to A=B.

5. Stosunek r przechodnio , jeśli dla A, B I C z A z tego, że ( A,B)Îr i ( B,C) wynika z tego, że ( A,C)Îr.

Przykład 3. 7. Pozwalać A=(1; 2; 3; 4; 5; 6). Na tym zbiorze dana jest relacja rÍ A 2, który ma postać: r=((1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2 ) , (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)). Jakie właściwości ma ta relacja?

Rozwiązanie. 1) Ta relacja jest refleksyjna, ponieważ dla każdego AÎ A, (A; A)Îr.

2) Relacja nie jest antyrefleksyjna, gdyż warunek tej własności nie jest spełniony. Na przykład (2, 2)Îr, ale to nie znaczy, że 2¹2.

3) Rozważ wszystkie możliwe przypadki, pokazując, że relacja r jest symetryczna:

(A, B)Îr

(B, A)

(B, A)Îr?

4) Zależność ta nie jest antysymetryczna, gdyż (1, 2)Îr i (2,1)Îr, ale nie wynika z tego, że 1=2.

5) Można wykazać, że relacja r jest przechodnia, stosując metodę wyliczenia bezpośredniego.

(A, B)Îr

(B, C)Îr

(A, C)

(A, C)Îr?

Jak korzystać z reprezentacji macierzowej

określić właściwości relacji binarnej

1. Zwrotność: Wszystkie jedynki znajdują się na głównej przekątnej, zera lub jedynki są oznaczone gwiazdkami.

.

2. Antyrefleksyjność: Wszystkie zera na głównej przekątnej.

3. Symetria: Jeśli .

4. Antysymetria: wszystkie elementy poza główną przekątną wynoszą zero; na głównej przekątnej mogą znajdować się również zera.

.

Operację „*” wykonuje się według następującej zasady: , Gdzie , .

5. Przechodniość: Jeśli . Operację „◦” wykonuje się zgodnie ze zwykłą zasadą mnożenia i należy wziąć pod uwagę: .

3.3 Relacja równoważności. Częściowa relacja porządku.

Relacja równoważności jest formalizacją sytuacji, gdy mówimy o podobieństwie (identyczności) dwóch elementów zbioru.

Definicja 3.6. Stosunek r włączony A Jest relacja równoważności, Jeśli to zwrotne, symetryczne i przechodnie. Relacja równoważności A R B często oznaczane: A~ B.

Przykład 3. 8 . Relacja równości na zbiorze liczb całkowitych jest relacją równoważności.

Przykład 3. 9 . Relacja „tego samego wzrostu” jest relacją równoważności na zbiorze osób X.

Przykład 3. 1 0 . Niech ¢ będzie zbiorem liczb całkowitych. Nazwijmy dwie liczby X I y od ¢ porównywalny pod względem modułuM(MО¥) i napisz , jeżeli reszty tych liczb po podzieleniu przez M, czyli różnica ( X-y) podzielony przez M.

Relacja „porównywalny pod względem modułu M liczby całkowite” jest relacją równoważności na zbiorze liczb całkowitych ¢. Rzeczywiście:

relacja ta jest zwrotna, ponieważ dla „ X─ mamy X-X=0, a zatem jest podzielna przez M;

ta relacja jest symetryczna, ponieważ jeśli ( X-y) podzielony przez M, Następnie ( y-X) jest również podzielna przez M;

ta relacja jest przechodnia, ponieważ jeśli ( X-y) podzielony przez M, a następnie dla pewnej liczby całkowitej T 1 mamy https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" szerokość="73" wysokość="24 src=">, stąd , tj. ( X-z) podzielony przez M.

Definicja 3.7. Stosunek r włączony A Jest częściowa relacja porządku, Jeśli to refleksyjne, antysymetryczne i przechodnie i jest oznaczony symbolem °.

Częściowy porządek jest ważny w sytuacjach, gdy chcemy w jakiś sposób scharakteryzować pierwszeństwo. Innymi słowy, zdecyduj, w jakich warunkach uznać jeden element zestawu za lepszy od drugiego.

Przykład 3. 11 . Postawa X£ y istnieje relacja częściowego porządku na zbiorze liczb rzeczywistych. ,

Przykład 3. 1 2 . W zbiorze podzbiorów pewnego zbioru uniwersalnego U postawa AÍ B istnieje częściowa relacja porządku.

Przykład 3. 1 3 . Schemat organizacji podporządkowania w instytucji to relacja częściowego porządku w zbiorze stanowisk.

Prototypem relacji porządku częściowego jest intuicyjna koncepcja relacji preferencji (pierwszeństwa). Relacja preferencji identyfikuje klasę problemów, które można połączyć jako Problem z wyborem najlepszy przedmiot .

Sformułowanie problemu: niech będzie zbiór obiektów A i należy je porównać według preferencji, czyli ustawić relację preferencji na zbiorze A i zidentyfikować najlepsze obiekty.

Relacja preferencji P, które można zdefiniować jako „ aPb, A, BÎ AÛ obiekt A nie mniej preferowany niż przedmiot B„ma charakter zwrotny i antysymetryczny (każdy przedmiot nie jest gorszy od siebie, a jeśli obiekt A nie gorzej B I B nie gorzej A, to mają takie same preferencje). Naturalne jest założenie, że związek P przechodnio (choć w przypadku, gdy np. preferencje omawiane są przez grupę osób o przeciwstawnych interesach, właściwość ta może zostać naruszona), tj. P– częściowa relacja porządku.

Jednym z możliwych sposobów rozwiązania problemu porównywania obiektów według preferencji jest nośny , tj. porządkowanie obiektów zgodnie z malejącą preferencją lub równoważnością. W wyniku rankingu identyfikujemy „najlepsze” lub „najgorsze” obiekty z punktu widzenia relacji preferencji.

Obszary zastosowań problemy dotyczące problemu wyboru najlepszego przedmiotu: teoria decyzji, matematyka stosowana, technologia, ekonomia, socjologia, psychologia.

Definicja. Relacja binarna R zwany podzbiorem par (a,b)∈R Iloczyn kartezjański A×B, czyli R⊆A×B. Jednocześnie wielu A nazywa się dziedziną definicji relacji R, zbiór B nazywa się dziedziną wartości.

Oznaczenie: aRb (tzn. a i b są powiązane z R). /

Komentarz: jeśli A = B, to R nazywa się relacją na zbiorze A.

Metody określania relacji binarnych

1. Lista (wyliczenie par), dla której zachodzi ta relacja.

2. Matryca. Relacja binarna R ∈ A × A, gdzie A = (a 1, a 2,..., a n), odpowiada macierzy kwadratowej rzędu n, w której element c ij, znajdujący się na przecięciu i- wiersz i j-ta kolumna wynosi 1, jeśli istnieje relacja R pomiędzy a i i j, lub 0, jeśli jej nie ma:

Właściwości relacji

Niech R będzie relacją na zbiorze A, R ∈ A×A. Następnie stosunek R:

    zwrotny jeśli Ɐ a ∈ A: a R a (główna przekątna macierzy relacji zwrotnej zawiera tylko jedynki);

    antyrefleksyjny jeśli Ɐ a ∈ A: a R a (główna przekątna macierzy relacji zwrotnej zawiera tylko zera);

    symetryczny jeśli Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (macierz takiej relacji jest symetryczna względem głównej przekątnej, czyli c ij c ji);

    antysymetryczna jeśli Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (w macierzy takiej relacji nie ma jednostek symetrycznych względem głównej przekątnej);

    przechodni jeśli Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c (w macierzy takiej relacji musi być spełniony warunek: jeśli w i-tym wierszu jest jednostka, np. , w j-tych wierszach współrzędnych (kolumnowych), czyli c ij = 1, to wszystkie jednostki j-tego rzędu (niech te jednostki odpowiadają współrzędnym k e tak, że c jk = 1) muszą odpowiadać jednostkom w i- rząd w tych samych k współrzędnych, czyli c ik = 1 (a może i w innych współrzędnych).

Zadanie 3.1. Określić własności relacji R – „być dzielnikiem”, zdefiniowanej na zbiorze liczb naturalnych.

Rozwiązanie.

stosunek R = ((a,b):a dzielnik b):

    zwrotny, a nie antyrefleksyjny, ponieważ każda liczba dzieli się bez reszty: a/a = 1 dla wszystkich a∈N ;

    nie symetryczny, antysymetryczny, np. 2 jest dzielnikiem 4, ale 4 nie jest dzielnikiem 2;

    przechodni, ponieważ jeśli b/a ∈ N i c/b ∈ N, to c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, na przykład, jeśli 6/3 = 2∈N i 18/6 = 3∈N , wtedy 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Problem 3.2. Określ właściwości relacji R – „być bratem”, zdefiniowanej na zbiorze osób.
Rozwiązanie.

Relacja R = ((a,b):a - brat b):

    nie refleksyjny, antyrefleksyjny ze względu na oczywisty brak aRa dla wszystkich a;

    nie symetryczny, ponieważ w ogólnym przypadku między bratem a i siostrą b jest aRb, ale nie bRa;

    nie jest antysymetryczny, ponieważ jeśli a i b są braćmi, to aRb i bRa, ale a≠b;

    przechodnio, jeśli ludzi mających wspólnych rodziców (ojca i matkę) nazwiesz braćmi.

Zadanie 3.3. Określić własności relacji R – „być szefem”, zdefiniowanej na zbiorze elementów konstrukcji

Rozwiązanie.

Relacja R = ((a,b): a jest szefem b):

  • nieodblaskowe, antyrefleksyjne, jeśli w konkretnej interpretacji nie ma to sensu;
  • nie symetryczny, antysymetryczny, ponieważ dla wszystkich a≠b aRb i bRa nie są spełnione jednocześnie;
  • przechodni, ponieważ jeśli a jest szefem b i b jest szefem c, to a jest szefem c.

Wyznacz własności relacji R i określonej na zbiorze M i przez macierz jeżeli:

  1. R 1 „mają tę samą resztę przy dzieleniu przez 5”; M 1 to zbiór liczb naturalnych.
  2. R 2 „być równym”; M 2 to zbiór liczb naturalnych.
  3. R 3 „mieszkam w tym samym mieście”; M 3 dużo ludzi.
  4. R 4 „być zaznajomionym”; M 4 dużo ludzi.
  5. R 5 ((a, b): (a-b) - parzysty; M 5 zbiór liczb (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  6. R 6 ((a, b): (a+b) - parzysty; M 6 zbiór liczb (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  7. R7 ((a,b):(a+1) - dzielnik (a+b)); M 7 - zestaw (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  8. R 8 ((a,b):a - dzielnik (a+b),a≠1); M 8 to zbiór liczb naturalnych.
  9. R 9 „być siostrą”; M 9 - dużo ludzi.
  10. R 10 „być córką”; M 10 - dużo ludzi.

Operacje na relacjach binarnych

Niech R 1, R 1 będą relacjami zdefiniowanymi na zbiorze A.

    Unia R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a, b) : (a, b) ∈ R 1 lub (a, b) ∈ R 2 ) ;

    skrzyżowanie R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a, b) : (a, b) ∈ R 1 i (a, b) ∈ R 2 ) ;

    różnica R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a, b) : (a, b) ∈ R 1 i (a, b) ∉ R 2 ) ;

    postawa uniwersalna U: = ((a;b)/a ∈ A i b ∈ A). ;

    dodatek R 1 U \ R 1, gdzie U = A × A;

    identyczna relacja I: = ((a;a) / a ∈ A);

    odwrotna zależność R-1 1 : R -1 1 = ((a, b): (b, a) ∈ R 1 );

    kompozycja R 1 ş R 2: R 1 ş R 2: = ((a, b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ do ∈ C: aR 1 c i do R 2 b), gdzie R 1 ⊂ A × C i R 2 ⊂C×B;

Definicja. Stopień związku R na zbiorze A jest jego złożeniem samym w sobie.

Przeznaczenie:

Definicja. Jeśli R ⊂ A × B, to nazywa się R º R -1 Jądro relacji R .

Twierdzenie 3.1. Niech R ⊂ A × A będzie relacją określoną na zbiorze A.

  1. R jest zwrotne wtedy i tylko wtedy (dalej używany jest znak ⇔), gdy I ⊂ R.
  2. R symetryczny ⇔ R = R -1.
  3. R przechodni ⇔ R º R ⊂ R
  4. R jest antysymetryczny ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
  5. R jest antyrefleksyjny ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Zadanie 3.4 . Niech R będzie relacją pomiędzy zbiorami (1,2,3) i (1,2,3,4), daną poprzez wypisanie par: R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)). Ponadto S jest relacją między zbiorami S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Oblicz R -1 , S -1 i S ş R. Sprawdź, że (S ş R) -1 = R -1 , S -1 .

Rozwiązanie.
R-1 = ((1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3));
S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4));
S ° R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S ─ R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 ş S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)) = (S ş R ) -1 .

Zadanie 3.5 . Niech R będzie relacją „…rodzic…”, a S relacją „…brat…” na zbiorze wszystkich ludzi. Podaj krótki słowny opis związku:

R-1, S-1, R°S, S-1°R-1 i R°R.

Rozwiązanie.

R -1 - relacja „...dziecko…”;

S -1 - relacja „...brat lub siostra…”;

R ş S - relacja „...rodzic…”;

S -1 ş R -1 - relacja „...dziecko...”

R º R - relacja „...babcia lub dziadek…”

Problemy do samodzielnego rozwiązania

1) Niech R będzie relacją „...ojciec...”, a S relacją „...siostra...” na zbiorze wszystkich ludzi. Podaj ustny opis związku:

R -1 , S -1 , R ş S, S -1 ş R -1 , R ş R.

2) Niech R będzie relacją „…brat…”, a S relacją „…matka…” na zbiorze wszystkich ludzi. Podaj słowny opis związku:

R -1 , S -1 , S ş R, R -1 ş S -1 , S ş S.

3) Niech R będzie relacją „…dziadek…”, a S relacją „…syn…” na zbiorze wszystkich ludzi. Podaj słowny opis związku:

4) Niech R będzie relacją „…córka…”, a S relacją „…babcia…” na zbiorze wszystkich ludzi. Podaj słowny opis związku:

5) Niech R będzie relacją „…siostrzenica…”, a S relacją „…ojciec…” na zbiorze wszystkich ludzi. Podaj słowny opis związku:

R -1 , S -1 , S ş R, R -1 ş S -1 , R ş R.

6) Niech R będzie relacją „siostra…”, a S relacją „matka…” na zbiorze wszystkich ludzi. Podaj słowny opis związku:

R -1 , S -1 , R ş S, S -1 ş R -1 , S ş S.

7) Niech R będzie relacją „...matka...”, a S relacją „...siostra...” na zbiorze wszystkich ludzi. Podaj ustny opis związku:

R -1 , S1, R ş S, S1 ş R1, S ş S.

8) Niech R będzie relacją „…syn…”, a S relacją „…dziadek…” na zbiorze wszystkich ludzi. Podaj ustny opis związku:

R -1 , S -1 , S ş R, R -1 ş S -1 , R ş R.

9) Niech R będzie relacją „...siostra...”, a S relacją „...ojciec...” na zbiorze wszystkich ludzi. Podaj ustny opis związku:

R -1 , S -1 , R ş S, S -1 ş R -1 , S ş S.

10) Niech R będzie relacją „...matka...”, a S relacją „...brat...” na zbiorze wszystkich ludzi. Podaj ustny opis związku:

R -1 , S -1 , S ş R, R -1 ş S -1 , R ş R.

W życiu codziennym stale mamy do czynienia z pojęciem „związku”. Relacje są jednym ze sposobów określania relacji pomiędzy elementami zbioru.

Relacje unarne (jednomiejscowe) odzwierciedlają obecność jakiegoś atrybutu R w elementach zbioru M (np. „bycie czerwonym” na zbiorze kul w urnie).

Do określenia wzajemności służą relacje binarne (dwumiejscowe).

połączenia charakteryzujące pary elementów w zestawie M.

Przykładowo na zbiorze osób można zdefiniować następujące relacje: „mieszkają w tym samym mieście”, „ X pracuje pod kierunkiem y„, „być synem”, „być starszym” itp. na zestawie liczb: „number A więcej numeru B", "liczba A jest dzielnikiem liczby B", "liczby A I B otrzymasz tę samą resztę z dzielenia przez 3.”

W produkcie bezpośrednim, gdzie A- wielu studentów dowolnej uczelni, B- różnorodność badanych przedmiotów, można zidentyfikować duży podzbiór uporządkowanych par (a, b), posiadający własność: „student A studiuje ten temat B" Skonstruowany podzbiór odzwierciedla relację „naukową”, która powstaje pomiędzy zbiorami uczniów i obiektów. Można kontynuować tę liczbę przykładów

Relacja między dwoma obiektami jest przedmiotem badań w ekonomii, geografii, biologii, fizyce, językoznawstwie, matematyce i innych naukach.

W celu ścisłego matematycznego opisu wszelkich powiązań między elementami dwóch zbiorów wprowadzono pojęcie relacji binarnej.

Relacja binarna pomiędzy zbiorami A i Bnazywa się podzbiorem R iloczynu bezpośredniego. W przypadku, gdy można po prostu porozmawiać o związku R NA A.

Przykład 1. Zapisz pary uporządkowane należące do relacji binarnych R 1 I R2, zdefiniowane na zbiorach A I : , . Podzbiór R 1 składa się z par: . Podzbiór.

Domena R istnieje zbiór wszystkich elementów z A tak, że dla niektórych elementów mamy . Innymi słowy dziedzina definicji R jest zbiorem wszystkich pierwszych współrzędnych uporządkowanych par R.

Wiele znaczeń relacja R ale jest ich wiele, dla niektórych. Inaczej mówiąc, wiele znaczeń R jest zbiorem wszystkich drugich współrzędnych uporządkowanych par R.

W przykładzie 1 dla R 1 dziedzina definicji: , zbiór wartości - . Dla R2 dziedzina definicji: , zbiór wartości: .

W wielu przypadkach wygodnie jest zastosować graficzną reprezentację relacji binarnej. Odbywa się to na dwa sposoby: za pomocą punktów na płaszczyźnie i za pomocą strzałek.

W pierwszym przypadku jako osie poziomą i pionową wybiera się dwie wzajemnie prostopadłe linie. Elementy zestawu naniesione są na osi poziomej A i narysuj pionową linię przechodzącą przez każdy punkt. Elementy zestawu naniesione są na osi pionowej B, narysuj poziomą linię przechodzącą przez każdy punkt. Punkty przecięcia linii poziomych i pionowych reprezentują elementy produktu bezpośredniego.

Przykład 5. Pozwalać , .

Pozwalać R 1 zdefiniowane poprzez wypisanie uporządkowanych par: . Relacja binarna R2 na zestawie określa się za pomocą reguły: para jest porządkowana jeśli A podzielony przez B. Następnie R2 składa się z par: .

Relacje binarne, z przykładu 2, R 1 I R2 są pokazane graficznie na rys. 6 i ryc.7.

Ryż. 6 Ryc. 7

Aby zobrazować relację binarną za pomocą strzałek, elementy zbioru przedstawiono po lewej stronie w postaci kropek A, po prawej - zestawy B. Dla każdej pary (a, b) zawarte w relacji binarnej R, z którego rysowana jest strzałka A Do B, . Graficzne przedstawienie relacji binarnej R 1 podane w przykładzie 6 pokazano na rys. 8.

Ryc.8

Relacje binarne na zbiorach skończonych można określić za pomocą macierzy. Załóżmy, że mamy relację binarną R pomiędzy setami A I B. , .

Wiersze macierzy są ponumerowane według elementów zbioru A, a kolumny są elementami zbioru B. Komórka macierzy na przecięciu I- och, linie i J Kolumna ta jest zwykle oznaczona przez C ij i jest wypełniana w następujący sposób:

Powstała macierz będzie miała rozmiar .

Przykład 6. Niech zostanie podany zestaw. Na zbiorze zdefiniuj relację z listą i macierzą R- „być ściśle mniejszym”.

Postawa R jak zbiór zawiera wszystkie pary elementów ( A, B) z M takie, że.

Macierz relacji zbudowana według powyższych zasad ma postać:

Właściwości relacji binarnych:

1. Relacja binarna R na zestawie nazywa się odblaskowy, jeśli dla dowolnego elementu A z M para (a, a) należy R, tj. trzyma się każdego A z M:

Relacje „mieszkaj w tym samym mieście”, „studiuj na tej samej uczelni”, „nie bądź więcej” są odblaskowe.

2. Nazywa się relację binarną antyrefleksyjna, jeśli nie ma właściwości zwrotności dla żadnego A:

Na przykład „być większym”, „być młodszym”. relacje antyrefleksyjne.

3. Relacja binarna R zwany symetryczny, jeśli dla jakichkolwiek elementów A I B z M z jakiej pary (a, b) należy R... wynika z tego, że para (b,a) należy R, tj.

Symetryczny równoległość linii, ponieważ Jeśli następnie // . Relacja symetryczna„być równym” w dowolnym zbiorze lub „być względnie pierwszym na N”.

Relacja R jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R=R -1

4. Jeżeli dla niepasujących elementów relacja jest prawdziwa, ale fałszywa, to relacja antysymetryczny. Można to powiedzieć inaczej:

Relacje są antysymetryczne„być większym”, „być dzielnikiem przez N”, „być młodszym”.

5. Relacja binarna R zwany przechodni, jeśli dla dowolnych trzech elementów tej pary (a, b) I (pne) przynależeć R wynika, że ​​para (a, c) należy R:

Relacje są przechodnie: „być większym”, „być równoległym”, „być równym” itp.

6. Relacja binarna R antyprzechodni, jeśli nie ma właściwości przechodniości.

Np. „być prostopadłym” do układu prostych płaszczyzny ( , , ale to nieprawda ).

Ponieważ Ponieważ relację binarną można określić nie tylko poprzez bezpośrednie zestawienie par, ale także za pomocą macierzy, warto dowiedzieć się, jakie cechy charakteryzują macierz relacji R, jeżeli jest: 1) zwrotny, 2) antyrefleksyjny, 3) symetryczny, 4) antysymetryczny, 5) przechodni.

Pozwalać R ustawione na , .R jest albo wykonywane w obu kierunkach, albo nie jest wykonywane wcale. Zatem, jeśli macierz zawiera jedynkę na przecięciu I- och, linie i J- ta kolumna, tj. C ij=1, to musi znajdować się na przecięciu J- och, linie i I- ta kolumna, tj. C ji=1 i odwrotnie, jeśli C ji=1, zatem C ij=1. Zatem, symetryczna macierz relacji jest symetryczna względem głównej przekątnej.

4. R antysymetryczny jeśli i następuje: . Oznacza to, że w odpowiedniej macierzy dla nr I, J nie wykonany C ij =C ji=1. Zatem, w macierzy współczynników antysymetrycznych nie ma jednostek symetrycznych względem głównej przekątnej.

5. Wywołuje się relację binarną R na niepustym zbiorze A przechodni Jeśli

Powyższy warunek musi być spełniony dla dowolnego elementu macierzy. I odwrotnie, jeśli w matrixie R istnieje co najmniej jeden element C ij=1, dla którego warunek ten nie jest zatem spełniony R nie przechodnie.

Język T-SQL w SQL Server opiera się na standardowym języku SQL, który opiera się na modelu relacyjnym, który z kolei opiera się na podstawach matematycznych, takich jak teoria mnogości i logika predykatów. Artykuł ten analizuje podstawowy temat teorii mnogości: właściwości relacji na zbiorach. Czytelnicy mogą wykorzystać proponowane kody T-SQL do sprawdzenia obecności pewnych właściwości określonych relacji. Możesz jednak także spróbować napisać własne wersje skryptów (aby ustalić, czy relacja ma określoną właściwość) przed zastosowaniem rozwiązań opisanych w tym artykule.

Zbiory i relacje

Georg Cantor, twórca teorii mnogości, definiuje zbiór jako „połączenie w pewną całość M zbioru pewnych wyraźnie rozróżnialnych obiektów naszej kontemplacji lub myśli (które będą nazywane elementami zbioru M)”. Elementami zbioru mogą być obiekty o dowolnej naturze: ludzie, liczby, a nawet same zbiory. Symbole ∈ i ∉ oznaczają odpowiednio operatory odzwierciedlające przynależność (występowanie, przynależność) i nieprzynależność elementu do zbioru. Zatem zapis x ∈ V oznacza, że ​​x jest elementem zbioru V, a zapis x ∉ V oznacza, że ​​x nie jest elementem zbioru V.

Relacja binarna na zbiorze to zbiór uporządkowanych par elementów pierwotnego zbioru. Zatem dla zbioru elementów V = (a, b, c) relacja binarna R na danym zbiorze V będzie dowolnym podzbiorem zbioru wszystkich uporządkowanych par iloczynu kartezjańskiego V × V = ((a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c) ). Relacja R = ((a, b), (b, c), (a, c)) jest prawidłową relacją binarną na V. Możemy powiedzieć, że a jest powiązane z b przez R. Załóżmy, że R = ((a , b ), (b, c), (c, d)). Takie R nie jest dopuszczalną relacją na V, gdyż para (c, d) nie należy do iloczynu kartezjańskiego V × V. Należy pamiętać, że kolejność wyszczególniania elementów wchodzących w skład zbioru nie jest istotna. Zbiór V można określić jako (a, b, c) lub (b, a, c) i tak dalej. Ważna jest jednak kolejność w parach uporządkowanych, takich jak (a, b) relacji binarnej; zatem (a, b) ≠ (b, a).

Jako bardziej realistyczny przykład relacji binarnej rozważmy zbiór F członków rodziny: (Itsik, Mickey, Inna, Mila, Gabi). Mickey to brat bliźniak Itzika, Inna to jego starsza siostra, Mila to jego matka, a Gabi to jego ojciec. Przykładem relacji R na zbiorze F może być: „jest bratem”. Elementy tej relacji to ((Itsik, Mickey), (Mickey, Itzik), (Itsik, Inna), (Mickey, Inna)). Zauważmy, że uporządkowana para (Itsik, Inna) pojawia się w R, ale para (Inna, Itsik) nie. Chociaż Itzik jest bratem Inny, ona nie jest jego bratem.

Własności relacji na zbiorach

Teraz, gdy odświeżyliśmy nasze rozumienie zbiorów i relacji, przejdźmy do tematu artykułu - właściwości relacji na zbiorach. Na przykład dane użyj kodu z Listingu 1, aby utworzyć tabele V i R. V będzie reprezentować zbiór, a R będzie reprezentować na nim relację binarną. Użyj kodu z Listingu 2, aby utworzyć procedurę ClearTables, która wyczyści obie tabele rekordów przed wypełnieniem ich nowymi przykładowymi danymi. Na koniec użyj kodu z Listingów 3, 4 i 5, aby wypełnić tabele V i R różnymi zestawami danych do testowania (nazwiemy je odpowiednio przykładowymi danymi 1, 2 i 3).

Refleksyjność. Relacja R na zbiorze V jest zwrotna, jeśli dla dowolnego elementu v zbioru V, v ∈ V wynika, że ​​(v, v) ∈ R, czyli para (v, v) zawsze należy do R. Oraz relacja R do V nie jest zwrotna, jeśli istnieje element v ∈ V taki, że para (v, v) ∉ R. Rozważmy jeszcze raz przykład zbioru F - członkowie mojej rodziny.

Relacja „być w tym samym wieku co” w F jest oczywiście zwrotna. Elementami relacji będą następujące pary: ((Itsik, Itsik), (Itsik, Mickey), (Mickey, Mickey), (Mickey, Itzik), (Inna, Inna), (Mila, Mila), (Gabi , Gabi)).

Zacznijmy pisać zapytanie T-SQL względem tabel V i R (reprezentujących zbiór i relację na tym zbiorze), sprawdzając, czy R jest zwrotny:

WYBIERAĆ
SPRAWA
KIEDY ISTNIEJE
(WYBIERZ v, v Z dbo.V
Z WYJĄTKIEM
WYBIERZ r1, r2 Z dbo.R)
W takim razie nie"
W przeciwnym razie „Tak”
KONIEC JAKO refleksyjny

Pierwsze podzapytanie w operacji EXCEPT zwraca zbiór wszystkich par uporządkowanych (v, v) dla wszystkich wierszy tabeli V. Drugie podzapytanie zwraca zbiór par uporządkowanych (r1, r2) - wszystkie wiersze tabeli R. Operacja EXCEPT zwróci zatem wszystkie uporządkowane pary występujące w pierwszym zestawie i brakujące w drugim zestawie. Predykat EXISTS jest potrzebny do sprawdzenia istnienia co najmniej jednego rekordu w zestawie wynikowym. Jeżeli istnieje przynajmniej jeden taki rekord, to wyrażenie CASE zwróci „Nie” (brak zwrotności), ale także „Tak” w przeciwnym przypadku (jest zwrotność).

Przyjrzyj się trzem przykładowym zbiorom danych na Listingach 3, 4 i 5 i spróbuj określić, które z nich miałyby relację refleksyjną bez uruchamiania zapytania. Odpowiedzi znajdują się w dalszej części tekstu artykułu.

Bezrefleksyjny. Relację R na zbiorze V nazywamy niezwrotną (nie mylić z niezwrotnością), jeśli dla każdego elementu v ∈ V wynika, że ​​(v, v) ∉ R. Relacja nie jest niezwrotna, jeśli istnieje element v ∈ V dla którego (v, v) ∈ R. Przykładem relacji zwrotnej na zbiorze F członków mojej rodziny jest relacja „być rodzicem”, gdyż nikt nie może być swoim własnym rodzicem. Członkami tej relacji na F będą następujące pary: ((Mila, Itzik), (Mila, Mickey), (Mila, Inna), (Gabi, Itzik), (Gabi, Mickey), (Gabi, Inna)) .

Poniższe zapytanie sprawdza, czy relacja R na V jest niezwrotna:

WYBIERAĆ
SPRAWA
KIEDY ISTNIEJE
(WYBIERZ * Z dbo.R
GDZIE r1 = r2)
W takim razie nie"
W przeciwnym razie „Tak”
KONIEC JAKO bezrefleksyjny

Klucze obce w definicji tablicy R wprowadzono po to, aby tylko elementy V mogły tworzyć atrybuty r1 i r2 rekordu R. Pozostaje zatem sprawdzić, czy w R istnieją rekordy z pasującymi atrybutami r1 i r2. Jeśli taki zapis zostanie znaleziony, relacja R nie jest bezrefleksyjna, jeśli nie ma wpisu, jest ona niezwrotna.

Symetria. Relację R na zbiorze V nazywamy symetryczną, jeśli razem z (r1, r2) ∈ R, (r2, r1) ∈ R jest zawsze spełniona. Relacja nie jest symetryczna, jeśli istnieje para (r1, r2) ∈ R dla czego (r2, r1) ∉ R. Na zbiorze F członków rodziny Ben-Gana relacja „jest rodzeństwem” byłaby przykładem relacji symetrycznej. Parami tej relacji będą następujące zbiory: ((Itsik, Mickey), (Itsik, Inna), (Mickey, Itzik), (Mickey, Inna), (Inna, Itzik), (Inna, Mickey)).

Poniższe zapytanie sprawdza, czy relacja R do V jest symetryczna:

WYBIERAĆ
SPRAWA
KIEDY ISTNIEJE
(WYBIERZ r1, r2 Z dbo.R
Z WYJĄTKIEM
WYBIERZ r2, r1 Z dbo.R)
W takim razie nie"
W przeciwnym razie „Tak”
KONIEC JAKO symetryczny

Kod żądania wykorzystuje operację EXCEPT. Pierwsze podzapytanie operacji EXCEPT zwraca zbiór par uporządkowanych (r1, r2) - rekordy tabeli R, a drugie - zbiór par uporządkowanych (r2, r1) dla każdego rekordu R. Jeżeli relacja R na zbiór V nie jest symetryczny, wówczas operacja EXCEPT zwróci niepusty zestaw wyników, a predykat EXISTS odpowiednio wartość PRAWDA i na koniec wyrażenie CASE zwróci „Nie”.

Jeżeli relacja jest symetryczna, wówczas wyrażenie CASE zwróci „Tak”.

Asymetria. Relacja R na zbiorze V jest asymetryczna (nie należy mylić tej właściwości z asymetrią), jeśli dla każdego zbioru (r1, r2) ∈ R, w którym r1 ≠ r2, prawdą jest, że (r2, r1) ∉ R. An przykład relacji asymetrycznej na zbiorze F Członkowie rodziny autora będą mieli opisaną powyżej relację „bycia rodzicem”. W ramach ćwiczenia spróbuj podać przykład relacji na niepustym zbiorze, który jest jednocześnie symetryczny i asymetryczny. Aby znaleźć rozwiązanie, przejrzyj przykładowe dane w tym artykule.

WYBIERAĆ
SPRAWA
KIEDY ISTNIEJE
(WYBIERZ r1, r2 Z dbo.R GDZIE r1 r2
PRZECINAĆ
WYBIERZ r2, r1 Z dbo.R GDZIE r1 r2)
W takim razie nie"
W przeciwnym razie „Tak”
KONIEC JAKO asymetryczny

W kodzie zastosowano operację INTERSECT. Pierwsze podzapytanie w tej operacji zwraca uporządkowaną parę (r1, r2) dla każdego rekordu tabeli R, w którym r1 r2.

Drugie podzapytanie operacji INTERSECT zwraca uporządkowaną parę (r2, r1) dla każdego rekordu tabeli R, w którym r1 r2. Jeżeli zbiór wyników (wynik przecięcia tych zbiorów) zawiera przynajmniej jeden rekord, będzie to oznaczać, że R nie jest asymetryczne; w przeciwnym razie R jest asymetryczny.

Przechodniość. Relacja R na zbiorze V jest przechodnia, jeśli inkluzje (a, b) ∈ R i (b, c) ∈ R zawsze implikują, że (a, c) ∈ R. Przykład relacji przechodniej na zbiorze członków rodziny F byłoby relacją „jest bratem lub siostrą”, o czym była mowa powyżej.

Poniższy kod testuje przechodniość relacji R:

WYBIERAĆ
SPRAWA
KIEDY ISTNIEJE
(WYBIERAĆ *
Z dbo.R JAK RA
ZŁĄCZE WEWNĘTRZNE dbo.R JAKO RB
ON RA.r2 = RB.r1
LEWE ŁĄCZENIE ZEWNĘTRZNE dbo.R JAKO RC
ON RA.r1 = RC.r1 ORAZ RB.r2 = RC.r2
GDZIE RC.r1 JEST NULL)
W takim razie nie"
W przeciwnym razie „Tak”
END AS przechodni

W kodzie najpierw zastosowano sprzężenie wewnętrzne pomiędzy dwoma wystąpieniami R, aby wybrać tylko te wiersze, w których r2 w pierwszym wystąpieniu odpowiada r1 w drugim wystąpieniu. Po drugie, w kodzie zastosowano lewe sprzężenie zewnętrzne z trzecią instancją tabeli R, zgodnie z którą r1 pierwszego wystąpienia R jest takie samo jak r1 trzeciego wystąpienia, a r2 drugiego wystąpienia jest takie samo jak r2 trzeci. Jeżeli w podzapytaniu wewnętrznym znajduje się przynajmniej jeden wiersz wynikowy (warunek wyboru dla trzeciego wystąpienia: r1 ma wartość Null), oznacza to, że relacja nie jest przechodnia; w przeciwnym razie relacja R jest przechodnia.

Relacja równoważności. Relacja równoważności to relacja, która ma jednocześnie właściwości zwrotności, symetrii i przechodniości. Możesz użyć zapytań sugerowanych powyżej, aby osobno sprawdzić obecność każdej właściwości: jeśli relacja ma wszystkie trzy, to powinniśmy stwierdzić, że zachodzi relacja równoważności. Dodatkowo możesz użyć kodu z Listingu 6, aby przetestować wszystkie właściwości relacji R na zbiorze V, które zostały omówione wcześniej w artykule, w tym przetestować właściwość bycia relacją równoważności. Jeśli uruchomisz Listing 6 na przykładowych danych 1, 2 i 3 (pochodzących odpowiednio z Listingów 3, 4 i 5), otrzymasz wyniki pokazane odpowiednio w Tabelach 1, 2 i 3.

Powrót do podstaw T-SQL

W ten sposób zbadaliśmy podstawowy temat matematycznej teorii mnogości: właściwości relacji na zbiorach. Zaproponowałem kody testowe T-SQL do testowania właściwości jakiejś relacji reprezentowanej przez tabelę R (uporządkowane pary elementów) na zbiorze elementów reprezentowanych przez tabelę V.

Zastosowanie podstawowych konstrukcji T-SQL pomogło nam poprawnie skonfigurować i zastosować narzędzia tego języka w celu lepszego zrozumienia właściwości relacji na zbiorach.

Itzik Ben-Gan ( [e-mail chroniony]) - nauczyciel i konsultant, autor książek o T-SQL, posiada tytuł SQL Server MVP