Սնուցում և դիետաներ 

x բազմության վրա երկուական կապը կոչվում է: Երկուական հարաբերություն. Դիսկրետ մաթեմատիկայի հիմունքներ

Թող Ռինչ-որ երկուական հարաբերություն է X բազմության վրա, և x, y, z-ն նրա տարրերից որևէ մեկն է: Եթե ​​x տարրը R հարաբերության մեջ է y տարրի հետ, ապա գրեք xRy.

1. X բազմության վրա R հարաբերությունը կոչվում է ռեֆլեքսիվ, եթե բազմության յուրաքանչյուր տարր այս առնչության մեջ է իր հետ։

R - ռեֆլեքսիվ X-ի վրա<=>xRx ցանկացած x€ X-ի համար

Եթե ​​R հարաբերակցությունը ռեֆլեքսային է, ապա գրաֆիկի յուրաքանչյուր գագաթում կա օղակ։ Օրինակ, հատվածների համար հավասարության և զուգահեռության հարաբերությունները ռեֆլեքսային են, բայց ուղղահայացության և «ավելի երկար» հարաբերությունները ռեֆլեքսային չեն: Սա արտացոլված է Նկար 42-ի գրաֆիկներում:

2. X բազմության վրա R հարաբերությունը կոչվում է սիմետրիկ, եթե x տարրը y տարրի հետ տվյալ հարաբերությունների մեջ է, հետևում է, որ y տարրը նույն հարաբերության մեջ է x տարրի հետ։

R - սիմետրիկորեն միացված է (xYay =>y Rx)

Հարաբերությունների սիմետրիկ գրաֆիկը պարունակում է զույգ ուղղություններով ընթացող սլաքներ: Հատվածների զուգահեռության, ուղղահայացության և հավասարության հարաբերությունները սիմետրիկ են, բայց «ավելի երկար» կապը սիմետրիկ չէ (նկ. 42):

3. X բազմության վրա R հարաբերությունը կոչվում է հակասիմետրիկ, եթե X բազմությունից x և y տարբեր տարրերի համար, քանի որ x տարրը տվյալ առնչության մեջ է y տարրի հետ, հետևում է, որ y տարրը չէ. այս առնչությամբ x տարրի հետ։

R - հակասիմետրիկ X-ի վրա (xRy և xy ≠ yRx)

Նշում. վերնաշերտը ցույց է տալիս հայտարարության ժխտումը:

Հակասիմետրիկ հարաբերությունների գրաֆիկում երկու կետ կարելի է միացնել միայն մեկ սլաքով: Նման կապի օրինակ է հատվածների «ավելի երկար» կապը (նկ. 42): Զուգահեռության, ուղղահայացության և հավասարության հարաբերությունները հակասիմետրիկ չեն։ Կան հարաբերություններ, որոնք ոչ սիմետրիկ են, ոչ հակասիմետրիկ, օրինակ՝ «եղբայր լինել» հարաբերությունը (նկ. 40):

4. X բազմության վրա R հարաբերությունը կոչվում է անցումային, եթե x տարրը տվյալ առնչության մեջ է y տարրի հետ, իսկ y տարրը՝ z տարրի հետ, հետևում է, որ x տարրը գտնվում է. տրված առնչություն Z տարրի հետ

R - անցումային A≠ (xRy և yRz=> xRz)

Նկար 42-ի «ավելի երկար», զուգահեռականության և հավասարության հարաբերությունների գծապատկերներում կարող եք նկատել, որ եթե սլաքը առաջին տարրից անցնում է երկրորդ, իսկ երկրորդից երրորդը, ապա անպայման կա սլաք, որը գնում է առաջինից։ տարր մինչև երրորդը: Այս հարաբերությունները անցողիկ են։ Հատվածների ուղղահայացությունը չունի անցողիկության հատկություն։

Նույն բազմության տարրերի միջև հարաբերությունների այլ հատկություններ կան, որոնք մենք չենք դիտարկում:

Նույն հարաբերությունը կարող է ունենալ մի քանի հատկություն։ Այսպիսով, օրինակ, մի շարք հատվածների վրա «հավասար» կապը ռեֆլեկտիվ է, սիմետրիկ, անցողիկ; «Ավելին» հարաբերությունը հակասիմետրիկ է և անցողիկ:


Եթե ​​X բազմության առնչությունը ռեֆլեքսիվ է, սիմետրիկ և անցումային, ապա այն համարժեքության հարաբերություն է այս բազմության վրա: Նման հարաբերությունները X բազմությունը բաժանում են դասերի։

Այս հարաբերությունները դրսևորվում են, օրինակ, առաջադրանքները կատարելիս. «Վերցրու հավասար երկարությամբ շերտեր և դասավորիր դրանք խմբերի», «Գնդակները դասավորիր այնպես, որ յուրաքանչյուր տուփ պարունակի նույն գույնի գնդակներ»: Համարժեքության հարաբերությունները («լինել երկարությամբ հավասար», «նույն գույնի») որոշում են այս դեպքում շերտերի և գնդակների հավաքածուների բաժանումը դասերի:

Եթե ​​1-ին բազմության հարաբերությունը անցողիկ է և հակասիմետրիկ, ապա այն կոչվում է կարգի հարաբերություն այս բազմության վրա:

Տրված կարգի առնչությամբ բազմությունը կոչվում է պատվիրված բազմություն։

Օրինակ՝ առաջադրանքները կատարելիս՝ «Համեմատե՛ք շերտերը լայնությամբ և դասավորե՛ք դրանք նեղից դեպի լայնը», «Համեմատե՛ք թվերը և դասավորե՛ք թվային քարտերը ըստ հերթականության», երեխաները պատվիրում են շերտերի և թվային քարտերի հավաքածուների տարրերը։ օգտագործելով պատվերի հարաբերություններ; «ավելի լայն լինել», «հետևել»:

Ընդհանուր առմամբ, համարժեքության և կարգի հարաբերությունները մեծ դեր են խաղում երեխաների մոտ հավաքածուների դասակարգման և դասավորության վերաբերյալ ճիշտ պատկերացումների ձևավորման գործում: Բացի այդ, կան բազմաթիվ այլ հարաբերություններ, որոնք ոչ համարժեք հարաբերություններ են, ոչ էլ կարգի հարաբերություններ։


6. Ո՞րն է բազմության բնորոշ հատկությունը:

7. Ի՞նչ հարաբերություններում կարող են գոյություն ունենալ բազմությունները: Բացատրություններ տվեք յուրաքանչյուր դեպքի համար և պատկերեք դրանք Էյլերի շրջանակներով:

8. Սահմանել ենթաբազմություն: Բերե՛ք բազմությունների օրինակ, որոնցից մեկը մյուսի ենթաբազմություն է: Գրեք նրանց հարաբերությունները՝ օգտագործելով նշաններ:

9. Սահմանել հավասար բազմություններ: Բերե՛ք երկու հավասար բազմությունների օրինակներ: Գրեք նրանց հարաբերությունները՝ օգտագործելով նշաններ:

10. Սահմանեք երկու բազմությունների խաչմերուկը և պատկերեք այն օգտագործելով Էյլերի շրջանակները յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքի համար:

11. Սահմանե՛ք երկու բազմությունների միությունը և պատկերե՛ք այն օգտագործելով Էյլերի շրջանագծերը յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքի համար:

12. Սահմանեք երկու բազմությունների միջև եղած տարբերությունը և այն պատկերեք՝ օգտագործելով Էյլերի շրջանակները յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքի համար:

13. Սահմանեք լրացումը և պատկերեք այն Էյլերի շրջանակներով:

14. Ի՞նչ է կոչվում բազմությունը դասերի բաժանելը: Անվանեք ճիշտ դասակարգման պայմանները:

15. Ի՞նչ է կոչվում համապատասխանություն երկու բազմությունների միջև: Անվանեք համապատասխանությունները ճշտելու մեթոդները:

16. Ինչպիսի՞ նամակագրություն է կոչվում մեկ առ մեկ:

17. Ո՞ր բազմություններն են կոչվում հավասար:

18. Ո՞ր բազմություններն են կոչվում համարժեք:

19. Անվանե՛ք բազմության վրա հարաբերությունները սահմանելու ուղիներ:

20. Բազմության վրա ո՞ր հարաբերությունն է կոչվում ռեֆլեքսիվ:

21. Բազմության վրա ո՞ր հարաբերությունն է կոչվում սիմետրիկ:

22. Բազմության վրա ո՞ր հարաբերությունն է կոչվում հակասիմետրիկ:

23. Բազմության վրա ո՞ր հարաբերությունն է կոչվում անցումային:

24. Սահմանի՛ր համարժեքության կապ:

25. Սահմանի՛ր պատվերի կապը:

26. Ո՞ր հավաքածուն է կոչվում պատվիրված:

Դասախոսություն 3.

կետ 3. Հարաբերություններ կոմպլեկտների վրա. Երկուական հարաբերությունների հատկությունները.

3.1. Երկուական հարաբերություններ.

Երբ խոսում են երկու մարդկանց հարաբերությունների մասին, օրինակ՝ Սերգեյի և Աննայի, նրանք նկատի ունեն, որ կա որոշակի ընտանիք, որին նրանք պատկանում են։ Պատվիրված զույգը (Սերգեյ, Աննա) տարբերվում է պատվիրված մարդկանց մյուս զույգերից նրանով, որ Սերգեյի և Աննայի (հորեղբոր տղա, հայր և այլն) միջև կա որոշակի հարաբերություններ:

Մաթեմատիկայի մեջ երկու բազմությունների ուղղակի արտադրյալի բոլոր պատվիրված զույգերի շարքում ԱԵվ Բ (Ա´ Բ) «հատուկ» զույգերը առանձնանում են նաև այն պատճառով, որ դրանց բաղադրիչների միջև կան որոշ «հարազատական» հարաբերություններ, որոնք մյուսները չունեն։ Որպես օրինակ, հաշվի առեք հավաքածուն Սորոշ համալսարանների ուսանողներ և շատերը Կայնտեղ դասավանդվող դասընթացներ։ Ուղղակի արտադրանքի մեջ Ս´ Կկարելի է ընտրել պատվիրված զույգերի մեծ ենթախումբ ( ս, կ) սեփականություն ունեցող՝ ուսանող սդասընթաց է անցնում կ. Կառուցված ենթաբազմությունն արտացոլում է «...լսում է...» հարաբերությունը, որը բնականաբար առաջանում է ուսանողների և դասընթացների միջև:

Երկու բազմությունների տարրերի միջև ցանկացած կապի խիստ մաթեմատիկական նկարագրության համար մենք ներկայացնում ենք երկուական հարաբերությունների հայեցակարգը:

Սահմանում 3.1. Երկուական (կամ կրկնակի )վերաբերմունք rհավաքածուների միջև ԱԵվ Բկամայական ենթաբազմություն է կոչվում Ա´ Բ, այսինքն.

Մասնավորապես, եթե A=Բ(այսինքն՝ rÍ Ա 2), այնուհետև ասում են, որ r-ը հարաբերակցություն է բազմության վրա Ա.

Տարրեր աԵվ բկոչվում են բաղադրիչները (կամ կոորդինատները ) հարաբերություն r.

Մեկնաբանություն. Համաձայնենք, որ բազմությունների տարրերի միջև փոխհարաբերությունները նշելու համար օգտագործեք հունարեն այբուբենը՝ r, t, j, s, w և այլն:


Սահմանում 3.2. Սահմանման տիրույթ Դ r=( ա| $ բ, Ինչ ա r բ) (ձախ կողմ). Արժեքների տիրույթ Երկուական հարաբերության r կոչվում է բազմություն Ռ r=( բ| $ ա, Ինչ ա r բ) (աջ մաս):

Օրինակ 3. 1. Թող տրվի երկու հավաքածու Ա=(1; 3; 5; 7) և Բ=(2; 4; 6): Սահմանենք հարաբերությունը հետևյալ կերպ t=(( x; y)Î Ա´ Բ | x+y= 9): Այս հարաբերությունը բաղկացած կլինի հետևյալ զույգերից (3; 6), (5; 4) և (7; 2), որոնք կարելի է գրել t=((3; 6), (5; 4), (7;2): )): Այս օրինակում Դ t=(3; 5; 7) և Ռ t= Բ={2; 4; 6}.

Օրինակ 3. 2. Իրական թվերի բազմության հավասարության կապը r=(( x; y) | xԵվ y– իրական թվեր և xհավասար է y) Այս հարաբերությունների համար կա հատուկ նշում՝ «=»: Սահմանման տիրույթը համընկնում է արժեքների տիրույթի հետ և իրական թվերի բազմություն է, Դ r= Ռ r.

Օրինակ 3. 3. Թող Ա– շատ ապրանքներ խանութում, և Բ- իրական թվերի հավաքածու: Այնուհետև j=(( x; y)Î Ա´ Բ | y- գինը x) – բազմությունների հարաբերություն ԱԵվ Բ.

Եթե ​​ուշադրություն դարձնեք օրինակ 3.1.-ին, ապա կնկատեք, որ այս հարաբերությունն առաջին անգամ նշվել է t=(( x; y)Î Ա´ Բ | x+y=9), այնուհետև գրվում է t=((3; 6), (5;4), (7;2)): Սա ենթադրում է, որ բազմությունների վրա (կամ մեկ բազմության) հարաբերությունները կարող են ճշգրտվել տարբեր ձևերով: Եկեք դիտարկենք երկուական հարաբերությունները սահմանելու ուղիները:

Հարաբերությունների սահմանման մեթոդներ.

1) համապատասխան պրեդիկատի օգտագործումը.

2) պատվիրված զույգերի հավաքածու.

3) գրաֆիկական տեսքով՝ թող ԱԵվ Բ– երկու վերջավոր բազմություն և r – նրանց միջև երկուական հարաբերություն: Այս բազմությունների տարրերը ներկայացված են հարթության վրա գտնվող կետերով: Հարաբերությունների յուրաքանչյուր դասավորված զույգի համար r-ը գծում է զույգի բաղադրիչները ներկայացնող կետերը միացնող սլաք: Նման օբյեկտը կոչվում է ուղղորդված գրաֆիկկամ դիագրաֆ, սովորաբար կոչվում են բազմությունների տարրերը ներկայացնող կետերը գրաֆիկի գագաթները.

4) մատրիցայի տեսքով՝ թող Ա={ա 1, ա 2, …, ան) Եվ Բ={բ 1, բ 2, …, bm), r – հարաբերակցությունը միացված է Ա´ Բ. Մատրիցային ներկայացում r-ը կոչվում է մատրիցա Մ=[միջ] չափ n´ մհարաբերություններով սահմանված

.

Ի դեպ, մատրիցային ներկայացումը համակարգչում հարաբերությունների ներկայացում է:

Օրինակ 3. 4. Թող տրվի երկու հավաքածու Ա=(1; 3; 5; 7) և Բ=(2; 4; 6): Հարաբերությունը տրված է հետևյալ կերպ t=(( x; y) | x+y= 9): Սահմանեք այս հարաբերությունը որպես դասավորված զույգերի բազմություն՝ երկգրաֆիկ՝ մատրիցայի տեսքով։

Լուծում. 1) t=((3; 6), (5; 4), (7; 2)) - հարաբերության սահմանումն է՝ որպես դասավորված զույգերի բազմություն;

2) համապատասխան ուղղորդված գրաֆիկը ներկայացված է նկարում:

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">.,

Օրինակ 3. 5 . Որպես օրինակ կարող ենք դիտարկել առաջարկվածը J. von Neumann(1903 - 1957) հաջորդական համակարգչի բլոկ-սխեման, որը բաղկացած է բազմաթիվ սարքերից. Մ:

,

Որտեղ ա- մուտքային սարք, բ- թվաբանական սարք (պրոցեսոր), գ- կառավարման սարք, դ- Հիշողության սարք, ե- ելքային սարք.

Դիտարկենք սարքերի միջև տեղեկատվության փոխանակումը միԵվ մջ, որոնք r հարաբերակցությամբ են, եթե սարքից միտեղեկատվությունը մտնում է սարքը մջ.

Այս երկուական կապը կարելի է սահմանել՝ թվարկելով նրա բոլոր 14 դասավորված զույգ տարրերը.

Այս երկուական կապը սահմանող համապատասխան դիգրաֆը ներկայացված է նկարում.


Այս երկուական կապի մատրիցային ներկայացումը հետևյալն է.

. ,

Երկուական հարաբերությունների համար բազմություն-տեսական գործողությունները սահմանվում են սովորական ձևով՝ միացում, հատում և այլն։


Ներկայացնենք հարաբերությունների ընդհանրացված հայեցակարգ:

Սահմանում 3.3. n-տեղ (n-արի ) r հարաբերակցությունը ուղիղ արտադրյալի ենթաբազմություն է nհավաքածուներ, այսինքն՝ պատվիրված հավաքածուների մի շարք ( tuples )

rÍ Ա 1 Ան={(ա 1, …, ան)| ա 1Օ Ա 1Ù…Ù անÎ Ան}

Հարմար է բազմաբնակարանային հարաբերություններ սահմանել՝ օգտագործելով հարաբերական աղյուսակներ . Այս առաջադրանքը համապատասխանում է բազմությունը թվարկելուն n-հարաբերությանը r. Հարաբերական աղյուսակները լայնորեն կիրառվում են համակարգչային պրակտիկայում հարաբերական տվյալների բազաներում: Նկատի ունեցեք, որ հարաբերական աղյուսակները օգտագործվում են ամենօրյա պրակտիկայում: Բոլոր տեսակի արտադրական, ֆինանսական, գիտական ​​և այլ հաշվետվությունները հաճախ ունենում են հարաբերական աղյուսակների ձև:

Խոսք» հարաբերական«Գալիս է լատիներեն բառից հարաբերություն, որը ռուսերեն թարգմանաբար նշանակում է «վերաբերմունք»։ Հետեւաբար, գրականության մեջ տառը օգտագործվում է հարաբերությունները նշելու համար Ռ(լատիներեն) կամ r (հունարեն):

Սահմանում 3.4.Թող ռ Ա´ Բնկատմամբ կա վերաբերմունք Ա´ Բ.Այնուհետև կոչվում է r-1 հարաբերակցությունը հակադարձ կապ տրված հարաբերակցության r ըստ Ա´ Բ, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

r-1=(( բ, ա) | (ա, բ)Իr).

Սահմանում 3.5.Թող r Н Ա´ Բնկատմամբ կա վերաբերմունք Ա´ Բ,ա ս Н Բ´ Գ –նկատմամբ վերաբերմունքը Բ´ Գ. Կազմըհարաբերություններ s և r-ը կոչվում է t Н հարաբերություն Ա´ Գ, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

t=s◦r= (( ա, գ)| $բÎ Բ, ինչ (ա, բ)Իր Եվ (բ, գ) Իս).

Օրինակ 3. 6 . Թող և Գ=(, !, դ, ա): Եվ թող հարաբերակցությունը r լինի Ա´ Բև հարաբերակցությունը միացված է Բ´ Գտրված են ձևով.

r=((1, x), (1, y), (3, x)};

s=(( x,), (x, !), (y, դ), ( y, à)}.

Գտե՛ք r-1 և s◦r, r◦s:

Լուծում. 1) ըստ սահմանման r-1=(( x, 1), (y, 1), (x, 3)};

2) Օգտագործելով երկու հարաբերությունների կազմության սահմանումը, ստանում ենք

s◦r=((1,), (1, !), (1, d), (1, а), (3,), (3, !)),

սկսած (1, x)Իր և ( x,)Îs հետևում է (1,)Îs◦r;

սկսած (1, x)Իր և ( x, !)Îs հետևում է (1, !)Îs◦r;

սկսած (1, y)Իր և ( y, դ)Իs հետևում է (1, d)Îs◦r;

սկսած (3, x)Իր և ( x, !)Իs հետևում է (3, !)Îs◦r.

Թեորեմ 3.1.Ցանկացած երկուական հարաբերությունների համար գործում են հետևյալ հատկությունները.

2) ;

3) - կազմի ասոցիատիվություն.

Ապացույց. 1-ին հատկությունն ակնհայտ է.

Ապացուցենք հատկությունը 2. Երկրորդ հատկությունն ապացուցելու համար ցույց կտանք, որ հավասարության ձախ և աջ կողմերում գրված բազմությունները բաղկացած են նույն տարրերից։ Թող ( ա; բ) О (s◦r)-1 Û ( բ; ա) О s◦r Û $ գայնպիսին է, որ ( բ; գ) О r և ( գ; ա) О s Û $ գայնպիսին է, որ ( գ; բ) О r-1 և ( ա; գ) О s-1 Ш ( ա; բ) О r -1◦s -1.

Ինքներդ ապացուցեք սեփականությունը 3:

3.2. Երկուական հարաբերությունների հատկությունները.

Դիտարկենք բազմության երկուական հարաբերությունների հատուկ հատկությունները Ա.

Երկուական հարաբերությունների հատկությունները.

1. Հարաբերակցությունը r միացված է Ա´ Ականչեց արտացոլող , Եթե ( ա,ա) պատկանում է r-ին բոլորի համար ա-ից Ա.

2. r կապը կոչվում է հակառեֆլեկտիվ , եթե ( ա,բ)Իr հետևում է ա¹ բ.

3. Հարաբերակցություն r սիմետրիկ , եթե համար աԵվ բպատկանող Ա, սկսած ( ա,բՀետևում է, որ ( բ,ա)Իր.

4. r կապը կոչվում է հակասիմետրիկ , եթե համար աԵվ բ-ից Ա, պատկանելությունից ( ա,բ) Եվ ( բ,ա) r հարաբերությունը ենթադրում է, որ ա=բ.

5. Հարաբերակցություն r անցողիկ կերպով , եթե համար ա, բԵվ գ-ից Աայն փաստից, որ ( ա,բ)Իր և ( բ,գ)Իր, հետևում է, որ ( ա,գ)Իր.

Օրինակ 3. 7. Թող Ա=(1; 2; 3; 4; 5; 6): Այս բազմության վրա տրված է rÍ կապը Ա 2, որն ունի ձև՝ r=((1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2): ) , (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)): Ի՞նչ հատկություններ ունի այս հարաբերությունը:

Լուծում. 1) Այս հարաբերությունը ռեֆլեկտիվ է, քանի որ յուրաքանչյուրի համար աÎ Ա, (ա; ա)Իր.

2) Հարաբերությունը հակառեֆլեքսիվ չէ, քանի որ այս հատկության պայմանը բավարարված չէ. Օրինակ՝ (2, 2)Îr, բայց դա չի նշանակում, որ 2¹2։

3) Դիտարկենք բոլոր հնարավոր դեպքերը՝ ցույց տալով, որ r կապը սիմետրիկ է.

(ա, բ)Իր

(բ, ա)

(բ, ա)Իր?

4) Այս կապը հակասիմետրիկ չէ, քանի որ (1, 2)Îr և (2,1)Îr, բայց դրանից չի բխում, որ 1=2:

5) Հնարավոր է ցույց տալ, որ r հարաբերակցությունը անցումային է ուղղակի թվարկման մեթոդով:

(ա, բ)Իր

(բ, գ)Իր

(ա, գ)

(ա, գ)Իր?

Ինչպես օգտագործել մատրիցային ներկայացումը

որոշել երկուական հարաբերությունների հատկությունները

1. Ռեֆլեքսիվություն:Բոլորը գտնվում են հիմնական անկյունագծի վրա, զրոները կամ միավորները նշվում են աստղանիշներով:

.

2. Հակառեֆլեքսիվություն.Բոլոր զրոները հիմնական անկյունագծի վրա:

3. Համաչափություն:Եթե ​​.

4. Հակասիմետրիա.հիմնական անկյունագծից դուրս գտնվող բոլոր տարրերը զրո են. կարող են լինել նաև զրոներ հիմնական անկյունագծում:

.

«*» գործողությունը կատարվում է հետևյալ կանոնի համաձայն. , Որտեղ , .

5. Անցումային:Եթե ​​. «◦» գործողությունը կատարվում է սովորական բազմապատկման կանոնի համաձայն, և անհրաժեշտ է հաշվի առնել.

3.3 Համարժեքության հարաբերություն. Պատվերի մասնակի հարաբերություն.

Համարժեքության կապը իրավիճակի պաշտոնականացումն է, երբ մենք խոսում ենք բազմության երկու տարրերի նմանության (նույնության) մասին։

Սահմանում 3.6. R հարաբերակցությունը միացված է ԱԿա համարժեքության հարաբերություն, Եթե ​​այն ռեֆլեքսիվ, սիմետրիկ և անցողիկ:Համարժեքության հարաբերություն ա r բհաճախ նշվում է. ա~ բ.

Օրինակ 3. 8 . Ամբողջ թվերի բազմության վրա հավասարության կապը համարժեքության հարաբերություն է։

Օրինակ 3. 9 . «Նույն բարձրության» հարաբերությունը համարժեքության հարաբերություն է մի շարք մարդկանց վրա X.

Օրինակ 3. 1 0 . Թող ¢ լինի ամբողջ թվերի բազմությունը: Անվանենք երկու թիվ xԵվ y¢-ից համեմատելի մոդուլովմ(մО¥) և գրի՛ր, եթե այս թվերի մնացորդները դրանք բաժանելուց հետո մ, այսինքն՝ տարբերությունը ( x-y) բաժանված մ.

Կապը «համեմատելի է մոդուլով մամբողջ թվեր» համարժեքության հարաբերություն է ¢ ամբողջ թվերի բազմության վրա: Իսկապես:

այս հարաբերությունը ռեֆլեկտիվ է, քանի որ « xՄենք ունենք x-x=0, և հետևաբար այն բաժանվում է մ;

այս հարաբերությունը սիմետրիկ է, քանի որ եթե ( x-y) բաժանված մ, ապա ( y-x) նույնպես բաժանվում է մ;

այս հարաբերությունը անցումային է, քանի որ եթե ( x-y) բաժանված մ, ապա որոշ ամբողջ թվի համար տ 1 ունենք https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, այստեղից , այսինքն ( x-զ) բաժանված մ.

Սահմանում 3.7. R հարաբերակցությունը միացված է ԱԿա մասնակի պատվերի հարաբերություն, Եթե ​​այն ռեֆլեքսիվ, հակասիմետրիկ և անցումայինև նշվում է ° նշանով:

Մասնակի կարգը կարևոր է այն իրավիճակներում, երբ մենք ցանկանում ենք ինչ-որ կերպ բնութագրել գերակայությունը: Այլ կերպ ասած, որոշեք, թե ինչ պայմաններում հավաքածուի մի տարրը գերազանցում է մյուսին:

Օրինակ 3. 11 . Վերաբերմունք x£ yիրական թվերի բազմության վրա կա մասնակի կարգի հարաբերություն։ ,

Օրինակ 3. 1 2 . Որոշ ունիվերսալ բազմության ենթաբազմությունների բազմության մեջ Uվերաբերմունք ԱÍ Բկա մասնակի պատվերի հարաբերություն.

Օրինակ 3. 1 3 . Հաստատությունում ենթակայության կազմակերպման սխեման մի շարք պաշտոնների մասնակի կարգի հարաբերություն է:

Մասնակի կարգի հարաբերության նախատիպը նախապատվության (նախադասության) հարաբերության ինտուիտիվ հայեցակարգն է։ Նախապատվության հարաբերությունը բացահայտում է խնդիրների մի դաս, որոնք կարող են համակցվել որպես ընտրության խնդրի խնդիր լավագույն օբյեկտը .

Խնդրի ձևակերպում.թող լինի օբյեկտների հավաքածու Աև պահանջվում է համեմատել դրանք ըստ նախապատվության, այսինքն՝ սահմանել նախապատվության հարաբերությունը բազմության վրա Աև բացահայտել լավագույն օբյեկտները:

Նախապատվության հարաբերություններ Պ, որը կարող է սահմանվել որպես « aPb, ա, բÎ ԱÛ օբյեկտ աօբյեկտից ոչ պակաս նախընտրելի բ«իր իմաստով ռեֆլեքսիվ և հակասիմետրիկ է (յուրաքանչյուր առարկա իրենից վատ չէ, և եթե առարկան աոչ ավելի վատ բԵվ բոչ ավելի վատ ա, ապա նրանք նույնն են նախընտրությամբ): Բնական է ենթադրել, որ հարաբերությունները Պանցողիկ (թեև այն դեպքում, երբ, օրինակ, նախապատվությունները քննարկվում են հակադիր շահեր ունեցող մարդկանց խմբի կողմից, այդ սեփականությունը կարող է խախտվել), այսինքն. Պ- մասնակի պատվերի հարաբերություն.

Օբյեկտները ըստ նախապատվության համեմատության խնդրի լուծման հնարավոր ուղիներից մեկն է ընդգրկում , այսինքն՝ օբյեկտների պատվիրում ըստ նվազող նախապատվության կամ համարժեքության։ Վարկանիշավորման արդյունքում մենք բացահայտում ենք «լավագույն» կամ «ամենավատ» օբյեկտները նախապատվության հարաբերությունների տեսանկյունից:

Օգտագործման ոլորտները խնդիրներ լավագույն օբյեկտի ընտրության խնդրի վերաբերյալ՝ որոշումների տեսություն, կիրառական մաթեմատիկա, տեխնոլոգիա, տնտեսագիտություն, սոցիոլոգիա, հոգեբանություն։

Սահմանում. Երկուական հարաբերություն Ռկոչվում է զույգերի ենթաբազմություն (a,b)∈RԴեկարտյան արտադրյալ A×B, այսինքն՝ R⊆A×B: Միևնույն ժամանակ, շատերը Ակոչվում է R հարաբերության սահմանման տիրույթ, B բազմությունը՝ արժեքների տիրույթ։

Նշանակում՝ aRb (այսինքն՝ a-ն և b-ը R-ի հետ կապված են): /

ՄեկնաբանությունԵթե ​​A = B, ապա R-ն առնչություն է A բազմության վրա:

Երկուական հարաբերությունների հստակեցման մեթոդներ

1. Ցանկ (զույգերի թվարկում), որի համար գործում է այս կապը:

2. Մատրիցա. R ∈ A × A երկուական հարաբերությունը, որտեղ A = (a 1, a 2,..., a n), համապատասխանում է n կարգի քառակուսի մատրիցային, որում c ij տարրը, որը գտնվում է i-ի հատման կետում: տողը և j-րդ սյունակը հավասար է 1-ի, եթե a i-ի և j-ի միջև կա R հարաբերություն, կամ 0-ի, եթե այն բացակայում է.

Հարաբերությունների հատկությունները

Թող R լինի հարաբերություն A բազմության վրա, R ∈ A×A: Այնուհետև հարաբերակցությունը R:

    ռեֆլեքսիվ, եթե Ɐ a ∈ A: a R a (ռեֆլեքսիվ հարաբերությունների մատրիցայի հիմնական անկյունագիծը պարունակում է միայն մեկը);

    հակառեֆլեքսիվ, եթե Ɐ a ∈ A: a R a (ռեֆլեքսիվ հարաբերությունների մատրիցայի հիմնական անկյունագիծը պարունակում է միայն զրոներ);

    սիմետրիկ, եթե Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (նման հարաբերության մատրիցը սիմետրիկ է հիմնական անկյունագծի նկատմամբ, այսինքն. c ij c ji);

    հակասիմետրիկ, եթե Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (նման հարաբերության մատրիցում հիմնական անկյունագծի նկատմամբ սիմետրիկ միավորներ չկան);

    անցումային, եթե Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c (այդպիսի կապի մատրիցայում պայմանը պետք է բավարարվի. եթե i-րդ շարքում կա միավոր, օրինակ. j-րդ կոորդինատների (սյունակի) շարքերում, այսինքն՝ c ij = 1, ապա j-րդ շարքի բոլոր միավորները (թող այս միավորները համապատասխանեն k e կոորդինատներին այնպես, որ c jk = 1) պետք է համապատասխանեն i-ի միավորներին: րդ շարքը նույն k կոորդինատներում, այսինքն՝ c ik = 1 (և գուցե նաև այլ կոորդինատներում):

Առաջադրանք 3.1.Որոշե՛ք բնական թվերի բազմության վրա սահմանված R – «բաժանարար լինել» հարաբերության հատկությունները:

Լուծում.

հարաբերակցությունը R = ((a,b):a բաժանարար b):

    ռեֆլեքսիվ, ոչ հակառեֆլեքսիվ, քանի որ ցանկացած թիվ ինքն իրեն բաժանում է առանց մնացորդի. a/a = 1 a∈N բոլորի համար;

    ոչ սիմետրիկ, հակասիմետրիկ, օրինակ, 2-ը 4-ի բաժանարար է, բայց 4-ը 2-ի բաժանարար չէ;

    անցումային, քանի որ եթե b/a ∈ N և c/b ∈ N, ապա c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, օրինակ, եթե 6/3 = 2∈N և 18/6 = 3∈N. , ապա 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N:

Խնդիր 3.2.Որոշե՛ք R – «եղբայր լինել» հարաբերության հատկությունները, որոնք սահմանված են մարդկանց մի շարքի վրա:
Լուծում.

Հարաբերություն R = ((a,b):a - b-ի եղբայրը):

    ոչ ռեֆլեքսիվ, հակառեֆլեքսիվ՝ aRa-ի ակնհայտ բացակայության պատճառով բոլոր a;

    ոչ սիմետրիկ, քանի որ ընդհանուր դեպքում a-ի և քրոջ միջև կա aRb, բայց ոչ bRa;

    ոչ հակասիմետրիկ, քանի որ եթե a-ն և b-ը եղբայրներ են, ապա aRb և bRa, բայց a≠b;

    անցողիկ կերպով, եթե ընդհանուր ծնողներ (հայր և մայր) ունեցող մարդկանց եղբայրներ ես անվանում:

Խնդիր 3.3.Որոշեք R – «լինել ղեկավար» հարաբերության հատկությունները, որոնք սահմանված են կառուցվածքի տարրերի հավաքածուի վրա

Լուծում.

Հարաբերակցություն R = ((a,b) : a-ն b-ի շեֆն է):

  • ոչ ռեֆլեկտիվ, հակառեֆլեկտիվ, եթե դա իմաստ չունի կոնկրետ մեկնաբանության մեջ.
  • ոչ սիմետրիկ, հակասիմետրիկ, քանի որ բոլորի համար a≠b aRb-ը և bRa-ն միաժամանակ բավարարված չեն.
  • անցումային, քանի որ եթե a-ն b-ի շեֆն է, իսկ b-ն՝ c-ի շեֆը, ապա a-ն c-ի շեֆն է:

Որոշե՛ք M i բազմության վրա մատրիցով սահմանված R i հարաբերության հատկությունները, եթե.

  1. R 1 «ունի նույն մնացորդը, երբ բաժանվում է 5-ի»; M 1-ը բնական թվերի բազմությունն է։
  2. R 2 «հավասար լինել»; M 2-ը բնական թվերի բազմությունն է։
  3. R 3 «ապրում է նույն քաղաքում»; M 3 շատ մարդ.
  4. R 4 «ծանոթ լինել»; M 4 շատ մարդ.
  5. R 5 ((a,b):(a-b) - զույգ; M 5 թվերի բազմություն (1,2,3,4,5,6,7,8,9):
  6. R 6 ((a,b):(a+b) - զույգ; M 6 թվերի բազմություն (1,2,3,4,5,6,7,8,9):
  7. R 7 ((a,b):(a+1) - բաժանարար (a+b)); M 7 - հավաքածու (1,2,3,4,5,6,7,8,9):
  8. R 8 ((a,b):a - բաժանարար (a+b),a≠1); M 8-ը բնական թվերի բազմությունն է։
  9. R 9 «քույր լինել»; M 9 - շատ մարդիկ:
  10. R 10 «դուստր լինել»; M 10 - շատ մարդիկ:

Գործողություններ երկուական հարաբերությունների վրա

Թող R 1, R 1 հարաբերություններ լինեն A բազմության վրա սահմանված հարաբերություններ։

    Միություն R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 կամ (a,b) ∈ R 2);

    խաչմերուկ R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 and (a,b) ∈ R 2 ) ;

    տարբերությունը R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 and (a,b) ∉ R 2 ) ;

    համընդհանուր վերաբերմունք U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A): ;

    հավելում R 1 U \ R 1, որտեղ U = A × A;

    նույնական հարաբերություն I: = ((a;a) / a ∈ A);

    հակադարձ կապՌ -1 1 R -1 1 = ((a,b) : (b,a) ∈ R 1);

    կազմը R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), որտեղ R 1 ⊂ A × C և R 2 ⊂C×B;

Սահմանում. Հարաբերությունների աստիճանը R-ն A բազմության վրա նրա կազմն է իր հետ:

Նշանակում:

Սահմանում. Եթե ​​R ⊂ A × B, ապա կոչվում է R º R -1 հարաբերության միջուկը Ռ .

Թեորեմ 3.1.Թող R ⊂ A × A լինի A բազմության վրա սահմանված հարաբերություն:

  1. R-ն ռեֆլեքսիվ է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ (այսուհետ՝ ⇔ նշանն է օգտագործվում), երբ ես ⊂ Ռ.
  2. R սիմետրիկ ⇔ R = R -1:
  3. R անցումային ⇔ R º R ⊂ R
  4. R-ն հակասիմետրիկ է ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I:
  5. R-ն հակառեֆլեքսիվ է ⇔ R ⌒ I = ∅:

Խնդիր 3.4 . Թող R լինի (1,2,3) և (1,2,3,4) բազմությունների հարաբերությունը, որը տրված է՝ թվարկելով զույգերը՝ R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)): Բացի այդ, S-ը S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)) բազմությունների միջև հարաբերությունն է: Հաշվեք R -1, S -1 և S º R: Ստուգեք, որ (S º R) -1 = R -1, S -1:

Լուծում.
R -1 = ((1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3));
S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4));
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)) = (S º R ) -1.

Խնդիր 3.5 . Թող R-ը լինի «...ծնող...» հարաբերությունը, իսկ S՝ «...եղբայր...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց բազմության վրա: Տվեք հարաբերությունների համառոտ բանավոր նկարագրություն.

R -1, S -1, R º S, S -1 º R -1 և R º R:

Լուծում.

R -1 - հարաբերություն «...երեխա ...»;

S -1 - հարաբերություն «...եղբայր կամ քույր...»;

R º S - հարաբերություն «...ծնող...»;

S -1 º R -1 - հարաբերություն «...երեխա...»

R º R - հարաբերություն «...տատիկ կամ պապիկ...»

Ինքնուրույն լուծելու խնդիրներ

1) Թող R-ը լինի «...հայր...» հարաբերությունը, իսկ S-ը՝ «...քույր...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց հավաքածուի վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

R -1, S -1, R º S, S -1 º R -1, R º R:

2) Թող R-ը լինի «...ախպեր...» հարաբերությունը, իսկ S՝ «...մայր...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց բազմության վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

R -1, S -1, S º R, R -1 º S -1, S º S.

3) Թող R-ը լինի «...պապ...» հարաբերությունը, իսկ S-ը՝ «...որդի...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց բազմության վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

4) Թող R-ը լինի «...դուստր...» հարաբերությունը, իսկ S՝ «...տատիկ...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց հավաքածուի վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

5) Թող R-ը լինի «...հայրիկ...» հարաբերությունը, իսկ S՝ «...հայր...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց հավաքածուի վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

R -1, S -1, S º R, R -1 º S -1, R º R:

6) Թող R-ը լինի «քույր...» հարաբերությունը, իսկ S-ը՝ «մայր...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց բազմության վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

R -1, S -1, R º S, S -1 º R -1, S º S.

7) Թող R-ը լինի «...մայր...» հարաբերությունը, իսկ S-ը՝ «...քույր...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց բազմության վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

R -1, S1, R º S, S1 º R1, S º S:

8) Թող R-ը լինի «...որդի...» հարաբերությունը, իսկ S՝ «...պապ...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց հավաքածուի վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

R -1, S -1, S º R, R -1 º S -1, R º R:

9) Թող R-ը լինի «...քույր...» հարաբերությունը, իսկ S՝ «...հայր...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց բազմության վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

R -1, S -1, R º S, S -1 º R -1, S º S.

10) Թող R-ը լինի «...մայր...» հարաբերությունը, իսկ S՝ «...եղբայր...» հարաբերությունը բոլոր մարդկանց բազմության վրա: Տվեք հարաբերությունների բանավոր նկարագրություն.

R -1, S -1, S º R, R -1 º S -1, R º R:

Առօրյա կյանքում մենք անընդհատ պետք է գործ ունենանք «հարաբերություններ» հասկացության հետ։ Հարաբերությունները բազմության տարրերի միջև հարաբերությունները ճշտելու եղանակներից մեկն են:

Միատարր (մեկ տեղ) հարաբերությունները արտացոլում են R-ի մի ատրիբուտի առկայությունը M բազմության տարրերում (օրինակ՝ «կարմիր լինելը» ափսեի մեջ գտնվող գնդակների վրա):

Երկուական (երկտեղանոց) հարաբերությունները օգտագործվում են փոխադարձ սահմանելու համար

միացումներ, որոնք բնութագրում են մի շարք տարրերի զույգերը Մ.

Օրինակ՝ մարդկանց մի շարքի վրա կարելի է սահմանել հետևյալ հարաբերությունները՝ «ապրիր նույն քաղաքում», « xաշխատում է ղեկավարության ներքո y», «որդի լինելը», «ավելի մեծ լինելը» և այլն: մի շարք թվերի վրա՝ «համար աավելի շատ համար բ", "թիվ աթվի բաժանարար է բ», «համարներ աԵվ բ 3-ի բաժանելիս տվեք նույն մնացորդը»:

Ուղղակի արտադրանքում, որտեղ Ա- ցանկացած համալսարանի շատ ուսանողներ, Բ- ուսումնասիրված առարկաների բազմազանություն, կարելի է առանձնացնել պատվիրված զույգերի մեծ ենթախումբ (ա, բ), ունենալով գույք՝ «ուս աուսումնասիրում է առարկան բ« Կառուցված ենթաբազմությունը արտացոլում է «ուսումնասիրությունների» հարաբերությունները, որոնք առաջանում են ուսանողների և առարկաների խմբերի միջև: Օրինակների քանակը կարելի է շարունակել

Երկու օբյեկտների փոխհարաբերությունները տնտեսագիտության, աշխարհագրության, կենսաբանության, ֆիզիկայի, լեզվաբանության, մաթեմատիկայի և այլ գիտությունների ուսումնասիրության առարկա են։

Երկու բազմությունների տարրերի միջև ցանկացած կապի խիստ մաթեմատիկական նկարագրության համար ներկայացվում է երկուական հարաբերությունների հայեցակարգը:

Երկուական կապ A և B բազմությունների միջևկոչվում է ուղիղ արտադրյալի R ենթաբազմություն. Այն դեպքում, երբ դուք կարող եք պարզապես խոսել հարաբերությունների մասին Ռվրա Ա.

Օրինակ 1. Դուրս գրի՛ր երկուական հարաբերություններին պատկանող դասավորված զույգերը Ռ 1Եվ Ռ 2, սահմանված հավաքածուների վրա ԱԵվ:,. Ենթաբազմություն Ռ 1բաղկացած է զույգերից՝ . Ենթաբազմություն.

Դոմեն Ռկա մի շարք բոլոր տարրերից Աայնպիսին, որ որոշ տարրերի համար մենք ունենք . Այսինքն՝ սահմանման տիրույթը Ռդասավորված զույգերի բոլոր առաջին կոորդինատների բազմությունն է Ռ.

Բազմաթիվ իմաստներհարաբերություններ Ռբայց բոլորից շատ կան այնպիսիք, որ ոմանց համար: Այսինքն՝ շատ իմաստներ Ռդասավորված զույգերի բոլոր երկրորդ կոորդինատների բազմությունն է Ռ.

Օրինակ 1-ում համար Ռ 1սահմանման տիրույթ՝ , արժեքների հավաքածու - . Համար Ռ 2սահմանման տիրույթ՝ , արժեքների բազմություն՝ .

Շատ դեպքերում հարմար է օգտագործել երկուական հարաբերությունների գրաֆիկական պատկերը: Դա արվում է երկու եղանակով՝ օգտագործելով հարթության վրա գտնվող կետերը և օգտագործելով սլաքները:

Առաջին դեպքում որպես հորիզոնական և ուղղահայաց առանցք ընտրվում են երկու փոխադարձ ուղղահայաց գծեր: Հավաքածուի տարրերը գծագրված են հորիզոնական առանցքի վրա Աև յուրաքանչյուր կետի միջով ուղղահայաց գիծ քաշիր: Հավաքածուի տարրերը գծագրված են ուղղահայաց առանցքի վրա Բ, յուրաքանչյուր կետի միջով անցկացրեք հորիզոնական գիծ: Հորիզոնական և ուղղահայաց գծերի հատման կետերը ներկայացնում են ուղղակի արտադրանքի տարրերը:

Օրինակ 5. Թող ,.

Թող Ռ 1սահմանվում է պատվիրված զույգերի ցուցակագրմամբ. Երկուական հարաբերություն Ռ 2հավաքածուի վրա նշվում է կանոնի միջոցով. զույգը պատվիրվում է, եթե աբաժանված բ. Հետո Ռ 2բաղկացած է զույգերից՝ .

Երկուական հարաբերություններ, օրինակ 2-ից, Ռ 1Եվ Ռ 2գրաֆիկորեն ներկայացված են Նկ. 6 և Նկ.7.

Բրինձ. 6 Նկ. 7

Երկուական կապը սլաքների միջոցով պատկերելու համար հավաքածուի տարրերը պատկերված են ձախ կողմում՝ որպես կետեր Ա, աջ կողմում՝ կոմպլեկտներ Բ. Յուրաքանչյուր զույգի համար (ա, բ)պարունակվող երկուական հարաբերություններում Ռ, սլաքը վերցված է աԴեպի բ, . Երկուական կապի գրաֆիկական ներկայացում Ռ 1Օրինակ 6-ում տրվածը ներկայացված է Նկար 8-ում:

Նկ.8

Վերջավոր բազմությունների վրա երկուական հարաբերությունները կարող են սահմանվել մատրիցներով: Ենթադրենք, մեզ տրված է երկուական հարաբերություն Ռհավաքածուների միջև ԱԵվ Բ. , .

Մատրիցայի տողերը համարակալվում են բազմության տարրերով Ա, իսկ սյունակները բազմության տարրեր են Բ. Մատրիցային բջիջ խաչմերուկում ես- օ տողեր և ժրդ սյունակը սովորաբար նշվում է C ij-ով և այն լրացվում է հետևյալ կերպ.

Ստացված մատրիցը կունենա չափ:

Օրինակ 6.Թող տրվի հավաքածու: Կոմպլեկտի վրա սահմանեք կապ ցուցակով և մատրիցով Ռ- «Խիստ պակաս»:

Վերաբերմունք Ռինչպես է հավաքածուն պարունակում բոլոր զույգ տարրերը ( ա, բ)-ից Մայնպիսին է, որ .

Վերոնշյալ կանոնների համաձայն կառուցված հարաբերությունների մատրիցն ունի հետևյալ ձևը.

Երկուական հարաբերությունների հատկությունները.

1. Երկուական հարաբերություն Ռմի հավաքածուի վրա կոչվում է արտացոլող, եթե որևէ տարրի համար ա-ից Մզույգ (ա, ա)պատկանում է Ռ, այսինքն. հարմար է ցանկացածի համար ա-ից Մ:

Հարաբերություններ «ապրիր նույն քաղաքում», «սովորիր նույն համալսարանում», «այլևս չեղիր» արտացոլող են.

2. Երկուական հարաբերություն կոչվում է հակառեֆլեկտիվ, եթե որեւէ մեկի համար ռեֆլեքսիվության հատկություն չունի ա:

Օրինակ՝ «ավելի մեծ լինել», «երիտասարդ լինել»: հակառեֆլեկտիվ հարաբերություններ.

3. Երկուական հարաբերություն Ռկանչեց սիմետրիկ, եթե որևէ տարրի համար աԵվ բ-ից Մինչ զույգից (ա, բ)պատկանում է Ռ...հետևում է, որ զույգը (բ, ա)պատկանում է Ռ, այսինքն.

Սիմետրիկգծերի զուգահեռությունը, քանի որ Եթե, ապա // . Սիմետրիկ հարաբերություններ«հավասար լինել» ցանկացած բազմության վրա կամ «հավասար լինել N-ի վրա»:

R կապը սիմետրիկ է, եթե և միայն R=R -1

4. Եթե չհամընկնող տարրերի համար կապը ճիշտ է, բայց սխալ, ապա հարաբերությունը հակասիմետրիկ. Դուք կարող եք դա այլ կերպ ասել.

Հարաբերությունները հակասիմետրիկ են«մեծ լինել», «N-ով բաժանարար լինել», «կրտսեր լինել»:

5. Երկուական կապ Ռկանչեց անցողիկ, եթե այդ զույգերի երեք տարրերի համար (ա, բ)Եվ (բ, գ)պատկանել Ռ, հետևում է, որ (a, c) զույգը պատկանում է Ռ:

Հարաբերությունները անցողիկ են«ավելի մեծ լինել», «զուգահեռ լինել», «հավասար լինել» և այլն:

6. Երկուական հարաբերություն Ռ հակատարանցիկ, եթե չունի անցումային հատկություն։

Օրինակ՝ «ուղղահայաց լինել» հարթության ուղիղ գծերի բազմության վրա (, , բայց դա ճիշտ չէ):

Որովհետեւ Քանի որ երկուական կապը կարող է սահմանվել ոչ միայն զույգերի ուղղակի ցուցակագրմամբ, այլև մատրիցով, խորհուրդ է տրվում պարզել, թե ինչ հատկանիշներ են բնութագրում հարաբերությունների մատրիցը: Ռ, եթե այն է՝ 1) ռեֆլեքսիվ, 2) հակառեֆլեքսիվ, 3) սիմետրիկ, 4) հակասիմետրիկ, 5) անցումային։

Թող Ռդրված է , .R-ն կամ կատարվում է երկու ուղղություններով, կամ ընդհանրապես չի կատարվում: Այսպիսով, եթե մատրիցը խաչմերուկում պարունակում է մեկը ես- օ տողեր և ժ- րդ սյունակ, այսինքն. C ij=1, ապա այն պետք է լինի խաչմերուկում ժ- օ տողեր և ես- րդ սյունակ, այսինքն. C ji=1, և հակառակը, եթե C ji=1, ապա C ij=1. Այսպիսով, սիմետրիկ հարաբերությունների մատրիցը սիմետրիկ է հիմնական անկյունագծի նկատմամբ:

4. Ռհակասիմետրիկ, եթե և հետևում է. Սա նշանակում է, որ համապատասխան մատրիցայում ոչ ես, ժչի կատարվել C ij =C ji=1. Այսպիսով, Հակասիմետրիկ հարաբերակցության մատրիցում չկա միավորներ, որոնք սիմետրիկ են հիմնական անկյունագծի նկատմամբ.

5. Ոչ դատարկ A բազմության վրա R երկուական հարաբերությունը կոչվում է անցողիկԵթե

Վերոնշյալ պայմանը պետք է բավարարվի մատրիցայի ցանկացած տարրի համար: Եվ, ընդհակառակը, եթե մատրիցայում Ռկա առնվազն մեկ տարր C ij=1, որի համար այս պայմանը չի բավարարվում, ապա Ռոչ անցողիկ.

SQL Server-ում T-SQL լեզուն հիմնված է ստանդարտ SQL լեզվի վրա, որը հիմնված է հարաբերական մոդելի վրա, որն իր հերթին հիմնված է մաթեմատիկական հիմքերի վրա, ինչպիսիք են բազմությունների տեսությունը և պրեդիկատների տրամաբանությունը: Այս հոդվածը ուսումնասիրում է բազմությունների տեսության հիմնարար թեմա՝ բազմությունների վրա հարաբերությունների հատկությունները: Ընթերցողները կարող են օգտագործել առաջարկվող T-SQL կոդերը՝ ստուգելու որոշակի հարաբերությունների որոշակի հատկությունների առկայությունը: Այնուամենայնիվ, կարող եք նաև փորձել գրել սկրիպտների ձեր սեփական տարբերակները (որոշելու համար, թե արդյոք կապն ունի որոշակի հատկություն), նախքան այս հոդվածում նկարագրված լուծումները կիրառելը:

Կոմպլեկտներ և հարաբերություններ

Բազմությունների տեսության ստեղծող Գեորգ Կանտորը բազմությունը սահմանում է որպես «մեր մտորումների կամ մտքի որոշակի հստակորեն տարբերվող օբյեկտների հավաքածուի որոշակի ամբողջության միացում (որը կկոչվի M բազմության տարրեր): Կոմպլեկտի տարրերը կարող են լինել կամայական բնույթի առարկաներ՝ մարդիկ, թվերը և նույնիսկ իրենք՝ բազմությունները: ∈ և ∉ նշանները համապատասխանաբար նշանակում են օպերատորներ, որոնք արտացոլում են բազմության մեջ որևէ տարրի անդամակցությունը (առաջացումը, անդամությունը) և չանդամակցելը: Այսպիսով, x ∈ V նշումը նշանակում է, որ x-ը V բազմության տարրն է, իսկ x ∉ V նշումը նշանակում է, որ x-ը V-ի տարր չէ։

Կոմպլեկտի վրա երկուական հարաբերությունը սկզբնական բազմության տարրերի դասավորված զույգերի մի շարք է: Այսպիսով, V = (a, b, c) տարրերի բազմության համար տրված V բազմության վրա երկուական R հարաբերությունը կլինի դեկարտյան արտադրյալի բոլոր դասավորված զույգերի բազմության կամայական ենթաբազմությունը V × V = ((a, ա), (ա, բ), (ա, գ), (բ, ա), (բ, բ), (բ, գ), (գ, ա), (գ, բ), (գ, գ) ) R = ((a, b), (b, c), (a, c)) հարաբերակցությունը վավերական երկուական հարաբերություն է V-ի վրա: Կարող ենք ասել, որ a-ն կապված է b-ի հետ R-ով: Ենթադրենք, որ R = ((a) , բ ), (բ, գ), (գ, դ)): Նման R-ը թույլատրելի հարաբերություն չէ V-ի վրա, քանի որ (c, d) զույգը չի պատկանում V × V դեկարտյան արտադրյալին: Նկատի ունեցեք, որ բազմության մեջ ներառված տարրերի նշված հաջորդականությունը կարևոր չէ: V բազմությունը կարող է սահմանվել որպես (a, b, c) կամ որպես (b, a, c) և այլն: Այնուամենայնիվ, դասավորված զույգերի կարգը, ինչպիսիք են (a, b) երկուական հարաբերությունները, կարևոր են. այսպիսով (a, b) ≠ (b, a).

Որպես երկուական հարաբերությունների ավելի իրատեսական օրինակ դիտարկենք ընտանիքի անդամների F բազմությունը (Իցիկ, Միկի, Իննա, Միլա, Գաբի): Միկին Իցիկի երկվորյակ եղբայրն է, Իննան՝ ավագ քույրը, Միլան՝ մայրը, Գաբին՝ հայրը։ F բազմության վրա R հարաբերության օրինակ կլինի. «եղբայր է»: Այս հարաբերությունների տարրերն են ((Itsik, Mickey), (Mickey, Itzik), (Itsik, Inna), (Mickey, Inna)): Մենք նշում ենք, որ պատվիրված զույգը (Itsik, Inna) հայտնվում է R-ում, իսկ զույգը (Inna, Itsik) ոչ: Չնայած Իցիկը Իննայի եղբայրն է, բայց նա նրա եղբայրը չէ։

Կոմպլեկտների վրա հարաբերությունների հատկությունները

Այժմ, երբ մենք թարմացրինք բազմությունների և հարաբերությունների մեր պատկերացումները, անցնենք հոդվածի թեմային՝ բազմությունների վրա հարաբերությունների հատկությունները։ Օրինակ՝ տվյալներ, օգտագործեք ցուցակում 1-ի կոդը՝ աղյուսակներ ստեղծելու համար V և R. V-ը կներկայացնի բազմություն, իսկ R-ը կներկայացնի երկուական հարաբերություն դրա վրա: Օգտագործեք Ցուցակ 2-ի կոդը՝ ստեղծելու ClearTables ընթացակարգ, որը կջնջի այս երկու աղյուսակներն էլ գրառումներից՝ նախքան դրանք լրացնելը նոր նմուշային տվյալներով: Վերջապես, օգտագործեք 3-րդ, 4-րդ և 5-րդ ցուցակների կոդը՝ V և R աղյուսակները փորձարկման համար տարբեր տվյալների հավաքածուներով համալրելու համար (մենք դրանք կանվանենք համապատասխանաբար 1, 2 և 3 տվյալների նմուշ):

Ռեֆլեքսիվություն. V բազմության վրա R հարաբերությունը ռեֆլեքսիվ է, եթե V, v ∈ V բազմության ցանկացած v տարրի համար հետևում է, որ (v, v) ∈ R, այսինքն, (v, v) զույգը միշտ պատկանում է R-ին: R հարաբերությունը V-ի վրա ռեֆլեքսիվ չէ, եթե կա v ∈ V տարր այնպիսին, որ (v, v) ∉ R զույգը: Դիտարկենք F բազմության օրինակը՝ իմ ընտանիքի անդամները:

F-ում «լինել նույն տարիքի» հարաբերությունն ակնհայտորեն ռեֆլեքսային է: Հարաբերությունների տարրերը կլինեն հետևյալ զույգերը՝ ((Itsik, Itsik), (Itsik, Mickey), (Mickey, Mickey), (Mickey, Itzik), (Inna, Inna), (Mila, Mila), (Gabi). , Գաբի)):

Եկեք սկսենք գրել T-SQL հարցում V և R աղյուսակների դեմ (որը ներկայացնում է բազմություն և հարաբերություն այս բազմության վրա)՝ ստուգելով, թե արդյոք R-ն ռեֆլեկտիվ է.

ԸՆՏՐԵԼ
ԴԵՊՔ
ԵՐԲ ԳՈՅԻ
(SELECT v, v FROM dbo.V
ԲԱՑԱՌԻ
SELECT r1, r2 FROM dbo.R)
ՀԵՏՈ «Ոչ»
ՈՒՐԻՇ «Այո»
ՎԵՐՋ ՈՐՊԵՍ ռեֆլեքսիվ

EXCEPT գործողության առաջին ենթահարկը վերադարձնում է բոլոր դասավորված զույգերի հավաքածուն (v, v) V աղյուսակի բոլոր տողերի համար: Երկրորդ ենթահարկը վերադարձնում է դասավորված զույգերի բազմությունը (r1, r2)՝ R աղյուսակի բոլոր տողերը: Բացառությամբ գործողությունը: Այսպիսով, կվերադարձնի բոլոր պատվիրված զույգերը, որոնք տեղի են ունեցել առաջինում և բացակայում են երկրորդ սեթում: EXISTS պրեդիկատը անհրաժեշտ է արդյունքների հավաքածուում առնվազն մեկ ռեկորդի առկայությունը ստուգելու համար: Եթե ​​կա առնվազն մեկ նման գրառում, ապա CASE արտահայտությունը կվերադարձնի «Ոչ» (առանց ռեֆլեքսիվության), բայց նաև «Այո» հակառակ դեպքում (կա ռեֆլեքսիվություն):

Նայեք 3-րդ, 4-րդ և 5-րդ ցուցակներում ներկայացված տվյալների երեք օրինակներին և փորձեք որոշել, թե որոնք են արտացոլող հարաբերություններ ունենալու առանց հարցում կատարելու: Պատասխանները ներկայացված են հոդվածի տեքստում:

Անդրադարձ. V բազմության վրա R հարաբերությունը կոչվում է անռեֆլեքսիվ (չշփոթել ոչ ռեֆլեքսիվության հետ), եթե v ∈ V յուրաքանչյուր տարրի համար հետևում է, որ (v, v) ∉ R: Հարաբերությունը անռեֆլեքսիվ չէ, եթե կա v ∈ տարր: V, որի համար (v, v) ∈ R. Իմ ընտանիքի անդամների F բազմության վրա ոչ ռեֆլեքսային հարաբերության օրինակ է «ծնող լինել» հարաբերությունը, քանի որ ոչ մի մարդ չի կարող լինել իր ծնողը: F-ի այս հարաբերության անդամները կլինեն հետևյալ զույգերը. .

Հետևյալ հարցումը ստուգում է, թե արդյոք R հարաբերությունը V-ի վրա չի արտացոլում.

ԸՆՏՐԵԼ
ԴԵՊՔ
ԵՐԲ ԳՈՅԻ
(Ընտրեք * dbo.R.-ից
ՈՐՏԵՂ r1 = r2)
ՀԵՏՈ «Ոչ»
ՈՒՐԻՇ «Այո»
ՎԵՐՋ ՈՐՊԵՍ անռեֆլեքսիվ

R աղյուսակի սահմանման օտարերկրյա բանալիները ներդրվել են՝ ապահովելու համար, որ միայն V-ի տարրերը կարող են կազմել R-ի R-ի r1 և r2 ատրիբուտները: Այսպիսով, մնում է միայն ստուգել, ​​թե արդյոք R-ում կան գրառումներ R1 և համապատասխան հատկանիշներով: r2. Եթե ​​այդպիսի մուտք է գտնվել, ապա R կապն անռեֆլեքսային չէ, եթե մուտք չկա, ապա այն անռեֆլեքսային է:

Համաչափություն. V բազմության վրա R հարաբերությունը կոչվում է սիմետրիկ, եթե (r1, r2) ∈ R, (r2, r1) ∈ R-ի հետ միասին միշտ բավարարված է: Հարաբերությունը սիմետրիկ չէ, եթե կա որևէ զույգ (r1, r2) ∈ R: որի համար (r2, r1) ∉ R. Բեն-Գան ընտանիքի անդամների F բազմության վրա «եղբայր է» հարաբերությունը կլինի սիմետրիկ հարաբերության օրինակ: Այս հարաբերության զույգերը կլինեն հետևյալ բազմությունները՝ ((Itsik, Mickey), (Itsik, Inna), (Mickey, Itzik), (Mickey, Inna), (Inna, Itzik), (Inna, Mickey)):

Հետևյալ հարցումը ստուգում է՝ արդյոք R-ի և V-ի կապը սիմետրիկ է.

ԸՆՏՐԵԼ
ԴԵՊՔ
ԵՐԲ ԳՈՅԻ
(Ընտրեք r1, r2 dbo.R.-ից
ԲԱՑԱՌԻ
SELECT r2, r1 FROM dbo.R)
ՀԵՏՈ «Ոչ»
ՈՒՐԻՇ «Այո»
ԱՎԱՐՏ՝ ՈՐՊԵՍ սիմետրիկ

Հարցման կոդը օգտագործում է EXCEPT գործողությունը: EXCEPT գործողության առաջին ենթհարցումը վերադարձնում է պատվիրված զույգերի մի շարք (r1, r2)՝ R աղյուսակի գրառումներ, իսկ երկրորդը՝ պատվիրված զույգերի մի շարք (r2, r1) R-ի յուրաքանչյուր գրառման համար: Եթե R հարաբերությունը V բազմությունը սիմետրիկ չէ, այնուհետև EXCEPT գործողությունը կվերադարձնի ոչ դատարկ արդյունքների հավաքածու, իսկ EXISTS պրեդիկատը, համապատասխանաբար, TRUE արժեքը և, վերջապես, CASE արտահայտությունը կվերադարձնի «Ոչ»:

Եթե ​​հարաբերությունները սիմետրիկ են, ապա CASE արտահայտությունը կտա «Այո»:

Ասիմետրիա. V բազմության վրա R հարաբերությունն ասիմետրիկ է (այս հատկությունը չպետք է շփոթել ասիմետրիայի հետ), եթե յուրաքանչյուր բազմության համար (r1, r2) ∈ R, որտեղ r1 ≠ r2, ճիշտ է, որ (r2, r1) ∉ R. An բազմության վրա ասիմետրիկ հարաբերության օրինակ Հեղինակի ընտանիքի F անդամները կունենան վերը նկարագրված «ծնող լինելու» հարաբերությունը: Որպես վարժություն, փորձեք բերել հարաբերությունների օրինակ ոչ դատարկ բազմության վրա, որը և՛ սիմետրիկ է, և՛ ասիմետրիկ: Լուծման համար ստուգեք այս հոդվածի օրինակի տվյալները:

ԸՆՏՐԵԼ
ԴԵՊՔ
ԵՐԲ ԳՈՅԻ
(Ընտրեք r1, r2 dbo.R-ից, որտեղ r1 r2
ՀԱՏՎԱԾ
SELECT r2, r1 FROM dbo.R WHERE r1 r2)
ՀԵՏՈ «Ոչ»
ՈՒՐԻՇ «Այո»
ԱՎԱՐՏ ՈՐՊԵՍ ասիմետրիկ

Կոդն օգտագործում է INTERSECT գործողությունը: Այս գործողության առաջին ենթահարկը վերադարձնում է պատվիրված զույգը (r1, r2) R աղյուսակի յուրաքանչյուր գրառման համար, որտեղ r1 r2:

INTERSECT գործողության երկրորդ ենթահարկը վերադարձնում է պատվիրված զույգը (r2, r1) R աղյուսակի յուրաքանչյուր գրառման համար, որտեղ r1 r2: Եթե ​​արդյունքների հավաքածուն (այս բազմությունների հատման արդյունքը) ներառում է առնվազն մեկ գրառում, դա կնշանակի, որ R-ն ասիմետրիկ չէ. հակառակ դեպքում R-ն ասիմետրիկ է:

Անցումային. R հարաբերակցությունը V բազմության վրա անցողիկ է, եթե (a, b) ∈ R և (b, c) ∈ R ընդգրկումները միշտ ենթադրում են, որ (a, c) ∈ R: Ընտանիքի անդամների մի շարքի վրա անցումային հարաբերությունների օրինակ F կլինի «եղբայր կամ քույր» հարաբերությունը, որը քննարկվել է վերևում:

Ստորև բերված կոդը ստուգում է R կապի անցողիկությունը.

ԸՆՏՐԵԼ
ԴԵՊՔ
ԵՐԲ ԳՈՅԻ
(Ընտրեք *
dbo.R AS ՀՀ-ից
ՆԵՐՔԻՆ ՄԻԱՑԵՔ dbo.R AS RB
ON RA.r2 = RB.r1
ՁԱԽ ԱՐՏԱՔԻՆ ՄԻԱՑԵԼ dbo.R AS RC
ՎՐԱ RA.r1 = RC.r1 ԵՎ RB.r2 = RC.r2
ՈՐՏԵՂ RC.r1-ը զրոյական է)
ՀԵՏՈ «Ոչ»
ՈՒՐԻՇ «Այո»
ՎԵՐՋ ՈՐՊԵՍ անցողիկ

Կոդը նախ օգտագործում է ներքին միացում R-ի երկու օրինակների միջև՝ ընտրելու միայն այն տողերը, որտեղ r2-ն առաջին ատյանի համընկնում է r1-ին երկրորդ դեպքում: Երկրորդ, կոդը օգտագործում է ձախ արտաքին միացում R աղյուսակի երրորդ օրինակի հետ, ըստ որի R-ի առաջին ատյանի r1-ը նույնն է, ինչ երրորդ ատյանի r1-ը, իսկ երկրորդ ատյանի r2-ը նույնն է, ինչ R2-ի r2-ը: երրորդ. Եթե ​​ներքին ենթահարցում կա առնվազն մեկ արդյունքի տող (երրորդ ատյանի ընտրության պայմանը. r1-ը Null է), դա նշանակում է, որ հարաբերությունը անցումային չէ. հակառակ դեպքում R կապը անցողիկ է։

Համարժեքության հարաբերություն.Համարժեքության հարաբերությունը այն հարաբերությունն է, որը միաժամանակ ունի ռեֆլեքսիվության, համաչափության և անցողիկության հատկություններ։ Դուք կարող եք օգտագործել վերևում առաջարկված հարցումները՝ յուրաքանչյուր հատկության առկայությունը առանձին ստուգելու համար. եթե հարաբերությունն ունի բոլոր երեքը, ապա մենք պետք է եզրակացնենք, որ համարժեք հարաբերություն է գործում: Բացի այդ, դուք կարող եք օգտագործել Ցուցակ 6-ի կոդը՝ փորձարկելու R հարաբերության բոլոր հատկությունները V բազմության վրա, որոնք քննարկվել էին ավելի վաղ հոդվածում, ներառյալ՝ փորձարկելով համարժեք հարաբերություն լինելու հատկությունը: Եթե ​​դուք գործարկում եք Ցուցակ 6-ը 1-ին, 2-րդ և 3-րդ ընտրանքային տվյալների վրա (համապատասխանաբար 3, 4 և 5 ցուցակներից ստացված), դուք կստանաք համապատասխանաբար 1-ին, 2-րդ և 3-րդ աղյուսակներում ցուցադրված արդյունքները:

Վերադարձ դեպի հիմունքներ T-SQL

Այսպիսով, մենք ուսումնասիրեցինք մի հիմնարար թեմա մաթեմատիկական բազմությունների տեսությունից՝ բազմությունների վրա հարաբերությունների հատկությունները: Ես առաջարկել եմ T-SQL թեստային ծածկագրեր՝ V աղյուսակով ներկայացված տարրերի բազմության վրա R աղյուսակով ներկայացված որոշ հարաբերությունների հատկությունները ստուգելու համար:

Հիմնական T-SQL կոնստրուկցիաների օգտագործումը մեզ օգնեց ճիշտ կարգավորել և կիրառել այս լեզվի գործիքները բազմությունների վրա հարաբերությունների հատկությունների ավելի լավ հասկանալու համար:

Իցիկ Բեն-Գան ( [էլփոստը պաշտպանված է]) - ուսուցիչ և խորհրդատու, T-SQL-ի վերաբերյալ գրքերի հեղինակ, ունի SQL Server MVP կոչում