Розподіл стовпчиком чи, правильніше сказати, письмовий прийом розподілу куточком, школярі проходять вже у третьому класі початкової школи, але найчастіше цій темі приділяється так мало уваги, що до 9-11 класу в повному обсязі учні можуть ним вільно користуватися. Розподіл стовпчиком на двозначне число проходять у 4 класі, як і поділ на тризначне число, а далі цей прийом використовується тільки як допоміжний при вирішенні будь-яких рівнянь або знаходження значення виразу.

Очевидно, що приділивши поділу стовпчиком більше уваги, ніж закладено в шкільній програмі, дитина полегшить виконання завдань з математики аж до 11 класу. А для цього потрібно небагато - зрозуміти тему і позайматися, вирішувати, тримаючи алгоритм у голові, довести навички обчислення до автоматизму.

Алгоритм поділу стовпчиком на двозначне число

Як і при розподілі на однозначне число, будемо послідовно переходити від розподілу більших рахункових одиниць до поділу дрібніших одиниць.

1. Знаходимо перше неповне ділене. Це число, яке ділиться на дільник з отриманням числа більше або рівного 1. Це означає, що перше неповне ділене завжди більше за дільник. При розподілі на двозначне число у першому неповному поділеному мінімум 2 знаки.

Приклади 76 8:24. Перше неповне ділене 76
265 :53 26 менше 53, отже, не підходить. Потрібно додати наступну цифру (5). Перше неповне ділене 265.

2. Визначаємо кількість цифр у приватному. Для визначення числа цифр у приватному слід пам'ятати, що неповному поділеному відповідає одна цифра приватного, а решті всіх цифр діленого - ще по одній цифрі частки.

Приклади 768:24. Перше неповне ділене 76. Йому відповідає 1 цифра частки. Після першого неповного дільника є ще одна цифра. Значить у приватному буде лише 2 цифри.
265:53. Перше неповне ділене 265. Воно дасть 1 цифру частки. Більше у ділимому цифр немає. Значить у приватному буде лише 1 цифра.
15344:56. Перше неповне ділене 153, а після нього ще дві цифри. Значить у приватному буде лише 3 цифри.

3. Знаходимо цифри у кожному розряді приватного. Спершу знайдемо першу цифру приватного. Підбираємо таке ціле число, щоб при множенні його на наш дільник вийшло число максимально наближене до першого неповного ділимого. Цифру приватного записуємо під куточок, а значення твору віднімаємо стовпчиком із неповного дільника. Записуємо решту. Перевіряємо, що він менший за дільник.

Потім знаходимо другу цифру частки. Переписуємо в рядок із залишком цифру, яка йде за першим неповним дільником у ділимому. Отримане неповне ділене знову ділимо на дільник і так знаходимо кожне наступне число, поки не закінчаться цифри дільника.

4. Знаходимо залишок(якщо є).

Якщо цифри частки закінчилися і вийшов залишок 0, то розподіл виконано без залишку. В іншому випадку значення частки записується із залишком.

Також виконується розподіл будь-яке багатозначне число (тризначне, чотиризначне тощо. буд.)

Розбір прикладів на поділ стовпчиком на двозначне число

Спочатку розглянемо прості випадки поділу, як у приватному виходить однозначне число.

Знайдемо значення частки чисел 265 і 53.

Перше неповне ділене 265. Більше ділимих цифр немає. Значить у частці буде однозначне число.

Щоб було легше підібрати цифру частки, розділимо 265 не на 53, а на близьке кругле число 50. Для цього 265 розділимо на 10, буде 26 (залишок 5). І 26 розділимо на 5, буде 5 (залишок 1). Цифру 5 не можна відразу записувати у приватному, оскільки це пробна цифра. Спочатку потрібно перевірити, чи підійде вона. Помножимо 53 * 5 = 265. Ми, що цифра 5 підійшла. І тепер можемо її записати у приватному під куточок. 265-265 = 0. Розподіл виконано без залишку.

Значення частки чисел 265 і 53 дорівнює 5.

Іноді при розподілі пробна цифра частки не підходить, і тоді її потрібно міняти.

Знайдемо значення частки чисел 184 і 23.

У частці буде однозначне число.

Щоб було легше підібрати цифру частки, розділимо 184 не на 23, а на 20. Для цього розділимо 184 на 10, буде 18 (залишок 4). І 18 розділимо на 2, буде 9. 9 – це пробна цифра, ми її одразу писати в приватному не будемо, а перевіримо, чи підійде вона. Помножимо 23 * 9 = 207. 207 більше ніж 184. Ми бачимо, що цифра 9 не підходить. У частці буде менше 9. Спробуємо, чи підійде цифра 8. Помножимо 23*8=184. Ми бачимо, що цифра 8 підходить. Можемо її записати у приватному. 184-184 = 0. Розподіл виконано без залишку.

Значення частки чисел 184 і 23 дорівнює 8.

Розглянемо складніші випадки поділу.

Знайдемо значення частки чисел 768 і 24.

Перше неповне ділене – 76 десятків. Значить, у приватному будуть дві цифри.

Визначимо першу цифру частки. Розділимо 76 на 24. Щоб легше було підібрати цифру частки, розділимо 76 не на 24, а на 20. Тобто потрібно 76 розділити на 10, буде 7 (залишок 6). І 7 розділимо на 2, вийде 3 (залишок 1). 3 – це пробна цифра частки. Спочатку перевіримо, чи підійде вона. Помножимо 24*3=72. 76-72 = 4. Залишок менший від дільника. Значить, цифра 3 підійшла і тепер ми її можемо записати дома десятків приватного. 72 пишемо під першим неповним ділимим, між ними ставимо знак мінус, під рисою записуємо залишок.

Продовжимо поділ. Перепишемо в рядок із залишком цифру 8, що йде за першим неповним поділеним. Отримаємо наступне неповне ділене - 48 одиниць. Розділимо 48 на 24. Щоб було легше підібрати цифру частки, розділимо 48 не на 24, а на 20. Тобто розділимо 48 на 10, буде 4 (залишок 8). І 4 розділимо на 2, буде 2. Це пробна цифра частки. Ми повинні спочатку перевірити, чи підійде вона. Помножимо 24*2=48. Ми, що цифра 2 підійшла і, отже, можемо її записати дома одиниць приватного. 48-48 = 0, розподіл виконано без залишку.

Значення частки чисел 768 і 24 дорівнює 32.

Знайдемо значення частки чисел 15344 і 56.

Перше неповне ділене – 153 сотні, отже, у приватному будуть три цифри.

Визначимо першу цифру частки. Розділимо 153 на 56. Щоб легше було підібрати цифру частки, розділимо 153 не на 56, а на 50. Для цього розділимо 153 на 10, буде 15 (залишок 3). І 15 розділимо на 5, буде 3. 3 – це пробна цифра частки. Пам'ятайте: її не можна одразу записувати у приватному, а потрібно спочатку перевірити, чи підійде вона. Помножимо 56*3=168. 168 більше, ніж 153. Значить, у частці буде менше, ніж 3. Перевіримо, чи підійде цифра 2. Помножимо 56*2=112. 153-112 = 41. Залишок менший від дільника, значить, цифра 2 підходить, її можна записати на місці сотень у приватному.

Утворимо наступне неповне ділене. 153-112 = 41. Переписуємо в той самий рядок цифру 4, яка йде за першим неповним поділеним. Отримуємо друге неповне ділене 414 десятків. Розділимо 414 на 56. Щоб зручніше було підібрати цифру частки, розділимо 414 не так на 56, але в 50. 414:10=41(ост.4). 41: 5 = 8 (зуп.1). Пам'ятайте: 8 – це пробна цифра. Перевіримо її. 56 * 8 = 448. 448 більше, ніж 414, отже, у частці буде менше, ніж 8. Перевіримо, чи підійде цифра 7. Помножимо 56 на 7, вийде 392. 414-392=22. Залишок менший від дільника. Значить, цифра підійшла і в приватному місці десятків можемо записати 7.

Пишемо в рядок із новим залишком 4 одиниці. Значить таке неповне ділене - 224 одиниці. Продовжимо поділ. Розділимо 224 на 56. Щоб легше було підібрати цифру частки, розділимо 224 на 50. Тобто спочатку на 10 буде 22 (залишок 4). І 22 розділимо на 5, буде 4 (залишок 2). 4 – це пробна цифра, перевіримо її, чи підійде вона. 56 * 4 = 224. І ми бачимо, що цифра підійшла. Запишемо 4 на місці одиниць у приватному. 224-224 = 0, розподіл виконано без залишку.

Значення частки чисел 15344 і 56 дорівнює 274.

Приклад на поділ із залишком

Щоб провести аналогію, візьмемо приклад, схожий на приклад вище, і який відрізняється лише останньою цифрою

Знайдемо значення частки чисел 15345:56

Ділимо спочатку точно так, як у прикладі 15344:56, поки не дійдемо до останнього неповного ділимого 225. Розділимо 225 на 56. Щоб легше було підібрати цифру приватного, розділимо 225 на 50. Тобто спочатку на 10, буде 22 (залишок 5 ). І 22 розділимо на 5, буде 4 (залишок 2). 4 – це пробна цифра, перевіримо її, чи підійде вона. 56 * 4 = 224. І ми бачимо, що цифра підійшла. Запишемо 4 на місці одиниць у приватному. 225-224=1, розподіл виконано із залишком.

Значення частки чисел 15345 і 56 дорівнює 274 (залишок 1).

Поділ з нулем у приватному

Іноді в одному з чисел виходить 0, і діти часто пропускають його, звідси неправильне рішення. Розберемо, звідки може взятися 0 і як його не забути.

Знайдемо значення частки чисел 2870:14

Перше неповне ділене - 28 сотень. Значить у приватному буде 3 цифри. Ставимо під куточок три крапки. Це важливий момент. Якщо дитина втратить нуль, залишиться зайва точка, яка змусить задуматися, що десь втрачено цифру.

Визначимо першу цифру частки. Розділимо 28 на 14. Підбором виходить 2. Перевіримо, чи підійде цифра 2. Помножимо 14*2=28. Цифра 2 підходить, її можна записати на місці сотень у приватному. 28-28 = 0.

Вийшов нульовий залишок. Ми позначили його рожевим для наочності, але записувати не потрібно. Переписуємо в рядок із залишком цифру 7 із поділеного. Але 7 не ділиться на 14 із отриманням цілого числа, тому записуємо на місці десятків у приватному 0.

Тепер переписуємо в той самий рядок останню цифру ділимого (кількість одиниць).

70:14=5 Записуємо замість останньої точки у приватній цифрі 5. 70-70=0. Залишку немає.

Значення частки чисел 2870 і 14 дорівнює 205.

Розподіл необхідно обов'язково перевірити множенням.

Приклади на поділ для самоперевірки

Знайдіть перше неповне ділене та визначте кількість цифр у приватному.

3432:66 2450:98 15145:65 18354:42 17323:17

Засвоїли тему, а тепер потренуйтеся вирішити кілька прикладів самостійно.

1428: 42 30296: 56 254415: 35 16514: 718

За допомогою цієї математичної програми ви можете поділити багаточлени стовпчиком.
Програма розподілу многочлена на многочлен непросто дає відповідь завдання, вона наводить докладне рішення з поясненнями, тобто. відображає процес рішення для того, щоб проконтролювати знання з математики та/або алгебри.

Дана програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завдання з математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Якщо вам потрібно або спростити багаточленабо помножити багаточлени, то для цього ми маємо окрему програму Спрощення (множення) багаточлена

Перший багаточлен (ділене - що ділимо):

Другий багаточлен (дільник - на що ділимо):

Розділити багаточлени

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

У браузері вимкнено виконання JavaScript.
Щоб рішення з'явилося, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Поділ багаточлена на багаточлен (двучлен) стовпчиком (куточком)

В алгебрі розподіл багаточленів стовпчиком (куточком)- алгоритм розподілу многочлена f(x) на многочлен (двучлен) g(x), ступінь якого менше або дорівнює ступеню багаточлена f(x).

Алгоритм поділу багаточлена на багаточлен є узагальненою формою поділу чисел стовпчиком, що легко реалізується вручну.

Для будь-яких багаточленів \(f(x) \) і \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), існують єдині поліноми \(q(x) \) та \(r(x ) \), такі що
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
причому \(r(x) \) має нижчий ступінь, ніж \(g(x) \).

Метою алгоритму поділу багаточленів у стовпчик (куточком) є знаходження приватного \(q(x) \) і залишку \(r(x) \) для заданих діленого \(f(x) \) та ненульового дільника \(g(x) \)

приклад

Розділимо один багаточлен на інший багаточлен (двучлен) стовпчиком (куточком):
\(\large \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

Приватне та залишок від поділу даних багаточленів можуть бути знайдені в ході виконання наступних кроків:
1. Ділимо перший елемент поділеного на старший елемент дільника, поміщаємо результат під межею \((x^3/x = x^2) \)

\(x \) \(-3 \) \(x^2 \)

3. Віднімаємо отриманий після множення многочлен з поділеного, записуємо результат під межею \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x-42) \)

\(x^3 \) \(-12x^2 \) \(+0x \) \(-42 \) \(x^3 \) \(-3x^2 \) \(-9x^2 \) \(+0x \) \(-42 \)

\(x \) \(-3 \) \(x^2 \)

4. Повторюємо попередні 3 кроки, використовуючи як поділений багаточлен, записаний під межею.

\(x^3 \) \(-12x^2 \) \(+0x \) \(-42 \) \(x^3 \) \(-3x^2 \) \(-9x^2 \) \(+0x \) \(-42 \) \(-9x^2 \) \(+27x \) \(-27x \) \(-42 \)

\(x \) \(-3 \) \(x^2 \) \(-9x \)

5. Повторюємо крок 4.

\(x^3 \) \(-12x^2 \) \(+0x \) \(-42 \) \(x^3 \) \(-3x^2 \) \(-9x^2 \) \(+0x \) \(-42 \) \(-9x^2 \) \(+27x \) \(-27x \) \(-42 \) \(-27x \) \(+81 \) \(-123 \)

\(x \) \(-3 \) \(x^2 \) \(-9x \) \(-27 \)

6. Кінець алгоритму.
Таким чином, многочлен (q(x) = x^2-9x-27) - приватне поділу багаточленів, а (r (x) = -123) - залишок від поділу многочленів.

Результат поділу багаточленів можна записати у вигляді двох рівностей:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 \)
або
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)

Розподіл багатозначних чисел найлегше виконувати стовпчиком. Поділ стовпчиком інакше називають розподіл куточком.

Перед тим як розпочати виконання поділу стовпчиком, докладно розглянемо саму форму запису поділу стовпчиком. Спочатку записуємо ділене і праворуч від нього ставимо вертикальну межу:

За вертикальною межею, навпроти поділеного, пишемо дільник і під ним проводимо горизонтальну межу:

Під горизонтальною рисою поетапно буде записуватися приватне, що виходить в результаті обчислень:

Під ділимим будуть записуватись проміжні обчислення:

Повністю форма запису поділу стовпчиком виглядає так:

Як ділити стовпчиком

Допустимо, нам потрібно розділити 780 на 12, записуємо дію в стовпчик і приступаємо до поділу:

Розподіл стовпчиком виконується поетапно. Перше, що нам потрібно зробити, це визначити неповне поділення. Дивимося на першу цифру поділеного:

це число 7, так як воно менше дільника, то ми не можемо почати поділ з нього, отже потрібно взяти ще одну цифру з діленого, число 78 більше дільника, тому ми починаємо поділ з нього:

У нашому випадку число 78 буде неповним ділимим, Неповним воно називається тому, що є лише частиною ділимого.

Визначивши неповне ділене, ми можемо дізнатися скільки цифр буде в приватному, для цього нам потрібно порахувати, скільки цифр залишилося в ділимому після неповного ділимого, в нашому випадку лише одна цифра - 0, це означає, що приватне складатиметься з 2 цифр.

Дізнавшись кількість цифр, що має вийти у приватному, на його місці можна поставити крапки. Якщо при завершенні поділу кількість цифр вийшла більшою або меншою, ніж зазначено точок, значить десь була допущена помилка:

Приступаємо до поділу. Нам потрібно визначити скільки разів 12 міститься в числі 78. Для цього ми послідовно множимо дільник на натуральні числа 1, 2, 3, …, поки не вийде число максимально близьке до неповного поділеного або рівне йому, але не перевищує його. Таким чином ми отримуємо число 6, записуємо його під дільник, а з 78 (за правилами віднімання стовпчиком) віднімаємо 72 (12 · 6 = 72). Після того, як ми відняли 72 з 78, вийшов залишок 6:

Зверніть увагу, що залишок від розподілу показує нам, чи правильно ми підібрали число. Якщо залишок дорівнює дільнику або більше за нього, то ми не правильно підібрали число і нам потрібно взяти число побільше.

До залишку, що вийшов - 6, зносимо наступну цифру ділимого - 0. В результаті, вийшло неповне ділене - 60. Визначаємо, скільки разів 12 міститься в числі 60. Отримуємо число 5, записуємо його в приватне після цифри 6, а з 60 віднімаємо 60 12 · 5 = 60). У залишку вийшов нуль:

Так як в ділимо більше не залишилося цифр, значить 780 розділилося на 12 націло. В результаті виконання поділу стовпчиком ми знайшли приватне - воно записано під дільником:

Розглянемо приклад, як у приватному виходять нулі. Припустимо, нам потрібно розділити 9027 на 9.

Визначаємо неповне ділене - це число 9. Записуємо в приватне 1 і з 9 віднімаємо 9. У залишку вийшов нуль. Зазвичай, якщо у проміжних обчисленнях у залишку виходить нуль, його не записують:

Зносимо наступну цифру поділюваного - 0. Згадуємо, що при розподілі нуля на будь-яке число буде нуль. Записуємо в приватне нуль (0: 9 = 0) і в проміжних обчисленнях з 0 віднімаємо 0. Зазвичай, щоб не нагромаджувати проміжні обчислення, обчислення з нулем не записують:

Зносимо наступну цифру ділимого - 2. У проміжних обчисленнях вийшло так, що неповне ділене (2) менше, ніж дільник (9). У цьому випадку приватне записують нуль і зносять наступну цифру ділимого:

Визначаємо, скільки разів 9 міститься в числі 27. Отримуємо число 3, записуємо його в приватне, а з 27 віднімаємо 27. У залишку вийшов нуль:

Так як у ділимому більше не залишилося цифр, то число 9027 розділилося на 9 націло:

Розглянемо приклад, коли ділене закінчується нулями. Нехай нам потрібно поділити 3000 на 6.

Визначаємо неповне ділене - це число 30. Записуємо в приватне 5 і з 30 віднімаємо 30. У залишку вийшов нуль. Як було зазначено, нуль у залишку в проміжних обчисленнях записувати необов'язково:

Зносимо наступну цифру ділимого - 0. Так як при розподілі нуля на будь-яке число буде нуль, записуємо в приватне нуль і в проміжних обчисленнях з 0 віднімаємо 0:

Зносимо наступну цифру ділимого - 0. Записуємо в приватне ще один нуль і в проміжних обчисленнях з 0 віднімаємо 0. Так як у проміжних обчисленнях, обчислення з нулем зазвичай не записують, то запис можна скоротити, залишивши тільки залишок - 0. Нуль у залишку в самому кінці обчислень зазвичай записують у тому, щоб показати, що розподіл виконано націло:

Так як в ділимо більше не залишилося цифр, значить 3000 розділилося на 6 націло:

Поділ стовпчиком із залишком

Нехай нам потрібно розділити 1340 на 23.

Визначаємо неповне ділене - це число 134. Записуємо в приватне 5 і з 134 віднімаємо 115. У залишку вийшло 19:

Зносимо наступну цифру ділимого - 0. Визначаємо, скільки разів 23 міститься в числі 190. Отримуємо число 8, записуємо його в приватне, а з 190 віднімаємо 184. Отримуємо залишок 6:

Так як у ділимому більше не залишилося цифр, поділ закінчився. В результаті вийшло неповне приватне 58 та залишок 6:

1340: 23 = 58 (залишок 6)

Залишилося розглянути приклад поділу із залишком, коли ділене менше дільника. Нехай нам потрібно розділити 3 на 10. Ми бачимо, що 10 жодного разу не міститься в числі 3, тому записуємо в 0 і з 3 віднімаємо 0 (10 · 0 = 0). Проводимо горизонтальну межу і записуємо залишок - 3:

3: 10 = 0 (залишок 3)

Калькулятор поділу стовпчиком

Даний калькулятор допоможе вам виконати поділ стовпчиком. Просто введіть дільник та дільник і натисніть кнопку Обчислити.

Розподіл натуральних чисел, особливо багатозначних, зручно проводити особливим методом, який отримав назву розподіл стовпчиком (у стовпчик). Також можна зустріти назву розподіл куточком. Відразу зазначимо, що стовпчиком можна проводити як розподіл натуральних чисел без залишку, так і розподіл натуральних чисел із залишком.

У цій статті ми розберемося, як виконується поділ стовпчиком. Тут ми поговоримо і про правила запису, і про всі проміжні обчислення. Спочатку зупинимося на розподілі стовпчиком багатозначного натурального числа на однозначне число. Після цього зупинимося на випадках, коли ділиться і дільник є багатозначними натуральними числами. Вся теорія цієї статті має характерні приклади поділу стовпчиком натуральних чисел з докладними поясненнями ходу рішення та ілюстраціями.

Навігація на сторінці.

Правила запису при розподілі стовпчиком

Почнемо з вивчення правил запису дільника, дільника, всіх проміжних викладок та результатів при розподілі натуральних чисел стовпчиком. Відразу скажемо, що письмово виконувати поділ стовпчиком найзручніше на папері з картатою розлинівкою – так менше шансів збитися з потрібного рядка та стовпця.

Спочатку в одному рядку ліворуч записуються ділене і дільник, після чого між записаними числами зображується символ виду . Наприклад, якщо ділимим є число 6105, а дільником – 55, то їх правильний запис при розподілі в стовпчик буде таким:

Подивіться на наступну схему, що ілюструє місця для запису діленого, дільника, приватного, залишку та проміжних обчислень при розподілі стовпчиком.

З наведеної схеми видно, що приватне, що шукається (або неповне приватне при розподілі з залишком) буде записано нижче дільника під горизонтальною рисою. А проміжні обчислення будуть вестись нижче ділимого, і потрібно заздалегідь подбати про місце на сторінці. При цьому слід керуватися правилом: чим більша різниця в кількості знаків у записах дільника і дільника, тим більше потрібно місця. Наприклад, при розподілі стовпчиком натурального числа 614 808 на 51 234 (614 808 – шестизначне число, 51 234 – п'ятизначне число, різниця у кількості знаків у записах дорівнює 6-5 = 1) для проміжних обчислень потрібно менше місця, ніж при розподілі чисел 8 058 і 4 (тут різниця в кількості знаків дорівнює 4-1 = 3). Для підтвердження своїх слів наводимо закінчені записи поділу стовпчиком цих натуральних чисел:

Тепер можна переходити безпосередньо до процесу розподілу натуральних чисел стовпчиком.

Розподіл стовпчиком натурального числа на однозначне натуральне число, алгоритм поділу стовпчиком

Зрозуміло, що поділити одне однозначне натуральне число на інше досить просто, і ділити ці числа на стовпчик немає причин. Проте буде корисно відпрацювати початкові навички поділу стовпчиком цих простих прикладах.

приклад.

Нехай нам потрібно поділити стовпчиком 8 на 2 .

Рішення.

Звичайно, ми можемо виконати поділ за допомогою таблиці множення і відразу записати відповідь 8:2=4 .

Але нас цікавить, як виконати розподіл цих чисел стовпчиком.

Спочатку записуємо ділене 8 та дільник 2 так, як того вимагає метод:

Тепер ми починаємо з'ясовувати, скільки разів дільник міститься у ділимому. Для цього ми послідовно множимо дільник на числа 0 , 1 , 2 , 3 , ... до того моменту, поки в результаті не отримаємо число, що дорівнює ділимому, (або число більше, ніж поділяється, якщо має місце поділ із залишком). Якщо ми отримуємо число, що дорівнює ділимому, то відразу записуємо його під ділимим, а на місце приватного записуємо число, на яке ми множили дільник. Якщо ж ми отримуємо число більше, ніж ділене, то під дільником записуємо число, обчислене на передостанньому кроці, але в місце неповного приватного записуємо число, де множився дільник на передостанньому кроці.

Поїхали: 2 · 0 = 0; 2 · 1 = 2; 2 · 2 = 4; 2 · 3 = 6; 2 · 4 = 8 . Ми отримали число, що дорівнює ділимому, тому записуємо його під ділимим, але в місце приватного записуємо число 4 . При цьому запис набуде наступного вигляду:

Залишився завершальний етап поділу однозначних натуральних чисел стовпчиком. Під числом, записаним під ділимим, потрібно провести горизонтальну межу, і провести віднімання чисел над цією межею так, як це робиться при відніманні натуральних чисел стовпчиком . Число, що отримується після віднімання, буде залишком від поділу. Якщо воно дорівнює нулю, вихідні числа розділилися без залишку.

У нашому прикладі отримуємо

Тепер маємо закінчений запис розподілу стовпчиком числа 8 на 2 . Ми бачимо, що частка 8:2 дорівнює 4 (і залишок дорівнює 0 ).

Відповідь:

8:2=4 .

Тепер розглянемо, як здійснюється розподіл стовпчиком однозначних натуральних чисел із залишком.

приклад.

Розділимо стовпчиком 7 на 3 .

Рішення.

На початковому етапі запис виглядає так:

Починаємо з'ясовувати, скільки разів у діленому міститься дільник. Будемо множити 3 на 0, 1, 2, 3 і т.д. до того моменту, поки не отримаємо число, що дорівнює або більше, ніж ділене 7 . Отримуємо 3 · 0 = 0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (за потреби звертайтеся до статті порівняння натуральних чисел). Під ділимим записуємо число 6 (воно отримано на передостанньому кроці), а на місце неповного приватного записуємо число 2 (на нього проводилося множення на передостанньому кроці).

Залишилося провести віднімання, і розподіл стовпчиком однозначних натуральних чисел 7 та 3 буде завершено.

Таким чином, неповне приватне дорівнює 2 і залишок дорівнює 1 .

Відповідь:

7:3 = 2 (зуп. 1).

Тепер можна переходити до поділу стовпчиком багатозначних натуральних чисел однозначні натуральні числа.

Зараз ми розберемо алгоритм поділу стовпчиком. На кожному його етапі ми наводимо результати, що виходять при розподілі багатозначного натурального числа 140288 на однозначне натуральне число 4 . Цей приклад обраний невипадково, оскільки за його вирішенні ми зіштовхнемося з усіма можливими нюансами, зможемо докладно розібрати їх.

Спочатку ми дивимося на першу ліворуч цифру в записі поділеного. Якщо число, що визначається цією цифрою, більше від дільника, то в наступному пункті нам доведеться працювати з цим числом. Якщо ж це число менше, ніж дільник, то нам потрібно додати до розгляду наступну зліва цифру в записі діленого, і працювати далі з числом, що визначається двома цифрами, що розглядаються. Для зручності виділимо в нашому записі число, з яким ми будемо працювати.

Першою зліва цифрою у записі діленого 140288 є цифра 1 . Число 1 менше, ніж дільник 4 тому дивимося ще й на наступну зліва цифру в записі діленого. При цьому бачимо число 14, з яким нам і доведеться працювати далі. Виділяємо це число у записі поділеного.

Наступні пункти з другого до четвертого повторюються циклічно, поки розподіл натуральних чисел стовпчиком не буде завершено.

Зараз нам потрібно визначити, скільки разів дільник міститься в числі, з яким ми працюємо (для зручності позначимо це число як x). Для цього послідовно множимо дільник на 0, 1, 2, 3, … до того моменту, поки не отримаємо число x або число більше, ніж x. Коли виходить число x , то записуємо його під виділеним числом за правилами запису, використовуваним при відніманні стовпчиком натуральних чисел. Число, на яке проводилося множення, записується на місце приватного при першому проході алгоритму (при наступних проходах 2-4 пунктів алгоритму це число записується правіше чисел, що вже знаходяться там). Коли виходить число, яке більше числа x , то під виділеним числом записуємо число, отримане на передостанньому кроці, а на місце приватного (або правіше чисел, що вже знаходяться) записуємо число, на яке проводилося множення на передостанньому кроці. (Аналогічні дії ми проводили у двох прикладах, розібраних вище).

Множимо дільник 4 на числа 0 , 1 , 2 , …, доки не отримаємо число, яке дорівнює 14 або більше 14 . Маємо 4 · 0 = 0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14 . Так як на останньому кроці ми отримали число 16, яке більше, ніж 14, то під виділеним числом записуємо число 12, яке вийшло на передостанньому кроці, а на місце приватного записуємо число 3, тому що в передостанньому пункті множення проводилося саме на нього.


На цьому етапі з виділеного числа віднімаємо стовпчиком число, розташоване під ним. Під горизонтальною лінією записується результат віднімання. Однак, якщо результатом віднімання є нуль, то його не потрібно записувати (якщо тільки віднімання в цьому пункті не є останньою дією, що повністю завершує процес поділу стовпчиком). Тут же для свого контролю не зайвим буде порівняти результат віднімання з дільником і переконатися, що він менший за дільник. В іншому випадку десь була допущена помилка.

Нам потрібно відняти стовпчиком з числа 14 число 12 (для коректності запису потрібно не забути поставити знак «мінус» зліва від чисел, що віднімаються). Після завершення цієї дії під горизонтальною межею виявилося число 2 . Тепер перевіряємо свої обчислення, порівнюючи отримане число із дільником. Так як число 2 менше від дільника 4 , то можна спокійно переходити до наступного пункту.


Тепер під горизонтальною рисою праворуч від цифр (або праворуч від місця, де ми не стали записувати нуль) записуємо цифру, розташовану в тому ж стовпці в записі ділимого. Якщо ж у записі поділеного в цьому стовпці немає цифр, то поділ стовпчиком на цьому закінчується. Після цього виділяємо число, що утворилося під горизонтальною рисою, приймаємо його як робоче число, і повторюємо з ним з 2 по 4 пункти алгоритму.

Під горизонтальною рисою праворуч від вже наявної там цифри 2 записуємо цифру 0, оскільки саме цифра 0 знаходиться в записі 140 288 у цьому стовпці. Таким чином, під горизонтальною межею утворюється число 20 .


Це число 20 ми виділяємо, приймаємо як робоче число, і повторюємо з нею дії другого, третього і четвертого пунктів алгоритму.

Примножуємо дільник 4 на 0 , 1 , 2 , …, доки отримаємо число 20 чи число, яке більше, ніж 20 . Маємо 4 · 0 = 0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Проводимо віднімання стовпчиком. Оскільки ми віднімаємо рівні натуральні числа, то з якості віднімання рівних натуральних чисел у результаті отримуємо нуль. Нуль ми не записуємо (оскільки це ще не завершальний етап поділу стовпчиком), але запам'ятовуємо місце, на якому ми його могли записати (для зручності це місце ми відзначимо чорним прямокутником).


Під горизонтальною лінією праворуч від запам'ятовуваного місця записуємо цифру 2, оскільки саме вона знаходиться в записі діленого 140288 в цьому стовпці. Таким чином, під горизонтальною межею ми маємо число 2 .


Число 2 приймаємо за робоче число, відзначаємо його і нам ще раз доведеться виконати дії з 2-4 пунктів алгоритму.

Помножуємо дільник на 0 , 1 , 2 і так далі, і порівнюємо числа, що виходять, з зазначеним числом 2 . Маємо 4 · 0 = 0<2 , 4·1=4>2 . Отже, під зазначеним числом записуємо число 0 (воно було отримано на передостанньому кроці), але в місці приватного праворуч від вже наявного там числа записуємо число 0 (на 0 ми проводили множення на передостанньому кроці).


Виконуємо віднімання стовпчиком, отримуємо число 2 під горизонтальною межею. Перевіряємо себе, порівнюючи отримане число з дільником 4 . Так як 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Під горизонтальною межею праворуч від числа 2 дописуємо цифру 8 (оскільки вона знаходиться в цьому стовпці в записі діленого 140 288). Таким чином, під горизонтальною лінією виявляється число 28.


Приймаємо це число як робочий, відзначаємо його, і повторюємо дії 2-4 пунктів.

Тут жодних проблем виникнути не повинно, якщо Ви були уважні до цього моменту. Виконавши всі необхідні дії, виходить наступний результат.

Залишилося востаннє провести дії з пунктів 2, 3, 4 (надаємо це Вам), після чого вийде закінчена картина поділу натуральних чисел 140 288 і 4 у стовпчик:

Зверніть увагу, що в нижньому рядку записано число 0 . Якби це був не останній крок поділу стовпчиком (тобто, якби в записі поділеного в стовпцях праворуч залишалися цифри), то цей нуль ми не записували б.

Таким чином, подивившись на закінчену запис розподілу багатозначного натурального числа 140288 на однозначне натуральне число 4, ми бачимо, що приватним є число 35072 (а залишок від розподілу дорівнює нулю, він знаходиться в нижньому рядку).

Звичайно ж, при розподілі натуральних чисел стовпчиком Ви не будете настільки докладно описувати всі свої дії. Ваші рішення будуть виглядати приблизно так, як у наведених нижче прикладах.

приклад.

Виконайте розподіл у стовпчик, якщо ділене дорівнює 7136 , а дільником є ​​однозначне натуральне число 9 .

Рішення.

На першому етапі алгоритму поділу натуральних чисел стовпчиком ми отримаємо запис виду

Після виконання дій з другого, третього та четвертого пунктів алгоритму запис поділу стовпчиком набуде вигляду

Повторивши цикл, матимемо

Ще один прохід дає нам закінчену картину поділу стовпчиком натуральних чисел 7136 і 9

Таким чином, неповне приватне дорівнює 792 а залишок від розподілу дорівнює 8 .

Відповідь:

7 136: 9 = 792 (зуп. 8) .

А цей приклад демонструє, як має виглядати поділ у стовпчик.

приклад.

Розділіть натуральне число 7042035 на однозначне натуральне число 7 .

Рішення.

Найзручніше виконати поділ стовпчиком.

Відповідь:

7 042 035:7=1 006 005 .

Розподіл стовпчиком багатозначних натуральних чисел

Поспішаємо Вас порадувати: якщо Ви добре засвоїли алгоритм поділу стовпчиком із попереднього пункту цієї статті, то Ви вже майже вмієте виконувати розподіл стовпчиком багатозначних натуральних чисел. Це справді так, оскільки з 2 по 4 етапи алгоритму залишаються незмінними, а першому пункті з'являються лише незначні зміни.

На першому етапі поділу в стовпчик багатозначних натуральних чисел потрібно дивитися не на першу ліворуч цифру в записі діленого, а на таку їх кількість, скільки символів міститься в записі дільника. Якщо число, яке визначається цими цифрами, більше від дільника, то в наступному пункті нам доведеться працювати з цим числом. Якщо ж це число менше, ніж дільник, то нам потрібно додати до розгляду наступну цифру ліворуч у записі діленого. Після цього виконуються дії, зазначені у 2, 3 та 4 пункті алгоритму до отримання кінцевого результату.

Залишилося лише подивитися застосування алгоритму поділу стовпчиком багатозначних натуральних чисел практично при вирішенні прикладів.

приклад.

Виконаємо поділ стовпчиком багатозначних натуральних чисел 5562 і 206 .

Рішення.

Так як в записі дільника 206 беруть участь 3 знаки, то дивимося на перші 3 цифри зліва в записі ділиться 5562 . Ці цифри відповідають числу 556. Так як 556 більше, ніж дільник 206 то число 556 приймаємо в якості робочого, виділяємо його, і переходимо до наступного етапу алгоритму.

Тепер множимо дільник 206 на числа 0, 1, 2, 3, … до того моменту, поки не отримаємо число, яке дорівнює 556, або більше, ніж 556. Маємо (якщо множення виконується складно, краще виконувати множення натуральних чисел стовпчиком): 206·0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Оскільки ми отримали число, яке більше числа 556 , під виділеним числом записуємо число 412 (воно було отримано на передостанньому кроці), але в місце приватного записуємо число 2 (оскільки нього проводилося множення на передостанньому кроці). Запис поділу стовпчиком набуває наступного вигляду:

Виконуємо віднімання стовпчиком. Отримуємо різницю 144 це число менше дільника, тому можна спокійно продовжувати виконання необхідних дій.

Під горизонтальною лінією праворуч від наявного там числа записуємо цифру 2 так як вона знаходиться в записі ділиться 5 562 в цьому стовпці:

Тепер ми працюємо з числом 1442, виділяємо його, і проходимо пункти з другого по четвертий ще раз.

Множимо дільник 206 на 0, 1, 2, 3, … до отримання числа 1442 або числа, яке більше, ніж 1442. Поїхали: 206 · 0 = 0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Проводимо віднімання стовпчиком, отримуємо нуль, але відразу його не записуємо, а лише запам'ятовуємо його позицію, тому що не знаємо, чи завершується на цьому поділ, чи доведеться ще раз повторювати кроки алгоритму:

Тепер ми бачимо, що під горизонтальну межу правіше за запам'ятовану позицію ми не можемо записати жодного числа, тому що в записі поділеного в цьому стовпці немає цифр. Отже, на цьому розподіл стовпчиком закінчено, і ми завершуємо запис:

• Математика. Будь-які підручники для 1, 2, 3, 4 класів загальноосвітніх закладів.
• Математика. Будь-які підручники для 5 класів загальноосвітніх закладів.

Математичний-Калькулятор-Онлайн v.1.0

Калькулятор виконує такі операції: додавання, віднімання, множення, розподіл, робота з десятковими, вилучення кореня, зведення в ступінь, обчислення відсотків та ін операції.

Рішення:

Як працювати з математичним калькулятором

Клавіша	Позначення	Пояснення
5	цифри 0-9	Арабські цифри. Введення цілих натуральних чисел, нуля. Для отримання негативного цілого числа потрібно натиснути клавішу +/-
.	крапка кома)	Розділювач для позначення десяткового дробу. За відсутності цифри перед точкою (ком) калькулятор автоматично підставить нуль перед точкою. Наприклад: .5 – буде записано 0.5
+	знак плюс	Додавання чисел (цілі, десяткові дроби)
-	знак мінус	Віднімання чисел (цілі, десяткові дроби)
÷	знак розподілу	Розподіл чисел (цілі, десяткові дроби)
х	знак множення	Розмноження чисел (цілі, десяткові дроби)
√	корінь	Вилучення кореня з числа. При повторному натисканні на кнопку "кореня" проводиться обчислення з результату. Наприклад: корінь із 16 = 4; корінь із 4 = 2
x 2	зведення у квадрат	Зведення числа у квадрат. При повторному натисканні на кнопку "зведення до квадрата" проводиться зведення в квадрат результату Наприклад: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16
1/х	дріб	Виведення у десяткові дроби. У чисельнику 1, у знаменнику вводиться число
%	відсоток	Отримання відсотка від числа. Для роботи необхідно ввести: число з якого вираховуватиметься відсоток, знак (плюс, мінус, ділити, помножити), скільки відсотків у чисельному вигляді, кнопка "%"
(	відкрита дужка	Відкрита дужка для визначення пріоритету обчислення. Обов'язково наявність закритої дужки. Приклад: (2+3)*2=10
)	закрита дужка	Закрита дужка для визначення пріоритету обчислення. Обов'язково наявність відкритої дужки
±	плюс мінус	Змінює знак на протилежний
=	одно	Виводить результат рішення. Також над калькулятором у полі "Рішення" виводиться проміжні обчислення та результат.
←	видалення символу	Видаляє останній символ
З	скидання	Кнопка скидання. Повністю скидає калькулятор у положення "0"

Алгоритм роботи онлайн-калькулятора на прикладах

Додавання.

Додавання цілих натуральних чисел ( 5 + 7 = 12 )

Додавання цілих натуральних і негативних чисел ( 5 + (-2) = 3 )

Додавання десяткових дробових чисел (0,3 + 5,2 = 5,5)

Віднімання.

Віднімання цілих натуральних чисел ( 7 - 5 = 2 )

Віднімання цілих натуральних і негативних чисел ( 5 - (-2) = 7 )

Віднімання десяткових дробових чисел ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )

множення.

Добуток цілих натуральних чисел ( 3 * 7 = 21 )

Добуток цілих натуральних і негативних чисел ( 5 * (-3) = -15 )

Добуток десяткових дробових чисел ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Розподіл.

Розподіл цілих натуральних чисел ( 27 / 3 = 9 )

Розподіл цілих натуральних і негативних чисел ( 15 / (-3) = -5 )

Розподіл десяткових дробових чисел ( 6,2 / 2 = 3,1 )

Вилучення кореня з числа.

Вилучення кореня з цілого числа ( корінь(9) = 3 )

Вилучення кореня з десяткових дробів ( корінь (2,5) = 1,58)

Вилучення кореня із суми чисел ( корінь(56 + 25) = 9 )

Вилучення кореня з різниці чисел ( корінь (32 – 7) = 5 )

Зведення числа у квадрат.

Зведення в квадрат цілого числа ((3) 2 = 9)

Зведення в квадрат десяткових дробів ((2,2) 2 = 4,84)

Переклад у десяткові дроби.

Обчислення відсотків від числа

Збільшити на 15% число 230 (230 + 230 * 0,15 = 264,5)

Зменшити на 35% число 510 (510 - 510 * 0,35 = 331,5)

18% від числа 140 це (140 * 0,18 = 25,2)