10.4. Prawo zachowania energii podczas oscylacji harmonicznych

10.4.1. Oszczędność energii godz mechaniczne drgania harmoniczne

Zasada zachowania energii podczas drgań wahadła matematycznego

Podczas drgań harmonicznych całkowita energia mechaniczna układu zostaje zachowana (pozostaje stała).

Całkowita energia mechaniczna wahadła matematycznego

mi = W k + W p ,

gdzie W k jest energią kinetyczną, W k = = mv 2 /2; W p - energia potencjalna, W p = mgh; m jest masą ładunku; g - moduł przyspieszania swobodnego spadania; v - moduł prędkości ładowania; h jest wysokością ładunku nad położeniem równowagi (ryc. 10.15).

Podczas oscylacji harmonicznych wahadło matematyczne przechodzi przez wiele kolejnych stanów, dlatego warto uwzględnić energię wahadła matematycznego w trzech położeniach (patrz rys. 10.15):

Ryż. 10.15

1 w pozycja równowagi

energia potencjalna wynosi zero; Całkowita energia pokrywa się z maksymalną energią kinetyczną:

E = Wkmax;

2) w sytuacja awaryjna(2) ciało unosi się ponad poziom początkowy na maksymalną wysokość hmax, zatem energia potencjalna również jest maksymalna:

W p maks = m sol godz maks ;

energia kinetyczna wynosi zero; energia całkowita pokrywa się z maksymalną energią potencjalną:

E = Wpmaks;

3) w pozycja pośrednia(3) ciało ma chwilową prędkość v i zostaje podniesione ponad poziom początkowy na pewną wysokość h, zatem energia całkowita jest sumą

mi = m v 2 2 + m sol godz ,

gdzie mv 2 /2 to energia kinetyczna; mgh – energia potencjalna; m jest masą ładunku; g - moduł przyspieszania swobodnego spadania; v - moduł prędkości ładowania; h - wysokość podnoszenia ładunku powyżej położenia równowagi.

Podczas oscylacji harmonicznych wahadła matematycznego całkowita energia mechaniczna zostaje zachowana:

E = stała.

Wartości całkowitej energii wahadła matematycznego w jego trzech pozycjach znajdują odzwierciedlenie w tabeli. 10.1.

№	Pozycja	Wp	tydz	mi = W p + W k
1	równowaga	0	m v maks. 2 / 2	m v maks. 2 / 2
2	Skrajny	mgh maks	0	mgh maks
3	Średniozaawansowany (natychmiastowy)	mgh	mv 2 /2	mv 2 /2 + mgh

Wartości całkowitej energii mechanicznej podane są w ostatniej kolumnie tabeli. 10.1, mają równe wartości dla dowolnego położenia wahadła, co jest wyrażeniem matematycznym:

m v maks. 2 2 = m sol godz. maks;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m sol godz ;

m sol godz. max = m v 2 2 + m sol godz.,

gdzie m jest masą ładunku; g - moduł przyspieszania swobodnego spadania; v jest modułem prędkości chwilowej obciążenia w pozycji 3; h - wysokość podnoszenia ładunku powyżej położenia równowagi w położeniu 3; v max - moduł maksymalnej prędkości obciążenia w pozycji 1; h max - maksymalna wysokość podnoszenia ładunku powyżej położenia równowagi w pozycji 2.

Kąt odchylenia gwintu wahadło matematyczne od pionu (ryc. 10.15) określa wyrażenie

sałata α = l - hl = 1 - hl ,

gdzie l jest długością nici; h - wysokość podnoszenia ładunku powyżej położenia równowagi.

Maksymalny kąt odchyłka α max jest określona przez maksymalną wysokość podnoszenia ładunku powyżej położenia równowagi h max:

cos α max = 1 - godz max l .

Przykład 11. Okres małych oscylacji wahadła matematycznego wynosi 0,9 s. Jaki jest maksymalny kąt, pod jakim nić odbiegnie od pionu, jeżeli po przejściu przez położenie równowagi kulka porusza się z prędkością 1,5 m/s? W systemie nie ma tarcia.

Rozwiązanie . Rysunek przedstawia dwa położenia wahadła matematycznego:

• pozycja równowagi 1 (charakteryzująca się maksymalną prędkością piłki v max);
• położenie skrajne 2 (charakteryzujące się maksymalną wysokością podnoszenia kuli h max powyżej położenia równowagi).

Wymagany kąt jest określony przez równość

cos α max = l - h max l = 1 - h max l ,

gdzie l jest długością gwintu wahadła.

Maksymalną wysokość kuli wahadła powyżej położenia równowagi wyznaczamy z prawa zachowania całkowitej energii mechanicznej.

Całkowitą energię wahadła w położeniu równowagi i w położeniu skrajnym określają następujące wzory:

• w pozycji równowagi -

mi 1 = m v maks. 2 2,

gdzie m jest masą kuli wahadła; v max - moduł prędkości piłki w położeniu równowagi (prędkość maksymalna), v max = 1,5 m/s;

• w skrajnym położeniu -

E 2 = mgh maks.,

gdzie g jest modułem przyspieszenia grawitacyjnego; hmax to maksymalna wysokość uniesienia piłki nad położenie równowagi.

Prawo zachowania całkowitej energii mechanicznej:

m v maks. 2 2 = m sol godz. maks.

Wyraźmy stąd maksymalną wysokość wzniesienia się piłki ponad położenie równowagi:

h maks. = v maks. 2 2 g .

Długość nici wyznaczamy ze wzoru na okres drgań wahadła matematycznego

T = 2 π l sol ,

te. długość nici

l = T 2 sol 4 π 2 .

Podstawmy hmax i l do wyrażenia cosinusa żądanego kąta:

cos α max = 1 - 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

i wykonaj obliczenia, biorąc pod uwagę przybliżoną równość π 2 = 10:

cos α max = 1 - 2 ⋅ 10 ⋅ (1,5) 2 10 2 ⋅ (0,9) 2 = 0,5 .

Wynika z tego, że maksymalny kąt odchylenia wynosi 60°.

Ściśle rzecz ujmując, pod kątem 60° drgania kuli nie są małe i stosowanie standardowego wzoru na okres drgań wahadła matematycznego jest niezgodne z prawem.

Zasada zachowania energii podczas drgań wahadła sprężystego

Całkowita energia mechaniczna wahadła sprężynowego składa się z energii kinetycznej i energii potencjalnej:

mi = W k + W p ,

gdzie W k jest energią kinetyczną, W k = mv 2 /2; W p - energia potencjalna, W p = k (Δx ) 2 /2; m jest masą ładunku; v - moduł prędkości ładowania; k jest współczynnikiem sztywności (sprężystości) sprężyny; Δx - odkształcenie (rozciągnięcie lub ściskanie) sprężyny (ryc. 10.16).

W Międzynarodowym Układzie Jednostek Energia mechanicznego układu oscylacyjnego jest mierzona w dżulach (1 J).

Podczas oscylacji harmonicznych wahadło sprężyste przechodzi przez szereg kolejnych stanów, dlatego warto rozważyć energię wahadła sprężystego w trzech położeniach (patrz rys. 10.16):

1 w pozycja równowagi(1) prędkość ciała ma wartość maksymalną vmax, zatem energia kinetyczna również jest maksymalna:

W k maks. = m v maks. 2 2 ;

energia potencjalna sprężyny wynosi zero, ponieważ sprężyna nie jest odkształcona; Całkowita energia pokrywa się z maksymalną energią kinetyczną:

E = Wkmax;

2) w sytuacja awaryjna(2) sprężyna ma maksymalne odkształcenie (Δx max), więc energia potencjalna również ma maksymalną wartość:

W p maks. = k (Δ x maks.) 2 2 ;

energia kinetyczna ciała wynosi zero; energia całkowita pokrywa się z maksymalną energią potencjalną:

E = Wpmaks;

3) w pozycja pośrednia(3) ciało ma chwilową prędkość v, sprężyna ulega w tym momencie pewnemu odkształceniu (Δx), zatem energia całkowita jest sumą

mi = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,

gdzie mv 2 /2 to energia kinetyczna; k (Δx) 2 /2 - energia potencjalna; m jest masą ładunku; v - moduł prędkości ładowania; k jest współczynnikiem sztywności (sprężystości) sprężyny; Δx - odkształcenie (rozciągnięcie lub ściskanie) sprężyny.

Gdy obciążenie wahadła sprężynowego zostanie przesunięte z położenia równowagi, działa na nie: siła regeneracji, którego rzut na kierunek ruchu wahadła określa wzór

fa x = −kx ,

gdzie x jest przemieszczeniem obciążenia wahadłowego sprężyny od położenia równowagi, x = ∆x, ∆x jest odkształceniem sprężyny; k jest współczynnikiem sztywności (sprężystości) sprężyny wahadła.

Podczas oscylacji harmonicznych wahadła sprężynowego całkowita energia mechaniczna zostaje zachowana:

E = stała.

Wartości całkowitej energii wahadła sprężynowego w jego trzech położeniach przedstawiono w tabeli. 10.2.

№	Pozycja	Wp	tydz	mi = W p + W k
1	równowaga	0	m v maks. 2 / 2	m v maks. 2 / 2
2	Skrajny	k (Δx maks.) 2 /2	0	k (Δx maks.) 2 /2
3	Średniozaawansowany (natychmiastowy)	k(Δx)2/2	mv 2 /2	mv 2 /2 + k (Δx ) 2 /2

Wartości całkowitej energii mechanicznej podane w ostatniej kolumnie tabeli mają równe wartości dla dowolnego położenia wahadła, co jest wyrażeniem matematycznym prawo zachowania całkowitej energii mechanicznej:

m v maks. 2 2 = k (Δ x maks.) 2 2 ;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,

gdzie m jest masą ładunku; v jest modułem prędkości chwilowej obciążenia w pozycji 3; Δx - odkształcenie (rozciągnięcie lub ściskanie) sprężyny w położeniu 3; v max - moduł maksymalnej prędkości obciążenia w pozycji 1; Δx max - maksymalne odkształcenie (rozciągnięcie lub ściskanie) sprężyny w położeniu 2.

Przykład 12. Wahadło sprężynowe wykonuje oscylacje harmoniczne. Ile razy jego energia kinetyczna jest większa od energii potencjalnej w chwili, gdy wychylenie ciała z położenia równowagi wynosi jedną czwartą amplitudy?

Rozwiązanie . Porównajmy dwa położenia wahadła sprężynowego:

• położenie skrajne 1 (charakteryzujące się maksymalnym przemieszczeniem obciążenia wahadła od położenia równowagi x max);
• pozycja pośrednia 2 (charakteryzująca się pośrednimi wartościami przemieszczenia z położenia równowagi x i prędkością v →).

Całkowitą energię wahadła w położeniach skrajnych i pośrednich określają następujące wzory:

• w skrajnym położeniu -

E 1 = k (Δ x maks.) 2 2,

gdzie k jest współczynnikiem sztywności (sprężystości) sprężyny; ∆x max - amplituda oscylacji (maksymalne przemieszczenie od położenia równowagi), ∆x max = A;

• w pozycji pośredniej -

mi 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

gdzie m jest masą obciążenia wahadłowego; ∆x - przemieszczenie obciążenia z położenia równowagi, ∆x = A /4.

Prawo zachowania całkowitej energii mechanicznej wahadła sprężystego ma następującą postać:

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 .

Podzielmy obie strony zapisanej równości przez k (∆x) 2 /2:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

gdzie W k jest energią kinetyczną wahadła w położeniu pośrednim, W k = mv 2 /2; W p - energia potencjalna wahadła w położeniu pośrednim, W p = k (∆x) 2 /2.

Wyraźmy wymagany stosunek energii z równania:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 - 1

i oblicz jego wartość:

W k W p = (ZA ZA / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15 .

We wskazanym momencie stosunek energii kinetycznej i potencjalnej wahadła wynosi 15.

Układ mechaniczny składający się z punktu materialnego (ciała) zawieszonego na nierozciągliwej, nieważkiej nici (jego masa jest znikoma w porównaniu z ciężarem ciała) w jednolitym polu grawitacyjnym nazywa się wahadłem matematycznym (inna nazwa to oscylator). Istnieją inne typy tego urządzenia. Zamiast nici można zastosować nieważki pręt. Wahadło matematyczne może wyraźnie ujawnić istotę wielu interesujących zjawisk. Gdy amplituda drgań jest mała, ich ruch nazywa się harmonicznym.

Przegląd układu mechanicznego

Wzór na okres drgań tego wahadła wyprowadził holenderski naukowiec Huygens (1629-1695). Ten współczesny I. Newtonowi był bardzo zainteresowany tym układem mechanicznym. W 1656 roku stworzył pierwszy zegar z mechanizmem wahadłowym. Odmierzali czas z wyjątkową jak na owe czasy precyzją. Wynalazek ten stał się głównym etapem w rozwoju eksperymentów fizycznych i działań praktycznych.

Jeśli wahadło znajduje się w położeniu równowagi (wisi pionowo), będzie równoważone siłą naciągu nici. Wahadło płaskie na nierozciągliwej gwincie to układ o dwóch stopniach swobody ze sprzężeniem. Kiedy zmieniasz tylko jeden komponent, zmieniają się właściwości wszystkich jego części. Jeśli więc gwint zostanie zastąpiony prętem, wówczas ten układ mechaniczny będzie miał tylko 1 stopień swobody. Jakie właściwości ma wahadło matematyczne? W tym najprostszym systemie chaos powstaje pod wpływem okresowych zakłóceń. W przypadku, gdy punkt zawieszenia nie porusza się, lecz oscyluje, wahadło przyjmuje nowe położenie równowagi. Dzięki szybkim oscylacjom w górę i w dół ten układ mechaniczny przyjmuje stabilną pozycję „do góry nogami”. Ma również swoją nazwę. Nazywa się to wahadłem Kapitza.

Właściwości wahadła

Wahadło matematyczne ma bardzo ciekawe właściwości. Wszystkie one znajdują potwierdzenie w znanych prawach fizycznych. Okres drgań każdego innego wahadła zależy od różnych okoliczności, takich jak wielkość i kształt ciała, odległość punktu zawieszenia od środka ciężkości oraz rozkład masy względem tego punktu. Dlatego określenie okresu zawieszenia ciała jest zadaniem dość trudnym. Znacznie łatwiej jest obliczyć okres wahadła matematycznego, którego wzór zostanie podany poniżej. W wyniku obserwacji podobnych układów mechanicznych można ustalić następujące wzorce:

Jeśli zachowując tę ​​samą długość wahadła, zawiesimy różne ciężarki, to okres ich drgań będzie taki sam, chociaż ich masy będą znacznie się różnić. W konsekwencji okres takiego wahadła nie zależy od masy ładunku.

Jeśli podczas uruchamiania systemu wahadło zostanie odchylone pod niezbyt dużymi, ale różnymi kątami, wówczas zacznie oscylować z tym samym okresem, ale z różnymi amplitudami. Dopóki odchylenia od środka równowagi nie będą zbyt duże, drgania w swojej postaci będą dość zbliżone do harmonicznych. Okres takiego wahadła nie zależy w żaden sposób od amplitudy oscylacji. Ta właściwość danego układu mechanicznego nazywa się izochronizmem (w tłumaczeniu z greckiego „chronos” – czas, „isos” – równy).

Okres wahadła matematycznego

Wskaźnik ten reprezentuje okres. Pomimo złożonego sformułowania, sam proces jest bardzo prosty. Jeżeli długość nici wahadła matematycznego wynosi L, a przyspieszenie swobodnego spadania wynosi g, to wartość ta jest równa:

Okres małych drgań własnych nie zależy w żaden sposób od masy wahadła i amplitudy drgań. W tym przypadku wahadło porusza się jak matematyczne o zadanej długości.

Drgania wahadła matematycznego

Wahadło matematyczne drga, co można opisać prostym równaniem różniczkowym:

x + ω2 grzech x = 0,

gdzie x (t) jest nieznaną funkcją (jest to kąt odchylenia od dolnego położenia równowagi w chwili t, wyrażony w radianach); ω jest stałą dodatnią, którą wyznacza się z parametrów wahadła (ω = √g/L, gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim, a L jest długością wahadła matematycznego (zawieszenia).

Równanie dla małych drgań w pobliżu położenia równowagi (równanie harmoniczne) wygląda następująco:

x + ω2 grzech x = 0

Ruchy oscylacyjne wahadła

Wahadło matematyczne wykonujące niewielkie oscylacje porusza się po sinusoidzie. Równanie różniczkowe drugiego rzędu spełnia wszystkie wymagania i parametry takiego ruchu. Aby wyznaczyć trajektorię należy ustalić prędkość i współrzędne, z których następnie wyznaczane są niezależne stałe:

x = grzech (θ 0 + ωt),

gdzie θ 0 to faza początkowa, A to amplituda oscylacji, ω to częstotliwość cykliczna wyznaczona z równania ruchu.

Wahadło matematyczne (wzory na duże amplitudy)

Ten układ mechaniczny, który oscyluje ze znaczną amplitudą, podlega bardziej złożonym prawom ruchu. Dla takiego wahadła oblicza się je według wzoru:

grzech x/2 = u * sn(ωt/u),

gdzie sn jest sinusem Jacobiego, co dla ciebie< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

gdzie ε = E/mL2 (mL2 to energia wahadła).

Okres drgań wahadła nieliniowego wyznacza się ze wzoru:

gdzie Ω = π/2 * ω/2K(u), K jest całką eliptyczną, π - 3,14.

Ruch wahadła po separatorze

Separator to trajektoria układu dynamicznego, który ma dwuwymiarową przestrzeń fazową. Wahadło matematyczne porusza się po nim nieokresowo. W nieskończenie odległym momencie spada z najwyższej pozycji na bok z zerową prędkością, po czym stopniowo ją zwiększa. W końcu zatrzymuje się, powracając do pierwotnej pozycji.

Jeśli amplituda drgań wahadła zbliża się do liczby π oznacza to, że ruch w płaszczyźnie fazowej zbliża się do separatrix. W tym przypadku pod wpływem małej okresowej siły napędowej układ mechaniczny wykazuje chaotyczne zachowanie.

Kiedy wahadło matematyczne odchyli się od położenia równowagi o pewien kąt φ, powstaje styczna siła ciężkości Fτ = -mg sin φ. Znak minus oznacza, że ​​ta składowa styczna jest skierowana w kierunku przeciwnym do wychylenia wahadła. Oznaczając przez x przemieszczenie wahadła po łuku kołowym o promieniu L, jego przemieszczenie kątowe jest równe φ = x/L. Drugie prawo, przeznaczone dla rzutów i siły, da pożądaną wartość:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

Z tej zależności jasno wynika, że ​​wahadło to jest układem nieliniowym, ponieważ siła przywracająca je do położenia równowagi jest zawsze proporcjonalna nie do przemieszczenia x, ale do sin x/L.

Tylko wtedy, gdy wahadło matematyczne wykonuje małe oscylacje, jest oscylatorem harmonicznym. Innymi słowy staje się układem mechanicznym zdolnym do wykonywania oscylacji harmonicznych. Przybliżenie to obowiązuje praktycznie dla kątów 15-20°. Oscylacje wahadła o dużych amplitudach nie są harmoniczne.

Prawo Newtona dla małych drgań wahadła

Jeżeli dany układ mechaniczny wykonuje niewielkie oscylacje, II zasada Newtona będzie wyglądać następująco:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Na tej podstawie możemy stwierdzić, że wahadło matematyczne jest proporcjonalne do jego przemieszczenia ze znakiem minus. Jest to warunek, w wyniku którego układ staje się oscylatorem harmonicznym. Moduł współczynnika proporcjonalności między przemieszczeniem a przyspieszeniem jest równy kwadratowi częstotliwości kołowej:

ω02 = g/l; ω0 = √ g/l.

Wzór ten odzwierciedla naturalną częstotliwość małych oscylacji tego typu wahadła. Oparte na tym,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Obliczenia w oparciu o zasadę zachowania energii

Właściwości wahadła można również opisać korzystając z prawa zachowania energii. Należy wziąć pod uwagę, że wahadło w polu grawitacyjnym jest równe:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Suma równa się potencjałowi kinetycznemu lub maksymalnemu: Epmax = Ekmsx = E

Po zapisaniu prawa zachowania energii oblicz pochodną prawej i lewej strony równania:

Ponieważ pochodna wielkości stałych jest równa 0, to (Ep + Ek)" = 0. Pochodna sumy jest równa sumie pochodnych:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

stąd:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Bazując na ostatnim wzorze znajdujemy: α = - g/L*x.

Praktyczne zastosowanie wahadła matematycznego

Przyspieszenie zmienia się w zależności od szerokości geograficznej, ponieważ gęstość skorupy ziemskiej nie jest taka sama na całej planecie. Tam, gdzie występują skały o większej gęstości, będzie ona nieco większa. Przyspieszenie wahadła matematycznego jest często wykorzystywane w badaniach geologicznych. Służy do poszukiwania różnych minerałów. Po prostu licząc liczbę drgań wahadła, możesz wykryć węgiel lub rudę w wnętrznościach Ziemi. Wynika to z faktu, że takie skamieniałości mają gęstość i masę większą niż leżące pod nimi luźne skały.

Z wahadła matematycznego korzystali tak wybitni naukowcy jak Sokrates, Arystoteles, Platon, Plutarch, Archimedes. Wielu z nich wierzyło, że ten mechaniczny system może wpływać na losy i życie człowieka. Archimedes w swoich obliczeniach posługiwał się wahadłem matematycznym. Obecnie wielu okultystów i jasnowidzów używa tego mechanicznego systemu do wypełniania swoich przepowiedni lub poszukiwania zaginionych osób.

Wahadło matematyczne wykorzystywał także w swoich badaniach słynny francuski astronom i przyrodnik K. Flammarion. Twierdził, że za jego pomocą był w stanie przewidzieć odkrycie nowej planety, pojawienie się meteorytu Tunguska i inne ważne wydarzenia. W czasie II wojny światowej w Niemczech (Berlin) działał wyspecjalizowany Instytut Wahadeł. Obecnie podobnymi badaniami zajmuje się monachijski Instytut Parapsychologii. Pracownicy tego zakładu nazywają swoją pracę z wahadłem „radiestezją”.

Definicja

Wahadło matematyczne- jest to układ oscylacyjny, będący szczególnym przypadkiem wahadła fizycznego, którego cała masa jest skupiona w jednym punkcie, czyli w środku masy wahadła.

Zwykle wahadło matematyczne jest przedstawiane jako kula zawieszona na długiej, nieważkiej i nierozciągliwej nici. Jest to wyidealizowany układ, który wykonuje oscylacje harmoniczne pod wpływem grawitacji. Dobrym przybliżeniem wahadła matematycznego jest masywna mała kulka oscylująca na cienkiej, długiej nici.

Galileusz jako pierwszy zbadał właściwości wahadła matematycznego, badając wahanie żyrandola na długim łańcuchu. Odkrył, że okres drgań wahadła matematycznego nie zależy od amplitudy. Jeśli podczas uruchamiania wahadła odchylisz je pod różnymi małymi kątami, wówczas jego oscylacje będą występować z tym samym okresem, ale z różnymi amplitudami. Ta właściwość nazywa się izochronizmem.

Równanie ruchu wahadła matematycznego

Wahadło matematyczne jest klasycznym przykładem oscylatora harmonicznego. Wykonuje oscylacje harmoniczne, które opisuje równanie różniczkowe:

\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]

gdzie $\varphi $ jest kątem odchylenia gwintu (zawieszenia) od położenia równowagi.

Rozwiązaniem równania (1) jest funkcja $\varphi (t):$

\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega)_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]

gdzie $\alpha $ jest początkową fazą oscylacji; $(\varphi )_0$ - amplituda oscylacji; $(\omega )_0$ - częstotliwość cykliczna.

Oscylacje oscylatora harmonicznego są ważnym przykładem ruchu okresowego. Oscylator służy jako model w wielu zagadnieniach mechaniki klasycznej i kwantowej.

Częstotliwość cykliczna i okres drgań wahadła matematycznego

Częstotliwość cykliczna wahadła matematycznego zależy tylko od długości jego zawieszenia:

\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(3\right).\]

Okres drgań wahadła matematycznego ($T$) w tym przypadku jest równy:

Z wyrażenia (4) wynika, że ​​okres wahadła matematycznego zależy wyłącznie od długości jego zawieszenia (odległości punktu zawieszenia od środka ciężkości ładunku) oraz przyspieszenia ziemskiego.

Równanie energii dla wahadła matematycznego

Rozważając oscylacje układów mechanicznych o jednym stopniu swobody, często za punkt wyjścia przyjmują nie równania ruchu Newtona, ale równanie energii. Ponieważ łatwiej jest to ułożyć i jest to równanie pierwszego rzędu w czasie. Załóżmy, że w układzie nie ma tarcia. Zasadę zachowania energii dla wahadła matematycznego wykonującego swobodne oscylacje (małe oscylacje) zapisujemy jako:

gdzie $E_k$ jest energią kinetyczną wahadła; $E_p$ jest energią potencjalną wahadła; $v$ to prędkość wahadła; $x$ to liniowe przemieszczenie ciężarka wahadła z położenia równowagi po łuku kołowym o promieniu $l$, natomiast kąt - przemieszczenie jest odniesiony do $x$ jako:

\[\varphi =\frac(x)(l)\lewo(6\prawo).\]

Maksymalna wartość energii potencjalnej wahadła matematycznego wynosi:

Maksymalna wartość energii kinetycznej:

gdzie $h_m$ jest maksymalną wysokością wahadła; $x_m$ to maksymalne odchylenie wahadła od położenia równowagi; $v_m=(\omega )_0x_m$ - maksymalna prędkość.

Przykłady problemów z rozwiązaniami

Przykład 1

Ćwiczenia. Jaka jest maksymalna wysokość uniesienia kuli wahadła matematycznego, jeśli jej prędkość ruchu przy przejściu przez położenie równowagi wynosiła $v$?

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek.

Niech energia potencjalna piłki w położeniu równowagi (punkt 0) będzie wynosić zero.W tym momencie prędkość piłki jest maksymalna i równa $v$ zgodnie z warunkami zadania. W punkcie maksymalnego wzniesienia piłki powyżej położenia równowagi (punkt A) prędkość piłki wynosi zero, a energia potencjalna jest maksymalna. Zapiszmy prawo zachowania energii dla rozważanych dwóch położeń kuli:

\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \left(1.1\right).\]

Z równania (1.1) znajdujemy wymaganą wysokość:

Odpowiedź.$h=\frac(v^2)(2g)$

Przykład 2

Ćwiczenia. Jakie jest przyspieszenie ziemskie, jeśli wahadło matematyczne o długości $l=1\ m$ oscyluje w okresie równym $T=2\ s$? Rozważ oscylacje wahadła matematycznego za małe.\textit()

Rozwiązanie. Jako podstawę do rozwiązania problemu przyjmujemy wzór na obliczenie okresu małych oscylacji:

Wyraźmy z niego przyspieszenie:

Obliczmy przyspieszenie ziemskie:

Odpowiedź.$g=9,87\\frac(m)(s^2)$

Wahadło matematyczne to punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici znajdującej się w polu grawitacyjnym Ziemi. Wahadło matematyczne to wyidealizowany model, który poprawnie opisuje wahadło rzeczywiste tylko pod pewnymi warunkami. Prawdziwe wahadło można uznać za matematyczne, jeśli długość nici jest znacznie większa niż rozmiar zawieszonego na niej ciała, masa nici jest znikoma w porównaniu z masą ciała, a odkształcenia nici są tak małe że można je całkowicie pominąć.

Układ oscylacyjny w tym przypadku tworzy nić, przymocowane do niej ciało oraz Ziemia, bez której układ ten nie mógłby służyć jako wahadło.

Gdzie A X – przyśpieszenie, G - przyśpieszenie grawitacyjne, X- przemieszczenie, l– długość gwintu wahadła.

To równanie nazywa się równanie drgań swobodnych wahadła matematycznego. Prawidłowo opisuje dane drgania tylko wtedy, gdy spełnione są następujące założenia:

2) uwzględniane są tylko małe oscylacje wahadła przy małym kącie wychylenia.

Drgania swobodne dowolnych układów opisywane są we wszystkich przypadkach podobnymi równaniami.

Przyczynami swobodnych oscylacji wahadła matematycznego są:

1. Działanie napięcia i grawitacji na wahadło, uniemożliwiające jego przesunięcie się z położenia równowagi i zmuszające do ponownego opadania.

2. Bezwładność wahadła, dzięki której utrzymując prędkość, nie zatrzymuje się w położeniu równowagi, ale przechodzi przez nią dalej.

Okres swobodnych oscylacji wahadła matematycznego

Okres swobodnych oscylacji wahadła matematycznego nie zależy od jego masy, lecz zależy jedynie od długości nici i przyspieszenia ziemskiego w miejscu, w którym wahadło się znajduje.

Konwersja energii podczas oscylacji harmonicznych

Podczas drgań harmonicznych wahadła sprężystego energia potencjalna ciała odkształconego sprężyście zamienia się na jego energię kinetyczną, gdzie k – współczynnik sprężystości, X - moduł wychylenia wahadła z położenia równowagi, M- masa wahadła, w- jego prędkość. Zgodnie z równaniem drgań harmonicznych:

, .

Całkowita energia wahadła sprężystego:

.

Całkowita energia wahadła matematycznego:

W przypadku wahadła matematycznego

Przemiany energii podczas drgań wahadła sprężystego zachodzą zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej ( ). Kiedy wahadło porusza się w dół lub w górę od położenia równowagi, jego energia potencjalna wzrasta, a energia kinetyczna maleje. Kiedy wahadło przejdzie przez położenie równowagi ( X= 0), jego energia potencjalna wynosi zero, a energia kinetyczna wahadła ma największą wartość, równą jego energii całkowitej.

Zatem w procesie swobodnych oscylacji wahadła jego energia potencjalna zamienia się w kinetyczną, kinetyczną w potencjalną, następnie potencjalną z powrotem w kinetyczną itd. Całkowita energia mechaniczna pozostaje jednak niezmieniona.

Wymuszone wibracje. Rezonans.

Nazywa się drgania występujące pod wpływem zewnętrznej siły okresowej wymuszone oscylacje. Zewnętrzna siła okresowa, zwana siłą napędową, przekazuje dodatkową energię do układu oscylacyjnego, która uzupełnia straty energii powstałe w wyniku tarcia. Jeśli siła napędowa zmienia się w czasie zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa, wówczas wymuszone oscylacje będą harmoniczne i nietłumione.

W odróżnieniu od oscylacji swobodnych, gdy układ otrzymuje energię tylko raz (kiedy układ zostaje wytrącony z równowagi), w przypadku oscylacji wymuszonych układ w sposób ciągły absorbuje tę energię ze źródła zewnętrznej siły okresowej. Energia ta rekompensuje straty poniesione na pokonanie tarcia, dlatego całkowita energia układu oscylacyjnego pozostaje niezmieniona.

Częstotliwość drgań wymuszonych jest równa częstotliwości siły napędowej. W przypadku, gdy częstotliwość siły napędowej υ pokrywa się z częstotliwością naturalną układu oscylacyjnego υ 0 , następuje gwałtowny wzrost amplitudy wymuszonych oscylacji - rezonans. Rezonans występuje z tego powodu, że kiedy υ = υ 0 siła zewnętrzna, działająca w czasie z drganiami swobodnymi, jest zawsze zgodna z prędkością ciała oscylującego i wykonuje pracę dodatnią: energia ciała oscylującego wzrasta, a amplituda jego oscylacji staje się duża. Wykres amplitudy oscylacji wymuszonych A T na częstotliwość siły napędowej υ jak pokazano na rysunku, ten wykres nazywa się krzywą rezonansową:

Zjawisko rezonansu odgrywa ważną rolę w szeregu procesów naturalnych, naukowych i przemysłowych. Na przykład konieczne jest uwzględnienie zjawiska rezonansu przy projektowaniu mostów, budynków i innych konstrukcji, które podlegają drganiom pod obciążeniem, w przeciwnym razie w pewnych warunkach konstrukcje te mogą ulec zniszczeniu.

Jeżeli ciało zawieszone na sprężynie (rysunek 4) zostanie odchylone od położenia równowagi o np. odległość A w lewo, to po przejściu przez położenie równowagi odchyli się w prawo. Wynika to z prawa zachowania energii.

Energia potencjalna ściśniętej lub rozciągniętej sprężyny jest równa

gdzie k jest sztywnością sprężyny, a x jest jej wydłużeniem. W skrajnej lewej pozycji wydłużenie sprężyny wynosi x = - A, dlatego energia potencjalna jest równa

Energia kinetyczna w tym momencie wynosi zero, ponieważ prędkość wynosi zero. Oznacza to, że energia potencjalna jest całkowitą energią mechaniczną układu w tym momencie. Jeśli zgodzimy się, że siła tarcia wynosi zero, a pozostałe siły się równoważą, to nasz układ można uznać za zamknięty, a jego całkowita energia nie może się zmieniać podczas ruchu. Kiedy ciało podczas ruchu znajdzie się w skrajnie prawym położeniu (x = A), jego energia kinetyczna ponownie będzie równa zeru, a energia całkowita znów będzie równa potencjalnej. Ale całkowita energia nie może się zmienić. Więc znowu jest równo

Oznacza to, że ciało odchyli się w prawo o odległość równą A.

Natomiast w położeniu równowagi energia potencjalna wynosi zero, ponieważ sprężyna nie jest odkształcona, x = 0. W tej pozycji całkowita energia ciała jest równa jego energii kinetycznej

gdzie m jest masą ciała i jego prędkością (w tym momencie jest maksymalna). Ale ta energia kinetyczna również musi mieć tę samą wartość. W konsekwencji podczas ruchu oscylacyjnego energia kinetyczna zamienia się w energię potencjalną i odwrotnie. W dowolnym punkcie pomiędzy położeniami równowagi i maksymalnego odchylenia ciało ma zarówno energię kinetyczną, jak i potencjalną, ale ich sumę, tj. Całkowita energia w dowolnej pozycji ciała jest równa. Całkowita energia mechaniczna W ciała oscylującego jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy i jej drgań

Wahadła. Wahadło matematyczne

Wahadło to dowolne ciało zawieszone w taki sposób, że jego środek ciężkości znajduje się poniżej punktu zawieszenia. Oznacza to, że ładunek zawieszony na linie jest układem oscylacyjnym podobnym do wahadła zegara ściennego. Każdy układ zdolny do swobodnych oscylacji ma stabilną pozycję równowagi. W przypadku wahadła jest to położenie, w którym środek ciężkości znajduje się pionowo poniżej punktu zawieszenia. Jeśli usuniemy wahadło z tej pozycji lub popchniemy je, wówczas zacznie ono oscylować, odchylając się najpierw w jedną lub drugą stronę od położenia równowagi. Wiemy, że największe odchylenie od położenia równowagi, do którego wahadło dochodzi, nazywa się amplitudą drgań. Amplituda jest określona przez początkowe odchylenie lub pchnięcie, z jakim wahadło zostało wprawione w ruch. Ta właściwość - zależność amplitudy od warunków na początku ruchu - jest charakterystyczna nie tylko dla swobodnych oscylacji wahadła, ale w ogóle dla swobodnych oscylacji wielu układów oscylacyjnych.

Okres drgań wahadła fizycznego zależy od wielu czynników: od wielkości i kształtu ciała, od odległości środka ciężkości od punktu zawieszenia oraz od rozkładu masy ciała względem tego punktu; Dlatego obliczenie okresu zawieszonego ciała jest zadaniem dość trudnym. Sytuacja jest prostsza w przypadku wahadła matematycznego. Wahadło matematyczne to ciężarek zawieszony na cienkiej nitce, którego wymiary są znacznie mniejsze niż długość nitki, a jego masa jest znacznie większa niż masa nitki. Oznacza to, że korpus (obciążenie) i gwint muszą być takie, aby obciążenie można było uznać za punkt materialny, a gwint za nieważki. Z obserwacji takich wahadeł można ustalić następujące proste prawa.

1. Jeżeli przy zachowaniu tej samej długości wahadła (odległości od punktu zawieszenia do środka ciężkości ładunku) zawiesimy różne obciążenia, to okres drgań będzie taki sam, chociaż masy wahadła obciążenia są bardzo różne. Okres wahadła matematycznego nie zależy od masy ładunku.

2. Siła działająca na ciało w dowolnym punkcie trajektorii jest skierowana w stronę położenia równowagi, a w samym punkcie równowagi jest równa zeru.

3. Siła jest proporcjonalna do odchylenia ciała od położenia równowagi.

Ryż. 5.

4. Jeżeli uruchamiając wahadło odchylimy je pod różnymi (ale nie za dużymi) kątami, to będzie ono oscylować z tym samym okresem, choć z różnymi amplitudami. Dopóki amplitudy nie są zbyt duże, oscylacje mają postać zbliżoną do harmonicznej, a okres wahadła matematycznego nie zależy od amplitudy oscylacji. Ta właściwość nazywa się izochronizmem (od greckich słów „isos” - równy, „chronos” - czas).

Fakt ten został po raz pierwszy stwierdzony w 1655 roku przez Galileusza, rzekomo w następujących okolicznościach. Galileusz zaobserwował w katedrze w Pizie kołysanie się żyrandola (w cerkwi, żyrandola centralnego, lampy z wieloma świecami lub lampami) na długim łańcuszku, który podczas zapalania był popychany. Podczas nabożeństwa wahania stopniowo zanikały (rozdział 8), to znaczy amplituda wahań malała, ale okres pozostał ten sam. Galileusz używał własnego pulsu jako wskaźnika czasu.

Ta właściwość wahadła okazała się nie tylko zaskakująca, ale także użyteczna. Galileo zaproponował użycie wahadła jako regulatora zegara. W czasach Galileusza zegary napędzane były ciężarkiem, a do regulacji prędkości używano prymitywnego urządzenia, takiego jak łopaty wiatraka, wykorzystującego opór powietrza. Aby policzyć równe okresy czasu, można by użyć wahadła, ponieważ małe oscylacje występują w tym samym czasie, co duże, spowodowane przypadkowymi podmuchami wiatru. Sto lat po Galileuszu zaczęto używać zegarów wahadłowych, ale żeglarze nadal potrzebowali dokładnych zegarów do pomiaru długości geograficznej na morzu. Ogłoszono nagrodę za stworzenie zegara morskiego, który umożliwiłby odmierzanie czasu z odpowiednią dokładnością. Garisson otrzymał nagrodę za chronometr, w którym do regulacji mechanizmu wykorzystano koło zamachowe (równowaga) i specjalną sprężynę.

Wyprowadźmy teraz wzór na okres drgań wahadła matematycznego.

Kiedy wahadło się kołysze, ładunek porusza się z przyspieszeniem wzdłuż łuku BA (ryc. 5, a) pod wpływem siły powrotnej P 1, która zmienia się podczas ruchu.

Obliczanie ruchu ciała pod działaniem zmiennej siły jest dość skomplikowane. Dlatego, aby uprościć sprawę, postępujemy w następujący sposób.

Sprawmy, aby wahadło nie oscylowało w jednej płaszczyźnie, ale opisz stożek tak, aby ładunek poruszał się po okręgu (ryc. 5, b). Ruch ten można uzyskać w wyniku dodania dwóch niezależnych drgań: jednego – wciąż w płaszczyźnie rysunku i drugiego – w płaszczyźnie prostopadłej. Oczywiście okresy obu tych oscylacji płaszczyzny są takie same, ponieważ żadna płaszczyzna oscylacji nie różni się od żadnej innej. W rezultacie okres ruchu złożonego - obrót wahadła po stożku - będzie taki sam, jak okres wahań w jednej płaszczyźnie. Wniosek ten można łatwo zilustrować na podstawie bezpośredniego doświadczenia, biorąc dwa identyczne wahadła i nadając jednemu z nich obrót w płaszczyźnie, a drugiemu obrót wzdłuż stożka.

Ale okres obrotu wahadła „stożkowego” jest równy długości okręgu opisanego przez obciążenie podzielonej przez prędkość:

Jeżeli kąt odchylenia od pionu jest mały (małe amplitudy!), to możemy założyć, że siła powracająca P 1 jest skierowana wzdłuż promienia okręgu BC, tj. równa sile dośrodkowej:

Natomiast z podobieństwa trójkątów OBC i DBE wynika, że ​​BE: BD = CB: OB. Ponieważ OB=l, CB=r, BE=P 1, to stąd

Przyrównując oba wyrażenia P 1 do siebie, otrzymujemy prędkość cyrkulacji

Wreszcie, podstawiając to do wyrażenia na okres T, znajdujemy

Zatem okres wahadła matematycznego zależy tylko od przyspieszenia ziemskiego g oraz od długości wahadła l, czyli odległości od punktu zawieszenia do środka ciężkości ładunku. Z otrzymanego wzoru wynika, że ​​okres wahadła nie zależy od jego masy i amplitudy (pod warunkiem, że jest on odpowiednio mały). Innymi słowy, podstawowe prawa, które ustalono wcześniej na podstawie obserwacji, uzyskano w drodze obliczeń.

Ale ten teoretyczny wniosek daje nam więcej: pozwala ustalić ilościową zależność pomiędzy okresem wahadła, jego długością i przyspieszeniem grawitacyjnym. Okres wahadła matematycznego jest proporcjonalny do pierwiastka kwadratowego ze stosunku długości wahadła do przyspieszenia ziemskiego. Współczynnik proporcjonalności wynosi 2?.

Bardzo dokładna metoda wyznaczania tego przyspieszenia opiera się na zależności okresu wahadła od przyspieszenia ziemskiego. Po zmierzeniu długości wahadła l i wyznaczeniu okresu T na podstawie dużej liczby oscylacji, możemy obliczyć g, korzystając z otrzymanego wzoru. Metoda ta nie jest powszechnie stosowana w praktyce.

współrzędna rezonansowa drgań wahadła