La division est l'une des quatre opérations mathématiques de base (addition, soustraction, multiplication). La division, comme les autres opérations, est importante non seulement en mathématiques, mais aussi dans la vie de tous les jours. Par exemple, vous allez remettre de l'argent à toute la classe (25 personnes) et acheter un cadeau pour le professeur, mais vous ne dépenserez pas tout, il y aura de la monnaie. Vous devrez donc répartir le changement entre tous. L'opération division intervient pour vous aider à résoudre ce problème.

La division est une opération intéressante, comme nous le verrons avec vous dans cet article !

Division des nombres

Alors un peu de théorie et ensuite de la pratique ! Qu'est-ce que la division ? La division divise quelque chose en parties égales. C'est-à-dire qu'il peut s'agir d'un sac de chocolats qui doit être divisé en parties égales. Par exemple, il y a 9 bonbons dans un sac, et la personne qui veut les acheter - trois. Ensuite, vous devez répartir ces 9 chocolats entre trois personnes.

Il s'écrit ainsi : 9 : 3, la réponse sera le nombre 3. C'est-à-dire que la division du nombre 9 par le nombre 3 montre le nombre de trois nombres contenus dans le nombre 9. L'action inverse, un test, sera multiplication. 3 * 3 = 9. Droit? Absolument.

Considérons donc l'exemple 12 : 6. Commençons par nommer chaque composant dans l'exemple. 12 - dividende, c'est. un nombre qui peut être divisé en parties. 6 est le diviseur, c'est le nombre de parties par lesquelles le dividende est divisé. Et le résultat sera un nombre appelé "quotient".

Divisez 12 par 6, la réponse sera le chiffre 2. Vous pouvez vérifier la solution en multipliant : 2 * 6 = 12. Il s'avère que le chiffre 6 est contenu 2 fois dans le chiffre 12.

Division avec reste

Qu'est-ce que la division avec reste ? Il s'agit de la même division, seul le résultat n'est pas un nombre pair, comme indiqué ci-dessus.

Par exemple, divisez 17 par 5. Puisque le plus grand nombre divisible par 5 à 17 est 15, la réponse est 3 et le reste est 2, et il s'écrit ainsi : 17 : 5 = 3 (2).

Par exemple, 22 : 7. De la même manière, on détermine le nombre maximum divisible par 7 à 22. Ce nombre est 21. La réponse sera alors : 3 et reste 1. Et il s'écrit : 22 : 7 = 3 (1).

Division par 3 et 9

Un cas particulier de division sera la division par le nombre 3 et le nombre 9. Si vous voulez savoir si un nombre peut être divisé par 3 ou 9 sans reste, alors il vous faut :

Trouvez la somme des chiffres du dividende.

Divisez par 3 ou 9 (selon ce que vous voulez).

Si la réponse est obtenue sans reste, alors le nombre sera divisé sans reste.

Par exemple, le nombre 18. La somme des chiffres est 1 + 8 = 9. La somme des chiffres est divisible par 3 et 9. Le nombre 18 : 9 = 2, 18 : 3 = 6. Divisé sans reste.

Par exemple, le nombre 63. La somme des chiffres 6 + 3 = 9. Divisible par 9 et 3. 63 : 9 = 7 et 63 : 3 = 21. De telles opérations sont effectuées avec n'importe quel nombre pour savoir s'il est divisible avec le reste 3 ou 9 ou non.

Multiplication et division

La multiplication et la division sont des opérations opposées. La multiplication peut être utilisée comme test de division et la division comme test de multiplication. Vous pouvez en savoir plus sur la multiplication et maîtriser l'opération dans notre article sur la multiplication. Qui décrit en détail la multiplication et comment la faire correctement. Vous y trouverez également la table de multiplication et des exemples pour la formation.

Donnons un exemple de vérification de division et de multiplication. Disons que l'exemple est 6 * 4. Réponse : 24. Vérifiez ensuite la réponse par division : 24 : 4 = 6, 24 : 6 = 4. Résolu correctement. Dans ce cas, la vérification est effectuée en divisant la réponse par l'un des facteurs.

Ou un exemple est donné pour la division 56 : 8. Réponse : 7. Alors le chèque sera 8 * 7 = 56. Droit? Oui. Dans ce cas, la vérification est effectuée en multipliant la réponse par le diviseur.

Classe de 3e division

En troisième année, la division ne fait que commencer. Par conséquent, les élèves de troisième année résolvent les problèmes les plus simples :

Problème 1... Un ouvrier d'usine a été chargé d'arranger 56 gâteaux en 8 paquets. Combien de gâteaux faut-il mettre dans chaque paquet pour obtenir la même quantité dans chacun ?

Tâche 2... Le soir du Nouvel An à l'école, les enfants ont reçu 75 bonbons pour une classe de 15 élèves. Combien de bonbons chaque enfant doit-il avoir ?

Problème 3... Roma, Sasha et Misha ont récolté 27 pommes du pommier. Combien de pommes obtiendront-elles chacune si elles doivent être divisées également ?

Problème 4... Quatre amis ont acheté 58 cookies. Mais ensuite, ils ont réalisé qu'ils ne pouvaient pas les diviser également. Combien de gars ont besoin d'acheter des cookies pour que tout le monde reçoive 15 morceaux ?

Classe de 4e division

La division en quatrième année est plus grave qu'en troisième. Tous les calculs sont effectués par la méthode de division en colonne et les nombres qui participent à la division ne sont pas petits. Qu'est-ce qu'une division longue ? Vous pouvez trouver la réponse ci-dessous :

Division longue

Qu'est-ce qu'une division longue ? C'est une méthode qui permet de trouver la réponse à la division de grands nombres. Si des nombres premiers comme 16 et 4 peuvent être divisés et que la réponse est claire - 4. Alors 512: 8 dans l'esprit n'est pas facile pour un enfant. Et parler de la technique pour résoudre de tels exemples est notre tâche.

Prenons un exemple, 512 : 8.

Étape 1... Écrivons le dividende et le diviseur comme suit :

Le quotient s'écrira en conséquence sous le diviseur, et les calculs sous le dividende.

Étape 2... Nous commençons la division de gauche à droite. Tout d'abord, nous prenons le nombre 5:

Étape 3... Le nombre 5 est inférieur au nombre 8, ce qui signifie qu'il ne peut pas être divisé. Par conséquent, nous prenons un chiffre de plus du dividende :

Maintenant, 51 est supérieur à 8. C'est un quotient incomplet.

Étape 4... Nous avons mis un point sous le diviseur.

Étape 5... Après 51, il y a un autre numéro 2, ce qui signifie qu'il y aura un autre numéro dans la réponse, c'est-à-dire. le quotient est un nombre à deux chiffres. On pose le deuxième point :

Étape 6... Nous commençons l'opération de division. Le plus grand nombre qui peut être divisé sans reste par 8 à 51 est 48. En divisant 48 par 8, nous obtenons 6. Écrivez le nombre 6 au lieu du premier point sous le diviseur :

7 étape... Ensuite, nous écrivons le nombre exactement sous le nombre 51 et mettons le signe "-":

Étape 8... Soustrayez ensuite 48 de 51 et obtenez la réponse 3.

* 9 étapes*. On démolit le chiffre 2 et on écrit à côté du chiffre 3 :

Étape 10 Divisez le nombre résultant 32 par 8 et obtenez le deuxième chiffre de la réponse - 4.

La réponse est donc 64, pas de reste. Si nous divisons le nombre 513, le reste serait un.

Division de trois chiffres

La division des nombres à trois chiffres est effectuée par division longue, ce qui a été expliqué dans l'exemple ci-dessus. Un exemple du même nombre à trois chiffres.

Division des fractions

La division des fractions n'est pas aussi difficile qu'il n'y paraît à première vue. Par exemple, (2/3) :( 1/4). La méthode pour cette division est assez simple. 2/3 est le dividende, 1/4 est le diviseur. Vous pouvez remplacer le signe de division (:) par la multiplication ( ), mais pour cela, vous devez échanger le numérateur et le dénominateur du diviseur. C'est-à-dire que nous obtenons : (2/3)(4/1), (2/3) * 4, cela équivaut à - 8/3 ou 2 entiers et 2/3 Donnons un autre exemple, avec une illustration pour une meilleure compréhension. Considérez les fractions (4/7) :( 2/5):

Comme dans l'exemple précédent, retournez le diviseur 2/5 et obtenez 5/2, en remplaçant la division par la multiplication. On obtient alors (4/7) * (5/2). On fait la réduction et la réponse : 10/7, puis on sort la partie entière : 1 entier et 3/7.

Diviser un nombre en classes

Imaginons le nombre 148951784296 et divisons-le par trois chiffres : 148 951 784 296. Ainsi, de droite à gauche : 296 - classe d'unités, 784 - classe de milliers, 951 - classe de millions, 148 - classe de milliards. A tour de rôle, dans chaque classe, 3 chiffres ont leur propre catégorie. De droite à gauche : le premier chiffre est des unités, le deuxième chiffre est des dizaines, le troisième est des centaines. Par exemple, classe d'unités - 296, 6 - unités, 9 - dizaines, 2 - centaines.

Division des nombres naturels

La division des nombres naturels est la division la plus simple décrite dans cet article. Il peut être avec ou sans reste. Le diviseur et le divisible peuvent être n'importe quel nombre entier non fractionnaire.

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Présentation de la division

La présentation est une autre façon de montrer visuellement le sujet de la division. Ci-dessous, nous trouverons un lien vers une excellente présentation qui explique bien comment diviser, ce qu'est la division, quel est le dividende, le diviseur et le quotient. Ne perdez pas votre temps, mais consolidez vos connaissances !

Exemples de divisions

Niveau facile

Niveau moyen

Niveau difficile

Jeux pour le développement du comptage oral

Des jeux éducatifs spéciaux développés avec la participation de scientifiques russes de Skolkovo aideront à améliorer les compétences de comptage oral d'une manière intéressante.

Devinez le jeu d'opération

Le jeu "Devinez l'opération" développe la réflexion et la mémoire. Le point principal du jeu est de choisir un signe mathématique pour que l'égalité soit vraie. Il y a des exemples à l'écran, regardez bien et mettez le signe "+" ou "-" souhaité, pour que l'égalité soit correcte. Les signes "+" et "-" sont situés en bas de l'image, sélectionnez le signe souhaité et cliquez sur le bouton souhaité. Si vous avez répondu correctement, vous collectez des points et continuez à jouer.

jeu de simplification

Le jeu de simplification développe la réflexion et la mémoire. Le point principal du jeu est d'effectuer rapidement une opération mathématique. Sur l'écran, un élève est dessiné au tableau et une action mathématique est donnée, l'élève doit calculer cet exemple et écrire une réponse. Ci-dessous, il y a trois réponses, comptez et cliquez sur le nombre dont vous avez besoin avec la souris. Si vous avez répondu correctement, vous collectez des points et continuez à jouer.

Jeu d'ajout rapide

Le jeu Fast Addition développe la réflexion et la mémoire. Le point principal du jeu est de choisir des nombres dont la somme est égale à un nombre donné. Ce jeu est donné une matrice de un à seize. Un nombre donné est écrit au-dessus de la matrice, vous devez sélectionner les nombres dans la matrice de sorte que la somme de ces nombres soit égale au nombre spécifié. Si vous avez répondu correctement, vous collectez des points et continuez à jouer.

Jeu de géométrie visuelle

Le jeu "Visual Geometry" développe la réflexion et la mémoire. Le point principal du jeu est de compter rapidement le nombre d'objets peints et de le sélectionner dans la liste des réponses. Dans ce jeu, des carrés bleus s'affichent à l'écran pendant quelques secondes, il faut les compter rapidement, puis ils se referment. Sous le tableau, il y a quatre nombres écrits, vous devez sélectionner un nombre correct et cliquer dessus avec la souris. Si vous avez répondu correctement, vous collectez des points et continuez à jouer.

Jeu de tirelire

Le jeu « Tirelire » développe la réflexion et la mémoire. Le point principal du jeu est de choisir quelle tirelire a le plus d'argent. Dans ce jeu, on vous donne quatre tirelires, vous devez compter quelle tirelire a plus d'argent et montrer cette tirelire avec la souris. Si vous avez répondu correctement, vous collectez des points et continuez à jouer.

Ajout rapide de jeu de rechargement

Le jeu Fast Addition Reloading développe la réflexion, la mémoire et l'attention. Le point principal du jeu est de choisir les termes corrects, dont la somme sera égale à un nombre donné. Dans ce jeu, trois nombres sont donnés à l'écran et une tâche est donnée, ajoutez le nombre, l'écran indique quel nombre doit être ajouté. Vous sélectionnez les numéros souhaités parmi trois chiffres et appuyez dessus. Si vous avez répondu correctement, vous collectez des points et continuez à jouer.

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Avec ce programme mathématique, vous pouvez diviser des polynômes avec une colonne.
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De cette façon, vous pouvez mener votre propre enseignement et/ou l'enseignement de vos frères et sœurs plus jeunes, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine des problèmes à résoudre augmente.

Si vous avez besoin ou simplifier le polynôme ou multiplier des polynômes, alors pour cela nous avons un programme séparé Simplification (multiplication) du polynôme

Le premier polynôme (dividende - ce que nous divisons) :

Deuxième polynôme (diviseur - ce que nous divisons par):

Diviser les polynômes

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Un peu de théorie.

Division d'un polynôme par un polynôme (binôme) par une colonne (angle)

En algèbre division de polynômes par une colonne (coin)- un algorithme de division du polynôme f (x) par un polynôme (binôme) g (x) dont le degré est inférieur ou égal au degré du polynôme f (x).

L'algorithme de division d'un polynôme par un polynôme est une forme généralisée de division de nombres par une colonne, facilement implémentée à la main.

Pour tout polynôme \ (f (x) \) et \ (g (x) \), \ (g (x) \ neq 0 \), il existe des polynômes uniques \ (q (x) \) et \ (r ( x ) \) tel que
\ (\ frac (f (x)) (g (x)) = q (x) + \ frac (r (x)) (g (x)) \)
de plus, \ (r (x) \) a un degré inférieur à \ (g (x) \).

Le but de l'algorithme de division de polynômes en une colonne (angle) est de trouver le quotient \ (q (x) \) et le reste \ (r (x) \) pour un dividende donné \ (f (x) \) et diviseur non nul \ (g (x) \)

Exemple

Nous divisons un polynôme par un autre polynôme (binôme) par une colonne (coin):
\ (\ grand \ frac (x ^ 3-12x ^ 2-42) (x-3) \)

Le quotient et le reste des polynômes donnés peuvent être trouvés en effectuant les étapes suivantes :
1. Divisez le premier élément du dividende par l'élément de tête du diviseur, placez le résultat sous la ligne \ ((x ^ 3 / x = x ^ 2) \)

\ (X \) \(-3 \) \ (x ^ 2 \)

3. Soustrayez le polynôme obtenu après multiplication du dividende, écrivez le résultat sous la ligne \ ((x ^ 3-12x ^ 2 + 0x-42- (x ^ 3-3x ^ 2) = - 9x ^ 2 + 0x- 42) \)

\ (x ^ 3 \) \ (- 12x ^ 2 \) \ (+ 0x \) \(-42 \) \ (x ^ 3 \) \ (- 3x ^ 2 \) \ (- 9x ^ 2 \) \ (+ 0x \) \(-42 \)

\ (X \) \(-3 \) \ (x ^ 2 \)

4. Nous répétons les 3 étapes précédentes, en utilisant le polynôme écrit sous la ligne comme dividende.

\ (x ^ 3 \) \ (- 12x ^ 2 \) \ (+ 0x \) \(-42 \) \ (x ^ 3 \) \ (- 3x ^ 2 \) \ (- 9x ^ 2 \) \ (+ 0x \) \(-42 \) \ (- 9x ^ 2 \) \ (+ 27x \) \ (- 27x \) \(-42 \)

\ (X \) \(-3 \) \ (x ^ 2 \) \ (- 9x \)

5. Répétez l'étape 4.

\ (x ^ 3 \) \ (- 12x ^ 2 \) \ (+ 0x \) \(-42 \) \ (x ^ 3 \) \ (- 3x ^ 2 \) \ (- 9x ^ 2 \) \ (+ 0x \) \(-42 \) \ (- 9x ^ 2 \) \ (+ 27x \) \ (- 27x \) \(-42 \) \ (- 27x \) \(+81 \) \(-123 \)

\ (X \) \(-3 \) \ (x ^ 2 \) \ (- 9x \) \(-27 \)

6. Fin de l'algorithme.
Ainsi, le polynôme \ (q (x) = x ^ 2-9x-27 \) est le quotient de la division des polynômes, et \ (r (x) = - 123 \) est le reste de la division des polynômes.

Le résultat de la division des polynômes peut s'écrire sous la forme de deux égalités :
\ (x ^ 3-12x ^ 2-42 = (x-3) (x ^ 2-9x-27) -123 \)
ou
\ (\ grand (\ frac (x ^ 3-12x ^ 2-42) (x-3)) = x ^ 2-9x-27 + \ grand (\ frac (-123) (x-3)) \)

Les divisions en colonnes font partie intégrante du programme scolaire et des connaissances nécessaires pour un enfant. Pour éviter les problèmes en classe et avec leur mise en œuvre, vous devez donner à votre enfant les connaissances de base dès son plus jeune âge.

Il est beaucoup plus facile d'expliquer à un enfant certaines choses et certains processus de manière ludique, et non sous le format d'une leçon standard (bien qu'il existe aujourd'hui une grande variété de méthodes d'enseignement sous différentes formes).

De cet article, vous apprendrez

Principe de division pour les tout-petits

Les enfants sont constamment confrontés à des termes mathématiques différents, sans même savoir d'où ils viennent. Après tout, de nombreuses momies, sous forme de jeu, expliquent à l'enfant que papa est plus une assiette, pour aller plus loin à la maternelle qu'au magasin et autres exemples simples. Tout cela présente à l'enfant une première impression de mathématiques, avant même que l'enfant n'entre en première année.

Pour apprendre à un enfant à diviser sans reste, et plus tard avec un reste, il faut inviter directement l'enfant à jouer à des jeux avec division. Répartissez, par exemple, des bonbons entre vous, puis ajoutez les participants suivants à tour de rôle.

Tout d'abord, l'enfant divisera les bonbons, en donnant à chaque participant un à la fois. Et à la fin, ensemble, vous tirerez une conclusion. Il convient de préciser que « diviser » signifie que tout le monde a le même nombre de bonbons.

Si vous devez expliquer ce processus à l'aide de chiffres, vous pouvez donner un exemple sous forme de jeu. On peut dire que le nombre est bonbon. Il faut préciser que le nombre de chocolats à répartir entre les participants est un dividende. Et le nombre de personnes qui partagent ces bonbons est le diviseur.

Ensuite, vous devez tout montrer clairement, donner des exemples "en direct" afin d'apprendre rapidement au bébé à se diviser. En jouant, il comprendra et maîtrisera tout beaucoup plus rapidement. Il sera difficile d'expliquer l'algorithme pour le moment, et maintenant ce n'est pas nécessaire.

Comment enseigner une division longue à un enfant

Expliquer un tout petit peu de mathématiques est une bonne préparation pour aller en classe, en particulier en classe de mathématiques. Si vous décidez de passer à l'enseignement de la division longue à votre enfant, il a déjà appris des actions telles que l'addition, la soustraction et la table de multiplication.

Si cela lui cause encore des difficultés, alors toutes ces connaissances doivent être renforcées. Il convient de rappeler l'algorithme d'actions des processus précédents, leur apprendre à utiliser librement leurs connaissances. Sinon, le bébé sera tout simplement confus dans tous les processus et cessera de comprendre quoi que ce soit.

Pour faciliter la compréhension, il existe désormais une table de division pour les tout-petits. Son principe est le même que celui des tables de multiplication. Mais une telle table est-elle déjà nécessaire si l'enfant connaît la table de multiplication ? Cela dépend de l'école et de l'enseignant.

Lors de la formation du concept de "division", il est impératif de tout faire de manière ludique, de donner tous les exemples sur des choses et des objets familiers à l'enfant.

Il est très important que tous les objets soient d'un nombre pair, afin qu'il soit clair pour le bébé que le résultat est à parts égales. Ce sera correct, car cela permettra au bébé de se rendre compte que la division est le processus inverse de la multiplication. Si les articles sont d'un nombre impair, alors le total sortira avec le reste et le bébé sera confus.

Multiplier et diviser à l'aide d'un tableau

Lorsque vous expliquez à l'enfant la relation entre la multiplication et la division, il est nécessaire de montrer clairement tout cela avec un exemple. Par exemple : 5 x 3 = 15. Rappelez-vous que le résultat de la multiplication est le produit de deux nombres.

Et seulement après cela, expliquez qu'il s'agit du processus inverse de la multiplication et démontrez-le visuellement à l'aide d'un tableau.

Dites que vous devez diviser le résultat "15" - par certains des facteurs ("5" / "3"), et le résultat sera un facteur constamment différent qui n'a pas participé à la division.

Il faut aussi expliquer au bébé comment s'appellent correctement les catégories qui effectuent la division : dividende, diviseur, quotient. Encore une fois, utilisez un exemple pour montrer quelle est une catégorie spécifique.

La division longue n'est pas une chose très difficile, elle a son propre algorithme simple que le bébé doit apprendre. Après avoir consolidé tous ces concepts et connaissances, vous pouvez procéder à une formation complémentaire.

En principe, les parents devraient apprendre la table de multiplication avec leur enfant bien-aimé dans l'ordre inverse, et la mémoriser par cœur, car cela sera nécessaire lors de l'apprentissage de la division longue.

Cela doit être fait avant d'aller en première année, afin que l'enfant à l'école soit beaucoup plus facile à s'habituer et à suivre le programme scolaire, et pour que la classe ne commence pas à taquiner l'enfant en raison d'échecs mineurs. Il y a une table de multiplication à la fois à l'école et dans les cahiers, il n'est donc pas nécessaire d'emporter une table séparée à l'école.

Diviser avec une colonne

Avant de commencer la leçon, vous devez vous rappeler les noms des nombres lors de la division. Qu'est-ce qu'un diviseur, un dividende et un quotient. L'enfant doit diviser ces nombres dans les bonnes catégories sans erreurs.

La chose la plus importante dans l'enseignement de la division longue est d'apprendre l'algorithme, qui est, en général, assez simple. Mais d'abord, expliquez à votre enfant la signification du mot « algorithme » s'il l'a oublié ou ne l'a pas étudié auparavant.

Dans le cas où le bébé connaîtrait bien les tables de multiplication et de division inverse, il n'aura aucune difficulté.

Cependant, il est impossible de s'attarder longtemps sur le résultat obtenu, il est nécessaire de former régulièrement les compétences et capacités acquises. Passez à autre chose dès qu'il devient clair que le bébé a compris le principe de la méthode.

Il faut apprendre au bébé à diviser avec une colonne sans reste et avec un reste, afin que l'enfant n'ait pas peur de ne pas avoir réussi à diviser quelque chose correctement.

Pour faciliter l'apprentissage du processus de division au bébé, il faut :

• en 2-3 ans compréhension de la relation tout-partie.
• à 6-7 ans, le bébé devrait pouvoir effectuer librement des additions, des soustractions et être conscient de l'essence de la multiplication et de la division.

Il faut stimuler l'intérêt de l'enfant pour les processus mathématiques pour que cette leçon à l'école lui apporte plaisir et envie d'apprendre, et non pas pour le motiver dans certains cours, mais dans la vie.

L'enfant doit porter différents outils pour les cours de mathématiques, apprendre à les utiliser. Cependant, s'il est difficile pour un enfant de tout transporter, vous ne devez pas le surcharger.

Math-Calculator-Online v.1.0

La calculatrice effectue les opérations suivantes : addition, soustraction, multiplication, division, travail avec la décimale, extraction de racine, exponentiation, calcul de pourcentage et autres opérations.

Solution:

Comment travailler avec une calculatrice mathématique

Clé	La désignation	Explication
5	nombres 0-9	Chiffres arabes. Saisie d'entiers naturels, zéro. Pour obtenir un entier négatif, appuyez sur la touche +/-
.	point-virgule)	Séparateur pour fraction décimale. S'il n'y a pas de chiffre devant le point (virgule), la calculatrice remplacera automatiquement le zéro devant le point. Par exemple : .5 - 0.5 sera écrit
+	signe plus	Addition de nombres (entiers, fractions décimales)
-	signe moins	Soustraction de nombres (entiers, fractions décimales)
÷	signe de division	Division de nombres (entiers, fractions décimales)
N.-É.	signe de multiplication	Multiplication de nombres (entiers, fractions décimales)
√	racine	Extraire la racine d'un nombre. Lorsque vous appuyez à nouveau sur le bouton "root", la racine est calculée à partir du résultat. Par exemple : racine de 16 = 4 ; racine de 4 = 2
x 2	équarrissage	Mettre un nombre au carré. Lorsque vous appuyez à nouveau sur le bouton « carré », le résultat est au carré. Par exemple : carré 2 = 4 ; carré 4 = 16
1 fois	fraction	Sortie en fractions décimales. Au numérateur 1, au dénominateur le nombre saisi
%	pour cent	Obtenir un pourcentage d'un nombre. Pour travailler, vous devez saisir : le nombre à partir duquel le pourcentage sera calculé, le signe (plus, moins, diviser, multiplier), combien de pourcentage sous forme numérique, le bouton "%"
(	ouvrir la parenthèse	Une parenthèse ouverte pour définir la priorité du calcul. Une parenthèse fermée est requise. Exemple : (2 + 3) * 2 = 10
)	parenthèse fermée	Une parenthèse fermée pour définir la priorité du calcul. Une parenthèse ouvrante est requise
±	plus moins	Inverser le signe
=	équivaut à	Affiche le résultat de la solution. Aussi, au dessus de la calculatrice, dans le champ "Solution", les calculs intermédiaires et le résultat sont affichés.
←	supprimer le caractère	Supprime le dernier caractère
AVEC	décharge	Bouton de réinitialisation. Réinitialise complètement la calculatrice à la position "0"

Algorithme du calculateur en ligne par exemples

Une addition.

Additionner des nombres entiers naturels (5 + 7 = 12)

Addition d'entiers positifs et d'entiers négatifs (5 + (-2) = 3)

Addition de nombres fractionnaires décimaux (0,3 + 5,2 = 5,5)

Soustraction.

Soustraction d'entiers naturels (7 - 5 = 2)

Soustraction d'entiers positifs et d'entiers négatifs (5 - (-2) = 7)

Soustraction de fractions décimales (6,5 - 1,2 = 4,3)

Multiplication.

Produit d'entiers entiers naturels (3 * 7 = 21)

Produit d'entiers positifs et d'entiers négatifs (5 * (-3) = -15)

Produit de nombres fractionnaires décimaux (0,5 * 0,6 = 0,3)

Division.

Division des nombres entiers naturels (27/3 = 9)

Division d'entiers et de nombres négatifs (15 / (-3) = -5)

Division de nombres fractionnaires décimaux (6,2 / 2 = 3,1)

Extraire la racine d'un nombre.

Extraction de la racine d'un entier (root (9) = 3)

Extraction de la racine des fractions décimales (racine (2,5) = 1,58)

Extraire la racine de la somme des nombres (racine (56 + 25) = 9)

Extraire la racine de la différence des nombres (racine (32 - 7) = 5)

Mettre un nombre au carré.

Carré d'un entier ((3) 2 = 9)

Décimales au carré ((2,2) 2 = 4,84)

Conversion en fractions décimales.

Calculer le pourcentage d'un nombre

Augmenter le nombre 230 de 15 % (230 + 230 * 0,15 = 264,5)

Diminuer le nombre 510 de 35% (510 - 510 * 0,35 = 331,5)

18% de 140 est (140 * 0,18 = 25,2)

La division des nombres naturels, en particulier ceux à valeurs multiples, est commodément effectuée à l'aide d'une méthode spéciale, appelée division par une colonne (dans une colonne)... Vous pouvez également trouver le nom division par coin... Immédiatement, nous notons qu'une colonne peut être utilisée pour diviser des nombres naturels sans reste, ou pour diviser des nombres naturels avec un reste.

Dans cet article, nous allons comprendre combien de temps la division est effectuée. Ici, nous parlerons à la fois des règles d'enregistrement et de tous les calculs intermédiaires. Tout d'abord, concentrons-nous sur la division d'un nombre naturel à plusieurs chiffres par un nombre à un chiffre par une colonne. Après cela, nous nous attarderons sur les cas où le dividende et le diviseur sont des nombres naturels à valeurs multiples. Toute la théorie de cet article est fournie avec des exemples caractéristiques de division par une colonne de nombres naturels avec des explications détaillées du cours de solution et des illustrations.

Navigation dans les pages.

Règles de notation des divisions longues

Commençons par étudier les règles d'écriture du dividende, du diviseur, de tous les calculs intermédiaires et des résultats de la division des nombres naturels par une colonne. Disons tout de suite qu'il est plus pratique d'effectuer une division de colonne par écrit sur du papier avec une doublure en damier - de cette façon, il y a moins de chance de s'éloigner de la ligne et de la colonne souhaitées.

Tout d'abord, le dividende et le diviseur sont écrits sur une ligne de gauche à droite, après quoi un symbole de la forme est affiché entre les nombres écrits. Par exemple, si le nombre divisible est 6 105 et que le diviseur est 5 5, leur enregistrement correct lors de la division dans une colonne sera le suivant :

Jetez un œil au diagramme suivant, illustrant les endroits où écrire le dividende, le diviseur, le quotient, le reste et les calculs intermédiaires pour la division longue.

À partir du diagramme ci-dessus, on peut voir que le quotient souhaité (ou quotient incomplet lors de la division avec un reste) sera écrit sous le diviseur sous la barre horizontale. Et des calculs intermédiaires seront effectués en dessous du dividende, et vous devez vous assurer à l'avance de la disponibilité de l'espace sur la page. Dans ce cas, il faut se laisser guider par la règle : plus la différence de nombre de caractères dans les enregistrements du dividende et du diviseur est grande, plus il faudra d'espace. Par exemple, en divisant un nombre naturel 614 808 par une colonne par 51 234 (614 808 est un nombre à six chiffres, 51 234 est un nombre à cinq chiffres, la différence entre le nombre de caractères dans les entrées est 6-5 = 1), les calculs intermédiaires nécessiteront moins d'espace que lors de la division des nombres 8 058 et 4 (ici la différence du nombre de caractères est de 4−1 = 3). Pour confirmer nos propos, nous présentons les enregistrements complétés de la division par une colonne de ces nombres naturels :

Vous pouvez maintenant passer directement au processus de division des nombres naturels par une colonne.

Division de colonne d'un nombre naturel par un nombre naturel à un chiffre, algorithme de division de colonne

Il est clair que diviser un nombre naturel à un chiffre par un autre est assez simple, et il n'y a aucune raison de diviser ces nombres dans une colonne. Cependant, il sera utile de mettre en pratique vos compétences de base en division longue avec ces exemples simples.

Exemple.

Disons que nous devons diviser par une colonne de 8 par 2.

Solution.

Bien sûr, nous pouvons effectuer une division à l'aide de la table de multiplication et écrire immédiatement la réponse 8 : 2 = 4.

Mais nous nous intéressons à la façon d'effectuer la division de ces nombres avec une colonne.

Tout d'abord, nous écrivons le dividende 8 et le diviseur 2 car la méthode requiert :

Maintenant, nous commençons à déterminer combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Pour ce faire, nous multiplions séquentiellement le diviseur par les nombres 0, 1, 2, 3, ... jusqu'à ce que le résultat soit un nombre égal au dividende (ou un nombre supérieur au dividende, s'il y a division avec reste). Si nous obtenons un nombre égal au dividende, nous l'écrivons immédiatement sous le dividende et, à la place du quotient, nous écrivons le nombre par lequel nous avons multiplié le diviseur. Si nous obtenons un nombre supérieur au dividende, alors sous le diviseur nous écrivons le nombre calculé à l'avant-dernière étape, et à la place du quotient incomplet nous écrivons le nombre par lequel le diviseur a été multiplié à l'avant-dernière étape.

Allons-y : 2 0 = 0 ; 2 1 = 2 ; 2 2 = 4 ; 2 3 = 6 ; 2 4 = 8. Nous avons un nombre égal au dividende, nous l'écrivons donc sous le dividende, et au lieu du quotient, écrivons le nombre 4. Dans ce cas, l'enregistrement prendra la forme suivante :

Il reste la dernière étape de la division des nombres naturels à un chiffre par une colonne. Sous le nombre écrit sous le dividende, vous devez tracer une ligne horizontale et soustraire les nombres au-dessus de cette ligne, comme cela se fait lorsque vous soustrayez des nombres naturels dans une colonne. Le nombre résultant de la soustraction sera le reste de la division. S'il est égal à zéro, les nombres originaux ont été divisés sans reste.

Dans notre exemple, on obtient

Nous avons maintenant un enregistrement complet de la division du nombre 8 par 2 avec une colonne. On voit que le quotient 8 : 2 est 4 (et le reste est 0).

Réponse:

8:2=4 .

Voyons maintenant comment s'effectue la division par une colonne de nombres naturels à un chiffre avec un reste.

Exemple.

Diviser par une colonne 7 par 3.

Solution.

Au stade initial, l'enregistrement ressemble à ceci :

Nous commençons à déterminer combien de fois le diviseur contient le diviseur. Nous multiplierons 3 par 0, 1, 2, 3, etc. jusqu'à ce que nous obtenions un nombre égal ou supérieur au dividende de 7. On obtient 3 0 = 0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (au besoin, se référer à l'article comparant les nombres naturels). Sous le dividende, on écrit le nombre 6 (il a été obtenu à l'avant-dernière étape), et au lieu du quotient incomplet, on écrit le nombre 2 (la multiplication a été effectuée par celui-ci à l'avant-dernière étape).

Il reste à effectuer la soustraction et la division en colonnes des nombres naturels à un chiffre 7 et 3 sera terminée.

Le quotient partiel est donc 2 et le reste est 1.

Réponse:

7 : 3 = 2 (reste 1).

Vous pouvez maintenant procéder à la division par une colonne de nombres naturels à plusieurs chiffres par des nombres naturels à un chiffre.

Nous allons maintenant analyser algorithme de division longue... A chacune de ses étapes, nous présenterons les résultats obtenus en divisant l'entier naturel multivalué 140 288 par l'entier naturel à un chiffre 4. Cet exemple n'a pas été choisi par hasard, car lors de sa résolution, nous rencontrerons toutes les nuances possibles, nous pourrons les démonter en détail.

Tout d'abord, nous examinons le premier chiffre à gauche dans l'enregistrement des dividendes. Si le nombre déterminé par ce chiffre est supérieur au diviseur, alors dans le paragraphe suivant, nous devons travailler avec ce nombre. Si ce nombre est inférieur au diviseur, nous devons alors ajouter à la considération le chiffre suivant à gauche dans l'enregistrement du dividende, et travailler davantage avec le nombre déterminé par les deux chiffres en question. Pour plus de commodité, sélectionnons dans notre dossier le numéro avec lequel nous allons travailler.

Le premier chiffre à gauche dans l'enregistrement du dividende 140 288 est le chiffre 1. Le nombre 1 est inférieur au diviseur 4, nous examinons donc également le chiffre suivant à gauche dans l'enregistrement du dividende. En même temps, nous voyons le nombre 14, avec lequel nous devrons travailler davantage. Nous soulignons ce nombre dans le registre des dividendes.

Les paragraphes suivants du deuxième au quatrième sont répétés cycliquement jusqu'à ce que la division des nombres naturels par une colonne soit terminée.

Nous devons maintenant déterminer combien de fois le diviseur est contenu dans le nombre avec lequel nous travaillons (pour plus de commodité, nous désignerons ce nombre par x). Pour ce faire, nous multiplions séquentiellement le diviseur par 0, 1, 2, 3, ... jusqu'à obtenir un nombre x ou un nombre supérieur à x. Lorsque le nombre x est obtenu, alors nous l'écrivons sous le nombre sélectionné selon les règles de notation utilisées lors de la soustraction des nombres naturels avec une colonne. Le nombre par lequel la multiplication a été effectuée est écrit à la place du quotient lors du premier passage de l'algorithme (dans les passages suivants 2-4 points de l'algorithme, ce nombre est écrit à droite des nombres déjà présents). Lorsqu'on obtient un nombre supérieur au nombre x, alors sous le nombre en surbrillance nous écrivons le nombre obtenu à l'avant-dernière étape, et à la place du quotient (ou à droite des nombres déjà présents) nous écrivons le nombre par laquelle la multiplication a été effectuée à l'avant-dernière étape. (Nous avons mené des actions similaires dans les deux exemples évoqués ci-dessus).

Multipliez le diviseur 4 par les nombres 0, 1, 2, ... jusqu'à obtenir un nombre égal ou supérieur à 14. Nous avons 4 0 = 0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>Quatorze . Puisqu'à la dernière étape, nous avons obtenu le nombre 16, qui est supérieur à 14, alors sous le nombre en surbrillance, nous écrivons le nombre 12, qui a été obtenu à l'avant-dernière étape, et à la place du quotient, nous écrivons le nombre 3, car dans l'avant-dernier paragraphe la multiplication a été effectuée par celui-ci.


A ce stade, du nombre sélectionné, soustrayez le nombre en dessous dans une colonne. Le résultat de la soustraction est écrit sous la ligne horizontale. Cependant, si le résultat de la soustraction est zéro, alors il n'a pas besoin d'être écrit (à moins que la soustraction dans ce paragraphe soit la toute dernière action qui termine complètement le long processus de division). Ici, pour votre contrôle, il ne sera pas superflu de comparer le résultat de la soustraction avec le diviseur et de s'assurer qu'il est inférieur au diviseur. Sinon, il y avait une erreur quelque part.

Il faut soustraire le nombre 12 dans une colonne du nombre 14 (pour une écriture correcte, il faut penser à mettre le signe moins à gauche des nombres à soustraire). Après avoir terminé cette action, le numéro 2 est apparu sous la ligne horizontale. Maintenant, nous vérifions nos calculs en comparant le nombre obtenu avec le diviseur. Étant donné que le nombre 2 est inférieur au diviseur de 4, vous pouvez passer en toute sécurité à l'élément suivant.


Maintenant, sous la barre horizontale à droite des nombres qui s'y trouvent (ou à droite de l'endroit où nous n'avons pas écrit zéro), écrivez le nombre situé dans la même colonne dans l'enregistrement du dividende. S'il n'y a pas de chiffres dans l'enregistrement du dividende dans cette colonne, la division par la colonne s'arrête là. Après cela, nous sélectionnons le nombre formé sous la ligne horizontale, le prenons comme nombre de travail et répétons avec lui de 2 à 4 points de l'algorithme.

Sous la ligne horizontale à droite du chiffre 2 déjà présent, nous écrivons le chiffre 0, puisque c'est le chiffre 0 qui figure dans l'enregistrement du dividende 140 288 dans cette colonne. Ainsi, le nombre 20 est formé sous la ligne horizontale.


Nous sélectionnons ce nombre 20, l'acceptons comme nombre de travail et répétons avec lui les actions des deuxième, troisième et quatrième points de l'algorithme.

Multipliez le diviseur 4 par 0, 1, 2, ... jusqu'à obtenir le nombre 20 ou un nombre supérieur à 20. Nous avons 4 0 = 0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Nous effectuons une soustraction dans une colonne. Puisque nous soustrayons des nombres naturels égaux, en raison de la propriété de soustraction des nombres naturels égaux, le résultat est zéro. Nous n'écrivons pas le zéro (puisque ce n'est pas la dernière étape d'une longue division), mais nous nous souvenons de l'endroit où nous pourrions l'écrire (pour plus de commodité, nous marquerons cet endroit avec un rectangle noir).


Sous la ligne horizontale à droite du lieu mémorisé, notez le chiffre 2, puisque c'est elle qui figure dans l'enregistrement du dividende 140 288 dans cette colonne. Ainsi, sous la ligne horizontale, nous avons le numéro 2.


Nous prenons le numéro 2 comme numéro de travail, le marquons et nous devrons à nouveau effectuer des actions à partir de 2 à 4 points de l'algorithme.

Nous multiplions le diviseur par 0, 1, 2, etc., et comparons les nombres résultants avec le nombre marqué 2. Nous avons 4 0 = 0<2 , 4·1=4>2. Par conséquent, sous le nombre marqué, nous écrivons le nombre 0 (il a été obtenu à l'avant-dernière étape), et à la place du quotient à droite du nombre déjà présent, nous écrivons le nombre 0 (par 0 nous avons effectué la multiplication à l'avant-dernière étape).


Nous effectuons une soustraction dans une colonne, nous obtenons le nombre 2 sous la ligne horizontale. Nous vérifions nous-mêmes en comparant le nombre obtenu avec un diviseur de 4. Depuis 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Sous la ligne horizontale à droite du chiffre 2, ajoutez le chiffre 8 (puisqu'il se trouve dans cette colonne de l'enregistrement du dividende 140 288). Ainsi, le nombre 28 apparaît sous la ligne horizontale.


Nous prenons ce numéro comme un numéro de travail, le marquons et répétons les étapes 2 à 4.

Il ne devrait pas y avoir de problèmes ici si vous avez été attentif jusqu'à présent. Après avoir effectué toutes les étapes nécessaires, le résultat suivant est obtenu.

Il reste pour la dernière fois à effectuer les actions des points 2, 3, 4 (nous vous laissons le soin), après quoi vous obtenez une image complète de la division des nombres naturels 140 288 et 4 en une colonne:

Veuillez noter que la ligne du bas contient le chiffre 0. Si ce n'était pas la dernière étape de la division longue (c'est-à-dire s'il y avait des nombres dans le dividende dans les colonnes de droite), alors nous n'écririons pas ce zéro.

Ainsi, en regardant l'enregistrement complet de la division du nombre naturel à plusieurs chiffres 140 288 par le nombre naturel à un chiffre 4, nous voyons que le quotient est le nombre 35 072 (et le reste de la division est zéro, c'est dans le ligne du bas).

Bien sûr, lorsque vous divisez des nombres naturels avec une colonne, vous ne décrirez pas toutes vos actions avec autant de détails. Vos solutions ressembleront aux exemples suivants.

Exemple.

Effectuez une division longue si le dividende est 7 136 et le diviseur est un seul nombre naturel 9.

Solution.

À la première étape de l'algorithme de division des nombres naturels par une colonne, nous obtenons un enregistrement de la forme

Après avoir effectué les actions des deuxième, troisième et quatrième points de l'algorithme, l'enregistrement de division de colonne prendra la forme

En répétant le cycle, nous aurons

Un autre passage nous donnera une image complète de la division par une colonne de nombres naturels 7 136 et 9

Ainsi, le quotient incomplet est de 792 et le reste de la division est de 8.

Réponse:

7 136 : 9 = 792 (reste 8).

Cet exemple montre à quelle longueur devrait ressembler la division.

Exemple.

Divisez l'entier naturel 7 042 035 par l'entier naturel à un chiffre 7.

Solution.

Il est plus pratique d'effectuer une division par une colonne.

Réponse:

7 042 035:7=1 006 005 .

Division en colonnes des nombres naturels à plusieurs chiffres

On s'empresse de vous faire plaisir : si vous maîtrisez bien l'algorithme de division des colonnes du paragraphe précédent de cet article, alors vous savez presque comment effectuer division en colonnes de nombres naturels à plusieurs chiffres... C'est bien le cas, puisque les étapes 2 à 4 de l'algorithme restent inchangées, et seules des modifications mineures apparaissent dans le premier paragraphe.

Lors de la première étape de la division des nombres naturels à plusieurs chiffres dans une colonne, vous devez regarder non pas le premier chiffre à gauche dans l'enregistrement du dividende, mais autant d'entre eux qu'il y a de signes dans l'enregistrement du diviseur . Si le nombre déterminé par ces nombres est supérieur au diviseur, alors dans le paragraphe suivant, nous devons travailler avec ce nombre. Si ce nombre est inférieur au diviseur, nous devons alors ajouter à la considération le chiffre suivant à gauche dans l'enregistrement du dividende. Après cela, les actions spécifiées aux paragraphes 2, 3 et 4 de l'algorithme sont effectuées jusqu'à ce que le résultat final soit obtenu.

Il ne reste plus qu'à voir l'application de l'algorithme de division de colonne pour les nombres naturels à plusieurs valeurs dans la pratique lors de la résolution d'exemples.

Exemple.

Effectuons une division par une colonne de nombres naturels multivalués 5 562 et 206.

Solution.

Puisque 3 caractères interviennent dans l'enregistrement du diviseur 206, on regarde les 3 premiers chiffres à gauche dans l'enregistrement du dividende 5 562. Ces numéros correspondent à 556. Comme 556 est supérieur au diviseur 206, nous acceptons le nombre 556 comme nombre de travail, le sélectionnons et passons à l'étape suivante de l'algorithme.

Maintenant, nous multiplions le diviseur 206 par les nombres 0, 1, 2, 3, ... jusqu'à ce que nous obtenions un nombre qui soit 556 ou supérieur à 556. On a (si la multiplication est difficile, alors il vaut mieux multiplier les nombres naturels par une colonne) : 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Puisque nous avons un nombre supérieur à 556, alors sous le nombre en surbrillance nous écrivons le nombre 412 (il a été obtenu à l'avant-dernière étape), et à la place du quotient nous écrivons le nombre 2 (puisque la multiplication a été effectuée sur à l'avant-dernière étape). La notation des divisions longues prend la forme suivante :

Nous effectuons une soustraction de colonne. Nous obtenons la différence 144, ce nombre est inférieur au diviseur, vous pouvez donc continuer à effectuer les actions requises en toute sécurité.

Sous la ligne horizontale à droite du numéro qui y est disponible, nous écrivons le numéro 2, puisqu'il est dans l'enregistrement du dividende 5 562 dans cette colonne :

Maintenant, nous travaillons avec le nombre 1 442, sélectionnez-le et parcourons les points du deuxième au quatrième une fois de plus.

Multipliez le diviseur 206 par 0, 1, 2, 3, ... jusqu'à obtenir le nombre 1 442 ou un nombre supérieur à 1 442. Allons-y : 206 0 = 0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Nous effectuons une soustraction dans une colonne, nous obtenons zéro, mais nous ne l'écrivons pas tout de suite, mais nous nous souvenons seulement de sa position, car nous ne savons pas si la division s'arrête là, ou nous devrons répéter les étapes de l'algorithme de nouveau:

Maintenant, nous voyons que nous ne pouvons pas écrire de nombre sous la ligne horizontale à droite de la position mémorisée, car il n'y a pas de nombre dans l'enregistrement du dividende dans cette colonne. Par conséquent, c'est là que la longue division est terminée, et nous terminons l'enregistrement :

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