Теорема про кінетичну енергію робота сили дорівнює. Московський державний університет друку. Потенційна енергія взаємодії тіла з Землею

Робота рівнодіюча всіх сил, прикладених до тіла, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла.

Ця теорема вірна не тільки для поступального руху твердого тіла, але і в разі його довільного руху.

Кінетичної енергією володіють тільки рухомі тіла, тому її називають енергією руху.

§ 8. Консервативні (потенційні) сили.

Поле консервативних сил

Опр.

Сили, робота яких не залежить від шляху, по якому рухалася тіло, а визначається тільки початковим і кінцевим положеннями тіла, називаються консервативними (потенційними) силами.

Опр.

Поле сил - область простору, в кожній точці якого на тіло, поміщене туди, діє сила, закономірно змінюється від точки до точки простору.

Опр.

Поле, що не змінюється з часом, називається стаціонарним.

Можна довести наступні 3 твердження

1) Робота консервативних сил по будь-якому замкнутому шляху дорівнює 0.

Доведення:

2) Однорідне поле сил консервативно.

Опр.

Поле називається однорідним, якщо у всіх точках поля сили, що діють на тіло поміщене туди, однакові по модулю і напрямку.

Доведення:

3) Поле центральних сил, в якому величина сили залежить тільки від відстані до центру, консервативно.

Опр.

Поле центральних сил - силове поле, в кожній точці якого на точкове тіло, що рухається в ньому, діє сила, спрямована уздовж лінії, що проходить через одну і ту ж нерухому точку - центр поля.

У загальному випадку таке поле центральних сил не є консервативним. Якщо ж в полі центральних сил величина сили залежить тільки від відстані до центру силового поля (О), тобто , То таке поле є консервативним (потенційним).

Доведення:

де - первісна.

§ 9. Потенційна енергія.

Зв'язок сили і потенційної енергії

в поле консервативних сил

Полем консервативних сил виберемо початок координат, Т.О.

Потенційна енергія тіла в полі консервативних сил. Ця функція визначається однозначно (залежить тільки від координат), тому що робота консервативних сил не залежить від виду шляху.

Знайдемо зв'язок в поле консервативних сил при переміщенні тіла з точки 1 в точку 2.

Робота консервативних сил дорівнює зміні потенційної енергії з протилежним знаком.

Потенційна енергія тіла поля консервативних сил є енергія, обумовлена \u200b\u200bнаявністю силового поля, що виникає в результаті певного взаємодії даного тіла з зовнішнім тілом (тілами), яке, як кажуть, і створює силове поле.

Потенційна енергія поля консервативних сил характеризує здатність тіла зробити роботу і чисельно дорівнює роботі консервативних сил по переміщенню тіла в початок координат (або в точку з нульовою енергією). Вона залежить від вибору нульового рівня і може бути негативною. У будь-якому випадку, а значить і для елементарної роботи справедливо, тобто або, де - проекція сили на напрямок руху або елементарне переміщення. Отже,. Оскільки ми можемо переміщати тіло в будь-якому напрямку, то для будь-якого напрямку справедливо. Проекція консервативної сили на довільний напрямок дорівнює похідною потенційної енергії за цим напрямком з протилежним знаком.

З огляду на розкладання векторів і по базису,, отримаємо, що

З іншого боку з математичного аналізу відомо, що повний диференціал функції кількох змінних дорівнює сумі творів приватних похідних по аргументам на диференціали аргументів, тобто , А значить, зі співвідношення отримаємо

Для більш компактного запису даних співвідношень можна використовувати поняття градієнта функції.

Опр.

Градієнтом деякої скалярної функції координат називається вектор з координатами, рівними відповідним приватним похідним цієї функції.

У нашому випадку

Опр.

Еквіпотенційної поверхнею називається геометричне місце точок у поле консервативних сил, значення потенційної енергії в яких однакові, тобто .

Оскільки з визначення еквіпотенційної поверхні слід, що для точок цієї поверхні, то, як похідна константи, отже.

Таким чином, консервативна сила завжди перпендикулярна еквіпотенційної поверхні і спрямована в бік зменшення потенційної енергії. (П 1\u003e П 2\u003e П 3).

§ 10. Потенційна енергія взаємодії.

Консервативні механічні системи

Розглянемо систему з двох взаємодіючих частинок. Нехай сили їх взаємодії центральні і величина сили залежить від відстані між частинками (такими силами є гравітаційні і електричні кулонівських сили). Зрозуміло, що сили взаємодії двох частинок - внутрішні.

З огляду на третій закон Ньютона (), отримаємо, тобто робота внутрішніх сил взаємодії двох частинок визначається зміною відстані між ними.

Така ж робота була б здійснена, якби перша частка лежала на початку координат, а друга - отримала переміщення, рівне збільшенню її радіус-вектора, тобто роботу, що здійснюються внутрішніми силами можна обчислювати, вважаючи одну частинку нерухомою, а другу - рухається в поле центральних сил, величина яких однозначно визначається відстанню між частинками. У §8 ми довели, що поле таких сил (тобто поле центральних сил, в якому величина сили залежить тільки від відстані до центру) консервативно, а значить, їх роботу можна розглядати як спад потенційної енергії (яка визначається, згідно §9, для поля консервативних сил).

В даному випадку ця енергія обумовлена \u200b\u200bвзаємодією двох частинок, що складають замкнуту систему. Її називають потенційною енергією взаємодії (або взаємної потенційної енергією). Вона також залежить від вибору нульового рівня і може бути негативною.

Опр.

Механічна система твердих тіл, внутрішні сили між якими консервативні, називається консервативної механічної системою.

Можна показати, що потенційна енергія взаємодії консервативної системи з N частинок складається з потенційних енергій взаємодії частинок, взятих попарно, що можна уявити.

Де - потенційна енергія взаємодії двох частинок i-ой і j-ой. Індекси i та j в сумі приймають незалежні один від одного значення 1,2,3, ..., N. З огляду на, що одна і та ж потенційна енергія взаємодії i-ой і j-ой часток один з одним, то при підсумовуванні енергія буде множитися на 2, внаслідок чого з'являється коефіцієнт перед сумою. У загальному випадку потенційна енергія взаємодії системи з N частинок буде залежати від положення або координат всіх частинок. Неважко бачити, що потенційна енергія частинки в полі консервативних сил є різновид потенційної енергії взаємодії системи частинок, тому що силове поле є результат деякого взаємодії тіл один з одним.

§ 11. Закон збереження енергії в механіці.

Нехай тверде тіло рухається поступально під дією консервативних і неконсервативних сил, тобто загальний випадок. Тоді рівнодіюча всіх сил, що діють на тіло. Робота рівнодіюча всіх сил в цьому випадку.

По теоремі про кінетичної енергії, а також враховуючи, що, отримаємо

Повна механічна енергія тіла

Якщо то . Це і є математична запис закону збереження енергії в механіці для окремого тіла.

Формулювання закону збереження енергії:

Повна механічна енергія тіла не змінюється у відсутності роботи неконсервативних сил.

Для механічної системи з N частинок неважко показати, що (*) має місце.

При цьому

Перша сума тут - сумарна кінетична енергія системи частинок.

Друга - сумарна потенційна енергія частинок у зовнішньому полі консервативних сил

Третя - потенційна енергія взаємодії частинок системи один з одним.

Друга і третя суми являють собою повну потенційну енергію системи.

Робота неконсервативних сил складається з двох доданків, що подаються собою роботу внутрішніх і зовнішніх неконсервативних сил.

Також як і в разі руху окремого тіла, для механічної системи з N тіл, якщо, то, і закон збереження енергії в загальному випадку для механічної системи говорить:

Повна механічна енергія системи частинок, що знаходяться тільки під дією консервативних сил, зберігається.

Таким чином, при наявності неконсервативних сил повна механічна енергія не зберігається.

Неконсервативний силами є, наприклад, сила тертя, сила опору і інші сили, дії яких викликають дессінацію енергії (перехід механічної енергії в теплоту).

Сили, що призводять до дессінаціі називаються дессінатівнимі. Деякі сили не обов'язково є дессінатівнимі.

Закон збереження енергії має загальний характер і можна застосувати не тільки до механічних явищ, а й до всіх процесів в природі. Загальна кількість енергії в ізольованій системі тіл і полів завжди залишається постійним. Енергія лише може переходити з однієї форми в іншу.

З урахуванням цієї рівності

Якщо Вам потрібно додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що будемо робити з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним ля Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Кін етіческого енергія.

Невід'ємним властивістю матерії є рух. Різні форми руху матерії здатні до взаємних перетворень, які, як встановлено, відбуваються в строго определ енних кількісних співвідношеннях. Єдиної мірою різних форм руху і типів взаємодії матеріальних об'єктів і є енергія.

Енергія залежить від параметрів стану системи, ᴛ.ᴇ. таких фізичних величин, які характеризують деякі суттєві властивості системи. Енергію, що залежить від двох векторних параметрів, що характеризують механічний стан системи, а саме, радіус-вектора, що визначає положення одного тіла відносно іншого, і швидкості, що визначає швидкість переміщення тіла в просторі, називають механічною.

У класичній механіці представляється можливим розбити механічну енергію на два доданків, кожне з яких залежить тільки від одного параметра:

де - потенційна енергія, що залежить від відносного розташування взаємодіючих тіл; - кін етіческого енергія, що залежить від швидкості руху тіла в просторі.

Механічна енергія макроскопічних тіл може змінюватися тільки за рахунок роботи.

Знайдемо вираз для кін етіческого енергії поступального руху механічної системи. Варто сказати, що для початку розглянемо матеріальну точку масою m. Припустимо, що її швидкість в певний момент часу t дорівнює. Визначимо роботу результуючої сили, що діє на матеріальну точку протягом деякого часу:

З огляду на, що на основі определ ення скалярного твори

де - початкова, а - кінцева швидкість точки.

величина

прийнято називати кін етіческого енергією матеріальної точки.

За допомогою цього поняття співвідношення (4.12) запишеться у вигляді

З (4.14) випливає, що енергія має таку ж розмірність, як і работа͵ і отже, вимірюється в тих же одиницях.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, робота результуючої нд ех сил, що діють на матеріальну точку, дорівнює приросту кін етіческого енергії цієї точки. Відзначимо, що приріст кін етіческого енергії може бути позитивним або негативним в залежності від знака, досконалої роботи (сила може або прискорювати, або гальмувати рух тіла). Дане твердження прийнято називати теоремою про кін етіческого енергії.

Отриманий результат без праці узагальнюється на випадок поступального руху довільної системи матеріальних точок. Кін етіческого енергією системи прийнято називати сума кін етіческого енергій матеріальних точок, з яких ця система складається. В результаті складання співвідношень (4.13) для кожної матеріальної точки системи, знову вийде формула (4.13), але вже для системи матеріальних точок:

де m - маса нд їй системи.

Відзначимо, що є суттєва відмінність теореми про кін етіческого енергії (закону про зміну кін етіческого енергії) і закону про зміну імпульсу системи. Як відомо, приріст імпульсу системи визначається тільки зовнішніми силами. Внутрішні сили внаслідок рівності дії і протидії не змінюють імпульс системи. Не так стан справ у разі кін етіческого енергії. Робота внутрішніх сил, взагалі кажучи, не звертається до нуль. Наприклад, при русі двох матеріальних точок, що взаємодіють між собою силами тяжіння, кожна з сил зробить позитивну роботу, і буде позитивною приріст кін етіческого енергії нд їй системи. Отже, приріст кін етіческого енергії визначається роботою не тільки зовнішніх, а й внутрішніх сил.

- Теорема про кінетичну енергію

Криволінійним інтегралом 2-го роду, обчислення якого, як правило, простіше, ніж обчислення криволінійного інтеграла 1-го роду. Потужністю сілиf називається робота сили в одиницю часу. Так як за нескінченно малий час dt сила здійснює роботу dA \u003d fsds \u003d fdr, то потужність ...

Кінетична енергія матеріальної точки виражається половиною твори маси цієї точки на квадрат її швидкості.

Теорему про кінетичної енергії матеріальної точки можна виразити в трьох видах:

т. е. диференціал кінетичної енергії матеріальної точки дорівнює елементарної роботі сили, що діє на цю точку;

т. е. похідна за часом від кінетичної енергії матеріальної точки дорівнює потужності сили, що діє на цю точку:

т. е. зміна кінетичної енергії матеріальної точки на кінцевому шляху дорівнює роботі сили, що діє на точку на тому ж шляху.

Таблиця 17. Класифікація задач

Якщо на точку діє декілька сил, то в праві дріботячи рівнянь входить робота або потужність рівнодіюча цих сил, яка дорівнює сумі робіт або потужностей всіх складових сил.

У разі прямолінійного руху точки, направляючи вісь по прямій, по якій рухається точка, маємо:

де, так як в цьому випадку рівнодіюча всіх прикладених до точки сил спрямована по осі х.

Застосовуючи теорему про кінетичну енергію в разі невільного руху матеріальної точки, потрібно мати на увазі наступне: якщо на точку накладена досконала стаціонарний зв'язок (точка рухається по абсолютно гладкою нерухомою поверхні або лінії), то реакція зв'язку в рівняння не входить, бо ця реакція спрямована по нормалі до траєкторії точки і, отже, її робота дорівнює нулю. Якщо ж доводиться враховувати тертя, то в рівняння кінетичної енергії увійде робота або потужність сили тертя.

Завдання, що стосуються цієї параграфу, можна розділити на два основних типи.

I. Завдання на застосування теореми про кінетичної енергії при прямолінійній русі точки.

II. Завдання на застосування теореми про кінетичної енергії при криволінійному русі точки.

Крім того, завдання, що відносяться до типу I, можна розділити на три групи:

1) сила, що діє на точку (або рівнодіюча кількох сил), постійна, т. Е., Де X - проекція сили (або рівнодіюча) на вісь, направлену по прямолінійній траєкторії точки;

2) сила, що діє на точку (або рівнодіюча), є функцією відстані (абсциси цієї точки), т. Е.

3) сила, що діє на точку (або рівнодіюча), є функція швидкості цієї точки, т. Е.

Завдання, що відносяться до типу II, можна розділити на три групи:

1) сила, що діє на точку (або рівнодіюча), постійна і по модулю і по напрямку (наприклад, сила ваги);

2) сила, що діє на точку (або рівнодіюча), є функція положення цієї точки (функція координат точки);

3) рух точки при наявності сил опору.

Скалярна величина Т, що дорівнює сумі кінетичних енергій всіх точок системи, називається кінетичної енергією системи.

Кінетична енергія є характеристикою поступального і обертального руху системи. На її зміна впливає дія зовнішніх сил і так як вона є скаляром, то не залежить від напрямку руху частин системи.

Знайдемо кінетичну енергію при різних випадках руху:

1. Поступальний рух

Швидкості всіх точок системи дорівнюють швидкості центру мас. тоді

Кінетична енергія системи при поступальному русі дорівнює половині твори маси системи на квадрат швидкості центру мас.

2. обертальний рух (Рис. 77)

Швидкість будь-якої точки тіла:. тоді

або використовуючи формулу (15.3.1):

Кінетична енергія тіла при обертанні дорівнює половині твори моменту інерції тіла щодо осі обертання на квадрат його кутової швидкості.

3. плоскопараллельное рух

При цьому русі кінетична енергія складається з енергії поступального і обертальних рухів

Загальний випадок руху дає формулу, для обчислення кінетичної енергії, аналогічну останньої.

Визначення роботи та потужності ми зробили в пункті 3 глави 14. Тут же ми розглянемо приклади обчислення роботи і потужності сил діючих на механічну систему.

1. Робота сил тяжіння. Нехай, координати початкового і кінцевого положення точки k тіла. Робота сили тяжіння діють на цю частинку ваги буде . Тоді повна робота:

де Р - вага системи матеріальних точок, - вертикальне переміщення центру ваги С.

2. Робота сил, прикладених до обертається тілу.

Згідно співвідношенню (14.3.1) можна записати, але ds згідно з малюнком 74, в силу нескінченної малості можна представити у вигляді - нескінченно малий кут повороту тіла. тоді

величина називається обертовим моментом.

Формулу (19.1.6) перепишемо як

Елементарна робота дорівнює добутку обертального моменту на елементарний поворот.

При повороті на кінцевий кут маємо:

Якщо обертальний момент постійний, то

а потужність визначимо із співвідношення (14.3.5)

як твір крутного моменту на кутову швидкість тіла.

Теорема про зміну кінетичної енергії доведена для точки (§ 14.4) буде справедлива для будь-якої точки системи

Складаючи такі рівняння для всіх точок системи і складаючи їх почленно отримуємо:

або, відповідно до (19.1.1):

що є виразом теореми про кінетичної енергії системи в диференціальній формі.

Проинтегрировав (19.2.2) отримуємо:

Теорему про зміну кінетичної енергії в кінцевому вигляді: зміна кінетичної енергії системи при деякому її кінцевому переміщенні дорівнює сумі робіт на цьому переміщенні всіх прикладених до системи зовнішніх і внутрішніх сил.

Підкреслимо, що внутрішні сили не виключаються. Для незмінної системи сума робіт всіх внутрішніх сил дорівнює нулю і

Якщо зв'язку, накладені на систему, не змінюються з часом, то сили, як зовнішні так і внутрішні, можна розділити на активні та реакції зв'язків, і рівняння (19.2.2) тепер можна записати:

В динаміці вводиться таке поняття як "ідеальна" механічна система. Це така система, наявність зв'язків у якої не впливає на зміну кінетичної енергії, тобто

Такі зв'язку, які не змінюються з часом і сума робіт яких на елементарному переміщенні дорівнює нулю, називаються ідеальними, і рівняння (19.2.5) запишеться:

Потенційною енергією матеріальної точки в даному положенні М називається скалярна величина П, рівна тій роботі, яку проведуть сили поля при переміщенні точки з положення М в нульове

П \u003d А (мо) (19.3.1)

Потенційна енергія залежить від положення точки М, тобто від її координат

П \u003d П (х, у, z) (19.3.2)

Пояснимо тут, що силовим полем називається частина просторового обсягу, в кожній точці якого на частку діє певна по модулю і напрямку сила, що залежить від положення частинки, тобто від координат х, у, z. Наприклад, поле тяжіння Землі.

Функція U від координат, диференціал якої дорівнює роботі, називається силовий функцією. Силове поле, для якого існує силова функція, називається потенційним силовим полем, А сили діють в цьому полі, - потенційними силами.

Нехай нульові точки для двох силових функцій П (х, у, z) і U (x, y, z) збігаються.

За формулою (14.3.5) отримуємо, тобто dA \u003d dU (x, y, z) і

де U - значення силової функції в точці М. Звідси

П (x, y, z) \u003d -U (x, y, z) (19.3.5)

Потенційна енергія в будь-якій точці силового поля дорівнює значенню силової функції в цій точці, взятому з протилежним знаком.

Тобто, при розгляді властивостей силового поля замість силової функції можна розглядати потенційну енергію і, зокрема, рівняння (19.3.3) перепишеться як

Робота потенційної сили дорівнює різниці значень потенційної енергії рухомої точки в початковому і кінцевому положенні.

Зокрема робота сили тяжіння:

Нехай всі сили, що діють на систему, будуть потенційними. Тоді для кожної точки k системи робота дорівнює

Тоді для всіх сил, як зовнішніх, так і внутрішніх буде

де - потенційна енергія всієї системи.

Підставляємо ці суми в вираз для кінетичної енергії (19.2.3):

або остаточно:

При русі під дією потенційних сил сума кінетичної і потенційної енергії системи в кожному її положенні залишається величиною постійною. Це закон збереження механічної енергії.

Вантаж масою 1 кг робить вільні коливання відповідно до закону х \u003d 0,1sinl0t. Коефіцієнт жорсткості пружини з \u003d 100 Н / м. Визначити повну механічну енергію вантажу при х \u003d 0,05 м, якщо при х \u003d 0 потенційна енергія дорівнює нулю . (0,5)

Вантаж масою m \u003d 4 кг, опускаючись вниз, призводить за допомогою нитки в обертання циліндр радіуса R \u003d 0,4 м. Момент інерції циліндра відносно осі обертання I \u003d 0,2. Визначити кінетичну енергію системи тіл в момент часу, коли швидкість вантажу v \u003d 2м / с . (10,5)