Tineret și frumusețe 

Teorema energiei cinetice care lucrează puterea este egală. Universitatea de Stat de Press din Moscova. Interacțiunea potențială a energiei cu Pământul

Lucrarea de egalitate a tuturor forțelor aplicate organismului este egală cu schimbarea energiei cinetice a corpului.

Această teoremă este adevărată nu numai pentru mișcarea progresivă a solidului, ci și în cazul mișcării sale arbitrare.

Numai corpurile în mișcare au energie cinetică, prin urmare se numește energia mișcării.

§ 8. Forțele conservatoare (potențiale).

Domeniul forțelor conservatoare

Ord.

Forțele, lucrarea care nu depinde de calea prin care corpul sa mutat, dar este determinat numai de pozițiile inițiale și de sfârșit ale corpului, se numesc forțe conservatoare (potențiale).

Ord.

Domeniul forțelor este zona de spațiu, la fiecare punct al cărui forța de pe corp plasată acolo este o schimbare naturală din punct până la punctul de spațiu.

Ord.

Câmpul care nu se schimbă în timp este numit staționare.

Puteți dovedi următoarele 3 acuzații

1) Lucrarea forțelor conservatoare pe orice cale închisă egală cu 0.

Dovezi:

2) Un conservator omogen conservator.

Ord.

Câmpul este numit omogen, dacă în toate punctele din domeniul forței care acționează asupra corpului plasat acolo, același modul și direcția.

Dovezi:

3) Domeniul forțelor centrale în care cantitatea de forță depinde numai de distanța față de centru, conservator.

Ord.

Câmpul forțelor centrale este un câmp de putere, la fiecare punct al cărui forță îndreptată de-a lungul liniei care trece prin același punct fix este pe corpul punctului, care trece prin același punct fix.

În general, un astfel de domeniu al forțelor centrale nu este conservator. Dacă, în domeniul forțelor centrale, cantitatea de forță depinde doar de distanța față de centrul câmpului de alimentare (o), adică Acest câmp este conservator (potențial).

Dovezi:

unde este primitivul.

§ 9. Energia potențială.

Comunicarea puterii și a energiei potențiale

În domeniul forțelor conservatoare

Domeniul forțelor conservatoare va alege originea coordonatelor, deci

Energia potențială a corpului în domeniul forțelor conservatoare. Această funcție este definită în mod unic (depinde numai de coordonate), deoarece Activitatea forțelor conservatoare nu depinde de tipul de calea.

Vom găsi o legătură în domeniul forțelor conservatoare la deplasarea corpului de la punctul 1 la punctul 2.

Activitatea forțelor conservatoare este egală cu schimbarea energiei potențiale cu semnul opus.

Energia potențială a corpului domeniului forțelor conservatoare este energia datorată prezenței unui câmp de putere care rezultă dintr-o anumită interacțiune a acestui corp cu un corp extern (corpuri), pe care le spun și creează un câmp de putere.

Energia potențială a domeniului forțelor conservatoare caracterizează capacitatea corpului de a lucra și este numeric egală cu funcționarea forțelor conservatoare pentru a deplasa corpul la începutul coordonatelor (sau la un punct cu energia zero). Depinde de alegerea nivelului zero și poate fi negativă. În orice caz, ceea ce înseamnă că lucrul elementar echitabil, adică. Sau, în cazul în care - proiecția forței asupra direcției de mișcare sau a mișcării elementare. Prin urmare,. pentru că Putem muta corpul în orice direcție, apoi pentru orice direcție pe bună dreptate. Proiecția forței conservatoare pe o direcție arbitrară este egală cu derivatul energiei potențiale în această direcție cu semnul opus.

Având în vedere descompunerea vectorilor și pe bază, obținem asta

Pe de altă parte, din analiza matematică, se știe că funcția diferențială completă a mai multor variabile este egală cu cantitatea de lucrări de derivați parțiali pe argumentele privind diferențele de argumente, adică. Deci, primim din raport

Pentru o înregistrare mai compactă a acestor rapoarte, poate fi utilizat conceptul de gradient de funcție.

Ord.

Un gradient al unei funcții de coordonate scalare este numit un vector cu coordonate egale cu derivatul privat corespunzător al acestei funcții.

În cazul nostru

Ord.

Suprafața echipamentelor este locația geometrică a punctelor din domeniul forțelor conservatoare, valorile energiei potențiale în care același lucru, adică. .

pentru că Din definiția suprafeței echipamentelor, rezultă că, pentru punctele de pe această suprafață, modul în care constanta derivată este, prin urmare.

Astfel, forța conservatoare este întotdeauna perpendiculară pe suprafața echipotențială și este îndreptată în legătură cu energia potențială. (P 1\u003e P 2\u003e P 3).

§ 10. Energia potențială de interacțiune.

Sisteme mecanice conservatoare

Ia în considerare sistemul celor două particule interacționate. Lăsați punctele forte ale interacțiunii lor să fie centrale și magnitudinea forței depinde de distanța dintre particule (forțele sunt forțele gravitaționale și electrice de coulomb). Este clar că puterea interacțiunii a două particule este internă.

Având în vedere a treia lege a Newton (), ajungem, adică. Funcționarea forțelor de interacțiune internă a două particule este determinată prin schimbarea distanței dintre ele.

Aceeași muncă ar fi comisă dacă prima particulă se odihnea la începutul coordonatelor, iar cea de-a doua - a primit o mișcare, egală cu creșterea vectorului său de rază, adică lucrarea efectuată de forțele interne pot fi calculate , numărarea unei particule este fixată, iar cea de-a doua mișcare în câmpul forțelor centrale, valoarea căreia este determinată în mod unic de distanța dintre particule. În §8, am demonstrat că domeniul acestor forțe (adică câmpul forțelor centrale, în care cantitatea de forță depinde numai de distanța față de centru) conservator și, prin urmare, munca lor poate fi considerată o scădere a potențialului Energia (determinată, conform §9, pentru domeniul forțelor conservatoare).

În cazul în cauză, această energie se datorează interacțiunii a două particule care constituie un sistem închis. Se numește energie potențială a interacțiunii (sau a energiei potențiale reciproce). De asemenea, depinde de alegerea nivelului zero și poate fi negativă.

Ord.

Sistemul mecanic al corpurilor solide, forțele interne dintre care sunt conservatoare, se numește un sistem mecanic conservator.

Se poate demonstra că energia potențială a interacțiunii sistemului conservator de particulă N este compusă din energiile potențiale ale interacțiunii particulelor luate în perechi, care pot fi reprezentate.

Unde - energia potențială a interacțiunii a două particule I-O și J-Oh. Indicii I și J în suma sunt luate de o valoare independentă de 1,2,3, N. Având în vedere că aceeași energie potențială a interacțiunii particulelor IO și J-OH unul cu celălalt, atunci când Sumarea energiei se va înmulți cu 2, ca rezultat, coeficientul apare înainte de sumă. În cazul general, energia potențială a interacțiunii sistemului de la particulele N va depinde de poziția sau coordonarea tuturor particulelor. Este ușor de observat că potențialul de energie al particulelor în domeniul forțelor conservatoare este un fel de energie potențială a interacțiunii sistemului de particule, deoarece Câmpul de alimentare este rezultatul unei anumite interacțiuni ale corpurilor unul cu celălalt.

§ 11. Legea conservării energiei în mecanică.

Lăsați soldul să se deplaseze progresiv sub acțiunea forțelor conservatoare și neconservative, adică. General. Apoi rezultatul tuturor forțelor care acționează asupra corpului. Lucrări ale tuturor forțelor rezultate în acest caz.

De teorema energiei cinetice, precum și luând în considerare acest lucru, ajungem

Energia corporală mecanică completă

Daca atunci. Aceasta este înregistrarea matematică a legii conservării energiei în mecanică pentru un organism separat.

Formularea legii conservării energiei:

Energia mecanică completă a organismului nu se schimbă în absența forțelor nemechanice.

Pentru un sistem mecanic de la particul N nu este greu de arătat că (*) are loc.

În care

Prima sumă aici este energia kinetică totală a sistemului de particule.

Al doilea este energia potențială potențială a particulelor în domeniul exterior al forțelor conservatoare

A treia este energia potențială a interacțiunii particulelor sistemului unul cu celălalt.

A doua și a treia sume reprezintă energia potențială totală a sistemului.

Activitatea forțelor ne-conservatoare constă din două componente furnizate de activitatea forțelor interne și externe non-coerente.

De asemenea, ca în cazul mișcării unui organism separat, pentru un sistem mecanic de la corpurile N, dacă, atunci, legea conservării energiei în cazul general pentru sistemul mecanic, cită:

Energia mecanică completă a sistemului de particule, care este numai sub acțiunea forțelor conservatoare este păstrată.

Astfel, în prezența forțelor ne-conservatoare, energia mecanică completă nu este salvată.

Forțele ne-conservatoare sunt, de exemplu, forța de frecare, forța rezistenței și a altor forțe, ale căror acțiuni provoacă deteriorarea energiei (tranziția energetică mecanică la căldură).

Forțele care duc la avizele sunt numite active. Unele forțe nu sunt neapărat evaluate.

Legea conservării energiei este universală și aplicată nu numai la fenomenele mecanice, ci și la toate procesele în natură. Cantitatea totală de energie în sistemul izolat de corpuri și câmpuri rămâne întotdeauna constantă. Energia poate trece doar de la o formă la alta.

Luând în considerare această egalitate

Dacă aveți nevoie de materiale suplimentare pe acest subiect sau nu ați găsit ceea ce căutau, vă recomandăm să căutați căutarea bazei noastre de lucru:

Ce vom face cu materialul obținut:

Dacă acest material sa dovedit a fi util pentru dvs., îl puteți salva în pagina dvs. de socializare:

Kin -ometric energie.

O proprietate integrală a materiei este mișcarea. Diferitele forme de mișcare a materiei sunt capabile de transformări reciproce, care, așa cum au fost stabilite, apar în rapoarte cantitative strict definite. O singură măsură a diferitelor forme de mișcare și tipuri de interacțiune a obiectelor materiale și este energia.

Energia depinde de parametrii de stare a sistemului, ᴛ.ᴇ. Astfel de cantități fizice care caracterizează unele dintre proprietățile esențiale ale sistemului. Energia în funcție de cei doi parametri vectoriali care caracterizează starea mecanică a sistemului, și anume vectorul razei care determină poziția unui corp în raport cu cealaltă și viteza determină viteza de mișcare a corpului în spațiu se numește mecanică.

În mecanica clasică, se pare posibilă ruperea energiei mecanice în două termeni, fiecare dintre care depinde doar de un singur parametru:

unde - energia potențială în funcție de localizarea relativă a corpurilor de interacțiune; - Energia kin -ometrică, în funcție de viteza mișcării corpului în spațiu.

Energia mecanică a corpurilor macroscopice poate varia numai prin muncă.

Considerăm expresia pentru energia kin -ometrică a mișcării translaționale a sistemului mecanic. Merită să spuneți că pentru a începe, luați în considerare punctul material m.. Să presupunem viteza la un moment dat în timp t. egal. Definim lucrarea forței rezultate care acționează asupra punctului material de ceva timp:

Având în vedere că, pe baza definiției unui produs scalar

unde - inițial și este viteza finală a punctului.

Valoare

este obișnuit să apelați o energie kin -ometrică a punctului material.

Cu acest concept, relația (4.12) va fi înregistrată ca

Din (4.14) rezultă că energia are aceeași dimensiune, precum și de lucru și, prin urmare, este măsurată în aceleași unități.

ᴀᴋᴎᴍᴀᴋᴎᴍ ᴏϭᴩᴀᴈᴏᴍ, munca rezultată a tuturor suprapunerilor care acționează asupra punctului material este egală cu creșterea energiei kin -ometrice a acestui punct. Trebuie remarcat faptul că creșterea energiei kin -ometrice poate fi pozitivă sau negativă în funcție de semn, de muncă perfectă (forța poate fi accelerată, fie pentru a frânge mișcarea corpului). Această declarație este obișnuită pentru a fi numită teorema energetică Kin -ometrică.

Rezultatul rezultat este ușor rezumat în cazul mișcării progresive a unui sistem arbitrar de puncte materiale. Energia kin -ometrică a sistemului este obișnuită pentru a apela cantitatea de energii kin-elice ale punctelor materiale, din care acest sistem constă. Ca urmare a adăugării relațiilor (4.13) pentru fiecare punct de material al sistemului, formula (4.13) va funcționa din nou din nou, dar deja pentru sistemul de puncte materiale:

unde m. - greutatea sistemului.

Trebuie remarcat faptul că există o diferență semnificativă între teorema energetică Kin -ometrică (Legea schimbării energiei kin-eterice) și legea privind schimbarea impulsului sistemului. După cum se știe, creșterea impulsului sistemului este determinată numai de forțele externe. Puterile interne din cauza egalității de acțiune și a contracției nu modifică pulsul sistemului. Cazul nu este cazul în cazul energiei kin -ometrice. Activitatea forțelor interne, în general, nu se întoarce la zero. De exemplu, atunci când se mișcă două puncte materiale care interacționează cu alte forțe de atracție, fiecare dintre forțe va face o funcționare pozitivă și va fi creșterea pozitivă a energiei kin -ometrice a sistemului. În consecință, creșterea energiei kin -ometrice este determinată de lucrările nu numai externe, ci și forțele interne.


  • - Teorema energiei kinetice

    Integratul curbilinar al celui de-al doilea tip, calculul căruia este de obicei mai simplu decât calcularea integrării curbilineare a celui de-al 1-lea gen. Puterea de putere este numită lucrarea de forță pe unitate de timp. Deoarece în timpul infinit de timp DT Forța face munca da \u003d FSDS \u003d FDR, apoi puterea ...

    • Energia cinetică a punctului material este exprimată ca o jumătate de produs a masei acestui punct pe pătrat de viteza sa.

    Teorema energiei cinetice a punctului material poate fi exprimată în trei tipuri:

    i.E. Diferențial Energia cinetică a punctului material este egală cu activitatea elementară a forței care acționează asupra acestui punct;

    i.E., derivat de timp din energia cinetică a punctului material este egal cu puterea forței care acționează în acest sens:

    i.E., schimbarea energiei cinetice a punctului material pe calea finală este egală cu activitatea forței care acționează asupra punctului în același mod.

    Tabelul 17. Clasificarea sarcinilor

    Dacă mai multe forțe sunt valabile până la punct, atunci părțile drepte ale ecuațiilor includ munca sau puterea rezultantă a acestor forțe, care este egală cu cantitatea de muncă sau capacitatea tuturor componentelor.

    În cazul unei mișcări rectilinie a punctului, direcționând axa într-o linie dreaptă, care mișcă punctul, avem:

    unde, deoarece, în acest caz, rezultatul tuturor celor atașați la punctul de forță este îndreptat de-a lungul axei X.

    Aplicând teorema asupra energiei cinetice în cazul unei mișcări neuniforme a punctului material, este necesar să se țină cont de următoarele: Dacă se aplică o legătură staționară perfectă (punctul se deplasează de-a lungul unei fixe complet netede Suprafața sau linia), atunci răspunsul comunicării în ecuație nu este inclus, deoarece această reacție este îndreptată de normal la traiectoria punctului și, prin urmare, munca sa este zero. Dacă fricțiunea trebuie luată în considerare, atunci ecuația energiei cinetice va intra în munca sau puterea forței de frecare.

    Sarcinile referitoare la acest paragraf pot fi împărțite în două tipuri principale.

    I. Sarcini pentru utilizarea teoremei energetice kinetice cu punct de mișcare liniară.

    II. Sarcini pentru utilizarea teoremei energetice kinetice în punctul de mișcare curbilin.

    În plus, sarcinile referitoare la tipul I pot fi împărțite în trei grupe:

    1) Forța care acționează asupra punctului (sau rezultatul mai multor forțe) este constantă, adică, unde X este proiecția forței (sau a rezultatului) pe axa îndreptată de-a lungul traiectoriei drepte a punctului;

    2) Forța care acționează asupra punctului (sau automat) este o funcție a distanței (abscisa acestui punct), adică

    3) Forța care acționează asupra punctului (sau automat), există o funcție a vitezei acestui punct, adică.

    Sarcinile legate de tipul II pot fi împărțite în trei grupe:

    1) forța care acționează asupra unui punct (sau relativ), constantă și modulul și în direcția (de exemplu, rezistența la greutate);

    2) forța care acționează asupra punctului (sau automat), există o funcție a poziției acestui punct (funcția coordonatei punctului);

    3) mișcarea punctului în prezența forțelor de rezistență.

    Valoarea scalară a T, egală cu suma energiilor cinetice a tuturor punctelor sistemului, se numește energia cinetică a sistemului.

    Energia cinetică este caracteristică mișcării translaționale și rotite a sistemului. Aceasta afectează acțiunea forțelor externe și, deoarece este un scalar, nu depinde de direcția părților sistemului.

    Considerăm energia cinetică la diferite cazuri de mișcare:

    1. Trafic de protecție

    Viteza tuturor punctelor sistemului este egală cu viteza centrului de masă. Atunci

    Energia cinetică a sistemului în mișcare progresivă este egală cu jumătate din masa sistemului până la pătratul vitezei centrului de masă.

    2. Traficul rotativ. (Fig.77)

    Viteza oricărui punct al corpului :. Atunci

    sau folosind formula (15.3.1):

    Energia cinetică a corpului în timpul rotației este egală cu jumătate din produsul inerției corpului față de axa de rotație pe pătrat a vitezei sale unghiulare.

    3. Mișcare plană

    Cu această mișcare, energia cinetică este alcătuită din energia mișcărilor progresive și de rotație

    Cazul general al mișcării conferă formula pentru a calcula energia cinetică similară celei din urmă.

    Am făcut definiția muncii și a puterii de la punctul 3 din capitolele 14. Aici vom considera exemple de calcul al activității și puterea forțelor care acționează asupra sistemului mecanic.

    1. Lucrările forțelor gravitaționale. Lăsați coordonatele poziției inițiale și finală a punctului k al corpului. Lucrarea gravității greutății care acționează asupra acestei particule va fi . Apoi lucrarea completă:

    unde p este greutatea sistemului de puncte materiale - mișcarea verticală a centrului de gravitate S.

    2. Lucrarea forțelor atașate corpului rotativ.

    Conform relației (14.3.1), acesta poate fi scris, dar DS conform figurii 74, datorită micului delict infinit poate fi reprezentat ca - Colțul infinit de rândul corpului. Atunci

    Valoare numit cuplu.

    Formula (19.1.6) rescrie ca

    Lucrările elementare sunt egale cu produsul cuplului de rotație de pe rândul elementar.

    Când se întoarce la unghiul de capăt, avem:

    Dacă momentul de rotație este constant, atunci

    și puterea de a determina raportul (14.3.5)

    ca produs al cuplului cu privire la viteza unghiulară a corpului.

    Teorema schimbării energiei kinetice dovedite pentru un punct (§ 14.4) va fi valabilă pentru orice punct al sistemului

    Prin constituirea unor astfel de ecuații pentru toate punctele sistemului și plierea acestora pentru a le obține:

    sau, conform (19.1.1):

    ce este o expresie a teoremei asupra energiei cinetice a sistemului în formă diferențială.

    Integrarea (19.2.2) Obținem:

    Teorema schimbării energiei cinetice în forma finală: o schimbare a energiei cinetice a sistemului la o parte din mișcarea sa finală este egală cu suma de lucru a acestei mișcări a tuturor forțelor externe și interne atașate la sistem.

    Subliniem că forțele interne nu sunt excluse. Pentru un sistem imuabil, cantitatea de muncă a tuturor forțelor interne este zero și

    Dacă legăturile impuse în sistem nu sunt modificate în timp, forțele cum ar fi externe și interne pot fi împărțite în active și reacții de obligațiuni și ecuația (19.2.2) poate fi acum scrisă:

    Dinamica introduce un astfel de concept ca și sistemul mecanic "ideal". Acesta este un astfel de sistem, prezența conexiunilor în care nu afectează schimbarea energiei cinetice, adică

    Astfel de conexiuni care nu se schimbă în timp și cuantumul lucrărilor despre mișcarea elementară sunt zero, se numesc ideal, iar ecuația (19.2.5) va fi înregistrată:

    Energia potențială a punctului material în această poziție M se numește valoarea scalară a P, egală cu munca pe care o va fi produsă când punctul este mutat din poziția M la zero

    P \u003d a (MO) (19.3.1)

    Energia potențială depinde de poziția punctului M, adică din coordonatele sale

    P \u003d p (x, y, z) (19.3.2)

    Vom explica aici că câmpul de alimentare face parte din volumul spațial, la fiecare punct al cărui forță determinată de modul și direcția, în funcție de poziția particulei, este, adică din coordonatele X, Y, z. De exemplu, câmpul de teren.

    Funcția u de la coordonate, dintre care diferența este egală cu munca, se numește funcția de alimentare. Câmpul de alimentare pentru care există o funcție de putere este numită potențialul de putere de putere, și forțele care acționează în acest domeniu - forțele potențiale.

    Permiteți punctelor zero pentru două funcții de putere P (X, Z) și U (x, Y, Z) coincid.

    Prin formula (14.3.5) obținem, adică Da \u003d du (x, y, z) și

    unde u este valoarea funcției de putere la punctul M. Prin urmare

    P (x, y, z) \u003d -U (x, y, z) (19.3.5)

    Energia potențială în orice punct al câmpului de alimentare este egală cu valoarea funcției de alimentare în acest moment, realizat cu semnul opus.

    Adică atunci când se ia în considerare proprietățile câmpului de putere, în loc de o funcție puternică, energia potențială poate fi luată în considerare și, în special, ecuația (19.3.3) va rescrie ca

    Activitatea puterii potențiale este egală cu diferența dintre valorile energiei potențiale a unui punct de mișcare în poziția inițială și finală.

    În special, lucrarea de greutate:

    Fie ca toate forțele să acționeze asupra sistemului să fie potențial. Apoi, pentru fiecare punct de activitate al sistemului K este egal

    Apoi, pentru toate forțele, atât exterioare, cât și interne

    unde este energia potențială a întregului sistem.

    Înlocuim aceste sume la expresia pentru energia cinetică (19.2.3):

    sau în cele din urmă:

    Când conduceți sub acțiunea forțelor potențiale, suma energiei cinetice și potențiale a sistemului în fiecare poziție rămâne magnitudinea constantă. Aceasta este legea conservării energiei mecanice.

    Coasta de cântărire de 1 kg face oscilații gratuite conform legii x \u003d 0.1sinl0t. Coeficientul rigidității arcului c \u003d 100 n / m. Determinați energia mecanică totală a încărcăturii la x \u003d 0,05m, dacă la X \u003d 0 Energia potențială este zero . (0,5)

    Masa de încărcare m \u003d 4 kg, care coboară, duce la un filament în rotație a cilindrului de rază R \u003d 0,4 m. Momentul inerției cilindrului în raport cu axa de rotație i \u003d 0,2. Determinați energia cinetică a sistemului corpului în momentul în care viteza de încărcare v \u003d 2m / s . (10,5)