Wahadło matematyczne to punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici znajdującej się w polu grawitacyjnym Ziemi. Wahadło matematyczne to wyidealizowany model, który poprawnie opisuje wahadło rzeczywiste tylko pod pewnymi warunkami. Prawdziwe wahadło można uznać za matematyczne, jeśli długość nici jest znacznie większa niż rozmiar zawieszonego na niej ciała, masa nici jest znikoma w porównaniu z masą ciała, a odkształcenia nici są tak małe że można je całkowicie pominąć.

Układ oscylacyjny w tym przypadku tworzy nić, przymocowane do niej ciało oraz Ziemia, bez której układ ten nie mógłby służyć jako wahadło.

Gdzie A X – przyśpieszenie, G - przyśpieszenie grawitacyjne, X- przemieszczenie, l– długość gwintu wahadła.

To równanie nazywa się równanie drgań swobodnych wahadła matematycznego. Prawidłowo opisuje dane drgania tylko wtedy, gdy spełnione są następujące założenia:

2) uwzględniane są tylko małe oscylacje wahadła przy małym kącie wychylenia.

Drgania swobodne dowolnych układów opisywane są we wszystkich przypadkach podobnymi równaniami.

Przyczynami swobodnych oscylacji wahadła matematycznego są:

1. Działanie napięcia i grawitacji na wahadło, uniemożliwiające jego przesunięcie się z położenia równowagi i zmuszające do ponownego opadania.

2. Bezwładność wahadła, dzięki której utrzymując prędkość, nie zatrzymuje się w położeniu równowagi, ale przechodzi przez nią dalej.

Okres swobodnych oscylacji wahadła matematycznego

Okres swobodnych oscylacji wahadła matematycznego nie zależy od jego masy, lecz zależy jedynie od długości nici i przyspieszenia ziemskiego w miejscu, w którym wahadło się znajduje.

Konwersja energii podczas oscylacji harmonicznych

Podczas drgań harmonicznych wahadła sprężystego energia potencjalna ciała odkształconego sprężyście zamienia się na jego energię kinetyczną, gdzie k – współczynnik sprężystości, X - moduł wychylenia wahadła z położenia równowagi, M- masa wahadła, w- jego prędkość. Zgodnie z równaniem drgań harmonicznych:

, .

Całkowita energia wahadła sprężystego:

.

Całkowita energia wahadła matematycznego:

W przypadku wahadła matematycznego

Przemiany energii podczas drgań wahadła sprężystego zachodzą zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej ( ). Kiedy wahadło porusza się w dół lub w górę od położenia równowagi, jego energia potencjalna wzrasta, a energia kinetyczna maleje. Kiedy wahadło przejdzie przez położenie równowagi ( X= 0), jego energia potencjalna wynosi zero, a energia kinetyczna wahadła ma największą wartość, równą jego energii całkowitej.

Zatem w procesie swobodnych oscylacji wahadła jego energia potencjalna zamienia się w kinetyczną, kinetyczną w potencjalną, następnie potencjalną z powrotem w kinetyczną itd. Całkowita energia mechaniczna pozostaje jednak niezmieniona.

Wymuszone wibracje. Rezonans.

Nazywa się drgania występujące pod wpływem zewnętrznej siły okresowej wymuszone oscylacje. Zewnętrzna siła okresowa, zwana siłą napędową, przekazuje dodatkową energię do układu oscylacyjnego, która uzupełnia straty energii powstałe w wyniku tarcia. Jeśli siła napędowa zmienia się w czasie zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa, wówczas wymuszone oscylacje będą harmoniczne i nietłumione.

W odróżnieniu od oscylacji swobodnych, gdy układ otrzymuje energię tylko raz (kiedy układ zostaje wytrącony z równowagi), w przypadku oscylacji wymuszonych układ w sposób ciągły absorbuje tę energię ze źródła zewnętrznej siły okresowej. Energia ta rekompensuje straty poniesione na pokonanie tarcia, dlatego całkowita energia układu oscylacyjnego pozostaje niezmieniona.

Częstotliwość drgań wymuszonych jest równa częstotliwości siły napędowej. W przypadku, gdy częstotliwość siły napędowej υ pokrywa się z częstotliwością naturalną układu oscylacyjnego υ 0 , następuje gwałtowny wzrost amplitudy wymuszonych oscylacji - rezonans. Rezonans występuje z tego powodu, że kiedy υ = υ 0 siła zewnętrzna, działająca w czasie z drganiami swobodnymi, jest zawsze zgodna z prędkością ciała oscylującego i wykonuje pracę dodatnią: energia ciała oscylującego wzrasta, a amplituda jego oscylacji staje się duża. Wykres amplitudy oscylacji wymuszonych A T na częstotliwość siły napędowej υ jak pokazano na rysunku, ten wykres nazywa się krzywą rezonansową:

Zjawisko rezonansu odgrywa ważną rolę w szeregu procesów naturalnych, naukowych i przemysłowych. Na przykład konieczne jest uwzględnienie zjawiska rezonansu przy projektowaniu mostów, budynków i innych konstrukcji, które podlegają drganiom pod obciążeniem, w przeciwnym razie w pewnych warunkach konstrukcje te mogą ulec zniszczeniu.

Wahadło matematyczne zwane małym ciałem zawieszonym na cienkiej, nierozciągliwej nici, którego masa jest znikoma w porównaniu z masą ciała. W położeniu równowagi, gdy wahadło wisi pionowo, siła ciężkości równoważy się przez siłę naciągu nici. Gdy wahadło zostanie odchylone od położenia równowagi o pewien kąt φ, pojawia się składowa styczna siły ciężkości F τ = - mg sin φ (ryc. 2.3.1). Znak minus w tym wzorze oznacza, że ​​składowa styczna jest skierowana w kierunku przeciwnym do wychylenia wahadła.

Jeśli oznaczymy przez X liniowe przemieszczenie wahadła z położenia równowagi po łuku okręgu o promieniu l, to jego przemieszczenie kątowe będzie równe φ = X / l. Drugie prawo Newtona zapisane dla rzutów wektorów przyspieszenia i siły na kierunek stycznej podaje:

Zależność ta pokazuje, że wahadło matematyczne jest zjawiskiem złożonym nieliniowy układu, ponieważ siła przywracająca wahadło do położenia równowagi nie jest proporcjonalna do przemieszczenia X, A

Tylko na wszelki wypadekmałe wahania , kiedy mniej więcejmożna zastąpićwahadło matematyczne jest oscylatorem harmonicznym, czyli układ zdolny do wykonywania oscylacji harmonicznych. W praktyce przybliżenie to obowiązuje dla kątów rzędu 15-20°; w tym przypadku wartość różni się od nie więcej niż 2%. Oscylacje wahadła przy dużych amplitudach nie są harmoniczne.

W przypadku małych oscylacji wahadła matematycznego drugie prawo Newtona jest zapisane w postaci

Zatem przyspieszenie styczne Aτ wahadła jest proporcjonalne do jego przemieszczenia X, wzięty z przeciwnym znakiem. Jest to dokładnie warunek, w którym system jest oscylatorem harmonicznym. Zgodnie z ogólną zasadą, dla wszystkich układów zdolnych do wykonywania drgań swobodnych harmonicznych, moduł współczynnika proporcjonalności między przyspieszeniem a przemieszczeniem z położenia równowagi jest równy kwadratowi częstotliwości kołowej:

Ta formuła wyraża częstotliwość naturalna małych drgań wahadła matematycznego .

Stąd,

Każde ciało zamontowane na poziomej osi obrotu może swobodnie drgać w polu grawitacyjnym, a zatem jest również wahadłem. Takie wahadło jest zwykle nazywane fizyczny (Rys. 2.3.2). Różni się od matematycznego jedynie rozkładem mas. W stabilnym położeniu równowagi środek masy C wahadło fizyczne znajduje się poniżej osi obrotu O na pionie przechodzącym przez tę oś. Gdy wahadło odchyli się o kąt φ, powstaje moment ciężkości, który powoduje powrót wahadła do położenia równowagi:

M = -(mg sinφ) D.

Tutaj D- odległość osi obrotu od środka masy C.

Rysunek 2.3.2. Wahadło fizyczne

Znak minus w tym wzorze, jak zwykle, oznacza, że ​​moment siły ma tendencję do obracania wahadła w kierunku przeciwnym do jego odchylenia od położenia równowagi. Podobnie jak w przypadku wahadła matematycznego, moment powracający M proporcjonalny Oznacza to, że wahadło fizyczne jest zdolne do wykonywania swobodnych oscylacji harmonicznych tylko pod małymi kątami. W przypadku niewielkich wahań

a drugie prawo Newtona dotyczące wahadła fizycznego przyjmuje postać

gdzie ε jest przyspieszeniem kątowym wahadła, I- moment bezwładności wahadła względem osi obrotu O. Moduł współczynnika proporcjonalności między przyspieszeniem a przemieszczeniem jest równy kwadratowi częstotliwości kołowej:

Tutaj ω 0 - częstotliwość naturalna małych oscylacji wahadła fizycznego .

Stąd,

Bardziej rygorystyczne wyprowadzenie wzorów na ω 0 i T można to zrobić, jeśli uwzględnimy matematyczną zależność między przyspieszeniem kątowym a przemieszczeniem kątowym: przyspieszenie kątowe ε jest drugą pochodną przemieszczenia kątowego φ po czasie:

Dlatego równanie wyrażające drugą zasadę Newtona dla wahadła fizycznego można zapisać w postaci

Jest to równanie drgań swobodnych harmonicznych.

Współczynnik w tym równaniu ma znaczenie kwadratu częstotliwości kołowej swobodnych oscylacji harmonicznych wahadła fizycznego.

Zgodnie z twierdzeniem o równoległym przesunięciu osi obrotu (twierdzenie Steinera) moment bezwładności I można wyrazić momentem bezwładności IC względem osi przechodzącej przez środek masy C wahadło i równoległa oś obrotu:

Ostatecznie dla częstotliwości kołowej ω 0 drgań swobodnych wahadła fizycznego otrzymujemy wyrażenie:

Zzrzut ekranuposzukiwanieo definicjęToplanety

10.4. Prawo zachowania energii podczas oscylacji harmonicznych

10.4.1. Oszczędność energii godz mechaniczne drgania harmoniczne

Zasada zachowania energii podczas drgań wahadła matematycznego

Podczas drgań harmonicznych całkowita energia mechaniczna układu zostaje zachowana (pozostaje stała).

Całkowita energia mechaniczna wahadła matematycznego

mi = W k + W p ,

gdzie W k jest energią kinetyczną, W k = = mv 2 /2; W p - energia potencjalna, W p = mgh; m jest masą ładunku; g - moduł przyspieszania swobodnego spadania; v - moduł prędkości ładowania; h jest wysokością ładunku nad położeniem równowagi (ryc. 10.15).

Podczas oscylacji harmonicznych wahadło matematyczne przechodzi przez wiele kolejnych stanów, dlatego warto uwzględnić energię wahadła matematycznego w trzech położeniach (patrz rys. 10.15):

Ryż. 10.15

1 w pozycja równowagi

energia potencjalna wynosi zero; Całkowita energia pokrywa się z maksymalną energią kinetyczną:

E = Wkmax;

2) w sytuacja awaryjna(2) ciało unosi się ponad poziom początkowy na maksymalną wysokość hmax, zatem energia potencjalna również jest maksymalna:

W p maks = m sol godz maks ;

energia kinetyczna wynosi zero; energia całkowita pokrywa się z maksymalną energią potencjalną:

E = Wpmaks;

3) w pozycja pośrednia(3) ciało ma chwilową prędkość v i zostaje podniesione ponad poziom początkowy na pewną wysokość h, zatem energia całkowita jest sumą

mi = m v 2 2 + m sol godz ,

gdzie mv 2 /2 to energia kinetyczna; mgh – energia potencjalna; m jest masą ładunku; g - moduł przyspieszania swobodnego spadania; v - moduł prędkości ładowania; h - wysokość podnoszenia ładunku powyżej położenia równowagi.

Podczas oscylacji harmonicznych wahadła matematycznego całkowita energia mechaniczna zostaje zachowana:

E = stała.

Wartości całkowitej energii wahadła matematycznego w jego trzech pozycjach znajdują odzwierciedlenie w tabeli. 10.1.

№	Pozycja	W str	tydz	mi = W p + W k
1	równowaga	0	m v maks. 2 / 2	m v maks. 2 / 2
2	Skrajny	mgh maks	0	mgh maks
3	Średniozaawansowany (natychmiastowy)	mgh	mv 2 /2	mv 2 /2 + mgh

Wartości całkowitej energii mechanicznej podane są w ostatniej kolumnie tabeli. 10.1, mają równe wartości dla dowolnego położenia wahadła, co jest wyrażeniem matematycznym:

m v maks. 2 2 = m sol godz. maks;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m sol godz ;

m sol godz. max = m v 2 2 + m sol godz.,

gdzie m jest masą ładunku; g - moduł przyspieszania swobodnego spadania; v jest modułem prędkości chwilowej obciążenia w pozycji 3; h - wysokość podnoszenia ładunku powyżej położenia równowagi w położeniu 3; v max - moduł maksymalnej prędkości obciążenia w pozycji 1; h max - maksymalna wysokość podnoszenia ładunku powyżej położenia równowagi w pozycji 2.

Kąt odchylenia gwintu wahadło matematyczne od pionu (ryc. 10.15) określa wyrażenie

sałata α = l - hl = 1 - hl ,

gdzie l jest długością nici; h - wysokość podnoszenia ładunku powyżej położenia równowagi.

Maksymalny kąt odchyłka α max jest określona przez maksymalną wysokość podnoszenia ładunku powyżej położenia równowagi h max:

cos α max = 1 - godz max l .

Przykład 11. Okres małych oscylacji wahadła matematycznego wynosi 0,9 s. Jaki jest maksymalny kąt, pod jakim nić odbiegnie od pionu, jeżeli po przejściu przez położenie równowagi kulka porusza się z prędkością 1,5 m/s? W systemie nie ma tarcia.

Rozwiązanie . Rysunek przedstawia dwa położenia wahadła matematycznego:

• pozycja równowagi 1 (charakteryzująca się maksymalną prędkością piłki v max);
• położenie skrajne 2 (charakteryzujące się maksymalną wysokością podnoszenia kuli h max powyżej położenia równowagi).

Wymagany kąt jest określony przez równość

cos α max = l - h max l = 1 - h max l ,

gdzie l jest długością gwintu wahadła.

Maksymalną wysokość kuli wahadła powyżej położenia równowagi wyznaczamy z prawa zachowania całkowitej energii mechanicznej.

Całkowitą energię wahadła w położeniu równowagi i w położeniu skrajnym określają następujące wzory:

• w pozycji równowagi -

mi 1 = m v maks. 2 2,

gdzie m jest masą kuli wahadła; v max - moduł prędkości piłki w położeniu równowagi (prędkość maksymalna), v max = 1,5 m/s;

• w skrajnym położeniu -

E 2 = mgh maks.,

gdzie g jest modułem przyspieszenia grawitacyjnego; hmax to maksymalna wysokość uniesienia piłki nad położenie równowagi.

Prawo zachowania całkowitej energii mechanicznej:

m v maks. 2 2 = m sol godz. maks.

Wyraźmy stąd maksymalną wysokość wzniesienia się piłki ponad położenie równowagi:

h maks. = v maks. 2 2 g .

Długość nici wyznaczamy ze wzoru na okres drgań wahadła matematycznego

T = 2 π l sol ,

te. długość nici

l = T 2 sol 4 π 2 .

Podstawmy hmax i l do wyrażenia cosinusa żądanego kąta:

cos α max = 1 - 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

i wykonaj obliczenia, biorąc pod uwagę przybliżoną równość π 2 = 10:

cos α max = 1 - 2 ⋅ 10 ⋅ (1,5) 2 10 2 ⋅ (0,9) 2 = 0,5 .

Wynika z tego, że maksymalny kąt odchylenia wynosi 60°.

Ściśle rzecz ujmując, pod kątem 60° drgania kuli nie są małe i stosowanie standardowego wzoru na okres drgań wahadła matematycznego jest niezgodne z prawem.

Zasada zachowania energii podczas drgań wahadła sprężystego

Całkowita energia mechaniczna wahadła sprężynowego składa się z energii kinetycznej i energii potencjalnej:

mi = W k + W p ,

gdzie W k jest energią kinetyczną, W k = mv 2 /2; W p - energia potencjalna, W p = k (Δx ) 2 /2; m jest masą ładunku; v - moduł prędkości ładowania; k jest współczynnikiem sztywności (sprężystości) sprężyny; Δx - odkształcenie (rozciągnięcie lub ściskanie) sprężyny (ryc. 10.16).

W Międzynarodowym Układzie Jednostek Energia mechanicznego układu oscylacyjnego jest mierzona w dżulach (1 J).

Podczas oscylacji harmonicznych wahadło sprężyste przechodzi przez szereg kolejnych stanów, dlatego warto rozważyć energię wahadła sprężystego w trzech położeniach (patrz rys. 10.16):

1 w pozycja równowagi(1) prędkość ciała ma wartość maksymalną v max, zatem energia kinetyczna również jest maksymalna:

W k maks. = m v maks. 2 2 ;

energia potencjalna sprężyny wynosi zero, ponieważ sprężyna nie jest odkształcona; Całkowita energia pokrywa się z maksymalną energią kinetyczną:

E = Wkmax;

2) w sytuacja awaryjna(2) sprężyna ma maksymalne odkształcenie (Δx max), więc energia potencjalna również ma maksymalną wartość:

W p maks. = k (Δ x maks.) 2 2 ;

energia kinetyczna ciała wynosi zero; energia całkowita pokrywa się z maksymalną energią potencjalną:

E = Wpmaks;

3) w pozycja pośrednia(3) ciało ma chwilową prędkość v, sprężyna ulega w tym momencie pewnemu odkształceniu (Δx), zatem energia całkowita jest sumą

mi = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,

gdzie mv 2 /2 to energia kinetyczna; k (Δx) 2 /2 - energia potencjalna; m jest masą ładunku; v - moduł prędkości ładowania; k jest współczynnikiem sztywności (sprężystości) sprężyny; Δx - odkształcenie (rozciągnięcie lub ściskanie) sprężyny.

Gdy obciążenie wahadła sprężynowego zostanie przesunięte z położenia równowagi, działa na nie: siła regeneracji, którego rzut na kierunek ruchu wahadła określa wzór

fa x = −kx ,

gdzie x jest przemieszczeniem obciążenia wahadłowego sprężyny od położenia równowagi, x = ∆x, ∆x jest odkształceniem sprężyny; k jest współczynnikiem sztywności (sprężystości) sprężyny wahadła.

Podczas oscylacji harmonicznych wahadła sprężynowego całkowita energia mechaniczna zostaje zachowana:

E = stała.

Wartości całkowitej energii wahadła sprężynowego w jego trzech położeniach przedstawiono w tabeli. 10.2.

№	Pozycja	W str	tydz	mi = W p + W k
1	równowaga	0	m v maks. 2 / 2	m v maks. 2 / 2
2	Skrajny	k (Δx maks.) 2 /2	0	k (Δx maks.) 2 /2
3	Średniozaawansowany (natychmiastowy)	k(Δx)2/2	mv 2 /2	mv 2 /2 + k (Δx ) 2 /2

Wartości całkowitej energii mechanicznej podane w ostatniej kolumnie tabeli mają równe wartości dla dowolnego położenia wahadła, co jest wyrażeniem matematycznym prawo zachowania całkowitej energii mechanicznej:

m v maks. 2 2 = k (Δ x maks.) 2 2 ;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,

gdzie m jest masą ładunku; v jest modułem prędkości chwilowej obciążenia w pozycji 3; Δx - odkształcenie (rozciągnięcie lub ściskanie) sprężyny w położeniu 3; v max - moduł maksymalnej prędkości obciążenia w pozycji 1; Δx max - maksymalne odkształcenie (rozciągnięcie lub ściskanie) sprężyny w położeniu 2.

Przykład 12. Wahadło sprężynowe wykonuje oscylacje harmoniczne. Ile razy jego energia kinetyczna jest większa od energii potencjalnej w chwili, gdy wychylenie ciała z położenia równowagi wynosi jedną czwartą amplitudy?

Rozwiązanie . Porównajmy dwa położenia wahadła sprężynowego:

• położenie skrajne 1 (charakteryzujące się maksymalnym przemieszczeniem obciążenia wahadła od położenia równowagi x max);
• pozycja pośrednia 2 (charakteryzująca się pośrednimi wartościami przemieszczenia z położenia równowagi x i prędkością v →).

Całkowitą energię wahadła w położeniach skrajnych i pośrednich określają następujące wzory:

• w skrajnym położeniu -

E 1 = k (Δ x maks.) 2 2,

gdzie k jest współczynnikiem sztywności (sprężystości) sprężyny; ∆x max - amplituda oscylacji (maksymalne przemieszczenie od położenia równowagi), ∆x max = A;

• w pozycji pośredniej -

mi 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

gdzie m jest masą obciążenia wahadłowego; ∆x - przemieszczenie obciążenia z położenia równowagi, ∆x = A /4.

Prawo zachowania całkowitej energii mechanicznej wahadła sprężystego ma następującą postać:

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 .

Podzielmy obie strony zapisanej równości przez k (∆x) 2 /2:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

gdzie W k jest energią kinetyczną wahadła w położeniu pośrednim, W k = mv 2 /2; W p - energia potencjalna wahadła w położeniu pośrednim, W p = k (∆x) 2 /2.

Wyraźmy wymagany stosunek energii z równania:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 - 1

i oblicz jego wartość:

W k W p = (ZA ZA / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15 .

We wskazanym momencie stosunek energii kinetycznej i potencjalnej wahadła wynosi 15.

Jeżeli ciało zawieszone na sprężynie (rysunek 4) zostanie odchylone od położenia równowagi o np. odległość A w lewo, to po przejściu przez położenie równowagi odchyli się w prawo. Wynika to z prawa zachowania energii.

Energia potencjalna ściśniętej lub rozciągniętej sprężyny jest równa

gdzie k jest sztywnością sprężyny, a x jest jej wydłużeniem. W skrajnej lewej pozycji wydłużenie sprężyny wynosi x = - A, dlatego energia potencjalna jest równa

Energia kinetyczna w tym momencie wynosi zero, ponieważ prędkość wynosi zero. Oznacza to, że energia potencjalna jest całkowitą energią mechaniczną układu w tym momencie. Jeśli zgodzimy się, że siła tarcia wynosi zero, a pozostałe siły się równoważą, to nasz układ można uznać za zamknięty, a jego całkowita energia nie może się zmieniać podczas ruchu. Kiedy ciało podczas ruchu znajdzie się w skrajnie prawym położeniu (x = A), jego energia kinetyczna ponownie będzie równa zeru, a energia całkowita znów będzie równa potencjalnej. Ale całkowita energia nie może się zmienić. Więc znów jest równo

Oznacza to, że ciało odchyli się w prawo o odległość równą A.

Natomiast w położeniu równowagi energia potencjalna wynosi zero, ponieważ sprężyna nie jest odkształcona, x = 0. W tej pozycji całkowita energia ciała jest równa jego energii kinetycznej

gdzie m jest masą ciała i jego prędkością (w tym momencie jest maksymalna). Ale ta energia kinetyczna również musi mieć tę samą wartość. W konsekwencji podczas ruchu oscylacyjnego energia kinetyczna zamienia się w energię potencjalną i odwrotnie. W dowolnym punkcie pomiędzy położeniami równowagi i maksymalnego odchylenia ciało ma zarówno energię kinetyczną, jak i potencjalną, ale ich sumę, tj. Całkowita energia w dowolnej pozycji ciała jest równa. Całkowita energia mechaniczna W ciała oscylującego jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy i jej drgań

Wahadła. Wahadło matematyczne

Wahadło to dowolne ciało zawieszone w taki sposób, że jego środek ciężkości znajduje się poniżej punktu zawieszenia. Oznacza to, że ładunek zawieszony na linie jest układem oscylacyjnym podobnym do wahadła zegara ściennego. Każdy układ zdolny do swobodnych oscylacji ma stabilną pozycję równowagi. W przypadku wahadła jest to położenie, w którym środek ciężkości znajduje się pionowo poniżej punktu zawieszenia. Jeśli usuniemy wahadło z tej pozycji lub popchniemy je, wówczas zacznie ono oscylować, odchylając się najpierw w jedną lub drugą stronę od położenia równowagi. Wiemy, że największe odchylenie od położenia równowagi, do którego wahadło dochodzi, nazywa się amplitudą drgań. Amplituda jest określona przez początkowe odchylenie lub pchnięcie, z jakim wahadło zostało wprawione w ruch. Ta właściwość - zależność amplitudy od warunków na początku ruchu - jest charakterystyczna nie tylko dla swobodnych oscylacji wahadła, ale w ogóle dla swobodnych oscylacji wielu układów oscylacyjnych.

Okres drgań wahadła fizycznego zależy od wielu czynników: od wielkości i kształtu ciała, od odległości środka ciężkości od punktu zawieszenia oraz od rozkładu masy ciała względem tego punktu; Dlatego obliczenie okresu zawieszonego ciała jest zadaniem dość trudnym. Sytuacja jest prostsza w przypadku wahadła matematycznego. Wahadło matematyczne to ciężarek zawieszony na cienkiej nitce, którego wymiary są znacznie mniejsze niż długość nitki, a jego masa jest znacznie większa niż masa nitki. Oznacza to, że korpus (obciążenie) i gwint muszą być takie, aby obciążenie można było uznać za punkt materialny, a gwint za nieważki. Z obserwacji takich wahadeł można ustalić następujące proste prawa.

1. Jeżeli przy zachowaniu tej samej długości wahadła (odległości od punktu zawieszenia do środka ciężkości ładunku) zawiesimy różne obciążenia, to okres drgań będzie taki sam, chociaż masy wahadła obciążenia są bardzo różne. Okres wahadła matematycznego nie zależy od masy ładunku.

2. Siła działająca na ciało w dowolnym punkcie trajektorii jest skierowana w stronę położenia równowagi, a w samym punkcie równowagi jest równa zeru.

3. Siła jest proporcjonalna do odchylenia ciała od położenia równowagi.

Ryż. 5.

4. Jeżeli uruchamiając wahadło odchylimy je pod różnymi (ale nie za dużymi) kątami, to będzie ono oscylować z tym samym okresem, choć z różnymi amplitudami. Dopóki amplitudy nie są zbyt duże, oscylacje mają postać zbliżoną do harmonicznej, a okres wahadła matematycznego nie zależy od amplitudy oscylacji. Ta właściwość nazywa się izochronizmem (od greckich słów „isos” - równy, „chronos” - czas).

Fakt ten został po raz pierwszy stwierdzony w 1655 roku przez Galileusza, rzekomo w następujących okolicznościach. Galileusz zaobserwował w katedrze w Pizie kołysanie się żyrandola (w cerkwi, żyrandola centralnego, lampy z wieloma świecami lub lampami) na długim łańcuszku, który podczas zapalania był popychany. Podczas nabożeństwa wahania stopniowo zanikały (rozdział 8), to znaczy amplituda wahań malała, ale okres pozostał ten sam. Galileusz używał własnego pulsu jako wskaźnika czasu.

Ta właściwość wahadła okazała się nie tylko zaskakująca, ale także użyteczna. Galileo zaproponował użycie wahadła jako regulatora zegara. W czasach Galileusza zegary napędzane były ciężarkiem, a do regulacji prędkości używano prymitywnego urządzenia, takiego jak łopaty wiatraka, wykorzystującego opór powietrza. Aby policzyć równe okresy czasu, można by użyć wahadła, ponieważ małe oscylacje występują w tym samym czasie, co duże, spowodowane przypadkowymi podmuchami wiatru. Sto lat po Galileuszu zaczęto używać zegarów wahadłowych, ale żeglarze nadal potrzebowali dokładnych zegarów do pomiaru długości geograficznej na morzu. Ogłoszono nagrodę za stworzenie zegara morskiego, który umożliwiłby odmierzanie czasu z odpowiednią dokładnością. Garisson otrzymał nagrodę za chronometr, w którym do regulacji mechanizmu wykorzystano koło zamachowe (równowaga) i specjalną sprężynę.

Wyprowadźmy teraz wzór na okres drgań wahadła matematycznego.

Kiedy wahadło się kołysze, ładunek porusza się z przyspieszeniem wzdłuż łuku BA (ryc. 5, a) pod wpływem siły powrotnej P 1, która zmienia się podczas ruchu.

Obliczanie ruchu ciała pod działaniem zmiennej siły jest dość skomplikowane. Dlatego, aby uprościć sprawę, postępujemy w następujący sposób.

Sprawmy, aby wahadło nie oscylowało w jednej płaszczyźnie, ale opisz stożek tak, aby ładunek poruszał się po okręgu (ryc. 5, b). Ruch ten można uzyskać w wyniku dodania dwóch niezależnych drgań: jednego – wciąż w płaszczyźnie rysunku i drugiego – w płaszczyźnie prostopadłej. Oczywiście okresy obu tych oscylacji płaszczyzny są takie same, ponieważ żadna płaszczyzna oscylacji nie różni się od żadnej innej. W rezultacie okres ruchu złożonego - obrót wahadła po stożku - będzie taki sam, jak okres wahań w jednej płaszczyźnie. Wniosek ten można łatwo zilustrować na podstawie bezpośredniego doświadczenia, biorąc dwa identyczne wahadła i nadając jednemu z nich obrót w płaszczyźnie, a drugiemu obrót wzdłuż stożka.

Ale okres obrotu wahadła „stożkowego” jest równy długości okręgu opisanego przez obciążenie podzielonej przez prędkość:

Jeżeli kąt odchylenia od pionu jest mały (małe amplitudy!), to możemy założyć, że siła powracająca P 1 jest skierowana wzdłuż promienia okręgu BC, tj. równa sile dośrodkowej:

Natomiast z podobieństwa trójkątów OBC i DBE wynika, że ​​BE: BD = CB: OB. Ponieważ OB=l, CB=r, BE=P 1, to stąd

Przyrównując oba wyrażenia P 1 do siebie, otrzymujemy prędkość cyrkulacji

Wreszcie, podstawiając to do wyrażenia na okres T, znajdujemy

Zatem okres wahadła matematycznego zależy tylko od przyspieszenia ziemskiego g oraz od długości wahadła l, czyli odległości od punktu zawieszenia do środka ciężkości ładunku. Z otrzymanego wzoru wynika, że ​​okres wahadła nie zależy od jego masy i amplitudy (pod warunkiem, że jest on odpowiednio mały). Innymi słowy, podstawowe prawa, które ustalono wcześniej na podstawie obserwacji, uzyskano w drodze obliczeń.

Ale ten teoretyczny wniosek daje nam więcej: pozwala ustalić ilościową zależność pomiędzy okresem wahadła, jego długością i przyspieszeniem grawitacyjnym. Okres wahadła matematycznego jest proporcjonalny do pierwiastka kwadratowego ze stosunku długości wahadła do przyspieszenia ziemskiego. Współczynnik proporcjonalności wynosi 2?.

Bardzo dokładna metoda wyznaczania tego przyspieszenia opiera się na zależności okresu wahadła od przyspieszenia ziemskiego. Po zmierzeniu długości wahadła l i wyznaczeniu okresu T na podstawie dużej liczby oscylacji, możemy obliczyć g, korzystając z otrzymanego wzoru. Metoda ta nie jest powszechnie stosowana w praktyce.

współrzędna rezonansowa drgań wahadła

Mała kulka zawieszona na lekkiej, nierozciągliwej nitce może to zrobić bezpłatny ruch oscylacyjny (ryc. 598).

Ryż. 598
Aby opisać ruch wahadła, kulkę będziemy traktować jako punkt materialny, pomijając masę nici i opór powietrza. Ten model nazywa się wahadło matematyczne.
Jako współrzędną opisującą położenie kulki wybieramy kąt odchylenia gwintu od pionu φ . Do opisu zmiany tej współrzędnej wygodnie jest posłużyć się równaniem dynamiki ruchu obrotowego

Gdzie J = ml 2− moment bezwładności układu, ε = Δω/Δt− przyspieszenie kątowe ciała (druga pochodna kąta obrotu), M− całkowity moment sił zewnętrznych działających na układ 1. Na kulkę działa siła ciężkości mg i naprężenie nici. Moment naprężenia nici N względem punktu zawieszenia wynosi zero, zatem równanie (1) dla zawieszonej kuli przyjmuje postać

Lub

Równanie to opisuje drgania wahadła, ale nie jest równaniem drgań harmonicznych, ponieważ moment siły jest proporcjonalny do sinusa kąta odchylenia, a nie do samego kąta. Jeśli jednak uznamy, że kąty odchylenia są małe (o ile, dowiemy się później), możemy skorzystać ze wzoru przybliżonego sinφ ≈ φ w tym przybliżeniu równanie (3) zamienia się w znane równanie oscylacji harmonicznych

Gdzie Ω = √(g/l)− częstotliwość kołowa małych drgań wahadła 2. Mamy już rozwiązanie tego równania

Tutaj φ o− maksymalne ugięcie nitki, czyli amplituda oscylacji. Dla uproszczenia założymy, że początkowa prędkość piłki wynosi zero.
Okres małych oscylacji wahadła wyraża się w postaci częstotliwości kołowej

Ponieważ małe oscylacje wahadła matematycznego są harmoniczne, ich okres nie zależy od amplitudy. Fakt ten zauważył doświadczalnie G. Galileo. Przy dużych kątach odchylenia okres oscylacji wahadła matematycznego nieznacznie wzrasta.
Należy pamiętać, że okres oscylacji wahadła matematycznego również nie zależy od masy kuli - pamiętajcie, że przyspieszenie swobodnego spadania, a także inne cechy ruchu ciała w polu grawitacyjnym Ziemi również nie zależą na masę ciała (jeśli oczywiście pominiemy opór powietrza).
Wzór (6) może być i jest stosowany do eksperymentalnego wyznaczania przyspieszenia ziemskiego. Długość nici i okres drgań można dość łatwo zmierzyć eksperymentalnie, następnie korzystając ze wzoru (6) można obliczyć przyspieszenie swobodnego spadania.
Spróbujmy opisać ruch wahadła matematycznego, korzystając z prawa zachowania energii mechanicznej. Energię kinetyczną piłki wyraża wzór

Zerowy poziom odniesienia energii potencjalnej jest zgodny z punktem zawieszenia nici, wówczas energia potencjalna kuli jest równa

Równanie prawa zachowania energii mechanicznej (z uwzględnieniem warunków początkowych) ma postać

Równanie to nie jest również równaniem drgań harmonicznych. Ale jeśli ponownie rozważymy kąty odchylenia wahadła za małe i zastosujemy przybliżony wzór

wówczas równanie (7) zamieni się w równanie oscylacji harmonicznych

Lub

gdzie wskazano Ω = √(g/l)− częstotliwość kołowa oscylacji, zgodna z otrzymaną z równania dynamicznego (2).
Oczywiście ta zbieżność nie jest przypadkowa – tak naprawdę w obu podejściach zastosowaliśmy to samo przybliżenie małych kątów odchylenia.

1 W zasadzie można zastosować równania dynamiki ruchu postępowego, jednak podejście tu zastosowane jest preferowane, gdyż trajektoria ruchu punktu jest łukiem kołowym.
2 Wybraliśmy oznaczenie Ω (jest to również „omega”, tylko pisane wielką literą) dla częstotliwości drgań własnych małych oscylacji, tak że tradycyjne oznaczenie ω − pozostaje w tyle za prędkością kątową piłki, co pojawi się w dalszej części naszego rozumowania.