Ikkilik munosabatlar va ularning xossalari yechimlarga misol bo'la oladi. ikkilik munosabatlar. Ikkilik munosabatlarga misollar. Binar munosabatlar va ularning xossalari

qat'iy bo'lmagan tartib munosabatlari uchun:

X X -- rost (reflektorlik);

xy va yx x = y-- (antisimmetriya);

x y va y z xy z-- (o'tish qobiliyati).

Kopgina X har qanday ikkita element bo'lsa tartibli deyiladi X va da Ushbu to'plamni solishtirish mumkin, ya'ni ular uchun quyidagi shartlardan biri qondirilsa: X< y, x= u, u< X.

Tartiblangan to‘plam kortej deb ataladi. Umumiy holda, kortej - elementlar ketma-ketligi, ya'ni har bir element aniq belgilangan joyni egallagan elementlar to'plami. Tartiblangan to‘plamning elementlari kortejning komponentlari deyiladi. Arifmetik yoki geometrik progressiyalar raqamlarining tartiblangan ketma-ketligi, har qanday radioelektron mahsulotni ishlab chiqarishdagi texnologik operatsiyalar ketma-ketligi, konstruktiv elementlarni mahkamlash uchun bosilgan elektron platani o'rnatish joylarining tartiblangan ketma-ketligi trubkaga misol bo'la oladi.

Ushbu to'plamlarning barchasida har bir elementning o'rni to'liq aniqlanadi va uni o'zboshimchalik bilan o'zgartirib bo'lmaydi.

Kompyuterda dizayn ma'lumotlarini qayta ishlashda ko'pincha ustunlik munosabatlaridan foydalaniladi. Ular shunday deyishadi xX hukmronlik qiladi yX, ya'ni x>>y, element bo'lsa X elementdan ustun (ustunlikka ega). da bir xil to'plam. Masalan, ostida X birinchi navbatda qayta ishlanishi kerak bo'lgan ma'lumotlar ro'yxatidan birini tushunish mumkin. Bir nechta CEA dizaynlarini tahlil qilishda ularning har qandayiga ustunlik berish kerak, chunki bu dizayn bizning nuqtai nazarimizdan boshqalarga qaraganda yaxshiroq xususiyatlarga ega, ya'ni dizayn. X tuzilishda ustunlik qiladi. y.

Bu holda tranzitivlik xossasi mavjud emas. Haqiqatan ham, agar, masalan, qurilish X har qanday parametr uchun afzal qilingan konstruktsiyalar y, va dizayn da konstruksiyalarni z ba'zi boshqa parametrlar bo'yicha afzal ko'rgan bo'lsa, bundan hali konstruktsiyalar kelib chiqmaydi X dizayndan ustun bo'lishi kerak G.

Displeyni sozlash. To‘plamlar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri xaritalash tushunchasidir. Agar ikkita bo'sh bo'lmagan to'plam berilsa X va Y, keyin har bir element x bo'lgan qonun X elementga tayinlanadi , yakkama-yakka xaritalash deyiladi X ichida Y yoki X da aniqlangan va qiymatini oladigan funksiya Y.

Amalda, to'plamning ko'p qiymatli xaritalari bilan shug'ullanish kerak X to'plamda Y, har bir element qaysi qonunni belgilaydi xX ba'zi kichik to'plamlar mos keladi , elementlarning tasviri deyiladi. Bunday holatlar mavjud GH = 0.

Ba'zi kichik to'plamlar berilsin AX. Har kim uchun Ha yo'l X kichik to‘plamdir . Barcha elementlarning to'plami Y, hamma uchun tasvir bo'lish x dan A gacha, to'plamning tasvirini chaqiramiz LEKIN va belgilaymiz GA. Ushbu holatda

ikkilik munosabatlar.

A va B ixtiyoriy to'plamlar bo'lsin. Keling, har bir to'plamdan bitta elementni, A dan a, B dan b ni olib, ularni quyidagicha yozamiz: (avval birinchi to'plamning elementi, keyin ikkinchi to'plamning elementi - ya'ni elementlarni olish tartibi biz uchun muhim). Bunday ob'ekt chaqiriladi buyurtma qilingan juftlik. Teng biz faqat bir xil raqamlarga ega bo'lgan elementlar teng bo'lgan juftlarni ko'rib chiqamiz. = , agar a = c va b = d bo'lsa. Shubhasiz, agar a ≠ b bo'lsa, u holda ≠ .

Dekart mahsuloti ixtiyoriy A va B to'plamlar (belgilangan: AB) birinchi elementi A ga, ikkinchisi esa B ga tegishli bo'lgan barcha mumkin bo'lgan tartiblangan juftlardan iborat to'plamdir. Ta'rifi bo'yicha: AB = ( | aA va bB). Shubhasiz, agar A≠B bo'lsa, u holda AB ≠ BA. A to'plamning o'zi bilan dekart ko'paytmasi n marta deyiladi Dekart darajasi A (belgilangan: A n).

5-misol. A = (x, y) va B = (1, 2, 3) bo'lsin.

AB=( , , , , , }.

BA=(<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

AA = A 2 = ( , , , }.

BB = B 2 = (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

ikkilik munosabat to'plamda M - M to'plamning ba'zi tartiblangan juft elementlari to'plami. Agar r ikkilik munosabat va juft bo'lsa bu munosabatga tegishli, biz yozamiz: r yoki x r y. Shubhasiz, r N M 2 .

Misol 6. To'plam (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) toʻplamdagi ikkilik munosabatdir (1, 2, 3, 4, 5).

7-misol. Butun sonlar to'plamidagi ³ munosabati ikkilik munosabatdir. Bu shaklning tartiblangan juftlarining cheksiz to'plamidir , bu yerda x ³ y, x va y butun sonlar. Bu munosabat, masalan, juftlarni o'z ichiga oladi<5, 3>, <2, 2>, <324, -23>va er-xotinga tegishli emas<5, 7>, <-3, 2>.

8-misol. A to`plamdagi tenglik munosabati ikkilik munosabatdir: I A = ( | x O A). I A deb ataladi diagonal to'plamlari A.

Ikkilik munosabatlar to'plam bo'lgani uchun ularga birlashish, kesishish, qo'shish va ayirma amallari qo'llaniladi.

Ta'rif doirasi ikkilik munosabat r D(r) = ( x | shunday y mavjudki, xry ). Qiymat maydoni ikkilik munosabat r R(r) = ( y | shunday x mavjudki, xry ).

munosabat, teskari ikkilik munosabatga r N M 2 ikkilik munosabat deyiladi r -1 = ( | O r). Shubhasiz, D(r -1) = R(r), R(r -1) = D(r), r - 1 Í M 2.

Tarkibi M to'plamda aniqlangan r 1 va r 2 ikkilik munosabatlar r 2 o r 1 = ( binar munosabat deyiladi. | shunday y bor O r 1 va N r 2). Shubhasiz, r 2 o r 1 Í M 2.

9-misol. M = (a, b, c, d), r = ( to'plamda r ikkilik munosabat aniqlansin. , , , ). Keyin D(r) = (a, c), R(r) = (b, c, d), r -1 = ( , , , ), r o r = ( , , , ), r -1 o r = ( , , , ), r o r -1 = ( , , , , , , }.

M to‘plamdagi r ikkilik munosabat bo‘lsin. Munosabat r deyiladi aks ettiruvchi, har qanday x O M uchun x r x bo'lsa. r munosabati deyiladi simmetrik, agar har bir juftlik bilan birga bo'lsa unda juftlik ham mavjud . r nisbati deyiladi o'tish davri, agar x r y va y r z ekanligidan x r z kelib chiqsa. r nisbati deyiladi antisimmetrik, agar u bir vaqtning o'zida juftlarni o'z ichiga olmasa va M to‘plamning x ¹ y turli elementlari.

Keling, ushbu xususiyatlarni bajarish mezonlarini ko'rsatamiz.

M to‘plamdagi ikkilik munosabat r, agar I M N r bo‘lsagina refleksli hisoblanadi.

Ikkilik munosabat r simmetrik bo'ladi, agar r = r -1 bo'lsa.

M to'plamdagi ikkilik r munosabati antisimmetrik bo'ladi, agar r Z r -1 = I M bo'lsa.

Ikkilik munosabat r o'tishli bo'ladi, agar r o r n r bo'lsa.

10-misol. 6-misoldagi munosabat antisimmetrikdir, lekin u simmetrik, refleksiv va tranzitiv emas. 7-misoldagi munosabat refleksiv, antisimmetrik va tranzitivdir, lekin simmetrik emas. I A munosabati to'rtta ko'rib chiqilgan xususiyatga ega. r -1 o r va r o r -1 munosabatlari simmetrik, tranzitiv, lekin antisimmetrik va refleksiv emas.

munosabat ekvivalentlik M to’plamdagi M o’tish, simmetrik va refleksiv bo’lgan ikkilik munosabat deyiladi.

munosabat qisman buyurtma M to'plamdagi M ikkilik munosabat r bo'yicha o'tish, antisimmetrik va refleks deb ataladi.

11-misol 7-misoldagi munosabat qisman tartibli munosabatdir. I A munosabati ekvivalentlik munosabati va qisman tartibdir. Chiziqlar to'plamidagi parallellik munosabati ekvivalentlik munosabatidir.

Aloqa xususiyatlari:

1) reflekslilik;

2) simmetriya;

3) tranzitivlik.

4) aloqadorlik.

Munosabat R to'plamda X chaqirdi aks ettiruvchi to'plamning har bir elementi haqida bo'lsa X munosabatda ekanligini aytish mumkin R O'zim bilan: XRx. Agar munosabat refleksli bo'lsa, u holda grafikning har bir tepasida halqa mavjud. Aksincha, har bir cho'qqisida halqa bo'lgan grafik refleksiv munosabat grafigi hisoblanadi.

Refleksiv munosabatlarga natural sonlar to‘plamidagi “ko‘plik” munosabati (har bir raqam o‘ziga karrali) va uchburchaklarning o‘xshashlik munosabati (har bir uchburchak o‘ziga o‘xshash) va “tenglik” munosabati (har bir son) misol bo‘la oladi. o'ziga teng) va boshqalar.

Reflektorlik xususiyatiga ega bo'lmagan munosabatlar mavjud, masalan, segmentlarning perpendikulyarligi munosabati: ab, ba(o'ziga perpendikulyar deb aytish mumkin bo'lgan segment yo'q) . Shuning uchun bu munosabat grafigida halqalar mavjud emas.

U reflektorlik xususiyatiga ega emas va nisbat segmentlar uchun "uzunroq", natural sonlar uchun "2 ga katta" va hokazo.

Munosabat R to'plamda X chaqirdi antirefleksga qarshi, agar to'plamdan biron bir element uchun X har doim yolg'on XRx: .

Refleksiv ham, antirefleksiv ham bo'lmagan munosabatlar mavjud. Bunday munosabatlarga misol "nuqta" munosabati X nuqtaga simmetrik da nisbatan tekis l”, tekislik nuqtalari to'plamida aniqlanadi. Darhaqiqat, chiziqning barcha nuqtalari l o'zlariga simmetrik va bir chiziqda yotmaydigan nuqtalar l, o'zlariga simmetrik emas.

Munosabat R to'plamda X chaqirdi simmetrik, shart bajarilsa: element ekanligidan X element bilan bog'liqdir y, shundan kelib chiqadiki, element y munosabatda bo‘ladi R element bilan X:xRyyRx.

Simmetrik munosabat grafigi quyidagi xususiyatga ega: har bir o'q bilan birga X uchun y, grafikda dan ketadigan o'q mavjud y uchun X(35-rasm).

Simmetrik munosabatlarga quyidagilar misol bo'lishi mumkin: segmentlarning "parallelligi" nisbati, segmentlarning "perpendikulyarligi" nisbati, segmentlarning "tengligi" nisbati, uchburchaklarning o'xshashligi nisbati, "tenglik" nisbati. kasrlar va boshqalar.

Simmetriya xususiyatiga ega bo'lmagan munosabatlar mavjud.

Haqiqatan ham, segment bo'lsa X segmentdan uzunroq da, keyin segment da segmentdan uzun bo'lishi mumkin emas X. Bu munosabatning grafigi o'ziga xos xususiyatga ega: cho'qqilarni bog'laydigan o'q faqat bitta yo'nalishga qaratilgan.

Munosabat R chaqirdi antisimmetrik, agar biron bir element uchun X va y haqiqatdan xRy soxtalik keladi yRx: : xRyyRx.

"Uzoqroq" munosabatdan tashqari, segmentlar to'plamida boshqa antisimmetrik munosabatlar mavjud. Masalan, raqamlar uchun "kattaroq" munosabati (agar X Ko'proq da, keyin da ortiq bo'lishi mumkin emas X), nisbati "ko'proq by" va boshqalar.

Shunday munosabatlar mavjudki, ular na simmetriya xususiyatiga, na antisimmetriya xususiyatiga ega.

To'plamdagi R munosabati X chaqirdi o'tish davri qaysi elementdan bo'lsa X munosabatda bo‘ladi R element bilan y, va element y munosabatda bo‘ladi R element bilan z, shundan kelib chiqadiki, element X munosabatda bo‘ladi R element bilan z: xRy va yRzxRz.

Har bir juft o'q bilan o'tish munosabati grafigi X uchun y va dan y uchun z, dan keladigan o'qni o'z ichiga oladi X uchun z.

Segmentlar to'plamidagi "uzoqroq" munosabati ham tranzitivlik xususiyatiga ega: segment bo'lsa a segmentdan uzunroq b, chiziq segmenti b segmentdan uzunroq Bilan, keyin segment a segmentdan uzunroq Bilan. Segmentlar to'plamidagi "tenglik" munosabati ham tranzitivlik xususiyatiga ega: (a=b, b=c)(a=c).

Tranzitivlik xususiyatiga ega bo'lmagan munosabatlar mavjud. Bunday munosabat, masalan, perpendikulyarlik munosabati: segment bo'lsa a segmentga perpendikulyar b, va segment b segmentga perpendikulyar Bilan, keyin segmentlar a va Bilan perpendikulyar emas!

Munosabatlarning bog`langan xususiyat deb ataladigan yana bir xossasi bor, unga ega bo`lgan munosabat esa bog`langan deyiladi.

Munosabat R to'plamda X chaqirdi bog'liq, har qanday elementlar uchun bo'lsa X va y bu to'plamdan quyidagi shart bajariladi: agar X va y boshqacha, keyin ham X munosabatda bo‘ladi R element bilan y, yoki element y munosabatda bo‘ladi R element bilan X. Belgilar yordamida buni quyidagicha yozish mumkin: xyxRy yoki yRx.

Masalan, natural sonlar uchun “kattaroq” munosabati bog‘lanish xususiyatiga ega: har xil x va y sonlar uchun har birini tasdiqlash mumkin. x>y, yoki y>x.

Munosabatlar grafigida har qanday ikkita cho'qqi o'q bilan bog'langan. Qarama-qarshilik ham to'g'ri.

Bog'lanish xususiyatiga ega bo'lmagan munosabatlar mavjud. Bunday munosabat, masalan, natural sonlar to'plamiga bo'linish munosabati: biz bunday sonlarni x va deb atashimiz mumkin. y raqam nima bo'lishidan qat'iy nazar X bo'luvchi emas y, raqam yo'q y bo'luvchi emas X(raqamlar 17 va 11 , 3 va 10 va hokazo.) .

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik. To'plamda X=(1, 2, 4, 8, 12) munosabati "raqam X bir nechta y". Keling, bu munosabatning grafigini tuzamiz va uning xossalarini shakllantiramiz.

Kasrlar tengligi munosabati haqida ular ekvivalentlik munosabati deyishadi.

Munosabat R to'plamda X chaqirdi ekvivalentlik munosabati, agar u bir vaqtning o'zida reflektorlik, simmetriya va tranzitivlik xususiyatlariga ega bo'lsa.

Ekvivalent munosabatlarga misollar: geometrik shakllarning tenglik munosabatlari, to'g'ri chiziqlar parallelligi (agar mos keladigan chiziqlar parallel deb hisoblansa).

Yuqorida muhokama qilingan "kasrlar tengligi" munosabatida to'plam X uchta kichik to'plamga bo'lingan: ; ; }, {; } , (). Bu kichik to'plamlar kesishmaydi va ularning birlashishi to'plam bilan mos keladi X, ya'ni. bizda to'plamning sinflarga bo'linishi mavjud.

Shunday qilib, agar X to'plamda ekvivalentlik munosabati berilgan bo'lsa, u holda bu to'plamning juft bo'linadigan kichik to'plamlarga bo'linishini hosil qiladi - ekvivalentlik sinflari.

Shunday qilib, biz to'plamdagi tenglik munosabatini aniqladik
X=( ;; ; ; ; ) bu toʻplamning har biri teng kasrlardan tashkil topgan ekvivalentlik sinflariga boʻlinishiga mos keladi.

To'plamni qandaydir ekvivalentlik munosabati orqali sinflarga bo'lish printsipi matematikaning muhim tamoyilidir. Nega?

Birinchidan, ekvivalent - bu ekvivalent, almashtiriladigan ma'noni anglatadi. Shuning uchun bir xil ekvivalentlik sinfining elementlari bir-birini almashtiradi. Shunday qilib, bir xil ekvivalentlik sinfida bo'lgan kasrlar (; ; ), tenglik va kasr munosabati nuqtai nazaridan farqlanmaydi boshqasi bilan almashtirilishi mumkin, masalan . Va bu almashtirish hisob-kitoblar natijasini o'zgartirmaydi.

Ikkinchidan, ekvivalentlik sinfida qandaydir munosabat nuqtai nazaridan ajratib bo'lmaydigan elementlar mavjud bo'lganligi sababli, ekvivalentlik sinfi uning har qanday vakili tomonidan belgilanadi, deb hisoblanadi, ya'ni. sinfning ixtiyoriy elementi. Demak, teng kasrlarning istalgan sinfini ushbu sinfga tegishli har qanday kasrni belgilash orqali aniqlash mumkin. Ekvivalentlik sinfining bir vakil tomonidan berilishi to'plamning barcha elementlari o'rniga ekvivalentlik sinflaridan vakillar to'plamini o'rganishga imkon beradi. Masalan, ko'pburchaklar to'plamida berilgan "uchlari bir xil songa ega" ekvivalentlik munosabati ushbu to'plamning uchburchaklar, to'rtburchaklar, beshburchaklar va boshqalar sinflariga bo'linishini hosil qiladi. ma'lum bir sinfga xos xususiyatlar uning vakillaridan birida ko'rib chiqiladi.

Uchinchidan, yangi tushunchalarni kiritish uchun ekvivalentlik munosabati yordamida to'plamni sinflarga bo'lish qo'llaniladi. Masalan, "chiziqlar to'plami" tushunchasini parallel chiziqlar bir-biriga ega bo'lgan umumiy narsa sifatida aniqlash mumkin.

Tartib munosabatlari munosabatlarning yana bir muhim turidir. Muammoni ko'rib chiqing.To'plamda X={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) munosabat “ga bo‘linganda bir xil qoldiqga ega bo‘ladi 3 ". Bu munosabat to'plamning bir qismini hosil qiladi X sinflarga bo'linadi: ga bo'linganda, bittasi barcha raqamlarni o'z ichiga oladi 3 qolgan qismida olingan 0 (bu raqamlar 3, 6, 9 ). Ikkinchisida - raqamlar, bo'linganda 3 qolgani 1 (bu raqamlar 4, 7, 10 ). Uchinchisiga bo'linganda barcha raqamlar kiradi 3 qolgani 2 (bu raqamlar 5, 8 ). Haqiqatan ham, hosil bo'lgan to'plamlar kesishmaydi va ularning birlashishi to'plam bilan mos keladi X. Shuning uchun, munosabat "ga bo'linganda bir xil qoldiqqa ega bo'lish 3 » to'plamda belgilangan X, ekvivalentlik munosabatidir.

Yana bir misol uchun, sinfdagi ko'plab o'quvchilarni bo'yi yoki yoshi bo'yicha saralash mumkin. E'tibor bering, bu munosabat antisimmetriya va tranzitivlik xususiyatlariga ega. Yoki alifbodagi harflar tartibini hamma biladi. Bu "kerak" munosabati bilan ta'minlanadi.

Munosabat R to'plamda X chaqirdi qat'iy tartib munosabatlari, agar u bir vaqtning o'zida antisimmetriya va tranzitivlik xususiyatlariga ega bo'lsa. Masalan, munosabat X< y».

Agar munosabat reflekslik, antisimmetriya va tranzitivlik xususiyatlariga ega bo'lsa, u shunday bo'ladi. qat'iy bo'lmagan tartib munosabatlari. Masalan, munosabat Xy».

Tartib munosabatiga misollar: natural sonlar to‘plamidagi “kichikroq” munosabat, segmentlar to‘plamidagi “qisqaroq” munosabat. Agar tartib munosabati ham bog`lanish xususiyatiga ega bo`lsa, u holda deyiladi chiziqli tartib munosabati. Masalan, natural sonlar to'plamidagi "kichik" munosabati.

Kopgina X chaqirdi tartibli, agar u tartib bilan bog'liq bo'lsa.

Masalan, ko'p X={2, 8, 12, 32 ) “kichikroq” munosabati yordamida tartiblash mumkin (41-rasm), yoki bu “ko‘plik” munosabati yordamida amalga oshirilishi mumkin (42-rasm). Ammo tartib munosabati bo'lganligi sababli, "kichik" va "ko'paytirish" munosabatlari natural sonlar to'plamini turli yo'llar bilan tartibga soladi. “Kichik” munosabati to‘plamdagi istalgan ikkita raqamni solishtirish imkonini beradi X, va "ko'paytirish" munosabati bunday xususiyatga ega emas. Ha, bir nechta raqam. 8 va 12 ko‘paytirish munosabati bilan bog‘lanmaydi: bunday deyish mumkin emas 8 bir nechta 12 yoki 12 bir nechta 8.

Barcha munosabatlar ekvivalentlik munosabatlariga va tartib munosabatlariga bo'linadi, deb o'ylamaslik kerak. Ekvivalent munosabatlar ham, tartib munosabatlari ham bo'lmagan juda ko'p munosabatlar mavjud.

Diskret matematika asoslari.

To'plam tushunchasi. To'plamlar orasidagi munosabat.

To'plam - ma'lum bir xususiyatga ega bo'lgan, yagona bir butunga birlashtirilgan ob'ektlar yig'indisidir.

To'plamni tashkil etuvchi ob'ektlar deyiladi elementlar to'plamlar. Muayyan ob'ektlar to'plamini to'plam deb atash uchun quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

· Elementning berilgan to'plamga tegishli ekanligini aniqlash uchun mono bo'lgan qoida bo'lishi kerak.

· Elementlarni bir-biridan ajratish mumkin bo'lgan qoida bo'lishi kerak.

To'plamlar bosh harflar bilan, uning elementlari esa kichik harflar bilan belgilanadi. To'plamlarni belgilash usullari:

· To'plam elementlarini sanab o'tish. - chekli to'plamlar uchun.

Xarakterli xususiyatni belgilash .

bo'sh to'plam- hech qanday elementni (Ø) o'z ichiga olmaydigan to'plam deyiladi.

Ikki to'plam bir xil elementlardan iborat bo'lsa, ular teng deyiladi. , A=B

Kopgina B to'plamning kichik to'plami deb ataladi LEKIN( , agar va faqat to'plamning barcha elementlari bo'lsa B to'plamga tegishli A.

Masalan: , B =>

Mulk:

Eslatma: odatda deyiladi bir xil to'plamning kichik to'plamini ko'rib chiqing universal(u). Universal to'plam barcha elementlarni o'z ichiga oladi.

To'plamlarda operatsiyalar.

2.kesib o'tish 2 to'plam bir vaqtning o'zida birinchi va ikkinchi to'plamlarga tegishli bo'lgan elementlardan tashkil topgan yangi to'plamdir.

Nr: , ,

Mulk: birlashma va kesishish operatsiyalari.

· Kommutativlik.

Assotsiativlik. ;

· Distributiv. ;

Binar munosabatlar va ularning xossalari.

Mayli LEKIN va DA bu hosila tabiatli to'plamlar, tartiblangan juft elementlarni ko'rib chiqing (a, c) a s A, c s B buyurtma qilingan "enks" deb hisoblash mumkin.

(a 1, a 2, a 3,...a n), qayerda a 1 s A 1; a 2 s A 2; …; a n s A n ;

To'plamlarning dekart (to'g'ridan-to'g'ri) mahsuloti A 1, A 2, ..., A n, ko`rinishdagi tartiblangan n k dan tashkil topgan to`plam deyiladi.

№: M= {1,2,3}

M× M= M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Dekart mahsulotining kichik to'plamlari daraja nisbati deb ataladi n yoki umumiy munosabat. Agar a n=2, keyin o'ylab ko'ring ikkilik munosabatlar. Bu nima deyishadi a 1, a 2 ikkilik munosabatda R, qachon a 1 R a 2.

To'plamdagi ikkilik munosabat M to'plamning to'g'ridan-to'g'ri mahsulotining kichik to'plami deyiladi n o'zi ustida.

M× M= M 2= {(a, b)| a, b s M) oldingi misolda nisbat to'plamda kichikroq M quyidagi to‘plamni hosil qiladi: ((1,2);(1,3); (2,3))

Ikkilik munosabatlar turli xil xususiyatlarga ega, jumladan:

Reflektorlik: .

· Refleksga qarshi (refleksivlik): .

· Simmetriya: .

· Antisimmetriya: .

· Tranzitivlik: .

· Asimmetriya: .

Munosabatlar turlari.

Ekvivalentlik munosabati;

· Buyurtma munosabati.

v Refleksiv o'tish munosabati kvazitartibli munosabat deyiladi.

v Refleksiv simmetrik tranzitiv munosabat ekvivalentlik munosabati deyiladi.

v Refleksiv antisimmetrik o'tish munosabati (qisman) tartib munosabati deyiladi.

v Antirefleksiv antisimmetrik o'tish munosabati qat'iy tartib munosabati deyiladi.

Ko'rinib turibdiki, ixtiyoriy ikkilik munosabatlarni umumiy ma'noda o'rganish unchalik qiziq emas, ular haqida juda kam gapirish mumkin. Biroq, agar munosabatlar ba'zi qo'shimcha shartlarni qondirsa, ular haqida yanada mazmunli bayonotlar berilishi mumkin. Ushbu bo'limda biz ikkilik munosabatlarning ba'zi asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqamiz.

• 1. X to‘plamdagi ikkilik munosabat, agar biron-bir aX elementi uchun a sharti bajarilsa, refleksiv deyiladi:
  • (aX) a* a.

Agar munosabat grafik bilan ifodalansa, bu munosabatning refleksivligi grafikning har bir cho'qqisida albatta halqa mavjudligini bildiradi.

Mantiqiy matritsa yordamida aniqlangan munosabat uchun uning refleksliligi ushbu matritsaning asosiy diagonali boʻylab (uning yuqori chap burchagidan pastki oʻngga qarab) faqat 1 belgilari mavjudligiga teng.

2. Har qanday aX uchun a * a sharti bajarilmasa, X dagi ikkilik munosabat antirefleksiv deyiladi:

(a, a) ko‘rinishdagi juftlardan tashkil topgan X to‘plamdagi munosabatni I x bilan belgilang, bunda a X:

I x = ((a, a)|aX).

Ix munosabati odatda X to‘plamning diagonali yoki X bo‘yicha o‘ziga xoslik munosabati deb ataladi.

Shubhasiz, agar X diagonali I x to'plamning kichik to'plami bo'lsa, X to'plamidagi munosabat refleksli hisoblanadi:

Agar diagonali I x va b munosabati umumiy elementga ega bo'lmasa, munosabat aks-reflektor hisoblanadi:

• 3. X to‘plamdagi ikkilik munosabat simmetrik deyiladi, agar a * b b * a ni nazarda tutsa:
  • (a, bX)(a*b b*a).

Simmetrik munosabatlarga misollar:

chiziqlar to'plamidagi perpendikulyarlik munosabati;

aylanalar to'plamidagi teginish munosabati;

odamlar to'plamida "o'xshash bo'lish" munosabati;

hayvonlar to'plamida "bir xil jinsga ega" nisbati.

Barcha odamlar to'plamidagi "x birodar y" munosabati nosimmetrik emas. Shu bilan birga, erkaklar to'plamidagi "x birodar y" munosabati simmetrikdir.

Simmetrik munosabat grafigida x cho'qqidan y cho'qqigacha bo'lgan har bir yoy uchun y dan x gacha bo'lgan yoy mavjud. Shuning uchun simmetrik munosabatlarni qirralari yo'naltirilmagan grafiklar bilan ifodalash mumkin. Bunda xy va yx yo'naltirilgan qirralarning har bir jufti bitta yo'naltirilmagan chekka bilan almashtiriladi.

8-rasmda munosabatlar ko'rsatilgan

b= ((a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (d, c))

yo'naltirilgan va yo'naltirilmagan grafiklardan foydalanish.

Guruch. sakkiz.

Simmetrik nisbat matritsasi asosiy diagonalga nisbatan simmetrikdir.

Teorema: Har qanday simmetrik munosabatlar oilasining birlashishi va kesishishi yana simmetrik munosabatlardir.

Ta'rif. X to'plamdagi ikkilik munosabat antisimmetrik deyiladi, agar har xil a va b elementlar uchun a * b va b * a shartlar bir vaqtda bajarilmasa:

(a, bX) (a * b & b * a a = b).

Masalan, natural sonlar to‘plamidagi “bo‘linadi” munosabati antisimmetrikdir, chunki a b va b a dan a = b degan xulosa kelib chiqadi. Biroq, butun sonlar to'plamida "bo'lish" munosabati antisimmetrik emas, chunki (-2) 2, 2 esa (-2) emas, balki -22.

Odamlar to'plamida "yuqori", "og'irroq", "kattaroq" munosabatlari antisimmetrikdir. Hamma odamlar to'plamidagi "singil bo'lish" munosabati antisimmetrik emas.

Antisimmetrik munosabat grafigida ikkita alohida cho'qqi ko'pi bilan bitta yoy bilan bog'lanishi mumkin.

Ta'rif 3.5. X to‘plamdagi ikkilik a munosabati o‘tishli deb ataladi, agar a*b va b*c dan har qanday uchta a, b, c X element uchun a*c dan keyin bo‘lsa:

(a, b, cX) (a*b & b*c a*c).

O'tish munosabatlariga misollar:

munosabat haqiqiy sonlar to'plamiga "bo'linadi";

haqiqiy sonlar to'plamidagi "kattaroq" munosabati;

o'yinchoq odamlar to'plamida "katta" munosabat;

bolalar o'yinchoqlari to'plamida "bir xil rangga ega bo'lish" munosabati;

e) odamlar to'plamidagi "avlod bo'lish" munosabati.

"Vassal bo'lish" feodal munosabatlari o'tish davri emas. Ayrim tarix kitoblarida bu alohida ta’kidlangan: “Mening vassalomning vassali mening vassalim emas”.

Odamlar to'plamidagi "o'xshash bo'lish" munosabati o'tish xususiyatiga ega emas.

Ixtiyoriy munosabat uchun minimal o'tish munosabatini topish mumkin, shundayki ab. Bunday munosabat munosabatning tranzitiv yopilishidir.

3.1-misol. "Bola bo'lish" odamlar to'plamidagi ikkilik munosabatning o'tishli yopilishi "avlod bo'lish" munosabatidir.

Teorema to'g'ri.

3.2 teorema. Har qanday munosabat uchun tranzitiv yopilish barcha tranzitiv munosabatlarning kesishmasiga teng, shu jumladan kichik to'plam sifatida.

Ta'rif 3.6. X to'plamdagi ikkilik munosabat bog'langan deb ataladi, agar har qanday ikkita alohida a va b element uchun a*b yoki b*a sodir bo'lsa:

(a, b, cX)(ab a*b b*a).

Haqiqiy sonlar to‘plamidagi “kattaroq” munosabati bog‘langan munosabatga misol bo‘la oladi. Butun sonlar to'plamida "bo'linadi" munosabati bog'lanmagan.

4. Munosabatlarning invariantligi

Ushbu bo'limda biz ular ustida operatsiyalar bajarilganda munosabatlarning ma'lum xususiyatlari saqlanib qoladigan ba'zi holatlarni sanab o'tamiz.

4.4 teorema. Simmetrik munosabatlar mahsuloti simmetrik bo'lishi uchun munosabatlar va o'zaro almashish zarur va etarlidir.

Ekvivalentlik munosabati

Ikkilik munosabatning muhim turi ekvivalentlik munosabatidir.

Ta'rif 1. X to'plamdagi ikkilik munosabat, agar u refleksiv, simmetrik va o'tishli bo'lsa, X to'plamidagi ekvivalentlik munosabati deyiladi.

Ekvivalentlik munosabati ko'pincha ~, bilan belgilanadi.

Ekvivalentlik munosabatlariga misollar:

Identifikatsiya munosabati I X = ((a, a)|aX) bo'sh bo'lmagan X to'plamda;

tekislikning to'g'ri chiziqlar to'plamidagi parallellik munosabati;

tekislik figuralari to'plami bo'yicha o'xshashlik munosabati;

tenglamalar to'plami bo'yicha ekvivalentlik munosabati;

butun sonlar to'plamida "qat'iy natural son m ga bo'linganda bir xil qoldiqlarga ega bo'lish" munosabati. Bu munosabat matematikada solishtirma moduli m munosabati deyiladi va ab (mod m) bilan belgilanadi;

hayvonlar to'plamiga "bir turga tegishli" munosabati;

odamlar to'plamida "qarindosh bo'lish" munosabati;

ko'p odamlarga "bir xil balandlikda bo'lish" munosabati;

odamlar to'plamida "bir uyda yashash" munosabati.

Odamlar to'plamidagi "bir ko'chada yashash", "o'xshash bo'lish" munosabatlari ekvivalentlik munosabatlari emas, chunki ular tranzitivlik xususiyatiga ega emas.

Ikkilik munosabatlarning yuqoridagi xossalaridan kelib chiqadiki, ekvivalent munosabatlarning kesishishi ekvivalentlik munosabatidir.

Ekvivalentlik sinflari

To'plamning sinflarga bo'linishi ekvivalentlik munosabati bilan chambarchas bog'liq.

Ta'rif 1. Bo'sh bo'lmagan kichik to'plamlar tizimi

(M 1, M 2, …)

M to'plamning bo'limi bu to'plamning bo'limi deyiladi, agar

M 1, M 2, … to‘plamlarning o‘zlari berilgan bo‘limning sinflari deyiladi.

Bo'linishlarga misollar:

barcha ko'pburchaklarni uchlari soniga ko'ra guruhlarga ajratish - uchburchaklar, to'rtburchaklar, beshburchaklar va boshqalar;

barcha uchburchaklarni burchaklarning xususiyatlariga ko'ra bo'lish (o'tkir burchakli, to'rtburchaklar, o'tkir burchakli);

tomonlarning xususiyatlariga ko'ra barcha uchburchaklarni bo'lish (skalen, teng yonli, teng yonli);

barcha uchburchaklarni o'xshash uchburchaklar sinflariga bo'lish;

ma'lum bir maktabning barcha o'quvchilari to'plamini sinflarga bo'lish.

Ekvivalentlik munosabatlarining zamonaviy fanda keng qo‘llanilishi har qanday ekvivalentlik munosabati o‘zi aniqlangan to‘plamni sinflarga bo‘lishi, odatda yangi ob’ektlar sifatida qabul qilinishi bilan bog‘liq. Boshqacha aytganda, ekvivalentlik munosabatlari yordamida yangi ob'ektlar, tushunchalar hosil bo'ladi.

Misol uchun, nurlarning ko'p yo'naltirilganligi munosabati tekislik yoki fazoning barcha nurlari to'plamini ko'proq yo'naltirilgan nurlar sinflariga ajratadi. Ushbu nurlar sinflarining har biri yo'nalish deb ataladi. Shunday qilib, intuitiv yo'nalish tushunchasi ekvivalentlik munosabati yordamida nurlar to'plamini bo'lish sinfi sifatida aniq matematik tavsifni oladi.

Shunga o'xshash raqamlar odatda bir xil shaklga ega deb aytiladi. Ammo geometrik shaklning shakli qanday? Bu kabi raqamlarni birlashtirgan umumiy narsa ekanligi intuitiv ravishda aniq. Ekvivalentlik munosabati yordamida bu intuitiv tushunchani aniq matematikaga aylantirish mumkin. O'xshashlik munosabati ekvivalentlik munosabati bo'lib, raqamlar to'plamini o'xshash figuralar sinflariga ajratadi. Har bir bunday sinfni forma deb atash mumkin. Keyin "ikki bir xil figura bir xil shaklga ega" iborasi "ikki o'xshash figura bir xil shaklga tegishli" degan aniq ma'noga ega.

Ekvivalentlik munosabatlari to'plamlar sinflarga bo'lingan hamma joyda sodir bo'ladi. Biz ularni ko'pincha tushunmasdan ishlatamiz.

Keling, oddiy misolni olaylik. Bolalar turli rangdagi o'yinchoqlar (masalan, Gyenesch bloklari) bilan o'ynaganda va o'yinchoqlarni ranglarga ajratish masalasini hal qilganda, ular "bir rangga ega" munosabatidan foydalanadilar. Olingan bir rangli figuralarning sinflari bolalar tomonidan yangi tushunchalar sifatida qabul qilinadi: qizil, sariq, ko'k va boshqalar.

Xuddi shunday, bloklarni shaklga ko'ra parchalash muammosini hal qilish natijasida bolalar sinflarni oladilar, ularning har biri shakl sifatida qabul qilinadi: to'rtburchaklar, dumaloq, uchburchaklar va boshqalar.

M to‘plamda aniqlangan ekvivalentlik munosabatlari va M to‘plamning sinflarga bo‘linishi o‘rtasidagi bog‘lanishlar quyidagi ikkita teoremada tasvirlangan.

1-teorema Bo'sh bo'lmagan M to'plamining sinflarga bo'linishi ushbu to'plamdagi ekvivalentlik munosabatini shunday belgilaydi (induktsiya qiladi):

bir sinfning har qanday ikkita elementi o'zaro bog'liq;

turli sinflarning har qanday ikkita elementi bog'liq emas. Isbot. Bo'sh bo'lmagan M to'plamning qandaydir bo'limi bo'lsin. Ikkilik munosabatni quyidagicha aniqlaymiz: xay(K)(xK&yK).

Ya'ni, M to'plamdagi ikkita x va y a elementi, agar bo'limda bir vaqtning o'zida x va y elementlarni o'z ichiga olgan K sinf mavjud bo'lsa, munosabat bilan bog'lanadi.

Shu tarzda belgilangan munosabatlar, shubhasiz, refleksiv va simmetrikdir. Munosabatning tranzitivligini isbotlaylik. x*y va x*z boʻlsin. Keyin, ta'rifga ko'ra, x, yK 1 va y, zK 2 bo'lgan K 1 va K 2 sinflari mavjud. Bo'limdagi turli sinflar umumiy elementlarga ega bo'lmagani uchun K 1 = K 2, ya'ni x, z K 1 . Shuning uchun isbotlanishi kerak bo'lgan x*z.

Teorema 2. Bo'sh bo'lmagan M to'plamdagi har qanday ekvivalentlik munosabati ushbu to'plamning ekvivalent sinflarga bo'linishini hosil qiladi, shundayki bir sinfning har ikki elementi o'zaro bog'liqdir;

turli sinflarning har qanday ikkita elementi bog'liq emas.

Isbot. M to‘plamda b qandaydir ekvivalentlik munosabati bo‘lsin. X elementining har bir elementiga M to‘plamning x elementi bilan bog‘liq bo‘lgan barcha y elementlaridan iborat [x] kichik to‘plamini belgilaymiz:

[x] kichik to'plamlar tizimi M to'plamining bir qismini tashkil qiladi. Darhaqiqat, birinchi navbatda, har bir kichik to'plam [x]O, chunki x[x] munosabatining refleksivligi tufayli.

Ikkinchidan, ikki xil kichik to'plamlar [x] va [y] umumiy elementlarga ega emas. Aksincha, biz z[x] va z[y] bo'ladigan z elementining mavjudligini taxmin qilamiz. Keyin zax va zay. Demak, a* x, z*x va z*y dan har qanday a[x] element uchun munosabatning simmetriyasi va tranzitivligi tufayli a*y, ya’ni a[y] keladi. Demak, [x][y]. Xuddi shunday, biz [y][x] ni olamiz. Olingan ikkita inklyuziya [x] = [y] tengligini bildiradi, bu [x] va [y] kichik to'plamlari mos kelmaydi degan taxminga zid keladi. Shunday qilib, [x]y] = O.

Uchinchidan, barcha kichik to'plamlarning birlashishi [x] M to'plamga to'g'ri keladi, chunki har qanday xM element uchun x[x] sharti bajariladi.

Shunday qilib, [x] kichik to'plamlar tizimi M to'plamning bo'limini tashkil qiladi. Tuzilgan bo'lim teorema shartlarini qondirishini ko'rsatish oson. M to‘plamning teoremada ko‘rsatilgan xossalarga ega bo‘lgan bo‘limi M to‘plamning munosabatga nisbatan omillar to‘plami deyiladi va M/b bilan belgilanadi.