Երկուական հարաբերություններ եւ դրանց հատկությունների լուծման օրինակներ: Երկուական հարաբերություններ: Երկուական հարաբերությունների օրինակներ: Երկուական հարաբերություններ եւ դրանց հատկություններ

Ոչ կոկիկ կարգի հարաբերությունների համար.

Հ.X. - True շմարիտ (ռեֆլեքսիվիա);

hu and wow x \u003d- (հակասիմետրիա);

x y եւ z x x Z- (տրանսֆորմացիա):

Շատ X.կոչվում է պատվիրված, եթե որեւէ երկու տարր Հ.մի քանազոր Կ.Այս հավաքածուն համեմատելի է, այսինքն, եթե դրանց համար կատարվում է պայմաններից մեկը. Հ.< Դու, Հ.= u, W:< x.

Պատվիրված հավաքածուն կոչվում է շղարշ: Ընդհանուր առմամբ, Tuple- ը տարրերի հաջորդականությունն է, այսինքն, տարրերի շարք, որոնցում յուրաքանչյուր տարր ամբողջովին որոշակի տեղ է գրավում: Պատվիրված հավաքածուի տարրերը կոչվում են շղարշի բաղադրիչներ: Cortex- ի օրինակները կարող են լինել թվաբանության կամ երկրաչափական առաջնության կարգադրված հաջորդականություն, տեխնոլոգիական արտադրանքի արտադրության տեխնոլոգիական գործառնությունների հաջորդականություն, տպագիր տպատախտակի տեղադրման դիրքի կարգադրվող հաջորդականությունը կառուցվածքային տարրերի տեղադրման կարգի:

Այս բոլոր հավաքածուներում յուրաքանչյուր տարրի տեղը լիովին սահմանված է եւ չի կարող կամայականորեն փոխվել:

Համակարգիչների վերաբերյալ դիզայնի մասին տեղեկատվությունը մշակելիս հաճախակի օգտագործումը: Նրանք ասում են դա xxգերակշռում է uxայսպես x \u003e\u003e y,Եթե \u200b\u200bտարրը Հ.Ինչ-որ բանի մեջ (գերակա խնդիր ունի) տարր Կ.նույն հավաքածուից: Օրինակ, տակ Հ.Կարող եք հասկանալ տվյալների ցուցակներից մեկը, որը պետք է ստացվի նախ մշակման համար: Մի քանի rea կոնստրուկցիաներ վերլուծելիս նրանցից ոմանք պետք է առաջնահերթություն տրվեն, քանի որ այս դիզայնը լավագույնն ունի, մեր տեսանկյունից, հատկություններ, քան մյուսները, ձեւավորում Հ.Գերիշխում է դիզայնը յ

Տրանզիտականության գույքը տեղ չունի: Իսկապես, եթե, օրինակ, դիզայնը Հ.Ցանկացած պարամետրերի համար նախընտրելի ձեւավորում յ,Եւ դիզայն Կ.Համաձայն ցանկացած այլ պարամետրերի, նախընտրում են Z ձեւավորումները, այնուհետեւ այն դեռ չի հետեւում ձեւերին Հ.Պետք է նախապատվություն տրվի նախագծման համեմատ Գամասեղ

Display ուցադրել հավաքածուներ: Սահմանված տեսության հիմնական հասկացություններից մեկը ցուցադրման հայեցակարգն է: Եթե \u200b\u200bնշված են երկու ոչ դատարկ հավաքածու X.մի քանազոր Յ,Այնուհետեւ օրենքը, որի համաձայն յուրաքանչյուր տարր x X.Ներդրեք տարրի համապատասխանությանը , կոչվում է միանշանակ քարտեզագրում X.մեջ Յ.կամ X- ում սահմանված գործառույթ եւ ստացման արժեքը Յ.

Գործնականում անհրաժեշտ է գործ ունենալ հավաքածուների բազմաշերտ քարտեզներով X.Հավաքածուի վրա Յ,որոնք սահմանում են օրենքը ըստ որի յուրաքանչյուր տարր xxհամահունչ դնել որոշ ենթաբազմության հետ , կոչվում է իրերի իրերը: Դեպքեր հնարավոր են, երբ Gh \u003d 0:

Թող տրվի որոշ ենթաբազմություն ԿԱՑԻՆ.Յուրաքանչյուրի համար Հաճանապարհ Հ.ենթաբազմություն է . Բոլոր տարրերի համադրություն Յ,պատկերներ են բոլորի համար x in aՊահանջել ձեւի ձեւ ԲայցԵւ մենք կուղարկենք Հա:Այս դեպքում

Երկուական հարաբերություններ:

Թող Ա-ն եւ Բ-ն լինեն կամայական հավաքածուներ: Վերցրեք մեկ տարր յուրաքանչյուր հավաքածուից, իսկ A, B- ից B- ից եւ դրանք գրեք այսպես. (Նախ, առաջին հավաքածուի տարրը, այնուհետեւ `երկրորդ հավաքածուի տարրը, այսինքն, մենք կարեւոր ենք այն կարգի համար, որով տարվում են տարրերը): Նման օբյեկտ կկոչվի Պատվիրված զույգ. Հավասար Մենք կքննարկենք միայն այն զույգերը, որոնք ունեն նույն թվերով տարրեր, հավասար են: = Եթե \u200b\u200bA \u003d C եւ B \u003d D: Ակնհայտ է, որ եթե ≠ b, ապա ≠ .

Cartesian աշխատանք Կամայական հավաքածուները A եւ B (նշվում են. AB), որը կոչվում է մի շարք, որը բաղկացած է բոլոր հնարավոր պատվիրված գոլորշուց, որի առաջին տարրը պատկանում է A- ին, իսկ երկրորդը `AB \u003d ( | AA եւ BB): Ակնհայտ է, որ եթե ≠ b, ապա AB ≠ BA: Cartesovo Սահմանել ինքն իրեն նշված N Times cartesian աստիճանի Ա (նշում է. A N):

Օրինակ 5. Թող A \u003d (x, y) եւ b \u003d (1, 2, 3):

Ab \u003d ( , , , , , }.

Ba \u003d (<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

AA \u003d A 2 \u003d ( , , , }.

BB \u003d B 2 \u003d (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

Երկուական վերաբերմունք Սահմանված մ-ի վրա հավաքածուի որոշ տարրերի մի շարք որոշ պատվիրված զույգեր, եթե r- ն է երկուական վերաբերմունք եւ գոլորշի Պատկանում է այս հարաբերություններին, ապա գրեք. R կամ x r y. Ակնհայտ է, որ r í m 2:

Օրինակ 6. Սահմանել (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) Երկուական վերաբերմունք է հավաքածուի վերաբերյալ (1, 2, 3, 4, 5):

Օրինակ 7. Ամբողջ թվերի բազմազանության հարաբերակցությունը երկուական վերաբերմունք է: Սա պատվիրված զույգերի անսահման շարք է որտեղ x ³ y, x եւ y- ն ամբողջ թվեր են: Այս հարաբերությունը պատկանում է, օրինակ, զույգեր<5, 3>, <2, 2>, <324, -23> եւ չեն պատկանում զույգերին<5, 7>, <-3, 2>.

Օրինակ 8. Հավասարության հարաբերակցությունը Սահմանված A- ի վրա երկուական հարաբերակցություն է. I A \u003d ( | x î ա): Ես կոչվում եմ Անկյունագիծ Սեզնում Ա.

Քանի որ երկուական հարաբերությունները սահմանում են, դրանք կիրառելի են Ասոցիացիայի, խաչմերուկի, լրացումների եւ տարբերությունների գործողությունների համար:

Սահմանման տարածք Երկուական հարաբերակցությունը կոչվում է Set D (r) \u003d (x | Նման Y- ն է, որ xry): Արժեքների տարածքը Երկուական հարաբերակցությունը կոչվում է Set R (r) \u003d (y | Նման Xry):

Հարաբերություն հակադարձ Երկուական հարաբերակցությանը r í m 2, կոչվում է երկուական Ratio R -1 \u003d ( | Î r). Ակնհայտ է, որ D (r -1) \u003d r (r), r (r -1) \u003d D (r), r - 1 í m 2:

Կոմպոզիցիա Երկուական հարաբերություններ R 1 եւ R 2-ը սահմանված մետրով նշված է, որոնք կոչվում են երկուական հարաբերակցման r 2 o r 1 \u003d ( | Կա այդպիսին Î r 1 եւ Í 2): Ակնհայտ է, որ r 2 o r 1 í m 2:

Օրինակ 9. Թող R- ի երկուական հարաբերակցությունը թողեք M \u003d (A, B, C, D), r \u003d ( , , , ): Այնուհետեւ D (r) \u003d (a, c), r (r) \u003d (b, c, d), r -1 \u003d ( , , , ), R o r \u003d ( , , , ), R -1 o r \u003d ( , , , ), R o r -1 \u003d ( , , , , , , }.

Թող r- ը լինի երկուական վերաբերմունք սահմանված Մ.-ի վրա, Ratio r- ը կոչվում է ԱրտացոլողԵթե \u200b\u200bx r x ցանկացած x î M.- ի համար Ratio r- ը կոչվում է ՍիմետրիկԵթե \u200b\u200bյուրաքանչյուր զույգի հետ Այն պարունակում է զույգ , Ratio r- ը կոչվում է անցողականԵթե \u200b\u200bայն փաստից, որ x r y- ը եւ y r- ն հետեւում են այդ x r z- ին: Ratio r- ը կոչվում է ՀակամիմետրիկԵթե \u200b\u200bայն միեւնույն ժամանակ զույգ չի պարունակում մի քանազոր Տարբեր տարրեր X ¹ Y Սահմանել Մ.

Մենք նշում ենք այս հատկությունները կատարելու չափանիշները:

Երկուական հարաբերակցությունը R- ի վրա ռեֆլեկտիվորեն ռեֆլեկտիվորեն եւ միայն այն դեպքում, եթե ես մ.

Երկուական հարաբերակցությունը սիմետրիկորեն է այնուհետեւ եւ միայն եթե r \u003d r -1:

Սահմանված M- ի երկուական հարաբերակցությունը հակասիմետրիկ է, եթե եւ միայն եթե r ç r -1 \u003d i m:

Երկուական հարաբերակցությունը r- ն անցումային դեպքում է, եթե եւ միայն եթե R O r- ն է:

Օրինակ 10. 6-ի օրինակի հարաբերակցությունը հակասիմետրիկ է, բայց սիմետրիկ, ռեֆլեքսիվ եւ անցումային չէ: 7-ի օրինակի հարաբերակցությունը ռեֆլեկտիվ, հակասիմետրիկ եւ անցումային է, բայց սիմետրիկ չէ: Համապատասխանությունը I A- ն ունի տվյալ բոլոր չորս հատկությունները: R-R -1 O r եւ r o r -1- ը սիմետրիկ են, անցումային, բայց չեն հակասիմետրիկ եւ ռեֆլեքսիվ:

Հարաբերություն Համարժեքություն Սահմանված մ-ը կոչվում է Montinitial, սիմետրիկ եւ ռեֆլեքսիվ `երկու երկուական վերաբերմունքով:

Հարաբերություն Մասնակի կարգ Սահմանված մ-ն կոչվում է Monsitive, Antisymmetric եւ Reflexive M Երկուական հարաբերակցության R.

Օրինակ 11. 7-ի օրինակի հարաբերակցությունը մասնակի կարգի հարաբերակցություն է: Համեմատությունը I A- ն համարժեքության եւ մասնակի կարգի հարաբերությունն է: Ուղղակի շարքի զուգահեռության հարաբերակցությունը համարժեքության հարաբերակցությունը է:

Հարաբերությունների հատկությունները.

1) ռեֆլեքսիվություն.

2) սիմետրիա;

3) տրանսֆորմացիա:

4) կապելը:

Վերաբերմունք Ռ. Հավաքածուի վրա Հ. կոչված ռեֆլեկտիվ Եթե \u200b\u200bհավաքածուի յուրաքանչյուր տարրի մասին Հ. Կարելի է ասել, որ դա կապված է Ռ. Ինքս ինձ հետ. Հ.Rx. Եթե \u200b\u200bհարաբերակցությունը ռեֆլեկտիվ է, ապա յուրաքանչյուր եզրագծում կա հանգույց: Եվ հետեւից, գրաֆիկը, որի յուրաքանչյուր եզրը հանգույց է պարունակում, ռեֆլեկտիվ հարաբերությունների գծապատկեր է:

Ռեֆլեկտիվ հարաբերությունների օրինակներն են, եւ «բազմակի» հարաբերակցությունը բնական թվերի շարքի (յուրաքանչյուր թվաքանակի յուրաքանչյուր քանակի) եւ եռանկյունների նմանության վերաբերմունքը (յուրաքանչյուր եռանկյունի նման է իրեն) եւ «հավասարության վերաբերմունքը»: "(յուրաքանչյուր համար հավասարապես) եւ մյուսները:

Կան հարաբերություններ, որոնք չունեն ռեֆլեքսիվության հատկություն, օրինակ, հատվածների ուղղահայացության հարաբերակցությունը. ab, ba. (Մի սեգմենտ չկա, որը կարելի է ասել, որ նա ինքն իրեն ուղղահայաց է) . Հետեւաբար, այս հարաբերությունների սյունակի վրա չկա մի հանգույց:

Չունի ռեֆլեկտիվության սեփականություն եւ «ավելի երկար» հարաբերակցությունը «ավելի երկար», բնական թվերի համար, եւ այլն:

Վերաբերմունք Ռ. Հավաքածուի վրա Հ.կոչված ԱնտիրափլխիկԵթե \u200b\u200bհավաքածուից որեւէ տարրի համար Հ.Միշտ կեղծ Հ.Rx: .

Կան վարկանիշներ, որոնք ոչ ռեֆլեքսիվ են, ոչ էլ հակառֆելի: Նման հարաբերությունների օրինակ է վերաբերմունքը »կետը Հ. Սիմետրիկ կետ Կ.Առնչվող Լ.", Որը նշված է ինքնաթիռի կետերի շարքում: Իսկապես, բոլոր կետերը ուղղակի են Լ. սիմետրիկ ինքներս մեզ եւ մի կետեր, որոնք չեն ստում ուղիղ Լ, Մենք ինքներս սիմետրիկ չեն:

Վերաբերմունք Ռ.Հավաքածուի վրա Հ. կոչված Սիմետրիկ, Եթե \u200b\u200bպայմանը բավարարված է. Ինչն է տարրից Հ. փոխվում է տարրի հետ յ., հետեւում է, որ տարրը յ. Տեղակայված է աջ կողմում Ռ. տարրի x:xryyrx:

Սիմետրիկ հարաբերությունների գծապատկերն ունի հետեւյալ հատկությունը. Յուրաքանչյուր սլաքի հետ միասին Հ. դեպի յ., գրաֆիկը պարունակում է նետում յ. դեպի Հ. (Նկար 35):

Սիմետրիկ հարաբերությունների օրինակներ կարող են լինել հետեւյալը. Սեգմենտների «զուգահեռության» հարաբերակցությունը, հատվածների «ուղղահայացության» հարաբերակցությունը, հատվածների «հավասարության» հարաբերակցությունը, եռանկյունների նմանության հարաբերակցությունը, «հավասարության» հարաբերակցությունը Կոտորակներ եւ այլն:

Կան հարաբերություններ, որոնք սիմետրիայի սեփականություն չունեն:

Իսկապես, եթե հատվածը Հ. Երկար կտրվածք Կ., ապա կտրեք Կ. չի կարող ավելի երկար հատված լինել Հ., Այս հարաբերությունների գծապատկերն ունի առանձնահատկություն. Վերգետնին միացնող սլաքը ուղղված է միայն մեկ ուղղությամբ:

Վերաբերմունք Ռ. Զանգահարել ՀակամիմետրիկԵթե \u200b\u200bցանկացած տարրերի համար Հ. մի քանազոր յ.tr շմարտությունից ԼուրԿեղծ հետեւում է yRX :: Xryyrx.

Բացի «ավելի երկար», հատվածների շարքում, կան այլ հակասիմետրիկ հարաբերություններ: Օրինակ, համարների համար «ավելին» հարաբերակցությունը (եթե Հ. ավելի շատ Կ.Շոշափել Կ. չի կարող լինել ավելին Հ.), «ավելին» հարաբերակցությունը եւ մյուսները:

Կան հարաբերություններ, որոնք չունեն սիմետրիայի գույք, ոչ էլ հակասիմետրիկության ունեցվածքը:

Ratio r հավաքածուի վրա Հ.Զանգահարել անցողական Եթե \u200b\u200bայն փաստից, որ տարրը Հ. Տեղակայված է աջ կողմում Ռ. տարրի յ, Եւ տարր յ. Տեղակայված է աջ կողմում Ռ. տարրի Զ., Հետեւում է, որ տարրը Հ. Տեղակայված է աջ կողմում Ռ. տարրի Զ.: Լուր մի քանազոր yRZxrz.

Անցումային հարաբերությունների քանակը յուրաքանչյուր զույգ նետերի հետ Հ. դեպի յ. եւ յ. դեպի Զ., Այն պարունակում է նետում Հ.դեպի զ.

Տրանզֆորմացիայի հարաբերությունները «ավելի երկար» հարաբերակցությունը ունեն հատվածների շարքում. Եթե հատվածը բայց Երկար կտրվածք Բ, Բաժին ԲԵրկար կտրվածք դեպի, ապա կտրեք բայցԵրկար կտրվածք ից Սեգմենտների հավաքածուի «հավասարության» հարաբերակցությունը ունի նաեւ տրանսֆորմացիայի հատկություն. (A \u003d.b, B \u003d C) (A \u003d C):

Կան հարաբերություններ, որոնք տրանսֆորմացիայի սեփականություն չունեն: Նման վերաբերմունքը, օրինակ, ուղղահայացության վերաբերմունքը. Եթե հատվածը բայց Ուղղահայաց հատվածը Բեւ կտրել Բ Ուղղահայաց հատվածը դեպի, ապա հատվածներ բայց մի քանազոր դեպի Ոչ թե ուղղահայաց:

Կա հարաբերությունների մեկ այլ սեփականություն, որը կոչվում է կապվածության հատկություն, եւ նրանց տիրապետող վերաբերմունքը կոչվում է կապված:

Վերաբերմունք Ռ. Հավաքածուի վրա Հ. կոչված հարակից Եթե \u200b\u200bցանկացած տարրերի համար Հ. մի քանազոր յ. Այս հավաքածուից մի պայման է բավարարվում. Եթե Հ. մի քանազոր յ. տարբեր, ապա նույնպես Հ. Տեղակայված է աջ կողմում Ռ. տարրի յ.կամ տարր յ. Տեղակայված է աջ կողմում Ռ. տարրի Հ., Նիշերի օգնությամբ այն կարելի է գրել որպես. xY. Լուր կամ yRX.

Օրինակ, հարաբերությունների ունեցվածքը «Ավելին» ունի բնական համարների համար. X եւ Y- ի ցանկացած տարբեր համարների համար, այն կարելի է վիճել կամ x\u003e Y.կամ y\u003e x.

Համակցված հարաբերությունների սյունակում ցանկացած երկու ուղղաձիգ է միացված սլաքի հետ: Արդար եւ հակադարձ հայտարարություն:

Կան հարաբերություններ, որոնք կապված չեն կապվածության ունեցվածքին: Նման վերաբերմունքը, օրինակ, բնական թվերի մի շարք բաժանարարության կապն է. Դուք կարող եք զանգահարել նման թվեր X եւ յ.Ոչ մի համար Հ.բաժանարար համարը չէ յ.ոչ մի թիվ յ. բաժանարար համարը չէ Հ.(Համարներ 17 մի քանազոր 11 , 3 մի քանազոր 10 եւ այլն) .

Դիտարկենք մի քանի օրինակներ: Հավաքածուի վրա X \u003d (1, 2, 4, 8, 12) Հարաբերակցությունը »համարը Հ.Ներկերի համարը յ.Թեժ Մենք կառուցում ենք այս հարաբերությունների գրաֆիկը եւ ձեւավորում դրա հատկությունները:

Խոսում է խմբակցությունների հավասարության հարաբերակցությունը, դա համարժեքության հարաբերակցություն է:

Վերաբերմունք Ռ. Հավաքածուի վրա Հ. կոչված համարժեքության կապ Եթե \u200b\u200bայն միաժամանակ ունի ռեֆլեքսիվության, սիմետրիայի եւ տրանզիտիվության հատկություն:

Համապատասխանության փոխհարաբերությունների օրինակներ են. Երկրաչափական գործիչների հարաբերությունները, ուղղակի զուգահեռության հարաբերակցությունը (պայմանով, որ համընկնում է հետաձգման գծերը զուգահեռ):

«Ֆրակցիաների հավասարության» հարաբերակցության մեջ, շատերը Հ.ներխուժել է երեք ենթաբաժանման. ( ; ; }, {; } , (): Այս ենթաբազմությունները չեն հատվում, եւ նրանց ասոցիացիան համընկնում է շատերի հետ Հ., Մենք ունենք բազմաթիվ դասերի պառակտում:

Այսպիսով, Եթե \u200b\u200bհամարժեքության գործակիցը նշված է Սահմանված X- ում, այն ստեղծում է այս սահմանածի պառակտումը զուգահեռ ենթադրյալ ենթադրություններով `համարժեքության դասեր:

Այնպես որ, մենք գտանք, որ հավասարության հարաբերությունը սահմանված է
Հ.\u003d (;;;;;) համապատասխանում է այս հավաքածուի բաժանումին համարժեք դասերի վրա, որոնցից յուրաքանչյուրը բաղկացած է հավասար ֆրակցիաներից:

Որոշակի հավասարության հետ դասերի բաժանման սկզբունքը մաթեմատիկայի կարեւոր սկզբունք է: Ինչու

Նախ, համարժեքը համարժեք է, փոխանակելի: Հետեւաբար, համարժեքության մեկ դասի տարրերը փոխանակելի են: Այսպիսով, կոտորակը, որը մեկ համարժեքության դասի մեջ էր (; ;;), Անհամապատասխանեցրեք հավասարության եւ խմբակցության հարաբերությունների առումով Օրինակ, կարող է փոխարինվել մեկ ուրիշով . Եվ այս փոխարինումը չի փոխի հաշվարկների արդյունքը:

Երկրորդ, քանի որ համարժեքության դասում դա տարրեր են, որոնք տարբերվում են որոշ հարաբերությունների տեսանկյունից, կարծում են, որ համարժեքության դասը որոշվում է ցանկացած ներկայացուցչի կողմից, այսինքն: Դասի կամայական տարր: Այսպիսով, կարող է սահմանվել հավասար ֆրակցիաների ցանկացած դաս, նշելով այս դասին պատկանող ցանկացած կոտորակ: Մեկ ներկայացուցչի համար համարժեքության դասը թույլ է տալիս փոխանակել բոլոր տարրերի, որպեսզի ուսումնասիրեն ներկայացուցիչների հավաքածուն համարժեքության դասերից: Օրինակ, «Ունեցեք նույն թվով ուղղահայացների» համարժեքության հարաբերակցությունը բազմակնությունների շարքում, ստեղծում է սույն բաժանումը եռանկյունների, քառանկյունների, պենտագոնների եւ այլն դասերի վրա: Որոշ դասի բնորոշ հատկությունները դիտարկվում են նրա ներկայացուցչի մեկում:

Երրորդ, նոր հասկացությունների ներդրման համար օգտագործվում է համարժեքության գործակիցը օգտագործվող դասերի բաժանումը: Օրինակ, «Ուղղակի ճառագայթ» հասկացությունը կարող է որոշվել որպես սովորական, որը զուգահեռ ուղղություններ ունի:

Հարաբերությունների մեկ այլ կարեւոր տեսակ կարգի փոխհարաբերություններն են: Հաշվի առեք առաջադրանքը: Հավաքածուի վրա Հ.={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) Հարաբերակցությունը սահմանվում է «նույն մնացորդը բաժանելիս 3 Թեժ Այս վերաբերմունքը ստեղծում է հավաքածուի պառակտում Հ. Դասարաններին. Մեկը կընկնի մեկ թվերի մեջ, երբ բաժանվում է 3 Ստացվում է մնացածը 0 (Սրանք թվեր են 3, 6, 9 ): Երկրորդում `համարը, երբ բաժանվում է 3 Մնացորդում ստացվում է 1 (Սրանք թվեր են 4, 7, 10 ): Երրորդում բոլոր համարները կընկնեն, երբ բաժանվում են 3 Մնացորդում ստացվում է 2 (Սրանք թվեր են 5, 8 ): Իսկապես, արդյունքում ստացված հավաքածուները չեն հատվում, եւ նրանց ասոցիացիան համընկնում է հավաքածուի հետ Հ., Հետեւաբար, վերաբերմունքը «ունի նույն մնացորդը բաժանելու հարցում 3 «Սահմանեք մի հավաքածու Հ.համարժեք փոխհարաբերություններ են:

Վերցրեք եւս մեկ օրինակ. Դասական մի շարք ուսանողներ կարելի է կազմակերպել աճով կամ տարիքով: Նկատի ունեցեք, որ այս հարաբերակցությունը ունի հակասիմետրիայի եւ տրանսֆորմացիայի հատկությունները: Կամ բոլորը գիտեն այբուբենի տառերի կարգը: Այն ապահովում է «Հետեւեք» հարաբերությունը:

Վերաբերմունք Ռ.Հավաքածուի վրա Հ. կոչված խիստ կարգի կապըԵթե \u200b\u200bմիաժամանակ ունի հակասիմետրիկ եւ տարանցիկ հատկություններ: Օրինակ, հարաբերությունը » Հ.< յ.».

Եթե \u200b\u200bհարաբերությունն ունի ռեֆլեկտիվության, հակասիմետրիայի եւ տրանզիտիվության հատկությունները, ապա դա կլինի Ոչ խիստ կարգի վերաբերմունքը, Օրինակ, հարաբերությունը » Հ.յ.».

Պատվերի փոխհարաբերությունների օրինակներ կարող են լինել. «Ավելի քիչ» հարաբերակցությունը բնական թվերի շարքում, «կարճ» հարաբերակցությունը հատվածների շարքում: Եթե \u200b\u200bպատվերի հարաբերակցությունը նույնպես կապված է կապվածության ունեցվածքով, ասում են, որ դա է Հարաբերական գծային կարգ, Օրինակ, «ավելի քիչ» հարաբերակցությունը բնական թվերի շարքում:

Շատ Հ. կոչված պատվիրել Եթե \u200b\u200bնշված է պատվերի հարաբերակցությունը:

Օրինակ, հավաքածուն X \u003d{2, 8, 12, 32 ) Կարող եք ուղղել «ավելի քիչ» հարաբերակցության օգնությամբ (Նկար 41), եւ դուք կարող եք դա անել «բազմակի» հարաբերությունների միջոցով (Նկար 42): Բայց, լինելով կարգի վերաբերմունք, «ավելի քիչ» եւ «ավելի շատ ներկ» հարաբերությունները տարբեր բնական թվեր են կազմակերպում տարբեր ձեւերով: «Ավելի քիչ» հարաբերակցությունը թույլ է տալիս համեմատել երկու թվերի հավաքածուից Հ.Եվ «բազմակի» հարաբերակցությունը չունի նման գույք: Այսպիսով, մի քանի համար 8 մի քանազոր 12 Հարաբերակցությունը «բազմակի» է, կապված չէ. Դա անհնար է ասել 8 եզր 12 կամ 12 եզր 8.

Չի կարելի մտածել, որ բոլոր հարաբերությունները բաժանված են համարժեք հարաբերությունների եւ հարաբերությունների հարաբերությունների: Կա հսկայական թվով ոչ համարժեք փոխհարաբերություններ կամ կարգի փոխհարաբերություններ:

Դիսկրետ մաթեմատիկայի հիմունքներ:

Հավաքածուի հայեցակարգը: Կոմպլեկտների միջեւ փոխհարաբերությունները:

Սեթը հատուկ գույքով առարկաների մի շարք է, որը զուգորդվում է մեկ ամբողջության մեջ:

Օբեկտների բաղադրիչները կոչվում են Տարրեր Սեթ: Որպեսզի որոշ տեղեր հավաքվեն հավաքածու, պետք է կատարվեն հետեւյալ պայմանները.

· Պետք է լինի մի կանոն, որի համար մոնոն որոշում է, արդյոք տարրը պատկանում է այս հավաքածուին:

· Պետք է լինի մի կանոն, որով իրերը կարող են առանձնանալ միմյանցից:

Սեթերը նշվում են մեծատառերով, իսկ տարրերը փոքր են: Կոմպլեկտների տեղադրման մեթոդներ.

· Թվարկեք հավաքածուի տարրերը: - վերջնական հավաքածուների համար:

· Բնութագրական գույքի ցուցում .

Դատարկ հավաքածու - Զանգահարեց մի հավաքածու, որը չի պարունակում որեւէ տարր (ø):

Երկու սեթը կոչվում է հավասար, եթե դրանք բաղկացած են նույն տարրերից: , A \u003d B.

Շատ Բ կոչվում է հավաքածուի ենթաբազմություն Բայց (Այնուհետեւ եւ միայն այն ժամանակ, երբ հավաքածուի բոլոր տարրերը Բ պատկանում են հավաքածուին Ա.

Օրինակ: , Բ =>

Գույք:

Նշում. Սովորաբար հաշվի առեք մեկ եւ այդ E SET- ի ենթաբազմությունը, որը կոչվում է Համընդհանուր (U): Համընդհանուր հավաքածուն պարունակում է բոլոր տարրերը:

Գործողություններ հավաքածուների վրա:

2.Խաչմերուկ 2 հավաքածուները կոչվում են նոր հավաքածու, որը բաղկացած է տարրերից, միաժամանակ պատկանում է առաջին եւ երկրորդ հավաքածուն:

Nr:

Գույք. Համադրման եւ խաչմերուկի գործողություններ:

· Խոհարարություն:

· Ասոցիիզմ: ;

· Բաշխում. ;

Երկուական հարաբերություններ եւ դրանց հատկությունները:

Թե Բայց մի քանազոր Մեջ Սրանք բնության տարբեր ածանցյալ են, հաշվի առեք պատվիրված զույգ տարրեր: (A, B) a ε a, in in in inԿարող եք համարել «Enki» պատվիրվածը:

(1, եւ 2 եւ 3, ... եւ n)որտեղ բայց 1 ε եւ 1; բայց 2 ε եւ 2; ...; բայց Ն. ε եւ n;

Cartesian (ուղիղ) Ա 1, եւ 2, ..., եւ nկոչվում է MN ներս, որը բաղկացած է տեսակների կարգադրված N K- ից:

NR: Տղամարդ= {1,2,3}

M M \u003d M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

DECARTIAN WORKS- ի ենթակայությունը կոչվում է աստիճանի հարաբերակցություն Ն. կամ ENAR- ի հարաբերություն: Եթե Ն.\u003d 2, ապա հաշվի առեք երկուական հարաբերություններ: Ինչ են ասում դա Ա 1, եւ 2-ը երկուական տերմիններով են Ռ.երբ a 1 R A 2.

Երկուական վերաբերմունք հավաքածուի վրա Տղամարդ կոչվում է հավաքածուի ուղղակի արտադրանքի ենթաբազմություն Ն. ինքն իրեն.

M M \u003d M 2= {(Ա, Բ.)| ա, բ ε մ) Նախորդ օրինակում հարաբերակցությունը ավելի քիչ է հավաքածուի վրա Տղամարդ Այն հանգեցնում է հետեւյալ հավաքածուի. ((1,2); (1,3); (2.3))

Երկուական հարաբերությունները տարբեր հատկություններ ունեն, ներառյալ.

· Reflexivity: .

· Antireflexivity (Irreflexusion):

· Սիմետրիա.

· Հակասիմմետրիա.

· Տրանսֆորմացիա.

· Ասիմետրիա.

Հարաբերությունների տեսակները:

· Համարժեքության հարաբերակցությունը;

· Պատվերի հարաբերակցությունը:

v Reflexive Transitive հարաբերությունները կոչվում են քվաս-զենքի հարաբերակցություն:

v Reflexive սիմետրիկ անցումային հարաբերությունները կոչվում են համարժեքության հարաբերակցություն:

v Ռեֆլեքսիվ հակասիմետրիկ անցումային հարաբերությունները կոչվում են (մասնակի) կարգի հարաբերակցություն:

v Antireflexive Antisymmetric Transitive հարաբերությունները կոչվում են խիստ կարգի հարաբերություն:

Ակնհայտ է, որ ընդհանուր առմամբ ուսումնասիրելու կամայական երկուական հարաբերությունները առանձնապես հետաքրքիր չեն, մենք կարող ենք շատ քիչ բան ասել դրանց մասին: Այնուամենայնիվ, եթե հարաբերությունները բավարարում են որոշ լրացուցիչ պայմաններ, ավելի էական հայտարարություններ կարող են արվել դրանց համեմատ: Այս բաժնում մենք կանդրադառնանք երկուական հարաբերությունների հիմնական հատկություններին:

• 1. Սահմանված X- ի երկուական վերաբերմունքը կոչվում է Reflexive, եթե պայմանը բավարարվում է ցանկացած տարրերի կացին:
  • (AX) A * A.

Եթե \u200b\u200bհարաբերակցությունը ներկայացվում է գրաֆիկի միջոցով, ապա այս հարաբերությունների ռեֆլեկտիվությունը նշանակում է, որ յուրաքանչյուր եզրից օղակ չկա:

Ռազմական մատրիցայի օգնությամբ տրված հարաբերությունների համար դրա ռեֆլեքսիվը համարժեք է այն փաստին, որ այս մատրիցայի հիմնական անկյունագծի վրա (իր վերին ձախ անկյունից ցածր աջից եկեք):

2. X- ի երկուական վերաբերմունքը կոչվում է Antireflems- ը, եթե կացինը չմաքրվի A * A- ի վիճակից.

Նշեք I x- ի կողմից սահմանված X- ի հարաբերակցությունը, որը բաղկացած է ձեւի զույգերից (A, A), որտեղ X:

I x \u003d ((a, a) | A x):

IX- ի հարաբերակցությունը սովորաբար կոչվում է X- ի սահմանված X- ի կամ ինքնության գործակիցը X- ում:

Ակնհայտ է, որ սահմանված X- ի նկատմամբ վերաբերմունքը ռեֆլեքսիվ է, եթե անկյունագծային I X- ը սահմանված է.

Անտիրեֆլեքսների հարաբերակցությունը, եթե անկյունագծային I X- ը եւ Ratio B- ն ընդհանուր տարր չունեն.

• 3. Սահմանված X- ի երկուական վերաբերմունքը կոչվում է սիմետրիկ, եթե հետեւի հետեւից. B * A:
  • (A, BX) (A * B B * A):

Սիմետրիկ հարաբերությունների օրինակներն են.

Ուղիղ գծերի շարքում ուղղահայացության վերաբերմունքը.

Հպեք հարաբերակցությունը շրջանակների բազմության վրա.

«Նման է» հարաբերակցությունը մարդկանց հավաքածուի վրա.

«Նույն սեռը» հարաբերակցությունը «նույն սեռը» կենդանիների շարքում:

«X եղբայր Y» հարաբերակցությունը բոլոր մարդկանց հավաքածուի վրա սիմետրիկ չէ: Միեւնույն ժամանակ, տղամարդկանց հավաքածուի «X եղբայր y» հարաբերակցությունը սիմետրիկ է:

Յուրաքանչյուր աղեղի համար սիմետրիկ հարաբերակցության գրաֆիկում Y- ի վերեւից մինչեւ Y- ի վերեւում կա աղեղ, Y- ից X- ից: Հետեւաբար սիմետրիկ հարաբերությունները կարող են ներկայացված լինել ոչ-կողմնորոշված \u200b\u200bկողոսկրներով գծապատկերներով: Այս դեպքում յուրաքանչյուր զույգ կողմնորոշված \u200b\u200bեզրեր XY եւ YX- ը փոխարինվում է մեկ ոչ կողմնորոշված \u200b\u200bեզրով:

Նկար 8-ը ցույց է տալիս վերաբերմունքը

b \u003d ((a, b), (B, A), (B, C), (C, B), (D, C))

Օգտագործելով ուղղված եւ ոչ կողմնորոշված \u200b\u200bգծապատկերներ:

ՆկՂ ութ.

Սիմետրիկ հարաբերությունների մատրիցը սիմետրիկ է հիմնական անկյունագծի համեմատ:

Թեորեմ. Symetric հարաբերությունների ցանկացած ընտանիքի ասոցիացիան եւ խաչմերուկը կրկին սիմետրիկ հարաբերություններ են:

Սահմանում: Սահմանված X- ի վերաբերյալ երկուական վերաբերմունքը կոչվում է հակասիմետրիկ, եթե ցանկացած տարբեր տարրերի համար A եւ B պայմաններ A * B- ն եւ B * A- ն միաժամանակ չեն կատարվում.

(A, BX) (A * B & B * A \u003d B):

Օրինակ, բնական թվերի շարքի «բաժնետոմսերը» հարաբերակցությունը հակասիմետրիկ է, քանի որ այն հետեւում է B եւ B- ից, որ a \u003d բ. Այնուամենայնիվ, ամբողջ թվերի բազմազանության վրա «բաժնետոմսերը» հակասիմետրիկ չեն, քանի որ (-2) 2 եւ 2 (-2), բայց -22):

Հարաբերությունները «վերեւում», «ավելի ծանր», «ավելի հին» հակասիմետրիկ տարբեր մարդկանց վրա: «Քույր լինելը» հարաբերակցությունը բոլոր մարդկանց հավաքածուի վրա հակասիմետրիկ չէ:

Հակասիմետրիկ հարաբերությունների գծապատկերում երկու տարբեր ուղղահայաց կարող են միացված լինել ոչ ավելի, քան մեկ աղեղով:

Սահմանում 3.5. Սահմանված X- ի երկուական հարաբերակցությունը կոչվում է անցումային, եթե ցանկացած երեք տարրերի համար A * B- ից B եւ B * C- ն հետեւում է A * C- ին.

(A, B, C x) (A * B & B * C A * C):

Անցումային հարաբերությունների օրինակներ.

«Բաժնետոմսերը» վավեր թվերի շարքում.

«Ավելին» հարաբերակցությունը վավեր համարների շարքում.

«Ավելի հին» հարաբերակցությունը մարդկանց հավաքածուի վրա խաղալիքների շարքում.

«Նույն գույնը» հարաբերակցությունը երեխաների խաղալիքների շարքում.

ե) «սերունդ լինել» վերաբերմունքը բազմազան մարդկանց վրա:

«Վասալ լինելը» ֆեոդալական վերաբերմունքը անցումային չէ: Մասնավորապես, սա շեշտվում է պատմության որոշ դասագրքերում. «Իմ վասալ վասալը իմ վասալն չէ»:

Մարդկանց հավաքածուի «նման տեսքի» հարաբերակցությունը չունի տրանսֆորմացման հատկություն:

Կամայական հարաբերությունների համար կարող եք գտնել այն նվազագույն անցումային փոխհարաբերությունները, ինչպիսիք են AB- ն: Նման վերաբերմունքը հարաբերությունների անցումային փակումը է:

Օրինակ 3.1. «Երեխա» մարդկանց հավաքածուի երկուական հարաբերությունների անցումային փակումը «սերունդ լինելու» հարաբերակցությունն է:

Արդար թեորեմ:

Թեորեմ 3.2. Any անկացած հարաբերությունների համար անցումային փակումը հավասար է բոլոր անցումային հարաբերությունների խաչմերուկին, ներառյալ ենթաբազմությունը:

Սահմանում 3.6. Սահմանված X- ի երկուական վերաբերմունքը կոչվում է կապված, եթե եւ երկու տարբեր տարրերի համար եւ B- ն տեղի ունենա a * b, կամ B * A:

(A, B, C x) (AB A * B B * A):

Համապատասխան հարաբերությունների օրինակ է «Ավելին» հարաբերակցությունը վավեր թվերի շարքում: Հարաբերակցությունը «տարածում» է ամբողջ թվերի բազմության վրա միացված չէ:

4. Հարաբերությունների անփոփոխ

Այս պարբերությամբ մենք թվարկելու ենք որոշ դեպքեր, երբ հարաբերությունների որոշակի հատկություններ են պահվում դրանց վրա գործողություններ կատարելիս:

Թեորեմ 4.4. Սիմետրիկ հարաբերությունների արդյունքների համար այն սիմետրիկորեն է, այն անհրաժեշտ է եւ բավարար է հարաբերությունների եւ ուղեւորության համար:

Համապատասխանության հարաբերակցությունը

Երկուական հարաբերությունների կարեւոր տեսակը համարժեքության հարաբերակցությունն է:

Սահմանում 1. Սահմանված X- ի երկուական վերաբերմունքը կոչվում է X- ի համարժեքության հարաբերակցությունը x, եթե ռեֆլեկտիվ եւ տարանցիկ փոխարժեք:

Համապատասխանության հարաբերակցությունը հաճախ նշվում է խորհրդանիշներով.

Հավասարության հարաբերակցության օրինակներ.

i ինքնության հարաբերակցությունը I x \u003d (a, a) | կացն) ոչ դատարկ հավաքածուի վրա.

Ուղիղ ինքնաթիռի հավաքածուի հետ զուգահեռության հարաբերակցությունը.

Նմանության հարաբերակցությունը ինքնաթիռի ձեւերի շարքում.

Հավասարության շարքի հավասարության հարաբերակցությունը.

Վերապահված «Նույն մնացորդները, ֆիքսված բնական համարին բաժանելու համար» ամբողջ թվերի բազմության վրա: Մաթեմատիկայի այս հարաբերակցությունը կոչվում է համեմատելիության հարաբերակցություն Module M- ի եւ DESOE AB- ի (MOD M).

«Մեկ տեսակի» հարաբերակցությունը «պատկանում է մեկ տիպի» կենդանիների հավաքածուի վրա.

«Լինել հարազատների» հարաբերակցությունը մարդկանց հավաքածուի վրա.

«Մեկ աճի» հարաբերակցությունը բազմազան մարդկանց վրա.

Վերաբերմունքը «նույն տանը ապրելու» վերաբերմունքը մի շարք մարդկանց վրա:

«Մեկ փողոցում ապրելու» հարաբերությունները, «նման լինելու համար», մարդկանց հավաքածուի վրա հավասար չեն հարաբերություններ, քանի որ դրանք տրանսֆորմացիայի սեփականություն չունեն:

Երկուական հարաբերությունների վերը նշված հատկություններից հետո հետեւում է, որ համարժեքության հարաբերությունների խաչմերուկը համարժեքության հարաբերակցությունն է:

Համապատասխանության դասընթացներ

Համարժեքության վերաբերմունքով յուրաքանչյուր դասի հավաքածուի պառակտումը սերտորեն կապված է:

Սահմանում 1. Ոչ դատարկ ենթահողերի համակարգ

(Մ 1, մ 2, ...)

Բազմաթիվ M կոչվում է այս հավաքածուի պառակտում, եթե

Մեն 1, մ 2-ը ... կոչվում են այս բաժանման դասընթացներ:

Կուսակցությունների օրինակներ.

Բոլոր պոլիգոնների տարրալուծումը խմբերի մեջ ուղղահայացների քանակով `եռանկյուններ, քառանկյուններ, պենտագոններ եւ այլն;

Բոլոր եռանկյունների բաժանումը ըստ անկյունների հատկությունների (սուր-անկյունագծի, ուղղանկյուն, հիմար).

Բոլոր եռանկյունների բաժանումը կողմերի հատկությունների համաձայն (բազմակողմանի, հավասար, հավասարաչափ).

նման եռանկյունների բոլոր եռանկյունների բաժանումը.

Այս դպրոցի դասարանում բոլոր ուսանողների վաճառքը:

Ժամանակակից գիտության մեջ համարժեքության հարաբերությունների տարածված օգտագործումը պայմանավորված է նրանով, որ ցանկացած համարժեքության կապը իրականացնում է սահմանված կարգի կարգավորումը, դասերը սովորաբար վերցվում են նոր օբյեկտների համար: Այլ կերպ ասած, համարժեքության փոխհարաբերությունների օգնությամբ նոր առարկաներ են ստեղծվում, հասկացություններ:

Այսպիսով, օրինակ, ճառագայթահարման հովացուցիչի հարաբերակցությունը կոտրում է ծածկույթի ճառագայթների դասերի բոլոր ճառագայթների հավաքածուները: Այս ճառագայթների յուրաքանչյուր դասարաններից յուրաքանչյուրը կոչվում է ուղղություն: Այսպիսով, ուղղության ինտուիտիվ հայեցակարգը ճշգրիտ մաթեմատիկական նկարագրություն է ստանում որպես հավասարաչափ գործակիցների կողմից մի շարք ճառագայթների բաժանման դաս:

Նման թվերի մասին սովորաբար նշվում է, որ նրանք ունեն նույն ձեւը: Բայց որն է երկրաչափական ձեւի ձեւը: Ինտուիտիվ է, որ սա ընդհանուր է, որը միավորում է նման թվերը: Օգտագործելով համարժեքության հարաբերակցությունը, այս ինտուիտիվ հայեցակարգը հաջողվում է ճշգրիտ մաթեմատիկական: Նմանության հարաբերակցությունը, համարժեքության հարաբերակցությունը լինելով, կոտրում է բազմաթիվ թվեր այդպիսի թվերի դասերի վերաբերյալ: Յուրաքանչյուր նման դաս կարելի է անվանել ձեւ: Այնուհետեւ «Երկու նույնական թվեր ունեցող նույն ձեւը» արտահայտությունն ունի հետեւյալ ճշգրիտ իմաստը. «Երկու նմանատիպ թվերը պատկանում են մեկ ձեւին»:

Համարների հարաբերությունները հայտնաբերվում են ամենուր, որտեղ դասերի հավաքածուների հավաքածուներ են: Մենք հաճախ օգտագործում ենք դրանք, առանց նկատելու այն:

Մենք տալիս ենք տարրական օրինակ: Երբ երեխաները խաղում են շատ գունավոր խաղալիքներով (օրինակ, Dielesh Blocks- ի հետ) եւ որոշեք տարրալուծել խաղալիքներ գույներով, ապա նրանք վայելում են «մեկ գույն ունենալու» հարաբերությունները: Մոնոխրոմի դասերի արդյունքում ստացված արդյունքում երեխաների կողմից ընկալվում են որպես նոր հասկացություններ, կարմիր, դեղին, կապույտ եւ այլն:

Նմանապես, ձեւի բլոկների տարրալուծման խնդիրը լուծելու արդյունքում, երեխաները ստանում են դասընթացներ, որոնցից յուրաքանչյուրը ընկալվում է որպես ձեւ, ուղղանկյուն, կլոր, եռանկյունաձեւ եւ այլն:

Սահմանված մ-ի վրա սահմանված համարժեք հարաբերությունների միջեւ փոխհարաբերությունները եւ սահմանված մետր դասարանների միջնապատերը նկարագրված են հետեւյալ երկու թեորեմում:

Թեորեմ 1 Ոչ դատարկ սահմանված մետր դասարանների ցանկացած բաժանումը որոշում է (դրդում է) այս սահմանված համարժեքության հարաբերակցությանը նման, որ.

Նույն դասի բոլոր երկու տարրերը կապված են.

Տարբեր դասերի բոլոր երկու տարրերը կապված չեն: Ապացույցներ: Թող լինի ոչ դատարկ հավաքածուի որոշ բաժանումը, որոշեք երկուական հարաբերակցությունը հետեւյալ կերպ. Xay (k) (XK & YK):

Այսինքն, X եւ Y- ի երկու տարրերը `սահմանված մ-ի համար, կապված են դրա հետ հարաբերակցության հետ, եւ միայն այն դեպքում, եթե կա այդպիսի K դաս, որը միաժամանակ պատկանում է տարրերին x եւ y:

Այսպիսով, որոշակի հարաբերություններ ակնհայտորեն ռեֆլեքսիվ եւ սիմետրիկորեն են: Մենք ապացուցում ենք հարաբերությունների տարանցիկությունը: Թող x * y- ը եւ x * z լինեն: Այնուհետեւ, ըստ սահմանման, կան դասեր k 1 եւ k 2, ինչպիսիք են X, YK 1 եւ Y, ZK 2: Քանի որ միջնապատերի տարբեր դասընթացներ չունեն ընդհանուր տարրեր, ապա k 1 \u003d k 2, այսինքն, x, z k 1: Հետեւաբար, X * Z, որը պահանջվում էր ապացուցել:

Թեորեմ 2. Ոչ դատարկ հավաքածուի մեջ ցանկացած համարժեք հարաբերակցություն սրա բաժանումը ստեղծում է հավասարեցման դասերի բաժանումը, որ նույն դասի բոլոր երկու տարրերը կապված են.

Տարբեր դասերի բոլոր երկու տարրերը կապված չեն:

Ապացույցներ: Թող B- ն լինի մի քանի համարժեք հարաբերակցություն սահմանված M. Յուրաքանչյուր տարր x- ի ներքո համահունչ է սահմանված մ-ի սուբսիդի հետ, որը բաղկացած է բոլոր տարրերից, որոնք վերաբերում են X տարրի.

Ենթաբաժնի համակարգը [x], ձեւավորում է Սահմանված Մ.-ի պառակտումը, նախ, առաջին, յուրաքանչյուր ենթաբազմություն [x] o, քանի որ Ratio X- ի ռեֆլեկտիվության պատճառով:

Երկրորդ, երկու տարբեր ենթաբազմություններ [x] եւ [y] չունեն ընդհանուր տարրեր: Մյուս կողմից վիճել, ասենք, որ տարնության գոյությունն այնպիսին է, որ z [x] եւ z]: Հետո Զաքս եւ Զայ: Հետեւաբար, ցանկացած * x, z * x եւ z * Y- ի ցանկացած տարրի համար, սիմետրիայի եւ տրանսֆորմացիայի պատճառով, a * y- ը հետեւում է, այսինքն, [y]: Հետեւաբար, [x] [y]: Նմանապես, մենք ստանում ենք դա [y] [x]: Ձեռք բերված երկու ներունակությունը զվարճացնում է հավասարությունը [x] \u003d [y], ինչը հակասում է ենթաբազմության անհամապատասխանության [x] եւ [y]: Այսպիսով, [x] y] \u003d O.

Երրորդ, բոլոր ենթաբազմությունները [X] համընկնում են սահմանված մ-ի հետ, քանի որ XM ցանկացած տարր, x [x] վիճակը կատարվում է:

Այսպիսով, ենթաբազմության համակարգը [X], ձեւավորում է Սահմանված Մ.-ի պառակտումը: Հեշտ է ցույց տալ, որ կառուցված բաժանումը բավարարում է թեորեմի պայմանները: Սահմանված մ-ի պառակտումը, որն ունի Թեորեմում նշված հատկությունները, կոչվում է սահմանված մ-ի հավաքածու `հարգանքով եւ նշանակված մ / բ: