Twierdzenie o energii kinetycznej jest działaniem siły. Moskiewski Państwowy Uniwersytet Sztuk Drukarskich. Potencjalna energia interakcji ciała z Ziemią

Praca wypadkowej wszystkich sił przyłożonych do ciała jest równa zmianie energii kinetycznej ciała.

To twierdzenie jest prawdziwe nie tylko w przypadku ruchu postępowego ciała sztywnego, ale także w przypadku jego dowolnego ruchu.

Energię kinetyczną posiadają tylko poruszające się ciała, dlatego nazywana jest energią ruchu.

§ 8. Siły konserwatywne (potencjalne).

Dziedzina sił konserwatywnych

Def.

Siły, których działanie nie zależy od ścieżki, po której poruszało się ciało, ale jest określane tylko przez początkowe i końcowe położenie ciała, nazywane są siłami zachowawczymi (potencjalnymi).

Def.

Pole sił to obszar przestrzeni, w każdym punkcie którego siła działa na umieszczone tam ciało, które regularnie zmienia się z punktu do punktu w przestrzeni.

Def.

Pole, które nie zmienia się w czasie, nazywane jest stacjonarnym.

Można udowodnić następujące 3 stwierdzenia

1) Praca sił konserwatywnych na dowolnej zamkniętej ścieżce wynosi 0.

Dowód:

2) Jednolite pole sił jest zachowawcze.

Def.

Pole nazywa się jednorodnym, jeśli we wszystkich punktach pola siły działające na umieszczone w nim ciało są takie same pod względem wielkości i kierunku.

Dowód:

3) Pole sił centralnych, w którym wielkość siły zależy tylko od odległości do środka, jest zachowawcze.

Def.

Pole sił centralnych jest polem siłowym, w każdym punkcie którego siła działa na poruszające się w nim ciało punktowe, skierowane wzdłuż linii przechodzącej przez ten sam stały punkt - środek pola.

Generalnie ta dziedzina sił centralnych nie jest konserwatywna. Jeżeli w polu sił centralnych wielkość siły zależy tylko od odległości do środka pola siłowego (O), tj. , to takie pole jest konserwatywne (potencjalne).

Dowód:

gdzie jest funkcja pierwotna.

§ 9. Energia potencjalna.

Związek między siłą a energią potencjalną

w dziedzinie sił konserwatywnych

Jako źródło współrzędnych wybierzmy pole sił konserwatywnych, tj.

Potencjalna energia ciała w zakresie sił zachowawczych. Ta funkcja jest jednoznacznie określona (zależy tylko od współrzędnych), ponieważ praca sił konserwatywnych nie zależy od rodzaju ścieżki.

Znajdźmy związek w polu sił zachowawczych, gdy ciało przemieszcza się z punktu 1 do punktu 2.

Praca sił konserwatywnych jest równa zmianie energii potencjalnej z przeciwnym znakiem.

Energia potencjalna ciała pola sił zachowawczych jest energią wynikającą z obecności pola sił powstającego w wyniku określonej interakcji danego ciała z ciałem zewnętrznym (ciałami), które, jak mówią, tworzy pole siłowe.

Energia potencjalna pola sił zachowawczych charakteryzuje zdolność organizmu do wykonywania pracy i jest liczbowo równa pracy sił konserwatywnych, aby przenieść ciało do źródła (lub do punktu o zerowej energii). Zależy to od wyboru poziomu zerowego i może być ujemne. W każdym razie, a więc dla pracy elementarnej jest to prawda, tj. lub, gdzie jest rzut siły na kierunek ruchu lub elementarne przemieszczenie. W związku z tym, . Dlatego możemy poruszać ciałem w dowolnym kierunku, to jest prawdziwe w każdym kierunku. Rzut zachowawczej siły w dowolnym kierunku jest równy pochodnej energii potencjalnej w tym kierunku o przeciwnym znaku.

Biorąc pod uwagę rozkład wektorów i podstawę, otrzymujemy to

Z drugiej strony z analizy matematycznej wiadomo, że całkowita różniczka funkcji kilku zmiennych jest równa sumie iloczynów pochodnych cząstkowych względem argumentów przez różniczki argumentów, tj. , a zatem z relacji, którą otrzymujemy

Aby uzyskać bardziej zwarty zapis tych stosunków, możesz użyć pojęcia gradientu funkcji.

Def.

Gradient jakiejś funkcji skalarnej współrzędnych jest wektorem o współrzędnych równych odpowiednim pochodnym cząstkowym tej funkcji.

W naszym przypadku

Def.

Powierzchnia ekwipotencjalna to umiejscowienie punktów w polu sił zachowawczych, których wartości energii potencjalnej są takie same, tj. ...

Dlatego z definicji powierzchni ekwipotencjalnej wynika, że \u200b\u200bdla punktów tej powierzchni, to jako pochodna stałej, stąd.

W ten sposób siła zachowawcza jest zawsze prostopadła do powierzchni ekwipotencjalnej i jest skierowana w kierunku spadku energii potencjalnej. (P 1\u003e P 2\u003e P 3).

§ 10. Potencjalna energia interakcji.

Konserwatywne układy mechaniczne

Rozważmy układ dwóch oddziałujących ze sobą cząstek. Niech siły ich oddziaływania będą centralne, a wielkość siły zależy od odległości między cząstkami (są to siły grawitacyjne i elektryczne siły kulombowskie). Oczywiste jest, że siły oddziaływania między dwiema cząstkami są wewnętrzne.

Biorąc pod uwagę trzecie prawo Newtona (), otrzymujemy tj. praca sił wewnętrznych oddziaływania dwóch cząstek jest zdeterminowana zmianą odległości między nimi.

Ta sama praca byłaby wykonana, gdyby pierwsza cząstka spoczywała u źródła, a druga otrzymała przemieszczenie równe przyrostowi jej wektora promienia, to znaczy pracę wykonaną przez siły wewnętrzne można obliczyć, zakładając, że jedna cząstka jest nieruchomy, a drugi - poruszający się w polu sił centralnych, których wielkość jest jednoznacznie określona odległością między cząstkami. W rozdziale 8 udowodniliśmy, że pole takich sił (tj. Pole sił centralnych, w którym wielkość siły zależy tylko od odległości do środka) jest konserwatywne, co oznacza, że \u200b\u200bich pracę można uznać za spadek energii potencjalnej (określony zgodnie z rozdziałem 9 dla pola sił zachowawczych).

W rozważanym przypadku energia ta wynika z interakcji dwóch cząstek tworzących układ zamknięty. Nazywa się to energią potencjalną interakcji (lub wzajemną energią potencjalną). Zależy to również od wyboru poziomu zerowego i może być ujemne.

Def.

Mechaniczny układ ciał stałych, pomiędzy którymi siły wewnętrzne są zachowawcze, nazywany jest konserwatywnym układem mechanicznym.

Można wykazać, że potencjalna energia interakcji konserwatywnego układu cząstek N składa się z możliwych do wyobrażenia energii potencjalnego oddziaływania cząstek wziętych w pary.

Gdzie jest energia potencjalna interakcji dwóch cząstek i-tej i j-tej. Indeksy i i j w sumie przyjmują niezależne wartości 1, 2, 3, ..., N. Biorąc pod uwagę, że ta sama energia potencjalna interakcji i-tej i j-tej cząstki ze sobą, to po zsumowaniu energia pomnoży się przez 2, w wyniku czego przed sumą pojawi się współczynnik. W ogólnym przypadku potencjalna energia interakcji układu cząstek N będzie zależeć od położenia lub współrzędnych wszystkich cząstek. Łatwo zauważyć, że energia potencjalna cząstki w polu sił zachowawczych jest rodzajem energii potencjalnej interakcji układu cząstek, ponieważ pole siłowe jest wynikiem pewnego wzajemnego oddziaływania ciał.

§ 11. Prawo zachowania energii w mechanice.

Niech ciało sztywne porusza się translacyjnie pod działaniem sił konserwatywnych i niekonserwatywnych, tj. przypadek ogólny. Wtedy wypadkowa wszystkich sił działających na organizm. W tym przypadku praca jest wypadkową wszystkich sił.

Zgodnie z twierdzeniem o energii kinetycznej, a także biorąc to pod uwagę, otrzymujemy

Całkowita energia mechaniczna ciała

Jeśli następnie. To jest matematyczny zapis prawa zachowania energii w mechanice dla pojedynczego ciała.

Sformułowanie prawa zachowania energii:

Całkowita energia mechaniczna ciała nie zmienia się w przypadku braku działania sił niekonserwatywnych.

Dla mechanicznego układu cząstek N łatwo jest wykazać, że zachodzi (*).

W którym

Pierwsza suma to całkowita energia kinetyczna układu cząstek.

Drugi to całkowita energia potencjalna cząstek w zewnętrznym polu sił zachowawczych

Trzecia to energia potencjalna interakcji cząstek układu ze sobą.

Druga i trzecia suma reprezentują całkowitą energię potencjalną systemu.

Praca sił niekonserwatywnych składa się z dwóch terminów, które reprezentują działanie sił niekonserwatywnych wewnętrznych i zewnętrznych.

Podobnie jak w przypadku ruchu pojedynczego ciała, dla układu mechanicznego ciał N, jeśli tak, a prawo zachowania energii w ogólnym przypadku dla układu mechanicznego brzmi:

Zachowana jest całkowita energia mechaniczna układu cząstek, które są tylko pod wpływem sił konserwatywnych.

Tak więc, w obecności niekonserwatywnych sił, całkowita energia mechaniczna nie jest zachowana.

Siły niekonserwatywne to np. Siła tarcia, siła oporu i inne siły, których działanie powoduje desinację energii (przemiana energii mechanicznej w ciepło).

Siły prowadzące do desynacji nazywane są desynatywnymi. Niektóre siły niekoniecznie są przeciwne.

Prawo zachowania energii jest uniwersalne i dotyczy nie tylko zjawisk mechanicznych, ale także wszystkich procesów zachodzących w przyrodzie. Całkowita ilość energii w izolowanym układzie ciał i pól zawsze pozostaje stała. Energia może przechodzić tylko z jednej formy do drugiej.

Biorąc pod uwagę tę równość

Jeśli potrzebujesz dodatkowych materiałów na ten temat lub nie znalazłeś tego, czego szukałeś, zalecamy skorzystanie z wyszukiwania w naszej bazie prac:

Co zrobimy z otrzymanym materiałem:

Jeśli ten materiał okazał się dla Ciebie przydatny, możesz zapisać go na swojej stronie w sieciach społecznościowych:

Energia kinetyczna.

Niezbywalną własnością materii jest ruch. Różne formy ruchu materii są zdolne do wzajemnych przemian, które, jak ustalono, zachodzą w ściśle określonych proporcjach ilościowych. Energia jest pojedynczą miarą różnych form ruchu i rodzajów interakcji obiektów materialnych.

Energia zależy od parametrów stanu systemu, ᴛ.ᴇ. takie wielkości fizyczne, które charakteryzują pewne podstawowe właściwości systemu. Energia, która zależy od dwóch parametrów wektora charakteryzujących stan mechaniczny układu, a mianowicie wektora promienia, który określa położenie jednego ciała względem drugiego, oraz prędkość, która określa prędkość ruchu ciała w przestrzeni, nazywa się mechaniczny.

W mechanice klasycznej wydaje się możliwe podzielenie energii mechanicznej na dwa terminy, z których każdy zależy tylko od jednego parametru:

gdzie jest energia potencjalna, w zależności od względnego położenia oddziałujących ciał; - energia kinetyczna, w zależności od prędkości ruchu ciała w przestrzeni.

Energia mechaniczna ciał makroskopowych może zmieniać się tylko poprzez pracę.

Znajdźmy wyrażenie na energię kinetyczną ruchu postępowego układu mechanicznego. Warto powiedzieć, że najpierw rozważ punkt materialny z masą m... Załóżmy, że jego prędkość w pewnym momencie t jest równy. Zdefiniujmy pracę powstałej siły działającej przez pewien czas na punkt materialny:

Biorąc pod uwagę, że na podstawie definicji iloczynu skalarnego

gdzie jest początkowa i końcowa prędkość punktu.

Ilość

zwyczajowo nazywa się energię kinetyczną punktu materialnego.

Za pomocą tej koncepcji relację (4.12) można zapisać w postaci

Z (4.14) wynika, że \u200b\u200benergia ma ten sam wymiar co praca, a zatem jest mierzona w tych samych jednostkach.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, praca wypadkowej wszystkich sił działających na punkt materialny jest równa przyrostowi energii kinetycznej tego punktu. Zauważ, że przyrost energii kinetycznej może być dodatni lub ujemny, w zależności od znaku, wykonanej pracy (siła może przyspieszać lub spowalniać ruch ciała). To stwierdzenie jest zwykle nazywane twierdzeniem o energii kinetycznej.

Uzyskany wynik można łatwo uogólnić na przypadek ruchu postępowego dowolnego układu punktów materialnych. Zwyczajowo energię kinetyczną układu nazywa się sumą energii kinetycznych punktów materialnych, które tworzą ten system. W wyniku dodania relacji (4.13) dla każdego punktu materialnego układu otrzymujemy ponownie wzór (4.13), ale już dla układu punktów materialnych:

gdzie m - masa całego układu.

Zauważ, że istnieje znacząca różnica między twierdzeniem o energii kinetycznej (prawem dotyczącym zmiany energii kinetycznej) a prawem dotyczącym zmiany pędu układu. Jak wiecie, przyrost pędu układu zależy tylko od sił zewnętrznych. Siły wewnętrzne, ze względu na równość działania i reakcji, nie zmieniają impulsu układu. Tak nie jest w przypadku energii kinetycznej. Ogólnie rzecz biorąc, działanie sił wewnętrznych nie znika. Na przykład, gdy dwa punkty materialne poruszają się, oddziałując ze sobą siłami przyciągania, każda z sił wykona dodatnią pracę, a energia kinetyczna całego układu wzrośnie dodatnio. W konsekwencji o wzroście energii kinetycznej decyduje praca nie tylko sił zewnętrznych, ale także wewnętrznych.

- Twierdzenie o energii kinetycznej

Całka krzywoliniowa drugiego rodzaju, której obliczenie jest z reguły łatwiejsze niż obliczenie całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju. Siła siły nazywana jest działaniem siły na jednostkę czasu. Ponieważ w nieskończenie małym czasie dt siła działa dA \u003d fsds \u003d fdr, to potęga ...

Energia kinetyczna punktu materialnego jest wyrażona przez połowę iloczynu masy tego punktu i kwadratu jego prędkości.

Twierdzenie o energii kinetycznej punktu materialnego można wyrazić w trzech postaciach:

to znaczy, różnica energii kinetycznej punktu materialnego jest równa elementarnej pracy siły działającej na ten punkt;

czyli pochodna czasu energii kinetycznej punktu materialnego jest równa sile siły działającej na ten punkt:

to znaczy, zmiana energii kinetycznej punktu materialnego na końcowej ścieżce jest równa działaniu siły działającej na punkt na tej samej ścieżce.

Tabela 17. Klasyfikacja zadań

Jeśli na punkt działa kilka sił, wówczas praca lub moc wypadkowej tych sił jest zawarta po prawej stronie równań, co jest równe sumie pracy lub mocy wszystkich sił składowych.

W przypadku prostoliniowego ruchu punktu, kierującego oś wzdłuż prostej, po której porusza się punkt, otrzymujemy:

gdzie, ponieważ w tym przypadku wypadkowa wszystkich sił przyłożonych do punktu jest skierowana wzdłuż osi x.

Stosując twierdzenie o energii kinetycznej w przypadku niewolnego ruchu punktu materialnego należy mieć na uwadze, co następuje: jeżeli na punkt nałożone jest idealne wiązanie stacjonarne (punkt porusza się po absolutnie gładkiej stałej powierzchni lub linii) , to reakcja wiązania nie wchodzi do równań, ponieważ ta reakcja jest skierowana wzdłuż normalnej do trajektorii punktu, a zatem jej praca wynosi zero. Jeśli trzeba wziąć pod uwagę tarcie, wówczas praca lub moc siły tarcia wejdzie w równanie energii kinetycznej.

Zadania związane z tą sekcją można podzielić na dwa główne typy.

I. Problemy z zastosowaniem twierdzenia o energii kinetycznej do prostoliniowego ruchu punktu.

II. Problemy z zastosowaniem twierdzenia o energii kinetycznej dla ruchu krzywoliniowego punktu.

Dodatkowo zadania typu I można podzielić na trzy grupy:

1) siła działająca na punkt (lub wypadkowa kilku sił) jest stała, tj. Gdzie X jest rzutem siły (lub wypadkowej) na oś skierowaną po prostoliniowej trajektorii punktu;

2) siła działająca na punkt (lub wypadkową) jest funkcją odległości (odcięta tego punktu), tj.

3) siła działająca na punkt (lub wypadkową) jest funkcją prędkości tego punktu, tj.

Zadania typu II można podzielić na trzy grupy:

1) siła działająca na punkt (lub wypadkowa) jest stała zarówno pod względem wielkości, jak i kierunku (na przykład siła ciężkości);

2) siła działająca na punkt (lub wypadkową) jest funkcją położenia tego punktu (funkcją współrzędnych punktu);

3) ruch punktu w obecności sił oporu.

Wartość skalarna T, równa sumie energii kinetycznych wszystkich punktów układu, nazywana jest energią kinetyczną układu.

Energia kinetyczna jest cechą ruchu postępowego i obrotowego układu. Na jego zmianę wpływa działanie sił zewnętrznych, a ponieważ jest skalarem, nie zależy od kierunku ruchu elementów układu.

Znajdźmy energię kinetyczną dla różnych przypadków ruchu:

1. Ruch postępowy

Prędkości wszystkich punktów układu są równe prędkości środka masy. Następnie

Energia kinetyczna układu podczas ruchu postępowego jest równa połowie iloczynu masy układu przez kwadrat prędkości środka masy.

2. Ruch obrotowy (rys.77)

Prędkość dowolnego punktu na ciele: Następnie

lub za pomocą wzoru (15.3.1):

Energia kinetyczna ciała podczas obrotu jest równa połowie iloczynu momentu bezwładności ciała względem osi obrotu przez kwadrat jego prędkości kątowej.

3. Ruch równoległy do \u200b\u200bpłaszczyzny

Przy tym ruchu energia kinetyczna jest sumą energii ruchów postępowych i obrotowych

Ogólny przypadek ruchu podaje wzór na obliczenie energii kinetycznej, podobny do tego drugiego.

Definicję pracy i mocy podaliśmy w paragrafie 3 rozdziału 14. W tym miejscu rozważymy przykłady obliczania pracy i mocy sił działających na układ mechaniczny.

1. Dzieło grawitacji... Niech współrzędne początkowego i końcowego położenia punktu k ciała. Będzie działać siła grawitacji działająca na tę cząsteczkę ciężaru ... Wtedy cała praca to:

gdzie P jest ciężarem układu punktów materialnych, jest pionowym przemieszczeniem środka ciężkości C.

2. Praca sił przyłożonych do obracającego się ciała.

Zgodnie z relacją (14.3.1) można to zapisać, ale ds zgodnie z rys. 74, ze względu na jego nieskończoną małość, można przedstawić w postaci - nieskończenie mały kąt obrotu korpusu. Następnie

Ilość zwany momentem obrotowym.

Formułę (19.1.6) można przepisać jako

Praca elementarna jest równa iloczynowi momentu obrotowego i elementarnego obrotu.

Zwracając się do końcowego kąta, mamy:

Jeśli moment obrotowy jest stały, to

a moc jest określana z zależności (14.3.5)

jako iloczyn momentu obrotowego i prędkości kątowej ciała.

Twierdzenie o zmianie energii kinetycznej udowodnione dla punktu (§ 14.4) będzie obowiązywać dla dowolnego punktu układu

Układając takie równania dla wszystkich punktów układu i dodając je termin po członie, otrzymujemy:

lub zgodnie z (19.1.1):

co jest wyrażeniem twierdzenia o energii kinetycznej układu w postaci różniczkowej.

Całkując (19.2.2) otrzymujemy:

Twierdzenie o zmianie energii kinetycznej w ostatecznej postaci: zmiana energii kinetycznej układu z pewnym jego końcowym przemieszczeniem jest równa sumie pracy nad tym przemieszczeniem wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych przyłożonych do układu .

Podkreślmy, że siły wewnętrzne nie są wykluczone. W przypadku niezmiennego układu suma pracy wszystkich sił wewnętrznych wynosi zero i

Jeśli ograniczenia nałożone na system nie zmieniają się w czasie, to siły, zarówno zewnętrzne, jak i wewnętrzne, można podzielić na reakcje aktywne i reakcje z ograniczeniami i można teraz zapisać równanie (19.2.2):

W dynamice wprowadza się pojęcie „idealnego” układu mechanicznego. To jest taki system, w którym obecność wiązań nie wpływa na zmianę energii kinetycznej, czyli

Takie połączenia, które nie zmieniają się w czasie i których suma pracy nad przesunięciem elementarnym jest równa zero, nazywane są idealnymi, a równanie (19.2.5) zostanie zapisane:

Energia potencjalna punktu materialnego w danej pozycji M jest wartością skalarną P, równą pracy, jaką wytworzą siły pola, gdy punkt przesunie się z pozycji M do zera

P \u003d A (mo) (19.3.1)

Energia potencjalna zależy od położenia punktu M, czyli od jego współrzędnych

P \u003d P (x, y, z) (19.3.2)

Wyjaśnijmy tutaj, że pole siłowe jest częścią objętości przestrzennej, w każdym punkcie której siła określona pod względem wielkości i kierunku działa na cząstkę i zależy od położenia cząstki, czyli od współrzędnych x, y , z. Na przykład pole grawitacyjne Ziemi.

Nazywa się funkcję U współrzędnych, których różniczka jest równa pracy funkcja zasilania... Nazywa się pole siłowe, dla którego istnieje funkcja siły potencjalne pole siłowe, a siły działające na tym polu są potencjalne siły.

Niech punkty zerowe dwóch funkcji siły (x, y, z) i U (x, y, z) pokrywają się.

Ze wzoru (14.3.5) otrzymujemy, tj. dA \u003d dU (x, y, z) i

gdzie U jest wartością funkcji siły w punkcie M. Stąd

П (x, y, z) \u003d -U (x, y, z) (19.3.5)

Energia potencjalna w dowolnym punkcie pola siłowego jest równa wartości funkcji siły w tym punkcie, przyjmowanej z przeciwnym znakiem.

Oznacza to, że rozważając właściwości pola siłowego zamiast funkcji siły można rozważyć energię potencjalną, aw szczególności równanie (19.3.3) zostanie przepisane jako

Praca siły potencjalnej jest równa różnicy wartości energii potencjalnej ruchomego punktu w położeniu początkowym i końcowym.

W szczególności praca grawitacji:

Niech wszystkie siły działające na system będą potencjalne. Wówczas dla każdego punktu k układu praca jest równa

Wtedy dla wszystkich sił, zarówno zewnętrznych, jak i wewnętrznych, będą

gdzie jest energia potencjalna całego systemu.

Zastępujemy te sumy wyrażeniem na energię kinetyczną (19.2.3):

lub wreszcie:

Podczas poruszania się pod wpływem sił potencjalnych suma energii kinetycznej i potencjalnej układu w każdym z jego położeń pozostaje stała. To jest prawo zachowania energii mechanicznej.

Ładunek o masie 1 kg przenosi drgania swobodne zgodnie z prawem x \u003d 0,1sinl0t. Współczynnik sztywności sprężyny c \u003d 100 N / m. Wyznacz całkowitą energię mechaniczną obciążenia przy x \u003d 0,05 m, jeśli przy x \u003d 0 energia potencjalna wynosi zero . (0,5)

Opadający ładunek o masie m \u003d 4 kg wykorzystuje gwint do obracania walca o promieniu R \u003d 0,4 m. Moment bezwładności walca względem osi obrotu I \u003d 0,2. Wyznacz energię kinetyczną układu ciał w momencie, gdy prędkość obciążenia v \u003d 2m / s . (10,5)