Të ushqyerit dhe dietat 

Një lidhje binare në një bashkësi x quhet. Lidhja binare. Bazat e matematikës diskrete

Le Rështë një lidhje binare në bashkësinë X, dhe x, y, z janë ndonjë nga elementët e tij. Nëse një element x është në një marrëdhënie R me një element y, atëherë shkruani xRy.

1. Një relacion R në një bashkësi X quhet refleksiv nëse çdo element i grupit është në këtë lidhje me vetveten.

R-refleksiv në X<=>xRx për çdo x€ X

Nëse relacioni R është refleksiv, atëherë ka një lak në çdo kulm të grafikut. Për shembull, marrëdhëniet e barazisë dhe paralelizmit për segmentet janë refleksive, por marrëdhëniet e pingulitetit dhe "më të gjata" nuk janë refleksive. Kjo pasqyrohet në grafikët në Figurën 42.

2. Një lidhje R në një bashkësi X quhet simetrike nëse nga fakti se elementi x është në një marrëdhënie të caktuar me elementin y, rezulton se elementi y është në të njëjtën marrëdhënie me elementin x.

R - në mënyrë simetrike (xYay =>y Rx)

Një grafik relacioni simetrik përmban shigjeta të çiftëzuara që shkojnë në drejtime të kundërta. Marrëdhëniet e paralelizmit, pingulitetit dhe barazisë për segmentet janë simetrike, por relacioni “më i gjatë” nuk është simetrik (Fig. 42).

3. Një lidhje R në një bashkësi X quhet antisimetrik nëse, për elementë të ndryshëm x dhe y nga bashkësia X, nga fakti se elementi x është në një lidhje të caktuar me elementin y, rezulton se elementi y nuk është në këtë lidhje me elementin x.

R - antisimetrik në X « (xRy dhe xy ≠ yRx)

Shënim: një mbibar tregon mohimin e një deklarate.

Në një grafik relacioni antisimetrik, dy pika mund të lidhen vetëm me një shigjetë. Një shembull i një lidhjeje të tillë është relacioni “më i gjatë” për segmentet (Fig. 42). Marrëdhëniet e paralelizmit, pingulitetit dhe barazisë nuk janë antisimetrike. Ka marrëdhënie që nuk janë as simetrike dhe as antisimetrike, për shembull relacioni “të jesh vëlla” (Fig. 40).

4. Një lidhje R në një bashkësi X quhet kalimtare nëse nga fakti se një element x është në një lidhje të caktuar me një element y dhe një element y është në këtë relacion me një element z, rezulton se elementi x është në një lidhje e dhënë me një element Z

R - kalimtare në A≠ (xRy dhe yRz=> xRz)

Në grafikët e marrëdhënieve "më të gjata", paralelizmi dhe barazie në figurën 42, mund të vini re se nëse një shigjetë shkon nga elementi i parë në të dytin dhe nga i dyti në të tretën, atëherë patjetër që ka një shigjetë që shkon nga i pari. element në të tretën. Këto marrëdhënie janë kalimtare. Perpendikulariteti i segmenteve nuk ka vetinë e kalueshmërisë.

Ekzistojnë veti të tjera të marrëdhënieve midis elementeve të së njëjtës bashkësi që ne nuk i konsiderojmë.

E njëjta lidhje mund të ketë disa veti. Kështu, për shembull, në një grup segmentesh, marrëdhënia "e barabartë" është refleksive, simetrike, kalimtare; relacioni “më shumë” është antisimetrik dhe kalimtar.


Nëse një lidhje në një bashkësi X është refleksive, simetrike dhe kalimtare, atëherë ajo është një lidhje ekuivalente në këtë grup. Marrëdhënie të tilla e ndajnë bashkësinë X në klasa.

Këto marrëdhënie manifestohen, për shembull, kur plotësoni detyrat: "Merrni shirita me gjatësi të barabartë dhe rregulloni ato në grupe", "Rregulloni topat në mënyrë që secila kuti të përmbajë topa me të njëjtën ngjyrë". Marrëdhëniet e ekuivalencës (“të jenë të barabarta në gjatësi”, “të jenë të së njëjtës ngjyrë”) përcaktojnë në këtë rast ndarjen e grupeve të shiritave dhe topave në klasa.

Nëse një lidhje në grupin 1 është kalimtare dhe antisimetrike, atëherë ajo quhet relacion i rendit në këtë grup.

Një bashkësi me një relacion të caktuar të rendit quhet bashkësi e renditur.

Për shembull, kur kryeni detyrat: "Krahasoni shiritat në gjerësi dhe rregulloni ato nga më e ngushta tek më e gjera", "Krahasoni numrat dhe rregulloni kartat e numrave sipas radhës", fëmijët renditin elementet e grupeve të shiritave dhe kartave të numrave. duke përdorur marrëdhëniet e rendit; "të jesh më i gjerë", "të ndjekësh".

Në përgjithësi, marrëdhëniet e ekuivalencës dhe rendit luajnë një rol të madh në formimin tek fëmijët e ideve të sakta për klasifikimin dhe renditjen e grupeve. Përveç kësaj, ka shumë marrëdhënie të tjera që nuk janë as marrëdhënie ekuivalente dhe as marrëdhënie të rendit.


6. Cila është vetia karakteristike e një bashkësie?

7. Në çfarë marrëdhëniesh mund të ekzistojnë bashkësitë? Jepni shpjegime për çdo rast dhe përshkruani ato duke përdorur rrathët e Euler-it.

8. Përcaktoni një nëngrup. Jepni një shembull të grupeve, njëra prej të cilave është një nëngrup i një tjetri. Shkruani marrëdhëniet e tyre duke përdorur simbole.

9. Përcaktoni grupe të barabarta. Jepni shembuj të dy grupeve të barabarta. Shkruani marrëdhëniet e tyre duke përdorur simbole.

10. Përcaktoni kryqëzimin e dy grupeve dhe përshkruani atë duke përdorur rrathët e Euler-it për çdo rast të veçantë.

11. Përcaktoni bashkimin e dy grupeve dhe përshkruani atë duke përdorur rrathët e Euler-it për çdo rast të veçantë.

12. Përcaktoni ndryshimin midis dy grupeve dhe përshkruani atë duke përdorur rrathët e Euler-it për çdo rast të veçantë.

13. Përcaktoni komplementin dhe përshkruani atë duke përdorur rrathët e Euler-it.

14. Çfarë quhet ndarja e një grupi në klasa? Emërtoni kushtet për klasifikimin e saktë.

15. Çfarë quhet korrespodencë ndërmjet dy grupeve? Emërtoni metodat për specifikimin e korrespondencave.

16. Çfarë lloj korrespondence quhet një me një?

17. Cilat bashkësi quhen të barabarta?

18. Cilat bashkësi quhen ekuivalente?

19. Emërtoni mënyra për të përcaktuar marrëdhëniet në një grup.

20. Cila lidhje në një bashkësi quhet refleksive?

21. Cila lidhje në një bashkësi quhet simetrike?

22. Cila lidhje në një bashkësi quhet antisimetrike?

23. Cila lidhje në një bashkësi quhet kalimtare?

24. Përcaktoni një lidhje ekuivalente.

25. Përcaktoni relacionin e rendit.

26. Cili grup quhet i renditur?

Leksioni 3.

klauzola 3. Marrëdhëniet në grupe. Vetitë e marrëdhënieve binare.

3.1. Marrëdhëniet binare.

Kur flasin për marrëdhëniet e dy njerëzve, për shembull, Sergei dhe Anna, ata nënkuptojnë se ka një familje të caktuar të cilës i përkasin. Një çift i renditur (Sergei, Anna) ndryshon nga çiftet e tjera të renditura të njerëzve në atë që ekziston një lloj marrëdhënieje midis Sergeit dhe Anna (kushëriri, babai, etj.).

Në matematikë, midis të gjitha çifteve të renditura të produktit të drejtpërdrejtë të dy grupeve A Dhe B (A´ B) çiftet “të veçanta” dallohen edhe për faktin se ndërmjet përbërësve të tyre ka disa marrëdhënie “farefisnore” që të tjerët nuk i kanë. Si shembull, merrni parasysh grupin S studentë të disa universiteteve dhe shumë K kurse që mësohen atje. Në një produkt të drejtpërdrejtë S´ K mund të zgjidhni një nëngrup të madh çiftesh të renditura ( s, k) që ka pasurinë: student sështë duke marrë një kurs k. Nëngrupi i ndërtuar pasqyron marrëdhënien "...dëgjon..." që lind natyrshëm midis grupeve të studentëve dhe kurseve.

Për një përshkrim të rreptë matematikor të çdo lidhjeje midis elementeve të dy grupeve, ne prezantojmë konceptin e një relacioni binare.

Përkufizimi 3.1. Binar (ose dyfishtë )qëndrim r mes grupeve A Dhe B quhet një nënbashkësi arbitrare A´ B, d.m.th.

Në veçanti, nëse A=B(d.m.th. rÍ A 2), atëherë ata thonë se r është një relacion në grup A.

Elementet a Dhe b quhen komponentët (ose koordinatat ) marrëdhënie r.

Koment. Le të biem dakord që për të treguar marrëdhëniet midis elementeve të grupeve, përdorni alfabetin grek: r, t, j, s, w, etj.


Përkufizimi 3.2. Domeni i përkufizimit D r=( a| $ b, Çfarë a r b) (ana e majte). Gama e vlerave e një relacioni binare r quhet bashkësi R r=( b| $ a, Çfarë a r b) (pjesa e djathtë).

Shembull 3. 1. Le të jepen dy grupe A=(1; 3; 5; 7) dhe B=(2; 4; 6). Le ta vendosim relacionin si më poshtë t=(( x; y)Î A´ B | x+y= 9). Kjo lidhje do të përbëhet nga çiftet e mëposhtme (3; 6), (5; 4) dhe (7; 2), të cilat mund të shkruhen si t=((3; 6), (5; 4), (7;2). ) ). Në këtë shembull D t=(3; 5; 7) dhe R t= B={2; 4; 6}.

Shembull 3. 2. Lidhja e barazisë në bashkësinë e numrave realë është bashkësia r=(( x; y) | x Dhe y– numra realë dhe x barazohet y). Ekziston një shënim i veçantë për këtë marrëdhënie: "=". Fusha e përkufizimit përkon me domenin e vlerave dhe është bashkësia e numrave realë, D r= R r.

Shembull 3. 3. Le A– shumë mallra në dyqan, dhe B– grup numrash realë. Pastaj j=(( x; y)Î A´ B | y– çmimi x) – relacion i bashkësive A Dhe B.

Nëse i kushtoni vëmendje shembullit 3.1., do të vini re se kjo lidhje është specifikuar fillimisht në formën t=(( x; y)Î A´ B | x+y=9), dhe më pas shkruhet si t=((3; 6), (5;4), (7;2)). Kjo sugjeron që marrëdhëniet në grupe (ose një grup) mund të specifikohen në mënyra të ndryshme. Le të shohim mënyrat për të përcaktuar marrëdhëniet binare.

Metodat për përcaktimin e marrëdhënieve:

1) duke përdorur një kallëzues të përshtatshëm;

2) një grup çiftesh të renditura;

3) në formë grafike: le A Dhe B– dy bashkësi të fundme dhe r – një lidhje binare ndërmjet tyre. Elementet e këtyre grupeve përfaqësohen me pika në rrafsh. Për çdo çift të renditur marrëdhëniesh, r vizaton një shigjetë që lidh pikat që përfaqësojnë përbërësit e çiftit. Një objekt i tillë quhet grafiku i drejtuar ose digrafi, zakonisht quhen pikat që përfaqësojnë elementet e bashkësive kulmet e grafikut.

4) në formën e një matrice: le A={a 1, a 2, …, një) Dhe B={b 1, b 2, …, bm), r – raporti aktiv A´ B. Paraqitja e matricës r quhet matricë M=[mij] madhësia n´ m, të përcaktuara nga marrëdhëniet

.

Nga rruga, përfaqësimi i matricës është një paraqitje e një relacioni në një kompjuter.

Shembull 3. 4. Le të jepen dy grupe A=(1; 3; 5; 7) dhe B=(2; 4; 6). Lidhja jepet si më poshtë t=(( x; y) | x+y= 9). Përcaktoni këtë lidhje si një grup çiftesh të renditura, një digraf, në formën e një matrice.

Zgjidhje. 1) t=((3; 6), (5; 4), (7; 2)) - është një përkufizim i një relacioni si një grup çiftesh të renditura;

2) grafiku përkatës i drejtuar është paraqitur në figurë.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">. ,

Shembull 3. 5 . Si shembull, ne mund të konsiderojmë të propozuar J. von Neumann(1903 – 1957) bllok diagrami i një kompjuteri sekuencial, i cili përbëhet nga shumë pajisje M:

,

Ku a- pajisje hyrëse, b- pajisje aritmetike (procesor), c- pajisje kontrolli, d- Pajisja e memories, e– pajisje dalëse.

Le të shqyrtojmë shkëmbimin e informacionit midis pajisjeve mi Dhe mj, të cilat janë në relacion r nëse nga pajisja mi informacioni hyn në pajisje mj.

Kjo lidhje binare mund të përcaktohet duke renditur të gjitha 14 çiftet e renditura të elementeve të saj:

Digrafi përkatës që përcakton këtë lidhje binare është paraqitur në figurë:


Paraqitja matricore e kësaj relacioni binare është:

. ,

Për marrëdhëniet binare, operacionet teorike të grupeve përcaktohen në mënyrën e zakonshme: bashkimi, kryqëzimi, etj.


Le të prezantojmë një koncept të përgjithësuar të marrëdhënies.

Përkufizimi 3.3. n-vend (n-ari ) relacioni r është një nëngrup i produktit të drejtpërdrejtë n grupe, domethënë një grup grupesh të renditura ( tuples )

rÍ A 1 Një={(a 1, …, një)| a 1О A 1Ù…Ù njëÎ Një}

Është i përshtatshëm për të përcaktuar marrëdhëniet me shumë vende duke përdorur tabela relacionale . Kjo detyrë korrespondon me numërimin e grupit n-me lidhjen r. Tabelat relacionale përdoren gjerësisht në praktikën kompjuterike në bazat e të dhënave relacionale. Vini re se tabelat relacionale përdoren në praktikën e përditshme. Të gjitha llojet e raporteve prodhuese, financiare, shkencore dhe të tjera shpesh marrin formën e tabelave relacionale.

fjala " relacionale" vjen nga fjala latine lidhje, që përkthehet në rusisht do të thotë "qëndrim". Prandaj, në literaturë, shkronja përdoret për të treguar marrëdhënien R(latinisht) ose r (greqisht).

Përkufizimi 3.4. Le të rÍ A´ B ka një qëndrim ndaj A´ B. Atëherë thirret raporti r-1 lidhje e anasjelltë me një raport të caktuar r nga A´ B, e cila përcaktohet si më poshtë:

r-1=(( b, a) | (a, b)Îr).

Përkufizimi 3.5. Le të r Н A´ B ka një qëndrim ndaj A´ B, a s Н B´ C - qëndrimi ndaj B´ C. Përbërja marrëdhëniet s dhe r quhet relacioni t Н A´ C, e cila përcaktohet si më poshtë:

t=s◦r= (( a, c)| $bÎ B, çfarë (a, b)Îr Dhe (b, c) Is).

Shembull 3. 6 . Le dhe C=(, !, d, a). Dhe le të jetë raporti r A´ B dhe raporti është i ndezur B´ C jepen në formën:

r=((1, x), (1, y), (3, x)};

s=(( x,), (x, !), (y, d), ( y, à)}.

Gjeni r-1 dhe s◦r, r◦s.

Zgjidhje. 1) Sipas përkufizimit r-1=(( x, 1), (y, 1), (x, 3)};

2) Duke përdorur përkufizimin e përbërjes së dy marrëdhënieve, marrim

s◦r=((1,), (1, !), (1, d), (1, а), (3,), (3, !)),

që nga (1, x)Ir dhe ( x,)Îs vijon (1,)Îs◦r;

nga (1, x)Ir dhe ( x, !)Îs vijon (1, !)Îs◦r;

nga (1, y)Ir dhe ( y, d)Îs vijon (1, d)Îs◦r;

nga (3, x)Ir dhe ( x, !)Îs vijon (3, !)Îs◦r.

Teorema 3.1. Për çdo marrëdhënie binare mbahen vetitë e mëposhtme:

2) ;

3) - asociativiteti i përbërjes.

Dëshmi. Vetia 1 është e dukshme.

Le të vërtetojmë vetinë 2. Për të vërtetuar vetinë e dytë, do të tregojmë se bashkësitë e shkruara në anën e majtë dhe të djathtë të barazisë përbëhen nga të njëjtat elemente. le ( a; b) О (s◦r)-1 Û ( b; a) О s◦r Û $ c sikurse ( b; c) О r dhe ( c; a) О s Û $ c sikurse ( c; b) О r-1 dhe ( a; c) О s-1 Ш ( a; b) О r -1◦s -1.

Vërtetoni vetë pronësinë 3.

3.2. Vetitë e marrëdhënieve binare.

Le të shqyrtojmë vetitë e veçanta të marrëdhënieve binare në grup A.

Vetitë e marrëdhënieve binare.

1. Raporti r në A´ A thirrur reflektuese , nese ( a,a) i përket r për të gjithë a nga A.

2. Relacioni r quhet antireflektues , nese nga ( a,b)Îr ndjek a¹ b.

3. Raporti r në mënyrë simetrike , nëse për a Dhe b i perket A, nga ( a,b) Nga kjo rrjedh se ( b,a)Îr.

4. Relacioni r quhet antisimetrike , nëse për a Dhe b nga A, nga përkatësia ( a,b) Dhe ( b,a) relacioni r nënkupton atë a=b.

5. Raporti r në mënyrë kalimtare , nëse për a, b Dhe c nga A nga fakti se ( a,b)Ir dhe ( b,c)Ir, rrjedh se ( a,c)Îr.

Shembull 3. 7. Le A=(1; 2; 3; 4; 5; 6). Në këtë bashkësi jepet relacioni rÍ A 2, e cila ka formën: r=((1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2 ) , (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)). Çfarë karakteristikash ka kjo marrëdhënie?

Zgjidhje. 1) Kjo marrëdhënie është refleksive, pasi për secilën aÎ A, (a; a)Îr.

2) Marrëdhënia nuk është antirefleksive, pasi kushti i kësaj vetie nuk është i plotësuar. Për shembull, (2, 2)Îr, por kjo nuk do të thotë se 2¹2.

3) Shqyrtoni të gjitha rastet e mundshme, duke treguar se relacioni r është simetrik:

(a, b)Îr

(b, a)

(b, a)Îr?

4) Kjo lidhje nuk është antisimetrike, pasi (1, 2)Îr dhe (2,1)Îr, por nga kjo nuk del se 1=2.

5) Është e mundur të tregohet se relacioni r është kalimtar duke përdorur metodën e numërimit të drejtpërdrejtë.

(a, b)Îr

(b, c)Îr

(a, c)

(a, c)Îr?

Si të përdorim paraqitjen e matricës

të përcaktojë vetitë e një relacioni binare

1. Refleksiviteti: Të gjitha janë në diagonalen kryesore; zerat ose njësitë tregohen me yll.

.

2. Anti-refleksiviteti: Të gjitha zerat në diagonalen kryesore.

3. Simetria: Nëse .

4. Antisimetria: të gjithë elementët jashtë diagonales kryesore janë zero; mund të ketë edhe zero në diagonalen kryesore.

.

Operacioni "*" kryhet sipas rregullit të mëposhtëm: , Ku , .

5. Transitiviteti: Nëse . Veprimi “◦” kryhet sipas rregullit të zakonshëm të shumëzimit dhe është e nevojshme të merren parasysh: .

3.3 Marrëdhënie ekuivalente. Marrëdhënie e pjesshme e rendit.

Marrëdhënia e ekuivalencës është një zyrtarizim i situatës kur flasim për ngjashmërinë (ngjashmërinë) e dy elementeve të një grupi.

Përkufizimi 3.6. Raporti r aktiv A ka relacioni i ekuivalencës, nëse ajo refleksive, simetrike dhe kalimtare. Marrëdhënie ekuivalente a r b shpesh shënohet: a~ b.

Shembull 3. 8 . Marrëdhënia e barazisë në bashkësinë e numrave të plotë është një lidhje ekuivalente.

Shembull 3. 9 . Marrëdhënia "e njëjta lartësi" është një lidhje ekuivalente për një grup njerëzish X.

Shembull 3. 1 0 . Le të jetë ¢ bashkësia e numrave të plotë. Le të emërtojmë dy numra x Dhe y nga ¢ të krahasueshme në modulm(mО¥) dhe shkruani , nëse mbetjet e këtyre numrave pasi i pjesëtoni me m, pra dallimi ( x-y) i ndarë nga m.

Lidhja “e krahasueshme në modul m numra të plotë" është një lidhje ekuivalente në bashkësinë e numrave të plotë ¢. Me të vërtetë:

kjo lidhje është refleksive, sepse për " x΢ kemi x-x=0, dhe për këtë arsye pjesëtohet me m;

kjo lidhje është simetrike, sepse nëse ( x-y) i ndarë nga m, pastaj ( y-x) është gjithashtu i pjesëtueshëm me m;

kjo lidhje është kalimtare, sepse nëse ( x-y) i ndarë nga m, pastaj për disa numra të plotë t 1 kemi https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, nga këtu , dmth ( x-z) i ndarë nga m.

Përkufizimi 3.7. Raporti r aktiv A ka lidhje e pjesshme e rendit, nëse ajo refleksiv, antisimetrik dhe kalimtar dhe tregohet me simbolin °.

Rendi i pjesshëm është i rëndësishëm në situatat kur duam të karakterizojmë disi përparësinë. Me fjalë të tjera, vendosni se në cilat kushte konsiderojmë se një element i grupit është superior ndaj një tjetri.

Shembull 3. 11 . Qëndrimi x£ y ekziston një lidhje e pjesshme e rendit në bashkësinë e numrave realë. ,

Shembull 3. 1 2 . Në bashkësinë e nëngrupeve të disa grupeve universale U qëndrim AÍ B ekziston një lidhje e pjesshme e rendit.

Shembull 3. 1 3 . Skema e organizimit të vartësisë në një institucion është një marrëdhënie e rendit të pjesshëm në një grup pozicionesh.

Prototipi i një relacioni të rendit të pjesshëm është koncepti intuitiv i një marrëdhënie preference (precedence). Një lidhje preference identifikon një klasë problemesh që mund të kombinohen si problemi i problemit të zgjedhjes objekti më i mirë .

Formulimi i problemit: le të ketë një koleksion objektesh A dhe kërkohet krahasimi i tyre sipas preferencës, d.m.th., vendosja e relacionit të preferencës në grup A dhe identifikoni objektet më të mira.

Marrëdhënie preferenciale P, e cila mund të përkufizohet si " aPb, a, bÎ AÛ objekt a jo më pak e preferueshme se objekti b"është refleksiv dhe antisimetrik në kuptim (çdo objekt nuk është më i keq se vetvetja, dhe nëse objekti a jo me keq b Dhe b jo me keq a, atëherë ato janë të njëjta në preferencë). Është e natyrshme të supozohet se marrëdhënia P në mënyrë kalimtare (edhe pse në rastin kur, për shembull, preferencat diskutohen nga një grup njerëzish me interesa të kundërta, kjo pronë mund të cenohet), d.m.th. P– lidhje e pjesshme e rendit.

Një nga mënyrat e mundshme për të zgjidhur problemin e krahasimit të objekteve sipas preferencës është duke filluar , d.m.th., renditja e objekteve në përputhje me preferencën ose ekuivalencën në rënie. Si rezultat i renditjes, ne identifikojmë objektet "më të mira" ose "më të këqija" nga pikëpamja e marrëdhënies së preferencës.

Zonat e përdorimit probleme rreth problemit të zgjedhjes së objektit më të mirë: teoria e vendimeve, matematika e aplikuar, teknologjia, ekonomia, sociologjia, psikologjia.

Përkufizimi. Lidhja binare R quhet një nëngrup çiftesh (a,b)∈R Produkti kartezian A×B, pra R⊆A×B. Në të njëjtën kohë, shumë A quhet domeni i përcaktimit të relacionit R, bashkësia B quhet domeni i vlerave.

Emërtimi: aRb (d.m.th. a dhe b janë në lidhje me R). /

Koment: nëse A = B, atëherë R thuhet se është një relacion në bashkësinë A.

Metodat për specifikimin e marrëdhënieve binare

1. Një listë (numërimi i çifteve) për të cilën vlen kjo lidhje.

2. Matricë. Lidhja binare R ∈ A × A, ku A = (a 1, a 2,..., a n), korrespondon me një matricë katrore të rendit n, në të cilën elementi c ij, i vendosur në kryqëzimin e i- rreshti dhe kolona j është e barabartë me 1 nëse ka një lidhje R midis a i dhe një j, ose 0 nëse mungon:

Vetitë e marrëdhënieve

Le të jetë R një relacion në një bashkësi A, R ∈ A×A. Pastaj raporti R:

    refleksiv nëse Ɐ a ∈ A: a R a (diagonalja kryesore e matricës së relacionit refleksiv përmban vetëm një);

    antirefleksiv nëse Ɐ a ∈ A: a R a (diagonalja kryesore e matricës së relacionit refleksiv përmban vetëm zero);

    simetrike nëse Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (matrica e një lidhjeje të tillë është simetrike në lidhje me diagonalen kryesore, d.m.th. c ij c ji);

    antisimetrike nëse Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (në matricën e një relacioni të tillë nuk ka njësi simetrike rreth diagonales kryesore);

    kalimtare nëse Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c (në matricën e një lidhjeje të tillë duhet të plotësohet kushti: nëse ka një njësi në rreshtin e i-të, p.sh. , në rreshtat e koordinatave j-të (kolona), d.m.th. c ij = 1, atëherë të gjitha njësitë në rreshtin e j-të (le këto njësi t'i korrespondojnë k e koordinatave të tilla që c jk = 1) duhet të korrespondojnë me njësitë në i- rreshti i th në të njëjtat koordinata k, d.m.th. c ik = 1 (dhe ndoshta edhe në koordinata të tjera).

Detyra 3.1. Përcaktoni vetitë e relacionit R – “të jetë pjesëtues”, të përcaktuar në bashkësinë e numrave natyrorë.

Zgjidhje.

raporti R = ((a,b): një pjesëtues b):

    refleksiv, jo antirefleksiv, pasi çdo numër ndan vetveten pa mbetje: a/a = 1 për të gjithë a∈N ;

    jo simetrik, antisimetrik, për shembull, 2 është pjesëtues i 4, por 4 nuk është pjesëtues i 2;

    kalimtare, pasi nëse b/a ∈ N dhe c/b ∈ N, atëherë c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, për shembull, nëse 6/3 = 2∈N dhe 18/6 = 3∈N , atëherë 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Problemi 3.2. Përcaktoni vetitë e relacionit R – “të jesh vëlla”, të përcaktuara në një grup njerëzish.
Zgjidhje.

Lidhja R = ((a,b):a - vëllai i b):

    jo refleksiv, antirefleksiv për shkak të mungesës së dukshme të aRa për të gjithë a;

    jo simetrike, pasi në rastin e përgjithshëm midis vëllait a dhe motrës b ka aRb, por jo bRa;

    jo antisimetrike, pasi nëse a dhe b janë vëllezër, atëherë aRb dhe bRa, por a≠b;

    në mënyrë kalimtare, nëse i quani vëllezër njerëzit që kanë prindër të përbashkët (babai dhe nëna).

Problemi 3.3. Përcaktoni vetitë e relacionit R – “të jesh bos”, të përcaktuara në një grup elementësh të strukturës

Zgjidhje.

Lidhja R = ((a,b) : a është bosi i b):

  • jo reflektues, antireflektues, nëse nuk ka kuptim në një interpretim specifik;
  • jo simetrike, antisimetrike, pasi për të gjitha a≠b aRb dhe bRa nuk plotësohen njëkohësisht;
  • kalimtare, pasi nëse a është shefi i b-së dhe b është bosi i c-së, atëherë a është bosi i c-së.

Përcaktoni vetitë e relacionit R i të përcaktuar në bashkësinë M i nga matrica nëse:

  1. R 1 "kanë të njëjtën mbetje kur pjesëtohet me 5"; M 1 është bashkësia e numrave natyrorë.
  2. R 2 “të jesh i barabartë”; M 2 është bashkësia e numrave natyrorë.
  3. R 3 "jetojnë në të njëjtin qytet"; M 3 shumë njerëz.
  4. R 4 “të jesh i njohur”; M 4 shumë njerëz.
  5. R 5 ((a,b):(a-b) - çift; M 5 grup numrash (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  6. R 6 ((a,b):(a+b) - çift; M 6 grup numrash (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  7. R7 ((a,b):(a+1) - pjesëtues (a+b)); M 7 - grup (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  8. R 8 ((a,b):a - pjesëtues (a+b),a≠1); M 8 është bashkësia e numrave natyrorë.
  9. R 9 “të jesh motër”; M 9 - shumë njerëz.
  10. R 10 “të jesh vajzë”; M 10 - shumë njerëz.

Veprimet mbi marrëdhëniet binare

Le të jenë R 1, R 1 relacione të përcaktuara në bashkësinë A.

    Bashkimi R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R1 ose (a,b) ∈ R2);

    kryqëzim R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 dhe (a,b) ∈ R 2 );

    ndryshim R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R1 dhe (a,b) ∉ R2);

    qëndrim universal U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

    shtesë R 1 U \ R 1, ku U = A × A;

    lidhje identike I: = ((a;a) / a ∈ A);

    lidhje e anasjelltë R -1 1 : R -1 1 = ((a,b) : (b,a) ∈ R 1 );

    përbërjen R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), ku R 1 ⊂ A × C dhe R 2 ⊂C×B;

Përkufizimi. Shkalla e marrëdhënies R në një grup A është përbërja e tij me vetveten.

Përcaktimi:

Përkufizimi. Nëse R ⊂ A × B, atëherë quhet R º R -1 bërthama e relacionit R .

Teorema 3.1. Le të jetë R ⊂ A × A një relacion i përcaktuar në bashkësinë A.

  1. R është refleksiv nëse dhe vetëm nëse (në tekstin e mëtejmë përdoret shenja ⇔) kur I ⊂ R.
  2. R simetrike ⇔ R = R -1.
  3. R kalimtare ⇔ R º R ⊂ R
  4. R është antisimetrik ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
  5. R është antirefleksiv ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Problemi 3.4 . Le të jetë R lidhja ndërmjet bashkësive (1,2,3) dhe (1,2,3,4), e dhënë duke renditur çiftet: R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)). Përveç kësaj, S është lidhja ndërmjet bashkësive S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Llogaritni R -1 , S -1 dhe S º R. Kontrolloni që (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Zgjidhje.
R-1 = ((1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3));
S-1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4));
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)) = (S º R ) -1.

Problemi 3.5 . Le të jetë R relacioni “...prind...” dhe S relacioni “...vëllai...” në grupin e të gjithë njerëzve. Jepni një përshkrim të shkurtër verbal të marrëdhënies:

R -1 , S -1 , R º S , S -1 º R -1 dhe R º R .

Zgjidhje.

R -1 - relacioni “...fëmijë...”;

S -1 - relacioni “...vëlla apo motër...”;

R º S - relacioni “...prind...”;

S -1 º R -1 - relacioni "...fëmijë..."

R º R - marrëdhënia "...gjyshja ose gjyshi..."

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

1) Le të jetë R relacioni “...babai...” dhe S të jetë marrëdhënia “...motra...” në grupin e të gjithë njerëzve. Jepni një përshkrim verbal të marrëdhënies:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , R º R.

2) Le të jetë R relacioni "...vëllai..." dhe S relacioni "...nëna..." në grupin e të gjithë njerëzve. Jepni një përshkrim verbal të marrëdhënies:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) Le të jetë R relacioni “...gjyshi...” dhe S lidhja “...bir...” në grupin e të gjithë njerëzve. Jepni një përshkrim verbal të marrëdhënies:

4) Le të jetë R relacioni “...bijë...” dhe S të jetë relacioni “...gjyshja...” në grupin e të gjithë njerëzve. Jepni një përshkrim verbal të marrëdhënies:

5) Le të jetë R marrëdhënia “...mbesa...” dhe S lidhja “...babai...” në grupin e të gjithë njerëzve. Jepni një përshkrim verbal të marrëdhënies:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) Le të jetë R marrëdhënia "motër..." dhe S të jetë marrëdhënia "nënë..." në grupin e të gjithë njerëzve. Jepni një përshkrim verbal të marrëdhënies:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

7) Le të jetë R relacioni “...nëna...” dhe S të jetë relacioni “...motra...” në grupin e të gjithë njerëzve. Jepni një përshkrim verbal të marrëdhënies:

R -1, S1, Rº S, S1 º R1, Sº S.

8) Le të jetë R relacioni “...bir...” dhe S relacioni “...gjyshi...” në grupin e të gjithë njerëzve. Jepni një përshkrim verbal të marrëdhënies:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) Le të jetë R marrëdhënia "...motra..." dhe S të jetë relacioni "...babai..." në grupin e të gjithë njerëzve. Jepni një përshkrim verbal të marrëdhënies:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

10) Le të jetë R relacioni “...nëna...” dhe S relacioni “...vëllai...” në grupin e të gjithë njerëzve. Jepni një përshkrim verbal të marrëdhënies:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

Në jetën e përditshme, ne vazhdimisht duhet të merremi me konceptin e "marrëdhënies". Marrëdhëniet janë një nga mënyrat për të specifikuar marrëdhëniet midis elementeve të një grupi.

Marrëdhëniet unare (një vend) pasqyrojnë praninë e një atributi R në elementët e grupit M (për shembull, "të jesh i kuq" në grupin e topave në një urnë).

Marrëdhëniet binare (me dy vende) përdoren për të përcaktuar të ndërsjelltë

lidhjet që karakterizojnë çifte elementesh në një grup M.

Për shembull, marrëdhëniet e mëposhtme mund të përcaktohen në një grup njerëzish: "jetoni në të njëjtin qytet", " x punon nën drejtimin y", "të jesh bir", "të jesh më i madh" etj. në një grup numrash: "numri a më shumë numër b"," numri aështë pjesëtues i një numri b"," numrat a Dhe b jep të njëjtën mbetje kur pjesëtohet me 3.

Në produktin direkt, ku A- shumë studentë të çdo universiteti, B- një shumëllojshmëri lëndësh të studiuara, mund të identifikohet një nëngrup i madh çiftesh të renditura (a, b), duke pasur pasurinë: “student a studion lëndën b" Nëngrupi i ndërtuar pasqyron marrëdhënien "studime" që lind midis grupeve të studentëve dhe objekteve. Numri i shembujve mund të vazhdohet

Marrëdhënia midis dy objekteve është objekt studimi në ekonomi, gjeografi, biologji, fizikë, gjuhësi, matematikë dhe shkenca të tjera.

Për një përshkrim të rreptë matematikor të çdo lidhjeje midis elementeve të dy grupeve, prezantohet koncepti i një marrëdhënie binare.

Lidhja binare midis grupeve A dhe Bquhet një nënbashkësi R e produktit të drejtpërdrejtë. Në rastin kur thjesht mund të flisni për marrëdhënien R në A.

Shembulli 1. Shkruani çiftet e renditura që i përkasin marrëdhënieve binare R 1 Dhe R 2, të përcaktuara në grupe A Dhe : , . Nëngrupi R 1 përbëhet nga dyshe: . Nëngrupi.

Domeni R ekziston një grup i të gjitha elementeve nga A të tillë që për disa elementë kemi . Me fjalë të tjera, fusha e përkufizimit Rështë bashkësia e të gjitha koordinatave të para të çifteve të renditura të R.

Kuptime të shumta marrëdhënie R por ka shumë nga të gjitha të tilla që për disa . Me fjalë të tjera, shumë kuptime Rështë bashkësia e të gjitha koordinatave të dyta të çifteve të renditura të R.

Në shembullin 1 për R 1 fusha e përkufizimit: , grup vlerash - . Për R 2 fusha e përkufizimit: , bashkësia e vlerave: .

Në shumë raste është e përshtatshme të përdoret një paraqitje grafike e një relacioni binare. Kjo bëhet në dy mënyra: duke përdorur pika në aeroplan dhe duke përdorur shigjeta.

Në rastin e parë, zgjidhen dy vija pingule reciproke si boshtet horizontale dhe vertikale. Elementet e grupit vizatohen në boshtin horizontal A dhe vizatoni një vijë vertikale nëpër secilën pikë. Elementet e grupit vizatohen në boshtin vertikal B, vizatoni një vijë horizontale nëpër secilën pikë. Pikat e kryqëzimit të vijave horizontale dhe vertikale përfaqësojnë elementet e një produkti të drejtpërdrejtë.

Shembulli 5. Le , .

Le R 1 të përcaktuara duke renditur çiftet e renditura: . Lidhja binare R 2 në një grup specifikohet duke përdorur rregullin: një çift renditet nëse a i ndarë nga b. Pastaj R 2 përbëhet nga dyshe: .

Marrëdhëniet binare, nga shembulli 2, R 1 Dhe R 2 janë paraqitur grafikisht në Fig. 6 dhe Fig.7.

Oriz. 6 Fig. 7

Për të përshkruar një lidhje binare duke përdorur shigjeta, elementët e grupit përshkruhen në të majtë si pika A, në të djathtë - vendos B. Për çdo palë (a, b) të përfshira në relacionin binare R, shigjeta është tërhequr nga a për të b, . Paraqitja grafike e një relacioni binare R 1 dhënë në shembullin 6 është paraqitur në figurën 8.

Fig.8

Marrëdhëniet binare në grupe të fundme mund të specifikohen me matrica. Supozoni se na është dhënë një lidhje binare R mes grupeve A Dhe B. , .

Rreshtat e matricës numërohen me elementet e grupit A, dhe kolonat janë elemente të grupit B. Qelizë matricë në kryqëzim i- oh rreshta dhe j Kolona e th zakonisht shënohet me C ij dhe plotësohet si më poshtë:

Matrica që rezulton do të ketë madhësi .

Shembulli 6. Le të jepet një grup. Në një grup, përcaktoni një lidhje me një listë dhe një matricë R- "të jesh rreptësisht më pak."

Qëndrimi R si një grup përmban të gjitha çiftet e elementeve ( a, b) nga M sikurse .

Matrica e marrëdhënieve e ndërtuar sipas rregullave të mësipërme ka formën e mëposhtme:

Karakteristikat e marrëdhënieve binare:

1. Lidhja binare R në një grup quhet reflektuese, nëse për ndonjë element a nga Mçift (a, a) i takon R, d.m.th. vlen për këdo a nga M:

Marrëdhëniet "të jetosh në të njëjtin qytet", "studojnë në të njëjtin universitet", "të mos jenë më" janë reflektuese.

2. Një relacion binare quhet antireflektues, nëse nuk ka vetinë e refleksivitetit për ndonjë a:

Për shembull, "të jesh më i madh", "të jesh më i ri" është marrëdhëniet antireflektuese.

3. Lidhja binare R thirrur simetrike, nëse për ndonjë element a Dhe b nga M nga çfarë çifti (a, b) i takon R Nga kjo rezulton se çifti (b,a) i takon R, d.m.th.

Simetrike paralelizmi i drejtëzave, sepse nese atehere // . Marrëdhënie simetrike"të jesh i barabartë" në çdo grup ose "të jesh coprime në N".

Lidhja R është simetrike nëse dhe vetëm nëse R=R -1

4. Nëse për elementet që nuk përputhen relacioni është i vërtetë por i gabuar, atëherë relacioni antisimetrike. Mund ta thuash ndryshe:

Marrëdhëniet janë antisimetrike"të jesh më i madh", "të jesh pjesëtues me N", "të jesh më i ri".

5. Lidhja binare R thirrur kalimtare, nëse për çdo tre elementë të atyre çifteve (a, b) Dhe (b, c) i përkasin R, rrjedh se çifti (a, c) i përket R:

Marrëdhëniet janë kalimtare: “të jesh më i madh”, “të jesh paralel”, “të jesh i barabartë” etj.

6. Lidhja binare R antitransitive, nëse nuk ka vetinë kalimtare.

Për shembull, "të jetë pingul" në një grup vijash të drejta të një plani (, , por nuk është e vërtetë që ).

Sepse Meqenëse një lidhje binare mund të specifikohet jo vetëm nga një listë e drejtpërdrejtë e çifteve, por edhe nga një matricë, këshillohet të zbuloni se cilat veçori karakterizojnë matricën e marrëdhënieve R, nëse është: 1) refleksiv, 2) antirefleksiv, 3) simetrik, 4) antisimetrik, 5) kalimtar.

Le R vendoset në , .R ose ekzekutohet në të dy drejtimet ose nuk ekzekutohet fare. Kështu, nëse matrica përmban një në kryqëzim i- oh rreshta dhe j- kolona e th, d.m.th. C ij=1, atëherë duhet të jetë në kryqëzim j- oh rreshta dhe i- kolona e th, d.m.th. C ji=1, dhe anasjelltas, nëse C ji= 1, atëherë C ij=1. Kështu, matrica e lidhjes simetrike është simetrike në lidhje me diagonalen kryesore.

4. R antisimetrike nëse dhe vijon: . Kjo do të thotë se në matricën përkatëse për nr i, j nuk ekzekutohet C ij =C ji=1. Kështu, në matricën e raportit antisimetrik nuk ka njësi që janë simetrike në lidhje me diagonalen kryesore.

5. Një lidhje binare R në një bashkësi jo boshe A quhet kalimtare Nëse

Kushti i mësipërm duhet të plotësohet për çdo element të matricës. Dhe, anasjelltas, nëse në matricë R ka të paktën një element C ij=1, për të cilin ky kusht nuk plotësohet, atëherë R jo kalimtare.

Gjuha T-SQL në SQL Server bazohet në gjuhën standarde SQL, e cila bazohet në modelin relacional, i cili nga ana tjetër bazohet në baza matematikore si teoria e grupeve dhe logjika e kallëzuesit. Ky artikull shqyrton një temë themelore nga teoria e grupeve: vetitë e marrëdhënieve në grupe. Lexuesit mund të përdorin kodet e propozuara T-SQL për të kontrolluar praninë e veçorive të caktuara të marrëdhënieve të caktuara. Megjithatë, mund të provoni gjithashtu të shkruani versionet tuaja të skripteve (për të përcaktuar nëse një lidhje ka një veti të veçantë) përpara se të aplikoni zgjidhjet e përshkruara në këtë artikull.

Komplete dhe marrëdhënie

Georg Cantor, krijuesi i teorisë së grupeve, e përkufizon një grup si "bashkim në një tërësi të caktuar M të një koleksioni objektesh të caktuara qartësisht të dallueshme m të soditjes ose mendimit tonë (të cilat do të quhen elementë të grupit M). Elementet e një grupi mund të jenë objekte të natyrës arbitrare: njerëzit, numrat, madje edhe vetë grupet. Simbolet ∈ dhe ∉ tregojnë, respektivisht, operatorët që pasqyrojnë anëtarësimin (ndodhjen, anëtarësimin) dhe mosanëtarësimin e një elementi në një grup. Kështu, shënimi x ∈ V do të thotë se x është një element i grupit V, dhe shënimi x ∉ V do të thotë se x nuk është një element i V.

Një lidhje binare në një grup është një grup çiftesh të renditura elementësh të grupit origjinal. Kështu, për një grup elementësh V = (a, b, c), një lidhje binare R në një bashkësi të caktuar V do të jetë një nëngrup arbitrar i bashkësisë së të gjitha çifteve të renditura të produktit kartezian V × V = ((a, a), (a, b), (a , c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c) ). Marrëdhënia R = ((a, b), (b, c), (a, c)) është një lidhje binare e vlefshme në V. Mund të themi se a është e lidhur me b nga R. Supozojmë se R = ((a , b ), (b, c), (c, d)). Një R e tillë nuk është një lidhje e pranueshme në V, pasi çifti (c, d) nuk i përket produktit kartezian V × V. Vini re se rendi në të cilin janë specifikuar elementët e përfshirë në grup nuk është i rëndësishëm. Bashkësia V mund të specifikohet si (a, b, c) ose si (b, a, c) dhe kështu me radhë. Megjithatë, renditja në çiftet e renditura, si (a, b) e një relacioni binare, është e rëndësishme; kështu (a, b) ≠ (b, a).

Si një shembull më realist i një lidhjeje binare, merrni parasysh grupin F të anëtarëve të familjes: (Itsik, Mickey, Inna, Mila, Gabi). Mickey është vëllai binjak i Itzik, Inna është motra e tij e madhe, Mila është nëna e tij dhe Gabi është babai i tij. Një shembull i një lidhjeje R në një grup F do të ishte: "është një vëlla". Elementet e kësaj marrëdhënieje janë ((Itsik, Mickey), (Mickey, Itzik), (Itsik, Inna), (Mickey, Inna)). Vëmë re se çifti i renditur (Itsik, Inna) shfaqet në R, por çifti (Inna, Itsik) jo. Edhe pse Itzik është vëllai i Innës, ajo nuk është vëllai i tij.

Vetitë e marrëdhënieve në grupe

Tani që kemi rifreskuar të kuptuarit tonë për grupet dhe marrëdhëniet, le të kalojmë në temën e artikullit - vetitë e marrëdhënieve në grupe. Për shembull të dhëna, përdorni kodin në Listimin 1 për të krijuar tabela V dhe R. V do të përfaqësojë një grup, dhe R do të përfaqësojë një lidhje binare në të. Përdorni kodin në Listimin 2 për të krijuar një procedurë ClearTables që do t'i pastrojë të dyja këto tabela të të dhënave përpara se t'i plotësojë ato me të dhëna të reja mostër. Së fundi, përdorni kodin në Listimet 3, 4 dhe 5 për të mbushur tabelat V dhe R me grupe të ndryshme të dhënash për testim (ne do t'i quajmë ato të dhëna të mostrës 1, 2 dhe 3, respektivisht).

Refleksiviteti. Një relacion R në një bashkësi V është refleksiv nëse për çdo element v të bashkësisë V, v ∈ V, rrjedh se (v, v) ∈ R, domethënë çifti (v, v) i përket gjithmonë R. Dhe relacioni R në V nuk është refleksiv, nëse ekziston një element v ∈ V i tillë që çifti (v, v) ∉ R. Shqyrtoni përsëri shembullin e bashkësisë F - anëtarët e familjes sime.

Lidhja "të jesh në të njëjtën moshë si" në F është padyshim refleksive. Elementet e marrëdhënies do të jenë çiftet e mëposhtme: ((Itsik, Itsik), (Itsik, Mickey), (Mickey, Mickey), (Mickey, Itzik), (Inna, Inna), (Mila, Mila), (Gabi , Gabi)).

Le të fillojmë të shkruajmë një pyetje T-SQL kundër tabelave V dhe R (që përfaqëson një grup dhe një lidhje në këtë grup), duke kontrolluar nëse R është refleksiv:

ZGJIDH
RAST
KUR EKZISTON
(SELECT v, v NGA dbo.V
PËRVEÇ
ZGJIDH r1, r2 NGA dbo.R)
PASTAJ "Jo"
TJETER "Po"
FUND SI refleksiv

Nënpyetja e parë në operacionin EXCEPT kthen grupin e të gjitha çifteve të renditura (v, v) për të gjitha rreshtat e tabelës V. Nënpyetja e dytë kthen grupin e çifteve të renditura (r1, r2) - të gjitha rreshtat e tabelës R. Operacioni EXCEPT do të kthejë kështu të gjitha çiftet e renditura që ndodhin në të parën dhe që mungojnë në setin e dytë. Kallëzuesi EXISTS nevojitet për të kontrolluar ekzistencën e të paktën një rekord në grupin e rezultateve. Nëse ka të paktën një regjistrim të tillë, atëherë shprehja CASE do të kthejë "Jo" (pa refleksivitet), por edhe "Po" përndryshe (ka refleksivitet).

Hidhini një sy tre grupeve të të dhënave të shembujve në Listimet 3, 4 dhe 5 dhe përpiquni të përcaktoni se cilat prej tyre do të kishin një marrëdhënie reflektuese pa kryer një pyetje. Përgjigjet janë dhënë më tej në tekstin e artikullit.

I pareflektues. Një relacion R në një grup V quhet jorefleksiv (të mos ngatërrohet me jorefleksivitetin) nëse për çdo element v ∈ V rezulton se (v, v) ∉ R. Një relacion nuk është jorefleksiv nëse ka një element v ∈ V për të cilën (v, v) ∈ R. Një shembull i një lidhjeje jorefleksive në bashkësinë F të anëtarëve të familjes sime është relacioni “të jesh prind”, pasi asnjë person nuk mund të jetë prindi i tij. Anëtarët e kësaj lidhjeje në F do të jenë dyshet e mëposhtme: ((Mila, Itzik), (Mila, Mickey), (Mila, Inna), (Gabi, Itzik), (Gabi, Mickey), (Gabi, Inna)) .

Pyetja e mëposhtme kontrollon nëse relacioni R në V është jorefleksiv:

ZGJIDH
RAST
KUR EKZISTON
(ZGJIDH * NGA dbo.R
KU r1 = r2)
PASTAJ "Jo"
TJETER "Po"
FUND SI irrefleksiv

Çelësat e huaj në përkufizimin e tabelës R u prezantuan për të siguruar që vetëm elementët e V mund të përbëjnë atributet r1 dhe r2 të një rekord R. Kështu, gjithçka që mbetet është të kontrollohet nëse ka regjistrime në R me atribute që përputhen r1 dhe r2. Nëse gjendet një hyrje e tillë, relacioni R nuk është jorefleksiv; nëse nuk ka hyrje, ai është jorefleksiv.

Simetria. Një relacion R në një grup V quhet simetrik nëse, së bashku me (r1, r2) ∈ R, (r2, r1) ∈ R është gjithmonë i kënaqur. Lidhja nuk është simetrike nëse ka një çift (r1, r2) ∈ R për të cilat (r2, r1) ∉ R. Në bashkësinë F të anëtarëve të familjes Ben-Gan, relacioni "është një vëlla i" do të ishte shembull i një lidhjeje simetrike. Dyshet e kësaj relacioni do të jenë grupet e mëposhtme: ((Itsik, Mickey), (Itsik, Inna), (Mickey, Itzik), (Mickey, Inna), (Inna, Itzik), (Inna, Mickey)).

Pyetja e mëposhtme kontrollon nëse lidhja R me V është simetrike:

ZGJIDH
RAST
KUR EKZISTON
(ZGJIDHni r1, r2 NGA dbo.R
PËRVEÇ
ZGJIDH r2, r1 NGA dbo.R)
PASTAJ "Jo"
TJETER "Po"
FUNDIT SI simetrik

Kodi i kërkesës përdor operacionin EXCEPT. Nënpyetja e parë e operacionit EXCEPT kthen një grup çiftesh të renditura (r1, r2) - regjistrime të tabelës R, dhe e dyta - një grup çiftesh të renditura (r2, r1) për çdo rekord të R. Nëse relacioni R në grupi V nuk është simetrik, atëherë operacioni EXCEPT do të kthejë një grup rezultatesh jo bosh, dhe kallëzuesi EXISTS, respektivisht, vlerën TRUE dhe, së fundi, shprehja CASE do të kthejë "Jo".

Nëse marrëdhënia është simetrike, atëherë shprehja CASE do të japë "Po".

Asimetria. Një lidhje R në një bashkësi V është asimetrike (kjo veti nuk duhet të ngatërrohet me asimetrinë) nëse për çdo bashkësi (r1, r2) ∈ R, në të cilën r1 ≠ r2, është e vërtetë që (r2, r1) ∉ R. An shembull i një lidhjeje asimetrike në një grup F anëtarët e familjes së autorit do të kenë marrëdhënien "të jesh prind" që u përshkrua më sipër. Si ushtrim, përpiquni të gjeni një shembull të një lidhjeje në një grup jo bosh që është simetrik dhe asimetrik. Shikoni të dhënat e mostrës në këtë artikull për një zgjidhje.

ZGJIDH
RAST
KUR EKZISTON
(ZGJEDHni r1, r2 NGA dbo.R KU r1 r2
KRYQËZOHET
ZGJEDH r2, r1 NGA dbo.R WHERE r1 r2)
PASTAJ "Jo"
TJETER "Po"
FUNDIT SI asimetrik

Kodi përdor operacionin INTERSECT. Nënpyetja e parë në këtë operacion kthen çiftin e renditur (r1, r2) për çdo rekord të tabelës R në të cilën r1 r2.

Nënpyetja e dytë e operacionit INTERSECT kthen çiftin e renditur (r2, r1) për çdo regjistrim të tabelës R në të cilën r1 r2. Nëse grupi i rezultateve (rezultati i kryqëzimit të këtyre grupeve) përfshin të paktën një rekord, kjo do të thotë se R nuk është asimetrik; përndryshe R është asimetrik.

Transitiviteti. Një lidhje R në një grup V është kalimtare nëse përfshirjet (a, b) ∈ R dhe (b, c) ∈ R gjithmonë nënkuptojnë se (a, c) ∈ R. Një shembull i një lidhjeje kalimtare në një grup anëtarësh të familjes F do të ishte marrëdhënia "është vëlla apo motër" e cila u diskutua më lart.

Kodi më poshtë teston transitivitetin e relacionit R:

ZGJIDH
RAST
KUR EKZISTON
(ZGJIDH *
NGA dbo.R AS RA
BASHKIMI I BRENDSHËM dbo.R AS RB
NË RA.r2 = RB.r1
BASHKOHET E JASHTME E MJET dbo.R AS RC
NË RA.r1 = RC.r1 DHE RB.r2 = RC.r2
KU RC.r1 ËSHTË NULL)
PASTAJ "Jo"
TJETER "Po"
FUND SI kalimtar

Kodi fillimisht përdor një bashkim të brendshëm midis dy instancave të R për të zgjedhur vetëm ato rreshta ku r2 në shkallën e parë përputhet me r1 në shkallën e dytë. Së dyti, kodi përdor një bashkim të jashtëm të majtë me instancën e tretë të tabelës R, sipas së cilës r1 e shkallës së parë të R është e njëjtë me r1 e shkallës së tretë dhe r2 e shkallës së dytë është e njëjtë me r2 e shkallës së dytë. e treta. Nëse ka të paktën një rresht rezultati në nënpyetësin e brendshëm (kushti i përzgjedhjes për instancën e tretë: r1 është Null), kjo do të thotë se relacioni nuk është kalimtar; përndryshe relacioni R është kalimtar.

Marrëdhënie ekuivalente. Një relacion ekuivalent është një relacion që ka njëkohësisht vetitë e refleksivitetit, simetrisë dhe kalueshmërisë. Ju mund të përdorni pyetjet e sugjeruara më sipër për të kontrolluar veçmas për praninë e secilës veti: nëse një relacion i ka të treja, atëherë duhet të konkludojmë se ekziston një lidhje ekuivalente. Për më tepër, mund të përdorni kodin në Listën 6 për të testuar të gjitha vetitë e një relacioni R në një grup V që u diskutuan më herët në artikull, duke përfshirë testimin e vetive të të qenit një lidhje ekuivalente. Nëse ekzekutoni Listimin 6 në të dhënat e mostrës 1, 2 dhe 3 (të rrjedhura nga Listimet 3, 4 dhe 5, respektivisht), do të merrni rezultatet e treguara në Tabelat 1, 2 dhe 3, respektivisht.

Kthimi në bazat T-SQL

Kështu, ne kemi shqyrtuar një temë themelore nga teoria matematikore e bashkësive: vetitë e marrëdhënieve në bashkësi. Unë kam propozuar kode testimi T-SQL për të testuar vetitë e disa relacioneve të përfaqësuara nga tabela R (çiftet e renditura të elementeve) në grupin e elementeve të paraqitur nga tabela V.

Përdorimi i konstrukteve bazë T-SQL na ndihmoi të konfiguronim dhe zbatonim saktë veglat e kësaj gjuhe për një kuptim më të mirë të vetive të marrëdhënieve në grupe.

Itzik Ben-Gan ( [email i mbrojtur]) - mësues dhe konsulent, autor i librave mbi T-SQL, ka titullin SQL Server MVP