Chernoff Faces est une représentation visuelle de données multifactorielles sous la forme visage humain... Chaque partie du visage : nez, yeux, bouche - représente la valeur d'une certaine variable attribuée à cette partie (18 au total).

L'idée de base est qu'il est très naturel pour une personne de regarder des visages, car tout le monde le fait tous les jours. Par conséquent, l'analyse des données s'avère être une sorte de « naturaliste ». Il est facile de faire des comparaisons et il est facile d'identifier les écarts. Même les blondes pourront effectuer une analyse multivariée d'une quantité importante de données.

En 1981, Bernhard Flury et Hans Riedwyl ont affiné le concept et ajouté une asymétrie aux visages de Chernoff. Ainsi, le nombre de variables a doublé - à 36.

Ainsi, chaque face est un tableau de 18 éléments, dont chacun prend une valeur de 0 à 1. La valeur correspond apparence la partie correspondante du visage. Les paramètres des objets étudiés sont réduits à ces valeurs. Les extrema des données réelles seront prises comme 0 et 1. Tout le reste est dans cet intervalle. Un visage est construit à partir du tableau résultant.

Voici les paramètres pour le visage :

1. Taille des yeux
2. Taille de l'élève
3. Poste d'élève
4. Inclinaison de l'oeil
5. Position horizontale des yeux
6. Position verticale des yeux
7. Courbure des sourcils
8. Densité du sourcil
9. Position horizontale des sourcils
10. Position verticale des sourcils
11. Délié supérieur
12. Délié inférieur
13. Contour du visage
14. Cheveux foncés
15. Pente d'ombrage des cheveux
16. Taille de la bouche
17. Courbure de la bouche

La difficulté réside dans la comparaison correcte des variables étudiées avec les parties du visage. Si vous faites une erreur, des schémas importants peuvent passer inaperçus.

Flury donne un exemple d'analyse multivariée réussie utilisant des visages. Il a analysé 100 vrais et 100 billets contrefaits pour la taille des bordures, des tirets et des diagonales. Voici ce qui s'est passé :

Les faux billets se sont clairement distingués dans un groupe distinct. Ainsi, l'analyse a permis d'identifier différents groupes d'objets.

L'asymétrie permet de visualiser les objets en cours. Le deuxième exemple montre divers facteurs chez les patients auxquels le traitement a été appliqué. Côté gauche le visage montre les valeurs des paramètres avant et le bon - après le traitement.

Voyez comment l'état des paramètres a changé. Il est facile de comprendre qui et à quel point il est devenu meilleur, sans même entrer dans l'essence des paramètres à l'étude.

Lire l'article Représentation graphique de données multivariées au moyen de faces asymétriques (de Bernard Flury et Hans Riedwyl) chez JSTOR

Si vous ne l'avez pas, je peux vous l'envoyer en échange d'un lien intéressant, que je ne connais pas encore.

Les visages de Chernov "consiste à coder les valeurs de diverses variables dans les caractéristiques ou les traits d'un visage humain. Un exemple d'un tel" visage "est montré à la figure 16.2.

Riz. 16.2."Le visage de Chernoff"

Un "visage" distinct est dessiné pour chaque observation. Sur chaque "visage", les valeurs relatives des variables sont représentées par les formes et les tailles des caractéristiques faciales individuelles (par exemple, la longueur et la largeur du nez, la taille des yeux, la taille de la pupille, l'angle des sourcils).

L'analyse des informations à l'aide de cette méthode d'affichage est basée sur la capacité d'une personne à trouver intuitivement des similitudes et des différences dans les traits du visage.

En figue. 16.3 présente un ensemble de données, dont chaque enregistrement est exprimé sous la forme d'un « visage Chernov ».

Riz. 16.3. Un exemple d'image multidimensionnelle de données utilisant des « visages de Chernov »

Avant d'utiliser des méthodes de visualisation, vous devez :

• Analysez si tout ou partie des données doit être représentée.
• Choisissez la taille, le rapport hauteur/largeur et l'échelle de l'image.
• Choisissez la méthode qui peut afficher le plus clairement les modèles inhérents à l'ensemble de données.

Beaucoup installations modernes l'analyse des données vous permet de créer des centaines de types de graphiques et de tableaux différents. Par conséquent, le choix de la méthode de visualisation, s'il est effectué de manière indépendante par l'utilisateur, n'est pas aussi simple et facile qu'il y paraît à première vue. La présence d'un grand nombre de moteurs de rendu dans l'outil utilisé par l'utilisateur peut même être source de confusion.

Les mêmes informations peuvent être présentées en utilisant divers moyens... Pour que l'outil de visualisation remplisse son objectif principal - présenter l'information sous une forme simple et accessible pour la perception humaine - il est nécessaire de respecter les lois de correspondance de la solution choisie avec le contenu de l'information affichée et son objectif fonctionnel... En d'autres termes, vous devez vous assurer que lorsque vous examinez la présentation visuelle des informations, vous pouvez immédiatement identifier des modèles dans les données source et prendre des décisions en fonction de ceux-ci.

Parmi les outils 2D et 3D, les plus connus sont les graphiques en courbes, les graphiques en courbes, les graphiques à barres, les camemberts et les graphiques vectoriels.

Avec de l'aide graphique linéaire vous pouvez afficher une tendance, transférer les changements de n'importe quelle caractéristique au fil du temps. Pour comparer plusieurs séries de nombres, ces graphiques sont tracés sur les mêmes axes de coordonnées.

Histogramme utilisé pour comparer des valeurs sur une période ou un rapport de valeurs.

Camemberts utilisé s'il est nécessaire d'afficher le rapport des parties au tout, c'est-à-dire analyser la composition ou la structure des phénomènes. Les parties constitutives de l'ensemble sont représentées par les secteurs du cercle. Il est recommandé de placer les secteurs en fonction de leur taille : en haut - le plus grand, le reste - dans le sens des aiguilles d'une montre par ordre décroissant de leur taille. Les camemberts sont également utilisés pour afficher les résultats de l'analyse factorielle si les actions de tous les facteurs sont unidirectionnelles. De plus, chaque facteur est affiché comme l'un des secteurs du cercle.

Le choix de l'un ou l'autre outil de visualisation dépend de la tâche à accomplir (par exemple, vous devez déterminer la structure des données ou la dynamique du processus) et de la nature de l'ensemble de données.

Riz. 16.1. Jeu de données en coordonnées cartésiennes et parallèles

"Les visages de Chernoff"

L'idée principale de présenter des informations dans les "visages de Chernov" est d'encoder les valeurs de diverses variables dans les caractéristiques ou les traits d'un visage humain. Un exemple d'un tel "visage" est illustré à la figure 16.2.

Riz. 16.2. "Le visage de Chernoff"

Un "visage" distinct est dessiné pour chaque observation. Sur chaque "visage", les valeurs relatives des variables sont représentées par les formes et les tailles des caractéristiques faciales individuelles (par exemple, la longueur et la largeur du nez, la taille des yeux, la taille de la pupille, l'angle des sourcils).

L'analyse des informations à l'aide de cette méthode d'affichage est basée sur la capacité d'une personne à trouver intuitivement des similitudes et des différences dans les traits du visage.

En figue. 16.3 présente un ensemble de données, dont chaque enregistrement est exprimé sous la forme d'un « visage Chernov ».

Riz. 16.3. Un exemple d'image multidimensionnelle de données utilisant des « visages de Chernov »

Avant d'utiliser des méthodes de visualisation, vous devez :

∙ Analyser si toutes les données doivent être représentées ou une partie d'entre eux.

∙ Choisissez la taille, le rapport hauteur/largeur et l'échelle de l'image.

∙ Choisissez la méthode qui peut afficher le plus clairement les modèles inhérents à l'ensemble de données.

De nombreux outils d'analyse de données modernes vous permettent de créer des centaines de types de graphiques et de tableaux différents. Par conséquent, le choix de la méthode de visualisation, s'il est effectué de manière indépendante par l'utilisateur, n'est pas aussi simple et facile qu'il y paraît à première vue. La présence d'un grand nombre de moteurs de rendu dans l'outil utilisé par l'utilisateur peut même être source de confusion.

La même information peut être présentée par différents moyens. Pour que l'outil de visualisation remplisse son objectif principal - présenter des informations sous une forme simple et accessible pour la perception humaine - il est nécessaire de respecter les lois de conformité de la solution sélectionnée avec le contenu des informations affichées et son objectif fonctionnel . En d'autres termes, vous devez vous assurer que lorsque vous examinez la présentation visuelle des informations, vous pouvez immédiatement identifier des modèles dans les données source et prendre des décisions en fonction de ceux-ci.

Parmi les outils 2D et 3D, les plus connus sont les graphiques en courbes, les graphiques en courbes, les graphiques à barres, les camemberts et les graphiques vectoriels.

Avec de l'aide graphique linéaire vous pouvez afficher une tendance, transférer les changements de n'importe quelle caractéristique au fil du temps. Pour comparer plusieurs séries de nombres, ces graphiques sont tracés sur les mêmes axes de coordonnées.

Un histogramme permet de comparer des valeurs sur une période ou le rapport de valeurs.

Camemberts utilisé s'il est nécessaire d'afficher le rapport des parties au tout, c'est-à-dire analyser la composition ou la structure des phénomènes. Les parties constitutives de l'ensemble sont représentées par les secteurs du cercle. Il est recommandé de placer les secteurs en fonction de leur taille : en haut - le plus grand, le reste - dans le sens des aiguilles d'une montre par ordre décroissant de leur taille. Les camemberts sont également utilisés pour afficher les résultats de l'analyse factorielle si les actions de tous les facteurs sont unidirectionnelles. De plus, chaque facteur est affiché comme l'un des secteurs du cercle.

Le choix de l'un ou l'autre outil de visualisation dépend de la tâche à accomplir (par exemple, vous devez déterminer la structure des données ou la dynamique du processus) et de la nature de l'ensemble de données.

Qualité de rendu

Les outils analytiques modernes, y compris l'exploration de données, sont impensables sans une visualisation de haute qualité. Grâce à l'utilisation d'outils de visualisation, des images visuelles et expressives, claires et simples doivent être obtenues grâce à l'utilisation de divers moyens : couleur, contraste, bordures, proportions, échelle, etc.

En raison des exigences croissantes en matière d'outils de visualisation, ainsi que de la nécessité de les comparer entre eux, dans dernières années un certain nombre de principes de présentation visuelle de haute qualité de l'information ont été formés.

Principes de Tufte pour la représentation graphique des données Haute qualité lire:

∙ fournir à l'utilisateur le plus un grand nombre de idées, dans le plus un bref délais, Avec le moins encre dans le plus petit espace;

∙ dire la vérité sur les données.

V les principes de base de la disposition des moyens visuels de présentation de l'information sont décrits :

1. Le principe de brièveté.

2. Le principe de généralisation et d'unification.

3. Le principe de l'accent mis sur les principaux éléments sémantiques.

4. Le principe d'autonomie.

5. Le principe de structure.

6. Le principe des étapes.

7. Le principe de l'utilisation d'associations et de stéréotypes familiers.

Le principe de concision dit qu'un outil de visualisation ne doit contenir que les éléments nécessaires pour communiquer des informations essentielles à l'utilisateur, pour comprendre avec précision sa signification, ou pour faire (avec une probabilité d'au moins une valeur acceptable) la solution optimale appropriée.

En plus des principes indiqués ci-dessus, l'outil de visualisation doit avoir une fiabilité et une vitesse élevées qui conviennent à l'utilisateur qui prend des décisions sur la base de ces informations.

Représentation des caractéristiques spatiales

Une zone de visualisation distincte est une représentation visuelle des caractéristiques spatiales des objets. Dans la plupart des cas, ces fonds sont répartis sur la carte des régions individuelles et les désignent Couleurs différentes en fonction de la valeur de l'indicateur analysé.

En figue. 16.4 montre un exemple d'une telle visualisation dans l'environnement MineSet, qui est, en dans ce cas, un outil visuel d'exploration de données. La carte se présente sous la forme d'une interface graphique qui affiche les données sous la forme d'un paysage en trois dimensions de formes arbitrairement définies et positionnées (histogrammes, chacun avec une hauteur et une couleur individuelles). Cette méthode vous permet de montrer visuellement les caractéristiques quantitatives et relationnelles des données spatialement orientées et d'identifier rapidement les tendances de celles-ci.

Riz. 16.4. MineSet. Rendu paysager

Les grandes tendances de la visualisation

Comme déjà indiqué, à l'aide d'outils de visualisation, des tâches commerciales importantes sont prises en charge, parmi lesquelles le processus de prise de décision. À cet égard, il est nécessaire de passer des outils de visualisation à un niveau de qualité supérieur, caractérisé par l'émergence d'outils de visualisation et de vues complètement nouveaux sur ses fonctions, ainsi que par le développement d'un certain nombre de tendances dans ce domaine. .

Parmi les grandes tendances de la visualisation, Philip Russom souligne :

1. Développement de types complexes de diagrammes.

La plupart des visualisations de données sont basées sur des graphiques type standard(diagrammes sectoriels, nuages ​​de points, etc.). Ces méthodes sont à la fois les plus anciennes, les plus élémentaires et les plus répandues. Ces dernières années, la liste des types de graphiques pris en charge par les outils de visualisation s'est considérablement étendue. Les besoins des utilisateurs étant très divers, les outils de visualisation prennent en charge le plus différents types diagrammes. Par exemple, les utilisateurs professionnels sont connus pour préférer les graphiques à secteurs et à barres, tandis que les universitaires sont plus à l'aise avec les visualisations en nuage de points et en constellation. Les utilisateurs géospatiaux sont plus intéressés par les cartes et autres représentations 3D de leurs données. Les tableaux de bord électroniques, à leur tour, sont plus populaires parmi les cadres qui utilisent les technologies de business intelligence pour surveiller les performances de l'entreprise. Ces utilisateurs ont besoin d'une visualisation sous la forme de « compteurs de vitesse », de « thermomètres » et de « feux de circulation ».

Les outils de création de graphiques et de présentation sont principalement destinés à la visualisation de données. Cependant, ces capacités de visualisation sont généralement intégrées à de nombreux autres programmes et systèmes - outils de reporting et OLAP, outils d'exploration de texte et d'exploration de données, ainsi que CRM et applications de gestion d'entreprise. Pour créer un rendu en ligne, de nombreux fournisseurs implémentent des fonctionnalités de rendu en tant que composants intégrés dans divers outils, applications, programmes et pages Web (y compris les tableaux de bord et les pages de portail personnalisées).

2. Augmenter le niveau d'interaction avec la visualisation de l'utilisateur.

Jusqu'à récemment, la plupart des outils de visualisation étaient des graphiques statiques à afficher uniquement. De nos jours, les diagrammes dynamiques sont largement utilisés, qui sont déjà une interface utilisateur dans laquelle l'utilisateur peut manipuler directement et de manière interactive la visualisation, en choisissant une nouvelle présentation des informations.

Par exemple, l'interaction de base permet à l'utilisateur de faire pivoter ou de modifier le type de graphique pour trouver la représentation la plus complète des données. En outre, l'utilisateur peut modifier les propriétés visuelles telles que les polices, les couleurs et les bordures. Dans les visualisations complexes (nuages ​​de points ou diagrammes de constellation), l'utilisateur peut sélectionner et déplacer des points de données avec la souris, facilitant ainsi la compréhension de la présentation des données.

Les techniques de visualisation de données plus avancées incluent souvent un graphique ou toute autre visualisation en tant que couche composite. L'utilisateur peut explorer la visualisation en explorant les détails

données généralisées, ou explorez OLAP, l'exploration de données ou d'autres technologies complexes.

Une interaction complexe permet à l'utilisateur de modifier la visualisation pour trouver des interprétations alternatives des données. L'interaction avec la visualisation implique une interface utilisateur d'une complexité minimale, dans laquelle l'utilisateur peut contrôler la présentation des données en "cliquant" simplement sur les éléments de visualisation, en faisant glisser et en déposant des vues d'objets de données ou en sélectionnant des éléments de menu. Les outils OLAP ou Data Mining transforment l'interaction directe avec la visualisation en l'une des étapes de l'exploration de données itérative. Le Text Mining, ou gestion de documents, confère à cette interaction directe le caractère d'un mécanisme de navigation pour aider l'utilisateur à explorer les bibliothèques de documents.

Demande visuelle C'est le plus forme moderne interaction utilisateur complexe avec les données. Dans celui-ci, l'utilisateur peut, par exemple, voir les points d'information extrêmes du nuage de points, les sélectionner avec la souris et obtenir de nouvelles visualisations qui représentent exactement ces points. L'application de visualisation de données génère le langage de requête approprié, contrôle l'acceptation de la requête par la base de données et présente visuellement l'ensemble de résultats. L'utilisateur peut se concentrer sur l'analyse sans être distrait par la requête.

3. Augmenter la taille et la complexité des structures de données représentées par la visualisation.

Un graphique à secteurs ou un graphique à barres rudimentaire visualise des séquences simples de points de données numériques. Cependant, les nouveaux types de graphiques améliorés sont capables de visualiser des milliers de ces points et même structures complexes données - par exemple, les réseaux de neurones.

Par exemple, les outils OLAP (ainsi que les outils de génération de requêtes et d'émission de rapports) prennent depuis longtemps en charge les graphiques pour leurs rapports en ligne. De nouveaux programmes de visualisation mettent à jour le contenu en lisant périodiquement les données. En effet, les utilisateurs de programmes de visualisation traçant des processus linéaires (fluctuations boursières, indicateurs de performance des systèmes informatiques, sismogrammes, réseaux de distribution, etc.) ont besoin de télécharger des données en temps réel ou presque.

Les utilisateurs d'outils d'exploration de données analysent généralement très grands ensembles donnees numeriques. Les types traditionnels de graphiques commerciaux (camemberts et graphiques à barres) représentent mal des milliers de points de données. Par conséquent, les outils d'exploration de données prennent presque toujours en charge une forme de visualisation des données capable de refléter les structures et les modèles des ensembles de données étudiés, conformément à l'approche analytique utilisée dans l'outil.

En plus du fait que la visualisation prend en charge le traitement des données structurées, c'est également un moyen clé de représenter des schémas de données dites non structurées, tels que des documents texte, c'est-à-dire des

visages de Chernoff) - affichage de données multidimensionnelles sous la forme d'un visage humain, son pièces séparées... Les gens reconnaissent facilement les visages et perçoivent facilement de petits changements.

Pour chaque observation, un « visage » distinct est dessiné, où les valeurs relatives des variables sélectionnées sont présentées sous forme de formes et de tailles de caractéristiques faciales individuelles (par exemple, la longueur du nez, l'angle entre les sourcils, la largeur du visage). Ainsi, l'observateur peut identifier les caractéristiques visuelles des objets qui sont uniques pour chaque configuration de valeurs.

Paramètres de visage

Par exemple, 18 paramètres peuvent être utilisés : taille des yeux, taille de la pupille, position de la pupille, inclinaison de l'œil, position horizontale de l'œil, position verticale de l'œil, courbure du sourcil, densité du sourcil, position horizontale du sourcil , position verticale du sourcil, racine des cheveux supérieure, racine des cheveux inférieure, contour du visage, obscurité des cheveux, pente d'ombrage des cheveux, nez, taille de la bouche, courbe de la bouche.

En 1981, Bernhard Flury et Hans Riedwyl ont amélioré le concept et ajouté une asymétrie aux visages de Chernoff, ce qui a doublé le nombre de variables (à 36).

Application des faces de Chernov

Les visages de Chernov ont été retrouvés large application analyser la situation dans divers domaines. Cette méthode vous permet d'évaluer rapidement l'état de systèmes multifactoriels (ensembles de 10 à 30 dimensions), en utilisant la capacité innée d'une personne à évaluer rapidement les changements du visage d'une personne dans de nombreux paramètres : évaluation des méthodes de traitement, un ensemble de données statistiques , évaluation du régime dans les centrales nucléaires,

Ils reconnaissent facilement les visages et perçoivent facilement leurs petits changements.

Pour chaque observation, un « visage » distinct est dessiné, où les valeurs relatives des variables sélectionnées sont présentées sous forme de formes et de tailles de caractéristiques faciales individuelles (par exemple, la longueur du nez, l'angle entre les sourcils, la largeur du visage). Ainsi, l'observateur peut identifier les caractéristiques visuelles des objets qui sont uniques pour chaque configuration de valeurs.

Paramètres de visage

Par exemple, 18 paramètres peuvent être utilisés : taille des yeux, taille de la pupille, position de la pupille, inclinaison de l'œil, position horizontale de l'œil, position verticale de l'œil, courbure du sourcil, densité du sourcil, position horizontale du sourcil , position verticale du sourcil, racine des cheveux supérieure, racine des cheveux inférieure, contour du visage, obscurité des cheveux, pente d'ombrage des cheveux, nez, taille de la bouche, courbe de la bouche.

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Remarques (modifier)

Littérature

Liens

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Un extrait caractérisant les Visages de Tchernov

- Vous au comte Kirill Vladimirovitch, ma chère ? - dit le comte de la salle à manger en sortant aussi dans le vestibule. - Si c'est mieux pour lui, invite Pierre à dîner avec moi. Après tout, il m'a rendu visite, a dansé avec les enfants. Appelez-moi par tous les moyens, ma chère. Eh bien, voyons en quoi Taras est différent aujourd'hui. Il dit que le comte Orlov n'a jamais eu un dîner comme celui que nous aurons.

"Mon cher Boris, [Cher Boris]", a dit la princesse Anna Mikhailovna à son fils lorsque la voiture de la comtesse Rostova, dans laquelle ils étaient assis, a longé la rue couverte de paille et est entrée dans la vaste cour du comte Kirill Vladimirovich Bezukhoi. - Mon cher Boris, dit la mère en tendant la main de dessous le vieux manteau et en la posant sur le bras de son fils d'un mouvement timide et affectueux, sois doux, sois attentif. Comte Kirill Vladimirovich tout de même pour vous Parrain, et votre futur destin en dépend. Souviens-toi de ça, mon cher, sois gentil, comment peux-tu être...
« Si seulement je savais qu'il en sortirait quelque chose mais l'humiliation… » répondit froidement le fils. « Mais je t'ai promis et je le fais pour toi.
Malgré le fait qu'une voiture de quelqu'un se tenait à l'entrée, le portier, regardant autour de la mère et du fils (qui, sans ordre de se rapporter, sont entrés dans le passage vitré entre deux rangées de statues dans des niches), a regardé de manière significative le vieux manteau , demanda qui que ce soit, princesse ou comte, et, ayant appris que le comte, dit que leur excellence est maintenant pire et que leur excellence n'accepte personne.
« Nous pouvons partir », a déclaré le fils en français.
- Mon ami! [Mon ami!] - dit la mère d'une voix suppliante, en touchant à nouveau la main de son fils, comme si ce contact pouvait l'apaiser ou l'exciter.
Boris se tut et, sans ôter sa capote, regarda sa mère d'un air interrogateur.
"Mon cher", a déclaré Anna Mikhailovna d'une voix douce, s'adressant au portier, "je sais que le comte Kirill Vladimirovitch est très malade ... alors je suis venu ... je suis un parent ... je ne vais pas vous déranger, mon cher ... Je n'aurais besoin de voir que le prince Vasily Sergeevich: parce qu'il se tient ici. Veuillez signaler.
Le portier tira d'un air maussade le cordon et se détourna.
« La princesse Drubetskaya au prince Vasily Sergeevich », a-t-il crié à un serveur en bas, chaussures et queue-de-pie qui s'était échappé d'en haut et de sous le rebord de l'escalier.
Mère lissa les plis de sa robe de soie teinte, regarda dans le miroir vénitien d'une seule pièce dans le mur et remonta gaiement le tapis de l'escalier dans ses chaussures usées.
- Mon cher, tu m'as promis, [Mon ami, tu m'as promis,] - Elle se tourna de nouveau vers son Fils, l'excitant d'un toucher de la main.
Le fils, baissant les yeux, la suivit calmement.
Ils entrèrent dans le hall, d'où une porte menait aux chambres attribuées au prince Vasily.
Tandis que la mère et le fils, sortant au milieu de la pièce, entendaient demander leur chemin au vieux garçon qui bondit à leur entrée, une poignée de bronze tourna à l'une des portes et le prince Vasily en manteau de fourrure de velours, avec une étoile, comme à la maison, s'est éteinte, voyant le bel homme aux cheveux noirs. Cet homme était le célèbre docteur de Pétersbourg Lorrain.
- C "est donc positif ? [Alors, c'est vrai ?] - dit le prince.
« Mon prince,« errare humanum est », mais... [Prince, c'est humain de se tromper.] » répondit le docteur en frôlant et en prononçant des mots latins avec un accent français.
- C "est bien, c" est bien ... [D'accord, d'accord ...]
Remarquant Anna Mikhailovna et son fils, le prince Vasily congédia le médecin en s'inclinant et en silence, mais avec un air interrogateur, s'approcha d'eux. Le fils remarqua à quel point une profonde tristesse s'exprima dans les yeux de sa mère et sourit légèrement.