მათემატიკური გულსაკიდიარის მატერიალური წერტილი, რომელიც ჩამოკიდებულია უწონო და გაუწელვებელ ძაფზე, რომელიც მდებარეობს დედამიწის გრავიტაციულ ველში. მათემატიკური ქანქარა არის იდეალიზებული მოდელი, რომელიც სწორად აღწერს რეალურ ქანქარას მხოლოდ გარკვეულ პირობებში. ნამდვილი გულსაკიდი შეიძლება ჩაითვალოს მათემატიკურად, თუ ძაფის სიგრძე ბევრად აღემატება მისგან დაკიდებული სხეულის ზომებს, ძაფის წონა სხეულის მასასთან შედარებით უმნიშვნელოა და ძაფის დეფორმაციები იმდენად მცირეა. რომ მათი სრული უგულებელყოფა შეიძლება.

ამ შემთხვევაში რხევის სისტემას აყალიბებს ძაფი, მასზე მიმაგრებული სხეული და დედამიწა, რომლის გარეშეც ეს სისტემა ქანქარად ვერ იქცევა.

სადაც ა NS – აჩქარება, გ - გრავიტაციის აჩქარება, NS- ოფსეტური, ლარის ქანქარის ძაფის სიგრძე.

ეს განტოლება ე.წ მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევების განტოლება.ის სწორად აღწერს განხილულ რყევებს მხოლოდ მაშინ, როდესაც შესრულებულია შემდეგი დაშვებები:

2) განიხილება ქანქარის მხოლოდ მცირე რხევები მცირე რხევის კუთხით.

ნებისმიერი სისტემის თავისუფალი ვიბრაცია ყველა შემთხვევაში აღწერილია მსგავსი განტოლებით.

მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევების მიზეზებია:

1. დაძაბულობის ძალისა და მიზიდულობის ძალის ქანქარზე მოქმედება, რომელიც ხელს უშლის მის გადაადგილებას წონასწორული მდგომარეობიდან და აიძულებს ხელახლა დაღმართს.

2. ქანქარის ინერცია, რის გამოც იგი სიჩქარის შენარჩუნებისას არ ჩერდება წონასწორობის მდგომარეობაში, არამედ გადის მასში შემდგომში.

მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევების პერიოდი

მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევების პერიოდი არ არის დამოკიდებული მის მასაზე, მაგრამ განისაზღვრება მხოლოდ ძაფის სიგრძით და გრავიტაციის აჩქარებით იმ ადგილას, სადაც მდებარეობს ქანქარა.

ენერგიის გარდაქმნა ჰარმონიული ვიბრაციებით

ზამბარის ქანქარის ჰარმონიული რხევების დროს ელასტიურად დეფორმირებული სხეულის პოტენციური ენერგია გარდაიქმნება მის კინეტიკურ ენერგიად, სადაც კ – ელასტიურობის კოეფიციენტი, NS -ქანქარის გადაადგილების მოდული წონასწორული პოზიციიდან, მარის ქანქარის მასა, ვარის მისი სიჩქარე. ჰარმონიული ვიბრაციის განტოლების მიხედვით:

, .

ზამბარის ქანქარის ჯამური ენერგია:

.

ჯამური ენერგია მათემატიკური ქანქარისთვის:

მათემატიკური ქანქარის შემთხვევაში

ენერგიის გარდაქმნები ზამბარის ქანქარის რხევების დროს ხდება მექანიკური ენერგიის შენარჩუნების კანონის შესაბამისად ( ). როდესაც ქანქარა მოძრაობს ქვემოთ ან ზემოთ წონასწორული პოზიციიდან, მისი პოტენციური ენერგია იზრდება, ხოლო კინეტიკური ენერგია მცირდება. როდესაც ქანქარა გადის წონასწორობის პოზიციას ( NS= 0), მისი პოტენციური ენერგია არის ნულოვანი და ქანქარის კინეტიკურ ენერგიას აქვს უდიდესი მნიშვნელობა, ტოლი მისი მთლიანი ენერგიისა.

ამგვარად, ქანქარის თავისუფალი რხევების პროცესში მისი პოტენციური ენერგია გარდაიქმნება კინეტიკურად, კინეტიკური პოტენციალად, პოტენციალი შემდეგ ისევ კინეტიკურად და ა.შ. მაგრამ მთლიანი მექანიკური ენერგია უცვლელი რჩება.

იძულებითი ვიბრაციები. რეზონანსი.

გარე პერიოდული ძალის მოქმედებით წარმოქმნილ რხევებს უწოდებენ იძულებითი ყოყმანი... გარეგანი პერიოდული ძალა, რომელსაც ფორსირებას უწოდებენ, დამატებით ენერგიას ანიჭებს რხევის სისტემას, რომელიც გამოიყენება ხახუნის გამო ენერგიის დანაკარგების შესავსებად. თუ მამოძრავებელი ძალა დროთა განმავლობაში იცვლება სინუსის ან კოსინუსური კანონის მიხედვით, მაშინ იძულებითი რხევები იქნება ჰარმონიული და დაუცველი.

თავისუფალი რხევებისგან განსხვავებით, როდესაც სისტემა ენერგიას იღებს მხოლოდ ერთხელ (როდესაც სისტემა ამოღებულია წონასწორობის მდგომარეობიდან), იძულებითი რხევების შემთხვევაში სისტემა მუდმივად შთანთქავს ამ ენერგიას გარე პერიოდული ძალის წყაროდან. ეს ენერგია ანაზღაურებს ხახუნის დაძლევაზე დახარჯულ დანაკარგებს და, შესაბამისად, რხევითი სისტემის მთლიანი ენერგია უცვლელი რჩება.

იძულებითი ვიბრაციების სიხშირე უდრის მამოძრავებელი ძალის სიხშირეს... იმ შემთხვევაში, როდესაც მამოძრავებელი ძალის სიხშირე υ ემთხვევა რხევითი სისტემის ბუნებრივ სიხშირეს υ 0 , მკვეთრად იზრდება იძულებითი რხევების ამპლიტუდა - რეზონანსი. რეზონანსი წარმოიქმნება იმის გამო, რომ როდესაც υ = υ 0 გარეგანი ძალა, რომელიც დროში მოქმედებს თავისუფალი რხევებით, ყოველთვის თანამართულია რხევადი სხეულის სიჩქარესთან და ასრულებს დადებით მუშაობას: რხევადი სხეულის ენერგია იზრდება და მისი რხევების ამპლიტუდა დიდი ხდება. იძულებითი ვიბრაციების ამპლიტუდის დამოკიდებულების გრაფიკი ა თ მამოძრავებელი ძალის სიხშირეზე υ ნახატზე ნაჩვენები ამ გრაფიკს რეზონანსის მრუდი ეწოდება:

რეზონანსის ფენომენი მნიშვნელოვან როლს ასრულებს მთელ რიგ ბუნებრივ, სამეცნიერო და სამრეწველო პროცესებში. მაგალითად, აუცილებელია გავითვალისწინოთ რეზონანსის ფენომენი ხიდების, შენობების და სხვა სტრუქტურების დაპროექტებისას, რომლებიც განიცდიან ვიბრაციას დატვირთვის ქვეშ, წინააღმდეგ შემთხვევაში, გარკვეულ პირობებში, ეს სტრუქტურები შეიძლება განადგურდეს.

მათემატიკური ქანქარა წვრილ გაუწელვებელ ძაფზე დაკიდებულ მცირე ზომის სხეულს უწოდებენ, რომლის მასა სხეულის მასასთან შედარებით უმნიშვნელოა. წონასწორობის მდგომარეობაში, როდესაც ქანქარა ჩამოკიდებულია ქლიავის ხაზის გასწვრივ, გრავიტაციის ძალა დაბალანსებულია ძაფის დაჭიმვის ძალით. როდესაც ქანქარა წონასწორობის პოზიციიდან გადახრილია გარკვეული კუთხით φ, სიმძიმის ძალის ტანგენტური კომპონენტი. ჩნდება ფ τ = - მგ sin φ (ნახ. 2.3.1). მინუს ნიშანი ამ ფორმულაში ნიშნავს, რომ ტანგენტის კომპონენტი მიმართულია ქანქარის გადახრის საპირისპირო მიმართულებით.

თუ აღვნიშნავთ xქანქარის წრფივი გადაადგილება წონასწორული პოზიციიდან რადიუსის წრის რკალის გასწვრივ ლ, მაშინ მისი კუთხური გადაადგილება ტოლი იქნება φ = x / ლ... ნიუტონის მეორე კანონი, რომელიც დაწერილია აჩქარებისა და ძალის ვექტორების პროექციაზე ტანგენტის მიმართულებაზე, იძლევა:

ეს ურთიერთობა აჩვენებს, რომ მათემატიკური ქანქარა არის რთული არაწრფივისისტემა, ვინაიდან ძალა, რომელიც აბრუნებს ქანქარას წონასწორობის მდგომარეობაში, პროპორციულია და არა გადაადგილების x, ა

მხოლოდ იმ შემთხვევაშიმცირე რყევები როდესაც დაახლოებითშეიძლება შეიცვალოსმათემატიკური გულსაკიდი არის ჰარმონიული ოსცილატორი, ანუ სისტემა, რომელსაც შეუძლია შეასრულოს ჰარმონიული რხევები. პრაქტიკაში, ეს მიახლოება მოქმედებს 15-20 ° რიგის კუთხეებისთვის; ამ შემთხვევაში, ღირებულება განსხვავდება არაუმეტეს 2%. ქანქარის რხევები დიდ ამპლიტუდებზე არ არის ჰარმონიული.

მათემატიკური ქანქარის მცირე რხევებისთვის ნიუტონის მეორე კანონი იწერება სახით

ამრიგად, ტანგენციალური აჩქარება აქანქარის τ მისი გადაადგილების პროპორციულია xსაპირისპირო ნიშნით აღებული. ეს არის ზუსტად ის პირობა, რომლითაც სისტემა არის ჰარმონიული ოსცილატორი. როგორც ზოგადი წესი ყველა სისტემისთვის, რომელსაც შეუძლია შეასრულოს თავისუფალი ჰარმონიული რხევები, პროპორციულობის კოეფიციენტის მოდული წონასწორობის პოზიციიდან აჩქარებასა და გადაადგილებას შორის უდრის კუთხური სიხშირის კვადრატს:

ეს ფორმულა გამოხატავს მათემატიკური ქანქარის მცირე რხევების ბუნებრივი სიხშირე .

აქედან გამომდინარე,

ბრუნვის ჰორიზონტალურ ღერძზე დადგმულ ნებისმიერ სხეულს შეუძლია შეასრულოს თავისუფალი რხევები გრავიტაციულ ველში და, შესაბამისად, ასევე არის ქანქარა. ასეთ ქანქარას ჩვეულებრივ უწოდებენ ფიზიკური (ნახ. 2.3.2). მათემატიკურისგან მხოლოდ მასების განაწილებით განსხვავდება. სტაბილური წონასწორობის მდგომარეობაში, მასის ცენტრი Cფიზიკური გულსაკიდი მდებარეობს O ბრუნვის ღერძის ქვემოთ ღერძზე გამავალ ვერტიკალურზე. როდესაც ქანქარა გადახრილია φ კუთხით, ჩნდება გრავიტაციის მომენტი, რომელიც მიდრეკილია დააბრუნოს ქანქარა წონასწორულ მდგომარეობაში:

მ = -(მგ sin φ) დ.

Აქ დ- მანძილი ბრუნვის ღერძსა და მასის ცენტრს შორის C.

სურათი 2.3.2. ფიზიკური გულსაკიდი

მინუს ნიშანი ამ ფორმულაში, როგორც ყოველთვის, ნიშნავს, რომ ძალების მომენტი მიდრეკილია მოატრიალოს ქანქარა წონასწორობის პოზიციიდან მისი გადახრის საწინააღმდეგო მიმართულებით. როგორც მათემატიკური ქანქარის შემთხვევაში, მომენტის დაბრუნება მპროპორციული. ეს ნიშნავს, რომ მხოლოდ მცირე კუთხით, როდესაც ფიზიკურ ქანქარს შეუძლია შეასრულოს თავისუფალი ჰარმონიული რხევები. მცირე რყევების შემთხვევაში

და ნიუტონის მეორე კანონი ფიზიკური ქანქარისთვის იღებს ფორმას

სადაც ε არის ქანქარის კუთხური აჩქარება, მე- ქანქარის ინერციის მომენტი ბრუნვის ღერძის მიმართ ო... აჩქარებასა და გადაადგილებას შორის პროპორციულობის კოეფიციენტის მოდული უდრის კუთხური სიხშირის კვადრატს:

აქ ω 0 - ფიზიკური ქანქარის მცირე რხევების ბუნებრივი სიხშირე .

აქედან გამომდინარე,

ფორმულების უფრო მკაცრი წარმოშობა ω 0 და თშეიძლება გაკეთდეს, თუ გავითვალისწინებთ კუთხური აჩქარებისა და კუთხური გადაადგილების მათემატიკურ კავშირს: კუთხური აჩქარება ε არის კუთხური გადაადგილების φ მეორე წარმოებული დროის მიმართ:

მაშასადამე, განტოლება, რომელიც გამოხატავს ნიუტონის მეორე კანონს ფიზიკური ქანქარისთვის, შეიძლება დაიწეროს ფორმით

ეს არის თავისუფალი ჰარმონიული ვიბრაციების განტოლება.

ამ განტოლების კოეფიციენტს აქვს ფიზიკური ქანქარის თავისუფალი ჰარმონიული რხევების წრიული სიხშირის კვადრატის მნიშვნელობა.

ბრუნვის ღერძის პარალელურად გადატანის თეორემით (შტაინერის თეორემა), ინერციის მომენტი მეშეიძლება გამოიხატოს ინერციის მომენტში მეCღერძის შესახებ, რომელიც გადის მასის ცენტრში Cქანქარა და ბრუნვის ღერძის პარალელურად:

და ბოლოს, ფიზიკური ქანქარის თავისუფალი რხევების წრიული სიხშირისთვის ω 0 მიიღება შემდეგი გამოხატულება:

თანკრინშოტიქვესტიგანსაზღვრის შესახებწადიპლანეტები

10.4. ენერგიის დაზოგვის კანონი ჰარმონიული ვიბრაციებისთვის

10.4.1. ენერგიის კონსერვაცია ზე მექანიკური ჰარმონიული ვიბრაციები

ენერგიის კონსერვაცია მათემატიკური ქანქარის რხევების დროს

ჰარმონიული ვიბრაციებით, სისტემის მთლიანი მექანიკური ენერგია შენარჩუნებულია (რჩება მუდმივი).

მათემატიკური ქანქარის ჯამური მექანიკური ენერგია

E = W k + W p,

სადაც W k - კინეტიკური ენერგია, W k = = mv 2/2; W p - პოტენციური ენერგია, W p = mgh; m არის ტვირთის მასა; g - თავისუფალი ვარდნის აჩქარების მოდული; v - ტვირთის სიჩქარის მოდული; თ - ტვირთის აწევის სიმაღლე წონასწორობის პოზიციის ზემოთ (სურ. 10.15).

ჰარმონიული ვიბრაციებით, მათემატიკური გულსაკიდი გადის რამდენიმე თანმიმდევრულ მდგომარეობას, ამიტომ მიზანშეწონილია განიხილოს მათემატიკური ქანქარის ენერგია სამ პოზიციაზე (იხ. სურ.10.15):

ბრინჯი. 10.15

1) in წონასწორობის პოზიცია

პოტენციური ენერგია ნულის ტოლია; ჯამური ენერგია ემთხვევა მაქსიმალურ კინეტიკურ ენერგიას:

E = W k max;

2) in ექსტრემალური პოზიცია(2) სხეული საწყის დონეზე მაღლა დგას მაქსიმალურ სიმაღლეზე h max, ასე რომ პოტენციური ენერგია ასევე მაქსიმალურია:

W p max = m g h max;

კინეტიკური ენერგია ნულის ტოლია; მთლიანი ენერგია ემთხვევა მაქსიმალურ პოტენციურ ენერგიას:

E = W p max;

3) in შუალედური პოზიცია(3) სხეულს აქვს მყისიერი სიჩქარე v და საწყის დონეზე მაღლა დგას გარკვეულ სიმაღლეზე h, ამიტომ მთლიანი ენერგია არის ჯამი.

E = m v 2 2 + მ გ სთ,

სადაც mv 2/2 - კინეტიკური ენერგია; მგჰ - პოტენციური ენერგია; m არის ტვირთის მასა; g - თავისუფალი ვარდნის აჩქარების მოდული; v - ტვირთის სიჩქარის მოდული; h არის ტვირთის აწევის სიმაღლე წონასწორობის პოზიციის ზემოთ.

მათემატიკური ქანქარის ჰარმონიული რხევებით, მთლიანი მექანიკური ენერგია შენარჩუნებულია:

E = კონსტ.

მათემატიკური ქანქარის მთლიანი ენერგიის მნიშვნელობები მის სამ პოზიციაზე აისახება ცხრილში. 10.1.

№	თანამდებობა	W გვ	ვ კ	E = W p + W k
1	წონასწორობა	0	m v max 2/2	m v max 2/2
2	ექსტრემალური	მგ/სთ მაქს	0	მგ/სთ მაქს
3	შუალედური (მყისიერი)	მგჰ	მვ 2/2	მვ 2/2 + მგ/სთ

ცხრილის ბოლო სვეტში წარმოდგენილი ჯამური მექანიკური ენერგიის მნიშვნელობები. 10.1, აქვს თანაბარი მნიშვნელობები ქანქარის ნებისმიერი პოზიციისთვის, რაც მათემატიკური გამოხატულებაა:

m v max 2 2 = m g h max;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h;

m g h max = m v 2 2 + m g h,

სადაც m არის ტვირთის მასა; g - თავისუფალი ვარდნის აჩქარების მოდული; v არის დატვირთვის მყისიერი სიჩქარის მოდული მე-3 პოზიციაზე; h - დატვირთვის აწევის სიმაღლე წონასწორობის პოზიციის ზემოთ მე-3 პოზიციაზე; v max - ტვირთის მაქსიმალური სიჩქარის მოდული 1 პოზიციაზე; h max არის ტვირთის აწევის მაქსიმალური სიმაღლე წონასწორობის პოზიციის ზემოთ მე-2 პოზიციაზე.

ძაფის გადახრის კუთხემათემატიკური ქანქარა ვერტიკალურიდან (სურ.10.15) განისაზღვრება გამოსახულებით

cos α = l - h l = 1 - h l,

სადაც l არის ძაფის სიგრძე; h არის ტვირთის აწევის სიმაღლე წონასწორობის პოზიციის ზემოთ.

მაქსიმალური კუთხეგადახრა α max განისაზღვრება ტვირთის მაქსიმალური აწევის სიმაღლით წონასწორობის პოზიციის h max ზემოთ:

cos α max = 1 - h max l.

მაგალითი 11. მათემატიკური ქანქარის მცირე რხევების პერიოდი არის 0,9 წმ. ვერტიკალურიდან რა მაქსიმალური კუთხით გადაიხრება ძაფი, თუ წონასწორობის მდგომარეობაში გავლისას ბურთი მოძრაობს 1,5 მ/წმ სიჩქარით? სისტემაში ხახუნი არ არის.

გამოსავალი . ფიგურაში ნაჩვენებია მათემატიკური გულსაკიდის ორი პოზიცია:

• წონასწორობის პოზიცია 1 (ახასიათებს ბურთის მაქსიმალური სიჩქარე v max);
• უკიდურესი პოზიცია 2 (ახასიათებს ბურთის აწევის მაქსიმალური სიმაღლე h max წონასწორობის პოზიციის ზემოთ).

სასურველი კუთხე განისაზღვრება ტოლობით

cos α max = l - h max l = 1 - h max l,

სადაც l არის ქანქარის ძაფის სიგრძე.

ჩვენ ვპოულობთ ქანქარის ბურთის მაქსიმალურ სიმაღლეს წონასწორობის პოზიციაზე მაღლა, მთლიანი მექანიკური ენერგიის შენარჩუნების კანონიდან.

ქანქარის ჯამური ენერგია წონასწორობის და უკიდურეს მდგომარეობაში განისაზღვრება შემდეგი ფორმულებით:

• წონასწორობის მდგომარეობაში -

E 1 = m v max 2 2,

სადაც m არის ქანქარის ბურთის მასა; v max არის ბურთის სიჩქარის მოდული წონასწორობის მდგომარეობაში (მაქსიმალური სიჩქარე), v max = 1,5 მ/წმ;

• ექსტრემალურ მდგომარეობაში -

E 2 = მგ/სთ მაქს,

სადაც g არის გრავიტაციული აჩქარების მოდული; h max არის ბურთის მაქსიმალური სიმაღლე წონასწორობის პოზიციის ზემოთ.

მთლიანი მექანიკური ენერგიის შენარჩუნების კანონი:

m v max 2 2 = m g h max.

აქედან გამოვხატოთ ბურთის მაქსიმალური სიმაღლე წონასწორობის პოზიციის ზემოთ:

h max = v max 2 2 გ.

ძაფის სიგრძე განისაზღვრება მათემატიკური ქანქარის რხევის პერიოდის ფორმულით

T = 2 π ლ გ,

იმათ. ძაფის სიგრძე

l = T 2 გ 4 π 2.

ჩაანაცვლეთ h max და l გამოსახულებაში სასურველი კუთხის კოსინუსისთვის:

cos α max = 1 - 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

და ჩვენ გავაკეთებთ გამოთვლას π 2 = 10 სავარაუდო ტოლობის გათვალისწინებით:

cos α max = 1 - 2 ⋅ 10 ⋅ (1.5) 2 10 2 ⋅ (0.9) 2 = 0.5.

აქედან გამომდინარეობს, რომ მაქსიმალური გადახრის კუთხე არის 60 °.

მკაცრად რომ ვთქვათ, 60 ° კუთხით, ბურთის რხევები არ არის მცირე და შეუსაბამოა სტანდარტული ფორმულის გამოყენება მათემატიკური ქანქარის რხევის პერიოდისთვის.

ენერგიის კონსერვაცია ზამბარის ქანქარის რხევების დროს

ზამბარის ქანქარის ჯამური მექანიკური ენერგიაშედგება კინეტიკური ენერგიისა და პოტენციური ენერგიისგან:

E = W k + W p,

სადაც W k - კინეტიკური ენერგია, W k = mv 2/2; W p - პოტენციური ენერგია, W p = k (Δx) 2/2; m არის ტვირთის მასა; v - ტვირთის სიჩქარის მოდული; k - ზამბარის სიმყარის (ელასტიურობის) კოეფიციენტი; Δx - ზამბარის დეფორმაცია (დაჭიმვა ან შეკუმშვა) (სურ. 10.16).

ერთეულთა საერთაშორისო სისტემაში მექანიკური რხევითი სისტემის ენერგია იზომება ჯოულებში (1 ჯ).

ჰარმონიული ვიბრაციებით, ზამბარის ქანქარა გადის რამდენიმე თანმიმდევრულ მდგომარეობას, ამიტომ მიზანშეწონილია ზამბარის ქანქარის ენერგია განიხილოს სამ პოზიციაზე (იხ. სურ.10.16):

1) in წონასწორობის პოზიცია(1) სხეულის სიჩქარეს აქვს მაქსიმალური მნიშვნელობა v max, ამიტომ კინეტიკური ენერგიაც მაქსიმალურია:

W k max = m v max 2 2;

ზამბარის პოტენციური ენერგია ნულის ტოლია, ვინაიდან ზამბარა არ არის დეფორმირებული; ჯამური ენერგია ემთხვევა მაქსიმალურ კინეტიკურ ენერგიას:

E = W k max;

2) in ექსტრემალური პოზიცია(2) ზამბარას აქვს მაქსიმალური დეფორმაცია (Δx max), ამიტომ პოტენციურ ენერგიას ასევე აქვს მაქსიმალური მნიშვნელობა:

W p max = k (Δ x max) 2 2;

სხეულის კინეტიკური ენერგია ნულის ტოლია; მთლიანი ენერგია ემთხვევა მაქსიმალურ პოტენციურ ენერგიას:

E = W p max;

3) in შუალედური პოზიცია(3) სხეულს აქვს მყისიერი სიჩქარე v, ზამბარას აქვს ამ მომენტში გარკვეული დეფორმაცია (Δx), ამიტომ მთლიანი ენერგია არის ჯამი.

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

სადაც mv 2/2 - კინეტიკური ენერგია; k (Δx) 2/2 - პოტენციური ენერგია; m არის ტვირთის მასა; v - ტვირთის სიჩქარის მოდული; k - ზამბარის სიმყარის (ელასტიურობის) კოეფიციენტი; Δx - ზამბარის დეფორმაცია (დაჭიმვა ან შეკუმშვა).

როდესაც ზამბარის გულსაკიდის დატვირთვა წონასწორობის პოზიციიდან გადადის, მასზე მოქმედებს ძალის აღდგენა, რომლის პროექციაც ქანქარის მოძრაობის მიმართულებით განისაზღვრება ფორმულით

F x = −kx,

სადაც x არის ზამბარის ქანქარის წონის გადაადგილება წონასწორული პოზიციიდან, x = ∆x, ∆x არის ზამბარის დეფორმაცია; k - ქანქარის ზამბარის სიმყარის (ელასტიურობის) კოეფიციენტი.

ზამბარის ქანქარის ჰარმონიული რხევებით, მთლიანი მექანიკური ენერგია შენარჩუნებულია:

E = კონსტ.

ზამბარის ქანქარის მთლიანი ენერგიის მნიშვნელობები მის სამ პოზიციაზე ნაჩვენებია ცხრილში. 10.2.

№	თანამდებობა	W გვ	ვ კ	E = W p + W k
1	წონასწორობა	0	m v max 2/2	m v max 2/2
2	ექსტრემალური	k (Δx max) 2/2	0	k (Δx max) 2/2
3	შუალედური (მყისიერი)	k (Δx) 2/2	მვ 2/2	mv 2/2 + k (Δx) 2/2

ცხრილის ბოლო სვეტში წარმოდგენილი ჯამური მექანიკური ენერგიის მნიშვნელობებს აქვთ თანაბარი მნიშვნელობები ქანქარის ნებისმიერი პოზიციისთვის, რაც მათემატიკური გამოხატულებაა. მთლიანი მექანიკური ენერგიის შენარჩუნების კანონი:

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

სადაც m არის ტვირთის მასა; v არის დატვირთვის მყისიერი სიჩქარის მოდული მე-3 პოზიციაზე; Δx - ზამბარის დეფორმაცია (დაძაბულობა ან შეკუმშვა) მე-3 პოზიციაზე; v max - ტვირთის მაქსიმალური სიჩქარის მოდული 1 პოზიციაზე; Δx max - ზამბარის მაქსიმალური დეფორმაცია (დაჭიმვა ან შეკუმშვა) მე-2 პოზიციაზე.

მაგალითი 12. ზამბარის ქანქარა ასრულებს ჰარმონიულ რხევებს. რამდენჯერ აღემატება მისი კინეტიკური ენერგია პოტენციალს იმ მომენტში, როდესაც სხეულის გადაადგილება წონასწორული პოზიციიდან არის ამპლიტუდის მეოთხედი?

გამოსავალი . მოდით შევადაროთ ზამბარის გულსაკიდის ორი პოზიცია:

• უკიდურესი პოზიცია 1 (ახასიათებს ქანქარის დატვირთვის მაქსიმალური გადაადგილება წონასწორული პოზიციიდან x max);
• შუალედური პოზიცია 2 (ახასიათებს გადაადგილების შუალედური მნიშვნელობები წონასწორული პოზიციიდან x და სიჩქარე v →).

ქანქარის მთლიანი ენერგია უკიდურეს და შუალედურ პოზიციებში განისაზღვრება შემდეგი ფორმულებით:

• ექსტრემალურ მდგომარეობაში -

E 1 = k (Δ x max) 2 2,

სადაც k არის ზამბარის სიმყარის (ელასტიურობის) კოეფიციენტი; ∆x max - ვიბრაციის ამპლიტუდა (მაქსიმალური გადაადგილება წონასწორობის პოზიციიდან), ∆x max = A;

• შუალედურ მდგომარეობაში -

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

სადაც m არის ქანქარის დატვირთვის მასა; ∆x - დატვირთვის გადაადგილება წონასწორული პოზიციიდან, ∆x = A / 4.

ჯამური მექანიკური ენერგიის შენარჩუნების კანონი ზამბარის ქანქარისთვის ასეთია:

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2.

ჩაწერილი ტოლობის ორივე მხარეს ვყოფთ k (∆x) 2/2-ზე:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p,

სადაც W k არის ქანქარის კინეტიკური ენერგია შუალედურ მდგომარეობაში, W k = mv 2/2; W p არის ქანქარის პოტენციური ენერგია შუალედურ მდგომარეობაში, W p = k (∆x) 2/2.

გამოვხატოთ საჭირო ენერგიის თანაფარდობა განტოლებიდან:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 - 1

და გამოთვალეთ მისი ღირებულება:

W k W p = (A A / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15.

მითითებულ დროს, ქანქარის კინეტიკური და პოტენციური ენერგიის თანაფარდობა არის 15.

თუ ზამბარზე მიმაგრებული სხეული (სურათი 4) გადახრილია წონასწორობის პოზიციიდან A მანძილით, მაგალითად, მარცხნივ, მაშინ ის, წონასწორობის მდგომარეობაში გავლის შემდეგ, გადაიხრება მარჯვნივ. ეს გამომდინარეობს ენერგიის შენარჩუნების კანონიდან.

შეკუმშული ან დაჭიმული ზამბარის პოტენციური ენერგია არის

სადაც k არის ზამბარის სიხისტე და x არის მისი დაგრძელება. უკიდურეს მარცხენა პოზიციაში, ზამბარის გახანგრძლივება x = - A, შესაბამისად, პოტენციური ენერგია არის

კინეტიკური ენერგია ამ მომენტში ნულის ტოლია, რადგან სიჩქარე ნულის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ პოტენციური ენერგია არის სისტემის მთლიანი მექანიკური ენერგია ამ მომენტში. თუ შევთანხმდებით, რომ ხახუნის ძალა ნულის ტოლია, ხოლო დანარჩენი ძალები დაბალანსებულია, მაშინ ჩვენი სისტემა შეიძლება ჩაითვალოს დახურულად და მისი მთლიანი ენერგია მოძრაობისას ვერ შეიცვლება. როდესაც სხეული თავის მოძრაობაში იმყოფება უკიდურეს მარჯვენა პოზიციაზე (x = A), მისი კინეტიკური ენერგია ისევ ნულის ტოლი იქნება, ხოლო მთლიანი ენერგია კვლავ პოტენციური ერთის ტოლია. და მთლიანი ენერგია ვერ შეიცვლება. მაშასადამე, ის კვლავ ტოლია

ეს ნიშნავს, რომ სხეული გადაიხრება მარჯვნივ A-ს ტოლი მანძილით.

წონასწორობის მდგომარეობაში, პირიქით, პოტენციური ენერგია ნულის ტოლია, რადგან ზამბარა არ არის დეფორმირებული, x = 0. ამ მდგომარეობაში სხეულის მთლიანი ენერგია უდრის მის კინეტიკურ ენერგიას

სადაც m არის სხეულის მასა და არის მისი სიჩქარე (ამ მომენტში ის მაქსიმალურია). მაგრამ ამ კინეტიკურ ენერგიასაც თანაბარი მნიშვნელობა უნდა ჰქონდეს. შესაბამისად, რხევითი მოძრაობის დროს ხდება კინეტიკური ენერგიის გარდაქმნა პოტენციურ ენერგიად და პირიქით. წონასწორობისა და მაქსიმალური გადახრის პოზიციებს შორის ნებისმიერ წერტილში სხეულს აქვს როგორც კინეტიკური ენერგია, ასევე პოტენციალი, მაგრამ მათი ჯამი, ე.ი. სხეულის ნებისმიერ პოზიციაში ჯამური ენერგია უდრის. რხევადი სხეულის მთლიანი მექანიკური ენერგია W არის ამპლიტუდის კვადრატისა და მისი რხევების პროპორციული

ქანქარები. მათემატიკური გულსაკიდი

ქანქარა არის ნებისმიერი სხეული, რომელიც შეჩერებულია ისე, რომ მისი სიმძიმის ცენტრი დაკიდების წერტილის ქვემოთ იყოს. ეს ნიშნავს, რომ თოკზე დაკიდებული დატვირთვა არის კედლის საათის ქანქარის მსგავსი რხევითი სისტემა. ნებისმიერ სისტემას, რომელსაც შეუძლია თავისუფალი ვიბრაცია, აქვს სტაბილური წონასწორობა. ქანქარისთვის ეს არის პოზიცია, რომელშიც სიმძიმის ცენტრი მდებარეობს ვერტიკალურზე დაკიდების წერტილის ქვემოთ. თუ ქანქარას ამ მდგომარეობიდან გამოვიყვანთ ან მივაწევთ, მაშინ ის დაიწყებს რხევას, წონასწორობის პოზიციიდან ერთი მიმართულებით ან მეორე მიმართულებით გადახრით. ჩვენ ვიცით, რომ ყველაზე დიდ გადახრას წონასწორობის პოზიციიდან, რომელსაც აღწევს ქანქარა, ეწოდება რხევების ამპლიტუდას. ამპლიტუდა განისაზღვრება საწყისი გადახრით ან ბიძგით, რომლითაც ქანქარა მოძრაობდა. ეს თვისება - ამპლიტუდის დამოკიდებულება მოძრაობის დასაწყისში არსებულ პირობებზე - დამახასიათებელია არა მხოლოდ ქანქარის თავისუფალი რხევებისთვის, არამედ ზოგადად ძალიან ბევრი რხევადი სისტემის თავისუფალი რხევებისთვის.

ფიზიკური ქანქარის რხევის პერიოდი მრავალ გარემოებაზეა დამოკიდებული: სხეულის ზომასა და ფორმაზე, სიმძიმის ცენტრსა და შეჩერების წერტილს შორის დაშორებაზე და სხეულის წონის განაწილებაზე ამ წერტილთან მიმართებაში; შესაბამისად, შეჩერებული ორგანოს ვადის გამოთვლა საკმაოდ რთული ამოცანაა. სიტუაცია უფრო მარტივია მათემატიკური ქანქარისთვის. მათემატიკური ქანქარა არის თხელი ძაფისგან დაკიდებული წონა, რომლის ზომები გაცილებით ნაკლებია ძაფის სიგრძეზე, ხოლო მანანას მასა ძაფის მასაზე მეტია. ეს ნიშნავს, რომ სხეული (დატვირთვა) და ძაფი ისეთი უნდა იყოს, რომ დატვირთვა მატერიალურ წერტილად მივიჩნიოთ, ხოლო ძაფი უწონო იყოს. ასეთ ქანქარებზე დაკვირვების შედეგად შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგი მარტივი კანონები.

1. თუ გულსაკიდის ერთნაირი სიგრძის შენარჩუნებით (დაკიდების წერტილიდან დატვირთვის სიმძიმის ცენტრამდე მანძილი) შეაჩერეთ სხვადასხვა წონა, მაშინ რხევის პერიოდი იგივე იქნება, თუმცა წონების მასები მნიშვნელოვნად განსხვავდება. . მათემატიკური ქანქარის პერიოდი არ არის დამოკიდებული დატვირთვის მასაზე.

2. სიდა, რომელიც მოქმედებს სხეულზე ტრაექტორიის ნებისმიერ წერტილში, მიმართულია წონასწორობის პოზიციისკენ, ხოლო თავად წონასწორობის წერტილში ნულის ტოლია.

3. ძალა პროპორციულია სხეულის გადახრის წონასწორობის მდგომარეობიდან.

ბრინჯი. 5.

4. თუ ქანქარას დაწყებისას მას სხვადასხვა (მაგრამ არა ძალიან დიდი) კუთხით გადავხრით, მაშინ ის იმავე პერიოდით, თუმცა სხვადასხვა ამპლიტუდით, ირხევა. სანამ ამპლიტუდები არ არის ძალიან დიდი, რხევები თავიანთი ფორმით საკმარისად ახლოსაა ჰარმონიასთან და მათემატიკური ქანქარის პერიოდი არ არის დამოკიდებული რხევების ამპლიტუდაზე. ამ თვისებას იზოქრონიზმს უწოდებენ (ბერძნული სიტყვებიდან "ისოს" - თანაბარი, "ქრონოსი" - დრო).

ეს ფაქტი პირველად 1655 წელს დაადგინა გალილეომ, სავარაუდოდ, შემდეგ გარემოებებში. გალილეომ პიზის საკათედრო ტაძარში შეამჩნია ჭაღის ქანაობა (მართლმადიდებლურ ეკლესიაში ცენტრალური ჭაღი, ნათურა მრავალი სანთლით ან ხატის ნათურებით) გრძელ ჯაჭვზე, რომელიც აწვებოდა აალებას. ღვთისმსახურების დროს საქანელა თანდათან ქრებოდა (თავი 8), ანუ რხევის ამპლიტუდა შემცირდა, მაგრამ პერიოდი იგივე დარჩა. გალილეომ საკუთარი პულსი დროის ინდიკატორად გამოიყენა.

ქანქარის ეს თვისება არა მხოლოდ გასაკვირი, არამედ სასარგებლოც აღმოჩნდა. გალილეომ შემოგვთავაზა ქანქარის გამოყენება, როგორც მარეგულირებელი საათი. გალილეოს დროს საათები იკვებებოდა წონით და უხეში მოწყობილობა, როგორიცაა ქარის წისქვილის პირები, გამოიყენებოდა დარტყმის დასარეგულირებლად, რომელიც იყენებდა ჰაერის წინააღმდეგობას. ქანქარა შეიძლება გამოყენებულ იქნას თანაბარი დროის ინტერვალების დასათვლელად, რადგან მცირე რხევები ხდება იმავე დროს, როგორც დიდი რხევები, რომლებიც გამოწვეულია ქარის შემთხვევითი აფეთქებებით. გალილეოდან ერთი საუკუნის შემდეგ, ქანქარიანი საათები ამოქმედდა, მაგრამ მეზღვაურებს ჯერ კიდევ სჭირდებოდათ ზუსტი საათები ზღვაში გრძედის გასაზომად. გამოცხადდა პრიზი ისეთი საზღვაო საათის შესაქმნელად, რომელიც საშუალებას მისცემს დროის საკმარისი სიზუსტით გაზომვას. ჯილდო გარისონს გადაეცა ქრონომეტრისთვის, რომელიც იყენებდა მფრინავ (ბალანსს) და სპეციალურ ზამბარას ინსულტის დასარეგულირებლად.

ახლა გამოვიტანოთ ფორმულა მათემატიკური ქანქარის რხევის პერიოდისთვის.

როდესაც ქანქარა მოძრაობს, დატვირთვა მოძრაობს აჩქარებული VA რკალის გასწვრივ (ნახ. 5, ა) დაბრუნების ძალის P 1 მოქმედებით, რომელიც იცვლება მოძრაობის დროს.

სხეულის მოძრაობის გაანგარიშება არასტაბილური ძალის გავლენის ქვეშ საკმაოდ რთულია. ამიტომ, სიმარტივისთვის, ჩვენ ვიმოქმედებთ შემდეგნაირად.

ვაიძულოთ გულსაკიდი შეასრულოს არა რხევა ერთ სიბრტყეში, არამედ აღწეროს კონუსი ისე, რომ დატვირთვა მოძრაობდეს წრეში (ნახ. 5, ბ). ეს მოძრაობა შეიძლება მივიღოთ ორი დამოუკიდებელი ვიბრაციის დამატების შედეგად: ერთი - ჯერ კიდევ ნახატის სიბრტყეში და მეორე - პერპენდიკულარულ სიბრტყეში. ცხადია, რომ ორივე სიბრტყის რხევის პერიოდები ერთნაირია, რადგან ნებისმიერი რხევის სიბრტყე არ განსხვავდება სხვაგან. შესაბამისად, რთული მოძრაობის პერიოდი - ქანქარის შემობრუნება კონუსის გასწვრივ - იგივე იქნება, რაც ერთ სიბრტყეში რხევის პერიოდი. ამ დასკვნის ილუსტრირება შესაძლებელია პირდაპირი ექსპერიმენტით, აიღეთ ორი იდენტური ქანქარა და ეუბნებით ერთს სიბრტყეში ატრიალდეს, მეორეს კი კონუსის გასწვრივ ბრუნოს.

მაგრამ "კონუსური" ქანქარის რევოლუციის პერიოდი უდრის დატვირთვით აღწერილი წრის სიგრძეს, გაყოფილი სიჩქარეზე:

თუ ვერტიკალურიდან გადახრის კუთხე მცირეა (მცირე ამპლიტუდები!), მაშინ შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ დაბრუნების ძალა P 1 მიმართულია BC წრის რადიუსის გასწვრივ, ანუ ის ტოლია ცენტრიდანული ძალის:

მეორე მხრივ, სამკუთხედების OBC და DBE მსგავსებიდან გამომდინარეობს, რომ BE: BD = CB: OB. ვინაიდან OB = l, CB = r, BE = P 1, აქედან გამომდინარე

ორივე გამონათქვამის Р 1 ერთმანეთს გავუტოლებით, მივიღებთ მიმოქცევის სიჩქარეს

და ბოლოს, ამ გამონათქვამში T პერიოდის ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ

ასე რომ, მათემატიკური ქანქარის პერიოდი დამოკიდებულია მხოლოდ g სიმძიმის აჩქარებაზე და l ქანქარის სიგრძეზე, ანუ დაკიდების წერტილიდან დატვირთვის სიმძიმის ცენტრამდე დაშორებაზე. მიღებული ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ქანქარის პერიოდი არ არის დამოკიდებული მის მასაზე და ამპლიტუდაზე (იმ პირობით, რომ ის საკმარისად მცირეა). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის ძირითადი კანონები, რომლებიც ადრე ჩამოყალიბდა დაკვირვების შედეგად, მიღებული იყო გაანგარიშებით.

მაგრამ ეს თეორიული დასკვნა უფრო მეტს გვაძლევს: ის საშუალებას გვაძლევს დავამყაროთ რაოდენობრივი კავშირი ქანქარის პერიოდს, მის სიგრძესა და გრავიტაციის აჩქარებას შორის. მათემატიკური ქანქარის პერიოდი პროპორციულია ქანქარის სიგრძისა და გრავიტაციის აჩქარების თანაფარდობის კვადრატული ფესვისა. ასპექტის თანაფარდობა არის 2?

ქანქარის პერიოდის დამოკიდებულება გრავიტაციის აჩქარებაზე ძალიან ზუსტი გზაა ამ აჩქარების დასადგენად. ქანქარის l სიგრძის გაზომვით და რხევების დიდი რაოდენობით T პერიოდის განსაზღვრით, შეგვიძლია გამოვთვალოთ მიღებული ფორმულის g. ეს მეთოდი ფართოდ გამოიყენება პრაქტიკაში.

ქანქარის რხევის რეზონანსის კოორდინატი

მსუბუქ გაუწვდომელ ძაფზე დაკიდებულ პატარა ბურთულს შეუძლია შესრულება უფასორხევითი მოძრაობა (სურ. 598).

ბრინჯი. 598
ქანქარის მოძრაობის აღსაწერად ჩვენ განვიხილავთ ბურთს მატერიალურ წერტილად, უგულებელყოფთ ძაფის მასას და ჰაერის წინააღმდეგობას. ამ მოდელს ე.წ მათემატიკური გულსაკიდი.
როგორც ბურთის პოზიციის აღწერის კოორდინატი, ჩვენ ვირჩევთ ძაფის გადახრის კუთხეს ვერტიკალურიდან. φ ... ამ კოორდინატის ცვლილების აღსაწერად მოსახერხებელია გამოვიყენოთ ბრუნვის მოძრაობის დინამიკის განტოლება.

სადაც J = მლ 2- სისტემის ინერციის მომენტი, ε = Δω / Δt- სხეულის კუთხური აჩქარება (ბრუნვის კუთხის მეორე წარმოებული), მ- სისტემაზე მოქმედი გარე ძალების მთლიანი მომენტი 1. ბურთზე მოქმედებს გრავიტაცია მგ და ძაფის დაჭიმულობა. ძაფის დაჭიმვის ბრუნვა ნშეჩერების წერტილთან შედარებით ნულის ტოლია, შესაბამისად, განტოლება (1) შეჩერებული ბურთისთვის იღებს ფორმას

ან

ეს განტოლება აღწერს ქანქარის რხევებს, მაგრამ ეს არ არის ჰარმონიული რხევების განტოლება, რადგან ძალების მომენტი პროპორციულია გადახრის კუთხის სინუსთან და არა თავად კუთხთან. თუმცა, თუ გადახრის კუთხეებს მცირედ ჩავთვლით (რამდენს გავიგებთ მოგვიანებით), შეგვიძლია გამოვიყენოთ სავარაუდო ფორმულა. sinφ ≈ φამ მიახლოებით, განტოლება (3) იქცევა ჰარმონიული რხევების ნაცნობ განტოლებად.

სადაც Ω = √ (გ/ლ)- ქანქარის მცირე რხევების წრიული სიხშირე 2. ჩვენ უკვე დავწერეთ ამ განტოლების ამონახსნი

აქ φ o- ძაფის მაქსიმალური გადახრა, ანუ ვიბრაციის ამპლიტუდა. სიმარტივისთვის, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ბურთის საწყისი სიჩქარე ნულის ტოლია.
ქანქარის მცირე რხევების პერიოდი გამოიხატება კუთხური სიხშირით

ვინაიდან მათემატიკური ქანქარის მცირე რხევები ჰარმონიულია, მათი პერიოდი არ არის დამოკიდებული ამპლიტუდაზე. ეს ფაქტი ექსპერიმენტულად აღნიშნა გ.გალილეომ. დიდი გადახრის კუთხით, მათემატიკური ქანქარის რხევის პერიოდი ოდნავ იზრდება.
გაითვალისწინეთ, რომ მათემატიკური ქანქარის რხევის პერიოდი ასევე არ არის დამოკიდებული ბურთის მასაზე - გახსოვდეთ, გრავიტაციის აჩქარება, ისევე როგორც სხეულის მოძრაობის სხვა მახასიათებლები დედამიწის მიზიდულობის ველში, ასევე არ არის დამოკიდებული მასაზე. სხეულის (თუ, რა თქმა უნდა, არ უგულებელვყოფთ ჰაერის წინააღმდეგობას).
ფორმულა (6) შეიძლება გამოყენებულ იქნას და გამოიყენება გრავიტაციის აჩქარების ექსპერიმენტულად დასადგენად. ძაფის სიგრძე და რხევის პერიოდი ადვილად შეიძლება გაიზომოს ექსპერიმენტულად; შემდეგ, ფორმულის (6) გამოყენებით, შეიძლება გამოვთვალოთ გრავიტაციის აჩქარება.
შევეცადოთ აღვწეროთ მათემატიკური ქანქარის მოძრაობა მექანიკური ენერგიის შენარჩუნების კანონის გამოყენებით. ბურთის კინეტიკური ენერგია გამოიხატება ფორმულით

პოტენციური ენერგიის მითითების ნულოვანი დონე თავსებადია ძაფის დაკიდების წერტილთან, მაშინ ბურთის პოტენციური ენერგია არის

მექანიკური ენერგიის შენარჩუნების კანონის განტოლებებს (საწყისი პირობების გათვალისწინებით) აქვს ფორმა

ეს განტოლება ასევე არ არის ჰარმონიული ვიბრაციის განტოლება. მაგრამ, თუ ისევ მივიჩნევთ ქანქარის გადახრის კუთხეებს მცირედ და გამოვიყენებთ სავარაუდო ფორმულას

შემდეგ განტოლება (7) გადადის ჰარმონიული ვიბრაციების განტოლებაში

ან

სადაც მითითებულია Ω = √ (გ/ლ)- წრიული ვიბრაციის სიხშირე, რომელიც ემთხვევა დინამიური განტოლებიდან მიღებულს (2).
რა თქმა უნდა, ეს დამთხვევა არ არის შემთხვევითი - ფაქტობრივად, ორივე მიდგომაში ჩვენ გამოვიყენეთ მცირე გადახრის კუთხეების ერთნაირი მიახლოება.

1 პრინციპში, ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას მთარგმნელობითი მოძრაობის დინამიკის განტოლებები, მაგრამ აქ გამოყენებული მიდგომა სასურველია, რადგან წერტილის ტრაექტორია არის წრის რკალი.
2 ჩვენ ავირჩიეთ აღნიშვნა Ω (ეს ასევე არის „ომეგა“, მხოლოდ კაპიტალიზებულია) მცირე რხევების ბუნებრივი სიხშირისთვის, ისე რომ ტრადიციული აღნიშვნა ω დარჩეს ბურთის კუთხური სიჩქარის მიღმა, რაც შემდგომში გამოჩნდება ჩვენს მსჯელობაში. .