Teorema e energjisë kinetike që punon forcën është e barabartë. Universiteti Shtetëror i Moskës i Shtypit. Ndërveprimi i mundshëm i energjisë me Tokën
Puna e barazisë së të gjitha forcave të aplikuara në trup është e barabartë me ndryshimin në energjinë kinetike të trupit.
Ky teoremë është e vërtetë jo vetëm për lëvizjen progresive të ngurta, por edhe në rastin e lëvizjes së saj arbitrare.
Vetëm trupat lëvizës kanë energji kinetike, prandaj quhet energjia e lëvizjes.
§ 8. Forcat konservatore (potenciale).
Fushë e forcave konservatore
Ord.
Forcat, puna e të cilave nuk varet nga rruga përmes së cilës trupi u zhvendos, por përcaktohet vetëm nga pozicionet fillestare dhe përfundimtare të trupit, quhen forca konservatore (potenciale).
Ord.
Fusha e forcave është fusha e hapësirës, \u200b\u200bnë çdo pikë, nga e cila është vendosur forca në trup, ka një ndryshim natyral nga pika deri në pikën e hapësirës.
Ord.
Fusha që nuk ndryshon me kalimin e kohës quhet stacionare.
Ju mund të provoni 3 akuzat e mëposhtme
1) puna e forcave konservatore në çdo rrugë të mbyllur të barabartë me 0.
Dëshmi:
2) një konservator homogjen.
Ord.
Fusha quhet homogjene, nëse në të gjitha pikat e fushës së forcës që vepron në trup të vendosur atje, të njëjtin modul dhe drejtim.
Dëshmi:
3) fushën e forcave qendrore në të cilat shuma e forcës varet vetëm nga distanca në qendër, në mënyrë konservatore.
Ord.
Fusha e forcave qendrore është një fushë e fuqisë, në çdo pikë të së cilës forca drejtuar përgjatë vijës që kalon nëpër të njëjtën pikë fikse është në trupin e pikës, e cila kalon nëpër të njëjtën pikë fikse.
Në përgjithësi, një fushë e tillë e forcave qendrore nuk është konservatore. Nëse, në fushën e forcave qendrore, shuma e forcës varet vetëm nga distanca në qendër të fushës së pushtetit (o), dmth. Kjo fushë është konservatore (potenciale).
Dëshmi:
ku është primitiv.
§ 9. energji potenciale.
Komunikimi i energjisë dhe energjisë potenciale
në fushën e forcave konservatore
Fusha e forcave konservatore do të zgjedhë origjinën e koordinatave, kështu
Energjia e mundshme e trupit në fushën e forcave konservatore. Ky funksion është përcaktuar në mënyrë unike (varet vetëm nga koordinatat), sepse Puna e forcave konservatore nuk varet nga lloji i rrugës.
Ne do të gjejmë një lidhje në fushën e forcave konservatore kur lëvizim trupin nga pika 1 deri në pikën 2.
Puna e forcave konservatore është e barabartë me ndryshimin e energjisë potenciale me shenjën e kundërt.
Energjia potenciale e trupit të fushës së forcave konservatore është energjia për shkak të pranisë së një fushe të energjisë që rezulton nga një ndërveprim i caktuar i këtij organi me një trup të jashtëm (organe), të cilat ata thonë dhe krijojnë një fushë të energjisë.
Energjia potenciale e fushës së forcave konservatore karakterizon aftësinë e trupit për të punuar dhe është numerikisht e barabartë me funksionimin e forcave konservatore për të lëvizur trupin në fillim të koordinatave (ose në një pikë me zero energji). Kjo varet nga zgjedhja e nivelit zero dhe mund të jetë negative. Në çdo rast, që do të thotë për punën fillore në mënyrë të drejtë, unë. Ose, ku - projeksioni i forcës në drejtim të lëvizjes ose lëvizjes fillore. Prandaj, . Sepse Ne mund ta lëvizim trupin në çdo drejtim, pastaj për çdo drejtim me të drejtë. Projektimi i Forcës Konservatore në një drejtim arbitrar është i barabartë me derivativin e energjisë potenciale në këtë drejtim me shenjën e kundërt.
Duke pasur parasysh dekompozimin e vektorëve dhe në bazë të kësaj, ne e marrim këtë
Nga ana tjetër, nga analiza matematikore, dihet se funksioni i plotë diferencial i disa variablave është i barabartë me shumën e veprave të derivateve të pjesshme në argumente për diferencat e argumenteve, dmth.e. Pra, marrim nga raporti
Për një regjistrim më kompakt të këtyre raporteve, mund të përdoret koncepti i një gradienti funksioni.
Ord.
Një gradient i një funksioni të koordinatave skalare quhet vektor me koordinata të barabarta me derivatat përkatëse private të këtij funksioni.
Në rastin tonë
Ord.
Sipërfaqja e pajisjes është vendndodhja gjeometrike e pikëve në fushën e forcave konservatore, vlerat e energjisë potenciale në të cilën e njëjta, i.e. .
Sepse Nga përkufizimi i sipërfaqes së pajisjes, rrjedh se për pikat e kësaj sipërfaqeje, si është konstante derivative.
Kështu, forca konservatore është gjithmonë pingul me sipërfaqen e pajisjeve dhe drejtohet në stronim në energjinë potenciale. (P 1\u003e p 2\u003e p 3).
§ 10. Energjia e mundshme e ndërveprimit.
Sistemet mekanike konservatore
Konsideroni sistemin e dy grimcave të tyre bashkëvepruese. Le të pikturat e ndërveprimit të tyre janë qendrore dhe madhësia e forcës varet nga distanca midis grimcave (forcat janë forcat gravitacionale dhe elektrike të Kulombës). Është e qartë se forca e ndërveprimit të dy grimcave është e brendshme.
Duke pasur parasysh ligjin e tretë të Newton (), ne marrim, i.e. Funksionimi i forcave të ndërveprimit të brendshëm të dy grimcave përcaktohet duke ndryshuar distancën midis tyre.
E njëjta punë do të kryhej nëse grimca e parë po pushonte në fillim të koordinatave, dhe e dyta - mori një lëvizje, e barabartë me rritjen e vektorit të saj të rrezeve, domethënë, puna e kryer nga forcat e brendshme mund të llogaritet , duke numëruar një grimcë është fikse, dhe e dyta - lëvizja në fushën e forcave qendrore, vlera e të cilave është përcaktuar në mënyrë unike nga distanca midis grimcave. Në §8, ne dëshmuam se fusha e forcave të tilla (dmth., Fushën e forcave qendrore, në të cilat shuma e forcës varet vetëm nga distanca në qendër), prandaj puna e tyre mund të konsiderohet si një rënie e potencialit energji (e përcaktuar, sipas §9, për fushën e forcave konservatore).
Në rast të shqyrtimit, kjo energji është për shkak të ndërveprimit të dy grimcave që përbëjnë një sistem të mbyllur. Ajo quhet energjia potenciale e ndërveprimit (ose energjisë së mundshme reciproke). Gjithashtu varet nga zgjedhja e nivelit zero dhe mund të jetë negative.
Ord.
Sistemi mekanik i trupave të ngurta, forcat e brendshme midis të cilave janë konservatore, quhet një sistem mekanik konservator.
Mund të tregohet se energjia potenciale e ndërveprimit të sistemit konservator nga n grimca është e përbërë nga energjitë potenciale të ndërveprimit të grimcave të marra në çifte, të cilat mund të përfaqësohen.
Ku - energjia potenciale e ndërveprimit të dy grimcave I-O dhe J-OH. Indekset që unë dhe J në shumën janë marrë me një vlerë të pavarur prej 1,2,3, ..., N. duke pasur parasysh të njëjtën energji potenciale të ndërveprimit të grimcave të IO dhe J-Oh me njëri-tjetrin, atëherë kur Përmbledhja e energjisë do të shumëfishohet me 2, si rezultat, koeficienti shfaqet para shumës. Në rastin e përgjithshëm, energjia potenciale e ndërveprimit të sistemit nga grimca N do të varet nga pozita ose koordinata e të gjitha grimcave. Është e lehtë të shihet se energjia potenciale e grimcave në fushën e forcave konservatore është një lloj energjie potenciale e ndërveprimit të sistemit të grimcave, sepse Fusha e energjisë është rezultat i një ndërveprimi të trupave me njëri-tjetrin.
§ 11. Ligji i ruajtjes së energjisë në mekanikë.
Le të jetë e fortë të lëvizë në mënyrë progresive nën veprimin e forcave konservatore dhe jo-konservatore, dmth. Gjeneral. Pastaj rezultatet e të gjitha forcave që veprojnë në trup. Puna e rezultateve të të gjitha forcave në këtë rast.
Nga teorema e energjisë kinetike, si dhe duke e konsideruar atë, ne marrim
Energjia e plotë mekanike e trupit
Nese atehere. Ky është rekordi matematikor i ligjit të ruajtjes së energjisë në mekanikë për një trup të veçantë.
Formulimi i Ligjit të Konservimit të Energjisë:
Energjia mekanike e plotë e trupit nuk ndryshon në mungesë të forcave joekeksike.
Për një sistem mekanik nga grimca N nuk është e vështirë të tregohet se (*) ndodh.
Ku
Shuma e parë këtu është energjia totale kinetike e sistemit të grimcave.
E dyta është energjia e përgjithshme e grimcave potenciale në fushën e jashtme të forcave konservatore
E treta është energjia potenciale e ndërveprimit të grimcave të sistemit me njëri-tjetrin.
Shumat e dyta dhe të treta janë energjia potenciale e përgjithshme e sistemit.
Puna e forcave jo konservatore përbëhet nga dy komponentë të siguruar nga puna e forcave të brendshme dhe të jashtme jo të qëndrueshme.
Gjithashtu, si në rastin e lëvizjes së një organi të veçantë, për një sistem mekanik nga trupat N, nëse, atëherë, ligji i ruajtjes së energjisë në rastin e përgjithshëm për sistemin mekanik thotë:
Energjia e plotë mekanike e sistemit të grimcave, e cila është vetëm nën veprimin e forcave konservatore është ruajtur.
Kështu, në prani të forcave jo-konservatore, energjia e plotë mekanike nuk është e shpëtuar.
Forcat jo konservatore janë, për shembull, forca e fërkimit, forca e rezistencës dhe forcave të tjera, veprimet e të cilëve shkaktojnë dëme të energjisë (tranzicioni mekanik i energjisë në nxehtësi).
Forcat që çojnë në assensnations quhen aseti. Disa forca nuk janë domosdoshmërisht assensic.
Ligji i ruajtjes së energjisë është universal dhe zbatohet jo vetëm për fenomenet mekanike, por edhe për të gjitha proceset në natyrë. Shuma totale e energjisë në sistemin e izoluar të organeve dhe fushave gjithmonë mbetet konstante. Energjia mund të lëvizë vetëm nga një formë në tjetrën.
Duke marrë parasysh këtë barazi
Nëse keni nevojë për materiale shtesë në këtë temë, ose nuk keni gjetur atë që ata po kërkonin, ne rekomandojmë përdorimin e kërkimit për bazën tonë të punës:
Ajo që ne do të bëjmë me materialin e marrë:
Nëse ky material doli të jetë i dobishëm për ju, ju mund ta ruani atë në faqen tuaj të rrjeteve sociale:
Kin-energjia.
Një pronë integrale e materies është lëvizja. Format e ndryshme të lëvizjes së materies janë të afta për transformime të ndërsjella, të cilat, siç është përcaktuar, ndodhin në raporte sasiore të përcaktuara në mënyrë strikte. Një masë e vetme e formave të ndryshme të lëvizjes dhe llojeve të ndërveprimit të objekteve materiale dhe është energji.
Energjia varet nga parametrat e statusit të sistemit, ᴛ.ᴇ. Sasi të tilla fizike që karakterizojnë disa nga vetitë thelbësore të sistemit. Energjia në varësi të dy parametrave të vektorit që karakterizojnë gjendjen mekanike të sistemit, domethënë, vektori i rrezeve përcakton pozicionin e një trupi në krahasim me tjetrin dhe shpejtësia që përcakton shpejtësinë e lëvizjes së trupit në hapësirë \u200b\u200bquhet mekanike.
Në mekanikën klasike duket e mundur për të thyer energjinë mekanike në dy terma, secila prej të cilave varet vetëm nga një parametër:
ku - energji potenciale në varësi të vendndodhjes relative të organeve ndërvepruese; - energjia kinometrike, varësisht nga shpejtësia e lëvizjes së trupit në hapësirë.
Energjia mekanike e organeve makroskopike mund të ndryshojë vetëm përmes punës.
Ne gjejmë shprehjen për energjinë e fëmijëve të afërt të lëvizjes përkthyese të sistemit mekanik. Vlen të thuhet se për të filluar, e konsideroni pikën materiale m.. Supozoni shpejtësinë e saj në një moment në kohë t. të barabartë. Ne përcaktojmë punën e forcës që rezulton duke vepruar në pikën materiale për disa kohë:
Duke pasur parasysh se në bazë të përkufizimit të një produkti skalar
ku - fillestare, dhe është shpejtësia përfundimtare e pikës.
Vlerë
Është e zakonshme të thërrasësh një energji të afërt të pikës materiale.
Me këtë koncept, lidhja (4.12) do të regjistrohet si
Nga (4.14) rrjedh se energjia ka të njëjtin dimension, si dhe punën dhe për këtë arsye matet në të njëjtat njësi.
ᴀᴋᴎᴍᴀᴋᴎᴍ ᴏϭᴩᴀᴈᴏᴍ, puna e të gjitha mbingarkesave që veprojnë në pikën materiale është e barabartë me rritjen e energjisë së afërt të kësaj pike. Duhet të theksohet se rritja e energjisë kin -ometrike mund të jetë pozitive ose negative në varësi të shenjës, puna e përsosur (forca mund të përshpejtohet ose të frenojë lëvizjen e trupit). Kjo deklaratë është e zakonshme të quhet teorema e energjisë kinemike.
Rezultati që rezulton është përmbledhur lehtë në rast të lëvizjes progresive të një sistemi arbitrar të pikave materiale. Energjia e plotë e sistemit është e zakonshme të thërrasë sasinë e energjive të afërta të pikave materiale, prej të cilave ky sistem konsiston. Si rezultat i shtimit të marrëdhënieve (4.13) për çdo pikë materiale të sistemit, formula (4.13) do të punojë përsëri përsëri, por tashmë për sistemin e pikave materiale:
ku m. - Pesha e sistemit.
Duhet të theksohet se ekziston një dallim i rëndësishëm midis teoremës së energjisë të afërt (Ligji për Ndryshimin e Energjisë Kin-Eterneice) dhe ligjit për ndryshimin e pulsit të sistemit. Siç dihet, rritja e impulsit të sistemit përcaktohet vetëm nga forcat e jashtme. Fuqitë e brendshme për shkak të barazisë së veprimit dhe kundërsulmimit nuk ndryshojnë pulsin e sistemit. Rasti nuk është rasti në rastin e energjisë kin -ometrike. Puna e forcave të brendshme, në përgjithësi, nuk kthehet në zero. Për shembull, kur lëvizni dy pika materiale që ndërveprojnë me forcat e tjera të tërheqjes, secila prej forcave do të bëjë funksionim pozitiv dhe do të jetë rritja pozitive e energjisë së afërt të sistemit. Rrjedhimisht, rritja e energjisë kin -ometrike përcaktohet nga puna jo vetëm e jashtme, por edhe e forcave të brendshme.
Integrimi Curvilinear i llojit të dytë, llogaritja e të cilave është zakonisht më e thjeshtë se llogaritja e integrimit të kurvilinës të gjinisë së parë. Fuqia e pushtetit quhet puna e forcës për njësi të kohës. Meqë në forcën pafundësisht të vogël DT e bën punën da \u003d FSDS \u003d FDR, pastaj fuqia ...
Energjia kinetike e pikës materiale shprehet si gjysmë produkt i masës së kësaj pike për katror të shpejtësisë së saj.
Teorema në energjinë kinetike të pikës materiale mund të shprehet në tre lloje:
i.E. Diferenca Energjia kinetike e pikës materiale është e barabartë me punën elementare të forcës që vepron në këtë pikë;
i.E., koha derivativ nga energjia kinetike e pikës materiale është e barabartë me fuqinë e forcës që vepron në këtë pikë:
i.E., Ndryshimi i energjisë kinetike të pikës materiale në rrugën përfundimtare është e barabartë me punën e forcës që vepron në të njëjtën mënyrë.
Tabela 17. Klasifikimi i detyrave
Nëse disa forca janë të vlefshme deri në pikën, atëherë pjesët e duhura të ekuacioneve përfshijnë punën ose fuqinë e rezultatit të këtyre forcave, që është e barabartë me sasinë e punës ose kapacitetin e të gjithë komponentëve.
Në rastin e një lëvizjeje të drejtpërdrejtë të pikës, drejtimin e boshtit në një vijë të drejtë, e cila lëviz pikën, ne kemi:
ku, pasi në këtë rast rezulton të gjitha bashkangjitur në pikën e forcave drejtohet përgjatë boshtit X.
Aplikimi i teoremës në energjinë kinetike në rast të një lëvizjeje jo të lirë të pikës materiale, është e nevojshme të mbani në mend: nëse një lidhje e përsosur stacionare është aplikuar në pikën (pika lëviz përgjatë një fikse krejtësisht të qetë Sipërfaqja ose linja), atëherë përgjigja e komunikimit në ekuacion nuk është e përfshirë, sepse ky reagim drejtohet nga normale në trajektoren e pikës dhe prandaj puna e saj është zero. Nëse fërkimi duhet të merret parasysh, atëherë ekuacioni i energjisë kinetike do të hyjë në punën ose fuqinë e forcës së fërkimit.
Detyrat që lidhen me këtë paragraf mund të ndahen në dy lloje kryesore.
I. Detyrat për përdorimin e teoremës së energjisë kinetike me pikën e lëvizjes së drejtpërdrejtë.
II. Detyrat për përdorimin e teoremës së energjisë kinetike në pikën e lëvizjes Curvilinear.
Përveç kësaj, detyrat që lidhen me llojin Unë mund të ndahen në tri grupe:
1) Forca që vepron në pikën (ose rezultati i disa forcave) është konstante, i.e., ku X është projektimi i forcës (ose rezultatit) në aks të drejtuar përgjatë trajektores së drejtë të pikës;
2) Forca që vepron në pikën (ose automatikisht) është një funksion i distancës (abscissa e kësaj pike), i.e.
3) Forca që vepron në pikën (ose automatikisht), ekziston një funksion i shpejtësisë së kësaj pike, i.E.
Detyrat që lidhen me llojin II mund të ndahen në tri grupe:
1) Forca që vepron në një pikë (ose relative), konstante dhe modul dhe në drejtim (për shembull, forca e peshës);
2) Forca që vepron në pikën (ose automatikisht), ekziston një funksion i pozitës së kësaj pike (funksioni i koordinimit të pikave);
3) lëvizja e pikës në prani të forcave të rezistencës.
Vlera skalare e t, e barabartë me shumën e energjive kinetike të të gjitha pikave të sistemit, quhet energjia kinetike e sistemit.
Energjia kinetike është karakteristikë e lëvizjes përkthyese dhe rrotulluese të sistemit. Ndikon veprimin e forcave të jashtme dhe siç është një skalalar, nuk varet nga drejtimi i pjesëve të sistemit.
Ne gjejmë energji kinetike në raste të ndryshme të lëvizjes:
1. Trafiku mbrojtës
Shpejtësia e të gjitha pikave të sistemit është e barabartë me shpejtësinë e qendrës së masës. Pastaj
Energjia kinetike e sistemit në lëvizjen progresive është e barabartë me gjysmën e masës së sistemit në sheshin e shpejtësisë së qendrës së masës.
2. Trafiku rrotullues (Figura 77)
Shpejtësia e çdo pike të trupit :. Pastaj
ose duke përdorur formulën (15.3.1):
Energjia kinetike e trupit gjatë rotacionit është e barabartë me gjysmën e produktit të inercisë së trupit në krahasim me aksin e rrotullimit për katror të shpejtësisë së saj këndore.
3. Lëvizje të sheshtë
Me këtë lëvizje, energjia kinetike përbëhet nga energjia e lëvizjeve progresive dhe rrotulluese
Rasti i përgjithshëm i lëvizjes i jep formulës për të llogaritur energjinë kinetike të ngjashme me këtë të fundit.
Ne kemi bërë përkufizimin e punës dhe të fuqisë në paragrafin 3 të kapitujve 14. Këtu do të shqyrtojmë shembuj të llogaritjes së punës dhe fuqisë së forcave që veprojnë në sistemin mekanik.
1. Puna e forcave të gravitetit. Le të koordinatat e pozitës fillestare dhe përfundimtare të pikës k të trupit. Puna e gravitetit të peshës që vepron në këtë grimcë do të jetë 
. Pastaj puna e plotë:
ku p është pesha e sistemit të pikave materiale - lëvizja vertikale e qendrës së gravitetit S.
2. Puna e forcave të bashkangjitura në trupin e rradhës.
Sipas lidhjes (14.3.1), mund të shkruhet, por DS sipas Figura 74, për shkak të vogël të vogël të vogël mund të përfaqësohet si 
- Këndi pafundësisht i vogël i kthesës së trupit. Pastaj
Vlerë 
quajtur çift rrotullues.
Formula (19.1.6) rishkruaj si
Puna fillore është e barabartë me produktin e rrotullimit të rrotullimit në kthesën elementare.
Kur kthehen në këndin e fundit ne kemi:
Nëse momenti rrotullues është i vazhdueshëm, atëherë
dhe fuqia për të përcaktuar raportin (14.3.5)
si një produkt i çift rrotullues në shpejtësinë këndore të trupit.
Teorema e ndryshimit të energjisë kinetike të provuar për një pikë (§ 14.4) do të jetë e vlefshme për çdo pikë të sistemit
Duke përbërë ekuacione të tilla për të gjitha pikat e sistemit dhe duke i palosur ata për t'i marrë ato:
ose, sipas (19.1.1):
Çfarë është një shprehje e teoremës në energjinë kinetike të sistemit në formë diferenciale.
Integrimi (19.2.2) Ne marrim:
Teorema për ndryshimin e energjisë kinetike në formën përfundimtare: një ndryshim në energjinë kinetike të sistemit në disa nga lëvizja përfundimtare është e barabartë me shumën e punës në këtë lëvizje të të gjitha forcave të jashtme dhe të brendshme të bashkangjitura në sistem.
Theksojmë se forcat e brendshme nuk përjashtohen. Për një sistem të pandryshueshëm, shuma e punës së të gjitha forcave të brendshme është zero dhe
Nëse lidhjet e imponuara në sistem nuk ndryshohen me kalimin e kohës, forcat si të jashtme dhe të brendshme mund të ndahen në aktive dhe reagime të obligacioneve dhe ekuacionin (19.2.2) tani mund të shkruhen:
Dinamika paraqet një koncept të tillë si sistemin "ideal" mekanik. Ky është një sistem i tillë, prania e lidhjeve në të cilat nuk ndikon në ndryshimin në energjinë kinetike, që është
Lidhjet e tilla që nuk ndryshojnë me kalimin e kohës dhe shuma e veprave të të cilave në lëvizjen fillore janë zero, quhen ideale, dhe ekuacioni (19.2.5) do të regjistrohet:
Energjia potenciale e pikës materiale në këtë pozicion m quhet vlera skalare e P, e barabartë me punën që do të prodhohet forca në terren kur pika të lëvizë nga pozicioni m në zero
P \u003d A (MO) (19.3.1)
Energjia potenciale varet nga pozita e pikës m, domethënë nga koordinatat e saj
P \u003d p (x, u, z) (19.3.2)
Ne do të shpjegojmë këtu se fusha e energjisë është pjesë e volumit hapësinor, në çdo pikë të së cilës forca e përcaktuar nga moduli dhe drejtimi, në varësi të pozitës së grimcave, është, nga koordinatat x, y, z. Për shembull, fusha e tokës.
Funksioni U nga koordinatat, diferenca e të cilave është e barabartë me punën, quhet funksioni i energjisë. Fusha e energjisë për të cilën është thirrur një funksion i energjisë fushë potenciale e energjisë, dhe forcat që veprojnë në këtë fushë - forcat e mundshme.
Le zero pikë për dy funksione të fuqisë P (x, z) dhe u (x, y, z) përkojnë.
Nga formula (14.3.5) ne marrim, i.e. Da \u003d du (x, y, z) dhe
ku u është vlera e funksionit të energjisë në pikën M. Prandaj
P (x, y, z) \u003d -u (x, y, z) (19.3.5)
Energjia potenciale në çdo pikë të fushës së energjisë është e barabartë me vlerën e funksionit të energjisë në këtë pikë të marrë me shenjën e kundërt.
Kjo është, kur merret parasysh vetitë e fushës së energjisë, në vend të një funksioni të fuqishëm, energjia potenciale mund të konsiderohet dhe, në veçanti, ekuacioni (19.3.3) do të rishkruhet si
Puna e forcës potenciale është e barabartë me dallimin e vlerave të energjisë potenciale të një pikë lëvizjeje në pozicionin fillestar dhe përfundimtar.
Në veçanti, puna e gravitetit:
Le të jenë të mundshme të gjitha forcat që veprojnë në sistem. Pastaj për secilën pikë Puna e Sistemit është e barabartë
Pastaj për të gjitha forcat, të dyja të jashtme dhe të brendshme
ku është energjia potenciale e të gjithë sistemit.
Ne i zëvendësojmë këto sasi të shprehjes për energjinë kinetike (19.2.3):
ose më në fund:
Kur ngas nën veprimin e forcave të mundshme, shuma e energjisë kinetike dhe potenciale të sistemit në çdo pozitë mbetet madhësia e konstante. Ky është ligji i ruajtjes së energjisë mekanike.
Ngarkesa me peshë 1 kg bën luhatje falas sipas ligjit x \u003d 0.1sinl0t. Koeficienti i ngurtësisë së pranverës c \u003d 100 n / m. Përcaktoni energjinë totale mekanike të ngarkesës në x \u003d 0.05m, nëse në x \u003d 0 energji potenciale është zero 
. (0,5)
Masën e ngarkesës m \u003d 4 kg, duke rënë, çon në një filament në rotacionin e cilindrit r \u003d 0.4 m. Momenti i inercisë së cilindrit në krahasim me aksin e rrotullimit I \u003d 0.2. Përcaktojnë energjinë kinetike të sistemit të trupave në kohën kur shpejtësia e ngarkesës v \u003d 2m / s 
. (10,5)